Математическое моделирование и численный анализ потоковых явлений в сетеподобных носителях

Балабан Олеся Руслановна

Математическое моделирование и численный анализ потоковых явлений в сетеподобных носителях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Балабан Олеся Руслановна

Балабан Олеся Руслановна
кандидат наук
2021

Специальность ВАК РФ00.00.00

Количество страниц 144

Балабан Олеся Руслановна. Математическое моделирование и численный анализ потоковых явлений в сетеподобных носителях: дис. кандидат наук: 00.00.00 - Другие cпециальности. ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет». 2021. 144 с.

Оглавление диссертации кандидат наук Балабан Олеся Руслановна

Введение

Глава 1 Математическое моделирование потоковых явлений (процессов) в сетеподобных носителях

1.1 Сети и сетеподобные носители

1.1.1 Описание пространственной сети

1.1.2 Описание сетеподобных объектов

1.2 Математическое моделирование потоковых явлений (процессов)

1.2.1 Моделирование в сетях и сетеподобных объектах

1.2.2 Моделирование сетеподобных биофизических потоковых явлений (процессов)

1.2.3 Математические модели сетеподобных природных потоковых явлений (процессов)

Выводы по главе

Глава 2 Аппроксимации и разностные схемы математических моделей потоковых явлений (процессов)

2.1 Аппроксимации математических моделей на пространственной сети

2.1.1 Аппроксимация и моделирование на простейшей сети

2.1.2 Аппроксимация и моделирование на цепочке звезд

2.1.3 Аппроксимация эволюционного оператора на произвольной пространственной сети

2.1.4 Построение приближенных решений начально-краевых задач математических моделей на пространственной сети

2.2 Аппроксимация и метод конечных разностей для математических моделей на сетеподобных областях

2.2.1 Описание метода конечных разностей

2.2.2 Аппроксимация и разностные схемы, используемые для математических моделей на сетеподобных областях

2.2.3 Построение приближенных решений начально-краевых задач математических моделей на сетеподобных областях

2.3 Устойчивость и сходимость разностных схем математических моделей на

сетеподобных областях

2.3.1 Устойчивость разностных схем

2.3.2 Сходимость приближенных решений

Выводы по главе

Глава 3 Численные методы анализа сетевых эволюционных потоковых явлений (процессов)

3.1 Явная разностная схема начально-краевых задач для сетеподобных математических моделей

3.1.1 Разностная схема на простейшей сети

3.1.2 Разностная схема на сети-звезда

3.1.3 Разностная схема на суперпозиции простейшей сети и сети-звезда

3.1.4 Разностная схема на сети, содержащей циклы

3.1.5 Разностная схема на произвольной сети

3.1.6 Разностная схема на сетеподобных объектах

3.2 Неявная разностная схема начально-краевых задач для сетеподобных математических моделей

3.2.1 Разностная схема на простейшей сети, матрица разностной схемы

3.2.2 Разностная схема на сети-звезда, матрица разностной схемы

3.2.3 Разностная схема на суперпозиции простейшей сети и сети-звезда, матрица разностной схемы

3.2.4 Разностная схема на произвольной сети

3.2.5 Разностная схема на сетеподобных объектах

Выводы по главе

Глава 4 Программный комплекс для анализа сетевых потоковых явлений при изучении тепловых и гидродинамических процессов

4.1 Описание структуры программного комплекса

4.2 Явная разностная схема эволюционных потоковых явлений (процессов)

4.2.1 Анализ эволюционных потоковых явлений (процессов) на примере простейшей сети

4.2.2 Анализ эволюционных потоковых явлений (процессов) на примере

сети-звезда

4.2.3 Анализ эволюционных потоковых явлений (процессов) на примере суперпозиции простейшей сети и сети-звезда

4.2.4 Анализ эволюционных потоковых явлений (процессов) на примере сети, содержащей циклы

4.3 Неявная разностная схема эволюционных потоковых явлений (процессов)

4.3.1 Анализ эволюционных потоковых явлений (процессов) на примере простейшей сети

4.3.2 Анализ эволюционных потоковых явлений (процессов) на примере сети-звезда

4.3.3 Анализ эволюционных потоковых явлений (процессов) на примере суперпозиции простейшей сети и сети-звезда

Выводы по главе

Заключение

Список литературы

Приложения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование и численный анализ потоковых явлений в сетеподобных носителях»

Введение

Актуальность темы. В настоящее время особый интерес вызывает проблематика развития аппарата математического моделирования численного анализа эволюционных потоковых явлений (процессов) в рамках сетевых и сетеподобных носителей. Устойчивая тенденция в этом направлении определяется как наличествующими технологическими и природными носителями процессов и явлений, имеющими сетевую и сетеподобную структуру (носители тепла, газожидкостных сред, нефти и нефтепродуктов, сетеподобные биологические и биофизические процессы в живых организмах и пр.), так и достаточно глубоко разработанным математическим инструментарием, позволяющим осуществлять анализ и прогнозирование потоковых явлений (процессов). Основы анализа математических моделей потоковых явлений (процессов) в сетеподобных носителях заложены в работах

A.И. Егорова, А.Г. Бутковского, Ю.И. Самойленко, В.И. Плотникова, Ю.Р. Андреева,

B.В. Провоторова [2, 31-33, 44, 79, 86-93, 95-102, 104, 131-136]).

Сетевые и сетеподобные структуры в основном реализуются в виде эволюционных потоковых явлений (процессов), порождаемых характерной особенностью (уникальностью) сетевого или сетеподобного носителя - наличием в этом носителе узлов (узловых мест), посредством которых соединяются (смыкаются, сочленяются) отдельные фрагменты носителя. Такие явления могут быть балансными (характеризующие фиксированный баланс потоков в узле), распределенными (каждый примыкающий к узлу носитель обладает определенной количественной характеристикой) и смешанными (распределенными на основе балансовых количественных характеристик). Наличие потоковых явлений (процессов) привносят свои особенности при их моделировании - математическое описание таких явлений выходит за рамки классических формализмов дифференциальных уравнений. Однако, несмотря на разнообразие истоков происхождения потоковых явлений (следствие разнообразия сетевых и сетеподобных процессов), существуют общие закономерности (общие формализмы), дающие возможности систематизировать подходы и методы их математического описания. Последнее определяет необходимость существенной корректировки как существующих подходов в моделировании потоковых явлений (процессов), так и адаптации численных методов анализа (а, следовательно, аппроксимаций, разностных схем, алгоритмов и проблемно-ориентированных программ для проведения

вычислительного эксперимента) для решения прикладных задач, определенных на сетеподобных носителях.

Следует отметить, что развитие теории уравнений с частными производными с распределенными параметрами на графах (сетях) и сетеподобных областях (работы В.В Провоторова, Е.С. Барановского, А.П. Жабко, А.С. Волковой, Ю.А. Гнилицкой, А.А. Парт, N.V. Hoang [1, 29, 36-38, 40-43, 45, 75, 76, 86-93, 95-102, 123, 131-136]) инициировало получение новых результатов и придало существенный импульс в направлении развития численных методов анализа различного типа процессов и потоковых явлений в сетеподобных носителях. В настоящее время имеются фрагментарные результаты в указанном направлении, разработка, обоснование и реализация эффективных численных методов и алгоритмов еще не полностью завершена.

