Модели и численные методы исследования диффузионных и волновых процессов в сетеподобных системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Волкова, Анна Сергеевна

• Волкова, Анна Сергеевна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Волкова, Анна Сергеевна

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава I. Математические модели диффузионных и волновых

процессов на пространственных сетях

§ 1. Математические модели гемодинамических процессов

1.1. Диффузионные процессы гемодинамики

1.2. Математическая модель процесса переноса

веществ по графу сосудов при наличии диффузии

1.3. Пульсовые волны в кровеносных сосудах

§ 2. Математические модели физического происхождения

2.1. Моделирование колебаний мачты и поддерживающих

ее растяжек. Антенные конструкции

2.2. Односекционная антенна

2.3. Двухсекционная антенна

2.4. Многосекционная антенна

§ 3. Другие задачи естествознания на сетях. Задачи

управления

Выводы

Глава II. Краевые и начально-краевые задачи

на пространственных сетях

§ 1. Основные понятия и обозначения

§ 2. Разрешимость краевых задач

2.1. Обобщенные решения краевых задач

2.2. Вспомогательные утверждения

2.3. Энергетическое неравенство. Теорема единственности

2.4. Разрешимость задачи Дирихле

2.5. Разрешимость общей краевой задачи

§ 3. Разрешимость начально-краевой задачи для уравнения

параболического типа

3.1. Предварительные рассуждения

3.2. Однозначная разрешимость начально-краевой

задачи для уравнения теплопроводности

3.3. Однозначная разрешимость начально-краевой

задачи для уравнения общего вида

§ 4. Разрешимость начально-краевой задачи для уравнения

гиперболического типа

4.1. Общие утверждения

4.2. Существование обобщенного решения

4.3. Единственность обобщенного решения

§ 5. Начально-краевые задачи с краевыми условиями

2-го и 3-го рода

§ 6. Оптимальные решения для дифференциальных систем

с распределенными параметрами на сетях

6.1. Оптимальные решения для параболических систем

6.2. Оптимальные решения для гиперболических систем

Выводы

Глава III. Метод конечных разностей для математических

моделей эволюционных процессов на пространственных сетях

§ 1. Аппроксимация краевой задачи для эллиптического уравнения

1.1. Разностная схема

1.2. Устойчивость разностной схемы

1.3. Сходимость разностных решений

1.4. Краевые условия общего вида

§ 2. Аппроксимация начально-краевой задачи для параболического

уравнения

2.1. Вспомогательные предложения

2.2. Разностная схема

2.3. Устойчивость разностной схемы

2.4. Сходимость решений разностной схемы

§ 3. Аппроксимация начально-краевой задачи для гиперболического

уравнения

3.1. Аппроксимация, разностная схема

3.2. Устойчивость разностной схемы. Сходимость приближенных решений

§ 4. Алгоритмическое описание процесса отыскания решений

краевой и начально-краевых задач

4.1. Алгоритм отыскания решения краевой задачи для эллиптического уравнения

4.2. Алгоритм отыскания решения начально-краевой задачи для параболического уравнения

4.3. Алгоритм отыскания решения начально-краевой задачи для гиперболического уравнения

Выводы

Глава IV. Диффузионные и волновые процессы

в прикладных задачах на сетях

§ 1. Моделирование диффузионных процессов в сердечно-сосудистой

системе

1.1. Задача переноса лекарственных веществ

(однотипные сосуды)

1.2. Задача переноса лекарственных веществ

(разнотипные сосуды)

1.3. Задача дозирования лекарственных веществ

(однотипные сосуды)

1.4. Задача дозирования лекарственных веществ

(разнотипные сосуды)

1.5. Задача целевой транспортировки лекарственных

веществ (однотипные сосуды)

1.6. Задача целевой транспортировки лекарственных

веществ (разнотипные сосуды)

§ 2. Моделирование волновых явлений в сердечно-сосудистой

системе

2.1. Пульсовые волны кровопотоков графа сердечнососудистой системы (однотипные сосуды)

2.2. Пульсовые волны кровопотоков графа сердечнососудистой системы (разнотипные сосуды)

2.3. Стабилизация пульсовых волн графа сердечнососудистой системы (однотипные сосуды)

2.4. Стабилизация пульсовых волн графа сердечнососудистой системы (разнотипные сосуды)

§ 3. Моделирование диффузионных процессов метаболизма клеток

живого организма

3.1. Метаболизм по однотипным цепочкам реакций

3.2. Метаболизм по разнотипным цепочкам реакций

§ 4. Задачи физического происхождения. Антенные

конструкции

4.1. Одноуровневая система «мачта-растяжки»

4.2. Двухуровневая система «мачта-растяжки»

Заключение

Список литературы

Приложение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модели и численные методы исследования диффузионных и волновых процессов в сетеподобных системах»

Введение

Актуальность темы. Эволюционные процессы на сетях в большинстве своем имеют одну общую характерную особенность - математическое описание этих процессов использует уравнения математической физики с распределенными параметрами иа пространственных графах. Классическим примером того 51вляется сердечно-сосудистая система человека (ССС), диффузионные и волновые процессы в ней. ССС можно представить в виде совокупности сосудов, сосудистых участков, полостей, содержащих некоторый полный (текущий) объем крови (Е.В. Астраханцсва, В.Ю. Гидаспов, У.Г. Пи-румов, Д. Л. Ревизников). С точки зрения математического описания, структура ССС в пространстве такова, что является естественным представлять ее в виде ограниченного связного пространственного графа - графа ССС (А.Я. Буничева, В.Б. Кошелев, В.А. Лукашин, С.И. Мухин, В.Н. Соснин, А.П. Фаворский). При анализе колебательных процессов сетеподобных технических конструкций (например, антенных конструкций) в математическом описании явлений также используется пространственный граф. Современные исследователи (С.А.Авдонин, С.А.Иванов, А.В.Боровских, М.Г.Завгородний, О.М.Пенкин, Ю.В.Покорный, В.В.Провоторов, В.Л.Прядиев, В.А.Юрко, S. Nicaise, J. Below) ограничились поиском закономерностей теоретического характера, численные же методы анализа остаются в тени, находясь в стадии формирования. Аналогичное сетевое описание может быть осуществлено и при исследовании диффузионных процессов в биологической системе на клеточном уровне (метаболизм клеток): продукты одних химических реакций, происходящих в клетке, являются субстратами для других, образуя цепи метаболических реакций - граф метаболизма (Г.Ю. Ризииченко, А.Б. Рубин).

