Псевдоспектральное обращение полных волновых полей в акустических средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.10, кандидат наук Казей Владимир Владимирович

• Казей Владимир Владимирович
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Казей Владимир Владимирович

Введение

1 Теоретические основы методов обращения полного волнового поля

1.1 Обратная динамическая задача сейсмики

1.1.1 Явные динамические методы

1.1.2 Динамические методы решения линеаризованной обратной задачи

1.1.3 Связь линеаризованного обращения с методами сейсмической миграции

1.2 Метод обращения полных волновых полей

1.2.1 Вычисление градиента функционала невязки

1.2.2 Определение направления поиска

1.3 Потенциальные возможности метода и практические затруднения

1.3.1 Проблема определения трендовой составляющей

1.3.2 Модификации метода обращения полных волновых полей

2 Теория метода спектральных чувствительностей

2.1 Введение

2.2 Построение аналитических решений

2.2.1 О временах пробега рефрагированных волн и волн шепчущей галереи

2.3 Спектральные чувствительности

2.4 О связи спектров рассеивающей неоднородности и рассеянных волновых полей

3 Метод спектральных чувствительностей, применение

3.1 Спектральные чувствительности для среды из двух полупространств

3.1.1 Коэффициенты отражения

3.1.2 Аналитическое разделение волновых полей

3.2 Выводы

3.3 Спектральные чувствительности для среды в виде слоя над полупространством и роль кратных волн и волн-спутников

3.3.1 О решении прямой задачи

3.3.2 Осредненные или интегральные чувствительности

3.3.3 Выводы

3.4 Спектральные чувствительности для среды с постоянным градиентом скорости и роль рефрагированных волн в восстановлении скоростных неоднородностей

3.4.1 Квази-плоские волны

3.4.2 Среда с постоянным вертикальным градиентом скорости

3.4.3 Асимптотика функции Макдональда Kv

3.4.4 О решении обратной задачи

3.4.5 Спектральные чувствительности

3.4.6 Выводы

4 Псевдоспектральное обращение полных волновых полей

4.1 Псевдоспектральное моделирование

4.2 Псевдоспектральное обращение полных волновых полей в отсутствии низких временных частот в наблюденных данных

4.2.1 Теория

4.2.2 Пример работы алгоритма на синтетической модели Мармузи

4.2.3 Фильтр масштабирующий частоту

4.3 Псевдоспектральное обращение полных волновых полей в присутствии шума в наблюденных данных

4.4 Выводы

Заключение

Благодарности

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Псевдоспектральное обращение полных волновых полей в акустических средах»

Введение

Актуальность и научная значимость исследований. Сейсмическая разведка является одним из наиболее достоверных источников информации о недрах Земли при поисках полезных ископаемых и мониторинге их месторождений. Современные высокоточные технологии бурения скважин позволяют увеличить добычу углеводородов, однако для этого также требуются более точные представления о геологическом строении месторождений. Эти представления можно получить из данных о распределении физических параметров недр (в первую очередь распределения скорости продольных волн), содержащихся в сейсмограммах, решая обратную задачу сейсмики. Классические методы сейсмической томографии предполагают лучевое описание распространения волновых фронтов в среде, что является кинематической обратной задачей сейсмики. Динамическая обратная задача сейсмики предполагает работу не только с годографами зарегистрированных волн, но и с волновыми полями. Ближе всего к кинематическим методам по сложности вычислений является обратная динамическая задача для волнового уравнения, описывающего распространение волн в акустической среде постоянной плотности. В рамках такой физической модели и предполагается проводить инверсию в настоящей работе.

Использование обращения полных волновых полей при обработке данных сейсмической разведки позволяет получить распределение физических параметров среды в более высоком, в сравнении с лучевыми методами, разрешении. Обращение полных волновых полей также не требует пикирования первых вступлений на сейсмограммах. Основными недостатками метода, препятствующими его внедрению на практике, являются необходимость наличия низких частот в наблюденных данных и относительно высокие требования к вычислительным ресурсам. Моделирование полных волновых полей во временной или частотной области - наиболее ресурсоемкий процесс

при применении данного метода. Как правило, для моделирования сейсмических полей используются конечно-разностные методы. В работе предлагается реализация метода обращения полных волновых полей с использованием псевдоспектрального моделирования, что позволяет существенно сократить количество необходимых для описания сейсмической среды параметров за счет использования более разреженных пространственных сеток. Разрешение сетки в данном случае оказывается в полном соответствии с разрешающей способностью метода обращения полных волновых полей. Для преодоления известной проблемы обращения полных волновых полей, состоящей в отсутствии низких частот в наблюдениях, в работе предложен способ регуляризации, включающий новый метод нестационарной фильтрации мигрированных изображений, используемых в ходе решения обратной задачи сейсмики. Тестирование метода на акустической модели Мармузи показало, что в идеальных условиях наличия низких частот в наблюденных данных псевдоспектральное обращение полных волновых полей по классической многомасштабной схеме (сначала обращаются низкие частоты, затем высокие) позволяет полностью восстановить строение данной модели. В отсутствии низких частот классический метод обращения полного волнового поля не дает удовлетворительных результатов решения обратной задачи сейсмики, однако применение предложенного в работе алгоритма регуляризации позволяет ослабить требования к наличию в данных низких частот при условии регистрации данных для больших выносов.

Целью данной работы является усовершенствование (исследование возможностей и последующая модернизация) метода обращения полных сейсмических волновых полей.

Для достижения поставленной цели было необходимо решить следующие задачи:

1. Исследовать потенциальные возможности метода обращения полного волнового поля, что в рамках настоящей работы предполагает:

• Исследование зависимости разрешающей способности и скорости сходимости метода от особенностей трендовой (макро) составляющей опорной скоростной модели.

• Определение вкладов различных типов сейсмических волн в волновое поле, рассеянное на различных скоростных аномалиях, помещаемых в опорные модели.

• Исследование зависимости пространственного спектра рассеянного поля от пространственного спектра рассеивающей скоростной аномалии.

• Определение чувствительностей различных типов акустических волн (прямых, отраженных, рефрагированных, кратных волн и волн шепчущей галереи) к изменениям в пространственном спектре исследуемой скоростной аномалии.

2. Улучшить устойчивость и скорость сходимости метода обращения полного волнового поля, а именно:

• Улучшить сходимость метода в отсутствии наблюдений для низких временных частот

• Предложить способ улучшения изображения в областях неравномерной и недостаточной освещенности

• Сократить число параметров, используемых для описания сейсмической среды при моделировании, с сохранением точности решения прямых и обратных задач сейсмики

• Реализовать предложенные алгоритмы в виде программного комплекса, работающего по улучшенному алгоритму метода обращения полных волновых полей.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Полный объем диссертации составляет 118 страниц с 50 рисунками. Список литературы содержит 168 наименований.

В первой главе содержатся описания известных методов решения обратной динамической задачи сейсмики. Особое внимание уделено методу обращения полных волновых полей, краткой истории его развития и его современным модификациям.

В параграфе 1.1 рассмотрены явные динамические методы решения обратной задачи сейсмики, как наиболее ранние результаты решения обратной задачи для простейших опорных моделей сред. Также рассмотрены динамические методы решения линеаризованной обратной задачи, как более современные методы линеаризованного обращения волновых полей. Вводится понятие сейсмической миграции. Отдельно рассмотрена связь линеаризованного обращения с алгоритмами сейсмической миграции.

В параграфе 1.2 описываются основные элементы метода обращения полных волновых полей как метода локальной оптимизации. Вычисляется градиент классического функционала невязки смоделированного и наблюденного волновых полей, с помощью миграции в обратном времени. Описаны способы определения поправок к скоростным моделям на основе вычисленных значений функционала невязки и градиента (метод наискорейшего спуска, метод сопряженных градиентов, метода Ньютона с сокращенной памятью (Ь-ББвВ)).

На основе изученной литературы по методу обращения полных волновых полей можно заключить, что наиболее значимыми проблемами, возникающими при попытках внедрения данного метода являются:

• отсутствие наглядной и простой физической интерпретации работы метода, что приводит к сложностям при определении необходимых для успешной работы метода полевых наблюдений, а также методов предварительной обработки данных;

• сложность построения оценки разрешающей способности метода в зависимости от качества наблюденных данных и априорной информации в виде опорной скоростной модели;

• проблемы неоднозначности решения обратной задачи, вызванные локальными минимумами классического целевого функционала и неточностью вычисления градиента, препятствующие устойчивой сходимости метода в отсутствии зарегистрированных низкочастотных данных;

• высокие требования к вычислительным мощностям, необходимым для моделирования полных волновых полей

Во второй, третьей и четвертой главах настоящей работы эти вопросы исследованы более подробно с помощью разработанного автором метода спектральных чувстви-тельностей, предложен усовершенствованный алгоритм псевдоспектрального обращения полных волновых полей.

Во второй главе предлагается метод спектральных чувствительностей (МСЧ), который является обобщением техники сфер Эвальда.

В параграфе 2.1 описывается метод сфер Эвальда (сферы отражения, окружности Эвальда), позволяющий связывать волновые векторы плоских падающих и рассеянных

волн с волновыми числами (периодичностью или структурой обратной решетки) в кристаллических решетках. Данный метод был впервые предложен Эвальдом (Peter Paul Ewald [44]) для анализа рассеяния монохроматических волн на кристаллических решетках. Он был использован Anthony Devaney [42] в геофизике для анализа возможностей дифракционной томографии разрешать спектры скоростных аномалий.

В параграфе 2.2 для полноты изложения приводится и анализируется поле точечного источника для среды из двух акустических полупространств. Показывается, как при наличии градиента в нижнем полупространстве поля головных волн, рефрагированных волн и волн шепчущей галереи накладываются друг на друга, что делает невозможным их разделение временными окнами. Выражения для функций Грина затем используются для демонстрации метода спектральных чувствительностей.