В связи с этим актуальность тематики диссертационного исследования вытекает из необходимости развития аппарата математического моделирования, разработки и обоснования эффективных вычислительных методов и алгоритмов для решения прикладных задач анализа эволюционных потоковых явлений (процессов) в сетеподобных носителях.

Тема диссертационного исследования соответствует одному из основных научных направлений Научно-исследовательского центра ВУНЦ ВВС РФ «Военно-воздушная академия им. профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А.Гагарина» (г. Воронеж): «Математическое и компьютерное моделирование средств наземного обслуживания общего применения государственной авиации».

Цель работы и задачи исследования. Целью диссертационного исследования является разработка средств математического описания эволюционных потоковых явлений (процессов) в сетеподобных носителях, разработка новых методов и подходов при моделировании потоковых явлений (процессов), формирование и обоснование вычислительных алгоритмов, разработка комплекса программных средств для количественного описания свойств потоковых явлений (процессов) с учетом характерных структурных особенностей сетевых носителей явления (процесса).

Для достижения данной цели в работе необходимо было решить следующие задачи:

1. Анализ проблематики математического описания эволюционных потоковых явлений (процессов) в сетеподобных носителях и разработка математических моделей этих явлений (процессов).

2. Разработка подходов к построению аппроксимаций применительно к математическим моделям эволюционных потоковых явлений (процессов) с учетом характерных структурных особенностей сетевых носителей явления (процесса).

3. Построение устойчивых вычислительных схем для аппроксимаций математических моделей эволюционных потоковых явлений (процессов).

4. Разработка и обоснование вычислительных алгоритмов численных методов анализа эволюционных потоковых явлений (процессов) для сетеподобных математических моделей, их сравнительный анализ, разработка рекомендаций по их реализации применительно к описанию процессов переноса сплошных сред.

5. Создание программного комплекса, реализующего вычислительные алгоритмы количественного описания свойств потоковых явлений (процессов) с учетом характерных структурных особенностей сетевых носителей явления (процесса). Верификация результатов численного моделирования путем вычислительного эксперимента применительно к актуальным прикладным задачам.

Объект исследования: эволюционные процессы, реализованные в сетеподобных потоковых явлениях (процессах), применительно к прикладным задачам переноса сплошных сред по сетеподобным носителям.

Предмет исследования: математические модели эволюционных потоковых явлений (процессов) и средства их численной реализации в технических системах сетевого типа.

Методы исследования. При решении поставленных задач использовались методы теории математического моделирования, теории системного анализа, теории графов, методы вычислительной математики для решения дифференциальных систем.

Тематика работы соответствует следующим пунктам паспорта специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»: п.2. «Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей»; п.3. «Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий»; п.4. «Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента».

Научная новизна. В результате проведенных исследований в работе получены следующие результаты, отличающиеся научной новизной:

- разработаны математические модели эволюционных потоковых явлений (процессов) в сетеподобных носителях отличающиеся особенностью использования балансных соотношений типа Кирхгофа в узлах (узловых местах) сети, позволяющие осуществлять численный анализ основных характеристик явлений (процессов);

- разработаны средства построения аппроксимаций для математических моделей эволюционных потоковых явлений (процессов) в сетеподобных носителях, отличающиеся реализацией специальных аппроксимаций потоковой особенности в узлах сетевых носителей и формализмами, присущими сетевым разностным схемам;

- предложены разностные схемы для математических моделей эволюционных потоковых явлений (процессов), отличающиеся представлением условий их устойчивости, обеспечивающие сходимость приближенных решений и непрерывность этих решений по исходным данным;

- разработаны алгоритмы численного анализа потоковых явлений (процессов) для сетеподобных математических моделей, отличающиеся универсальностью технологии использования при численном анализе потоковых явлений с носителями произвольной структуры;

- предложена структура программного комплекса анализа сетевых потоковых явлений (процессов), отличающаяся реализацией механизмов оперативной адаптации вычислительных алгоритмов к изменению геометрии фрагментов носителей при практическом инжиниринге производства.

Положения, выносимые на защиту:

1. Предложены математические методы моделирования эволюционных потоковых явлений (процессов) в сетеподобных носителях, реализующие основные результаты анализа балансных и распределенных количественных характеристик потоков.

2. Развитие метода конечных разностей позволяет учитывать характерные структурные особенности сетевых носителей.

3. Предложенные подходы к формированию устойчивых и условно устойчивых вычислительных схем для аппроксимаций математических моделей эволюционных потоковых явлений (процессов) минимизируют погрешности аппроксимаций.

4. Алгоритмы численных методов анализа потоковых явлений (процессов) сетеподобных математических моделей повышают эффективность вычислительных экспериментов для установления новых свойств изучаемых явлений (процессов).

5. Программный комплекс, реализующий вычислительные алгоритмы количественного описания свойств потоковых явлений (процессов) с учетом характерных структурных особенностей сетевых носителей, обеспечивает качественный анализ вычислительных алгоритмов.

Практическая значимость заключается в разработке программного комплекса, реализующего вычислительные алгоритмы количественного описания свойств потоковых явлений с учетом характерных структурных особенностей сетевых носителей. Предусмотрена возможность определения эффективности использования каждого алгоритма и выбора оптимального алгоритма при решениях актуальных задач практического инжиниринга.

Полученные результаты могут быть использованы в качестве инструментария в научно-исследовательских организациях, ориентированных на проектирование промышленных сетеподобных объектов, а также в образовательных программах специальных курсов инженерных факультетов вузов России, включающих в себя материалы теории моделирования переноса сплошных сред по сетевым носителям.

Реализация результатов работы. Основополагающие результаты, предлагаемые методы и подходы используются в научно-исследовательской деятельности Военного учебно-научного центра Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж) в рамках исследований по модернизации существующих и разрабатывающихся новых средств наземного обслуживания общего применения государственной авиации при выполнении плановых научно-исследовательских работ по анализу сетевых потоковых явлений. Результаты используются в учебном процессе математического факультета в ФГБОУ ВО «Воронежском государственном университете» в рамках дисциплины «Обобщенные собственные функции в анализе краевых задач гидродинамики». Программный комплекс для анализа сетевых потоковых явлений использован АО «Уральским компрессорным заводом» при проектировании атмосферного испарителя цистерны для хранения криопродуктов разрабатываемой подвижной газифицированной установки.

Программный комплекс прошел государственную регистрацию в реестре Федеральной службы по интеллектуальной собственности, получены свидетельства о государственной регистрации.

Апробация работы. Материалы диссертационного исследования докладывались на научных конференциях и семинарах: IX, X, XI, XII Международных конференциях «Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий» ПМТУКТ- 2016, 2017, 2018, 2019 (Воронеж, 2016, 2017, 2018, 2019); Международная научно-методическая конференция «Информатика: проблемы, методология, технологии» (Воронеж, 2018); Международная научно-практическая конференция «Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика» (Воронеж, 2019); 63-я Международная научная конференция Астраханского государственного технического университета (Астрахань, 2019), Ежегодных международных открытых научных конференциях "Современные проблемы информатизации" (Воронеж, 2019, 2021).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 27 научных работ: 7 статей в журналах, рекомендованных ВАК РФ; 1 статья в журнале индексируемом библиографической и реферативной базой данных SCOPUS; получено 2 свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ; 1 монография; 16 статей в других изданиях.