Следует отметить ваэюную особенность всех приведенных примеров: математические модели диффузионных и волновых процессов сетеподобных объектах зачастую содерэюат исходные данные, имеющие довольно сильную особенность — функции, описывающие эти данные, не являются непрерывными (кусочно-непрерывными), а только интегрируемыми в определенном смысле. Приходится отказываться (частично или полностью) от классических подходов численных методов, требующих определенной гладкости решений, и развивать последние в направлении расширения класса решений.

Актуальность диссертационной работы обусловлена необходимостью раз-

вивать имеющиеся и разрабатывать новые подходы для анализа математических моделей диффузионных и волновых процессов на сетях, численные методы и алгоритмы определения неклассических решений.

Диссертационная работа выполнена в рамках научной темы математического факультета Воронежского государственного университета «Исследование свойств операторов в функциональных пространствах и актуальных задач для дифференциальных уравнений», регистрационный номер № 0120.0853009.

Цели и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка комплекса моделей и численных методов исследования диффузионных и волновых процессов в сетеподобпых системах с дополнительными требованиями, которые выражаются как в структуре сетей, так и специфической особенности исходных данных.

Для достижения цели в работе решаются следующие основные задачи:

— проведение анализа существующих (классических) подходов к моделированию диффузионных и волновых процессов в сетеподобных системах;

— обоснование, разработка и исследование нового класса началыю-крае-вых задач для эволюционных дифференциальных систем с распределенными параметрами па геометрическом графе в классе обобщенных (слабых) решений;

— доказательство однозначной разрешимости начально-краевых задач для дифференциальных систем с распределенными параметрами па графе в классе обобщенных решений и непрерывности по исходным данным;

— разработка комплекса численных методов для решения началыю-крае-вых задач с распределенными параметрами на графе, имеющих сильные особенности по исходным данным;

— разработка алгоритмов отыскания слабых решений, отличающиеся возможностью учитывать структурные особенности моделей: архитектуру сетей, типы дифференциальных систем, виды начальных и краевых условий;

— разработка структуры программного комплекса для решения задач анализа диффузионных и волновых процессов на сетях, включающую рекомендации по использованию различных типов сетей и определяемых слабых решений поставленных задач;

Методы исследования основаны на использовании теории математиче-

ского моделирования, фундаментальных методов современного анализа прямых задач математической физики, теории построения и обоснования разностных схем для уравнений с распределенными параметрами па графах, теории графов.

Тематика работы соответствует следующим пунктам Паспорта специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»: п. 2 Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей; п. 3. Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий; п. 4 Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.

Научная новизна. В работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

— новый класс начально-краевых задач для дифференциальных уравнений с имеющими сильные особенности параметрами, распределенными на геометрическом графе, отличающийся возможностью анализа обобщенных (слабых) решений, который используется при моделировании диффузионных и волновых процессов в сетеподобных системах, характеризующихся наличием внутренних и внешних распределенных особенностей;

— доказательство однозначной разрешимости начально-краевых задач, непрерывности по исходным данным, отличительной особенностью которых является выбор достаточно широкого класса обобщенных решений, что открывает возможность использовать классические методы оптимизации;

— комплекс численных методов для решения начально-краевых задач на графе с имеющими сильные особенности исходными данными, отличающийся полным обоснованием единообразного метода определения приближений слабых решений (аппроксимация интегральных тождеств разностными схемами, анализ разностных схем — устойчивость, сходимость), что дает возможность с наперед заданной точностью определять слабое решение;

— алгоритмы отыскания слабых решений, отличающиеся возможностью учитывать структурные особенности моделей: архитектуру сетей, типы дифференциальных систем, виды начальных и краевых условий, что позволяет осуществлять сложные расчеты достаточно широким кругом исследователей;

— структура программного комплекса, включающая инвариантную составляющую, в которой реализованы базовые методы, и проблемно-ориентированную составляющую для решения задач анализа диффузионных и волновых процессов на сетях, отличительной особенностью которого является возможность формирования информационной среды предложенного класса задач и динамического выбора пути решения каждой задачи.

Практическая значимость работы. Предложенные в диссертации математические модели, в которых учтены возможности их использования при математическом описании гемодинамических, тепловых и волновых сстепо-добпых процессов с интегрируемыми исходными данными, качественным образом расширяют множество известных моделей подобного типа и могут быть использованы как в теоретических исследованиях, так и при решении прикладных задач. Разработанные численные методы составили алгоритмическую основу для программного комплекса, позволяющего решить задачи, актуальные в областях гемодинамики, промышленной теплотехники и материаловедения: задача дозирования и транспортировки лекарственных веществ по графу ССС человека; задача распространения пульсовых волн по графу ССС человека; задача описания диффузионных процессов метаболизма клеток; задача распространения теплоты по элементам антенной конструкции; задача описания изменений амплитуд колебаний сетеподобных конструкций, используемых при проектировании антенных устройств.

Реализация и внедрение результатов работы. Результаты диссертационной работы используются в учебном процессе факультета прикладная математика—процессы управления С.-Петербургского государственного университета и математического факультета ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет» при подготовке студентов по специальностям «Прикладная математика», «Математика».

Глава I. Математические модели диффузионных и волновых процессов на пространственных сетях

Ниже приведены конкретные примеры наиболее типичных процессов (с подробными ссылками на исследования, проведенные ранее), математическое описание которых (математические модели и соответствующие им начально-краевые задачи для дифференциальных систем) использует ограниченные геометрические графы. В конце главы (раздел «Выводы») указаны новые подходы для эффективного анализа (в т.ч. численного, с применением современных компьютерных технологий) таких математических моделей и смежных вопросов.

§ 1. Математические модели гемодинамических процессов

Сердечно-сосудистую систему человека (ССС) можно представить в виде совокупности (графа) сосудов, сосудистых участков, полостей, содержащих некоторый полный (текущий) объем крови и при необходимости (при анализе фрагментов ССС) можно рассматривать как конечный набор отдельных подсистем ССС. Математические модели структуры системы кровообращения человека позволяют осуществлять исследование ССС и протекающих в пей процессов без непосредственного участия человека с достаточной степенью адекватности [3, 43). С точки зрения математического описания, структура ССС в пространстве такова, что является естественным представлять ее в виде геометрического ограниченного связного пространственного графа, процессы же, проходящие в ССС как физическом носителе, зачастую описываются формализмами дифференциальных уравнений как с сосредоточенными [81-83], так и распределенными параметрами [6, 18, 43].

