Математическое моделирование и численный анализ периодических процессов на сетях

Парт Анна Александровна

Математическое моделирование и численный анализ периодических процессов на сетях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Парт Анна Александровна

Парт Анна Александровна
кандидат наук
2018

Специальность ВАК РФ05.13.18

Количество страниц 139

Парт Анна Александровна. Математическое моделирование и численный анализ периодических процессов на сетях: дис. кандидат наук: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. ФГБОУ ВО «Петрозаводский государственный университет». 2018. 139 с.

Оглавление диссертации кандидат наук Парт Анна Александровна

Введение

Глава 1 Обозначения и вспомогательные предложения

1.1 Основные обозначения

1.2 Вспомогательные предложения

Глава 2 Качественный анализ аналитических методов исследования математических моделей периодических процессов на сетях

2.1 Основные понятия и определения

2.2 Слабое решение начально-краевой задачи

2.3 Существование слабого решения и анализ его свойств

Глава 3 Влияние внешнего распределенного воздействия на сетевой периодический процесс

3.1 Задача определения внешних воздействий, постановка задачи

3.2 Соотношения, определяющие оптимум

3.3 Задача определения внешних воздействий с временным

запаздыванием. Соотношения, определяющие оптимум

3.4 Задача синтеза внешнего воздействия

3.4.1 Синтез внешнего воздействия без запаздывания

3.4.2 Синтез внешнего воздействия с запаздыванием

Глава 4 Численный анализ начально-краевой задачи для периодической системы с распределенными параметрами на сети

4.1 Сеточные аналоги интегрируемых функций

4.2 Разностная схема

4.3 Сходимость и устойчивость разностной схемы

4.3.1 Разностный аналог энергетического неравенства

4.3.2 Устойчивость

4.3.3 Сходимость

4.4 {у} - аппроксимация интегральных тождеств

4.5 Алгоритмы определения приближенных решений

Глава 5 Программная реализация алгоритмов определения

приближений слабых решений

5.1 Комплекс проблемно-ориентированных программ

Заключение

Список литературы

Приложения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование и численный анализ периодических процессов на сетях»

Введение

Актуальность темы исследования. Вопросы математического описания периодических процессов, проходящих на сетях имеют отличие от процессов протекающих на классических многообразиях: формализмы описания периодического процесса в узлах сети (точечные фрагменты) отличаются от формализмов описания, используемых в остальных фрагментах сети (классические многообразия не фрагментированы, в силу этого процесс колебаний описывается одними и теми же формализмами).

Спецификой математического описания периодического процесса на сетях является свойство многофазовости описываемого процесса, подготовленное самой природой периодических процессов сплошных сред, которое не является однородными из-за сложного структурного состава (наличие нескольких фаз). Это является первопричиной использования классов суммируемых (интегрируемых на ограниченной области) функций, обладающими обобщенными производными, определяемыми с помощью интегральных тождеств, т.к. класс непрерывно дифференцируемых функций слишком узок и недостаточен для описания периодического процесса в многофазовой среде. В диссертационной работе предлагается выход за рамки последних, используя класс суммируемых функций. Переход к использованию такого класса функций, при математическом описании периодических процессов и явлений, позволяет более точно отразить их физическую сущность.

Исследования, стационарных колебательных процессов на пространственных сетях, проведенные в конце ХХ - начале XXI веков в работах С.А. Иванова, А.В. Боровских, М.Г. Завгороднего, Ю.М. Покорного, В.Л. Прядиева, В.А. Юрко, S. Nicaise, J. Below [9, 27, 28, 40,78, 109, 110, 118] (см. также работы А.И. Вольперта, С.И. Худяева [23]), сосредоточены на выводе теоретических закономерностей.

В последние 20 лет интенсивное развитие получил анализ нестационарных периодических процессов на пространственных сетях, в том числе задачи

оптимального управления указанными процессами (С.А. Авдонин, О.М. Пенкин, В.В. Провоторов, А.С. Волкова, Ю.А. Гнилицкая). Существенно расширяется класс функций, описывающих допустимые состояния дифференциальной системы, а именно, осуществляется переход от гладких к суммируемым функциям, являющимися элементами соболевских пространств, при этом дифференциальные уравнения, часть начальных и краевые условия заменяются интегральными тождествами (О.А.Ладыженская, Н.Н. Уральцева, J.-L. Lions, E. Magenes [44, 49, 112]). Численные методы анализа указанных задач до настоящего времени находятся в стадии формирования - существуют отдельные фрагменты численных исследований (А.С. Волкова, Ю.А. Гнилицкая [18 - 22, 24, 91]). Разумеется, алгоритмы и комплексы программ находятся на том же этапе развития.

Из сказанного вытекает актуальность темы исследования в следующих направлениях: развитие качественных методов анализа математических моделей нестационарных периодических процессов, численный анализ предлагаемых методов исследования моделей, построение и обоснование эффективных алгоритмов для отыскания решений соответствующих задач, формирование комплекса программных продуктов.

Цели и задачи исследования. Целью диссертационного исследования является развитие качественных аналитических методов анализа математических моделей нестационарных сетевых периодических процессов, развитие численных методов анализа указанных моделей в направлении использования их для класса суммируемых функций, разработка и обоснование необходимых эффективных алгоритмов, комплекса проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:

- математическое описание периодических процессов в терминах эволюционных начально-краевых задач гиперболического типа с

распределенными параметрами на графе (сети), построение для таких задач множеств допустимых слабых решений в классе суммируемых функций;

- обоснование существования слабого решения для эволюционного уравнения гиперболического типа с распределенными параметрами на сети, изучение его свойств для конструктивного определения приближений;

- разработка и обоснование численных методов, адаптированных к отысканию в классе суммируемых функций приближений слабого решения эволюционного уравнения гиперболического типа с распределенными параметрами на сети;

- разработка алгоритмов для отыскания приближений слабого решения с заданной точностью, где учитывается как архитектура сети, так и типы исходных данных задачи;

- разработка комплекса проблемно-ориентированных программ, реализующих предложенные численные методы и алгоритмы нахождения приближений слабого решения эволюционного уравнения гиперболического типа с распределенными параметрами на сети, а также включающего рекомендации по использованию.

Методы исследования. В диссертационной работе используются методы математического моделирования и фундаментальные методы современного анализа теории периодических процессов; методы построения разностных схем и методы аппроксимаций интегральных соотношений для эволюционных систем, их обоснование в классе суммируемых функций; современные технологии вычислительного эксперимента.

Положения, выносимые на защиту:

1. Разработаны новые подходы в направлении развития качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей периодических процессов и явлений в сетеподобных объектах, представленных эволюционными системами гиперболического типа с распределенными параметрами на сети; отличительной особенностью таковых подходов является использование класса суммируемых функций при описании указанных процессов

и явлений в многофазовых сплошных средах сетеподобной структуры. Представлены условия существования слабого решения эволюционных систем и установлены свойства этого решения, необходимые для численного построения и анализа приближений слабых решений.

2. Изучены задачи определения внешних воздействий на эволюционную систему с распределенными параметрами на сети без учета и с учетом временного запаздывания, задача синтеза внешнего воздействия без временного запаздывания и с запаздыванием. Представлены соотношения, определяющие оптимальные внешние воздействия.

3. Построена разностная схема эволюционной начально-краевой задачи гиперболического типа с распределенными параметрами на сети для отыскания приближений слабых решений в классе суммируемых функций, обоснованы ее устойчивость и сходимость. Представлена аппроксимация интегральных тождеств ({у}-аппроксимация) в конечномерных линеалах с базисом {у;} из

обобщенных собственных функций эллиптического оператора эволюционной системы.

4. Разработаны алгоритмы определения приближений слабого решения эволюционной системы гиперболического типа с распределенными параметрами на сети и алгоритмы определения внешних воздействий на эту систему.

5. Разработан комплекс проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента, получены решения серии тестовых задач, ориентированных на задачи прикладного характера.

Положения соответствуют пунктам 2,3,4 раздела «Области исследований» паспорта специальности 05.13.18.