В работах, опубликованных в соавторстве, лично соискателю принадлежат следующие результаты: [7, 8] - построение устойчивой разностной схемы для параболической начально-краевой задачи; [9, 10, 94, 14, 16, 18] - аппроксимация дифференциальных систем; [105, 106] - программный комплекс проблемно-ориентированных программ для системы параболического типа; [84, 13, 15, 26] -математические модели потоковых явлений в гидросистеме; [23] - разностная схема численного анализа сетеподобных потоковых явлений.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений. Работа содержит 144 страницы текста, 38 рисунков и 19 таблиц, список литературы состоит из 140 источников.

Глава 1 Математическое моделирование потоковых явлений (процессов) в

сетеподобных носителях

Процессы переноса (в работе идет речь о потоковых явлениях) являются неравновесными процессами, когда в некоторой физической системе (в представленном исследовании физическая система имеет сетеподобную структуру) осуществляется пространственный перенос вещества или веществ (к примеру, перенос газа, жидкости, газожидкостной смеси, диффузия вещества, транспортировка товаров в торговых сетях), энергии (перенос теплоты, электрической энергии). При моделировании (построении математических моделей) таких процессов и явлений с точки зрения используемых формализмов для их описания перед исследователем возникают следующие основополагающие вопросы:

1) какой класс функций (непрерывные, дифференцируемые, иные функции) следует использовать для максимально точного (в большей степени адекватного) описания количественных характеристик основополагающих свойств этого процесса или явления,

2) как множество изменения переменных выбранного класса функций (везде ниже переменные изменяются в областях, имеющих сетеподобную структуру) может повлиять (и может ли повлиять) на формализмы математического портрета (математической модели) этих процессов,

3) допускает ли существующий аппарат численного анализа с достаточной степенью адекватности осуществлять численный анализ математических моделей изучаемого явления (процесса).

Очевидно, наличие необходимого математического инструментария исследователя теснейшим образом связано с поиском ответов на указанные вопросы, а также на указание пути их решения. Общеизвестная практика построения (или использования) математических моделей базируется на классических формализмах и понятиях математического описания процессов и явлений. Говоря о классических формализмах, используемых при описании потоковых явлений, имеется ввиду, прежде всего, дифференциальные соотношения математической физики, базирующиеся на теории эволюционных уравнений с частными производными второго порядка -уравнениях параболического типа или их аналогов с областью изменения

пространственного переменного (переменных) на интервале (на связных множествах с кусочно-гладкими границами). В представленном исследовании областью изменения пространственной переменной является граф (в приложениях - транспортная сеть, коммерческая сеть) или, более общая ситуация - сетеподобная область (в приложениях - сеть кровеносной системы человека, сеть метаболических цепочек клеток живого организма, сетевые теплоносители, газо- или гидросистемы, сетевые трубопроводы различных типов). Ниже приводятся некоторые примеры математических моделей потоковых явлений (процессов) и краткое описание свойств этих явлений при их функционировании.

1.1 Сети и сетеподобные носители

Потоковые явления (процессы) определяются сетеподобными носителями, в приложениях это сети кровеносных сосудов живого организма,гидроносители, газоносители, теплоносители, транспортные и коммерческие сети. Сложная реология носителей (их свойства) формирует подходы и методы, определяющие математическое описание как физических сетей и сетеподобных объектов-носителей, так и виртуальных носителей (в большей степени коммерческих), являющихся носителями различных видов и типов природных и искусственных процессов.

Главной особенностью, присущей любой физической (или нефизической) сети или сетеподобному объекту - носителю изучаемого явления (процесса), является свойство сохранения закономерностей развития этого явления во всех элементах (фиксированных точках) сети или сетеподобного объекта - свойство, имеющее континуальный (непрерывный) характер. Это важное отличительное свойство указанных носителей и оно выделяет их среди сетей или сетеподобных объектов другого характера явления, например, процесса передачи информации (сигнала) по информационным сетям, где в каналах передачи информации от источника к приемнику сигналов не осуществляется преобразование (изменение) информационной сути наблюдаемого явления (процесса), а интерес составляет процесс, проходящий в самих источниках и приемниках (задержка, потеря сигналов, несанкционированный отбор сигналов и пр.). Указанное свойство непрерывности физической (или нефизической) сети или сетеподобного объекта инициирует усилия и мотивирует исследователя в направлении формирования математического

описания фрагментов явления (процесса) на всех без исключения элементах сети или сетеподобного объекта, каковым является описание инструментами математических формализмов, заранее предполагающими сохранение свойства непрерывности.

1.1.1 Описание пространственной сети

Естественным источником появления сети в качестве объекта описания математическими символами и формализмами явились сетеподобные носители различных физических процессов и явлений, математические модели различных процессов в них начали изучаться еще 80-х годах прошлого столетия [31-33, 48-50, 56, 59-61, 66, 72, 78, 83, 114, 120, 121, 124, 126, 127, 137]. Эти носители выполнены в виде сложносочлененных механических конструкций с линейными фрагментами типа струн или стержней [78, 83] и основной интерес исследователей концентрировался в направлении анализа волновых свойств этих конструкций. К таковыми можно отнести сетеподобные и мачтовые антенны, волноводы, промышленные конструкции (опоры, башенные краны, скелетная архитектура зданий и пр.) [78, 83-85, 90, 91, 93]. В конце прошлого и начале нынешнего столетий возрос интерес к потоковым явлениям в сетеподобных носителях [34, 37, 40, 43, 47, 51-55, 57, 58, 73, 75, 77, 81, 84, 85, 88-93, 95-102, 122, 125], а несколько лет назад исследователи обратили внимание на аналогичные явления в экономических областях знания - эволюционные потоковые явления по коммерческим коридорам [107, 125].

Прежде всего остановимся на математической интерпретации носителя, представляющего собой систему гидропроводов, теплопроводов или волноводов, диаметр линейных элементов которых (диаметр труб, толщина теплоносителей или волнопроводов) много меньше размеров длин этих линейных элементов. В упрощенном виде такая сетеподобная система принимает вид последовательно соединенных линейных фрагментов (рис. 1.1) или ветвящуюся сеть (рис. 1.2). Представляя указанную конструкцию в виде набора линейных фрагментов, состоящего из конечного числа отрезков, сочлененных последовательно через посредство концевых точек соответствующих отрезков [83], получаем геометрическую интерпретацию сетевой конструкции (рис. 1.1), называемую с простейшей сетью или, пользуясь терминологией теории графов [46, 47, 78, 83, 93, 95], простейший геометрический связный граф. Математическим описанием таковой сети является формирование множества Г, состоящее из ориентированных отрезков у1, I = 1,2,.., т (ребра графа) и множества точек сопряжения^, к = 1,2, .... п-1 (узлов графа) этих отрезков, в

приложениях - ветви и узлы сети, соответственно. При этом вводятся обозначения для граничных £ и внутренних £ узлов сети (графа) Г и устанавливается удобная для анализа ориентация ветвей сети (ребер графа).

На рис. 1.1 изображена простейшая сеть (она же простейший граф), стрелками указана ориентация ветвей сети (ребер графа). В дальнейшем потоковые явления, волновой процесс описывается формализмами эволюционных уравнений для функций определенного класса с носителем на графе Г, используя при этом соответствующие законы и закономерности процесса переноса или распространения волн.

