Математическое моделирование и оптимизация коррекции нестабильности позвоночника человека тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Седов, Роман Леонидович

• Седов, Роман Леонидович
• кандидат технических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат технических наук Седов, Роман Леонидович

Оглавление.

Основные обозначения и сокращения.

Введение.

Глава 1. Анализ математических моделей и методов исследования биомеханики позвоночника человека.

1.1. Нестабильность позвоночника.

1.2. Физические модели биомеханики позвоночника.

1.3. Применение метода конечных элементов в биомеханике позвоночника

Глава 2. Динамическая нестационарная математическая модель трёхпозвонкового комплекса человека.

2.1. Начальный этап построения математической модели нестабильности позвоночника.

2.2. Описание процесса построения математической модели трёхпозвонкового комплекса человека.

Глава 3. Численная реализация математической модели трёхпозвонкового комплекса человека.

3.1. Численные методы, используемые при реализации модели.

3.2. Программирование алгоритмов численного решения системы нелинейных дифференциальных уравнений.

Глава 4. Оптимизация коррекции нестабильности позвоночника человека.

4.1. Выбор критерия оптимальности и постановка математической задачи фундаментально обоснованной коррекции стабильности позвоночника человека.

4.2. Описание алгоритма численного метода векторной оптимизации.

4.3. Количественная оценка результативности хирургического лечения травм позвоночника с использованием относительных величин и модельных характеристик.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование и оптимизация коррекции нестабильности позвоночника человека»

Актуальность темы. Нестабильность поясничного и шейного отделов позвоночника является актуальной медицинской проблемой. Существующие хирургические способы решения этой задачи используют фиксаторы позвоночника. Необходимо отметить, что десятки таких устройств, применяемые на данный момент в хирургии, не прошли апробацию на вычислительных моделях и не отвечают природному распределению сил в позвоночнике.

Необходимо отметить, что по статистическим материалам Минздравсоцразвития РФ, в 2006 году среди общего числа заболеваний граждан 2.9% составляют травмы позвоночника различной степени тяжести. По разным источникам, заболеваниями спинно-шейных позвонков страдает от 10 до 30% людей в работоспособном возрасте. В пенсионом возрасте эти показатели резко возрастают. Среди всех травм повреждения позвоночника и спинного мозга составляют от 1,5 до 4%. Для изучения физиологии таких травм и разработки методов лечения нужны точные расчёты динамики позвоночного столба и его отдельных частей.

Нестабильность позвоночника человека является актуальной проблемой в вертебрологии. Создание пакета математических моделей позвоночника человека и его фрагментов позволит понять фундаментальную природу нестабильности позвоночника при различных травмах. Прикладная задача - создание программного обеспечения для специалистов нейрохирургии. Тем самым обеспечивается достижение главной цели — обоснованные и точно рассчитанные методы лечения конкретных заболеваний позвоночника, вызванных компрессионными переломами, в том числе, со смещением позвонков и другие смежные проблемы. Расчет динамических нагрузок для элементов позвоночного столба давно привлекает внимание исследователей различных специальностей, так как это напрямую связано с решением важных медицинских задач, а именно, оптимизация фиксирующих устройств при нестабильных повреждениях позвоночника и спинного мозга.

Решению данных актуальных задач и посвящена настоящая диссертационная работа.

Объектом исследования являются спинно-шейные позвонки на основе изучения трехпозвонковых комплексов человека с вариантом клиновидной деформации.

Предметом исследования являются биомеханическая система — трёхпозвонковый комплекс человека; методы системного анализа биомеханических конструкций и костной ткани; методы и алгоритмы численного расчета динамики моделируемой системы, основанные на системе дифференциальных уравнений Лагранжа II рода; стратегия и алгоритмы оптимального управления стабильностью трёхпозвонкового комплекса человека, включая целевые функции и функциональные ограничения параметров модели; выбор и реализация эффективных методов многокритериальной скалярной и векторной оптимизации; численные методы оптимизации параметров фиксирующих устройств, применяемых для устранения нестабильности позвоночника; информационное и программное обеспечение процесса внедрения результатов моделирования в практическую работу врача.

