Математические модели для многочастичной задачи на квантовом графе и для туннелирования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Еремин, Дмитрий Александрович

• Еремин, Дмитрий Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Еремин, Дмитрий Александрович

Оглавление

Введение

§1. Общая характеристика работы

§2. Физическая постановка задачи

§3. Метод потенциалов нулевого радиуса

1 Модель липкого квантового графа для оператора

Бельтрами-Лапласа на сфере

§1. Описание модели

§2. Метод аппроксимации сингулярного потенциала

2 Двухчастичная модель проводника с квантовым кольцом

§1. Поведение двух взаимодействующих частиц на прямой

3 Модель туннелирования через наносферу в магнитном поле

§1. Функция Грина для сферы

§2. Модель туннелирования

§3. Результаты

Заключение

Приложение А

Приложение В

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели для многочастичной задачи на квантовом графе и для туннелирования»

Введение

§1. Общая характеристика работы

Актуальность темы. Современное развитие наноэлектроники делает необходимой задачу теоретического исследования различных квантовых наносистем. Это связано в первую очередь с практической возможностью создания подобных структур. Квантовые свойства наносистем могут зависеть от различных факторов (от геометрической формы, от вида соединения структур, от направления и напряженности магнитного поля и т.д.), поэтому возникает не только теоретический, но и практический интерес в нахождении и исследовании данных зависимостей.

Следует также отметить, что кроме исследования квантовых свойств наноструктур, важно исследовать возмущения в подобных объектах, в частности короткодействующими потенциалами. Такие системы можно исследовать с помощью модели потенциалов нулевого радиуса. При использовании данной модели описание объектов сводится к построению возмущения оператора Лапласа и исследованию его спектра.

В некоторых случаях адекватной моделью наносистем является квантовый граф. Математическая теория одночастичных задач для квантовых графов достаточно хорошо развита. В то же время, многочастичные задачи рассматривались только для некоторых простых типов систем. Эти задачи являются более сложными, поскольку размерность конфигурационного пространства многократно возрастает в зависимости от числа частиц. С другой стороны, без учета взаимодействия частиц невозможно эффективно моделировать многие наноустройства, в частности, элементы квантового компьютера.

Целью исследования является:

1. построение модели липкого квантового графа на сфере и ее верификация;

2. разработка численного метода аппроксимации сингулярного потенциала, сосредоточенного на кривой, регулярными потенциалами специального вида;

3. построение и изучение модели многочастичного квантового графа;

4. построение и изучение модели наносферы с двумя проводниками в магнитном поле;

5. разработка комплекса программ для вычисления энергетических уровней двухчастичной системы и коэффициента прохождения для сферы в магнитном поле;

6. изучение влияния интенсивности взаимодействия частиц между собой на энергетические уровни;

7. изучение зависимости коэффициента прохождения от напряженности магнитного поля.

Объектом исследования являются математическая модель липкого квантового графа, модель двухчастичного квантового графа и модель наносферы с двумя проводниками.

Научная новизна и значимость работы определяется следующими результатами исследования.

1. Развит математический аппарат моделирования липких квантовых графов на сфере и многочастичных квантовых графов на базе спектральной теории самосопряженных операторов.

2. Разработан численный метод аппроксимации с)-потенциала, сосредоточенного на кривой, регулярными потенциалами.

3. Создан комплекс программ для численного исследования энергетических уровней двухчастичной модели и коэффициента прохождения для наносферы с двумя проводниками.

4. Исследована зависимость энергетический уровней двухчастичной модели от интенсивности взаимодействия частиц между собой.

5. Найдена зависимость коэффициента прохождения для наносферы с двумя проводниками от напряженности магнитного поля.

Методологическую и теоретическую основу исследования составили труды российских и зарубежных исследователей в области математического моделирования физических систем с использованием метода потенциалов нулевого радиуса.

Основные результаты, выносимые на защиту.

1. Математическая модель липкого квантового графа на сфере.

2. Численный метод аппроксимации (^-потенциала, сосредоточенного на кривой, гладкими потенциалами специального вида.

3. Обоснование предложенного метода путем построения последовательности обычных гамильтонианов, сходящихся к исходному гамильтониану с сингулярным потенциалом.

4. Математическая модель двухчастичной задачи для проводника с квантовым кольцом.

5. Математическая модель наносферы с двумя проводниками в магнитном поле.

6. Программные комплексы для решения поставленных задач:

• программный комплекс, написанный на языке С++, для расчета и построения спектра двухчастичной задачи;

• программа, написанная на языке С++, для численного исследования зависимости коэффициента прохождения для сферы с двумя проводниками от параметров системы и напряженности магнитного поля.

Практическая значимость работы заключается в следующем:

1. используемые в работе методы и модели могут быть использованы при исследовании особенностей электронного транспорта в других наноструктурах;

2. полученные в работе результаты могут быть использованы для исследования транспортных и спектральных свойств многочастичных на-ноэлектронных устройств и сферических наноструктур при наличии в них примесей;

3. разработанный численный метод может быть использован при математическом моделировании сферических наноструктур с сингулярным потенциалом (например, содержащих квантовый провод);

4. результаты проведенного численного анализа зависимости коэффициента прохождения от напряженности магнитного поля могут быть использованы при разработке новых наноэлектронных приборов.

Апробация результатов работы. Результаты работы прошли апробацию на конференциях и семинарах:

1. Третья Всероссийская научная конференция "Дифференциальные уравнения и краевые задачи", Самара, май 2006 г.

2. Конференция молодых ученых, аспирантов и студентов МордГУ, Саранск, ноябрь 2007 г.

3. VII Всероссийская межвузовская конференция молодых ученых, Санкт-Петербург, апрель 2010 г.

4. Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании, Саранск, 2010 г.

5. Конференция молодых ученых, аспирантов и студентов МордГУ, Саранск, апрель 2011 г.

6. Пятая международная научная школа-семинар "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ" имени Е.В. Воскресенского, 2011 г.

7. Восьмая Всероссийская научная конференция "Дифференциальные уравнения и краевые задачи", Самара, сентябрь 2011 г.

8. ХХХХ Огаревские чтения, Саранск, декабрь 2011 г.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 7 опубликованных статьях [15, 16, 17, 18, 19, 20, 57], в том числе, 3 [15, 20, 57] из Перечня ВАК.

§2. Физическая постановка задачи

Последняя треть XX и начало XXI веков проходят под возрастающим влиянием микро- и наноэлектроники на мировое общество. Достижения

вычислительной техники, информатики, радиоэлектроники и других направлений техники практически всегда базируются на достижениях электроники. И не только потому, что она формирует элементарную базу всех современных средств приема, передачи и обработки информации, автоматизированных систем управления и т.д., но главным образом из-за революционизирующего воздействия ее технологических принципов, достижений в области синтеза и применения новых материалов для создания приборных структур.