1.1. Диффузионные процессы гемодинамики. Система кровообращения человека (граф сосудов) представляет собой сеть эластичных сосудов разных типов, по которым протекает кровь, поступающая в различные органы. Кровь нагнетается сердцем в разветвляющуюся систему артериальной части сосудов. Сосуды в свою очередь могут соединяться с тканями или другими органами. После прохождения тканей, кровь по венозной части сосудистой системы вновь поступает в сердце. Такая система представляет собой

граф, ребрами которого являются сосуды, а узлами (вершинами) - сердце, узлы ветвления, ткани [3, 6, 43, 81, 82].

Течение крови по сердечно-сосудистой системе (ССС) или ее части описывается в квазиодномерном приближении уравнениями гемодинамики на графе (далее мы следуем [3, 43])

ди д f и2 \ 1 др dt дх \ 2 J рдх

+ = + (1.2)

5 = S(p). (1.3)

здесь S - площадь поперечного сечения сосуда, u(x,t) - скорость движения крови вдоль сосуда, p(x,t) - давление крови в кровеносном сосуде, р -плотность крови (р = const).

Сила трения крови о стенки сосуда полагается равной Frnp = —87rvu/S, где и - коэффициент кинематической вязкости, а через Fe обозначены другие внешние силы.

Соотношение (1.3) в системе (1.1)—(1.3) представляет собой эмпирическую, связь между сечением сосуда и давлением крови внутри него. В данном случае предполагается, что зависимость (1.3) удовлетворяет условиям > О, S(p) ->• Smax при р -> ртах, S(p) Smin при р pmin: Smin, Smax - минимально и максимально возможные сечения сосуда. В простейшем случае уравнение определяется формулой

S (р) — \ Sjnin 4" тах тгп (Р Ртгп) Ртгп ^ Р — Pmaxi

1 Ртах Ртгп

Зщах Р Ртах!

Зтах

I

Зщт Р < Ртгп •

Параметры 5тг-п, Зтпх, Ртт, Ртах Для разных сосудов могут иметь различные числовые значения.

Математическое моделирование гемодинамики на графе зачастую требует необходимости расчета переноса разнообразных веществ потоком крови. Это, прежде всего, перенос кровью кислорода, различных гормонов, солей и т.п. Такого же сорта задачи возникают, например, при анализе распространения

лекарственных препаратов. Кроме того, характер распространения химических соединений в артериальном русле оказывает влияние на эластические свойства сосудов, и, в свою очередь, на характер гемодинамики в целом.

Рассмотрим граф эластичных сосудов. Будем предполагать, что в каждый момент времени скорость движения крови в любой точке сосуда известна, и обозначим щ = скорость течения крови в к-м сосуде графа. Сечение

каждого сосуда также является известной величиной = Я^х, ¿). Течение крови в каждом сосуде описывается системой уравнений гемодинамики (1.1)-

(1.3).

Пусть в каждом сосуде находятся вещества с массовой концентрацией С; =

(I = 1,1с, гДе т1 ~ масса 1-го вещества, т - масса крови. Концентрация I-го вещества С/ с учетом переноса кровью удовлетворяет дифференциальному уравнению [84]

дх

Рассмотрим уравнение, описывающее перенос вещества в системе эластичных сосудов при наличии диффузии. Плотность потока вещества за счет разности величин концентраций определяется выражением Жд = — ОЩ, где И — коэффициент диффузии. Тогда будем иметь дифференциальное уравнение вида

ЭБС д( г9С\ Л

Отсюда, учитывая уравнение неразрывности (1.1) и предполагая постоянным коэффициент диффузии, получаем уравнение

дс дс Б д (адС\ п

Преобразуем третье слагаемое (1.4), а именно:

Р д (ддС\ д2С п(Р<№\(1&\дС Здх\дх)~ дх2 + \SdpJ\pdx) дх' [ }

Заметим, что = где с - скорость распространения малых возму-

щений. В предположении квазистационарности течения из уравнения (1.2) следует, что

1 др и

рд.X *

Тогда последнее слагаемое в (1.5) может быть приведено к виду

\<5 др) \рдх) дх ~ с2 в дх вс дх}

где М - число Маха, которое в гемодинамических течениях мало (М « 1), а величина сечения 5 всегда ограничена снизу. Поэтому для расчета диффузии в гемодинамических течениях можно воспользоваться уравнением

ас идс _ р&С^ _

дЬ дх дх2

1.2. Математическая модель процесса переноса веществ по графу сосудов при наличии диффузии. Ниже предлагается математическое описание модели на части графа ССС, основанное на подходах, предложенных в работах [3, 18, 43, 81, 82]. Такие модели эффективны при изучении особенностей транспортировании лекарственных веществ от мест введения в организм человека до объекта их воздействия. Предварительно остановимся на математическом описании графа ССС (детальное описание графа и связанные с этим понятия и обозначения представлено в главе II).

Пусть Г - ограниченный геометрический граф, 7$ - ребра и -узлы графа (индексы i и j обозначают номера ребра и узла в соответствии с выбранной нумерацией ребер и узлов в структурной системе графа). Пусть далее через <9Г и «/(Г) обозначены множества граничных и внутренних узлов, соответственно. Все ребра ориентированы и параметризованы отрезком [0,1]. Для любого фиксированного узла £ G -/(Г) введем два множества, характеризующие ребра, примыкающие к этому узлу: i?(£) - множество ребер, ориентированных «от узла £» (т.е. выходящих из £) и г(£) - множество ребер, ориентированных «к узлу £» (т.е. входящих в £).

Следует отметить, что па протяжении всей работы используются обозначения и терминология, принятая в цитированных ранее монографиях [66, 96], за исключением единственного термина. А именно, название «вершина» графа Г заменено на «узел», что явилось следствием широкого использования последнего в прикладных задачах, посвященных исследованиям диффузионных и волновых процессов в сетеобразных объектах разного назначения, в т.ч. и при описании гемодинамических процессов.

Таким образом, в дальнейшем граф Г является математической интерпретацией графа ССС: каждому ребру 7 С Г соответствует сосуд ССС, соединяющий два соседних узла (разветвления ССС), ориентация на графе Г соответствует естественному направлению кровотока в ССС.