Цель работы состоит в создании научно-обоснованной динамической математической модели трёхпозвонкового комплекса человека (ДММТКЧ) и оптимальных параметров фиксирующих устройств трёхпозвонкового комплекса человека (ФУТКЧ), обеспечивающих высокую эффективность методов лечения нестабильности позвоночника и минимизацию материальных затрат, а также риска ошибок при использовании ФУТКЧ. Для реализации поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- анализ существующих методов исследования биомеханической системы позвоночника человека и теоретических работ по проектированию математических моделей подобных систем;

- разработка динамической математической модели трёхпозвонкового комплекса человека, задаваемой системой дифференциальных уравнений Лагранжа П рода;

- разработка алгоритма и численного метода реализации модели трёхпозвонкового комплекса человека, основанного на разностных схемах;

- систематизация поведения моделируемой биомеханической системы при различных начальных условиях и приложениях внешних нагрузок;

- оптимизация вектора целевых функций, имеющего следующие компоненты: функция смещения повреждённого позвонка (минимум разности смещения деформированного позвонка относительно положения равновесия), функции жесткости левого и правого фиксирующего устройства с сохранением подвижности позвоночника в физиологически допустимых пределах;

- разработка стратегии оптимального управления при выборе методов и механических устройств фиксации позвоночника {полуригидные конструкции).

Объектом исследования является позвоночный столб человека, представленный трехпозвонковым комплексом с моделируемыми вариантами его патологических состояний.

Предметом исследования являются: замкнутая голономная биомеханическая система — трёхпозвонковый комплекс человека.

Методы исследования. В работе используются методы теоретической механики, теории оптимального управления, системного анализа конструкций и биомеханических систем, теории и практики математического моделирования сложных биомеханических систем, численные методы решения нелинейных дифференциальных уравнений динамики сложной механической системы, методы решения оптимизационных многокритериальных задач, теория алгоритмов и программирования.

При моделировании ТПКЧ, система представляется в виде трёхэлементной системы позвонков, межпозвоночных: дисков и фиксирующих пластин, упрощённых до пружин с заданной жесткостью. Каждый элемент системы получает свое математическое описание в рамках динамики тела при действии внешних нагрузок.

Математическое моделирование проводилось на персональном компьютере Genuine CPU 2160, 1.8 GHz, 512 Mb с использованием инженерного пакета MathCAD.

Научная новизна

1. Впервые разработана научно-обоснованная динамическая математическая модель трехпозвонкового комплекса позвоночника человека с фиксацией двух позвонков (ДММТПКЧ) на основе уравнения Лагранжа II рода;

2. На основе предложенной модели изучено воздействие фиксаторов позвоночника на перераспределение нагрузок в системе и определены оптимальные параметры фиксаторов, позволяющих устранить нестабильность;

3. Доказана эффективность фиксирующих устройств позвоночника полуригидного типа, учитывающая физиологически нормальное распределение нагрузок в позвоночнике и его природную кинематику.

Достоверность и обоснованность.

Созданная научно-обоснованная ДММТПКЧ, базируются на положениях теоретической механики, теории оптимального управления, биомеханики позвоночника, теории и практики математического моделирования сложных биомеханических систем. Достоверность и обоснованность полученных в работе результатов и выводов подтверждается сопоставительным анализом между уже существующими и разработанными математическими моделями и методами, а также экспериментальными данными работы dr. Haber [87], итогами практического использования математической модели трёхпозвонкового комплекса человека при анализе хирургических операций на позвоночнике.

Адекватность выбранной размерности. Трёхпозвонковый комплекс рассматривается на плоскости (продольное сечение позвоночника) в связи с тем, что рассматриваемые задачи решаются при вертикально приложенной нагрузке.

Практическая значимость исследования: разработаны рекомендации по проектированию и внедрению фиксирующих устройств позвоночника; результаты математического моделирования динамической математической модели трёхпозвонкового комплекса человека нашли практическое применение в диагностике и хирургии позвоночника; совместно со специалистами-нейрохирургами выдвинуты рекомендации по применению динамических фиксирующих устройств межтеловой стабилизации на ранних стадиях износа смежных дисков позвоночника.

Научная и производственная значимость настоящей работы подтверждены медицинской практикой, рентгеновскими снимками до и после произведённых операций, историями болезней.