С начала 60-х годов, когда появились первые интегральные микросхемы, размеры, например, транзистора уменьшились от 1 мм до нескольких десятых долей микрона. Причем в конце XX - начале XXI веков каждые два года число транзисторов на одной микросхеме увеличивалось вдвое. При такой скорости увеличения количества транзисторов в начале нашего столетия мы должны были перейти к эре гигамасштабных схем (более 109 транзисторов на одну микросхему). Однако исследования ведущих специалистов показали, что реализация подобных схем требует принципиально новых решений, так как, например, если увеличить количество транзисторов на микросхеме до 106, то какая-то часть их будет иметь количество примесных атомов, столь сильно отличающееся от среднего значения, что микросхема будет дефектной.

Опыт разработки МДП-транзисторов (полевых транзисторов с изолированным затвором) с длиной канала 0,1-0,25 мкм показал, что в приборах такого размера лавинообразно нарастает количество новых физических явлений, что, естественно, отражается на проектировании и технологии их изготовления. Здесь принцип пропорциональной миниатюризации перестает работать. И если диапазон 0,1-1,0 мкм представляет собой сложный тех-

нологический барьер, поскольку требует смены парка технологической аппаратуры, то диапазон 0,05-0,1 мкм — это фундаментальный физический барьер, за которым все свойства твердого тела, включая электропроводимость, резко меняются, а наглядные образы и привычные теоретические модели теряют силу. Начинают проявляться в полной мере квантовые эффекты, а физика проводимости определяется квантово-механической интерференцией электронных волн.

Характеристические размеры полупроводниковых структур 10-100 нм являются определяющими для современной микроэлектроники. Именно с ними связывают дальнейшие перспективы развития. Следует обратить внимание на то, что наноструктуры размером 20 нм содержат примерно 100 атомов по диаметру и, хотя их внутренняя часть сохраняет кристаллическую симметрию, все свойства наноструктуры сильно зависят от состояния ее поверхности.

Практическая реализация идей создания структур субмикронных размеров является одним из самых блестящих технических достижений конца XX - начала XXI века. Причем подобные структуры могут проявлять различные свойства: металлические, полупроводниковые и диэлектрические. К настоящему моменту уже созданы наноструктуры с одномерным газом (например, квантовые проволоки и нанокристаллы размером несколько нанометров, которые получили название квантовые точки).

Все это открыло принципиальную возможность наблюдения явлений, обусловленных квантовой природой электрона, и привело к интенсивному исследованию интерференции и резонансного туннелирования носителей заряда в полупроводниковых структурах. Появилась возможность проверить ряд принципиальных положений квантовой механики на новых объ-

ектах исследований.

В системах малой размерности можно наблюдать некоторые замечательные физические явления, которые имеют фундаментальное значение. Например, квантовый эффект Холла (целый [88] и дробный [122]), в квантовых кольцах можно наблюдать квантовый эффект Ааронова-Бома [30], в квантовых проволоках — квантование кондактанса [50], в периодических массивах квантовых антиточек — квантовый бильярд [6, 12, 93, 125], а в периодических массивах квантовых точек — фрактальную структуру спектра (бабочка Хофштадтера) [79, 83]. Изучение подобных квантовых эффектов в сверхтонких полупроводниковых структурах дало толчок к появлению новых классов полупроводниковых приборов — резонансных туннельных диодов и транзисторов, обладающих высоким быстродействием (предельные частоты 1012 Гц) и широким спектром возможностей. Помимо чисто академического интереса, подобные системы представляют значительный практический интерес. Совершенно очевидно, что такие структуры обладают неоспоримыми преимуществами перед современными электронными устройствами: компактность, энергосбережение, быстродействие и т.д. Одним из наиболее интересных приложений мезоскопических структур являются квантовые вычисления и квантовые компьютеры, разработки альтернативных концепций которого активно ведутся [56, 112, 117], а также подобные структуры имеют принципиальные преимущества в применении для лазеров [1].

Достаточно сложным является вопрос математического обоснования теоретически построенных физических моделей. Для решения данной проблемы приходится использовать мощный математический аппарат: методы алгебраической топологии и спектрального анализа, теории представления

групп и расширений симметрических операторов и др. [5, 22, 23, 40, 74]. Стоит также отметить модели потенциалов нулевого радиуса, которые играют важнейшую роль в объяснении и выявлении новых свойств наноструктур.

Для того, чтобы создавать квантовые приборы электроники будущего необходимо не только научиться создавать элементы с нанометровыми размерами, но и добиться атомной гладкости поверхности элементов. В природе можно наблюдать пример выполнения этих требований при самоформировании молекул и молекулоподобных объектов типа углеродных трубок. В твердотельной технологии известен ряд способов получения структур с наперед заданными свойствами. В последнее время, благодаря прогрессу в технологии, стало возможным получение искривленных двумерных слоев [108, 109, 110] и нанообъектов различной формы [111]. Суть предложенного в этих работах метода заключается в следующем. При помощи молекулярно-лучевой эпитаксии выращивается однородная по площади ге-тероструктура, толщина слоев которой задается с точностью до атомного монослоя. При отсоединении ультратонких напряженных слоев от подложки пленка приобретает в зависимости от граничных условий новую равновесную форму с минимумом упругой энергии пленки. Эта технология позволяет получать нанотрубки, квантовые наносвитки, кольца и спирали с контролируемыми формами и размерами.

В последнее время резко возрос как экспериментальный [73, 91], так и теоретический [9, 36, 37, 39, 51, 52, 53, 78, 80, 85, 96] интерес к искривленным наноструктурам, в частности к сферическим. В первую очередь это связано с тем, что искривленные нанообъекты имеют необычные спектральные, магнитные, оптические и транспортные свойства. Таким обра-

зом, предполагается использование подобных структур в электронных и оптических устройствах нового поколения. Например, сферические нанообъ-екты могут применяться для получения фотонных кристаллов [99, 102, 128] (то есть периодических ансамблей наночастиц, в которых показатель преломления изменяется периодически). Подобные кристаллы можно использовать для управления потоком света и управления излучательной рекомбинацией (для ее усиления или подавления).

Современное развитие нанотехнологий позволяет создавать сферические нанообъекты с размерами от нескольких до сотен нанометров [101, 115, 123]. Подобные структуры имеют интересные спектральные [45, 126] и оптические свойства [28, 95, 114]. На основе классической теории разработана теоретическая модель для описания оптических свойств сферических нанооболочек [98]. Показано, что пик поглощения является плазменным резонансом электронов в системе, а положение и интенсивность пика поглощения зависят от толщины металлической оболочки и диаметра диэлектрического ядра [38, 129]. Исследования оптического поглощения наноструктур позволили понять кинетику роста наноструктуры [38] и найти значения таких параметров, как время релаксации электрона и константы электрон-фононной связи [129]. Изучение нелинейного оптического отклика нанооболочечных сферических и сфероидальных систем [75, 87, 113] показало, что оболочка структуры может значительно усиливать нелинейный оптический отклик системы. Отметим, что в случае тонкой металлической или полупроводниковой оболочки (порядка нескольких атомных слоев) в свойствах системы становится важным проявление квантовых эффектов, и использование классической модели для описания оптического поглощения нанооболочкой является неприменимым [129].

