Математическое моделирование континуального разрушения термоупругих хрупких материалов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Ежов, Геннадий Петрович

• Ежов, Геннадий Петрович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ежов, Геннадий Петрович

Введение.

Глава 1. Модель накопления поврежденности и разрушения термоупругих тел

1.1. Основные уравнения

1.2. Растяжение стержня.

1.3. Характеристики системы уравнений повреждающейся среды.

1.4. Реологическая неустойчивость повреждающегося материала.

1.5. Примеры реологической неустойчивости.

Глава 2. Изгиб и растяжение плиты из повреждающегося материала.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Упругое деформирование.

2.3. Изгиб и растяжение при наличии поврежденности.

2.4. Макроразрушение плиты при изгибе и растяжении.;.

Глава 3. Волны разрушения в начально-напряженном слое пористого материала

3.1. Основные соотношения теории континуального разрушения начально-пористых материалов.

3.2. Особенности поведения материала при одноосной деформации.

3.3. Характеристики и критерий прочности поврежденного материала.

3.4. Головная волна напряжений.

3.5. Макроразрушение пористого слоя.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование континуального разрушения термоупругих хрупких материалов»

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Инженерная практика разработки и эксплуатации новой техники, зданий и сооружений свидетельствует о том, что проблема сохранения прочности конструкций при интенсивных механических и тепловых нагрузках до сих пор остается актуальной задачей. Это обусловлено целым рядом причин, наиболее важными из которых являются использование новых материалов, новых комбинированных видов нагрузок, необходимость минимизации веса конструкций. Новые материалы - композиты, полимеры, среды с наноструктурой - в отличие от традиционных материалов характеризуются более сложным поведением по сравнению с линейно упругими средами, проявляют свойства вязкости, пластичности, могут испытывать структурные превращения. Взаимосвязь этих свойств с процессами разрушения остается в настоящее время в значительной степени открытым вопросом. Комбинированное воздействие на конструкционные элементы механических, тепловых и радиационных нагрузок становится характерным процессом не только для атомной промышленности, но и для ряда других отраслей. Наиболее полное использование ресурса изделий при таком нагружении представляет собой область исследований, которая требует новых подходов и методов.

Цель работы. Диссертационная работа посвящена разработке термодинамически корректной модели деформирования и разрушения термоупругих тел и применению этой модели к решению двух новых задач:

- совместный изгиб и растяжение толстой плиты из повреждающегося материала приложенными к боковым граням силами и моментами;

- распространение волн разрушения в слое из начально-напряженного высокопористого материала при действии динамической нагрузки, приложенной к границе слоя.

Методика исследования. Базисом для построения рассматриваемой модели сплошной среды служили современные методы термодинамики необратимых процессов, механики континуального (рассеянного) разрушения, механики больших неупругих деформаций, групповые и асимптотические методы теории определяющих (реологических) уравнений. Для исследования математических свойств моделей привлечены методы нелинейной теории уравнений в частных производных и методы теории устойчивости, связанные с изучением вырождения начально-краевой задачи для полученной нелинейной гиперболической системы динамических уравнений.

В основу развиваемой модели положен энергетический подход, который в свое время был предложен Гриффитсом (Griffith A.A., 1920) для описания распространения отдельной изолированной трещины. Центральный момент модели - учет локального баланса между изменением потенциальной энергии деформирования и энергозатратами на образование новых поверхностей микродефектов (микропор и микротрещин). Использование предположения об уменьшении потенциальной энергии деформирования, которая высвобождается при образовании (росте) дефекта вследствие частичной разгрузки материала в окрестности этого дефекта, и необратимой трансформации ее в поверхностную энергию рассеянных дефектов, позволила взаимно связать деформационные и прочностные характеристики среды. С точки зрения термодинамики это означает фактически, что в законе сохранения энергии при описании процессов разрушения учитываются члены, которые не относятся к тепловой или механической формам энергии.