Реализация результатов работы. При непосредственном участии автора была разработана, реализована и оптимизирована ДММТПКЧ с фиксацией второго и третьего позвонка. Созданные комплексы алгоритмов, программ, оптимальные параметры фиксирующих устройств использованы при операциях на позвоночнике человека в 2004-2007 гг. в отделениях нейрохирургии Калининградской городской больницы скорой медицинской помощи и Калининградской городской клинической больницы (нейрохирург Орлов C.B. и др.), а также в учебном процессе по дисциплинам:

Математическое моделирование на ЭВМ» для инженерно-технических специальностей и «Моделирование на ЭВМ» для эколого-биологических специальностей (Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Калининградский государственный технический университет»).

Вся работа в целом, а также ее отдельные части могут бьггь использованы медицинскими учреждениями, занимающихся хирургическим лечением травм позвоночника человека.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы на различных этапах ее выполнения докладывались и обсуждались на следующих международных и межведомственных научных конференциях:

1. International 26th course for percutaneous endoscopic spinal surgery and complementary minimal invasive techniques: 2008. — Bethania Hospital, Zurich, Switzerland;

2. International 27th course for percutaneous endoscopic spinal surgery and complementary minimal invasive techniques: 2009. — Bethania Hospital, Zurich, Switzerland,

3. V Международная научная конференция «Инновации в науке и образовании - 2010» - ФГОУ ВПО «Калининградский государственный технический университет», 19-22 октября 2010 г.;

4. Международная научно-техническая конференция «Наука и образование—2008». — Мурманск, 2008 г.;

5. Шестая международная научно-практическая конференция «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности», СПб., 2008 г.;

6. XI Всероссийская медико-биологическая конференция молодых исследователей «Человек и здоровье», СПб., 2008 г.;

7. Международная научная конференция: «Российская наука и инженерная деятельность в социокультурном пространстве эксклавного региона: история, актуальные проблемы, перспективы развития», г. Калининград, КГТУ, 2007,

8. VII математический научный семинар КГТУ по теме «Моделирование в биомеханике», Калининград, 2009;

9. XI математический научный семинар КГТУ по теме «Численные методы решения систем дифференциальных уравнений в прикладных задачах», Калининград, 2009 и др.

Публикации. Основные научные результаты по теме диссертационной работы опубликованы в 16 печатных работах. Автор имеет 3 научных труда в изданиях, выпускаемых в РФ и рекомендуемых ВАКом для публикации основных результатов диссертации на соискание ученой степени кандидата наук.

Структура диссертационной работы определяется общим замыслом и логикой проведения исследований. Диссертация содержит введение, 4 главы, заключение и приложения, изложенные на 120 страницах компьютерного текста. В работу включены 41 рисунок, 7 таблиц, список литературы из 110 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Седов, Роман Леонидович

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

1. Седов P.JI. Оптимизация фиксирующих устройств на основе математической модели// Фундаментальная и клиническая медицина. Материалы XI Всероссийской медико-биологической конференции молодых исследователей «Человек и здоровье»/ СПбГУ. - СПб., 2008. -стр. 335.

2. Седов P.JI., Орлов C.B., Латышев К.С. Оптимизация фиксирующих устройств позвоночника на основе математической модели трёхпозвонкового комплекса человека // Вестник Российского государственного университета им. И. Канта. Вып. 10. — Калининград, 2009. - с. 42-48.

3. Седов Р.Л., Орлов C.B., Каныкин А.Ю., Москалёв В.П., ХЦедрёнок В.В. Математический расчёт прочности позвоночного столба при хирургическом лечении нестабильных переломов позвоночника // Вестник хирургии имени И.И. Грекова. Том 168. №2. - СПб., 2009.

4. Орлов C.B., Седов Р.Л., Бобарыкин Н.Д., Аполлинариев В.И. Математическое моделирование нестабильности позвоночника человека и методов стабилизации // Российский журнал биомеханики. Том 4, №3 (49) - Пермь, 2010. - с. 35-44.

5. Седов Р.Л., Орлов C.B., Бобарыкин Н.Д. О расчёте параметров динамических стабилизирующих конструкций на основе математической модели трёхпозвонкового комплекса человека// Математическое моделирование. Том. 22. №2. - М., 2010, с. 113 — 123.