Следует также отметить, что в последнее время все больше внимания уделяется исследованиям возмущений оператора Лапласа потенциалом, сосредоточенным на множестве нулевой меры (точка, кривая и т.д.). Так, например, в работе [69] найдены связанные состояние п-мерного гармонического осциллятора с с)-функцией, в [60] решена изопериметрическая задача для точечного взаимодействия, аппроксимация конечного числа точечных источников гладкими потенциалами получена в [84]. В случае возмущения на кривой соответствующую модель называют липким квантовым графом [42, 59]. Данная модель может быть использована при описании характеристик и свойств наноустройств с примесями. Например, в [65] рассмотрен локальнодеформированный липкий провод и решена задача рассеяния. Также решение задачи рассеяния и спектральный анализ оператора Шредингера с потенциалом, сосредоточенным на регулярной кривой, можно найти в [43], а в [62] найдена ширина запрещенной зоны для потенциала на периодической кривой. Проблема собственных значений рассмотрена в [61, 63], в данных работах найдены асимптотики собственных значений оператора Шредингера с Ö-взаимодействием на петле и проколотой плоскости.

Особое внимание уделяется и многочастичным задачам, но в подавляющем большинстве работ рассматриваются лишь простые типы систем. Так в работе Янга [127] рассмотрена задача для N частиц в одномерном пространстве, решена задача на собственные значения. В работе Б. Сазер-ленда [118] решается задача рассеяния для двух взаимодействующих частиц на прямой с различными видами взаимодействия (рассматривается и 5-взаимодействие). В статьях И. С. Лобанова, И. Ю. Попова [92] и М. Хар-мера [81, 82] рассмотрена задача для двух частиц с 6 -взаимодействием на

пучке лучей (звездном графе), решена задача рассеяния и проблема собственных значений.

В настоящей работе построены математические модели липкого квантового графа, наносферы с присоединенными проводниками, двухчастичной задачи для кольца с проводником. Разработан численный метод аппроксимации 5-потенциала, сосредоточенного на кривой, регулярными потенциалами специального вида.

В первой главе работы производится построение математической модели липкого квантового графа на сфере. Для данной модели разработан численный метод аппроксимации сингулярного потенциала, сосредоточенного на кривой. Данная аппроксимация является решением задачи о верификации модели липкого квантового графа на сфере, суть которой заключается в следующем. Корректное математическое описание данной модели можно задать при помощи теории самосопряженных расширений симметрических операторов. Однако, подход теории расширений, давая строгий анализ, в то же время, ставит вопрос о выборе параметров расширений, обеспечивающих необходимое соответствие модели и реальной задачи. Это обоснование модели возможно путем построения последовательности гамильтонианов с регулярными потенциалами сходящихся к модельному оператору с сингулярным потенциалом. Что касается моделей в №3(К2), то исчерпывающее описание процесса построения такой аппроксимации изложено, например, в монографии [3]. Также решение задачи об аппроксимации для модели липкого квантового графа на плоскости можно найти в работе [106], а в работе [84] — для конечного числа точечных потенциалов.

Во второй главе работы производится описание и построение двухчастичных задач в проводнике и в кольце, на основе которых строится мо-

дель системы "кольцо-проводник" для двух частиц. Производится описание одночастичной модели для аналогичной системы. Каждая из моделей исследуется на энергетические уровни и отмечается зависимость уровней энергии двухчастичной системы от интенсивности взаимодействия частиц между собой.

В последней главе диссертации производится построение математической модели наносферы с двумя проводниками в постоянном магнитном поле. Модель такого типа без магнитного поля была построена в [9]. Для построенной системы найден коэффициент прохождения и исследована его зависимость от энергии, магнитного поля и от расположения точек контакта проводников. Влияние магнитного поля на транспортные свойства систем изучалось во многих работах. В [67] рассмотрен электронный транспорт в искривленном квантовом проводе. Показано, что коэффициент прохождения через устройство зависит от магнитного поля, в следствии чего предложены модели двух устройств: квантового переключателя и квантового детектора. В [103] обсуждается возможность построения квантового мультиплексора, то есть показывается, что изменением магнитного поля можно управлять направлением сигнала.

В заключении приводится краткая сводка основных результатов диссертационного исследования.

В приложениях приводится листинг программ, разработанных для численных расчетов энергетических уровней и коэффициента прохождения исследуемых систем.

§3. Метод потенциалов нулевого радиуса

Метод потенциалов нулевого радиуса относится к так называемым явно решаемым моделям, при использовании которых стационарное уравнение Шредингера допускает точное аналитическое решение в сравнительно редких случаях. Стационарное уравнение Шредингера для одной частицы разрешимо, например, для потенциала гармонического осциллятора, кулонов-ского потенциала, прямоугольной потенциальной ямы и некоторых других. В случае большинства встречающихся в практике потенциалов уравнение Шредингера не может быть решено точно. Еще сложнее обстоит дело с нестационарными и многочастичными задачами.

Для многих важных задач квантовой механики, когда обычные приближенные методы неприменимы, аналогичные задачи с потенциалами нулевого радиуса оказываются точно разрешимы. Получаемое точное решение сохраняет основные особенности физических систем и может служить основой для понимания и описания физической природы явления, а в некоторых случаях дает и количественные результаты, обладающие достаточно широкой областью применимости.

Модель точечных потенциалов может использоваться для описания примесей, дефектов и других короткодействующих потенциалов в любых системах, также с помощью данного метода можно исследовать дискретный и сплошной спектры и нестационарные задачи [13, 14, 26].

Впервые точечный потенциал был использован Э. Ферми, когда была решена задача о смещении высших спектральных линий в атмосфере постороннего газа [70]. С тех пор модель приобрела значительную популярность, особенно в атомной и ядерной физике [14]. В последние годы метод начал широко применяться в физике наноструктур для моделирования

одиночных короткодействующих возмущений. В последние несколько лет было разработано применение потенциалов нулевого радиуса для моделирования контактов между структурами различной размерности, описание которого можно найти в работе [26].