Научная новизна диссертационного исследования состоит в следующих результатах:

1. Разработаны новые подходы для качественных и приближенных аналитических методов анализа математических моделей периодических процессов и явлений, которые используют класс суммируемых функций,

учитывают архитектуру сетей или сетеподобных объектов; и могут быть использованы в теоретических и практических исследованиях.

2. Представлено обоснование существования приближений решений начально-краевой задачи для эволюционной системы гиперболического типа с распределенными параметрами на сети в слабой постановке.

3. Разработаны и обоснованы вычислительные методы для отыскания приближений слабого решения эволюционной системы гиперболического типа с распределенными параметрами на сети и методы для синтеза внешнего воздействия на эту систему без запаздывания и с запаздыванием.

4. Разработаны алгоритмы и комплекс проблемно-ориентированных программ для ЭВМ с проведением вычислительных экспериментов на тестовых задачах.

Практическая значимость. Разработаны новые подходы для численного анализа математических моделей сетевых периодических процессов, которые учитывают архитектуру сети и структурную многофазовость процессов. Результаты работы могут быть использованы для разработок спецкурсов математического факультета Воронежского государственного университета, Института математики, механики и информатики Тамбовского государственного университета и ВУНЦ ВВС «Военно-воздушная академия им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж), а также при решении прикладных задач технического характера.

Достоверность научных положений и выводов диссертационной работы обеспечивается использованием отечественного и зарубежного опыта в решении задач, аналогичных представленным в диссертационной работе; сопоставлением полученных соискателем результатов с данными ведущих ученых по исследуемой в работе задаче; сравнительным анализом теоретических выводов с результатами вычислительных экспериментов; публикациями соискателя в рецензируемых научных изданиях, в том числе изданиях списка ВАК РФ.

Апробация работы. Материалы диссертационного исследования были представлены и обсуждались на научных конференциях и семинарах: IX, X Международная конференция "Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий" ПМТУКТ-2016, 2017 (Воронеж, 2016, 2017); IV Всероссийской НПК «Академические Жуковские чтения» (Воронеж, 2016); Межвузовская научно-практическая конференция «Молодежные чтения памяти Ю.А. Гагарина» (Воронеж, 2016, 2017); II Международная открытая конференция «Современные проблемы анализа динамических систем. Приложения в технике и технологиях», посвященной 100 -летию со дня рождения С.Г. Крейна (Воронеж, 2017); Международная научно-практическая конференция «Молодежный форум: прикладная математика. Математическое моделирование систем и механизмов» (Воронеж, 2017); Международного молодежного симпозиума «Современные проблемы математики. Методы, модели, приложения» (Воронеж, 2017), семинар проф. Жуковского Е.С. (Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, 2016, 2017), семинар проф. Корниенко В.В. (Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, 2016), семинар проф. Глушко А.В. (Воронежский государственный университет, 2016, 2017), семинар проф. Сумина А.И. (Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж)), 2016,2017,2018).

Публикации. Результаты диссертационного исследования опубликованы в 12 научных работах, в том числе 5 - в изданиях рекомендованных ВАК РФ.

Глава 1. Обозначения и вспомогательные предложения 1.1 Основные обозначения

В работе рассматриваются периодические процессы на сетях. При этом при математическом описании сети используются атрибуты и свойства геометрического графа, представленные в монографиях Ю.В. Покорного, О.М. Пенкина, В.Л. Прядиева, А.В. Боровских, К.П. Лазарева, С.А. Шаброва, Ю.А. Гнилицкой, А.С. Волковой, В.В Провоторова, В.А. Юрко [78, 90, 92, 110]. Используются термины и обозначения принятые в работах [90, 110].

Графом г будем называть совокупность двух множеств V и ш, где V = {Д- множество узлов графа, а ^ = {y,y2,...,Ym} - множеством ребер графа ,Д), , , нумерация ребер не зависит от нумерации

вершин). Пары (Д ) упорядочены, т.е. граф г - ориентированный. Ребра графа Yj параметризованы отрезком. Отметим, что параметризация отрезком и

ориентация зависит от типа графа. Узел, в который не идет ни одно ребро (ребра только исходят из узла), обозначим Д и будем называть корнем графа. Узел Д будем называть граничным, если он принадлежит только одному ребру. Такое ребро называется граничным. Остальные вершины и ребра называются внутренними. Множество граничных узлов будем обозначать ЭГ, множество внутренних узлов - J (Г).

В качестве примера графа г рассмотрим граф-звезду (представлен на рисунке 1), состоящий из трех ребер.

Ä У\

Рис.

Множество узлов V = {4,4,4,4}, множество ребер Ж = {у ,у,у} и корнь -4. Множество граничных узлов дГ = {40,4,4}, множество внутренних узлов J(Г) = {4}. Ребра графа г имеют одинаковую длину. Ребро у параметризовано отрезком [0,л/2], ребра у и у имеют параметризацию [л/2, л]. Ориентация на ребре у от узла 4 к узлу 4, на ребрах у и у от узла 4 к узлам 4 и 4 соответственно. Запись х е у означает, что всякой точке х ребра у соответствует численное значение из параметризованного диапазона. Так, если х е у, то значение параметра х: 0 < х <л/2, если х Еу или х е у, то значение параметра х: л/2 < х < л (если значение параметра х = л/2, то это означает принадлежность точки х узлу 4).

Отметим, что мы заменили термин «вершина графа», широко используемый в литературе, на «узел графа» в связи с тем, что в источниках, описывающих модели волновых процессов в промышленных сетеподобных конструкциях, используется термин «узлы сочленения» элементов конструкций.

На рисунках ниже приведены основные типы графов: цепочка (рисунок 2), звезда (рисунок 3), дерево (рисунок 4) и волновода с циклом (рисунок 5). Из вышеперечисленных типов волноводов можно формировать графы любого вида.

Скалярная функция /(х) на графе г - отображение /: г —»Ж., сужение

функции / (х) на ребро у будем обозначать / (х ). Интеграл от функции (х) по графу г понимается как сумма интегралов от сужений (х по каждому

ребру: |/ (х^х = ^ | / (хdx (знаки интегралов по ребрам у зависят от выбора

к= Ук ^

ориентации на каждом ук). На протяжении всего диссертационного исследования рассматриваются измеримые функции и используется интеграл Лебега.

Будем рассматривать г - геометрический граф (сеть). Обозначим корень -4, множество узлов - V = {%0,£1,...,£т} и множество ребер - Ж = {у1,у2,...,угп}. Основываясь на монографии [110], будем полагать, что ребра у графа г имеют

одинаковую длину и параметризованы отрезком [0,1]. Обозначим ЗГ -множество граничных узлов %. Узел % будем называть граничным, если он принадлежит только одному ребру. Такое ребро будем называть граничным. Все остальные вершины и ребра называются внутренними. Обозначим 3(Г) -совокупность внутренних % узлов графа г; Г - объединение всех ребер, не содержащих концевых точек (т.е. внутренних ребер) : Г0 =Г\К; К = ЭГи./(Г),

гт = г0х (0,Т) ( г = г0х (0, ^), згт = агх (0,т) (ег( = агх (0, ^).

Очевидно, что можно отчасти упорядочить точки на Г: для двух точек а и а, связанных отношением а - а2, если а лежит на единственном пути, соединяющем корень %0 с а. Если [о,ш] - ребро у, то о - точка начала ребра у, ш - точка конца ребра у. Совокупность всех ребер, не содержащих концевых точек, будем обозначать через Г; будем понимать под Г несвязное объединение всех ребер - замкнутых отрезков. Для всех внутренних узлов % обозначим через Я(%) множество ребер, исходящих из %. Длина пути для каждого узла % е У, который соединяет корень %0 с %, является целым неотрицательным числом, введем для него обозначение |у| и будем называть порядком узла %. Пусть Уу = {% е У: |%| = у} - множество узлов порядка у.