6. Орлов C.B., Седов Р.Л. Математическое моделирование опорных структур позвоночника человека в норме и при его патологии// Материалы международной научной конференции «Образование, наука и инженерная деятельность в социокультурном пространстве эксклавного региона: история, актуальные проблемы, перспективы развития». ФГОУ ВПО «КГТУ» - 23-25 октября 2007 г., г. Калининград. - издательство ФГОУ ВПО «КГТУ», Калининград, 2007. С. 75-76.

7. Орлов С.В., Седов P.JL О расчете объёма позвонка с различными повреждениями // Материалы международной научной конференции «Образование, наука и инженерная деятельность в социокультурном пространстве эксклавного региона: история, актуальные проблемы, перспективы развития». ФГОУ ВПО «КГТУ» - 23-25 октября 2007 г., г. Калининград. - издательство ФГОУ ВПО «КГТУ», Калининград, 2007. С. 77.

8. Седов P.JL, Орлов С.В., Бобарыкин Н.Д. О математическом моделировании физических свойств стабилизирующих конструкций при лечении травм позвоночника человека// Высокие технологии, фундаментальные исследования, промышленность: Сборник трудов Шестой международной научно-практической конференции «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности». 16-17.10.2008. — Спб., 2008. — стр. 161.

9. Orlov S., Sedov R. Preoperative volume planning for vertebroplasty // International 26th course for percutaneous endoscopic spinal surgery and complementary minimal invasive techniques: 2008. - Bethania Hospital, Zurich, Switzerland p. 34.

Ю.Седов P.JL, Орлов C.B., Бобарыкин Н.Д., Графова Е.Н. О вариациях стабилизирующей пластины при помощи математической модели трехпозвонкового комплекса человека// Материалы Международной научно-техническая конференция «Наука и образование -2008». -Мурманск, 2008 г. - стр. 127.

11. Sedov R, Orlov S., Bobarykin N. Modelling of a human three-vertebra system and optimization of fixation constructions // Abstracts of International conference "Mathematical modeling and computational physics - 2009". Joint Institute for Nuclear Research, Laboratory of Information Technologies, Dubna, Moscow region, Russia, July 7 - July 11, 2009: Dubna, 2009. C. 158-160. (http://mmcp2009.jinr.ru/abstracts.asp)

12.Седов P.JI., Орлов C.B., Бобарыкин Н.Д. Численное решение систем с большим числом обыкновенных дифференциальных уравнений // Материалы IV Международной конференции «Инновации в науке и образовании - 2009» - ФГОУ ВПО «Калининградский государственный технический университет», 20-22 октября 2009 г.: изд-во ФГОУ ВПО «КГТУ». - Калининград, 2009.

13.Седов P.JL, Орлов С.В., Бобарыкин Н.Д., Аполлинариев В.И. Математическое моделирование биомеханики позвоночника человека // Труды V Международной научной конференции «Инновации в науке и образовании - 2010» - ФГОУ ВПО «Калининградский государственный технический университет», 1922 октября 2010 г.: изд-во ФГОУ ВПО «КГТУ». - Калининград, 2010.

14.0rlov S., Korenev S., Schedrenok W., Sedov R. The concept of motion preservation through spinal fusion // International 27th course for percutaneous endoscopic spinal surgery and complementary minimal invasive techniques: 2009. - Bethania Hospital, Zurich, Switzerland p. 21 -22.

15.Qrlov S., Schedrenok W., Sedov R. Objective quality of reconstruction of the spinal canal // International 28th course for percutaneous endoscopic spinal surgery and complementary minimal invasive techniques: 2010. -Bethania Hospital, Zurich, Switzerland p. 20.

16.Бобарыкин Н.Д., Графова E.H., Смертин B.M., Седов P.JI. Информатика и математическое моделирование функциональных процессов. Учебное пособие для инженерно-технических специальностей. - Калининград: изд-во КГТУ, 2009.-172с.

Заключение

По данным математического моделирования, в условиях нестабильного положения позвоночника, связанного с разрушением межпозвоночного диска или тела позвонка в том числе с изменением его упруго-прочностных свойств или геометрических параметров, оптимальным вариантом его стабилизации является применение фиксирующих конструкций упругого типа, например транспедикулярных систем с пружинными штангами из N1-11 сплава или системы «Оупез1з». Это позволяет сохранить распределение эпюр нагрузок на тела позвонков в пределах значений близких к природным - 0,7 / 0,3 [81, 82].