Модель потенциалов нулевого радиуса может быть использована для описания взаимодействия свободно движущейся заряженной частицы с точечными источниками. Идея использования данной модели возникла в 1931 году, когда в работе Р. де Л. Кронига и В. Г. Пенни [89] была построена модель нерелятивистского электрона, движущегося в случая одномерного евклидова пространства в жесткой кристаллической решетке. Позже, в работах Л. Томаса [120], Г. Бете и Р. Пайерлса [41], было рассмотрено взаимодействие нерелятивистской частицы с малым источником в трехмерном пространстве. Последующие десятилетия ознаменовались интенсивным применением метода потенциалов нулевого радиуса. Так в 1936 году Э. Ферми рассмотрел задачу о рассеянии нейтронов в водородосодержа-щих веществах [71]. Исследования в этом направлении были продолжены в работах Чу и Вика [54] и Бракнера [44], где решена задача о рассеянии на двух неподвижных центрах нулевого радиуса. Гольдберг и Зейц [68] рассмотрели рассеяние на бесконечном числе центров.

В 1961 году в работе Ф. А. Березина и Л. Д. Фаддеева [7] впервые дается строгое математическое обоснование данной модели. Предлагалось определять гамильтонианы, описывающие точечные взаимодействия, как самосопряженные расширения симметрических операторов, а для получения явного вида резольвент расширений использовать формулу М. Г. Крейна.

Подробное описание модели потенциалов нулевого радиуса можно найти в работах С. Альбеверио, Ф. Гестези, Р. Хеэг-Крона и X. Хольдена [3],

А. И. Базя, Я. В. Зельдовича и А. М. Переломова [4], Ю. Н. Демкова и В. И. Островского [14]. Также стоит отметить хорошо известные работы С. Альбеверио [2], Б. С. Павлова [24], П. Экснера [32] и др. Более подробная библиография по данному вопросу приведена в монографии [3].

Рассмотрим построение модели потенциалов нулевого радиуса более подробно. Движение свободной заряженной частицы в некотором евклидовом пространстве X описывается оператором Лапласа —А.

Возмущение оператора Лапласа конечным числом точечных потенциалов, расположенных в точках дх, #2> Яп , формально может быть записано в виде

где бк — константы связи, которые должны рассматриваться как бесконечно малые [3, 7].

Для придания строгого математического смысла выражению (1) используется теория самосопряженных расширений симметрических операторов. Суть данного метода заключается в следующем. Рассмотрим 5 — сужение —А на область

Известно, что <5> — замкнутый симметрический оператор с индексами дефекта (п, п), а дефектное пространство Б пораждпется функциями х Со(х, <2%; £), где Со{х,у\г) — функция Грина оператора —А (интегральное ядро резольвенты).

Самосопряженные расширения оператора 5, описывающие возмущения Но, образуют некоторое семейство операторов НА, параметризуемое

(1)

к=1

П = {/е Я(Я0) : /Ы = 0, к = 1, 2,..., п}.

самосопряженными комплексными матрицами А. Резольвенты расширений 5 могут быть описаны с использованием формулы М. Г. Крейна для резольвент [3, 7, 24], из которой вытекает следующая удобная формула для описания функций Грина возмущений

п

СА(х,у;г) = О0(х,у;г) - ]Г У, ¿)[<20) - А]^С0{х, г),

где Оо(х,у;г) — функция Грина исходного оператора, а — так на-

зываемая О, -матрица Крейна.

Уровни энергии (точечные уровни) возмущенного оператора

НА определяются как решения уравнения

<1еЬ[(3(г) -А]= 0.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Еремин, Дмитрий Александрович

Заключение

В диссертационной работе при помощи теории самосопряженных расширений симметрических операторов построена математическая модель липкого квантового графа на сфере. С помощью построения последовательности регулярных потенциалов, аппроксимирующих сингулярный потенциал, решена задача о верификации данной модели. Разработан численный метод аппроксимации 5-потенциала, сосредоточенного на кривой, гладкими потенциалами специального вида, позволяющий моделировать сферические наноструктуры с сингулярным потенциалом.

Произведено описание и построение двухчастичных задач в проводнике и кольце, на основе которых построена двухчастичная модель для системы "проводник-кольцо". Разработана программа на языке С++ для численного нахождения зависимости уровней энергии двухчастичной задачи от интенсивности взаимодействия частиц при различных значениях параметров контакта. Из полученных результатов следует, что при стремлении интенсивности взаимодействия частиц к нулю, двухчастичная модель с взаимодействием частиц стремится к соответствующей двухчастичной модели без учета взаимодействия. Также отмечается, что взаимодействие частиц приводит к снятию вырождения энергетических уровней системы.

В работе также построена математическая модель для туннелирования через наносферу с двумя проводниками в магнитном поле. Найдено выражение для коэффициента прохождения через систему. Для численного исследования зависимости коэффициента прохождения от параметров контактов и напряженности магнитного поля разработана программа на языке С++. Результаты исследований показали, что при наличии магнитного поля наблюдаются резонансы Фано даже в случае противоположного присоединения проводников, в отличии от случая отсутствия магнитного поля.

Полученные в работе методы и модели могут быть использованы для исследования транспортных и спектральных свойств многочастичных на-ноэлектронных устройств и сферических наноструктур при наличии в них примесей. Результаты проведенного численного анализа зависимостей энергетических уровней двухчастичной модели и коэффициента прохождения для наносферы могут быть использованы при разработке новых на-ноэлектронных приборов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Еремин, Дмитрий Александрович, 2012 год

Литература

[1] Алферов Ж. Двойные гетероструктуры: концепция и применения в физике, электронике и технологии // УФН. — 2002. — Т. 172. — С. 1067-1086.

[2] Альбеверио С. Нестандартные методы в стохастическом анализе и математической физике / С. Альбеверио, И. Фенстад, Р. Хеэг-Крон, Т. Линдстрем // М.: Мир. — 1990. - 616 с.

[3] Альбеверио С. Решаемые модели в квантовой механике / С. Альбеверио, Ф. Гестези, Р. Хеэг-Крон, X. Хольден — М.: Мир, 1991. — 568 с.

[4] Базь А. И. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике / А. И. Базь, Я. В. Зельдович, А. М. Переломов — М.: Наука, 1971. - 544 с.

[5] Барут А. Теория представлений групп и ее приложения / А. Барут, Р. Т. Рончка Р. - М.:Мир, 1980. - Т. 1,2.

[6] Баскин Э. М. Стохастическая динамика двумерных электронов в периодической решетке антиточек / Э. М. Баскин, Г. М. Гусев, 3. Д. Квон и др. // Письма в ЖЭТФ. - 1992. - Т. 55. - С. 649-652.

[7] Березин Ф. А. Замечание об уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом / Ф. А. Березин, Л. Д. Фаддеев. // ДАН СССР. — 1961. — Т. 137. - № 5. - С. 1011-1014.