Математическая модель переноса веществ по графу ССС при наличии диффузии описывается следующей начально-краевой задачей (все обозначения приведены выше и в [43]). В каждом сосуде процесс переноса веществ осуществляется в соответствии с законом диффузии, концентрация C(x,t) вещества удовлетворяет параболическому уравнению на Г \ (<9Г U </(Г)) х (О, Т)

в узлах ветвления сосудов (т.е. в £ £ <^(Г)) имеет место закон сохранения баланса потоков (аналог закона Кирхгофа):

Ъ-еД(0 v J

ъег(0 v J

(1.7)

Начальное условие

C(x,t0) = (p(x),x еГ (1-8)

описывает начальное состояние концентрации вещества в ССС, краевое (краевые) условие

С(х^)\хедг=ф(х), t> 0, (1.9)

здесь (f(x)j ф(х) - заданные функции.

Систему (1.6)—(1.9) назовем математической моделью переноса веществ (если функция С(ж,£) скалярная) или веществ (если C(x,t) - векторная) по графу ССС (или части графа ССС).

1.3. Пульсовые волны в кровеносных сосудах. Распространение пульсовой волны в кровеносных сосудах (результат пульсирующей активности

сердечной мышцы) является важным гемодинамическим процессом: пульсирующий кровоток вызывает распространение волн в стенках сосудов, движение которых, в свою очередь, воздействует на характер течения крови; закономерность изменения формы волны кровяного давления в процессе ее распространения по графу ССС формирует показатель, определяющий состояние всей ССС. Экспериментально подтвердилась важная связь гидродинамических параметров и развития паталогических изменений в сосудистых стенках графа ССС, а это привлекло за собой, например, изучения механизма изменения формы пульсовых волн кровопотока в графе ССС [6].

Наиболее полно такую закономерность позволяют выявить математические модели графа ССС с распределенными параметрами [3, 6, 43].

Остановимся на упрощенной системе дифференциальных уравнений с частными производными, описывающей течение жидкости (кровотока) в терминах давления р и массового расхода M в сечении перемещаемого потока, зависящих от х (осевая переменная сосудов ССС) и t (время), при этом не учитывается реакция стенок сосудов ССС [6]:

др дМ ^ др 2дМ

здесь: а = a(x,t) - площадь поперечного сечения сосудов, G,F,v - функции переменных х и t, определяющие показатели гидравлического сопротивления, скоростей кровопотока и распространения пульсовых волн; р = p(x,t), M = М(х, t) - функции, описывающие количественные значения давления и массового расхода кровопотока в точке (х, t) графа ССС, соответственно.

Система (1.10) относится к гиперболическому типу и, предполагая необходимую гладкость функций p(x,t) и Ad(x,t), допускает представление следующего вида (не умоляя общности, считаем, что a(x,t) = a, v(x,t) = v, a,v -const):

ад2р_ 2др d(GM) OF

«2ôi2 Сдх дх + дх' { }

Если предположить известным массовый расход M в сечении сосуда (функция M(x,t) определяется на основе статистических данных), то уравнение (1.11) определяет распределение давления p(x,t) по длине кровеносного сосуда в заданный временной момент; очевидно, что р(х, t) имеет синусоидальный (пульсовой) характер.

§ 2. Математические модели физического происхождения

2.1. Моделирование колебаний мачты и поддерживающих ее растяжек. Антенные конструкции. Математическое описание волновых процессов в сетеподобных антенных конструкциях естественным образом основано на использовании формализмов начально-краевых задач для гиперболических уравнений с распределенными параметрами на ограниченном геометрическом графе. Такое описание было использовано для построения математических моделей волновых процессов в разного типа антеннах (работы [67-70, 79, 80]): пространственная переменная х изменяется на геометрическом графе Г. В целях упрощения математических выкладок, не влияющих на результаты, изменим приведенную выше параметризацию ребер графа -отрезок [0,1] заменяется на другие отрезки.

В качестве примеров ниже рассмотрены мачтовые антенны, состоящую из тела мачты (собственно мачта) и поддерживающих ее мачтовых растяжек, которые крепятся к телу мачты па различных уровнях: система «мачта-растяжки» [67, 68, 72, 79]. При этом анализу подлежат малые продольные колебания тела мачты и поперечные колебания растяжек. Отметим также, что часть тела мачты, находящаяся выше самого верхнего места крепления растяжек и имеющая массу М, отождествляется с точкой верхнего места крепления растяжек, которая снабжается сосредоточенной массой М. Иными словами, мачта «математической антенны» содержит в своей вершине сосредоточенную массу.

2.2. Односекционная антенна. Рассмотрим односекционную антенную конструкцию (с одним местом крепления мачтовых растяжек к телу мачты) [36, 79]. Как было выше сказано, часть мачты,находящаяся выше места крепления растяжек интепретируется в модели как точка с сосредоточенной массой М. Такая интерпретация антенной конструкции вполне оправдана в случае, когда вес и размеры верхней части (находящейся выше самого верхнего уровня крепления растяжек) соизмеримы с весом и размерами остальных частей антенны, а, значит, влияние указанной части мачты на развитие волнового процесса в конструкции достаточно существенно. В против-

ном случае, т.е. в случае, когда влияние этой части тела мачты на колебательный процесс несущественно, этой частью мачтовой конструкции можно пренебречь [36, 79]. Если же при описании колебаний мачты учитывать также и ее упругую поперечную составляющую, тогда математическое описание антенной системы необходимо должно содержать математическое описание поперечных колебаний указанной части. Для антенной конструкции изучаются малые продольные колебания тела мачты и малые поперечные колебания мачтовых растяжек. Для анализа математической модели используется геометрический граф-звезда, одно ребро которого представляет тело мачты, остальные ребра - мачтовые растяжки. Таким образом, на каждом ребре такого графа рассматривается уравнение колебаний, в точке сочленения ребер -условия согласования [36, 39].

Пусть Г граф-звезда, имеющий т ребер и один узел При этом ориентация ребер (к = 1 ,те — 1) «к узлу £», ориентация 7т - «от узла £»; отрезок [О, 7г/2] параметризует каждое ребро (к = 1, т — 1), отрезок [тг/2,7г] - ребро 7т; число 7г/2 соответствует узлу

Отмстим, что реальная конструкция антенной системы состоит из фрагментов, имеющих различные длины. К указанным выше математическим формализмам всегда можно прийти, проводя соответствующие замены переменных. Обозначим через I длины растяжек, через Ь - длину мачты от основания до места крепления растяжек. Замены вида х = т^х, у = у + Ь) х <Е [0,£], у е [0, £], приводят к приведенной выше параметризации соответствующим отрезкам.

Модель волнового процесса для амплитуд £), (ж, £) € Г х [О, Т] описывается уравнениями

на каждом ребре (к = 1, т) и соотношениями в узле £ (условия непрерывности и согласования [37, 40]:

-

7к ~ дх2

П(х, Ь)1к - д(х)1кП{х, £).