В параграфе 2.3 вводится определение спектральной чувствительности и предлагается метод вычисления спектральных чувствительно стей (МСЧ) [66]. Также дается обзор истории применения техники сфер Эвальда в геофизике [42; 122; 124], позволяющей наглядно связать пространственный спектр рассеивателя со спектром рассеянного поля (преобразование Фурье по координатам источника и приемника). В отличии от метода сфер Эвальда, определяющего лишь связь между волновыми числами в пространственном спектре рассеянного монохроматического поля и волновыми числами рассеивающей пространственной неоднородности, метод спектральных чувствительно стей позволяет связать также и амплитуды спектров.

В параграфе 2.4 приводятся технические детали теории метода спектральных чувствительностей. Здесь более подробно разбираются используемые приближения и приводятся полные математические выражения, которые были упрощены в параграфе 2.3. Это сделано для того, чтобы читатели более заинтересованные в примерах применения метода спектральных чувствительностей могли сразу перейти к главе 3, а не разбираться в дополнительных обозначениях, которые далее в тексте не используются.

В третьей главе метод спектральных чувствительностей применяется для анализа двумерной обратной динамической задачи для различных опорных сред.

В параграфе 3.1 рассматривается опорная модель в виде однородного полупространства, расположенного на полупространстве с постоянным вертикальным градиентом скорости. Определяются области спектра неоднородности, преимущественно

восстанавливаемые прямыми, отраженными, рефрагированными, головными волнами и волнами шепчущей галереи. Сначала разработанная теория применяется к исследованию неоднородности в модели из двух однородных акустических полупространств. Исследуемая неоднородность находится в верхнем полупространстве между линией источников и приемников и границей между полупространствами. Рассмотрены случаи более высокой и более низкой скорости в нижнем полупространстве. Найдены вклады прямых, отраженных и головных волн в восстановление скоростных аномалий в верхнем полупространстве. В случае более низкой скорости в нижнем полупространстве неоднородность освещается только прямыми и отраженными волнами и хорошо восстанавливается при достаточном контрасте скоростей. В случае более высокой скорости в возникают головные волны и закритические отражения, которые часто отбрасываются во время инверсии. Как показывает анализ спектральных чувствитель-ностей эти типы волн важны при восстановлении плавно меняющейся составляющей скоростных аномалий, погруженных в верхнее полупространство, их необходимо учитывать при инверсии. Для достоверного определения скорости и затухания (комплексной скорости) необходимо более полное освещение скоростной аномалии. Поскольку пространственный спектр восстанавливаемой комплексной скорости не обладает центральной симметрией, необходимо дополнительное освещение исследуемых аномалий волнами распространяющимися вверх в их окрестности.

В параграфе 3.3 с помощью МСЧ исследуется возможность восстановления неоднородностей, погруженных в однородный акустический слой над однородным полупространством, описываются роли кратных волн и волн-спутников в решении обратной динамической задачи сейсмики. Приводится дискретный набор волновых чисел, восстанавливаемый рассеянным полем нормальных мод.

В параграфе 3.4 исследуются возможности метода обращения полных волновых полей для восстановления неоднородностей погруженных в среду с постоянным вертикальным градиентом скорости с помощью асимптотического анализа решений волнового уравнения в данной опорной среде.

Как показано в первой главе, метод обращения полных волновых полей в классическом варианте состоит в построении последовательности приближенных решений (скоростных моделей), линеаризованных обратных динамических задач сейсмики. Для

поиска каждой следующей скоростной модели, предыдущая используется в качестве опорной. Предполагается, что последовательность в итоге приводит к приближенному решению нелинейной обратной задачи. Введенный во второй главе метод спектральных чувствительностей позволил подробно изучить возможности линеаризованной инверсии в приближении Борна, которая является важнейшей составляющей метода обращения полных волновых полей. Также с помощью МСЧ можно выработать рекомендации к необходимым условиям (состав зондирующего сигнала, расстановка источников и приемников) наблюдений и стратегии инверсии в зависимости от априорной скоростной модели.

Показано что:

• для успешной работы метода для достоверного определения скорости необходима регистрация волн распространяющихся в горизонтальном направлении на глубине залегания исследуемых скоростных аномалий (как правило, это могут быть рефрагированные (diving) волны);

• наличие низких частот не является принципиальным условием для успешной работы метода при наличии в данных достаточно больших выносов между источниками и приемниками;

• в присутствии кратных волн при реализации метода обращения полных волновых полей (МОП) в области временных частот необходимо использовать для решения обратной динамической задачи данные для плотного набора временных частот. Данное обстоятельство является важным аргументом в пользу выбора метода обращения полных волновых полей во временной области при использовании поверхностных наблюдений.

Помимо этого отмечены некоторые важные свойства решений задачи распространения звуковых волн в среде с постоянным градиентом скорости.

В четвертой главе обсуждается псевдоспектральное моделирование волновых полей и реализация метода обращения полных волновых полей с применением предложенного автором метода регуляризации. Моделирование полных волновых полей во временной или частотной области - наиболее ресурсоемкий процесс при применении метода обращения полных волновых полей. В основном для моделирования сейсмических

полей используются конечно-разностные методы. Конечно-разностное моделирование во временной области, требует значительных вычислительных ресурсов, а моделирование в частотной области требует хранения больших объемов информации при инверсии, а также вызывает дополнительные затруднения в случае наличия кратных волн в сейсмограммах, как показано в параграфе 3.3.

В параграфе 4.1 предлагается использовать псевдоспектральное моделирование для реализации метода обращения полных волновых полей. Применение псевдоспектрального моделирования значительно сокращает количество необходимых для описания сейсмической среды параметров путем использования более разреженных пространственных сеток для хранения параметров модели и полей давления при моделировании. Максимальное допустимое псевдоспектральным моделированием разрежение сетки (при большем разрежении возникает численная дисперсия) это две точки сетки на минимальную длину волны зондирующего сигнала. Данная дискретизация оказывается в полном соответствии с максимальной разрешающей способностью метода обращения полных волновых полей в низкоскоростной части разреза [114]. Псевдоспектральный подход к моделированию представляется наиболее эффективным при реализации метода обращения полных волновых полей (особенно при реализации алгоритма в виде программного кода на графических процессорах), позволяя сократить объемы используемой компьютерной памяти при моделировании.

В параграфе 4.2 представлены результаты тестирования нового метода регуляризации на относительно простых слоистых моделях, а также на модели Мармузи ([20], Рис. 43), созданной специально для тестирования алгоритмов сейсмической миграции в университете нефти в Париже. Применение псевдоспектрального обращения полных волновых полей для восстановления параметров акустической модели Мармузи показало, что в идеальных условиях наличия низких частот в наблюденных данных, псевдоспектральное обращение полных волновых полей позволяет полностью восстановить строение данной модели. В отсутствии низких частот метод обращения полного волнового поля не дает удовлетворительных результатов решения обратной задачи сейсмики, однако применение предложенного алгоритма позволяет снизить требования к необходимому спектральному составу зарегистрированных сейсмических трасс.

Для преодоления известной проблемы обращения полных волновых полей в отсутствии низких частот автором предложен способ регуляризации. Регуляризация выполняется методом нестационарной Гауссовой фильтрации мигрированных изображений, используемых в ходе решения обратной задачи сейсмики по методу обращения полных волновых полей. Длина фильтра пропорциональна локальной длине волны в опорной модели для частоты более низкой по сравнению с центральной частотой зондирующего сигнала. Данный фильтр эффективно "масштабирует"центральную частоту зондирующего сигнала к более низкой, что дает возможность получить поправки к модели подобные тем, что были бы в случае использования данных на более низких частотах.

Научная новизна:

1. Предложен метод спектральных чувствительностей.

2. Предложен алгоритм псевдоспектрального обращения полных волновых полей.

3. Предложен алгоритм нестационарной фильтрации "масштабирующий частоту".

Научная и практическая значимость. Предложено обобщение метода сфер Эвальда в применении к задачам сейсморазведки. Продемонстрировано, что метод спектральных чувствительностей позволяет проводить подробный анализ освещенности исследуемых неоднородностей. С помощью МСЧ можно оценивать восстановление неоднородностей в условиях неравномерной освещенности. Исследована роль различных основных типов акустических волн в решении обратной задачи сейсмики по методу обращения полных волновых полей. Для решения проблемы отсутствия низких частот в наблюдениях был предложен оригинальный метод регуляризации. Разработан комплекс алгоритмов и программ, позволяющий проводить псевдоспектральное обращение полных волновых полей в приближении акустических моделей постоянной плотности.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Предложенный в работе метод спектральных чувствительно стей позволяет исследовать вклады различных типов акустических волн в решение обратной динамической задачи с применением метода обращения полных волновых полей.

2. Псевдоспектральное моделирование улучшает эффективность метода обращения полных волновых полей при восстановлении гладких моделей за счет использования меньшего количества параметров для описания среды по сравнению с конечно-разностным моделированием.

3. Предложенный в работе алгоритм регуляризации метода обращения полных волновых полей с использованием нестационарной фильтрации, позволяет сместить диапазон наблюденных данных, необходимых для успешного применения метода обращения полных волновых полей, в область более высоких временных частот.