В результате реализации ММТКЧ получены следующие результаты:

1. Выполнен анализ современного состояния теории и практики актуальной задачи — моделирования процессов стабильности в позвоночном столбе человека сделал возможным сформулировать цели и задачи научных исследований создания научно-обоснованной ДНММТПКЧ, обеспечивающей моделирование стабильности ТПКЧ при клиновидной деформации среднего позвонка в области допустимых значений физиологических параметров.

2. Впервые поставлена и разработана научно-обоснованная ДНММТПКЧ, основанная на применении единой методологии моделирования биомеханических систем и оптимального управления фиксирующих устройств позвоночника человека, учитывающая физиологически нормальное состояние позвоночника, сохранение подвижности всего позвоночного столба.

3. Созданы алгоритмы и программное обеспечение численного решения разрешающей системы дифференциальных уравнений.

4. Представлены результаты разработки алгоритмов повышенного порядка точности, численного решения дифференциальных уравнений необходимых для тестирования и выверки применимости экономичных разностных схем первого порядка точности, при проведении оптимизационных расчетов;

5. Практическое значение результатов работы определяется тем, что они нашли применение в нейрохирургии. Более того, выдвинуты рекомендации специалистам, занимающихся лечением недугов позвоночника. При нестабильности позвоночника более физиологично применение динамических фиксирующих систем. Это доказывает выходные параметры ДНММТПКЧ. Применение динамических фиксирующих систем при межтеловой стабилизации является профилактикой раннего износа смежных дисков в системе.

6. Научная и производственная значимость настоящей работы подтверждены медицинской практикой, рентгеновскими снимками после операции, историями болезней.

SEDOV ROMAN THE MATHEMATICAL MODELING AND OPTIMISATION OF CORRECTION OF THE HUMAN'S SPYNE STABILITY

THE MAIN THESISES OF THE SCIENTITHIC WORK

KALININGRAD, RUSSIA, 2009

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Седов, Роман Леонидович, 2010 год

1. Авдеева К.Ю., Сивец Ю.В., Гладков A.B. Новый подход в использовании математического аппарата в пост роении трехмерной модели позвоночника // Хирургия позвоночника. 2005. No. 1. Новосибирск, 2005. с. 100-104.

2. Бегун П.И., Шукейло Ю.А. Биомеханика: Учебник для вузов.— СПб.: Политехника, 2000.— 463 с.

3. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука, 1994,442 с.

4. Березовский В.А., Колотилов H.H. Биофизические характеристики тканей человека: Справочник.— Киев: Наукова думка, 1990.— 192 с.

5. Бобарыкин Н. Д., Бобарыкина E.H. Инвариантный метод расчета кинематических характеристик механизмов на ПЭВМ: Сб. науч. трудов КГТУ.-1998.- С. 41-43.

6. Бобарыкин Н. Д., Орлов C.B. Математическое обоснование оптимальных методов стабилизации позвоночника при травме. Материалы международного симпозиума «Новые технологии в нейрохирургии», Санкт-Петербург, BMA, 2004, с. 232-234.

7. Бобарыкин Н.Д., Смертин В.М., Графова E.H., Латышев К.С., Орлов C.B. Математическое моделирование на ПЭВМ. Методические указания. Калининград: Kl ТУ, 2005.-75с.

8. Бочаров Г.А. Сопряженные уравнения и анализ чувствительности математических моделей. Деп. в ВИНИТИ № 2858-В94. М., 1994.

9. Бранное Г. Основы биомеханики / Пер. с болг.— М.: Мир, 1981.— 254 с.

10. ВайнбергМ.М. Функциональный анализ. М.: Просвещение, 1979.

11. П.Вакиста В.В., Шилько C.B. Нарушение подвижности позвоночника при спинальной нейротравме // Российский журнал биомеханики, №3. -2001.

12. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.

13. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.

14. Владимиров B.C., Волович И.В. Законы сохранения для нелинейных уравнений // Актуальные проблемы вычислительной математики и математического моделирования. Новосибирск: Наука. 1985. С. 147162.

15. Владимиров B.C., Волович И.В. Локальные и нелокальные токи для нелинейных уравнений. // Теор. и матем. физика. Т. 62, № 1984. С. 3-29.