(1.12)

= (к = 1,т — 1)

т— 1 ^ к= 1

(1.13)

в случае, если масса части мачты, находящейся выше места крепления растяжек несравнимо меньше массы остальной части мачты. В противном случае массу М необходимо учитывать, соотношения в узле £ претерпевают изменения. Так как в узле £ приложена сосредоточенная сила F(t), инициируемая массой М, то имеют место соотношения

= 7т, к=1,т-1,

т—1

~ £ §(! А, - мдфъЩЛъ = -F(t). к=1

Под силой F(t) разумеется сила инерции, имеющая представление F(t) = —t)lm. Тогда соотношения, описывающие колебания системы в узле £ принимают следующий вид:

fi(f,*)7t = fi(f,i)7mJ & = 1, m — 1,

m—1

J^Cf^ - E ¿0(1,ik - ^(fk^dA, = MwMb^m- (1-14)

Jfc=1

В дальнейшем в силу сказанного при математическом описании процесса будет учитываться сосредоточенная масса М.

Для завершения полного описания волнового процесса к соотношениям (1.12), (1.14) (или (1.12), (1.13)) присоединим начальные условия (переменная жег при £ = 0):

П(х, 0) = т(х), 0) = т(х), X е г, г = о,

и краевые (граничные) условия в узлах множества 5Г графа (£ € [0,Т]):

¿0(0,1)1к ~ Ш(0, = М*) (А = 1, га — 1), ¿П(7г,^+ЯП(7г,*)7т = !/(*); (1.16)

г (ж), т(ж), ^(¿), у{Ь) — заданные функции, Н, Н — фиксированные (заданные) постоянные.

Соотношения (1.12), (1.14) (или (1.12), (1.13)), если масса М не учитывается) назовем (см. также [79]) уравнением колебания на графе, соотношения

(1.12), (1.14)—(1.16) (или (1.12), (1.13), (1.15), (1.16))-начально-краевой задачей в области Г х (О, Т), описывающей волновой процесс антенной системы.

Отметим, что представление уравнения в виде (1.12), (1.14) (или (1-12),

(1.13)) является каноническим, к нему приводятся более общие уравнения вида

на ребрах % (к = 1,т) и соотношениями

т—1

А™ - Е (1.18)

-М6(|)7гаФ(|,£)7т = М^Ф(|,£)

в узлах £ е дГ; функции а(х) > 0, Ь(х) > 0 определены на Г. Если а(х) £ С1 [Г], Ь(х) е С [Г], то подстановки (аналог подстановок Лиувилля [89])

2(х) = ± [ с = 1 Г -^с,

П(г^) = {/а(х) Ф(ж,£),

приводят уравнения (1.17), (1.18) к виду (1.12), (1.14) (очевидно, что функция Ф(ж,£) меняется на функцию £), переменная х - на г), причем

а производная приобретает коэффициент с. При этом, как легко

видеть, геометрия звезды Г не изменяется, сохраняется его параметризация, переменная х заменяется на г; начальные (1.15) и краевые (1.16) условия также не изменяют своего вида.

2.3. Двухсекционная антенна. Рассмотрим модель двухсекционной антенны, имеющую два места £1 и £2 крепления растяжек к телу мачты. Предполагается, что фрагмент тела мачты, находящийся выше последнего места

закрепления растяжек (условимся считать £1 этим местом) имеет много меньшую массу, по отношению к массе всей мачты, и, значит, указанный фрагмент естественно интерпретировать в модели как массу М, сосредоточенную в узле тело мачты, находящееся ниже этого места £1, испытывает продольные колебания, мачтовые растяжки - поперечные колебания. Такая конструкция описывается геометрическим графом-цепочкой Г (звезды Г1 и Г2 соединены последовательно) и на каждом ребре графа Г = ГхиГг имеем волновое уравнение, в узлах £ 6 ^(Г) примыкания ребер - условия, аналогичные условиям сочленения (взаимодействия) [66, 70].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Волкова, Анна Сергеевна, 2014 год

Список литературы

[1] Белишев М.И. О граничной управляемости динамической системы, описываемой волновым уравнением на одном классе графов (на деревьях) [Текст] / М.И. Белишев // С.-Петербург: Записки научных семинаров ПОМИ. - 2004. - Т. 308. - С. 23-45.

[2] Боровских A.B. Формула распространения волн для одномерной неоднородной среды [Текст] / A.B. Боровских // Дифференциальные уравнения. - 2002. - Т. 38. № 6. -С.758-767.

[3] Буничева А.Я. Вычислительный эксперимент в гемодинамике [Текст] / С.PI. Мухин, Н.В. Соснин, А.П. Фаворский // Дифференциальные уравнения. - 2004. - Т. 40. № 7. - С. 920-935.

[4] Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами [Текст] / А.Г. Бутковский. — М.: Наука, 1965. — 474 с.

[5] Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами [Текст] / А.Г. Бутковский. - М.: Наука, 1975. - 568 с.

[6] Вервейко Н.Д. Нестационарное течение сжимаемой жидкости в деформируемых трубах [Текст] / Н.Д. Вервейко, П.П. Сумец - Воронеж: Воронежский государственный университет, 2004. - 207 с.

[7] Веремей Е.И. Алгоритмы решения одного класса задач ^Гоо-оптимизации систем управления [Текст] / Е.И. Веремей // Известия РАН. Теория и системы управления. -

2011. - № 3. - С. 52-61.

[8] Веремей Е.И. Оптимизационный подход к моделированию и разработке информационно-управляющих систем [Текст] / Е.И. Веремей // Прикладная информатика. - 2012. - № 6.

- С. 34-41.

[9] Веремей Е.И. Выбор оптимальных параметров обратной связи специальной структуры [Текст] / Е.И. Веремей, В.В. Еремеев // Вестник Ленинградского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия. - 1988. - Т. 2, № 8. - С. 91-94.

[10] Волкова A.C. Обобщенные решения краевой задачи для волнового уравнения па графе [Текст] / A.C. Волкова // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. - 2011. - Том 16, вып. 4 - С. 1050-1052.

[11] Волкова A.C. Единственность решения одной задачи Дирихле на графе [Текст] / A.C. Волкова // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. - 2012. - Том 17, вып. 2. - С. 527-529.

[12] Волкова A.C. Задача граничного управления сложносочлененной упругой системой струн [Текст] / A.C. Волкова // Системы управления и информационные технологии. -

2012. - № (50). - С. 79-83.