Апробация работы и степень достоверности результатов. Результаты работы обсуждались и докладывались на научных семинарах: кафедры физики Земли физического факультете СПбГУ, компании Шелл (Shell GSI&BV, Netherlands), Колорадского университета горного дела (Colorado School of Mines), Университета им. короля Абдуллы (KAUST), института физики Земли им. О.Ю. Шмидта Российской Академии Наук. Основные результаты исследований докладывались на следующих конференциях:

• Научно-практическая конференция "Сейсмические Технологии - 2015 Апрель 2015, Москва, Россия [143]

• 74th EAGE Conference & Exhibition 2012, June 2012, Copenhagen, Denmark [65],

• 75th EAGE Conference & Exhibition 2013, June 2013, London, UK [64],

• 77th EAGE Conference & Exhibition 2015, June 2015, Madrid, Spain [67],

• SEG 82nd Annual Meeting, October 2015, New Orleans, USA [69].

• SEG workshop on full waveform inversion: From near surface to deep, 2013, Muscat, Oman, [68]

• International workshop on Multi-scale Waveform Modeling and Inversion, March, 2015, KAUST, Saudi-Arabia, [70]

Личный вклад.

Автором самостоятельно были разработаны:

• метод спектральных чувствительностей для исследования возможностей метода обращения полных волновых полей в зависимости от полученной из априорной информации опорной модели и типов акустических волн зарегистрированных на сейсмограммах

• программный код в среде МЛТЬЛБ, реализующий метод спектральных чувствитель-ностей для ряда опорных скоростных моделей и типов волн

• программный код на языке С для псевдоспектрального обращения полных волновых полей с использованием, предложенной автором, методики регуляризации фильтром "масштабирующим" частоту

Все изложенные в диссертации результаты получены автором самостоятельно или на равных правах с соавторами.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 10 печатных изданиях [64—67; 69; 129; 142; 143], 3 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [66; 129; 142], 7 — в тезисах докладов [64; 65; 67—70; 143].

Глава 1

Теоретические основы методов обращения полного волнового поля

Основной проблемой сейсморазведки является решение обратной задачи, т. е. определение внутреннего строения Земли на основе принятых геофонами или гидрофонами сейсмических волновых полей, создаваемых искуственными источниками колебаний. Регистрация этих полей осуществляется на дневной поверхности, в приповерхностном слое или в скважинах. Первые методы обращения наблюдаемых сейсмических волновых полей относятся к началу ХХ в. В то время технические характеристики сейсмоприемников ограничивали возможность изучения динамических свойств сейсмических волновых полей, связанных с формой волнового пакета, частотой и энергией. В связи с этим первые практические методы решения обратной задачи сейсмики использовали лишь кинематические атрибуты, связанные с формой волновых фронтов, с траекториями лучей, с распределением времен распространения сейсмических волн. С течением времени регистрирующая аппаратура совершенствовалась, стали появляться сейсмограммы в широком динамическом диапазоне. Эти обстоятельства сделали возможным применение методов обращения волновых полей, использующих не только кинематические, но и динамические сейсмические атрибуты. Во многом благодаря совершенствованию сейсмометрического оборудования и развитию ЭВМ

большую популярность обрело научное направление, связанное с решением обратной задачи сейсмики. Значительный прогресс в развитии сейсморазведки произошел с переходом к цифровой регистрации сейсмических данных и их компьютерной обработке. Если ранее было необходимо непосредственное участие сейсморазведчика во всех этапах обработки и интерпретации, то сейчас предпринимаются шаги в направлении полной автоматизации процесса обработки и геологической интерпретации данных [129].

1.1 Обратная динамическая задача сейсмики

В данном параграфе описывается история развития методов решения обратной динамической задачи сейсмики. Изначально применялись лишь методы явного динамического обращения полей, которые в основном опирались на точные решения прямой задачи для относительно простых моделей распределения параметров (однородные модели, горизонтально-слоистые или горизонтально-однородные модели).

1.1.1 Явные динамические методы

Впервые динамическая обратная задача сейсмики для горизонтально-однородной среды (так называемая обратная задача Лэмба) детально исследована в работе [127], где автор строит решение в спектральной области на базе математического аппарата теории обратного рассеяния, развитого в работах [137; 146]. В статье [135] впервые рассмотрено решение динамической обратной задачи во временной области и предложен метод нелинейных Вольтерровских систем интегральных уравнений. Независимо в работе [52] авторы предложили альтернативное интегральное уравнение (также во временной области) в задаче восстановления формы речевого тракта человека по акустическим измерениям. Нелинейные уравнения во временной области также использованы в работе [106]. В статье [26] исследовано применение уравнений Гельфанда-Левитана-Крейна-Марченко для системы уравнений упругости во временной области и установлена связь между ними и уравнением, представленным в работе [52]. В статье [10] представлен численный метод решения обратной задачи на основе работы [116] и показано, что он в точности совпадает с матричным подходом [53] для слоистой среды. Альтернативные подходы в спектральной области изложены [30; 89] . Обширный

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Казей Владимир Владимирович, 2016 год

источник

A

B

прямая волна

*-Ф-Ф

v % 7г------п

отраженные волны

W ч ч----- /

критический

угол

----------V

головная v

Ui

волна

Рисунок 2.2: Пути распространения волн от источников к приемникам в среде из двух

однородных акустических полупространств. Верхнее полупространство, где расположены источники и приемники имеет постоянную скорость ад, а более глубокое полупространство имеет скорость ц Прямые волны (сплошные линии) и отраженные волны (штрихованные линии) наблюдаются для произвольных выносов источник-приемник. Отражение от источника в приемник В ведет к сдвигу фазы сигнала и называется закритическим или полным. Головные волны (штрих-пунктирные линии) появляются только при достаточных удалениях источника от приемника, как и

закритические отражения(пунктирные линии).

На рисунках 2.2, 2.3 отображены различные типы волн, которые можно наблюдать в моделях №0-3. Сейсмограммы общего пункта взрыва представлены на Рис. 2.4 и Рис. 2.5. Первый пример — два однородных полупространства, разделенные поверхностью на

источник

приемник типа В

волна шепчущей галереи v0 (первый порядок)

*---------------у

уг+аг

Рисунок 2.3: Дополнительные пути распространения волн от источников к приемникам

в случае наличия вертикального постоянного градиента скорости в нижнем полупространстве v = v1 + az, где а > 0. Верхнее полупространство имеет постоянную скорость vq . Обыкновенные рефрагированные волны (diving waves, сплошные линии) появляются одновременно с кратными рефрагированными волнами, отраженными один или несколько раз в нижнее полупространство на границе-рефлекторе (волны шепчущей галереи, штрихованные линии). Типы волн, представленные на Рис. 2.2, также присутствуют, но не изображены. Следует также отметить, что волны шепчущей галереи при стремлении их кратности к бесконечности сливаются с головными волнами.

глубине z1 = 500 м со скоростями ад = 1 км/c в верхнем полупространстве и v1 = 2 км/с в нижнем. Второй пример — в верхнем полупространстве скорость та же, в нижнем полупространстве скорость изменяется по закону v(z) = v1 + a(z — z1), где a = 0.5s-1. Сравнивая сейсмограммы на Рис. 2.4 и Рис. 2.5, можно заметить, что рефрагированные волны и волны шепчущей галереи не могут быть расщеплены по времени прихода для данного высокого контраста между полупространствами. При меньших контрастах и больших градиентах данные волны могли бы быть разделены во временной области, но головные волны по-прежнему бы смешивались с волнами шепчущей галереи высоких кратно стей.

Offset (km)

Рисунок 2.4: Головные волны для среды из двух однородных полупространств со скоростями 1 км/с в верхнем полупространстве и 2 км/с в нижнем, граница расположена на глубине 500 м, сильно затухают с увеличением расстояния от источника до приемника. Амплитуда прямых волн сильно занижена (клипирована).

Возрастание скорости с глубиной в нижнем полупространстве приводит к тому, что значительно большая часть энергии возвращается к линии источников-приемников и увеличивает амплитуду волновой суперпозиции головной волны, рефрагированной волны и волны шепчущей галереи из нижнего полупространства. По времени пробега данная волна практически не отличима от головной волны. Рис. 2.6 показывает времена пробега для отраженных, головных волн, рефрагированных волн и волн шепчущей галереи однократно отраженных от границы полупространств в модели №3 с такими же параметрами, как и на Рис. 2.5. Данные времена могут быть получены аналитически: см. параграф 2.2.1. Для не слишком больших выносов времена пробега практически совпадают, и рефрагированные волны увеличивают амплитуду суперпозиции волн. Рассмотрим этот эффект более подробно, исследуя коэффициент отражения для моделей №0 и №3.

Offset (km)

Рисунок 2.5: Наложение головных волн, рефрагированных и волн шепчущей галереи. В случае градиента скорости в 0.5 с-1, амплитуда этой суперпозиции на некоторых

расстояниях может возрастать с выносом.

2.2.1 О временах пробега рефрагированных волн и волн шепчущей галереи

В данном параграфе приводится вывод времен пробега для рефрагированных волн, проходящих сквозь верхнее однородное полупространство, а затем преломляемых (diving, "ныряющих") в полупространство с постоянным вертикальным градиентом скорости, как показано на Рис. 2.7. В нижнем полупространстве лучи этих волн загибаются и возвращаются в верхнее полупространство к линии источников-приемников. Вывод времен пробега для волн в среде с постоянным вертикальным градиентом скорости без верхнего полупространства может быть найден например в книге [31, p. 167-169]. В такой среде, лучи представляют из себя окружности с центрами на глубине, где скорость обращалась бы в ноль, если бы градиент был постоянным во всем пространстве. Если скорость изменяется по закону

v(z) = vi + a(z — z1),

вынос (км)

Рисунок 2.6: Годографы для прямых и отраженных волн (черный цвет), рефрагированной волны (красный), головной волны (голубой) и однократно отраженной волны шепчущей галереи (зеленый) в модели №3.