Узлы графа г занумеруем следующим образом: ЗГ = {%0,%,...%}, %р+1еУ(1), а %, у > р +1, занумерованы по возрастанию %, 3 (Г ) = {%р+1,%р+2,.,%т}. Занумеруем аналогично ребра: ук, к = 1, р +1 -

граничные ребра (ур+1 =[%0,%р+1 ]), ук = %,%к], к = Р + 2т ку < к, -внутренние ребра.

Ведем обозначение С (Г) - множество непрерывных на г функций, С (Г) - множество кусочно-непрерывных функций (непрерывность на ребрах, пределы в узле % по разным ребрам могут быть различны), Сп (Г) - множество функций для которых все производные до п-го порядка включительно принадлежат С (Г).

Через С"(Г) обозначим множество функций ((х)е С(Г0), компактный носитель которых лежит в Г (финитные, бесконечно дифференцируемые в Г функции).

Аналогично [44, 99] дадим определение обобщенной производной. Обобщенной производной функции и (х )е (Г) называется функция

и* (х) е (Г), удовлетворяющая равенству |и(х) ^х = и* (хх^х, при

всякой функции х )е С^(Г0). Обобщенную производную и * (х) функции и (х)

du (х)

будем обозначать символом —.

dx

Обозначим через (Г) пространство функций, интегрируемых с квадратом на г (аналогично вводится пространство (Гг), Гг=Гх(0,1)); ^2(Г) -пространство функций из (Г), имеющих обобщенную производную 1 -го порядка также из (Г); ^2(ГТ) - пространство функций из Х2(Г), имеющих обобщенные производные первого порядка из £2 (Гг); £2 ) - пространство

функций из (Гг) с нормой 11 и - пространство

о г

функций и( х, t) из Х2 (Г), имеющих обобщенную производную 1-го порядка по

х, принадлежащую Ь2(ГТ), ||м||^10(г }= || и(х^)2 +

Рассмотрим билинейную форму I (Аи) = /Г а (х ) ^ ^ + Ь (х х И х)

2 Л

К^) ^ дх у

dxdt.

р ^ <Лх <Лх J

\

ёх

с фиксированными измеримыми ограниченными на Г коэффициентами а(х),

Ь( х).

Теорема 1.1 [90, стр.116] Если функция и(х)е Ж,1 (Г) такова, что для фиксированной функции /(х) е (Г) имеет место I (и,^) -1/г](!х = 0 при любой

Г

х)е С"(Г0), тогда для каждого фиксированного ребра -еГ сужение du (х)

а (х) -- непрерывно в концевых точках этого ребра.

- dx

Из теоремы следует, что в пространстве Ж2 (Г) есть множество О функции и (х) е С (Г) (С (Г) - пространство непрерывных на г функций), удовлетворяющие соотношениям

X а О)-—:-7 = X а(0)—-

- еК(£) 7 ^ - ег(£) ах

во всех узлах £е 3(Г); замыкание в норме Ж2 (Г) множества функций из о, равных нулю во всех узлах £ е ЗГ, обозначим через Ж^о (а, Г).

Обозначим через О(а, Г) множество непрерывных во всех внутренних узлах

du (х)

3 (Г) функций и (х) из класса Ж,1 (Г), для которых сужение а (х)

<Лх у

Тс

непрерывно во всех концевых точках ребер -(к = 1,т) [90], при этом и(х)

удовлетворяют соотношениям

X а а)-,—7-^ = X а (0)- -^

- е К (£) - — е г (£) 7 ^

во всех узлах £ е 3(Г) (здесь К(£) - множество ребер, ориентированных «к узлу £», г(£) - множество ребер ориентированных «от узла £»; через и(-)

обозначено сужение функции и(-) на ребро -). Замыкание О(а, Г) в норме Ж2(Г)

обозначим через Ж2(а, Г). Пусть далее О (а, Гг) - множество функций

и( х, ^) е Ж\(ГТ), чьи следы определены на сечениях области Гг плоскостью ^ = ¿0

(¿0 е [0,Т]) как функции класса Ж2(а, Г) и удовлетворяют соотношениям

ди(1,Ог. _ du(0, t),.

S - av —= S ^ 7

Yj eД(i

Y dx Ypii Y dx

для всех узлов ^ е 3(Г) (обобщенные условия Кирхгофа [110]). Замыкание

множества ^(а,Гг) в норме W\(ГT) обозначим через №\(а,Гг). Символом (•,•)

везде ниже обозначено скалярное произведение в пространствах (Г) и (Гг).

Имеет место связь пространств W210 (а, Г) и W21 (а, Г), используемых ниже

при анализе специального базиса для построения приближений решений начально-краевых задач (главы 2 и 3):

Лемма 1.1 [90, стр. 95]. Пространства W20 (а,Г), W2 (а,Г) плотны в Ь2(Г).

1.2 Вспомогательные предложения

Для построения слабых решений в классе W\(a, Гг) рассмотрим начально-

краевую задачу

d2u(x,t) d f / sdu(x,t) -~---a (x)-

dt2

dx

+ b (x ) u (x, t ) = f (x, t)

i / \ du

ult=o = (( x ) ^

au ( x, t) + a ( x )

= щ( x ), x еГ,

=o

du ( x, t)

dx

0,0 < t < T,

dr

a = const, ((x) e W2(a,Г), iy(x)e L2 (Г), f (x,t)eL21 (Гг), 0 < a* < a(x)< a*, |b(jc)| <b, ieT, и ей соответствующую задачу на собственные значения (спектральную задачу [90, стр.116]) в пространстве W2 (a, Г) в слабой постановке

I (и,ч) = Л(ы,ч), (1.1)

для любых х)е W2 (а,Г); соотношение (1.1) представляет собой интегральное тождество

|| а(х) —(х) ) + Ь(х)и(хх) dx = Л|и(хх)Ах

р ^ Ах Ах ^ Р

для любых х )е Ж2 (а, Г). Ему соответствует классический формализм краевой задачи вида

А

dx

а

(х) ^¿Г + Ь (х) и (х )^ =1 (х),

аи (х) + а(х)

du (х)

ах

(1.2)

= 0,

ЗГ

в слабой постановке (см. п.2.2, главы 2).

Множество обобщенных собственных функций {уп (х )} краевой задачи (1.2), т.е. множество нетривиальных решений тождества (1.1), образуют ортогональный базис в пространстве Ж2 (а, Г), а значит, в силу плотности Ж2 (а, Г) в (Г) это множество является базисом в (Г). Имеет место

Теорема 1.2 1) Собственные значения {Ли} и собственные функции (х)}, определяемые билинейной формой I(и, вещественны. 2) Если коэффициент а(х) в форме I(и,ц) существенно положителен на Г, то собственные значения {Л} за исключением конечного числа первых положительные и имеют конечную кратность. 3) Система собственных функций {уп (х)} образует ортонормированный базис в пространствах Ь2 (Г) и

Ж20(а,Г) (в нормах Ь2(Г) и Ж2 (а,Г)).

Из утверждения теоремы 1.2 вытекает следующий очевидный факт: любая функция ф(х) из множества Ж2 (а,Г) однозначно представима в виде обобщенного ряда Фурье

ф(х)=Хф ^ (х)' ф=|ф(х ^ (х)

1=1 Г

Глава 2. Качественный анализ аналитических методов исследования математических моделей периодических процессов на сетях

2.1 Основные понятия и определения

Напомним основные обозначения, подробно описанные в главе 1. Обозначим через г геометрический граф (сеть). Будем полагать, что ребра у графа г имеют одинаковую длину и параметризованы отрезком [0,1]. Обозначим ЗГ - множество граничных узлов £ (узел, к которому примыкает одно ребро), /(Г) - множество внутренних £ узлов (узел, к которому примыкает более одного ребра); Г - объединение всех ребер, не содержащих концевых точек: Г = Г0х (0,Т), ЗГг = ЗГ х (0,Т).