[8] Брюнинг Й. Непрерывность и асимптотическое поведение интегральных ядер, связанных с операторами Шрёдингера на многообразиях /

Й. Брюнинг, В. А. Гейлер, К. В. Панкрашкин // Матем. заметки. — 2005. - Т. 78. - № 2. - С. 314-316.

[9] Гейлер В. А. Резонансное туннелирование через двумерную наноструктуру с присоединенными проводниками. / В. А. Гейлер, В. А. Маргу-лис, М. А. Пятаев // ЖЭТФ. - 2003. - Т. 10. - №4. - С. 851-861.

[10] Гейлер В. А. Баллистический транспорт в наноструктурах: явнореша-емые модели / В. А. Гейлер, И. Ю. Попов // ТМФ. — 1996. — Т. 107. — М. - С. 12-20.

[11] Гейлер В. А. Аппроксимация точечных возмущений на римановом многообразии / В. А. Гейлер, Д. А. Иванов, И. Ю. Попов // Теоретическая и математическая физика. — 2009. — Т. 158. — № 1. — С. 49-57.

[12] Гусев Г. М. Магнетоосциляции в двумерной электронной системе с периодическим потенциалом антиточек / Г. М. Гусев, В. Т. Долгополов, 3. Д. Квон. и др. // Письма в ЖТЭФ. - 1991. - Т. 54. - С. 369-372.

[13] Демиховский В.Я. Физика квантовых низкоразмерных структур / В.Я. Демиховский, Г.А. Вугальтер — М.:Логос, 2000.

[14] Демков Ю. Н. Метод потенциалов нулевого радиуса в атомной физике / Ю. Н. Демков, В. Н. Островский — Изд. Ленинградского университета, 1975. - 240 с.

[15] Еремин Д.А. Двухчастичная модель проводника с квантовым кольцом // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО, СПб: СПбГУ ИТМО, 2010. - Вып. 5. - С. 58-62.

[16] Еремин Д.А. К вопросу обоснования модели возмущения оператора Бельтрами-Лапласа на сфере. Математическое моделирование и кра-

евые задачи / Д. А. Еремин, Д. А. Иванов // Труды второй всероссийской научной конференции. Секция "Моделирование и оптимизация динамических систем и систем с распределенными параметрами". Часть 2 / Отв. Редактор В.П. Радченко. — Самара: СамГТУ, 2011. — С. 55-57.

[17] Еремин Д.А. Двумерная аномалия в случае нескольких сближающихся точечных потенциалов в однородном магнитном поле. / Д. А. Еремин, О. Г. Костров // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды второй всероссийской научной конференции. Секция "Дифференциальные уравнения и краевые задачи". Часть 3 / Отв. Редактор В.П. Радченко. - Самара: СамГТУ, 2007. - С. 83-86.

[18] Еремин Д.А. Зависимость аномалии от числа сближающихся точечных потенциалов в однородном магнитном поле / Д. А. Еремин, О. Г. Костров // Материалы XII науч. конф. молодых ученых, аспирантов и студентов Мордов. гос. ун-та им. Н.П. Огарева: в 2 ч. Ч. 2: Естественные науки / Сост. О.В. Бояркина; отв. за вып. В.Д. Черкасов. — Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 2007. — С. 143-145.

[19] Еремин Д.А. Двухчастичная модель проводника с квантовым кольцом / Д. А. Еремин, О. Г. Костров // Сборник тезисов докладов конференции молодых ученых. Выпуск 3. Труды молодых ученых / Главный редактор д.т.н., проф. В.О. Никифоров. — СПб: СПбГУ ИТМО, 2010. - С. 87-88.

[20] Еремин Д.А. Квантовое кольцо с проводником: модель двухчастичной задачи / Д. А. Еремин, И. Ю. Попов // Наносистемы: физика, химия, математика. - 2011, Т. 2. - №2. - С. 15-31

[21] Лобанов И.С. Оценка снизу спектра двумерного оператора Шредин-гера с 5-потенциалом на кривой / И. С. Лобанов, В. Ю. Лоторейчик, И. Ю. Попов // ТМФ. - 2010. - Т. 162. - №3. - С. 397-407.

[22] Наймарк М. А. Теория представлений групп. — М.: Наука, 1976. — 564 с.

[23] Новиков С. П. Двумерные операторы Шредингера в периодических полях // Современные проблемы математики. — 1983. — Т. 23. — С. 3-32.

[24] Павлов Б. С. Теория расширений и явнорешаемые модели // УМН. — 1987. - Т. 42(6). - С. 99-131.

[25] Прудников А. П. Интегралы и ряды / А. П. Прудников, Ю. А. Брыч-ков, О. И. Марычев. — М. : Наука. — 1981. — 800 с.

[26] Пятаев М. А. Применение потенциалов нулевого радиуса к исследованию электронного транспорта в наноструктурах // Физика и химия новых материалов, 2009. — №1(5). http://phch.mrsu.ru/2009-l/pdf/3-Pyatayev.pdf

[27] Светлов А. В. Критерий дискретности спектра оператора Лапла-са-Бельтрами на квазимодельных многообразиях // Сибирский математический журнал. - 2002. - Т. 43. - С. 1362-1371.

[28] Смирнов Б. М. Механизмы излучательных переходов в металлических кластерах / Б. М. Смирнов, X. Вайделе. // ЖЭТФ. - 1999. - Т. 116. -С. 1903-1912.

[29] Суслина Т.А. Абсолютная непрерывность спектра оператора Шредингера с потенциалом, сосредоточенным на периодической системе ги-

перповерхностей / Т. А. Суслина, Р. Г. Штеренберг // Алгебра и анализ. - 2001. - Т. 13. - С. 197-240.

[30] Aharonov Y. Significance of electromagnetic potentials in quantum theory. / Y. Aharonov, D. Bohm. // Phys. Rev. — 1959. — V. 115. — P. 485-491.

[31] Albe V. Confinement and shape effects on the optical spectra of small CdSe nanocrystals // V. Albe, C. Jouanin, D. Bertho // Phys. Rev. B. — 1998. - V. 58. - P. 4713 - 4720.

[32] Albeverio S. Geometric phase realated to point-interaction transport on a magnetic Lobachevsky plane / S. Albeverio, P. Exner, V. A. Geyler. // Lett. Math. Phys. - 2001. - V. 55. - P. 9-16.

[33] Albeverio S. Solvable models in quantum mechanics / S. Albeverio, F. Gesztesy, R. Hoegh-Krohn, H. Holden. — Berlin: Springer-Verlag, 1988.

[34] Albeverio S. Point perturbations in constant curvature spaces / S. Albeverio, V. A. Geyler, E. N. Grishanov, D. A. Ivanov // Int. J. of Theor. Phys. - 2010. V. 49. - P.728 - 758.