то центры окружностей оказываются на глубине

zo = zi — v\/a

. Радиус круга R дается выражением

R = ¿max — ¿0 = ¿max — ¿i + Vi/а, (2.4)

где zmax - максимальная глубина на которую проникает заданный луч. Обозначим вынос между источником и приемником за h, а время пробега между ними за Т. Тогда, как видно из Рис. 2.7,:

h = 2(ho + hi), Т = 2(To + Ti), (2.5)

где Т0 время прохождения волны по прямой линии между источником и границей полупространств, которое из симметрии совпадает с временем прохождения от границы до приемника. Время распространения в нижнем полупространстве до точки поворота на луче обозначено Т1. Для вывода формулы времени пробега удобно параметризовать координаты и время:

h = h(R), и Т = Т(R) (2.6)

как функции радиуса окружности R.

Рисунок 2.7: Луч рефрагированной волны в среде — дуга окружности с центром на глубине z0, где скорость обращалась бы в ноль, если бы градиент был постоянным во

всем пространстве.

Из определения z0 = z1 -v1/a и геометрического соотношения z1 — z0 = R cos f3\ следует, что

R cos fa = vi/a. (2.7)

По закону Снелиуса, v-1 cos f30 = v-1 cos /31, что влечет cos f30 = v1/(aR). Таким образом,

ho = zi ^ = Я . ^ , (2.8)

81П 00 f-W

и время пробега в верхнем однородном полупространстве записывается в виде:

To = —i-^ = —FS==. (2.9)

Геометрическое соотношение h1 = R s1nfa1 вместе с уравнением (2.7) дает

hi = R sin ft = (2.10)

Интегрирование вдоль арки окружности дает Т1:

rh D 1

Т1 = T^dp = - arccosh( aR/v 1). (2.11)

Jo Fa 43

И наконец можно получить:

К 2К = + 2^у/(аК/уI)2 - 1, (2.12) л/(аК/уо)2 - 1 ^

и

Т =-; 2КаК + 2arccosh(аR/v 1). (2.13)

у20^(аП/уо)2 - 1 а ( / ) V 7

Рис. 2.2.1 показывает отдельную рефрагированную волну, распространяющуюся вдоль окружности в нижнем полупространстве. В случае если имеется контраст скоростей, VI = ад, часть энергии будет после этого преломлена в верхнее полупространство, а часть снова отразится в нижнее, давая начало новой арке той же формы. По такому принципу образуются волны шепчущей галереи [101]. Их времена пробега могут быть с легкостью найдены в той же параметризации умножением на их кратность расстояний К1 и времен пробега в нижнем полупространстве Т1.

Времена пробега для рефрагированных, головных волн и волн шепчущей галереи первого порядка представлены на Рис. 2.2. Очевидно, что для не слишком больших выносов и не слишком больших частот времена пробега всех этих волн практически совпадают и волны складываются в высокоамплитудные волны-суперпозиции.

2.3 Спектральные чувствительности

В этом параграфе вводится определение спектральных чувствительностей, при этом многие формальности опущены для краткости изложения, поскольку общих представлений о спектральных чувствительностях может быть достаточно для понимания конкретных примеров следующей главы. В следующем параграфе приводится более детальное теоретическое обоснование метода спектральных чувствительностей.

Приближение Борна используется далее для аппроксимации рассеянного поля в частотной области для источника и приемника с горизонтальными координатами х3 и хг соответственно, расположенными на одной глубине = хг:

8и(х3,хд) = /и к^С(х3, г)8\¥(т)С(хд, г)ко = — (2.14)

ад

— ос — ОС

Где, 8Ш(г) = — —— малое возмущение квадрата медленности в опорной

среде. С(х3, г) и С(хд, г) — функции Грина от источника и приемника в точку

среды г, соответственно. Мы предполагаем, что функция источника совпадает для всех подобных экспериментов. Поскольку далее рассматривается монохроматический случай, этот множитель отбрасывается. После преобразований Фурье по горизонтальным координатам источника и приемника, возмущение волновых полей выглядит следующим образом:

+то +то

5й( к8, кд )= ! J \¥ (г)С( к8, г)С( кд, г) ¿г. (2.15)

—то —то

Теперь, С — функция Грина для опорной среды в спектральной области, или преобразование Фурье от стандартной функции Грина в частотной области С. В параграфе 2.2.1 выводятся явные аналитические выражения для С для моделей типов 0 и 3. Используя явные аналитические выражения для опорной среды, можно получить линейное соотношение между спектром возмущения полных волновых полей и пространственным спектром рассеивающей неоднородности:

5и(к8,кд) - т(8+ + g+)+С(кд)8&(8+ + g—)

+С (к3)5\¥ (8— + g+) + С (к3)С (кд )6Й (8— + g—). (2.16)

^ +то +то

Здесь 6V(К) = / / ^(г)

(Кт) ^

— обыкновенное двумерное преобразование

—то —то

Фурье возмущения квадрата медленности 5V(г), где К = (Кх,Кг)т — вектор в спектральной области. С( 8) и С( д) — коэффициенты отражения от границы между полупространствами для монохроматических плоских волн от источников и приемников соответственно. Первый член в уравнении (2.16) соответствует волнам, которые идут от источников, рассеиваются неоднородностью и затем возвращаются к линии приемников. Обращение этого члена соответствует миграции в однородной опорной среде. Аналогично, обращение второго и третьего членов соответствует томографии на отраженных волнах, а четвертый член миграции на основе рассеянных волн, отраженных от рефлектора [85]. Подробный вывод формулы (2.16) приведен в параграфе 2.4. Векторы

источника 8 и приемника g определяются следующим образом:

■*=() ■ -=() ■ ,21"

Здесь т8 и тд квадратные корни:

Ъ = к0 - к2, Тд = к2 - кд, ко = и/у0. 45

Эти корни предполагаются неотрицательными на всей области определения. Следует отметить, что поскольку вертикальная ось г направлена вниз, положительное направление в пространстве Фурье образов также вниз, поэтому, когда векторы и g+ направлены вверх, их вертикальные компоненты отрицательны. Рис. 2.8 показывает обыкновенные направления векторов источника и приемника вдоль путей распространения волн через центр неоднородности.

Рисунок 2.8: Пути распространения волн от источника и приемника через центр рассеивающей неоднородности и соответствующие им векторы б± и g±

Уравнение (2.16) линейно зависит от пространственного преобразования Фурье неоднородности квадрата медленности. Следут подчеркнуть, что эта линейная зависимость специального вида выполняется только для локально-однородной вмещающей среды, позволяющей разложить волновые поля по плоским монохроматическим волнам. Если неоднородность погружена в область с изменяющейся скоростью это простое соотношение между спектрами неоднородности и волновых полей в точном виде исчезает, тем не менее, если асимптотически разложить поля можно использовать МСЧ и в среде с постоянным вертикальным градиентом скорости [64], как показано далее. В соответствии с уравнением (2.16) можно построить набор точек К в спектре неоднородности, которые оказывают влияние на амплитуду спектра рассеянного поля в

источники

приемники

произвольной заданной точке (к8 ,кд). Эти точки определяются выражениями:

К1 = 8+ + g+, К4 = в- + g-, (2.18)

К 2 = 8+ + g-, Кз = 8- + g+. (2.19)

Формула (2.18) определяет компоненты неоднородности, которые восстанавливаются с помощью миграции, в то время как уравнения (2.19) характеризуют компоненты, которые могут быть восстановлены томографией на отраженных волнах. Несмотря на то, что одной точке в спектре рассеянного поля соответствуют четыре точки в спектре неоднородности, обратное преобразование однозначно. Для вычислений параграфа 3.1, необходима информация об обратном преобразовании или выражение (к3,кд) через К = (Кх,Кг) Поскольку правая часть уравнения (2.16) симметрична относительно перестановки (к3,кд)— > (кд,к3), данные пары эквивалентны и различать их нет необходимости. В параграфе 2.3 показано, что существует единственная пара (к3, кд) для каждого вектора К, (|К| < 2т), с точностью до перестановки к3 и кд.

Соотношение между спектром рассеянного волнового поля и спектром рассеивающей неоднородности удобно характеризовать c помощью спектральных чувствительностей.

Определение

Для возмущения полного волнового поля, спектральная чувствительность задается выражением:

ЗЫК)

д6и(к3(К),кд (К))

(2.20)

д6\У (К)

где К совпадает с одним из векторов К^, г = 1,..., 4. Когда чувствительность 5(ш,Кх,Кг) однородна, обратная задача хорошо обусловлена, если же чувствительность сильно неоднородна, решение обратной линеаризованной задачи затруднительно, что можно пояснить следующим образом:

Если функционал невязки определен, как Ь2 норма в пространстве функций волновых чисел (Кх,Кг), то квадрат чувствительности, 32(Кх,Кг) пропорционален матрице Гессе для данного функционала. Гессиан диагонален в спектральной области, если неоднородность находится в локально однородной области опорной модели. Предполагается, что все данные имеют равный вес в области (Кх,Кг), поэтому другое взвешивание может улучшить чувствительности и следовательно улучшить сходимость решения обратной задачи по методу МОП.

Определенная уравнением (3.45) чувствительность характеризует изменение спектра наблюденных полей при изменении спектра рассеивающей неоднородности. Замечательным свойством чувствительности является отсутствие зависимости от помещаемых в модель неоднородностей, что позволяет выделить и исследовать влияние опорной среды на работу метода обращения полных волновых полей. В следующем параграфе теоретически обосновывается это свойство чувствительности, а также дается более подробный алгоритм получения диаграмм следующей главы. Если читатель более заинтересован в изучении результатов практического применения МСЧ, то следующий параграф может быть пропущен.