Опираясь на работы [44, 99], дадим определение обобщенной производной. Обобщенной производной функции и (х )е (Г) называется функция

(х) е (Г), удовлетворяющая равенству

*

и (х

| и ( х ) ——^—^—х = и* ( х )—( х )зХ

\ / ' \ / х '

—х

Г 1

при всякой функции — (х)е С"(Г0) (С"(Г0) - пространство бесконечно дифференцируемых финитных на Г функций, равных нулю в окрестности ЗГ). Обобщенную производную и * (х) функции и (х) будем обозначать символом —и (х)

—Здесь и далее все функции измеримы и используется интеграл Лебега, —х

причем | / ( х )—х = ( х )—х.

Г у у

Обозначим через (Г) пространство функций, интегрируемых с квадратом на г (аналогично вводится пространство (Гг)); ^(Г) - пространство функций из (Г), имеющих обобщенную производную 1 -го порядка также из (Г) (аналогично вводится пространство ^2(ГТ)); 1(Г) - пространство

т

функций из (Гг) с нормой 11 и - пространство

о г

функций и( л:, t) из (Гг), имеющих обобщенную производную 1-го порядка по

Г г ди( х, г

и2( х, г) +

дх

dxdt.

у у

л

dx

х, принадлежащую 32(Тт), || и = |

т

Рассмотрим билинейную форму

, = ^ а (х ) ^ + Ь (х И х И х

с фиксированными измеримыми ограниченными на Г коэффициентами а(х), Ь( х). Обозначим через О(а, Г) множество непрерывных во всех внутренних узлах

3 (Г) функций и (х) из класса Ж2 (Г), для которых сужение а (х) ( )

<^х у

Л

на

ребро у, непрерывно во всех концевых точках ребер, при этом и (х) удовлетворяют соотношениям

£ а(1)^ = X а(0)^

уеК (%) ^ уег (%) ^

во всех узлах % е 3(Г) (здесь Я(%) - множество ребер, ориентированных «к узлу %», г(%) - множество ребер ориентированных «от узла %»). Замыкание О(а,Г) в норме ^(Г) обозначим через ^(а, Г). Пусть далее О (а, Гг) - множество функций и(х, г) е ^1(ГТ), чьи следы определены на сечениях области Гг плоскостью г = г0 (г0 е[0,т]) как функции класса ^(а, Г) и удовлетворяют соотношениям

£ а(1) диМ = £ а(0) ди(М

уеК(%) дх уег (%) дх

для всех узлов % е 3(Г). Замыкание множества О (а, Гг) в норме )

обозначим через Ш\(а, Гг).

2.2 Слабое решение начально-краевой задачи

Основополагающей концепцией исследований, представленных ниже, является замена классических постановок задач на сети обобщенными (слабыми постановками) [44]. При этом указывается пространство, в котором определяется слабое решение задачи. Было установлено [43, 44, 89 - 91], что «допустимыми» решениями линейного дифференциального уравнения надо считать те, которые удовлетворяют некоторому интегральному тождеству, заменяющему собой уравнение и, возможно, часть начальных и краевых условий .

Исследуем разрешимость в пространстве Ж\(а, Гг) начально-краевой задачи

для уравнения гиперболического типа с распределенными параметрами на ориентированном ограниченном графе, при этом рассматривается третья краевая задача, граничные условия которой сведены к однородным:

d2u (x, t) d f / xdu (x, t) -~---a (x)-

dt2

dx

+ b (x) u (x, t ) = f (x, t)

u

It=0

/ ч du ( x)' ¥

y/( x ), x еГ,

t=0

au ( x, t) + a ( x )

du ( x, t)

dx

0,0 < t < T,

(2.1)

(2.2)

(2.3)

дГ

здесь a = const, ((x) е ^(a, Г), x)е L2 (Г), f (x, t)е L21 (Гг). Относительно коэффициентов a (x) и b (x) имеют место предположения

0 < а* < а(х) < а, ^ Ъ, хеГ.

(2.4)

Ставится вопрос: что естественно понимать под слабым решением задачи (2.1)-(2.3) в пространстве Ж,1 (Г). Ясно, что произвольный элемент и(х) из

Ж, (Гг) не может удовлетворять ни уравнению, ни краевому условию. Поэтому то и другое надо «погрузить» в интегральное тождество. Для этого формально умножаем (2.1) на произвольную функцию м(х,t)еЖ2(а,Гг)м(х,Т) = 0 и интегрируем по Гг. После этого, проводя в первом и втором членах интегрирование по частям, учитывая условия (2.2) и (2.3), приходим к тождеству

зЦхО +Д (х )ди[х1!) Мх!)+ь (х) и (х, t м х, t)

} I дt дt У ' дх дх У } У } К у „

Г у у (2.5)

+ | аи(х,t)м(х,t)dxdt = |^(х)м(х,0)dx +| /(х,t)м(х,t)dxdt

дГг

Л

dxdt +

справедливому при любых м(х,t)еЖ2 (а,Гг),м(х,Т) = 0. Согласно [44], если функция и(х) удовлетворяет (2.1)-(2.3), то она удовлетворяет интегральному тождеству (2.5) и наоборот.

Определение 2.1 Слабым решением класса Ж2 (Г) краевой задачи (2.1)-

(2.3) называется функция и(х, е Ж^а, Гг), равная (( х) при 1=0 и удовлетворяющая интегральному тождеству (2.5) при любых М( х, t )еЖ21 ( а, ГТ ),м( х,Т ) = 0.

Заметим, что слабые решения, в литературе часто называют обобщенными решениями [44, 99].

Следует отметить, что в силу одномерности параметра х в определении 2.1 можно использовать и классическую производную. Тогда решение определяется в классе абсолютно непрерывных функций, а значит, первая производная по х суммируема. Однако, здесь и ниже используется обобщенная производная, что открывает пути перехода к многомерной пространственной переменной х.

2.3 Существование слабого решения и анализ его свойств

Предварительно покажем, что для решений и (х, г) начально-краевой задачи (2.1)-(2.3) в пространстве Ж,2 (а,Гг) (пространство функций и(х,г) из (а,Гг),

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Парт Анна Александровна, 2018 год

Список литературы

[1] Александров, А.Ю. К вопросу об устойчивости по нелинейному приближению / А.Ю. Александров // Сибирский математический журнал. - 1997. - Т. 38, № 6. - С. 1203-1210.

[2] Александров, А.Ю. Об устойчивости положений равновесия нелинейных неавтономных механических систем / А.Ю. Александров // Прикладная математика и механика. -2007. - Т. 71, № 3. - С. 361-376.

[3] Александров, А.Ю. Об устойчивости решений одного класса нелинейных систем с запаздыванием / А.Ю. Александров, А.П. Жабко // Автоматика и телемеханика. - 2006. - № 9. - С. 3-14.

[4] Александров, А. Ю. Об асимптотической устойчивости решений одного класса систем нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием / А.Ю. Александров, А.П. Жабко // Известия вузов. Математика. - 2012. - № 5. - С. 3-12.

[5] Александров, А.Ю. Об асимптотической устойчивости решений нелинейных систем с запаздыванием / А.Ю. Александров, А.П. Жабко // Сибирский математический журнал. - 2012. - Т. 53. № 3. - С. 495-508.

[6] Александров, А.Ю. Об абсолютной устойчивости одного класса нелинейных систем с переключениями / А.Ю. Александров, А.В. Платонов // Автоматика и телемеханика. - 2008. - № 7. - С. 3-18.

[7] Аткинсон, Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи / Ф. Аткинсон. - М.: Мир, 1968. - 749 с.

[8] Белишев, М.И. О граничной управляемости динамической системы, описываемой волновым уравнением на одном классе графов (на деревьях) / М.И. Белишев // СПб.: Записки научных семинаров ПОМИ. - 2004. - Т. 308. - С.23-45.

[9] Боровских, А.В. Формула распространения волн для одномерной неоднородной среды / А.В. Боровских // Дифференциальные уравнения. - 2002. -Т. 38. № 6. - С.758-767.

[10] Бутковский, А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами / А.Г. Бутковский. - М.: Наука, 1965. - 474 с.

[11] Бутковский, А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами / А.Г. Бутковский. - М.: Наука, 1975. - 568 с.