[13] Волкова A.C. О разрешимости краевых задач для уравнений параболического и гиперболического типов на геометрическом графе [Текст] / A.C. Волкова, Ю.А. Гнилиц-кая, В.В. Провоторов // Системы управления и информационные технологии. - 2013. -Л°1 (51). - С. 11-15.

[14] Волкова A.C. Обобщенные решения краевой задачи для уравнения теплопроводности на графе [Текст] / A.C. Волкова // Вестник С.-Петербургского университета. Серия

10. Прикладная математика, информатика, процессы управления. - 2013. - Выпуск 3. -С. 39-47.

[15] Волкова A.C. Однозначная разрешимость начально-краевых задач с распределенными параметрами на графе [Текст] / A.C. Волкова // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. - 2013. - Том 18, вып. 5. - С. 2473-2475.

[1G] Волкова A.C., Провоторов В.В. Обобщенные решения и обобщенные собственные функции краевых задач на геометрическом графе [Текст] / A.C. Волкова, В.В. Провоторов // Известия высших учебных заведении. Математика. - 2014. - №3. - С. 3-18.

[17] Волкова A.C. Аппроксимация краевой задачи для эллиптического уравнения с распределенными параметрами на графе [Текст] / A.C. Волкова // Системы управления и информационные технологии. - 2014. - №1.1 (55) - С. 117-121.

[18] Волкова A.C. Математическая модель переноса вещества по графу кровеносных сосудов при наличии диффузии [Текст] / A.C. Волкова // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. - 2014. - Том 19, вып. 2 - С. 597-599.

[19] Волкова A.C. Об одной краевой задачи для волнового уравнения в пространстве L2 [Текст] / A.C. Волкова // Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования. ПМТУММ-2011. - Воронеж: Изд-во Воронеж, гос. ун-та. - 2011. - С. 61-63.

[20] Волкова A.C. Фредгольмова разрешимость в классе ТУ| задачи Дирихле для уравнения эллиптического типа на графе-звезде [Текст] / A.C. Волкова // Математика и ее приложения: ЖИМО. - 2011 - 1(8). - С. 15-28.

[21] Волкова A.C. Обобщенное решение краевой задачи для эллиптического уравнения на графе [Текст] / A.C. Волкова // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. - 2012. - 1(39). - С. 28-30.

[22] Волкова A.C., Провоторов В.В. Задача граничного управления дифференциальной системой па графе [Текст] / A.C. Волкова, В.В. Провоторов // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. - 2012. - 1(39). -С. 30-32.

[23] Волкова A.C. Обобщенные решения для эллиптического уравнения в задачах граничного управления на геометрическом графе [Текст] / A.C. Волкова // Процессы управления и устойчивость: Труды 43-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. А. С. Еремина, Н. В. Смирнова. - СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та. - 2012. - С. 14-20.

[24] Волкова A.C. Краевая задача для эллиптического уравнения на графе в соболевских пространствах [Текст] / A.C. Волкова // Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования. ПМТУММ-2012. - Воронеж: Изд-во Воронеж, гос. ун-та - 2012. - С. 73-76.

[25] Волкова A.C. Об управлении дифференциальной системой в классе обобщенных решений па графе [Текст] / A.C. Волкова // Математика и ее приложения: ЖИМО. -2012. - 1(9). - С. 15-24.

[26] Волкова A.C. Обобщенные решения краевой задачи для уравнения параболического типа на произвольном графе. [Текст] / A.C. Волкова // Процессы управления и устойчивость: Труды 44-й международной научной конференции аспирантов и студентов

/ Под ред. А. С. Еремина, Н. В. Смирнова. - СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та. -2013. - С. 14-19.

[27] Волкова А.С., Провоторов В.В. Однозначная разрешимость начально-краевых задач для дифференциальных систем с распределенными параметрами на графе [Текст] / А.С. Волкова, В.В. Провоторов //Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий. ПМТУКТ-2013. - Воронеж: Изд-во Воронеж, гос. ун-та. - 2013. - С. G8-72.

[28] Гнилицкая Ю.А. Граничное управление колебаниями системы струн [Текст] / Ю.А. Гнплицкая // Процессы управления и устойчивость: Труды 43-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. А. С. Ерёмина, Н. В. Смирнова. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та. - 2012. - С. 21-25.

[29] Жабко А.П., Зарецкий Д.В. Устойчивость дифференциально-разностных систем с неопределенными параметрами [Текст] / А.П. Жабко, Д.В. Зарецкий // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия. - 2004. - Лг° 1. - С. 3-5.

[30] Завгородний М.Г. Спектральная полнота корневых функций краевой задачи па графе [Текст] / М.Г. Завгородний // Доклады РАН. - 1994. - Т.335, № 3. - С.281-285.

[31] Завгородний М.Г. Об эволюционных задачах на графе [Текст] / М.Г. Завгородний // Успехи математических наук. - 1991. - Т.46, № 6. - С.199-200.

[32] Знаменская JI.H. Управление упругими колебаниями [Текст] / Л.Н. Знаменская .М.: Физматлит, 2004. - 175 с.

[33] Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования [Текст] / В.И. Зубов. - Л.: Судостроение, 1959. - 324 с.

[34] Зубов В.PI. Лекции по теории управления [Текст] / В.И. Зубов. - М.: Наука, 1975.

- 496 с.

[35] Зубов В. PI. Проблема устойчивости процессов управления [Текст] / В.PI. Зубов. -Л.: Судпромгиз, 1980. - 253 с.

[36] Р1лыш В.А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах за произвольный промежуток времени [Текст] / В.А. Р1льин // Дифференциальные уравнения.

- 1999. - Т. 35. № 11. - С.1517-1534.

[37] Камачкин A.M., Шамберов В.Н. Метод декомпозиции в многомерных нелинейных динамических системах [Текст] / A.M. Камачкин, В.Н. Шамберов // Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования: Материалы Международной научной конференции. - Воронеж. - ВГУ. - 2011. - С. 2-5.

[38] Камачкин A.M., Шамберов В.Н. Декомпозиция многомерных нелинейных систем со сложными структурами [Текст] / A.M. Камачкин, В.PI. Шамберов // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы XII Международной конференции.-М.: Изд-во ИПУ РАН. - 2012. - С. 162-163.

[39] Карелин В.В. Штрафные функции в одной задаче управления [Текст] / В.В. Карелин // Автоматика и телемеханика. - 2004. - № 3. - С. 137-147.