Рассмотрим другой пример сети - ветвящаяся сеть. Математической

и и 1 и и

интерпретацией таковой сети является граф, содержащий хотя бы один внутренний узел, где осуществляется ветвление ребер получаем граф-дерево [83, 93, 115], интерпретирующий сеть-дерево - рис. 1.2. На практике такие сетевые ветвящиеся

и и т-\ _

процессы имеею место в разветвленной сетевой гидродинамике. В этом случае гидропотоки в гидравлической сети сохраняют на всем протяжении сети так называемый ламинарный характер [122, 123, 132].

£ т \ т \

\ т \ т £

•—>—•—>—• •

• • •—>—■—>—•

Рис. 1.1. Простейшая сеть Г

5

Рис. 1.2. Сеть-дерево Г

Как и выше, через £ и £ обозначены граничные и внутренние узлы сети (графа) Г и стрелочками устанавливается ориентация ветвей сети (ребер графа).

Учитывая конструктивную особенность сети-дерево, имеющее характерное отличие от простейшей сети, а именно, наличие узлов, в которых сочленяются более двух ветвей, следует отметить, что для формирования сети-дерево удобно использовать две базовые сетевые конструкции: простейшая сеть и сеть-звезда. Последняя представляет собой сеть-дерево, содержащую определенное число ветвей и только один внутренний узел (см. к примеру, рис. 1.3); в математических моделях такая сеть называется граф-звезда [84, 93, 95, 102].

У

С—>-

% \ у

с

Рис. 1.3. Сеть-звезда Г При формировании произвольной сети следует руководствоваться естественным

/ и \ с» и и

сочленением (суперпозицией) необходимого количества простейших сетей и сетей-звезд, как это показано на рис. 1.4.

£

у % » »

г У £ •-*

£

1 г

—• £ у

%

Рис. 1.4. Произвольная сеть Г

?

£

Для математического описания рассматриваемой произвольной сети устанавливается удобная ориентация ветвей, в необходимых случаях (прежде всего, при анализе процессов тепломассопереноса) указываются вход/входы в сеть (граничный узел/узлы входа в сеть - исток/истоки) и выход/выходы из сети (граничный узел/узлы выхода из сети - сток/стоки).

Разумеется, в каждой практической ситуации при построении математической модели исследуемого процесса (явления) выбирается тип сети, адекватно интерпретирующий сетевой носитель процесса. Как было сказано выше, сформированная сеть должна содержать определенный набор простейших сетей и сетей-звезда.

Все сказанное имеет место при описании сетевых носителей эволюционных потоковых явлений по коммерческим коридорам [107, 125].

В работах В.В. Провоторова, О.А. Махиновой, А.С. Волковой, Ю.А. Гнилицкой, А.А. Парт и других авторов рассмотрены примеры использования различного типа сетей [36-38, 40-43, 69-71, 75, 76, 86-93, 95-102, 116-119, 131-136] (аналогичные примеры приведены в монографии [115], см. также библиографию там).

1.1.2 Описание сетеподобных объектов

Динамика течения вязких жидкостей и сопутствующий анализ транспортирования жидких сред в сетевых гидравлических системах (сетеподобных объектах) фиксирует возникающий при этом явление формирования конвективного эффекта и родственные ему иные нелинейные эффекты, порождающие всякого вида турбулентности. Все это инициировало для адекватного математического описания гидродинамических процессов использование сетеподобные областей в качестве носителей функций, описывающих динамику потоковых явлений. Обозначим через 3 сетеподобную область (в приложениях - сетеподобный объект), внутренняя структура которого аналогична структуре сети (рис. 1.5) с той лишь разницей, что сетевые фрагменты 3,3>•••>3, аналогичные ветвям сети являются многомерными, т.е. являются областями эвклидова пространства произвольной размерности п > 2 и сопрягаются между собой частями своих границ (место такого сопряжения в литературе называют узловым местом). На рис. 1.5 эти поверхности обозначены через ^, Б2, £3 и £4, £5, £6, они принадлежат

пространству ^

n—1

Рис. 1.5. Сетеподобная область-дерево 3

Для математического описания сетеподобной области по аналогии с сетью удобно использовать сетеподобную область-дерево (см. рис. 1.5). Элементами области-дерево являются области, представленные на рис. 1.6 - многомерная область-звезда с узловым местом (на рисунке узловое место это объединение поверхностей &, &) и различным числом примыкающим к нему областями (на рисунке это области 3,3,3). Заметим при этом, что узловое место назначается (фиксируется) исследователем в зависимости от целей, преследуемых при анализе математической модели.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Балабан Олеся Руслановна, 2021 год

У( —

т

Мг

И2

+

к = 1,п-1, ¿ = 1,2,3,

(4.38)

(и )у1 = (и )у2 = к )уз, и )у1 - «_1)у1 = (и/ )у - (и )у +(и/ )у - (и0)

У 2 ^ 0/ У2

'Уз ^^ 0'Уз'

и0 =рк, к = 0,п, и)у = и)у = (и)у = 0.

У2

р( х) =

81П — х, х е у, 2

п

008 —х, х е у, п

008—х, х е у, 2

где (1(х) е Уl, (2(х) е У2, (3(х) е У3.

Подробное описание разностной схемы (4.38) представлено в главе 3.2.2. Коэффициент а(х) = 1, Ь(х) = 0, к = 0.157 шаг по переменной х, т = 0.1 шаг по

« у

переменной X.

Рис. 4.18. Распределение температур и(х, X) на сети типа звезда ух у х у

На рис. 4.18 представлена графическая интерпретация распределения температур и(х,X) при различных значениях X: [1] - 0; [2] - 0.1; [3] - 0.2; [4] - 0.3 ; [5] - 0.4, [6] -0.5. Таблицы численных расчетов и текст программы приведены в приложениях 2.2 и 4.2.

4.3.3 Анализ эволюционных потоковых явлений (процессов) на примере суперпозиции простейшей сети и сети-звезда

Пусть Г суперпозиция простейшей сети и сети-звезда (рис. 4.19), состоящая из четырех ребер у ,у, у ,у, и двух внутренних узлов £ ,£. Каждое ребро у сети Г параметризуется отрезком [0,1] и переменной х е [0,1].

Уо

Ух

У

Рис. 4.19. Суперпозиция простейшей сети уху и сети-звезда у х у х у

Пусть функция и( х, X), определяющая количественные характеристики потокового явления (процесса), удовлетворяет соотношению

Мх^ = а(х) + Ь(х)и(х, X), х еГ,,

дг дх г

баланстным соотношениям (условиям согласования) в узле £

и(х X^ х=1еу = и(X, X)|

д и( х, X)

дх

х=1еУ0

х=0еу1 '

д и( х, X )|

дх Iх=0еУ1

в узле £

и(^ X^ х=1еу = и(X, X^ х=0еу2 = и(X, X)

х=0еу3

ди( х, X )| ди( х, X )|

+

ди (х, X)

дх 'х 1еу дх 'х 0еУ2 дх при X е (0,Г), начальному

и(х,0) = р(х), х еГ

и граничным

х=0еу3

и(х X) х=0еу = 0 и(х X) х=1еу = 0, и(^ X)

х=1еу =0, X е [0, Г]

(4.39)

(4.40)

(4.41)

(4.42)

(4.43)

условиям.