16. Владимиров В. С, Марчук Г.И. Об определении сопряженного оператора для нелинейных задач // Докл. РАН. 2000. Т. 372, № 2. С. 165-168.

17. Воеводин В.В., Воеводин Вл. В. Параллельные вычисления. Санкт-Петербург «БХВ Петербург», 2002 г.

18. Гозулов С. А. Надежность человека-оператора как одного из направлений профилактики антропогенных аварий и катастроф/Медицина катастроф. 1994. № 1-2. С. 83-90.

19. Гозулов С. А. Проверено в небе, или преодоление ударных перегрузок//Авиационная медицина, психология и эргономика. 1995. № 1.С. 33-37.

20. Громов AXL Биомеханика травмы (повреждения головы, позвоночника и грудной клетки). М.: Медицина, 1979,275 е., ил.

21. Гурджикель B.C., Левик Ю.С. Скелетная мышца, структура и функция. — М.: Наука, 1985 — 143 с.

22. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972.

23. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1978.

24. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании, экономике. -М.: Мир, 1964.

25. Кнетс И.В., Пфафорд Г.О., Саулгозис Ю.Ж. Деформирование и разрушение твердых биологических тканей.— Рига: Зинатне, 1980.— 320 с.

26. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.

27. Компьютеры и нелинейные явления. М., Наука, 1988.

28. Корж A.A., Талышинский P.P., Хвисюк Н.И. Оперативные доступы к грудным и поясничным позвонкам (анатомо-хирургическое обоснование). М.: Медицина. — 1968.

29. Коробейников В. П. Математическое моделирование катастрофических явлений природы. -М.: Знание, 1986.

30. Краснощеков П. С., Петров А. А. Принципы построения моделей. М.: МГУ, 1983.

31. Краснощеков П.С., Петров A.A. Принципы построения моделей. М.: Изд-во МГУ, 1984.

32. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1971.

33. Кузнецов А. В., Сакович В. А., Холод Н. И. Высшая математика. Математическое программирование. -Минск: Вышейшая Школа, 2001.

34. Кузнецов И. А. Некоторые данные о химическом составе костей. — Труды Саратовского мед. ин-та. — Саратов, 1960, с. 31/48, с. 127 -131.

35. Латышев К. С., Бобарыкин Н. Д., Медведев В. В. Разностные методы решения системы одномерных газодинамических уравнений в задачах моделирования ионосферы //Ионосферные исследования.-1979.-№28.-М.: Сов. Радио, с. 37-49.

36. Латышев К.С., Орлов C.B., Бобарыкин Н.Д., Иванов A.A., Кожуров И.М. Математическая модель нестабильности позвоночника при углообразной деформации позвонков //Вестник РГУ им. Канта.-2006. Вып. 10. Физико-математические науки. С. 54-58.

37. Лебедев В.В. Математическое моделирование социально-экономических процессов. М.: ИЗОГРАФ, 1997.

38. Максимей И. В. Математическое моделирование больших систем. -Минск: Вышейша Школа, 1985.

39. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. 3-е изд. М.: Наука, 1989.

40. Марчук Г.И. О постановке обратных задач // ДАН СССР. 1964. Т. 156, № 3. С. 503-506.

41. Марчук Г.И., Агошков В.И., Шутяев В.П. Сопряженные уравнения и алгоритмы возмущений. M.: ОВМ АН СССР, 1986.

42. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989.

43. Маслов В.П. Теория возмущений и асимптотические методы. М.: Изд-воМГУ, 1965.

44. Математическое моделирование / Под ред. А.Н. Тихонова, В.А. Садовничего и др. М.: Изд-во МГУ, 1993.

45. Математическое моделирование / Эндрюс Дж., Мак-Лоун Р. — ред. -М.: Мир, 1979.

46. Михайлов А.П. Математическое моделирование распределения власти в иерархических структурах //Математическое моделирование. 1994, т.6, №6,108-138.

47. Мушкин А.Ю., Куклин Д.В., Евсеев В.А. Инструментальная фиксация позвоночника при пояснично-крестцовых спондилитах// Хирургия позвоночника. 2004. № 3. С. 50-52.