[40] Карелин В.В. Штрафные функции в задаче управления процессом наблюдения [Текст] / В.В. Карелии // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2010. - № 4. - С. 109-114.

[41] Каменский М.И. О полугруппе в задачах диффузии на пространственной сети [Текст] / М.И. Каменский, О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный // Доклады АН СССР. - 1999. - Т. 3G8 (2). - С. 157-159.

[42] Костюченко А.Г. Распределение собственных значений [Текст] / А.Г. Костюченко, И.С. Саргсян. - М.: Наука, 1979. - 400 с.

[43] Кошелев В.Б. Математические модели квази-одпомерной гемодинамики [Текст] / В.Б. Кошелев, С.И. Мухин, Н.В. Соснин, А.П. Фаворский. - М.: МАКС Пресс, 2010. - 114 с.

[44] Ладыженская O.A. Смешанная задача для гиперболического уравнения [Текст] / O.A. Ладыженская. - М.: Гостехиздат, 1953. - 279 с.

[45] Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики [Текст] / O.A. Ладыженская. - М.: Наука, 1973. - 407 с.

[46] Левитан Б.М. Введение в спектральную теорию. [Текст] / Б.М. Левитан, И.С. Саргсян. - М.: Наука, 1970. - 381 с.

[47] Левитан Б.М. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака [Текст] / Б.М. Левитаи, И.С. Саргсян. - М.: Наука, 1988. - 432 с.

[48] Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными [Текст] / Ж.-Л. Лионе. - М.: Мир, 1972. - 414 с.

[49] Лионе Ж.-Л. Неоднородные граничные задачи и их приложения [Текст] / Ж.-Л. Лионе, Э. Мадженес. - М.: Мир, 1971. - 371 с.

[50] Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения [Текст] / В.А. Марченко. - Киев: Наукова думка. 1977. - 384 с.

[51] Марчук Г. И. Методы вычислительной математики [Текст] / Г.И. М арчу к. - М.: Наука, 1977. - 454 с.

[52] Махинова O.A. Аппроксимация эволюционных задач с носителем на графе [Текст] / O.A. Махинова, В.В. Провоторов // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2010. - Т. 6, № 7. - С. 74-80.

[53] Махинова O.A. Задача теплопереноса на графах с циклом [Текст] / O.A. Махинова // Системы управления и информационные технологии. -2010. 1 (39) - С. 19-22.

[54] Махинова O.A. Аппроксимация одномерного оператора Лапласа на графе-звезде [Текст] / O.A. Махинова // Вестник Тамбовского государственного университета. Серия естественных и технических паук. - 2011. - Т. 16, вып. 4. - С. 1124-1126.

[55] Махинова O.A. Конечная проблема моментов для краевых задач на графе [Текст] / O.A. Махинова // Вестник Тамбовского государственного университета. Серия естественных и технических наук. - 2011. - Т. 16, вып. 5. - С. 1264-1269.

[5G] Махинова O.A. Свойства конечно-разностного аналога одномерного оператора Лапласа на графе [Текст] / O.A. Махинова // Вестник Санкт-Петербургского государственного университета. - 2012. - Серия 10. выпуск 1. - С. 54- 60.

[57] Махинова O.A. Устойчивость разностной схемы для эллиптического уравнения с распределенными параметрами на графе [Текст] / O.A. Махинова, A.C. Волкова // Системы управления и информационные технологии. - 2014. -№1(55) — С. 19-22.

[58] Назипова H.H. Расчёт скоростей метаболических реакций в живой растущей клетке методом баланса стационарных метаболических потоков (метод БСМП) [Текст] / H.H.

Назипова, Ю.Е. Елькин, В.В. Пашоков, Л.Н. Дроздов-Тихомиров // Матем. биолог, и биоинформ. - 2007. - 2:1 - С.98-119.

[59] Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы [Текст] / М.А. Ыаймарк.

- М.: Наука, 1969. - 526 с.

[60] Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной [Текст] / Р1.П. Натансон.

- М.:Наука, 1974. - 614 с.

[61] Пенкин О.М. Эллиптические уравнения на стратифицированных множествах // Докторская диссертация. - Воронеж, 2004. - 191 с.

[62] Пенкин О.М. О слабой разрешимости задачи Дирихле на стратифицированных множествах [Текст] / О.М. Пенкин, Е.М. Богатов // Математические заметки. - 2000. -№ 6. - С. 874-886.

[63] Подвальный С.Л. Моделирование промышленных процессов полимеризации [Текст] / С.Л. Подвальный. - М.: Химия, 1979 - 256 с.

[64] Подвальный С.Л. Информационно-управляющие системы мониторинга сложных объектов [Текст] / С.Л. Подвальный . - Воронеж: Научная книга, 2010. - 164 с.

[65] Подвальный С.Л. Численные методы и вычислительный эксперимент [Текст] / С.Л. Подвальный, Л.В. Холопкппа, Д.В. Попов. - Уфа: изд. УГАТУ, 2005. - 226 с.

[66] Покорный Ю.В. Дифференциальные уравнения на геометрических графах [Текст] / Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин, В.Л. Прядиев и др. - М.: Физматлит, 2004. - 268 с.

[67] Провоторов В.В. Математическое моделирование колебательных процессов поддерживающих растяжек упругой мачты [Текст] / В.В. Провоторов // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Системный анализ и информационные технологии. - 2006. - № 2. - С. 28-35.

[68] Провоторов В.В. Разложение по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля на графе-пучке [Текст] / В.В. Провоторов // Известия высших учебных заведений. Математика. - 2008. - № 3. - С. 50-62.

[69] Провоторов В.В. К вопросу построения граничных управлений в задаче о гашении колебаний системы «мачта-растяжки» [Текст] / В.В. Провоторов // Системы управления и информационные технологии. - 2008. - № 2.2 (32). - С. 293-297.

[70] Провоторов В.В. Собственные функции краевых задач на графах и приложения [Текст] / В.В. Провоторов. - Воронеж, 2008. - 247 с.

[71] Провоторов В.В. Собственные функции задачи Штурма-Лиувилля на графе-звезде [Текст] / В.В. Провоторов // Математический сборник. - 2008. - Т. 199. № 10. - С. 105-126.

[72] Провоторов В.В. Управление колебаниями механической системы «мачта-растяжки» [Текст] / В.В. Провоторов // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2009. - Т. 5. № 2. - С. 57-61.