Модель позволила исходя из «первых принципов», дополненных достаточно общими предположениями, описать ряд качественных эффектов, типичных для процессов накопления трещиноватости. К ним в первую очередь относятся:

- пороговые напряжения, при которых начинается развитие микродефектов;

- сильное отличие пороговых напряжений при сжатии, сдвиге и растяжении;

- накопление поврежденности при действии как нормальных, так и касательных напряжений;

- упругая разгрузка, приводящая к появлению остаточных деформаций;

- эффекты дилатансии (разрыхления), проявляющиеся в виде необратимой объемной деформации при деформации сдвига;

- образование «падающего» участка на диаграмме «напряжение - деформация» при развитой поврежденности, что приводит к реологической неустойчивости элемента материала. Этот вид неустойчивости проявляется в виде поверхностей локализации деформаций, обладающих в зависимости от действующих напряжений различной ориентацией относительно главных осей тензора напряжений. Совокупность точек в пространстве деформаций (напряжений), в которых происходит потеря устойчивости, представляет собой аналог предельной поверхности, критерия прочности, который следует из законов сохранения и определяющих соотношений среды.

Использование в большинстве традиционных моделей поврежденности [Ка-чанов JI.M., 1974, Работное Ю.Н., 1979, Суворова Ю.В., Ахундов М.Б., 1986, Lemai-treJ., 1992, Krajcinovic D., 1996, Кукуджанов B.H., 1999] скалярного параметра поврежденности для описания пространственной упорядоченности и преимущественной ориентации дефектов в условиях негидростатического напряженного состояния твердого тела является чрезмерным упрощающим предположением. Предложенная в работе [Кондауров В.И., 2001] тензорная энергетическая модель поврежденности преодолевает этот недостаток скалярной модели, однако предложенные уравнения являются довольно громоздкими.

В данной работе, которая является развитием работ [Кондауров В.И., 1986, 1988, 1991, 2001, Кондауров В.И., Фортов В.Е., 2002], рассматривается существенно более простая модель континуального разрушения термоупругих тел, позволяющая описать упомянутые особенности поведения и учесть влияние температуры на процесс накопления поврежденности. Предложены новые формы свободной энергии и эффективной поверхностной энергии термоупругой повреждающейся среды. Сформулировано уравнение эволюции тензора поврежденности, которое термодинамически согласовано с внутренней диссипацией энергии в процессах рассеянного разрушения. Рассматривается критерий реологической устойчивости, который определяет условия превращения слабого разрыва решения в сильный разрыв. Выявлены некоторые эффекты, связанные с образованием «зуба текучести» при небольших скоростях деформации материала. Показано существенное влияние скорости нагружения на прочностные свойства материала.

На основе развитой модели решены две новые нелинейные задачи, в которых рассмотрены процессы деформирования, накопления поврежденности и макроскопического разрушения материала при действии квазистатических и динамических нагрузок. Изучено совместное растяжение и изгиб толстой плиты из повреждающегося материала, которая представляет собой обобщение известной в линейной теории упругости задачи Сен - Венана, и динамическое деформирование и разрушение начально-напряженного высокопористого слоя под действием динамической нагрузки, приложенной к одной из границ.

Основные результаты и их научная новизна. В результате проведенных исследований получены следующие результаты:

- принципиально новая термодинамическая модель накопления поврежденности термоупругих твердых тел с тензорной и скалярной характеристикой структуры материала;

- условие реологической неустойчивости термоупругой среды, при которых процесс накопления поврежденности переходит в макроскопическое разрушение материала;

- решение новой нелинейной задачи о совместном изгибе и растяжении толстой плиты из повреждающегося материала;

- исследование волн разрушения в начально-напряженном высокопористом слое, вызванных ударной нагрузкой, приложенной к границе слоя;

- новый эффект существования «кинетического интервала» для напряжений, внутри которого поведение волн напряжений является аномальным. Существование этого интервала обусловлено совместным действием кинетики поврежденности и начальных напряжений.

Практическая ценность работы. Предложенная в работе новая термодинамическая модель континуального разрушения может быть использована для создания методик и нормативных материалов, программного продукта и численного анализа технологических процессов динамического и статического деформирования и разрушения элементов конструкций и сооружений.