[35] Albeverio S. Singular perturbations of differential operators. Solvable Schrodinger type operators / S. Albeverio, P. Kurasov // London Mathematical Society Lecture Notes. — Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2000. - 271.

[36] Alimohammadi M. Laughlin states on the Poincare half-plane and their quantum group symmetry / M. Alimohammadi, H. M. Sadjadi. //J. Phys. A. - 1996. - V. 29. - P. 5551-5558.

[37] Alimohammadi M. Coulomb gas representation of quantum Hall effect on Riemann surfaces / M. Alimohammadi, H. M. Sadjadi. //J. Phys. A. — 1999. - V. 32. - P. 4433-4440.

[38] Averitt R. D. Plasmon Resonance Shifts of Au-Coated Au2S Nanoshells: Insight into Multicomponent Nanoparticle Growth / R. D. Averitt, D. Sarkar, N. J. Halas. // Phys. Rev. Lett. - 1997. - V. 78. - P. 42174220.

[39] Batista C. L. S. Analytic calculations of trial wave functions of the fractional quantum Hall effect on the sphere / C. L. S. Batista, D. Li // Phys. Rev. B. - 1997. - V. 55. - P. 1582-1595.

[40] Bellissard J. The noncommutative geometry and quantum Hall effect / J. Bellissard, A. van Elst., H. Schulz-Baldes. //J. Math. Phys. - 1994. -V. 35. - P. 5373-5451.

[41] Bethe H. Quantum theory of the diplon / H. Bethe, R. Peierls // Proc. Roy. Soc. (London). - 1935. - V. 148A. - P. 146-156.

[42] Brasche J. F. Schrodinger operators with singular interactions / J. F. Brasche, P. Exner, Yu. A. Kuperin, P. Seba //J. Math. Anal. Appl. — 1994. - V. 184(1). - P. 112-139.

[43] Brasche J. F. Spectral analysis and scattering theory for Schrodinger operators with an interaction supported by a regular curve / J. F. Brasche, A. Teta // Ideas and Methods in Quantum and Statistical Physics. (Cambridge: Cambridge University Press.) — 1992. — P. 197-211.

[44] Brueckner K. A. Multiple scattering correction to the impulse approximation in the two-body system // Phys. Rev. — 1953. — V. 89. — P. 834-838.

[45] Brüning J. Ballistic conductance of a quantum sphere / J. Brüning, V. A. Geyler, V. A. Margulis, M. A. Pyataev // J. of Phys. A: Math, and Theor. - 2002. - V. 35. - P. 4239 - 4247.

[46] Brüning J. On-diagonal singularities of the Green functions for Schrödinger operators. / J. Brüning, V. A. Geyler, K. V. Pankrashkin //J. Math. Phys. - 2005. - V. 46. P. 113508.1 - 113508.16.

[47] Brüning J. Continuity properties of integral kernels associated with Schrödinger operators on manifolds. / J. Brüning, V. A. Geyler, K. V. Pankrashkin // Ann. Henri Poincare. — 2007. — V. 8. — P. 781 - 816.

[48] Brüning J. Scattering on compact manifold with infinitely thin horns / J. Brüning, V. A. Geyler // J. Math. Phys. - 2003. V. 44. - P. 371-405.

[49] Bulka B. R. Fano and Kondo resonance in electric current throug nanodevice / B. R. Bulka, P. Stefanski // Phys. Rev. Lett. — 2001. V. 86. - P. 5128-5131.

[50] Büttiker M. Four-Terminal Phase-Coherent Conductance // Phys. Rev. Lett. - 1986. V. 57. - P. 1761 - 1764.

[51] Carey, A. L. Quantum Hall Effect on the Hyperbolic Plane in the Presence of Disorder / A. L. Carey, K. Hannabuss, V. Mathai // Lett. Math. Phys. — 1999. - V. 47. - P. 215-236.

[52] Carey A. L. Quantum Hall Effect on the Hyperbolic Plane / A. L. Carey, K. C. Hannabuss, V. Mathai and others // Commun. Math. Phys. — 1998. - V. 190. - P. 629-673.

[53] Chaplik A. V. Effect of curvature of a 2D electron sheet on the ballistic conductance and spin-orbit interaction / A. V. Chaplik, L. I. Magarill, D. A. Romanov // Physica B. - 1998. - V. 249. - P. 377-382.

[54] Chew G. F. The impulse approximation / G. F. Chew, G. C. Wick // Phys. Rev. - 1952. - V. 85. - P. 636-642.

[55] Clerk A. A. Fano resonances as a probe of phase coherence in quantum dots / A. A. Clerk, X. Waintal, P. W. Brouwer // Phys. Rev. Lett. — 2001. - V. 86. - P. 4636-4639.

[56] Compano, R., Trends in nanoelectronics // Nanotechnology — 2001. — V. 12. - P. 85 - 88.

[57] Eremin D. A. Regular Potential Approximation for c>-Perturbation Supported by Curve of the Laplace-Beltrami Operator on the Sphere / D. A. Eremin, D. A. Ivanov, I. Yu. Popov // Journal for Analysis and its Applications. - 2012. - V. 31. - № 2. - P. 125-137.

[58] Exner P. Geometrically induced spectrum in curved leaky wires / P. Exner, T. Ichinose // J. Phys. A: Math. Gen. - 2001. V. 34. P. 1439-1450.

[59] Exner P. Leaky quantum graphs // Analysis on Graphs and its Applications, (eds. Exner, P., Keating, J. P., Kuchment, P., Sunada, T. and Teplyaev, A.,) Proc. Symp. Pure Math. Ser., 77, AMS, Providence, RI. - 2008. P. 523 - 564.

[60] Exner P. An isoperimetric problem for point interactions //J. Phys. A. — 2005. - V. 38. - P. 4795-4802.

[61] Exner P. Asymptotics of eigenvalues of the Schrodinger operator with a strong ^-interaction on a loop / P. Exner, K. Yoshitomi //J. Geom. Phys. - 2002. - V. 41. - P. 244-358.

[62] Exner P. Band gap of the Schrodinger operator with a strong 5 -interaction on a periodic curve / P. Exner, K. Yoshitomi // Ann. H. Poincare. — 2001. -V. 2. - P. 1139-1158.

[63] Exner P. Eigenvalue asymptotics for the Schrodinger operator with a 5-interaction on a punctured surface / P. Exner, K. Yoshitomi // Lett. Math. Phys. - 2003. - V. 65. - P. 19-26.

[64] Exner P. Bound states due to a strong delta interaction supported by a curved surface / P. Exner, S. Kondej //J. Phys. A. - 2003. - V. 36. -P. 443-457.

[65] Exner P. Scattering by local deformations of a straight leaky wire / P. Exner, S. Kondej // J. Phys. A. - 2005. - V. 38. - P. 4865-4874.