[12] Веремей, Е.И. Алгоритмы решения одного класса задач Н ад -оптимизации систем управления / Е.И. Веремей // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2011. - № 3. - С. 52-61.

[13] Веремей, Е.И. Оптимизационный подход к моделированию и разработке информационно-управляющих систем / Е.И. Веремей // Прикладная информатика. - 2012. - № 6. - С. 34-41.

[14] Веремей, Е.И. Основные направления применения компьютерных технологий в задачах управления динамическими объектами / Е.И. Веремей // Вестник Воронеж. гос. ун-та. Серия: Системный анализ и информационные технологии. - 2012. - № 1. - С. 16-21.

[15] Веремей, Е.И. Стабилизация плазмы на базе прогноза с устойчивым линейным приближением / Е.И. Веремей, М.В. Сотникова // Вестник Санкт-

Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2011. - № 1. - С.116-133.

[16] Веремей, Е.И. Выбор оптимальных параметров обратной связи специальной структуры / Е.И. Веремей, В.В. Еремеев // Вестник Ленинградского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия. - 1988. - T. 2, № 8. -С. 91-94.

[17] Веремей, Е.И. Компьютерное моделирование систем управления движением морских подвижных объектов/ Е.И. Веремей, В.М. Корчанов, М.В. Коровкин, С.В. Погожев. - СПб: НИИ Химии СПбГУ, 2002. - 370 с.

[18] Волкова, А.С. Фредгольмова разрешимость в классе W22 задачи Дирихле для уравнения эллиптического типа на графе-звезде / А.С. Волкова // Математика и ее приложения, ЖИМО. - 2011. -1(8).- С.15-28.

[19] Волкова, А.С. Задача граничного управления сложносочлененной упругой системой струн / А.С. Волкова // Системы управления и информационные технологии. - 2012. -№ 4 (50). - С. 79-83.

[20] Волкова А.С. Модели и численные методы исследования диффузионных и волновых процессов в сетеподобных системах: дис. канд. физ.-мат. наук: 05.13.18/ Волкова Анна Сергеевна - Воронеж, 2014. - 186с.

[21] Волкова, А. С. О разрешимости краевых задач для уравнений параболического и гиперболического типов на геометрическом графе / А. С. Волкова, Ю. А. Гнилицкая, В. В. Провоторов // Системы управления и информационные технологии. - 2013. -№ 1 (51).- С. 11-15.

[22] Волкова А.С. Обобщенные решения и обобщенные собственные функции краевых задач на геометрическом графе / А.С. Волкова, В.В. Провоторов // Известия высших учебных заведений. Математика. - 2014. - № 3. -С. 3-18.

[23] Вольперт, А.И. Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики / А.И. Вольперт, С.И. Худяев . - М.: Наука, 1975. - 394 с.

[24] Гнилицкая, Ю.А. Граничное управление колебаниями системы струн / Ю.А. Гнилицкая // Процессы управления и устойчивость: Труды 43-й международной научной конференции аспирантов и студентов ; под ред. А. С. Ерёмина, Н. В. Смирнова. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та. - 2012. -- С. 2125.

[25] Жабко, А.П. Устойчивость дифференциально-разностных систем с неопределенными параметрами / А.П. Жабко, Д.В. Зарецкий // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия. -2004. - № 1. - С. 3-5.

[26] Жабко, Н.А. Параметрическая идентификация динамических моделей морских судов / Н.А. Жабко // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2012. - T.8. № 1. - С. 80-84.

[27] Завгородний, М.Г. Спектральная полнота корневых функций краевой задачи на графе / М.Г. Завгородний // Доклады РАН. - 1994. - Т.335, № 3. - С.281-285.

[28] Завгородний, М.Г. Об эволюционных задачах на графе / М.Г. Завгородний // Успехи математических наук. - 1991. - Т.46, № 6. - С.199-200.

[29]. Знаменская, Л.Н. Управление упругими колебаниями / Л.Н. Знаменская. - М.: Физматлит, 2004. - 175 с.

[30] Зубов, В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования / В.И. Зубов. - Л.: Судостроение, 1959. - 324 с.

[31] Зубов, В.И. Устойчивость движения / В.И. Зубов. - М.: Высш. школа, 1973. - 272 с.

[32] Зубов, В.И. Лекции по теории управления / В.И. Зубов. - М.: Наука, 1975. - 496 с.

[33] Зубов, В. И. Проблема устойчивости процессов управления / В.И. Зубов. - Л.: Судпромгиз, 1980. - 253 с.

[34] Ильин, В.А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах за произвольный промежуток времени / В.А. Ильин // Дифференциальные уравнения. - 1999. - Т. 35. № 11. - С.1517-1534.

[35] Камачкин, А.М. Метод декомпозиции в многомерных нелинейных динамических системах / А.М. Камачкин, В.Н. Шамберов // Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования: Материалы Международной научной конференции. - Воронеж. ВГУ. - 2011. - С. 2-5.

[36] Камачкин, А.М. Декомпозиция многомерных нелинейных систем со сложными структурами / А.М. Камачкин, В.Н. Шамберов // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы XII Международной конференции.- М.: Изд-во ИПУ РАН. - 2012. - С. 162-163.

[37] Карелин, В.В. Штрафные функции в одной задаче управления / В.В. Карелин // Автоматика и телемеханика. - 2004. - № 3. - С. 137-147.

[38] Карелин, В.В. Штрафные функции в задаче управления процессом наблюдения / В.В. Карелин // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2010. -№ 4. - С. 109-114.

[39] Карелин В.В. Один подход к задаче оценки параметров динамической системы в условиях неопределенности / В.В. Карелин // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2012. - № 4. - С. 31-36.

[40] Каменский, М.И. О полугруппе в задачах диффузии на пространственной сети / М.И. Каменский, О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный // Доклады АН СССР. - 1999. - Т. 368 (2). - С. 157-159.

[41] Коровкин М.В. О двух подходах к параметрической идентификации на базе нейросетевых технологий / М.В. Коровкин // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2012. - Т. 8, № 1. - С. 85-88.

[42] Костюченко, А.Г. Распределение собственных значений / А.Г. Костюченко, И.С. Саргсян. - М.: Наука, 1979. - 400 с.

[43] Ладыженская, О.А. Смешанная задача для гиперболического уравнения / О.А. Ладыженская. - М.: Гостехиздат, 1953. - 279 с.

[44] Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики / О.А. Ладыженская. - М.: Наука, 1973. - 407 с.

[45] Левитан, Б.М. Введение в спектральную теорию / Б.М. Левитан, И.С. Саргсян. - М.: Наука, 1970. - 381 с.

[46] Левитан, Б.М. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака / Б.М. Левитан, И.С. Саргсян. - М.: Наука, 1988. - 432 с.

[47] Лепихин, Т.А. Методы повышения быстродействия цифровых систем с линейной обратной связью / Т.А. Лепихин // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2010. - № 4. - С. 96-108.

[48] Лионс, Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / Ж. -Л. Лионс. - М.: Мир, 1972. -

414 с.

[49] Лионс, Ж. -Л. Неоднородные граничные задачи и их приложения / Ж. -Л. Лионс, Э. Мадженес. - М.: Мир, 1971. - 371 с.

[50] Марченко, В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения / В.А. Марченко. - Киев: Наукова думка. 1977. - 384 с.

[51] Марчук, Г.И. Методы вычислительной математики / Г.И. Марчук. - М.: Наука, 1977. - 454 с.

[52] Махинова, О.А. Аппроксимация эволюционных задач с носителем на графе / В.В. Провоторов, О.А. Махинова // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2010. - Т. 6, № 7. - С. 74-80.

[53] Махинова, О.А. Аппроксимация одномерного оператора Лапласа на графе-звезде / О.А. Махинова // Вестник Тамбовского государственного университета. Серия естественных и технических наук. - 2011. - Т. 16, вып. 4. - С. 1124-1126.