[73] Провоторов В.В. Устойчивость разностных схем граничных задач на графе [Текст] / В.В. Провоторов // Системы управления и информационные технологии. - 2009. - № 2.2 (36). - С. 280-285.

[74] Провоторов В.В. Разностные схемы граничных задач на графе [Текст] / В.В. Провоторов // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2009. Т. 5. № 10. - С. 14-18.

[75] Провоторов B.B. Спектральная задача на графе с циклом [Текст] / В.В. Провото-ров// Дифференциальные уравнения. - 2010. - Т. 46. № 11. - С. 1665.

[76] Провоторов В.В. Метод моментов в задаче гашения колебаний дифференциальной системы на графе [Текст] / В.В. Провоторов // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2010. -Л'« 2. - С. 60-69.

[77] Провоторов В.В. Построение граничных управлений в задаче о гашении колебаний системы струн [Текст] / В.В. Провоторов // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2012. - № 1. -С. 62.

[78] Провоторов В.В. Граничное управление волновой системой в пространстве обобщенных решений на графе [Текст] / В.В. Провоторов, Ю.А. Гнилицкая // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2013. - № 3. - С. 112-120.

[79] Провоторов В. В. Краевые задачи для уравнений с распределенными параметрами на графах [Текст] / В.В. Провоторов, О. А. Махинова. - Воронеж: Научная книга, 2013.

- 133 с.

[80] Провоторов В.В. Начально-краевые задачи с распределенными параметрами на графе [Текст] / В.В. Провоторов, A.C. Волкова, - Воронеж: Научная книга, 2014. - 188 с.

[81] Провоторов В.М. О влиянии аденозина и амиодарона на особенности купирования пароксизмальной формы трепетания предсердий при ЧПЭС [Текст] / В.М. Провоторов, Т.М. Селина, Ю.А. Коневских, В.В. Провоторов // Системный анализ и управление в биомедицинских системах. - 2006. - Т. 5. № 4. - С. 696-697.

[82] Провоторов В.М. Влияние инфузии АТФ на состояние кардиореспираторной системы у лиц пожилого возраста с ИБС и ХОБЛ [Текст] / В.М. Провоторов, Е.Л. Дружинина, В.В. Провоторов // Системный анализ и управление в биомедицинских системах. - 2010.

- Т. 9. № 1. - С. 102-105.

[83] Ризничеико Г.Ю. Математические модели биологических продукционных процессов [Текст] / Г.Ю. Ризниченко, А.Б. Рубин. - М.: Изд-во МГУ, 1993. - 300 с.

[84] Самарский A.A. Уравнения математической физики [Текст] / A.A. Самарский, А.II. Тихонов. - М.: Наука, 1977. - 735 с.

[85] Сергеев С.М. Математическое моделирование работы коммерческих сетей в условиях инноваций [Текст] / С.М. Сергеев // Системы управления и информационные технологии. - 2012. - ;№ 4(50). - С.27-32.

[86] Рисс Ф. Лекции по функциональному анализу [Текст] / Ф. Рисс, Б. Сёкефальви-Надь. - М.: Мир, 1979. - 592 с.

[87] Смирнов В.И. Курс высшей математики. T.IV, Ч 1 [Текст] / В.И. Смирнов. - М.: Наука, 1974. - 326 с.

[88] Смирнов В.И. Курс высшей математики. T.IV, Ч 2. [Текст] / В.И. Смирнов. - М.: Наука, 1974. - 550 с.

[89] Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Т.1. [Текст] / Э.Ч. Титчмарш. - М.: ИЛ, 1960.

- 342 с.

[90] Титчмарш Э.Ч. Теория функций [Текст] /Э.Ч. Титчмарш - М.: Наука, 1980. - 329

с.

[91] Филиппов А.Ф. Об устойчивости разностных уравнений [Текст] / А.Ф. Филиппов // Доклады АН СССР. - 1955. -Т. 100. №6. - С. 1045-1048.

[92] Цлаф Л.Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения [Текст] / Л.Я. Цлаф. - М.: Наука, 1970. - 191 с.

[93] Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. 4.1. Функции одного переменного [Текст] / Б.В. Шабат. - М.: Наука, 1976. - 320 с.

[94] Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс [Текст] / Г.Е. Шилов. -М.:Физматлит, 1961. - 436 с.

[95] Юрко В.А. О восстановлении операторов Штурма-Лиувилля на графах [Текст] / В.А Юрко // Математические заметки. - 2006. - т.79, вып.4. - С. 619-630.

[96] Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач [Текст] / В.А Юрко. - М.: Физматлит, 2007. - С. 384.

[97] Aleksandrov A.Yu. Conditions of ultimate boundedness of solutions for a class of nonlinear systems [Text] / A.Yu. Aleksandrov, A.V. Platonov // Nonlinear Dynamics and Systems Theory. - 2008. - V. 8, N 2. - P. 109-122.

[98] Volkova A.S., Gnilitskaya Yu.A., Provotorov V.V. On the Solvability of Boundary-Value Problems for Parabolic and Hyperbolic Equations on Geometrical Graphs [Text] / A.S. Volkova, Yu.A. Gnilitskaya, V.V. Provotorov //. Automation and Remote Control. - 2014. - Vol. 75. № 2. - P. 405-412.

[99] Yurko V.A. An inverse spectral problem for Sturm-Liouville operators with singular potentials on star-type graphs. Analysis on graphs and its applications. [Text] / V.A. Yurko, G. Freiling, M. Ignatiev // Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. -2008 - vol.77, Amer. Math. Soc. - P. 397-408.

[100] Friedrichs K.O. Spectraltheorie halbbeschrankten Operatoren und ihre Anwendung auf Spectralzerlegung von Differentialoperatoren. Part 1 [Text] / K.O. Friedrichs // Math. Ann.-1934. - 109. - P.465-487.

[101] Karelin V.V. Adaptive optimal strategies in controlled Markov processes [Text] / V.V. Karelin // Advances in Optimizations Proceedings of 6th French-German Colloquium of Optimization. FRG. - 1991. - P.518-525.

[102] Pokornyi Yu.V. On Il'in-Moiseev type solvability conditions for nonlocal vector boundary value problems [Text] / Yu.V. Pokornyi, K.P. Lazarev, Zh.I. Bakhtina, V.V. Provotorov // Differential Equations. - 2008. - V. 44. № 3. - P. 446-448.

[103] Provotorov V.V. Eigenfunctions of the Sturm-Liouville problem on astar graph [Text] / V.V. Provotorov // Sbornik: Mathematics. - 2008. - V. 199. - № 10. - P. 1523-1545.