2.4 О связи спектров рассеивающей неоднородности и рассеянных волновых полей

Запишем рассеянное поле в приближении Борна от неоднородности в опорной вертикально-неоднородной акустической среде для источника с координатами хв = (х8, х8)т и приемника с координатами хд = (хд, гд)т на одинаковой глубине = гд и относительного возмущения квадрата медленности опорной среды 8Ш(г) = ^:

+то +то

8и(х3,хд )= J У к0>8Ш (г)С(х8, х8\х, г)С(хд, х8\х, (2.21)

— то —то

где ко = ш/V(г). С(х8, г8\х, х), С(хд, г8\х, х) - двумерные функции Грина для опорной среды в частотной области для источника в точке г и приемников в точках (х8, г8,д)т.

Преобразование Фурье по горизонтальным координатам источника х8 и приемника хд дает:

+то +то —то —то

Принимая во внимание, что в правой части уравнения (2.21) только функции Грина С(х8, г8\х, х), С(хд, г8\х, £) зависят от х8 и хд соответственно, и записывая:

+то

&(ка, га\х, г)= егк°х°С(г8; г)ё.х8,

+то

ё(кд ,г3\х,г )= I егквХд С(тд; т)(!хд,

где С(к8,г81х,г),Ё(кд,г31х,г) — образы обыкновенных функций Грина в спектральной области, приближение Борна для рассеянного поля принимает вид:

+то +то

5й(к3,кд )= J J к'5Ш (т)С(к3 ,г31х,г)С(кд, г31х, г)йхйг. (2.23)

—то —то

Для простой опорной среды из двух полупространств, где источники и

источники

приемники

Л_д

2 = 2 = ^^

центр ан омалии

(0,0) '2 X 2 = 0

рефлектор

V = v1+az

z = 2.

Рисунок 2.9: Опорная модель из двух полупространств. Система координат для преобразования Фурье связана с предполагаемым расположением центра рассеивающей

неоднородности.

приемники погружены в верхнее однородное полупространство вместе с рассеивающей неоднородностью (Рис. 2.9), получаем в соответствии с работой [85]:

С(к3,г31х,г) = г---+ С(к3) -е*8-г, (2.24)

2 7в 2 7в

где

1 — Ь \/у? I-

с(к'] = —ь• ь=7П' 78 =

Здесь, = г3,д — — расстояние вдоль вертикальной оси между линией

источников-приемников и центром рассеивающей неоднородности или просто некоторое приближенное расстояние до неоднородности по вертикали, которое проходят прямые волны, освещающие неоднородность (см. Рис. 2.10). Аналогично, ¿- = — гс + г3,д — гс — расстояние по вертикали, которое проходят лучи отраженных волн, освещающие неоднородность до рассеяния на ней (Рис. 2.11).

Если опорная среда однородна, то функция Грина широко известна и представляет из себя первый член в выражении (2.24). Второй член в выражении (2.24) описывает все волны, восходящие от границы между полупространствами, освещающие неоднородность снизу.

кх = к^тб к2 = -коео$0

приемник

рассеивающая аномалия I

I 2

Рисунок 2.10: Рассеяние назад прямых волн от источников создает восходящие волны от в направлении g+, которые могут быть зарегистрированы приемниками.

кх = к05ШЙ

к2 = косоз0 |

приемник

рефлектор

I

2

Рисунок 2.11: Рассеянное вперед поле прямой волны от источника в направлении g-может быть зафиксировано приемниками на поверхности только после отражения от более глубокого чем рассеивающая неоднородность рефлектора.

Заменяя функции Грина в уравнении (2.23) аналитическими выражениями для них, можно получить:

+то +то

5й(к8,кд) = — ^^ ++) I I 5W(г)е¿г

— то —то

+то +то

+ Б(+—)С(кд) / т(г)е>Г^г

—то —то +то +то

+К+)-Г,

+ Б(—+)С(к8) ! J Ш(г)ейг

—то —то

+то +то

+ Б(——)С(к8)С(кд) I I Ш(г)е*а-+«->Гс1г). (2.26)

—то —то

Коэффициенты ±±) представляют сдвиги фаз вдоль путей распространения волн от линии источников-приемников до предполагаемой (приблизительной) глубины залегания неоднородности:

Б++) = егъс1++гъа+, Б--) = е1Ъ й-+г1ай-, (2.27)

Б+—) = ег1а<1++г19'1-, Б—+) = ег1ей-+г1зй+.

Поскольку по абсолютной величине коэффициенты Б±±) равны единице, они не оказывают влияния на построение анализа чувствительностей, как объяснено далее.

Также отбрасывается и множитель — к2(к8)/(4/у8/уд), поскольку он описывает только поле источника, и его рассмотрение представляется целесообразным только совместно с диаграммой направленности последнего.

Рисунок 2.12: Четыре области внутри большого круга соответствуют четырем возможным комбинациям знаков в уравнении (2.29) и определяются следующими выражениями для пространственных волновых чисел: К = + g+, Кг = — <у8 — 7д для подобласти 1; К2 = + g-, Кг = — % + 7д для подобласти С(кд); К3 = + g+, Кг = +7в — для подобласти С(к8); К4 = б_ + g_, Кг = + + 7д для подобласти С(к3)С(кд). Здесь предполагается |кв| < |кд|, что никак не нарушает общности в предположении бесконечных апертур источников и приемников.

Далее предлагается процедура, которая позволяет нам получить явные выражения, связывающие (ставящие в соответствие) точки в спектре рассеянного поля, 6й(к8,кд), и точки в пространственном спектре неоднородности — возмущения опорной среды 5IV(Кх,Кг). В принципе, это соответствие определяется уравнениями (2.16) и (2.17). Далее приводится более подробный вывод. Аргументы функции дIV в уравнении (2.16) совпадают с точками в пространственном спектре неоднородности определяемыми ( к3,кд). В соответствии с уравнениями (2.18) и (2.19) таких точек четыре. Когда мы пытаемся обратить это отображение, чтобы восстановить ( к8(К), ка(К)), необходимо полагать, что выполняется хотя бы одно из уравнений (2.18), (2.19).

Все эти уравнения имеют одну и ту же проекцию на горизонтальную ось х,

к3 + кд = КХ, (2.28)

которое выполняется вне зависимости от того, какое из четырех уравнений верно. Для вертикальной оси , все четыре уравнения проецируются по-разному, что может быть представлено с помощью целых индексов т и п следующим образом

(—1)тЪ + (—1)п7, = К, т,п е {1, 2}. (2.29)

С учетом того, что = у к0 — к2. д, появляется возможность решить систему

относительно к3 и кд и получить:

, Кх Кг 4 к"2 1 (230)

к = Т" ± ТУ КГТК — 1 (2.30)

Кт К* I 4 к0

'X + К

Следует отметить, что неявно здесь делается предположение К2 + К < (2к0)2. Эти формулы определяют к3 и кд с точностью до их перестановки, что означает, что они могут быть переставлены без изменения правой части в уравнении (2.16). Для того чтобы получить взаимно-однозначное соответствие мы вводим дополнительное ограничение | М < к|, что не нарушает общности т.к. рассматриваются бесконечные апертуры для источников и приемников. Знаки определяемые значками т и п могут быть определены нахождением верной комбинации из уравнения (2.29). Четыре случая упомянутые в уравнениях (2.18) и (2.19) и соответствующие выборы знаков, определяемые т и п, приведены на Рис. 2.4. Таким образом, вычисление чувствительности |д(5и)/д(5IV)| сводится к нахождению коэффициентов отражения для различных углов падения плоских монохроматических волн, определяемых скалярами к8 и ка. Произвольный вектор (Кх,Кг) всегда попадает в одну и только одну область, а потому одно и только одно слагаемое в выражении (2.26) для и ему соответствует. Взятие абсолютного значения для вычисления чувствительностей позволяет отбросить коэффициенты ^(±±) в уравнении (2.27), поскольку их абсолютная величина равна единице.

Если абсолютная величина обоих коэффициентов С(к3),С(к9) отражения тождественно равна единице, чувствительность также оказывается равной единице для всей диаграммы чувствительности. Именно это и соответствует случаю возрастающей с постоянным вертикальным градиентом скорости в нижнем полупространстве.

О симметрии диаграмм спектральных чувствительностей По определению спектральная чувствительность это абсолютная величина отношения спектра рассеянного поля к спектру рассеивающей неоднородности:

д5й( МК), кд (К))

5 (К)

(2.32)

д5\¥ (К)

Как было показано ранее спектральная чувствительность замечательна тем, что не зависит от рассеивающей неоднородности. Опорная модель и схема наблюдений переходят в себя при симметрии относительно произвольной вертикальной оси. Следовательно диаграммы чувствительности также симметричны относительно вертикальной оси, проходящей через начало отсчета, как видно из рисунка 2.12. Других симметрий у диаграмм чувствительности нет, хоть и могло бы показаться иначе. Поскольку 8W вещественно, спектр W(К)| центрально симметричен. Может показаться, что и спектральная чувствительность 5 должна обладать центральной симметрией. Тем не менее 6й(и,х8,хд) комплексно, поэтому 16й(к8(К), кд(К))| центральной симметрией не обладает, также как и спектральная чувствительность, представленная на диаграммах в третьей главе.

Глава 3

Метод спектральных

чувствительностей, применение

3.1 Спектральные чувствительности для среды из двух полупространств

3.1.1 Коэффициенты отражения

Решение прямой задачи для модели из двух однородных акустических полупространств с точечным источником широко известно в геофизике [23]. В следующем параграфе для применения МСЧ потребуются только коэффициенты отражения плоских волн для данной задачи и задачи с постоянным вертикальным градиентом скорости в нижнем полупространстве.