Совместный изгиб и растяжение толстой плиты является типичным для элементов конструкций и образцов, испытываемых в разрывных машинах для определения свойств материала при сложном напряженно-деформированном состоянии. Поэтому решение этой новой нелинейной задачи позволит расширить арсенал экспериментатора и проектировщика при анализе нелинейного поведения элементов конструкций и образцов материала.

Решение задачи о распространении волн напряжений в слое из начально-напряженного высокопористого материала представляет собой попытку нестандартного анализа разрушения высотных зданий и сооружений при динамическом воздействии на них. Поскольку большие здания и сооружения играют важную роль в социальной и экономической жизни современного общества, то оценка уязвимости таких сооружений, повышение их стойкости при динамических воздействиях и способы минимизации материальных и людских потерь являются сегодня одной из практически важных проблем.

Достоверность. Выводы, полученные в диссертации, можно считать достаточно обоснованными вследствие использования строгих математических методов решения задач и учета экспериментальных данных, касающихся особенностей процессов деформирования и разрушения материалов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на XLIII - XLVI - научных конференциях МФТИ, 2001-2002, на конференции "Современные проблемы механики и прикладной математики", г. Воронеж, 2002, на семинаре Института, проблем механики РАН под руководством В.Н. Кукуджанова и А.Г. Куликовского, 2003, на XXXIII Летней школе - конференции "Advanced Problems in Mechanics", г. С. Петербург, 2004, на 5-ом Международном конгрессе по термическим напряжениям «THERMAL STRESSES 2003», Virginia Polytechnic Institute and State University, Blacksburg, USA.

Публикации. По результатам работы имеется 6 публикаций.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 96 наименований. Работа содержит 92 страницы текста и 17 рисунков. Общий объем 92 страницы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Ежов, Геннадий Петрович

Заключение

В результате выполнения диссертационной работы получены следующие основные результаты:

1. Предложена новая математическая модель континуального разрушения, учитывающая изменение температуры и начальную пористость хрупкого термоупругого материала. В основу этой теории положен энергетический подход, аналогичный подходу Гриффитса в механике изолированной трещины. Центральным моментом описания является учет локального баланса между изменением потенциальной энергии деформирования и энергией, которая затрачивается на образование новых поверхностей микропор и микротрещин.

2. Исследованы гиперболические свойства системы уравнений для трехмерного напряженно - деформированного состояния повреждающегося материала. Найдены скорости распространения нестационарных характеристик. Сформулировано уравнение для экстремальной нормали. Доказана теорема о формах проявления реологической неустойчивости.

3. Условия возникновения неустойчивости проиллюстрированы на примере сдвиговой и одноосной деформаций. Выявлен эффект образования «зуба текучести» при небольших скоростях деформации материала.

4. Полуобратным методом решена новая нелинейная задача о совместном изгибе и растяжении толстой плиты из повреждающегося материала. Показано существенное влияние скорости нагружения и кинетики поврежденности на прочность тела.

5. Исследовано распространение волн напряжений, вызванных импульсной сжимающей нагрузкой, приложенной к границе пористого слоя. Выявлен новый эффект существования «кинетического интервала» для напряжений, внутри которого аномально поведение волн напряжений. Существование этого интервала обусловлено совместным действием кинетики поврежденности и начальных напряжений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ежов, Геннадий Петрович, 2006 год

1. Астафьев В.А., Радаев Ю.Н., Степанова Л.В. Нелинейная механика разрушения. Самара: Изд-во «Самарский университет». 2001. 632 с.

2. Бахвалов Н.С. Осредненные характеристики тел с периодической структурой // ДАН СССР. 1973. Т. 218, № 4. С. 1046-1048.

3. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983. 448с.

4. Быковцев Г.И., Вервейко И Д. О распространении волн в упруговязкопластиче-ской среде // Изв. АН СССР. МТТ. 1966. № 4. С. 111-123.