[66] Fakhri H. Landau levels on the hyperbolic plane. / H. Fakhri, M. Shariati // J. Phys. A: Math. Gen. - 2004. V. 37. - P. L539 - L545.

[67] Geyler V. A. Quantum interference rectifier / V. A. Geyler, I. Yu. Popov // Physica E. - 2001. - V. 9. - № 4. - P. 631-634.

[68] Goldbereger M. L. Theory of the refractions and the diffraction of neutrons by cristals / M. L. Goldbereger, F. Seltz. // Phys. Rev. - 1947. — V. 71. — P. 294-310.

[69] Demiralp E. Bound states of n-dimensional harmonic oscillator decorated with Dirac delta functions / E. Demiralp //J. Phys. A. — 2005. — V. 38. — P. 4783-4794.

[70] Fermi E. Sopra lo spostamento per pressione delle righe elevate delle serie spettrali // Nuovo Cim. - 1934. - V. 11. - P. 157-166.

[71] Fermi E. Sul moto dei neutroni nelle sostanze idrogenate // Ric. Sei. — 1936. - V. 7. - P. 13-52.

[72] Foden C. L.Quantum magnetic confinement and transport in spherical two-dimensional electron gases / C. L. Foden, M. L. Leadbeater, M. Pepper // Phys. Rev. B . - 1995. - V. 52. - P. R8646-R8649.

[73] Ford C. J. B. Influence of geometry on the Hall effect in ballistic wires / C. J. B. Ford, S. Washburn, M. Büttiker and others. // Phys. Rev. Lett. — 1989. - V 62. - P. 2724-2727.

[74] Frölich J. The fractional quantum Hall effect, Chern-Simons theory, and integral lattices / J. Frölich. // Proc. Jnt. Congress of Mathem. Zürich. — 1994. - V. 1. - P. 75-105.

[75] Fu L. Nonlinear response of composite materials containing coated spheres: Giant enhancement due to the particle structure and distribution / L. Fu, L. Resca. // Phys. Rev. B. - 1997. - V. 56. - P. 10963-10969.

[76] Geyler V. A. Resonant tunneling in zero-dimensional systems: Explicitly solvable model / V. A. Geyler, I. Yu. Popov // Phys. Lett. A. — 1994. — V. 187. - P. 410-412.

[77] Grosche Ch. Handbook of Feynman path integrals / Ch. Grosche, F. Steiner, // Springer-Verlag, Berlin, 1998.

[78] Grosche C. On the Path Integral Treatment for an Aharonov-Bohm Field on the Hyperbolic Plane // Int. J. Theor. Phys. - 1999. — V. 38. - P. 955969.

[79] Guillement J. P. Walk inside Hofstadter's butterfly / J. P. Guillement, B. Helffer, P. Treton. //J. Phys. France. - 1989. - V. 50. - P. 20192058.

[80] Haldane F. D. M. Periodic Laughlin-Jastrow wave functions for the fractional quantized Hall effect / F. D. M. Haldane, E. H. Rezayi. // Phys. Rev. Lett. - 1985. - V. 31. - P. 2529-2531.

[81] Harmer M. Two particles on a star graph I // J. Math. Phys. — 2007. — V. 14. - № 4. - P. 435-439.

[82] Harmer M. Two particles on a star graph II // J.Math. Phys. — 2008. — V. 15. - № 4. - P. 473-480.

[83] Helffer B. Le pappilon de Hofstadter revisite / B. Helffer, P. Kerdelhue, J. Sjostrand. // Mem. Soc. Math. France. — 1990. - V. 43. — P. 1-87.

[84] Huddel III W. B. Smooth approximation of finitely many relativistic point interactions / W. B. Huddell III, R. J. Hughes //J. Phys. A. - 2005. -V. 38. - P. 4803-4810.

[85] Iengo R. Quantum mechanics and quantum Hall effect on Reimann surfaces / R. Iengo, D. Li. // Nucl. Phys. B. - 1994. - V. 413. - P. 735-753.

[86] Ikebe T. Spectral and scattering theory for the Schrodinger operators with penetrable wall potentials / T. Ikebe, S. Shimada // J.Math. Kyoto Univ. - 1991. V. 31. № 1. - P. 219-258.

[87] Kalyaniwalla N. Intrinsic optical bistability for coated spheroidal particles / N. Kalyaniwalla, J. W. Haus, R. Inguva and others. // Phys. Rev. A. — 1990. - V. 42. - P. 5613-5621.

[88] von Klitzing K. New method for high-accuracy determination of the fine-structure constant based on quantized Hall resistance / K. von Klitzing, G. Dorda, M. Pepper // Phys. Rev. Lett. - 1980. - V. 5. - P. 494 - 497.

[89] Kronig R. de L. Quantum mechanics of electrons in crystal lattices / R. de L. Kronig, W. G. Penney. // Proc. Roy. Soc.(London) — 1931. — V. 130A. - P. 499-513.

[90] Kurylev Ya.V. Boundary conditions on curves for the three-dimensional Laplace operator // J.Sov.Math. - 1983. V. 22. - P. 1072-1082.

[91] Leadbeater M. L. Electron transport in a non-uniform magnetic field / M. L. Leadbeater, C. L. Forden, T. M. Burke and others. //J. Phys.: Condens. Matter. - 1995. - V. 7. - P. L307-L316.

[92] Lobanov I. S. Two particle scattering on pencil of rays / I. S. Lobanov, I. Yu. Popov, // Journal of Physics: Conference Series. - 2008. - P. 012048.

[93] Lorke A. Magnetotransport in two-dimensional lateral superlattices / A. Lorke, J. P. Kotthaus, K. Ploog. // Phys. Rev. B. - 1991. - V. 44. -P. 3447-3450.

[94] Magarill L. I. Ballistic transport and spin-orbit interaction of two-dimensional electrons on cylindrical surface / L. I. Magarill, D. A. Romanov, A. V. Chaplik // J. Exper. Theor. Phys. - 1998. - V. 113. - № 4. - P. 1411-1428.

[95] Martinos S. S. Optical absorption spectra for silver spherical particles // Phys. Rev. B. - 1989. - V. 39. - P. 1363 - 1364.

[96] Melik-Alaverdian V. Fixed-phase diffusion Monte Carlo study of the quantum-Hall effect on the Haldane sphere / V. Melik-Alaverdian, N. E. Bonesteel, G. Ortiz. // Physica E. - 1997. - V. 1. - P. 138-144.

[97] Melnikov Yu. B. Two-body scattering on a graph and application to simple nanoelectronic devices / Yu. B. Melnikov, B. S. Pavlov //J. Math. Phys. — 1995. - V. 36. - P. 2813 - 2825.