Аппроксимация начально-краевой задачи (4.39)-(4.43) приводит к разностной

схеме:

Ы) -("Г1) ("/ ,) -2(и/) +(«,')

£ = 1,и-1, = 0,1,2,3, (и )у - К-ду, = К )у - К )у ,

К )у1 = (и0 )у2 = «)у3, (иП )у1 - «Л = (и/ )у2 - к )у2 + (« )уз - «)уз,

0.

и,.

*к = Рк, к = 0,n, (и0 )у0 = (К )у2 = К )уз

Функция р( х) имеет вид:

Р( х) =

2х, х еу,,

4 .

— 81П

Я V

4

я

х

—+2 vя

4

—+ 2 я

008

У V

л /

008

+ 2, х еу,

, х е у2,

, х еУз,

У я

— • х 2

V

я

— • х 2

У

(4.44)

где Р0(х) е Уo, Р1(х) е Уl, Р2(х) е У2, Рз(х) е Уз .

Подробное описание разностной схемы (4.44) представлено в главе 3.2.3. Коэффициент а( х) = 1, Ь( х) = 0, к = 0.1 шаг по переменной х, т = 0.1 шаг по переменной 1.

<

суперпозиг{ия простеигиеи сети и сети— звезда Рис. 4.20. Распределение температур «(х, 1) на суперпозиции простейшей сети уху и

сети-звезда у х у х у

сетью-звезда с ребрами у, у, у и внутренним узлом £.

На рис. 4.20 представлена графическая интерпретация распределения температур и(х,X) при различных значениях X: [1] - 0; [2] - 0.1; [3] - 0.2; [4] - 0.3 ; [5] - 0.4, [6] -0.5. Таблицы численных расчетов и текст программы приведены в приложениях 2.3 и 4.3.

Выводы по главе

1. Разработан программный комплекс для решения задач потоковых явлений при изучении тепловых и гидродинамических процессов.

2. Представлено подробное описание схемы программного комплекса.

3. Проведены численные рассчеты по аппроксимациям с использованием явной разностной схемы на конкретных примерах (простешая сеть, сеть-звезда, суперпозиция простейшей сети и сети-звезда, сеть с циклом). Численные результаты представлены в виде графиков с распределением температур в различные моменты времени.

4. Использование явной разностной схемы освобождено от дополнительного анализа вспомогательных конечномерных задач, что может быть существенным препятствием при анализе некоторых прикладных задач, т.к. дает достаточно большую погрешность определения решения исходной задачи. Использование неявной разностной схемы требует дополнительного анализа вспомогательных конечномерных задач, но при этом существенно увеличивает точность вычисления приближений.

5. Полученные численные расчеты для указанных моделей, применимы к различным типам явлений: диффузия, теплоперенос и гидромассоперенос. А так же результаты работы могут быть использованы в задачах оптимального управления указанными эволюционными процессами в сетях.

В процессе проведенных исследований в работе получены следующие основные результаты:

1. Разработано формализованное описание основных сетеподобных носителей для различных видов и типов природных и искусственных эволюционных сетеподобных потоковых явлений (процессов), проведен анализ существующих математических моделей эволюционных сетеподобных потоковых явлений (процессов), осуществлено исследование новых используемых в работе подходов при формировании аппроксимаций моделей.

2. Предложены новые подходы к построению аппроксимаций применительно к математическим моделям эволюционных потоковых явлений (процессов) с учетом характерных структурных особенностей сетевых носителей явления (процесса).

3. Разработаны алгоритмы формирования устойчивых и условно устойчивых вычислительных схем для аппроксимаций математических моделей, основанные на анализе различных типов аппроксимаций и погрешностей аппроксимаций.

4. Сформированы и обоснованы эффективные алгоритмы численных методов анализа эволюционных потоковых явлений (процессов) для сетеподобных математических моделей, осуществлен сравнительный анализ алгоритмов, рекомендации по их реализации применительно к задачам прикладного характера.

5. Разработан программный комплекс, реализующий вычислительные алгоритмы количественного описания характеристик и свойств потоковых явлений (температурных полей, скоростей потоков, зависимости от исходных данных, и пр.) с учетом характерных структурных особенностей сетевых носителей явления (процесса).

6. Проведен анализ результатов численного моделирования на базе вычислительного эксперимента, применительно к прикладным задачам переноса сплошных сред по сетеподобным носителям.

1) Александров, А. Ю. Об асимптотической устойчивости решений одного класса систем нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием / А. Ю. Александров, А. П. Жабко // Известия вузов. Математика. - 2012. - № 5. - С. 3-12.

2) Андреев, Ю. Н. Управление конечномерными линейными объектами / Ю. Н. Андреев.- М.: Наука, 1976. - 424 с.

3) Аниконов, Ю. Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений / Ю. Е. Аниконов. - Новосибирск: Наука, 1978. - 245 с.

4) Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции / В. Я. Арсенин. - М.: Наука, 1984. - 383 с.

5) Аткинсон, Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи / Ф. Аткинсон. -М.: Мир, 1968. - 749 с.

6) Балабан, О. Р. Математическое описание динамики многофазной среды в сетеподобной гидросистеме при неизотермических условиях / О. Р. Балабан // Системы управления и информационные технологии. - 2015. - №4.1(62). - С. 192-198.

7) Балабан, О. Р. Разностная схема численного анализа динамики многофазной среды в сетеподобной гидросистеме при неизотермических условиях / О. Р. Балабан, А. В. Иванов // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. - 2016. - №2. - С. 481-489.

8) Балабан, О. Р. Граничная оптимизация процесса переноса в пространственной сети / О. Р. Балабан, А. В. Иванов // Системы управления и информационные технологии. - 2017. - №3(69). - С.4-6.

9) Балабан, О. Р. Аппроксимации эволюционных уравнений параболического типа на сети / О. Р. Балабан, А. В. Иванов // Системы управления и информационные технологии. - 2018. - №4(74). - С.4-7.

10) Балабан, О. Р. Аппроксимация эллиптического оператора эволюционных систем с распределенными параметрами на сети / О. Р. Балабан, И. В. Приходько, Л. Б. Райхельгауз // Системы управления и информационные технологии.- Воронеж: «Научная книга». - 2019. - №1(75). - С. 7-11.

11) Балабан, О. Р. Аппроксимация эволюционных дифференциальных систем с распределенными параметрами на сети и метод моментов [Электронный ресурс] / О. Р.

Балабан // Моделирование, оптимизация и информационные технологии. - 2019. - Т.7. -№3. - Режим доступа: https://moit.vivt.ru/wp-content/uploads/2019/09/Balaban_3_19_1.pdf.

12) Балабан, О. Р. Аппроксимация эволюционных процессов с распределенными параметрами на сети [Электронный ресурс] / О. Р. Балабан // Моделирование, оптимизация и информационные технологии. - 2020. - Т.8. - №3. - Режим доступа: https://moit.vivt.ru/wp-content/uploads/2020/08/Balaban_3_20_1.pdf.

13) Балабан, О. Р. Задача оптимизации динамики течения вязких многофазных сред в сетеподобных объектах / О. Р. Балабан, Ю. А. Гнилицкая И. В. Приходько // Заметки ученого. - 2015. - №1(1). - С. 156-161.