[54] Махинова, О.А. Конечная проблема моментов для краевых задач на графе / О.А. Махинова // Вестник Тамбовского государственного университета. Серия естественных и технических наук. - 2011. - Т. 16, вып. 5- С. 1264-1269.

[55] Махортов, С.Д. Алгебраический подход к исследованию и оптимизации баз знаний продукционного типа / С.Д. Махортов, С.Л. Подвальный // Информационные технологии. - 2008. - №8. - С.55-60.

[56] Назипова, Н. Н. Расчёт скоростей метаболических реакций в живой растущей клетке методом баланса стационарных метаболических потоков / Н. Н. Назипова, Ю. Е. Елькин, В. В. Панюков, Л. Н. Дроздов-Тихомиров // (метод БСМП), Матем. биолог. и биоинформ. - 2007. - 2:1. - С.98-119.

[57] Наймарк, М.А. Линейные дифференциальные операторы / М.А. Наймарк. - М.: Наука,1969. - 526 с.

[58] Натансон, И.П. Теория функций вещественной переменной / И.П. Натансон. - М.:Наука, 1974. - 614 с.

[59] Парт, А.А. Разрешимость начально-краевой задачи гиперболического типа с распределенными параметрами на сети / А.А. Парт// Системы управления и информационные технологии.-2016. - №3.- С.19-23.

[60] Парт, А.А. Единственность слабого решения начально-краевой задачи гиперболического типа с распределенными параметрами на сети [Текст] / А.А.

Парт // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки.- 2016.- Т. 21. Вып. 6. - С. 2138-2142.

[61] Парт, А.А. Начально-краевая задача для уравнения гиперболического типа и ее разрешимость / А.А. Парт // Сборник трудов IX международной конференции «Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий». - 2016.- С.266-268.

[62] Парт, А.А. Слабая разрешимость третьей краевой задачи для уравнения гиперболического типа / А.А. Парт // Труды Международной научно-практической конференции «Международная научная школа «Парадигма». Лето-2016» Республика Болгария. - 2016.- выпуск 2 - С.18-22.

[63] Парт, А.А. О единственности слабого решения третьей краевой задачи для уравнения гиперболического типа / А.А. Парт // Труды II Международной открытой конференции «Современные проблемы анализа динамических систем. Приложения в технике и технологиях» . - 2017. - С.113-116.

[64] Парт, А.А. Априорные оценки решения третьей краевой задачи гиперболического типа на графе / А.А. Парт // Труды Международной научно -практической конференции «Молодёжный форум: прикладная математика. Математическое моделирование систем и механизмов». - 2017г. - С.406-408.

[65] Парт, А.А. Аппроксимация начально-краевой задачи гиперболического типа с распределенными параметрами на сети / А.А. Парт // Труды Третьего международного молодежного симпозиума «Современные проблемы математики. Методы, модели, приложения». - 2017. - С. 73-77.

[66] Парт, А.А. Задача оптимизации гиперболической системы в пространстве ^1(ГТ) / А.А. Парт, Н.Е. Косниковский // Сборник трудов X

международной конференции «Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий». - 2017. - С.283-286.

[67] Парт, А.А. Метод приближенного решения начально-краевой задачи гиперболического типа на сети / А.А. Парт, Н.Е. Косниковский // Сборник трудов IV научно-практической конференции «Молодёжные чтения, посвященные памяти Ю.А. Гагарина». - 2017. - С. 80-84.

[68] Парт, А.А. Слабая разрешимость многомерной начально-краевой задачи с распределенными параметрами в сетеподобной области / А.А. Парт, Л.Б. Райхельгауз // Системы управления и информационные технологии. - 2017. -№4(70) - С. 19-23.

[69] Парт, А.А. Разностная схема для начально-краевой задачи гиперболического типа с распределенными параметрами на сети / А. А. Парт, П.В. Садчиков // Системы управления и информационные технологии. - 2017. -№1(67). - С. 9-12.

[70] Парт, А.А. Задача оптимизации для гиперболической системы с распределенными параметрами на графе / А. А. Парт, П.В. Садчиков // Системы управления и информационные технологии. - 2017. - №2(68). - С. 16-21.

[71] Пенкин, О.М. Эллиптические уравнения на стратифицированных множествах : дис д-ра физ.-мат. наук: 05.13.18/ Пенкин Олег Михайлович. -Воронеж, 2004. - 191 с.

[72] Пенкин, О.М. О слабой разрешимости задачи Дирихле на стратифицированных множествах / О.М. Пенкин, Е.М. Богатов // Математические заметки. - 2000. -№ 6. - С. 874-886.

[73] Подвальный, С.Л. Моделирование промышленных процессов полимеризации/ С.Л. Подвальный. - М.: Химия. 1979.- 256 с.

[74] Подвальный, С.Л. Информационно-управляющие системы мониторинга сложных объектов/ С.Л. Подвальный. - Воронеж: Научная книга. 2010. - 164 с.

[75] Подвальный, С.Л. Численные методы и вычислительный эксперимент/ С.Л. Подвальный, Л.В. Холопкина, Д.В. Попов. - Уфа: изд. УГАТУ. 2005. - 226 с.

[76] Подвальный, Е.С. Модели индивидуального прогнозирования и классификации состояний в системах компьютерного мониторинга/ С.Л. Подвальный. - Воронеж: изд. ВГТУ. 1998. - 127 С.

[77] Подвальный С.Л. Оптимизационные задачи для эволюционных систем с распределенными параметрами на графе / С.Л. Подвальный, В.В. Провоторов // Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий (ПМТУКТ-2014) сборник трудов VII Международной конференции. - 2014. - С. 282-286.

[78] Покорный, Ю.В. Дифференциальные уравнения на геометрических графах/ Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин, В.Л. Прядиев, А.В. Боровских, К.П. Лазарев, С.А. Шабров. - М.: Физматлит, 2004. - 268 С.

[79] Провоторов, В.В. Математическое моделирование колебательных процессов поддерживающих растяжек упругой мачты / В.В. Провоторов // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Системный анализ и информационные технологии. - 2006. - № 2. - С. 28-35.

[80] Провоторов, В.В. Разложение по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля на графе-пучке / В.В. Провоторов // Известия высших учебных заведений. Математика. - 2008. - № 3. - С. 50-62.

[81] Провоторов, В.В. К вопросу построения граничных управлений в задаче о гашении колебаний системы «мачта-растяжки» /В.В. Провоторов // Системы управления и информационные технологии. - 2008. - № 2.2 (32). - С. 293297.

[82] Провоторов, В.В. Собственные функции краевых задач на графах и приложения / В.В. Провоторов. - Воронеж, 2008. - 247 с.

[83] Провоторов, В.В. Собственные функции задачи Штурма-Лиувилля на графе-звезде / В.В. Провоторов //Математический сборник. - 2008. - Т. 199. № 10. - С.105-126.

[84] Провоторов, В.В. Управление колебаниями механической системы «мачта-растяжки» / В.В. Провоторов // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2009. - Т. 5. № 2. - С. 57-61.

[85] Провоторов, В.В. Устойчивость разностных схем граничных задач на графе / В.В. Провоторов //Системы управления и информационные технологии. -2009. - № 2.2 (36). - С. 280-285.

[86] Провоторов, В.В. Разностные схемы граничных задач на графе / В.В. Провоторов //Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2009. - Т. 5. № 10. - С. 14-18.

[87] Провоторов, В.В. Спектральная задача на графе с циклом / В.В. Провоторов //Дифференциальные уравнения. - 2010. - Т. 46. № 11. - С. 1665.

[88] Провоторов, В.В. Метод моментов в задаче гашения колебаний дифференциальной системы на графе / В.В. Провоторов // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2010. - № 2. - С. 60-69.

[89] Провоторов, В.В. Построение граничных управлений в задаче о гашении колебаний системы струн / В.В. Провоторов // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления -. 2012. - № 1. - С. 62

[90] Провоторов, В.В. Начально-краевые задачи с распределенными параметрами на графе/ В.В. Провоторов, А.С. Волкова. - Воронеж: Научная книга, 2014. - 188 с.