5. Вакуленко A.A., Качалов М.Л. Континуальная теория среды с трещинами // Изв. АН СССР. МТТ. 1971. №4. С. 159 -166.

6. Гшман Дж. Д. Микродинамическая теория пластичности // Микропластичность. М: Металлургия, 1972. С. 18-37.

7. Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. М.: Наука, 1978. 304 с.

8. Григорян С.С. Некоторые вопросы математической теории деформирования и разрушения твердых горных пород // Прикладная Математика и Механика. 1967. Т. 31, Вып.4. С. 643 669.

9. Ю.Ежов Г.П., Кондауров В.И. Изгиб и растяжение плиты из пов-реждающегося материала // Электронный журнал «Исследовано в России». 2005. 069. С. 753761. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2005/069.pdf

10. Ежов Г.П., Кондауров В.И. О волнах разрушения в начально-напряженном слое пористого материала // Прикладная Математика и Механика. 2006. Т. 70, вып. 3. С.515-530

11. Ежов Г.П., Кондауров В.И. Практический опыт исследования условий разрушения термоупругих сред // Вестник военного регистра Российской академии ракетных и артиллерийских наук. 2002. - №4. - С. 36-39.

12. Ежов Г.П., Кондауров В.И. Моделирование накопления поврежденности и разрушения твердых тел при интенсивных термомеханических нагрузках // Военный университет войсковой ПВО. Сб. ст./ МО РФ. М., 2002. - С. 16-18.

13. Ежов Г.П., Кондауров В.И. Изгиб и растяжение плиты из повреждающегося материала // Третий ЦНИИ МО РФ. Научно-методические материалы, труды семинаров и НТК. Кн.2, часть 2. 2003. -С. 67-79.

14. Жермен П. Курс механики сплошных сред. М.: Высшая школа, 1983. 399 с.

15. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1978. 287с.

16. Ильюшин A.A. Об одной теории длительной прочности // Изв. АН СССР. МТТ. 1967. №3. С. 21 -35.

17. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупруго-сти. М.: Наука, 1970. 280 с.

18. Капель Г.И, Разоренов C.B., Уткин А.В., Фортов В.Е. Ударно-волновые явления в конденсированных средах. М.: «Янус-К», 1996. 408 с.

19. Качалов Л.М. О времени разрушения в условиях ползучести // Изв. АН СССР. ОТН. 1958. С. 26-31.21 .Качанов Л.М. Основы механики разрушения. М.: Наука, 1974. 311 с.

20. Кондауров В.И. Энергетический подход к задаче континуального разрушения твердого тела // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1986. № 6. С. 17-22.

21. Кондауров В.И. Континуальное разрушение нелинейно-упругих тел // Прикладная Математика и Механика. 1988. Т.52, вып.2. С. 302-310.

22. Кондауров В.И. О реологической неустойчивости упругой повреждающейся среды // Прикладная Математика и Механика. 1991. Т. 55, вып.1. С. 109-117.

23. Кондауров В.И. Об особенностях волн разрушения в высокооднородных хрупких материалах // Прикладная Математика и Механика. 1998. Т. 62, вып.4. С. 722 729.

24. Кондауров В.И. Тензорная модель континуального разрушения и длительной прочности упругих тел // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2001, №5. с. 134 -151

25. Кондауров В.И., Кутлярова Н.В. Повреждаемость и реологическая неустойчивость начально-пористых материалов // Изв. АН СССР. МТТ. 2000. № 4. С. 99109.

26. Кондауров В.И., Кутлярова Н.В., Фортов В.Е. Повреждаемость и разрушение хрупких начально-пористых материалов // ДАН. 1997. Т. 355, № 3. С. 342-345.

27. Кондауров В.И, Никитин Л.В. Теоретические основы реологии геоматериалов. М.: Наука, 1990. 207с.

28. Кондауров В.И., Фортов В.Е. Основы термомеханики конденсированных сред. М.: Изд-во МФТИ, 2002. 336с.31 .Коттрел А.Х. Дислокации и пластическое течение в кристаллах. М.: Метал-лургиздат, 1958. 267с.

29. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М.: Мир. 1982. 335с.

30. ЪЪ.Кукуджанов В.Н. Микромеханическая модель разрушения упруго-вязкопластического материала и ее применение к исследованию локализаций деформаций. // Изв. РАН. МТТ. 1999. №5. С.72-87.

31. ЪА.Кукуджанов В.Н. Распространение упругопластических волн в стержне с учетом влияния скорости деформации. М.: Изд-во ВЦ АН СССР. 1967. 48с.

32. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 830с.

33. Лихачев В.А., Кузьмин СЛ., Каменцева З.П. Эффект памяти формы. JL: Изд-во Ленинградского ун-та. 1987. 216с.

34. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 940с.

35. Нигматулин Р.И. Механика гетерогенных сред. М.: Наука, 1978. 336с.

36. Никитин Л.В., Юнга С.Л. Методы теоретического определения тектонических деформаций и напряжений в сейсмоактивных районах // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1977. № 11. С. 54-67.

37. Никифоровский B.C., Шемякин Е.И. Динамическое разрушение твердых тел. Новосибирск: Наука, 1979. 271 с.

38. Николаевский В.Н. Механика пористых и трещиноватых сред. М.: Недра. 1984. 232с.

39. Николаевский В.Н. Предельная скорость фронта разрушения и динамические перегрузки хрупких материалов. Препринт №123. ИПМех АН СССР. М. 1979. 57с.

40. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир. 1975. 872с.

41. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981. 368 с.

42. Панин В.Е., Лихачев В.А., Гриняев Ю.В. Структурные уровни деформации твердых тел. Новосибирск: Наука, 1985. 229 с.

43. Работное Ю.Н. Механизм длительного разрушения // Сб. «Вопросы прочности материалов и конструкций». М.: Изд-во АН СССР. 1959. С. 5-7.

44. Al.Работное Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 744 с.

45. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1978. 688 с.

46. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука, 1970. 492 с.

47. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 2. М: Наука, 1970. 568 с.

48. Слепян Л.И. О моделях в теории волн хрупкого разрушения //Изв. АН СССР. МТТ. 1977. №1. С. 181-186.

49. Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Изд-во Высшая школа. 1969. 608с.

50. Суворова Ю.В., Ахундов М.Б. Длительное разрушение изотропной среды в условиях сложного напряженного состояния // Машиноведение. 1986. №4. С. 40-46.

51. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах. М: Мир, 1964. 308 с.

52. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975. 592 с.

53. Феодосьев В.Н. Сопротивление материалов. М.: Наука. 1967. 552 с.

54. Черепанов ГЛ. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука. 1974. 640 с.

55. Шестериков С.А., Локощенко A.M. Ползучесть и длительная прочность металлов. В кн.: Итоги науки и техники. Механика деформируемого твнрдого тела. Т. 13. М.: ВИНИТИ. 1980. С. 3-104.

56. Camacho G.T., Ortiz M. Computational modeling of impact damage in brittle materials // Int. J. Solids and Structures //1996. V. 33, pp. 2899-2938.

57. Coussy O. Poromechanics. Wiley. New York. 2004. 298p.

58. Denoual C, Hild F. Dynamic fragmentation of brittle solids: a multi-scale model // Eur. J. Mech. A/Solids. 2002. V.21. P. 105-120.

59. Espinosa H.D., Xu Y., BrarN.S. Micromechanics of Failure Waves in Glass: II, Modeling // J. Am. Ceram. Soc. 1997. V.80. № 8. P. 2074-2085.

60. Forquin P., Denoual C., Cottenot C.E., Rota L., Hild F. Experimental approach and modeling of the compressive behavior of two SiC grades // J. Physique IV. 2000. V.10. No 9. P. 735-740.

61. Freund L.B. Dynamic Fracture Mechanics. Cambridge: Cambridge University Press. 1998. 563p.

62. Glenn L.A., Chudnovsky A. Strain-energy effects on dynamic fragmentation II Journal of Applied Physics 1986. V.59. P. 1379-1380.