14) Балабан, О. Р. Граничная оптимизация динамики течения многофазных сред в сетеподобных объектах [Текст] / О. Р. Балабан, Ю. А. Гнилицкая // Международна научна школа «Парадигма». Лято-2015. Моделираче на системи и процеси: сборник научни стати. - Варна: ЦНИИ «Парадигма». - 2015. - Т.1. - С. 50-54.

15) Балабан, О. Р. Разностная схема численного анализа динамики многофазной среды в сетеподобной гидросистеме [Текст] / О. Р. Балабан, А. В. Иванов // Международна научна школа «Парадигма». - Изд-во "Център за научни изследвания и информация "Парадигма". - 2016. - С. 3-7.

16) Балабан, О. Р. Численный анализ разностной схемы динамики вязкой жидкости в гидросистеме при неизотермических условиях [Текст] / О. Р. Балабан, А. В. Иванов // «Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий: сб. тр. IX между-нар. конф. «ПМТУКТ-2016». - Воронеж: Изд-во «Научная книга». - 2016. - С. 35-39.

17) Балабан, О. Р. Численный анализ математической модели турбулентных процессов в гидросети [Текст] / О. Р. Балабан // «Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий: сб. тр. X междунар. конф. «ПМТУКТ-2017». - Воронеж: Изд-во «Научная книга». - 2017. - С. 66-67.

18) Балабан, О. Р. Аппроксимация эволюционных систем гидродинамических процессов, заданных на пространственной гидросети / О. Р. Балабан, А. В. Иванов, В. В. Провоторов, И. В. Приходько // Воздушно-космические силы. Теория и Практика. -2017. - №4. - С. 68-78.

19) Балабан, О. Р. Математическое моделирование диффузионных процессов на одномерных сетях [Текст] / О. Р. Балабан // Сборник материалов по XVII

Международной научно-методическая конференция «Информатика: проблемы, методология, технологии». - Воронеж: Издательство «Научно-исследовательские публикации». - 2018. - Т.5. - С. 113-116.

20) Балабан, О. Р. Оптимизация сетеподобных процессов переноса [Текст] / О. Р. Балабан // «Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий: сб. тр. XI междунар. конф. «ПМТУКТ-2018». - Воронеж: Изд-во «Научная книга». - 2018. - С. 55-58.

21) Балабан, О. Р. Математическое моделирование диффузионных процессов системы параболического типа с распределенными параметрами на геометрическом графе [Текст] / О. Р. Балабан // «Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий: сб. тр. XI междунар. конф. «ПМТУКТ-2018». - Воронеж: Изд-во «Научная книга». - 2018. - С. 58-60.

22) Балабан, О. Р. Численный анализ математической модели диффузионных процессов на одномерной сети [Текст] / О. Р. Балабан // Сборник научных трудов «Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика». -Воронеж: ФГБОУ ВО «ВГЛТУ». - 2019. - №1(44). - С. 38-40.

23) Балабан, О. Р. Вопросы устойчивости гидравлического потока в сетеподобной гидросети / О.Р. Балабан, М.Л. Федюнин, С.А. Гаршин // Воздушно-космические силы. Теория и Практика. - 2018. - №8. - С. 43-49.

24) Балабан, О. Р. Approximation of elliptic operator of evolutionary systems with distributed parameters on a network [Текст] / О. Р. Балабан // Modern informatization problems in simulation and social technologies (MIP-2019'SCT): Proceedings of the XXIV-th International Open Science Conference (Yelm, WA, USA, January 2019). - Yelm, WA, USA: Science Book Publishing House. - 2019. - p. 148-154.

25) Балабан, О. Р. Об устойчивости гидравлического потока в сетеподобной гидросистеме [Электронный ресурс] / О. Р. Балабан // // «63-я Международная научная конференция Астраханского государственного технического университета, посвященная 25-летию астраханского государственного технического университета». - Астрахань: Изд-во АГТУ, 2019. - 1 CD-диск. № государственной регистрации 0321902695.

26) Балабан, О. Р. Аппроксимация эволюционных уравнений параболического типа с распределенными параметрами на сети [Текст] / О. Р. Балабан, А. В. Иванов // «Современные

методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий: сб. тр. XII меж-дунар. конф. «ПМТУКТ-2019». - Воронеж: ВГУИТ. - 2019. - С. 52-56.

27) Балабан, О. Р. Устойчивость гидравлического потока в сетеподобной гидросети [Текст] / О. Р. Балабан // «Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий: сб. тр. XII меж-дунар. конф. «ПМТУКТ-2019». - Воронеж: ВГУИТ. - 2019. - С. 56-59.

28) Балабан, О. Р. Difference scheme for evolutionary processes with distributed parameters on the network [Текст] / О. Р. Балабан // Modern informatization problems in simulation and social technologies (MIP-2021'SCT): Proceedings of the XXIV-th International Open Science Conference (Yelm, WA, USA, January 2021). - Yelm, WA, USA: Science Book Publishing House. - 2021. - p. 16-20.

29) Барановский, Е. С. О стационарном движении вязкоупругой жидкости типа Олдройда / Е. С. Барановский // Математический сборник. - 2014. - Т.205. - №6. - С.3-16.

30) Боровских, А. В. Формула распространения волн для одномерной неоднородной среды / А. В. Боровских // Дифференциальные уравнения. - 2002. - Т.38. - №6. - С.758-767.

31) Бутковский, А. Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами / А. Г. Бутковский. - М.: Наука, 1965. - 474 с.

32) Бутковский, А. Г. Методы управления системами с распределенными параметрами / А. Г. Бутковский. - М.:Наука, 1975. - 568 с.

33) Бутковский, А. Г. Оптимальное управление нагревом металла / А. Г. Бутковский, С. А. Малый, Ю. Н. Андреев. - М: Металлургия, 1972. - 440 с.

34) Веремей, Е. И. Оптимизационный подход к моделированию и разработке информационно-управляющих систем / Е. И. Веремей // Прикладная информатика. -2012. - № 6. - С. 34-41.

35) Владимиров, В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров. -М.: Наука, 1971. - 512 с.

36) Волкова, А. С. Обобщенные решения и обобщенные собственные функции краевых задач на геометрическом графе [Текст] / А. С. Волкова, В. В. Провоторов // Известия вузов. Математика. - 2014. - №3. - С. 3-18.

37) Волкова, А. С. Модели и численные методы исследования диффузионных и волновых процессов в сетеподобных системах: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / Волкова Анна Сергеевна. - Воронеж, 2014. - 186 с.

38) Волкова, А. С. О разрешимости краевых задач для уравнений параболического и гиперболического типов на геометрическом графе / А. С. Волкова, Ю. А. Гнилицкая, В. В. Провоторов // Системы управления и информационные технологии. - 2013. - № 1(51). - С. 11-15.

39) Вольперт, А. И. Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики / А. И. Вольперт, С. И. Худяев. - М.: Наука, 1975. - 394 с.

40) Гнилицкая, Ю. А. Математическое моделирование и численное исследование процессов в сетеподобных объектах, описываемых эволюционными уравнениями: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / Гнилицкая Юлия Александровна. - Воронеж, 2015. - 19 с.