[91] Провоторов, В.В. Граничное управление волновой системой в пространстве обобщенных решений на графе / В.В. Провоторов, Ю.А. Гнилицкая // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2013. - № 3. - С. 112-120.

[92] Провоторов, В. В. Краевые задачи для уравнений с распределенными параметрами на графах / В. В. Провоторов, О. А. Махинова. - Воронеж: Научная книга. 2013. - 133 с.

[93] Ризниченко, Г.Ю. Математические модели биологических продукционных процессов / Г.Ю. Ризниченко, А.Б. Рубин. - М.: Изд-во МГУ, 1993. - 300 с.

[94] Светлицкий, В.А. Механика стержней: в 2 т. / В.А. Светлицкий. - М.: Высшая школа, 1987. - 2 т.

[95] Сидненко, Т.И. Моделирование движений порожденного спроса на аграрном рынке в условиях асимметрии информации / Т.И. Сидненко, С.М. Сергеев // Известия Санкт-Петербургского государственного аграрного университета. - 2015. - № 39. - С. 268-270.

[96] Сергеев, С.М. Математическое моделирование работы коммерческих сетей в условиях инноваций / С.М. Сергеев // Системы управления и информационные технологии. - 2012. - № 4(50). - С.27-32.

[97] Рис,с Ф. Лекции по функциональному анализу/ Ф. Рисс, Б. Сёкефальви-Надь. - М.: Мир, 1979. - 592с.

[98] Смирнов, В.И. Курс высшей математики. Т.1У, Ч.1/ В.И. Смирнов. -М.: Наука, 1974. - 326 с.

[99] Смирнов, В.И. Курс высшей математики. Т.1У, Ч.2/ В.И. Смирнов. -М.: Наука, 1974. - 550 с.

[100] Сотникова, М.В. Особенности идентификации параметров линейной модели бокового движения судна / М.В. Сотникова // Гироскопия и навигация. -2011. - № 4. - С. 85-92.

[101] Сотникова, М.В. Вопросы устойчивости движений в системах управления с прогнозирующими моделями / М.В. Сотникова // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2012. - Т.8, №1. -С. 72-79.

[102] Титчмарш, Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Т.1 / Э.Ч. Титчмарш. - М.: ИЛ,1960. - 342 с.

[103] Титчмарш, Э.Ч. Теория функций/ Э.Ч. Титчмарш. - М.: Наука, 1980. -

329 с.

[104] Цлаф, Л.Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения / Л.Я. Цлаф. - М.:Наука. 1970. - 191 с.

[105] Шабат, Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч.1. Функции одного переменного / Б.В. Шабат. - М.: Наука. 1976. - 320 с.

[106] Шамберов, В.Н. Влияние сухого трения на устойчивость приборов с автоматическим уравновешиванием/ В.Н. Шамберов // Научное приборостроение. - 2004. - Т. 14, №3. - С.61-64.

[107] Шамберов, В.Н. Влияние некулоновского сухого трения на устойчивость автоматических систем / В.Н. Шамберов // Доклады РАН. - 2005. -Т. 401, №2. - С.193-195.

[108] Шилов, Г.Е. Математический анализ. Специальный курс/ Г.Е. Шилов.

- М.:Физматлит, 1961. - 346с.

[109] Юрко, В.А. О восстановлении операторов Штурма-Лиувилля на графах / В.А. Юрко // Математические заметки. - 2006. - т.79, вып.4.- С. 619-630.

[110] Юрко, В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач/ В.А. Юрко. - М.: Физматлит, 2007. - С. 384.

[111] Якушев, В.П. Байесовский подход в задаче управления кислотностью среды / В.П. Якушев, В.В. Карелин, В.М. Буре // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2013. - № 3. - С. 168-179.

[112]Уральцева, Н.Н. Некоторые свойства обобщенных решений параболических уравнений второго порядка/ Н. Н. Уральцева А. В. Иванов, О. А. Ладыженская, А. Л. Трескунов// Докл. АН СССР. - 1966. - 168:1. - С.17-20.

[113]Aleksandrov, A.Yu. Conditions of ultimate boundedness of solutions for a class of nonlinear systems/ A.Yu. Aleksandrov, A.V. Platonov // Nonlinear Dynamics and Systems Theory. - 2008. - V. 8, N 2. - P. 109-122.

[114] Yurko, V.A. An inverse spectral problem for Sturm-Liouville operators with singular potentials on star-type graphs. Analysis on graphs and its applications/ V.A. Yurko, G. Freiling , M. Ignatiev// Proceedings of Symposia in Pure Mathematics.

- 2008. - vol.77, Amer. Math. Soc., Providence. - Р.397-408.

[115] Friedrichs, K.O. Spectraltheorie halbbeschrankten Operatoren und ihre Anwendung auf Spectralzerlegung von Differentialoperatoren. Part 1/ K.O. Friedrichs // Math. Ann., 109. - 1934. - P.465-487.

[116] Karelin, V.V. Adaptive optimal strategies in controlled Markov processes / V.V. Karelin // Advances in Optimizations Proceedings of 6th French-German Colloquium of Optimization. FRG. - 1991. - P.518-525.

[117] Lumer, G. Connecting of local operators and evolution equations on network / G. Lumer // Lect. Notes Math. V.787. Berlin: Springer. - 1980. - P.219-234.

[118] Nicaise, S. Relationship between the lower frequency spectrum of plates and network of beams/ S. Nicaise, O. Penkin // Math. Mech. Appl. Sai. - 2000. - V.23. - P.1389-1399.

[119] Podvalny, S.L. The questions of controllability of a parabolic systems with distributed parameters on the graph / S.L. Podvalny, V.V. Provotorov // Digest: 2015 International Conference "Stability and Control Processes" in Memory of V.I. Zubov (SCP). - 2015. - P. 117-119.

[120] Pokornyi, Yu.V. On Il'in-Moiseev type solvability conditions for nonlocal vector boundary value problems / Yu.V. Pokornyi, K.P. Lazarev, Zh.I. Bakhtina, V.V. Provotorov // Differential Equations. - 2008. - T. 44. № 3. - P. 446-448.

[121] Provotorov, V.V. Boundary control of a parabolic system with delay and distributed parameters on the graph / V.V. Provotorov // Digest: 2015 International Conference "Stability and Control Processes" in Memory of V.I. Zubov (SCP). - 2015. -P. 126-128.

[122] Provotorov, V.V. Eigenfunctions of the Sturm-Liouville problem on astar graph/ V.V. Provotorov // Digest: Mathematics. - 2008. - T.199. № 10. - P. 1523-1545.

[123] Sotnikova, M. Control System Analysis and Design Labs with Educational Plants / Sotnikova M., Zhabko N., Lepikhin T. // Proceedings of the 9th IFAC Symposium Advances in Control Education (ACE 2012). Nizhny Novgorod, Russia, -2012. - P. 212-217.

[124] Zhabko, N.A. Some H-optimization problems for ITER plasma control system / N.A. Zhabko // International Journal of Modern Physics A. - 2009. - Vol. 24, -№ 5. - P. 1048-1056.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1. Периодические процессы на сетях

В приложении приведены, в виде таблиц, численные результаты тестовых задач, представленных в главе 5.

Приложение 1.1 Расчет амплитуд периодического процесса, возникающего в волноводе-цепочке с двумя ребрами. Расчеты проведены с шагом по ? равном 0.015, результаты представлены в таблицах 1и 2 на каждом десятом временном слое.

Приложение 1.2 Расчет амплитуд периодического процесса, возникающего в волноводе-звезде с тремя ребрами. Расчеты проведены с шагом по ? равном 0.015, результаты представлены в таблицах 3и 4 на каждом десятом временном слое.

Приложение 1.3 Расчет амплитуд периодического процесса, возникающего в волноводе типа дерево с семью ребрами. Расчеты проведены с шагом по ? равном 0.0015, результаты представлены в таблицах 5, 6 и 7 на каждом тридцатом временном слое.