После преобразования Фурье по горизонтальной координате х и по времени падающее поле монохроматической плоской волны выглядит следующим образом:

(3.1)

а отраженное соответственно:

(3.2)

В случае двух однородных полупространств, а = 0, а коэффициент отражения [22, см. напр. стр. 21] дается выражением:

1-6 v'wi кХ

C (кх) =-г, ь= , 1 . (3.3)

1 + ь' ^/ki—кХ ' }

Этот коэффициент вещественный и его абсолютная величина растет с углом падения вплоть до критического угла, где она достигает 1 (зеленая кривая на Рис 3.1.1). При достижении критического угла и после этого наблюдается полное отражение падающих волн, а также появляются головные волны.

Мы формально можем разложить коэффициент отражения на слагаемые соответствующие головным волнам и "чистым" закритическим отражениям:

2Ь 1 + Ь2

С = Chead + Crefl = — i _ + 1 _ Ц2 . (3.4)

Первый член в правой части уравнения (3.4) описывает стандартные точки ветвления полного коэффициента отражения. Обыкновенные головные волны во временной области могут быть получены интегрированием Chead вдоль разреза в комплексной плоскости [23, стр. 11]. В то же время Crefl описывает отражение в чистом виде, исключающее головные волны. Разделение с помощью уравнения (3.4) предлагается проводить только при закритических углах, что означает, что b полностью мнимо. В таком случае коэффициенты отражения удовлетворяют энергетическому соотношению

|С |2 = |Chead|2 + | Crefl |2, (3.5)

где Chead полностью мнимо а Crefl вещественно. Это разделение позволит в дальнейшем определить вклады отдельных типов волн. Для положительного вертикального градиента в нижнем полупространстве

v(z) = v\ + a(z — z\), а > 0, (3.6)

распространение волн может быть записано в виде: [74]

Р2 = W(кх)\^ Kv (кхz), z = z z\ + vi/а, (3.7)

где v = i^J(ш/а)2 —1/4. Kv — функция Макдональда или модифицированная функция Бесселя второго рода и W(кх) — некоторый амплитудный коэффициент.

Из непрерывности давления и его вертикальной производной на границе раздела полупространств р0 + 'р\ = р2 и д(р0 + р\)/дг = др2/дг at г = можно получить:

2

С (М = \~ГТ' W (кх) =

1 + 6'

(1 + (е )'

где

а

ivly/к2 - к2 V2

Л + ж (0 \

\2 + kv а ))

а

(

1

_ + ^ -

2 Kv (i) )'

(3.8)

(3.9) (3.10)

и £ = kxv\/a. Модифицированная функция Бесселя Kv(х) для чисто мнимого порядка v вещественна вместе со своей производной для любого х > 0 [43]. Поэтому знаменатель в уравнении (3.8) является комплексно сопряженным к числителю, если < |fc0|, что как видно из уравнения (3.9) приводит к |С(кх)1 = 1. На Рис. 3.1.1 показаны

0.2 0.3

sin(G)

Ь

Рисунок 3.1: Коэффициенты отражения для произвольных углов падения в в случае среды из двух однородных полупространств с соотношением скоростей v1/v0 = 2 (зеленая пунктирная линия). Для модели с градиентом в нижнем полупространстве, при v0 = 1 km/s, v1 = 2 km/s, градиенте а = 0.5 s-1 при угловой частоте ш = 5 Hz, показаны абсолютная величина (синяя пунктирная линия) и вещественная часть (красная

сплошная) коэффициента отражения.

графики коэффициентов отражения для двух моделей типов 0 и 3. Угол отражения в может быть получен из соотношения sin б1 = кх/к0. Вклад ныряющих волн в абсолютную величину волнового поля определяется различием между синей штрихованной линией и зеленой точечной линией. Для |кх| > | к0|, восходящие волны экспоненциально затухают с удалением от границы полупространств, поэтому они исключены из рассмотрения.

Основной задачей в данном параграфе является исследование влияния головных и рефрагированных волн на результаты инверсии по методу обращения полных волновых полей. Уравнение (2.16) используется в параграфе 3.1 для вычисления полных волновых полей в моделях 0 и 3, также как и для возмущения полей отраженных 5üiefl и головных óühead волн в соответствии с уравнением (3.4). Для головных волн получается:

¿ühead(к3, кд) - Chead(кд)ÓW(K2) + Chead(ks)5W(K3) + Chead (ks) Chead (кд)5W(K4). (3.11)

Правая часть уравнения (3.11) содержит рассеянное поле от рефлектора в предположении, что возмущение находится на некотором удалении от рефлектора и от него исходят только головные волны (отражения не происходит). Подробности представлены в параграфе 3.1.2. Это также та часть спектра, которую удалось бы восстановить при использовании для инверсии только первых вступлений, исключая более поздние отражения и прямые волны [103]. Подобно уравнению, описывающему рассеянное поле головных волн (3.11), можно записать подобное выражение и для отраженных волн (3.12). Рассеянное поле отраженных волн 5ñrefl(к3, кд) дается выражением:

^refl( ks, кд) - СгеА(кд)ÓW(K2) + Crefl(ks)¿W(K3) + Crefl(ks)^^)ÓW(K4). (3.12)

Некоторые из перекрестных членов содержащихся в произведении C(ks)C(кд), в частности Chead(ks)Crefl(kg) и Crefl(ks)Chead(kд) были опущены. Поскольку они не выделяются ни высокими скоростями распространения, как рассеянные головные волны, ни высокими амплитудами, как рассеянные отражения, их вклад в результаты решения обратной задачи можно считать пренебрежимо малым. Перекрестные члены были сохранены только в выражении для возмущения полных волновых полей.

Если рассматривать только головные волны, то формула для спектральной чувствительности принимает вид:

dSñhead (ks(K), кд (K))

^head

dSW (K) 58

(3.13)

Рисунок 3.2: Диаграммы чувствительности для головных волн, восходящих от нижнего полупространства и рассеянных возмущением скорости для различных скоростных

контрастов.

Рисунок 3.3: Как Рис. 3.2, но для отраженных волн.

Рисунок 3.4: Как Рис. 3.2, но для полных волновых полей.

Поскольку диаграммы линейно зависят от частоты через соотношение К а к0, где к0 = ш/у0, достаточно рассмотреть одну частоту для получения общих выводов. Рис. 3.2 показывает диаграммы чувствительности к возмущениям неоднородности для трех различных скоростных контрастов опорной модели, с использованием уравнения (3.13). Для сравнения, Рис. 3.3 соответствует чувствительности для отраженных волн:

(К))

^геА =

(3.14)

д5\¥ (К)

Рис. 3.4 показывает диаграммы чувствительностей для полных волновых полей (3.45). Рис. 3.5 изображает особенности чувствительностей при очень высоких и низких контрастах скоростей в случае двух однородных полупространств. Случай совпадающих скоростей приводится на левой верхней панели, диаграмма показывает ту часть спектра которая может быть восстановлена линеаризованной инверсией в однородной опорной модели. Правая верхняя панель Рис. 3.5 вместе с Рис. 3.4 показывает, что чувствительность стремится к единице в круге радиуса 2, если скорость в нижнем полупространстве стремится к бесконечности. В этом случае практически вся энергия падающих волн отражается в верхнее полупространство. Область в которой чувствительность отлична от единицы определяется критическим углом отражения,

что приводит к тому что с увеличением скорости в нижнем полупространстве она уменьшается. Для нижнего ряда на Рис. 3.5, скорость в нижнем полупространстве ниже чем в верхнем. Головных волн в этом случае не возникает и форма и площадь области низкой чувствительности не зависит от контраста между полупространствами. Несмотря на то, что форма области и ее площадь не зависят от контраста между полупространствами в этом случае, с приближением соотношения скоростей v\/v0 к нулю практически вся энергия также отражается в верхнее полупространство и чувствительность равномерно возрастает к единице для всей диаграммы. При любом соотношении между скоростями в полупространствах при увеличении контраста чувствительность стремится к 1. Это происходит поскольку по абсолютной величине коэффициент отражения также стремится к единице для произвольного угла падения. Для модели с положительным постоянным вертикальным градиентом скорости в нижнем полупространстве абсолютная величина коэффициента отражения равна единице для произвольного угла падения. Это приводит к тому, что, в соответствии с уравнениями (2.16) и (3.45), чувствительность полных волновых полей S3 для модели №3 тождественно равна единице.

S3 = 1 = Sfull + ^diving (3.15)

Подробности приводятся в параграфе 2.3. Уравнение (3.15) определяет чувствительность рефрагированных (diving) волн S'diving, как чувствительность дополняющую чувствительность в модели №0 до полной. Эту чувствительность можно ассоциировать с рефрагированными волнам и волнами шепчущей галереи:

^diving = S3 - ¿full = 1 - ¿full. (3.16)

Поскольку белые области относятся к максимальной чувствительности, яркие круги на Рис. 3.2 выделяют ту часть спектра неоднородности, которая может быть более достоверно восстановлена на основе полей рассеянных головных волн, чем на основе отраженных волн. Как выяснилось, эти области достаточно малы, но тем не менее использование головных волн необходимо, поскольку восстановление полного спектра рассеивающей неоднородности на основе отраженных волн затруднительно. Эти области содержат достаточно низкие волновые числа, необходимые для успешного

Рисунок 3.5: Спектральные чувствительности полных волновых полей к возмущениям в

спектре неоднородности. Верхняя правая панель показывает, что чувствительность достигает 1 внутри круга радиуса 2 для высоких скоростных контрастов (г^/ад 1 или уо/уг » 1). Нижний ряд панелей представляет чувствительности для промежуточных

контрастов VI < ад.