48. Пежович С., Чотек С., Филипяк Я., Беджинский Р., Ярмундович В., Чарек И. Влияние стабилизации на изменение характеристик жесткости шейного отдела позвоночника экспериментальное исследование // Российский журнал биомеханики: Пермь, 2003 №3.

49. Петров A.A., Поспелов И.Г., Шананин A.A. Опыт математического моделирования экономики. М.: Энергоатомиздат, 1996.

50. Пригожин И. Стенгерс И. Порядок из хаоса: Новый диалог с природой.-М.: Прогресс, 1986.

51. Проблемы прочности в биомеханике / И.Ф. Образцов, И.С. Адамович, A.C. Барср и др.; под ред. И.Ф. Образцова.— М.: Высш. школа, 1988.— 311 с.

52. Пытьев Ю.П. Математические методы анализа эксперимента. М.: Высш. школа, 1989.

53. Пытьев Ю.П. Методы математического моделирования измерительно-вычислительных систем. М.: Физматлит, 2002.

54. Пятая всесоюзная конференция по биомеханике. Тезисы докладов.— Нижний Новгород, 2000.

55. Розанов Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика. М., Наука, 1979. С. 941-944.

56. Самарский A.A., Гулин A.B. Введение в численные методы. М., Наука, 1989.

57. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.: Наука, Физматлит, 1997, 316 с.

58. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М., 1992. - 424 с.

59. Седов Л.И. Методы подобия и размерностей в механике. М.: Нука, 1981,448 с.

60. Соколов В.А. Множественные и сочетанные травмы. — М., 2006.

61. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М., Наука, 1986.

62. Топольскова Н.В., Каурова Т.А., Щедренок В.В., Иваненко A.B., Могучая О.В. Способы воздействия на периферические ветви тройничного нерва при его невралгии // Вестник хирургии им. И.И. Грекова. Том 168. Вып. 2. СПб., 2009.

63. Травматическая болезнь и ее осложнения // под ред. Селезнева С.А., Багненко С.Ф., Шапота Ю.Б. и др. Новосибирск, 2004.

64. Ульрих Э.В., Мушкин А.Ю. Вертебрология в терминах, цифрах, рисунках. М., 2000.

65. Четвертая всесоюзная конференция по биомеханике. Тезисы докладов.— Нижний Новгород, 1998.

66. Четверушкин Б.Н. Кинетически согласованные разностные схемы газовой динамики. М.: Наука, 1999.

67. Чуличков А.И. Математические модели нелинейной динамики. М.: Физматлит, 2000.

68. Шутяев В. П. О свойствах оператора управления в одной задаче об усвоении данных и алгоритмах ее решения // Мат. заметки. 1995. Т. 57, вып. 6.

69. Шутяев В.П. О вычислении функционала в одной нелинейной задаче с использованием сопряженного уравнения // ЖВМ и МФ. 1991. Т. 30, № 9. С. 1278-1288.

70. Шутяев В.П. Операторы управления и итерационные алгоритмы в задачах вариационного усвоения данных. М.: Наука: 2001.

71. Яглом И.М. Математические структуры и математическое моделирование. -М.: Советское радио, 1980.

72. Янсон Х.А. Биомеханика нижней конечности человека. — Рига: Зинатне, 1975.- 324 с.

73. Ясинский Р., Пежович Ц. Анализ изменений в перемещениях позвонка С2 (второго шейного позвонка) в физиологических условиях и при перегрузке // Российский журнал биомеханики: Пермь, 2006 №1.

74. Bucklen В., Wettergreen М., Heinkenschloss М., Liebschner М.: "Surface-Based Scaffold Design: A Mechanobiological Approach." IMECE 2005, Advances in Bio-Manufacturing. IMECE2005-81985.

75. Chi JH, Lee R, Mummaneni PV. Concepts of Surgical Correction-Segmental Derotation and Translation Techniques. Neurosurg Clin N Am 2007;18(2):325-328.

76. Denis F. Spinal instability as defined by the three column spine concept in acute spinal trauma. Clin. Orthop. 189:65. 1984.

77. Denis F. The three column spine and its significance in the classification of acute thoracolumbar spinal injuries. Spine. 1983;8:817-831.

78. Desjardins S.P. The evolution of energy absorption systems for crashworthy helicopter seats // Presented at the American Helicopter Society 59th Annual Forum, Phoenix, Arizona, 2003.