Приложение 1.4 Расчет амплитуд периодического процесса, возникающего в волноводе с циклом, состоящим из шести ребер. Расчеты проведены с шагом по ? равном 0.0015, результаты представлены в таблицах 8,9,10 и 11 на каждом пятидесятом временном слое.

Приложение 1.5 Расчет тестовой неоднородной задачи на сети-звезде с тремя ребрами. Коэффициенты имеют вид: а(х) = 1, Ь(х) = х, х еу, / = 1,3.

Расчеты проведены с шагом по ? равном 0.015, результаты представлены в таблицах 12-14 на каждом пятидесятом временном слое.

Приложение 1.6 Расчет тестовой неоднородной задачи на сети-звезде с

тремя ребрами. Коэффициенты имеют вид: а(х) = -^—, Ь(х) = х, х еу, / = 1,3.

1 ^ х

Расчеты проведены с шагом по ? равном 0.015, результаты представлены в таблицах 15-17 на каждом пятидесятом временном слое.

1.1 Волновод-цепочка с двумя ребрами

г=3.000 0.0000 -0.4792 -0.9284 -1.3232 -1.6552 -1.9274 -2.1413 -2.2905 -2.3663 -2.3663

1=2.850 0.0000 -0.4723 -0.9194 -1.3185 -1.6567 -1.9318 -2.1441 -2.2898 -2.3632 -2.3632

1=2.700 0.0000 -0.4459 -0.8736 -1.2674 -1.6104 -1.8886 -2.0962 -2.2340 -2.3041 -2.3041

1=2.550 0.0000 -0.4052 -0.8008 -1.1769 -1.5152 -1.7924 -1.9955 -2.1262 -2.1914 -2.1914

1=2.400 0.0000 -0.3565 -0.7119 -1.0564 -1.3734 -1.6403 -1.8400 -1.9681 -2.0287 -2.0287

1=2.250 0.0000 -0.3061 -0.6139 -0.9140 -1.1928 -1.4367 -1.6302 -1.7588 -1.8194 -1.8194

1=2.100 0.0000 -0.2566 -0.5098 -0.7549 -0.9844 -1.1934 -1.3708 -1.4979 -1.5638 -1.5638

1=1.950 0.0000 -0.2048 -0.3995 -0.5836 -0.7592 -0.9244 -1.0722 -1.1900 -1.2586 -1.2586

1=1.800 0.0000 -0.1461 -0.2814 -0.4051 -0.5252 -0.6409 -0.7490 -0.8436 -0.9018 -0.9018

1=1.650 0.0000 -0.0794 -0.1548 -0.2233 -0.2873 -0.3508 -0.4139 -0.4686 -0.5004 -0.5004

1=1.500 0.0000 -0.0091 -0.0227 -0.0382 -0.0487 -0.0597 -0.0719 -0.0753 -0.0729 -0.0729

1=1.350 0.0000 0.0586 0.1088 0.1504 0.1898 0.2309 0.2765 0.3236 0.3556 0.3556

1=1.200 0.0000 0.1204 0.2344 0.3378 0.4293 0.5243 0.6263 0.7126 0.7624 0.7624

1=1.050 0.0000 0.1772 0.3521 0.5172 0.6711 0.8223 0.9655 1.0756 1.1329 1.1329

1=0.900 0.0000 0.2318 0.4625 0.6883 0.9109 1.1149 1.2809 1.4000 1.4604 1.4604

1=0.750 0.0000 0.2855 0.5689 0.8558 1.1378 1.3812 1.5615 1.6804 1.7421 1.7421

1=0.600 0.0000 0.3378 0.6770 1.0192 1.3370 1.6020 1.7965 1.9170 1.9771 1.9771

1=0.450 0.0000 0.3909 0.7868 1.1655 1.4973 1.7699 1.9765 2.1076 2.1661 2.1661

1=0.300 0.0000 0.4469 0.8849 1.2782 1.6131 1.8871 2.0993 2.2441 2.3100 2.3100

1=0.150 0.0000 0.4966 0.9517 1.3476 1.6827 1.9568 2.1700 2.3216 2.4041 2.4041

1=0.000 0.0000 0.5178 0.9748 1.3708 1.7059 1.9800 2.1932 2.3456 2.4369 2.4674

х=0.175 х=0.350 х=0.525 х=0.700 х=0.875 х=1.050 х=1.225 х=1.400 х=1.575 х=1.750

Таблица 1. Расчет амплитуд периодического процесса на волноводе-цепочке

с двумя ребрами (ребро 1).

1=3.000 -2.3663 -2.3663 -2.2905 -2.1413 -1.9274 -1.6552 -1.3232 -0.9284 -0.4792 0.0000

1=2.850 -2.3632 -2.3632 -2.2898 -2.1441 -1.9318 -1.6567 -1.3185 -0.9194 -0.4723 0.0000

1=2.700 -2.3041 -2.3041 -2.2340 -2.0962 -1.8886 -1.6104 -1.2674 -0.8736 -0.4459 0.0000

1=2.550 -2.1914 -2.1914 -2.1262 -1.9955 -1.7924 -1.5152 -1.1769 -0.8008 -0.4052 0.0000

1=2.400 -2.0287 -2.0287 -1.9681 -1.8400 -1.6403 -1.3734 -1.0564 -0.7119 -0.3565 0.0000

1=2.250 -1.8194 -1.8194 -1.7588 -1.6302 -1.4367 -1.1928 -0.9140 -0.6139 -0.3061 0.0000

1=2.100 -1.5638 -1.5638 -1.4979 -1.3708 -1.1934 -0.9844 -0.7549 -0.5098 -0.2566 0.0000

1=1.950 -1.2586 -1.2586 -1.1900 -1.0722 -0.9244 -0.7592 -0.5836 -0.3995 -0.2048 0.0000

1=1.800 -0.9018 -0.9018 -0.8436 -0.7490 -0.6409 -0.5252 -0.4051 -0.2814 -0.1461 0.0000

1=1.650 -0.5004 -0.5004 -0.4686 -0.4139 -0.3508 -0.2873 -0.2233 -0.1548 -0.0794 0.0000

1=1.500 -0.0729 -0.0729 -0.0753 -0.0719 -0.0597 -0.0487 -0.0382 -0.0227 -0.0091 0.0000

1=1.350 0.3556 0.3556 0.3236 0.2765 0.2309 0.1898 0.1504 0.1088 0.0586 0.0000

1=1.200 0.7624 0.7624 0.7126 0.6263 0.5243 0.4293 0.3378 0.2344 0.1204 0.0000

1=1.050 1.1329 1.1329 1.0756 0.9655 0.8223 0.6711 0.5172 0.3521 0.1772 0.0000

1=0.900 1.4604 1.4604 1.4000 1.2809 1.1149 0.9109 0.6883 0.4625 0.2318 0.0000

1=0.750 1.7421 1.7421 1.6804 1.5615 1.3812 1.1378 0.8558 0.5689 0.2855 0.0000

1=0.600 1.9771 1.9771 1.9170 1.7965 1.6020 1.3370 1.0192 0.6770 0.3378 0.0000

1=0.450 2.1661 2.1661 2.1076 1.9765 1.7699 1.4973 1.1655 0.7868 0.3909 0.0000

1=0.300 2.3100 2.3100 2.2441 2.0993 1.8871 1.6131 1.2782 0.8849 0.4469 0.0000

1=0.150 2.4041 2.4041 2.3216 2.1700 1.9568 1.6827 1.3476 0.9517 0.4966 0.0000

1=0.000 2.4674 2.4369 2.3456 2.1932 1.9800 1.7059 1.3708 0.9748 0.5178 0.0000

х=1.750 х=1.925 х=2.210 х=2.275 х=2.450 х=2.625 х=2.800 х=2.975 х=3.150 х=3.325

Таблица 2. Расчет амплитуд периодического процесса на волноводе-цепочке

с двумя ребрами (ребро 2).

1.2 Волновод-звезда с тремя ребрами

1=3.000 0.0000 -0.4792 -0.9284 -1.3232 -1.6552 -1.9274 -2.1413 -2.2905 -2.3663 -2.3663