[98] Mie G. Beitrage zur Optik triiber Medien, speziell kolloidaler Metallosungen. // Ann. Phys. (Leipzig). - 1908. - V. 25. - P. 377 -445.

[99] Miguez H. Bragg diffraction from indium phosphide infilled fee silica colloidal crystals / H. Miguez, A. Blanco, F. Meseguer and others. // Phys. Rev. B. - 1999. - V. 59. - P. 1563-1566.

[100] Mochizuki K. Scattering theory for the wave equation // Tokio: Kinokuniya, 1984.

[101] Murray C. B. Synthesis and Characterization of Nearly Monodisperse CdE (E = S, Se, Te) Semiconductor Nanocrystallites / C. B. Murray, D. J. Norris, M. G. Bawendi. // J. Am. Chem. Soc. - 1993. - V. 115. -P. 8706-8715.

[102] Ohtaka K. Photonic band effects in a two-dimensional array of dielectric spheres in the millimeter-wave region / K. Ohtaka, Y. Suda, S. Nagano and others. // Phys. Rev. B. - 2000. - V. 61. - P. 5267-5279.

[103] Pavlov B. S. Possible construction of a quantum multiplexer / B.S. Pavlov, I. Yu. Popov, V. A. Geyler, 0. S. Pershenko // Europhysics Letters. — 2000. - V. 52. - № 2. - P. 196-202.

[104] Popov I. Yu. The resonator with narrow slit and the model based on the operator extension theory // J.Math.Phys. — 1992. V. 33. — № 11. — P. 3794-3801.

[105] Popov I. Yu. The extension theory and the opening in semitransparent surface // J. Math. Phys. - 1992. - V. 33. - № 5. - P. 1585-1589.

[106] Popov I. Yu. The operator extension theory, semitransparent surface and short range potential // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. — 1995. — V. 118. - P. 555 - 563.

[107] Posilicano A. A Krein-like formula for singular perturbations of self-adjoint operators and applications //J. Func. Anal. — 2001. — V. 183. — P. 109-147.

[108] Prinz V. Y. Novel technique for fabrication of one- and two-dimensional systems / V. Y. Prinz, V. A. Seleznev, A. K. Gutarovsky. // Surf. Sci. — 1996. - V. 361-362. - P. 886-889.

[109] Prinz V. Y. Free-standing and overgrown InGaAs/GaAs nanotubes, nanohelices and their arrays / V. Y. Prinz, V. A. Seleznev, A. K. Gutarovsky and others. // Physica E. - 2000. - V. 6. - P. 828-831.

[110] Prinz V. Y. Nanoscale engineering using controllable formation of ultra-thin cracks in heterostructures / V. Y. Prinz, V. A. Seleznev, V. A. Samoylov and others. // Microelectronics Engineering. — 1996. — V. 30. - P. 439-442.

[111] Prinz V. Y. / V. Y. Prinz, D. Griitzmacher, A. Beyer and others. // Proceedings of 9th Internetional Symposium "Nanostructures: Physics and Technology". - St. Petersburg, Russia: June 18-22, 2001. - P. 13.

[112] Rane B. E. A silicon-based nuclear spin quantum computer // Nature. -1998. - № 393. - P. 133-137.

[113] Rojas R. Nonlocal response of a small coated sphere / R. Rojas, F. Claro, R. Fuchs. // Phys. Rev. B. - 1988. - V. 37. - P. 6799-6807.

[114] Ruppin R. Optical absorption by a small sphere above a substrate with inclusion of nonlocal effects // Phys. Rev. B. - 1992. - V. 45. - P. 1120911215.

[115] Salvarezza R. C. Edward-Wilkinson Behavior of Crystal Surfaces Grown By Sedimentation of S1O2 Nanospheres / R. C. Salvarezza, L. Vazquez, H. Miguez and others. // Phys. Rev. Lett. - 1996. - V. 77. - P. 45724575.

[116] Shimada S. The approximation of the Shrodinger operators with penetrable wall potentials in terms of short range Hamiltonians //J. Math. Kyoto Univ. - 1992. - V. 32. - P. 583-592.

[117] Steane A. Quantum computing // Reports on Progress in Phys, 1997. — Vol. 61, № 2. - P. 117-173

[118] Sutherland B. Beautiful Models: 70 Years of Exactly Solved Quantum Many-Body Problems // Singapore: World Scientific, 2004.

[119] Teta A. Quadratic forms for singular perturbations of the Laplacian // Res. Inst. Math. Sci. - 1990. V. 26. - № 5. - P. 803-817.

[120] Thomas L. H. The interaction between a neutron and a proton and the structure of H3 // Phys. Rev. - 1935. - V. 47. - P. 903-909.

[121] Torio M. E. Kondo resonances and Fano antiresonances in transport through quantum dot /M. E. Torio, K. Hallberg, A. H. Ceccatto, C. R. Proetto // Phys. Rev. B. - 2002. - V. 65. № 8. - e085302.

[122] Tsui D. Two-Dimensional magnetotransport in the extreme quantum limit / D. Tsui, H. Stormer, A. Gossard // Phys. Rev. Lett. -1982. -V. 48. - P. 1559 - 1562.

[123] Vlasov Y. A. Existence of a photonic pseudogap for visible light in synthetic opals / Y. A. Vlasov, V. N. Astratov, O. Z. Karimov and others // Phys. Rev. B. - 1997. - V. 55. - P. R13357-R13360.

[124] Vorob'ev A. B. Giant asymmetry of the longitudinal magnetoresistance in high-mobility two-dimensional electron gas on a cylindrical surface / A. B. Vorob'ev, K.-J. Friedland, H. Kostial, R. Hey, U. Jahn, E. Wiebicke, Ju. S. Yukecheva, V. Ya. Prinz // Phys. Rev. B. -2007. - V. 75. - P. 205-309.

[125] Weiss D. Quantized periodic orbits in large antidot arrays / D. Weiss, K. Richter, A. Menschig and others. // Phys. Rev. Lett. - 1993. - V. 70. -P. 4118-4121.

[126] Xia J. B. Electronic structure of quantum spheres with wurtzite structure / J. B. Xia, J. Li // Phys. Rev. B. - 1999. - V. 60. - P. 1154011544.

[127] Yang C. N. Some exact results for the many body problem in one dimension with repulsive delta-function interaction // Phys. Rev. Lett. — 1967. - V. 19. - P. 1312-1315.

[128] Yannopapas V. Optical properties of metallodielectric photonic crystals / V. Yannopapas, A. Modinos, N. Stefanou. // Phys. Rev. B. — 1999. — V. 60. - P. 5359-5365.

[129] Zhou H. S. Controlled synthesis and quantum-size effect in gold-coated nanoparticles / H. S. Zhou, I. Honma, H. Komiyama and others. // Phys. Rev. B. - 1994. - V. 50. - P. 12052-12056.