восстановления гладкой составляющей разреза, определение которой критично для успешного применения метода обращения полных волновых полей. Также из диаграмм, представленных на Рис. 3.2 и Рис. 3.3, можно заключить, что чем ниже контраст скоростей, тем выше значимость головных волн для улучшения чувствительности инверсии к полному набору волновых чисел неоднородности. Даже при высоких контрастах между полупространствами, некоторые низкие волновые числа спектра неоднородности лучше восстанавливаются на основе головных волн, чем на основе отраженных.

3.1.2 Аналитическое разделение волновых полей

Приближение Борна (3.43) дает возможность записать полное рассеянное поле от неоднородности в линейном приближении. В данном параграфе мы формально разделяем это возмущение на возмущение поля головных волн и возмущение поля отраженных волн (3.4). Волновое поле без отраженных волн в чистом виде для точечного источника в опорной среде может быть найдено аналогично параграфу 2.3:

а „¿7^+ А рг^а й-

СпоКей(к8, г) = --е-+-Г + СЪейЛ(к8)-е*'* • (3.17)

2 7в 2 7в

Пользуясь этими функциями Грина и приближением Борна (2.23), можно получить

¿¿поией(к8,кд)= / к206Ш(г)СпоКей(к8, г)СпоКей(кд, г)^г (3.18)

— оо —оо

а также выражение аналогичное уравнению (2.16):

5йпоКеъ(кз,кд) ~ Ш (8+ + g+)

+ СъеаЛк8)т (8+ + g-) + СЪеаЛкд )б\¥ (в- + g+) (3.19)

+ Сьеаа (кз)СЪеал(кд )й\У (в- + g-).

Первый член в правой части уравнения (3.19) результат рассеяния падающего поля неоднородностью назад в верхнее полупространство. Оставшиеся три члена определяются рассеянием головных волн, восходящих от границы между полупространствами, той же самой неоднородностью. Второй член описывает волны от источника, которые были преломлены а затем рассеяны неоднородностью до прихода в приемники. Третий член соответствует волнам сначала рассеянным на неоднородности, а затем преломленным на границе полупространств. Четвертый, самый малый по амплитуде и последний член правой части описывает головные волны, рассеянные неоднородностью в новые головные волны, а затем зарегистрированные приемниками. Это определяет физический смысл уравнения (3.11). Подобные аргументы приводят к уравнению (3.12).

Следует отметить, что в спектральной области, понятие о головных волнах, как о волнах, распространяющихся в горизонтальном направлении в нижнем полупространстве или в направлении критического угла отражения в верхнем полупространстве несколько размывается, поскольку поскольку рассматриваются только гармонические

плоские волны. Вклад в полное волновое поле от головных волн при таком разложении дается уравнением:

+то

/А

Съеал(кз) ^-е»-^-йк3. (3.20)

2 7з

—то

Здесь предполагается интегрирование по к3 для которых коэффициент отражения Съе^(к3) отличен от нуля. В результате ни б±, ни g± являются зафиксированными, не смотря на то, что из Рис. 2.2 и 2.8 может показаться иначе.

3.2 Выводы

Были проанализированы вклады головных волн, отраженных волн, рефрагированных волн и волн шепчущей галереи в восстановление спектров неоднородностей, погружаемых в верхнее полупространство в акустической модели из двух полупространств, по методу обращения полных волновых полей. Верхнее полупространство предполагалось однородным, а нижнее имеющим неотрицательный постоянный вертикальный градиент скорости. В случае двух полупространств с постоянными скоростями есть близкие к нулю волновые числа в спектре неоднородности восстанавливаемые головными волнами, что делает головные волны полезными для восстановления гладкой составляющей скоростной модели. Чувствительность полных волновых полей, как было показано, не зависит от параметров полупространств в случае, если более глубокое полупространство имеет положительный вертикальный градиент скорости и апертуры источников и приемников не ограничены. Амплитуды волн-суперпозиций, имеющих времена пробега соответствующие головным волнам в этом случае значительно увеличиваются по сравнению с обыкновенными головными волнами, что делает данную модель более простой для метода обращения полных волновых полей. В случае бесконечных апертур источников и приемников в данной модели вся энергия возвращается к линии источников-приемников, освещая исследуемую неоднородность со всех направлений. Чем ниже контраст скоростей на границе между полупространствами, тем более значим вклад головных и рефрагированных волн в работу метода обращения полных волновых полей, в предположении наличия в зарегистрированных данных достаточных выносов.

Аналогичная ситуация возникает при рассмотрении двух однородных полупространств с бесконечным контрастом.

3.3 Спектральные чувствительности для среды в виде слоя над полупространством и роль кратных волн и волн-спутников

В данном параграфе метод спектральных чувствительностей применяется к среде со свободной поверхностью, которая порождает кратные волны и волны-спутники. Кратные волны увеличивают полную энергию, которая проходит через область исследуемой неоднородности и имеют потенциал улучшить чувствительность и разрешающую способность метода обращения полных волновых полей. Наше исследование показывает, что включение кратных волн, как и ожидалось, увеличивает чувствительность метода обращения полных волновых полей к некоторым волновым числам неоднородности. В то же время эти волны усложняют решение обратной задачи, концентрируя инверсию на дискретном наборе волновых чисел, ухудшая ее обусловленность, что приводит к невозможности восстанавливать другие волновые числа неоднородности. Данный эффект может быть снижен за счет использования при инверсии данных для плотных наборов временных частот или проводя инверсию во временной области, поскольку дискретный набор волновых чисел зависит от частоты.

Известно, что при применении метода обращения полных волновых полей к существенно нелинейным задачам возникают сложности. Отражения от свободной поверхности, как правило, вносят дополнительную нелинейность в обратную задачу сейсмики и тем самым затрудняют применение МОП. В данном параграфе проблемы линеаризации отбрасываются и рассматривается роль кратных волн и волн спутников на решение обратной задачи в линейном приближении, а именно влияние этих волн на возможности восстановления пространственного спектра возмущения опорной модели.

Рассматривается модель однородного слоя на однородном полупространстве, в которой известна функция Грина в аналитическом виде. Спектральные чувствительности волнового поля в этом случае также удается получить в аналитическом виде. МСЧ показывает, что кратные волны усложняют решение обратной задачи МОП.

Волны-спутники обыкновенно рассматриваются как изменение функции источника. Их присутствие, в действительности, немного упрощает инверсию по методу МОП, а не усложняет, как следовало бы ожидать.

3.3.1 О решении прямой задачи

Как обсуждалось ранее в случае опорной среды из двух однородных акустических полупространств, где скорость в верхнем полупространстве ад, а скорость в нижнем волновое поле точечного источника, расположенного на нулевой глубине, состоит из падающих прямых волн и восходящих отраженных и дается выражением:

„-гг^/Щ-Щ + П(и )—ОН)л/к0)-к|

Ро( к,, г,и) = --+ °-. (3.21)

Волновое поле в нижнем полупространстве — нисходящее, что очевидно из физических соображений (см. напр. [22]):

р-г Н^/к1-к% ,-

Р! = [1 + С (к,)]--—-- е- -НУк1-к1, (3.22)

2 у/Щ-Щ

с (*х) = 1^, 1к0 - к2х

1 + 6' Мк 0 - кх•

Здесь, С(кх) — коэффициент отражения, Н — расстояние от источника до границы полупространств, к\ = ш/содержит скорость в нижнем полупространстве Отметим что 1кх | = | к\1 соответствует критическому углу падения. Множитель |1 + С(кх)1 может достигать 2 для значений |кх1 близких, но меньших |к\1, увеличивая амплитуды преломленных волн, распространяющихся практически горизонтально в нижнем полупространстве.

Затем добавляется свободная поверхность, как показано на Рис. 3.6. Если учитывать все возможные кратные волны то давление р заменится на

р' = р + ^ [-С(к,)е-0гН" ^

(3.23)

^ N—>■— ^ р (3 24)

1 + С(к,)е-0гН^^ . '

Нули знаменателя в правой части уравнения (3.23) соответствуют нормальным модам в

акустическом слое. Фундаментальная мода, которая всегда присутствует, соответствует

свободная поверхность

кратные волны \

Рисунок 3.6: Кратные волны освещают исследуемую неоднородность со всех сторон,

улучшая освещенность;

свободная поверхность

Рисунок 3.7: Волны спутники (ghosts, пунктир) накладываются на полезный сигнал

(сплошная линия), возмущая его.

кх = ко. Существование и количество мод более высоких порядков определяется соотношением толщины слоя и длины волны зондирующего сигнала. Чем толще слой по отношению к длине волны, тем больше нормальных мод наблюдается. Для того чтобы избежать проблем сходимости ряда мод в уравнении (3.23), мы ограничимся рассмотрением кратных волн только первого порядка (N = 1).

Волны спутники, как показано на Рис. 3.7 могут быть выражены той же формулой, что и кратные волны первого порядка после замены Н на К и принятия С(кх) = 1.

Если источники и приемники находятся очень близко к свободной поверхности, мы можем упростить выражения для давления отбрасывая члены более высоких порядков по расстоянию до свободной поверхности, с точностю до 0(К2) получаем:

л

р

^ _ ~ 2гКр'^ к2 - к22. (3.25)

Уравнение 3.25 показывает, что для значений К, много меньших длины волны зондирующего сигнала, волны спутники просто изменяют диаграмму направленности источника. Это изменение может быть сокращено со знаменателем в уравнениях (3.21) и (3.22), что только упрощает конечные выражения.

Таким образом, спектр рассеянных давлений становится еще более однородным, что упрощает инверсию, делая чувствительности более однородными. Для относительно больших значений К, современные методы компенсации или подавления волн-спутников (см. например [125]) позволяют значительно улучшить результаты решения обратной задачи.