79. Fergusson R., Tencer A., Woodard P., Allen A. Biomechanical comparison of spinal fracture models and the stabilizing effects of posterior instrumentations. Spine 13:453.-1988.

80. Fung Y.C. Biomechanics.— New York.: Springer-Verlag, 1981.— 433 p.

81. Galli L, Rao K, Lund RD. Transplanted rat retinae do not project in a topographic fashion on the host tectum. Exp Brain Res. 1989;74(2):427-430.

82. Haber T.R., Felmly W., O'Brien M. Thoracic and lumbar fractures: diagnosis and management. // The textbook of spinal surgery: Philadelphia. -1991. Pp. 857-869.

83. Holdsworth F. Fractures, dislocations, and fracture-dislocations of the spine. J Bone Joint Surg Am. Dec 1970;52(8): 1534-51.

84. Hopf C., Scheidecker M., Steffan K., Bodem F., Eysel P. Gait analysis in idiopathic scoliosis before and after surgery: a comparison of the pre- and postoperative muscle activation pattern. // European Spine Journal. Vol. 7. No. 1. Pp. 6-11.

85. Kanter AS, Jagannathan J, Shaffrey CI, Ouellet JA, Mummaneni PV. Inflammatory and dysplastic lesions involving the spine review. Neurosurg Clin N Am 2008;19(1):93-109.

86. Keyoung HM, Kanter AS, Mummaneni PV. Delayed-onset neurological deficit following correction of severe thoracic kyphotic deformity. J Neurosurg Spine 2008;8(l):74-9.

87. Knop C, Fabian HF, Bastían L, Blauth M. Late results of thoracolumbar fractures after posterior instrumentation and transpedicular bone grafting. Spine. Jan 1 2001;26(l):88-99.

88. Lobdell T.E., Kroell C.K., Schneider D.C. et al. Impact response of the human thorax / Eds. W.F. King, H.J. Mertz. Human Impact Response Measurement and Simulation. N.Y.-L.: Plenum Press, 1973. P. 201-245.

89. Louis R: Single staged posterior lumbosacral fusion by internal fixation with screw plates. Proc Int Study Lumbar Spine. 1985.

90. M. Panjabi. Three-dimensional mathematical model of the human spine structure // Journal of Biomechanics, Volume 6, Issue 6, Pages 671-680.

91. Mummaneni PV, Robinson JC, Haid RW Jr. Cervical arthroplasty with the PRESTIGE LP cervical disc. Neurosurgery 2007;60(4 Suppl 2):310-4; discussion 314-5.

92. Reno Louis. Surgery of the Spine. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1983. p. 55-58.

93. Stech E.L., Payne P.R. Dynamic Models of the Human Body // Aerospace Medical Research Laboratory Report AMRL-TR-66-157. Wright-Patterson Air Force Base, Ohio, 1969.

94. Tawackoli W., Mendel E., Rhines L., Burton A., Liebschner M.: "Towards Acoustic Vibration as a Diagnostic Tool for Spinal Fractures." IMECE 2005, BED-Vol., 2005 Advances in Bioengineering, ASME 2005. IMECE2005-81976.

95. Thomas R. Häher, William Tallman Felmly, Michael O'Brien. Thoracic and Lumbar Fractures: Diagnosis and Management. // Spinal Surgery. — Philadelphia: J.B. Lippincott Company, 1991. vol.2. p. 857 - 910.

96. Ulrich A.Wagner Unter mitarbeit von Ottmar Schmitt, Hans-Martin Schmidt, Thomas Wallny. Atlas der Pedikelschraubenimplantate. Georg Thieme Verlag Stuttgart, 1998. p.1-2.

97. Wettergreen M., Bucklen B., Sun W., Liebschner M.: "Computer-Aided Tissue Engineering in Whole Bone Replacement Treatment". IMECE 2005, Advances in Bio-Manufacturing. IMECE2005-82000.

98. Whitesides T. Harrington instrumentation for thoracic and lumbar vertebral fractures. Acta Orthopaedica. Vol. 55, No. 1.1984. Pages 38-47

99. Zhong L., El-Daye D., Kaufman B., Tobaoda N., Liebschner M.: "OsteoConduct: Wireless Body-Area Communication based on Bone Conduction." BODYNETS. June 2007.