41) Гнилицкая, Ю. А. Задача оптимального управления параболической системой в пространстве решений с производной по времени / Ю. А. Гнилицкая // Системы управления и информационные технологии. - 2014. - №1(55). - С. 23-27.

42) Гнилицкая, Ю. А. Управление системами с распределеныыми параметрами на геометрическом графе / Ю. А. Гнилицкая, В.В. Провоторов // Вестник Тамбовского Университета, Серия: Естественные и технические науки. - 2013. - Т.18. -№ 5. - С. 2483-2485.

43) Гнилицкая, Ю. А. Задача граничной оптимизации динамики турбулентных течений многофазных сред в сетеподобных объектах / Ю. А. Гнилицкая // Системы управления и информационные технологии. - 2015. - № 2(60). - С. 11-15.

44) Егоров, А. И. Основы теории управления / А. И. Егоров. - М: Физматлит, 2007. - 506 с.

45) Жабко, А. П. Устойчивость дифференциально-разностных систем с неопределенными параметрами / А. П. Жабко, Д. В. Зарецкий // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия. - 2004. - № 1. - С. 3-5.

46) Завгородний, М. Г. Спектральная полнота корневых функций краевой задачи на графе / М. Г. Завгородний // Доклады РАН. - 1994. - Т.335. - № 3. - С.281-285.

47) Завгородний, М. Г. Об эволюционных задачах на графе / М. Г.Завгородний // Успехи математических наук. - 1991. - Т.46. - № 6. - С.199-200.

48) Зубов, В. И. Устойчивость движения / В. И. Зубов. - М.: Высш. школа, 1973. - 272 с.

49) Зубов, В. И. Лекции по теории управления / В. И. Зубов. - М.: Наука, 1975. - 496 с.

50) Зубов, В. И. Проблема устойчивости процессов управления / В. И. Зубов. -Л.: Судпромгиз, 1980. - 253 с.

51) Иванов, А. В. Интенсификация теплообмена в теплообменных аппаратах / А. В. Иванов, О. Л. Ерин, В. В. Черниченко, Л. Н. Костылева, Д. С. Алиев // Материалы II Международной научно-практической конференции «Явления переноса в процессах и аппаратах химических и пищевых производств». - Воронеж: ВГУИТ. - 2016. - С. 203-206.

52) Иванов, А. В. О задаче синтеза оптимального управления для эволющионной системы на пространственной сети / А. В. Иванов, В. В. Провоторов, В. И. Ряжских // «Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий: сб. тр. X между-нар. конф. «ПМТУКТ-2017». - Воронеж: Изд-во «Научная книга». - 2017. - С. 299-306.

53) Иванов, А. В. Оптимизация трубопроводных сетей средств наземного обеспечения общего применения / А. В. Иванов, А. А. Хвостов, А. А. Журавлев, А. А. Богер, В. В. Синюков // Сборник трудов ХХХ Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях». - СПб.: Изд-во Политехн. ун-та.-2017. - Т. 6. - С. 34-38.

54) Иванов, А. В. Оптимизация гидравлических трубопроводных сетей / А. В. Иванов, А. А. Хвостов, А. А. Журавлев, В. В. Синюков // Сборник научных трудов «Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика». -Воронеж. - 2017. - № 8. - ч. 1. - С. 192-196.

55) Иванов, А. В. Математическое описание процесса массообмена на контактных устройствах воздухоразделительной установки / А. В. Иванов, В. И. Ряжских, А. А. Хвостов, А. А. Журавлев, И. А. Казьмин // «Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий: сб. тр. XI между-нар. конф. «ПМТУКТ-2018». - Воронеж: Изд-во «Научная книга». - 2018. - С. 230-234.

56) Иосида, К. Функциональный анализ / К. Иосида. - М: Мир, 1967. - 624 с.

57) Камачкин, А. М. Метод декомпозиции в многомерных нелинейных динамических системах [Текст] / А. М. Камачкин, В. Н. Шамберов // Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования: Материалы Международной научной конференции. - Воронеж: ВГУ. - 2011. - С. 2-5.

58) Карелин, В. В. Один подход к задаче оценки параметров динамической системы в условиях неопределенности / В. В. Карелин // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2012. - № 4. - С. 31-36.

59) Костюченко, А. Г. Распределение собственных значений / А. Г. Костюченко, И. С. Саргсян. - М.: Наука, 1979. - 400 с.

60) Крылов, В. И. Вычислительные методы / В. И. Крылов, В. В. Бобков, П. И. Монастырский. - Т. II. - М.: Наука, 1977. - 399 с.

61) Кутателадзе, С. С. Гидродинамика газожидкостных систем / С. С. Кутателадзе, М. А. Стырикович. - Изд 2-е. - М: Энергия, 1976. - 296 с.

62) Ладыженская, О. А. Краевые задачи математической физики / О. А. Ладыженская. - М.: Наука, 1973. - 407 с.

63) Левитан, Б. М. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака / Б. М. Левитан, И. С. Саргсян. - М.: Наука, 1988. - 432 с.

64) Лионс, Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / Ж.-Л. Лионс. - М.: Мир, 1972. - 414 с.

65) Лионс, Ж.-Л. Неоднородные граничные задачи и их приложения / Ж.-Л. Лионс, Э. Мадженес. - М.: Мир, 1971. - 371 с.

66) Лойцянский, Л. Г. Механика жидкости и газа / Л. Г. Лойцянкий. - Изд. 7-е. -М.: Дрофа, 2003. - 840 с.

67) Марченко, В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения / В. А. Марченко. - Киев: Наукова думка, 1977. - 384 с.

68) Марчук, Г. И. Методы вычислительной математики / Г. И. Марчук. -М.: Наука, 1977. - 454 с.

69) Махинова, О. А. Аппроксимация эволюционных задач с носителем на графе / В. В. Провоторов, О. А. Махинова // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2010. - Т. 6. - № 7. - С. 74-80.

70) Махинова, О. А. Задача теплопереноса на графах с циклом / О.А. Махинова // Системы управления и информационные технологии. - 2010. - № 1(39). - С. 19-22.

71) Махинова, О. А. Конечная проблема моментов для краевых задач на графе / О. А. Махинова // Вестник Тамбовского государственного университета. Серия естественных и технических наук. - 2011. - Т. 16. - вып. 5. - С. 1264-1269.

72) Наймарк, М. А. Линейные дифференциальные операторы / М. А. Наймарк. -М.: Наука, 1969. - 526 с.

73) Назипова, Н. Н. Расчёт скоростей метаболических реакций в живой растущей клетке методом баланса стационарных метаболических потоков (метод БСМП) / Н. Н.

Назипова, Ю. Е. Елькин, В. В. Панюков, Л. Н. Дроздов-Тихомиров // Матем. биолог. и биоинформ. - 2007. - Т. 2:1. - С. 98-119.

74) Натансон, И. П. Теория функций вещественной переменной / И. П. Натансон.

- М.:Наука, 1974. - 614 с.

75) Парт, А. А. Слабая разрешимость многомерной начально-краевой задачи с распределенными параметрами в сетеподобной области / А. А. Парт, Л. Б. Райхельгауз // Системы управления и информационные технологии. - 2017. - №4(70). - С. 19-23.