63. Grady D.E. Local inertial effects in dynamic fragmentation // J. Appl. Phys. 1982. V. 53. P. 322-325.

64. Grady D.E., Kipp M.E. Geometric statistics and dynamic fragmentation // J. Appl. Phys. 1985. V. 58. No 3. P. 1210-1222.

65. Griffith A.A. The phenomena of rupture and flow in solids // Phil. Trans. Roy. Soc. London. Ser. A. 1920. V. 221. P. 163-198.

66. Hay hurst D.R., Dimmer P.R., Morrison C.J. Development of continuum damage in creep rapture of the notched bars // Phil. Trans. Roy. Soc., London. 1984. A311. P. 131-158.lA.KrajcinovicD. Damage mechanics. Amsterdam: Elsevier Science. 1996. 762 pp.

67. Kurkjian C.R., editor. Strength of inorganic glass. New York: Plenum Press; 1985. p. 6-11.

68. Kutter H.K., Fairhurst C. On the fracture process in blasting // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. 1971. V. 8. P. 181-202.ll.LemaitreJ. A course on Damage Mechanics. Springer Verlag, 1992. 280 p.

69. Liu L., Katsabanis P.D. Development of a Continuum Damage Model for Blasting Analysis // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. 1997. V.34. pp. 217-231.

70. Mencik J. Strength and fracture of glass and ceramics. Amsterdam: Elsevier, Glass Science and Technology. 1992.

71. Miller O., FreundL.B., NeedlemanA. Modeling and simulation of dynamic fragmentation in brittle materials // Int. J. Fracture. 1999. V.96. P. 101-125. 81 .Murakami S. Mechanical modeling of material damage // J. Appl. Mech. 1988. V.55. No.2. P. 280-286.

72. Needleman A. A continuum model for void nucleation by inclusion debonding // J. Appl. Mech. 1987. V.54. P. 525-531.

73. Radayev Y.N. Thermodynamical model of anisotropic damage growth. Part II. Canonical damage growth rate equations and theory of damage invariants // J. Non-Equilib. Thermodyn. 1996. V.21. No.3. P. 197-222.

74. Rudnicki J.W., Rice J.R. Conditions for localization of deformation in pressure-sensitive dilatant materials // J. Mech. Phys. Sol. 1975. V. 23. P. 371 394.

75. Shockey D.A., Curran D.R., Seaman L., Rosenberg J. T., Petersen C.F. Fragmentation of rocks under dynamic loads // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. 1974. V. 11. P. 303-317.

76. SupartonoF., Sidoroff F. Anisotropic damage modeling for brittle elastic material // Arch. Mech. 1985. V. 37. No 4/5.

77. Tay W.N. Plastic damage and ductile fracture in mild steels // Eng. Fracture Mech. 1990. V.37. P. 853-862.

78. Taylor L.M., Chen E.P., Kuszmaul J.S. Micro-crack induced damage accumulation in brittle rock under dynamic loading // Computer Meth. in Appl. Mech. and Engn. 1986. V.55. P.301-320.

79. XuX.-P., Needleman A. Numerical simulations of fast crack growth in brittle solids // J. Mech. Phys. Solids. 1994. V. 42. P. 1397-1434.

80. Yang R., Bawden W. F., Katsabanis P. D. A New Constitutive Model for Blast Damage // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. Geomech. Abstr. 1996. V.33. P. 245-254.

81. Yew C.H., Taylor P.A. A thermodynamic theory of dynamic fragmentation // Int. J. Impact Eng. 1994. V. 15. P. 385-394.

82. Zhang Y.-Q. Hao H. Dynamic Fracture in Brittle Solids at High Rates of Loading // J. Appl. Mech. 2003. V.70 P. 454-457.

83. Zongzhe J., Junarong M., XiaoruiL. Dynamic fracture and Strength of Glass. In: Proceedings XlVth Int. Congr. on Glass. 1986. P. 78-83.