3.3.2 Осредненные или интегральные чувствительности

Для того чтобы исследовать работу МОП во временной области можно проинтегрировать чувствительности для монохроматических полей, нормируя на спектральную функцию источника для каждой частоты:

/то

1з{ш)3{ш,Кх,Кг)| ¿и (3.26)

-то

Чувствительности монохроматических полей, дающиеся уравнением (3.45) имеют весьма неоднородный характер. Можно надеятся, что при суммировании нескольких частот или интегрировании по частотам (инверсия во временной области) чувствительности станут более однородными и станет легче разрешить линеаризованную обратную задачу (потребуется меньше итераций). В случае двух однородных полупространств спектральные чувствительности просто масштабируются с изменением частоты, поскольку нет никаких параметров длины кроме длины волны источника. При добавлении свободной поверхности появляется дополнительный параметр той же

размерности в виде толщины слоя и поэтому диаграммы чувствительности зависят от частоты зондирующего сигнала более сложным образом.

Скорость (км/с)

х (км)

Рисунок 3.8: "Реальная" синтетическая скоростная модель используемая для генерирования "реальных" данных для применения МОП в частотной области. Источники и приемники располагались вдоль линии на глубине 20 м. В качестве функции источника использовался импульс Рикера с центральной частотой 12 Гц

Скорость (км/с)

х (км)

Рисунок 3.9: Результат после 94 итераций метода L-BFGS, с использованием трех временных частот 3, 11 и 19 Гц. При моделировании в опорных и реальной моделях свободная поверхность была заменена поглощающим слоем.

Для того чтобы исследовать вопрос качества инверсии в зависимости от количества одновременно обращаемых частот мы использовали метод обращения полных волновых полей в частотной области. В качестве тестовой исследуется возможность восстановления небольшой Гауссовой аномалии в верхнем приповерхностном слое в модели из однородного слоя над высокоскоростным однородным полупространством (Рис. 3.8). В случае, когда слой заменяется однородным полупространством (свободная

Скорость (км/с)

х (км)

Рисунок 3.10: Результат после 272 итераций с использованием свободной границы и

данных для тех же временных частот.

Скорость (км/с)

х (км)

Рисунок 3.11: Результат после 179 итераций, с использованием свободной границы и набора из 81-ой временной частоты между 3 и 19 что соответствует инверсии во

временной области.

граница на нулевой глубине заменяется поглощающим слоем) наблюденных данных для трех временных частот оказывается достаточно для успешного восстановления скоростной аномалии Рис. 3.9. При этом были использованы данные для выносов вплоть до 3km для восстановления неоднородности на глубине 300 m.

После ограничения слоя свободной поверхностью, которая порождает кратные волны результат инверсии оставляет желать лучшего: Рис. 3.10.

Рис. 3.14 показывает, как нормальные моды разрушают однородный характер спектральной чувствительности, но увеличивают среднюю чувствительность при восстановлении неоднородностей в верхнем слое. Критерий существования нормальных мод первого порядка в случае модели из однородного акустического слоя на однородном

Рисунок 3.12: Суммирование диаграмм для трех частот дает недостаточно однородную

интегральную диаграмму чувствительности.

акустическом полупространстве дается уравнением:

Я/Л > 1/(4^1 - (здМ)2), (3.27)

где Н - толщина слоя, Л = 2'кv0/u длина волны в верхнем слое (см. напр. [22]). Для соотношения = 1.7, критическое отношение толщины слоя к

длине волны Я/Л ~ 0.3, что означает, что нормальные моды первого рода только появляются на верхней правой панели Рис. 3.14, создавая несколько острых максимумов в диаграмме чувствительности. Рассеяние прямых волн и полных отражений, падающих на неоднородность в нормальные моды и наоборот порождает на диаграмме яркие дуги окружностей. В результате анализа чувствительностей можно заключить, что даже кратные волны первого порядка привязывают МОП к дискретному набору пространственных волновых чисел неоднородности. Суммирование по набору временных частот представляется естественным способом регуляризации проблемы, как показано на Рис. 3.12. Поскольку расположение локальных максимумов

Рисунок 3.13: Суммирование диаграмм для плотного набора из 81 частоты позволяет существенно улучшить гладкость интегральной диаграммы по сравнению с диаграммами для отдельных частот. Нормальные моды фиксированного порядка имеют одинаковые вертикальные координаты максимумов и минимумов чувствительности для различных частот. Смещение этих максимумов вдоль горизонтальной оси порождает горизонтальные полосы на интегральной диаграмме.

и минимумов зависит от частоты, суммирование значительно улучшает однородность чувствительности. Идеальным вариантом представляется использование всех частот одновременно, что соответствует методу обращения полных волновых полей во временной области. Чувствительности для низких временных частот оказываются более однородными и кратные волны в данном случае сильно увеличивают среднее значение спектральной чувствительности в области малых вертикальных волновых чисел. С увеличением частоты, диаграммы становятся более быстро осцилирующими с большим числом локальных максимумов, создаваемых комбинациями нормальных мод, соответствующих распространяющимся под различными углами кратным волнам.

Рисунок 3.14: Спектральные чувствительности рассеянного поля к изменениям в спектре скоростной модели в верхнем однородном слое для различных временных частот. Верхняя левая диаграмма показывает чувствительность в случае отсутствия свободной границы на нулевой глубине. Остальные диаграммы — чувствительности с

учетом кратных волн первого порядка. Все чувствительности нормированы на максимум в верхней левой панели, соответствующий случаю отсутствия кратных волн.

Если положить толщину слоя равной 500 м, то правая верхняя панель соответствует ультранизкой частоте зондирующего сигнала в 1.5 Гц, левая нижняя панель частоте в 3 Гц - самой низкой частоте, используемой для инверсии. Правая нижняя панель соответствует центральной частоте зондирующего сигнала в 12 Гц.

Нормальные моды не проникают в более глубокие части модели, что оказывает сильное влияние на спектральные чувствительности для неоднородностей в той части модели. Освещение неоднородностей становится более однородным за счет протекающих мод [102]. Область отрицательных значений вертикальных волновых чисел Кг в спектре освещается только восходящими волнами, поэтому в случае отсутствия в модели более глубоких рефлекторов возможность восстановления полного спектра

неоднородности на первых взгляд отсутствует. В случае вещественной скорости, тем не менее абсолютная величина спектра является центрально-симметричной функцией, а фаза центрально-антисимметричной. Поэтому в случае отсутствия затухания, полный спектр неоднородности может быть восстановлен по освещаемой части спектра в области волновых чисел с положительными вертикальными компонентами. Рис. 3.15 показывает

Рисунок 3.15: То же что и на Рис. 3.14, но для возмущения скорости в нижнем полупространстве, как показано на Рис. 3.7. В данных диаграммах учитываются только однократные отражения от более глубокого горизонта. Этого достаточно, чтобы восстановить полный спектр неоднородности в случае наличия неограниченных

выносов источник-приемник.

чувствительности в пространстве волновых чисел в присутствии более глубокого рефлектора. Светлые дуги окружностей на диаграммах соответствуют рассеянию преломленных волн, распространяющихся практически горизонтально на глубине неоднородности, поскольку коэффициент преломления для этого типа волн максимален. Для регистрации этого типа волн также необходимы большие выносы источник-приемник. Малые волновые числа в спектре неоднородности лучше восстанавливаются

с использованием кратных волн и при большей скорости в нижнем полупространстве, чем в верхнем, поскольку при этом соотношении скоростей в нижнем полупространстве есть волны распространяющиеся под произвольными углами.

3.3.3 Выводы

МСЧ показывает, что кратные волны первого порядка могут быть полезны при применении МОП. Если кратные волны порождаются рефлектором на глубине большей, чем глубина исследуемой неоднородности, то нормальные моды ухудшают обусловленность инверсии, концентрируя ее на дискретном наборе волновых чисел восстанавливаемой неоднородности, что ухудшает скорость сходимости МОП. Использование плотных наборов временных частот для инверсии в частотной области или МОП во временной области позволяет улучшить восстановление неоднородностей за счет сглаживания диаграмм чувствительности. Если область инверсии находится ниже рефлектора, порождающего кратные волны, на диаграммы чувствительности оказывает влияние только преломление протекающих мод. В этом случае увеличиваются амплитуды преломленных волн, распространяющихся практически горизонтально в нижнем полупространстве, улучшается восстановление в спектре неоднородности волновых чисел с малыми вертикальными компонентами. В любом случае для успешного применения МОП необходимы большие выносы источник-приемник.

3.4 Спектральные чувствительности для среды с постоянным градиентом скорости и роль рефрагирован-ных волн в восстановлении скоростных неоднород-ностей

В этом параграфе МСЧ обобщается на случай среды с постоянным вертикальным градиентом скорости, которая зачастую используется в качестве стартовой модели для МОП ([2; 104]). В среде такого типа единственный наблюдаемый тип волн — рефрагированные волны ("diving waves"), лучи которых представляют из себя дуги окружностей. Спектральные чувствительности в данном случае зависят как от частоты

зондирующего сигнала, так и от глубины залегания исследуемой неоднородности, поскольку модель является вертикально неоднородной в области неоднородности. Сравнивая диаграммы чувствительностей, можно прийти к выводу, что низкие временные частоты в наблюденных данных крайне полезны при первых итерациях МОП, однако, высокие временные частоты также содержат информацию о низких волновых числах в возмущении скорости, что дает возможность для МОП в отсутствии низких частот. При исследованиях также было выяснено, что низкие волновые числа лучше освещены в более глубоких частях модели в случае наличия неограниченных выносов в наблюденных данных.

3.4.1 Квази-плоские волны

Снова запишем волновое уравнение, описывающее давление р(г,1) как функцию координат г и времени £ в акустической среде постоянной плотности

1 д2р . л - Ь^ш, х^к

- АР = f(Г - Г0^) ->

Ш

с2 (г)

- к1 +