76) Парт, А. А. Математическое моделирование и численный анализ периодических процессов на сетях: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / Парт Анна Александровна. - Петрозаводск, 2018. - 139 с.

77) Пенкин, О. М. О слабой разрешимости задачи Дирихле на стратифицированных множествах / О. М. Пенкин, Е. М. Богатов // Мат. заметки. - 2000.

- № 6. - С. 874-886.

78) Пенкин, О. М. О краевой задаче на графе / О. М. Пенкин, Ю. В. Покорный // Дифференц. уравнения. - 1988. - Т. 24. - № 4. - С. 701-703.

79) Плотников, В. А. Метод усреднения для дифференциальных включений и его приложения к задачам оптимального управления / В. А. Плотников // Диффернциальные уравнения. - 1979. - Т.8. - С. 1427-1433.

80) Подвальный, С. Л. Информационно-управляющие системы мониторинга сложных объектов/ С. Л. Подвальный. - Воронеж: Научная книга, 2010. - 164 с.

81) Подвальный С. Л. Стартовое управление параболической системой с распределенными параметрами на графе / С. Л. Подвальный, В. В. Провоторов // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2015. - № 3. - С. 126-142.

82) Подвальный, С. Л. Численные методы и вычислительный эксперимент / С. Л. Подвальный, Л. В. Холопкина, Д. В. Попов. - Уфа: изд. УГАТУ, 2005. - 226 с.

83) Покорный, Ю. В. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю. В. Покорный, О. М. Пенкин, В. Л. Прядиев, А. В. Боровских, К. П. Лазарев, С. А. Шабров. - М.: Физматлит, 2004. - 268 с.

84) Провоторов, В. В. Управление эволюционными процессами в сетеподобных объектах: монография / В. В. Провоторов, В. И. Ряжских, А. В. Иванов, О. Р. Балабан, И. В. Приходько. - Воронеж: ВУНЦ ВВС «ВВА», 2016. - 104 с.

85) Провоторов, В. В. Оптимальное управление сетеподобными эволюционными процессами: монография / В. В. Провоторов, А. П. Жабко, А. В. Иванов, О.Р. Балабан. -Воронеж: ВУНЦ ВВС «ВВА», 2020. - 180 с.

86) Провоторов, В. В. О восстановлении спектра краевой задачи теплопроводности при неизвестных коэффициентах / В. В. Провоторов, Ю. С.Шаталов // "Функционально-дифф. уравнения и краевые задачи"Межвуз.сб.научн.трудов Пермский политехн.ин-т. - 1979. - С.108-115.

87) Провоторов, В. В. О дифференциальных уравнениях на сетях / В. В.Провоторов, Е. Н. Дикарева. - Воронеж, 1994. - 26 с. - Деп. в ВИНИТИ 16.03.94, № 627-В94.

88) Провоторов, В. В. К вопросу о решении обратной спектральной задачи для обыкновенного дифференциального уравнения на графе / В. В. Провоторов // Вестн. Тамбовского гос. ун-та. Сер. естеств. наук. - 2003. - Т.8. - № 3. - С.436-438.

89) Провоторов, В. В. Полнота системы собственных функций задачи Штурма-Лиувилля с особенностями / В. В. Провоторов // Вестн. Тамбовского гос. ун-та. Сер. естеств. наук. - 2006. - Т.11. - № 2. - С.129-136.

90) Провоторов, В. В. Задачи управления нагревом стержня с неизвестными теплофизическими характеристиками / В. В. Провоторов // Вестн. Воронежского гос. техн. ун-та. - 2006. - Т.2. - № 5. - С.31-37.

91) Провоторов, В. В. Единственность решения обратной задачи теплопроводности с особенностями / В. В. Провоторов // Системы управления и информационные технологии. - 2008. - №1.1 (31). - С. 178-182.

92) Провоторов, В. В. Оптимальное управление параболической системой с распределенными параметрами на графе / В. В. Провоторов // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2014. - № 3. - С. 154-163.

93) Провоторов, В. В. Начально-краевые задачи с распределенными параметрами на графе / В. В. Провоторов, А. С. Волкова. - Воронеж, 2014. - 188 с.

94) Провоторов, В. В. Stabilization of weak solutions of parabolic systems with distributed parameters on the graph / В. В. Провоторов, А. П. Жабко, О. Р. Балабан // Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes. - 2019. - vol. 15. - iss. 2. - pp. 187-198.

95) Провоторов, В. В. Собственные функции краевых задач на графах и приложения / В. В. Провоторов. - Воронеж, 2008. - 247 с.

96) Провоторов, В. В. Собственные функции задачи Штурма-Лиувилля на графе-звезде / В. В. Провоторов // Математический сборник. - 2008. - Т. 199. - №10. - С. 105-126.

97) Провоторов, В. В. Синтез оптимального граничного управления параболической системы с запаздыванием и распределенными параметрами на графе / В. В. Провоторов, Е. Н. Провоторова // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2017. - Т. 13. - №. 2. - С. 209-224.

98) Провоторов, В. В. Разложение по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля на графе-пучке / В. В. Провоторов // Известия высших учебных заведений. Математика. - 2008. - № 3. - С. 50-62.

99) Провоторов, В. В. Устойчивость разностных схем граничных задач на графе / В. В. Провоторов // Системы управления и информационные технологии. - 2009. - №2.2 (36). - С. 280-285.

100) Провоторов, В. В. Разностные схемы граничных задач на графе / В. В. Провоторов //Вестник Воронежского государственного технического университета. -2009. - Т.5. - № 10. - С. 14-18.

101) Провоторов, В. В. Спектральная задача на графе с циклом / В. В. Провоторов // Дифференциальные уравнения. - 2010. - Т. 46. - № 11. - С. 1665-1666.

102) Провоторов, В. В. Краевые задачи для уравнений с распределенными параметрами на графах / В. В. Провоторов, О. А. Махинова. - Воронеж: Научная книга, 2013. - 133 с.

103) Ризниченко, Г. Ю. Математические модели биологических продукционных процессов / Г. Ю. Ризниченко, А. Б. Рубин. - М: Изд-во МГУ, 1993. - 300 с.

104) Самойленко, Ю. И. Системы управления с распределенными параметрами / Ю. И. Самойленко. - Киев: Наук. думка, 1973. - 262 с.

105) Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2019614088. Программный комплекс для решения задач тепломассопереноса при изучении тепловых и гидродинамических процессов в тепло-гидроносителях сетеподобного типа / О. Р. Балабан, А. А. Парт; заявл. 13.02.19; регистр. 28.03.19.

106) Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2019614100. Программный комплекс для анализа математических моделей пульсовых

процессов в тепло-гидроносителях сетеподобного типа / А. А. Парт, О. Р. Балабан; заявл. 13.02.19; регистр. 28.03.19.

107) Сергеев, С. М. Математическое моделирование работы коммерческих сетей в условиях инноваций / С. М. Сергеев // Системы управления и информационные технологии. - 2012. - №4 (50). - С. 27-32.

108) Смирнов, В. И. Курс высшей математики / В. И. Смирнов. - Т.ГУ. - Ч.1. -М.: Наука, 1974. - 326 с.

109) Смирнов, В. И. Курс высшей математики / В. И. Смирнов. - Т.РУ. - Ч.2. -М.: Наука, 1974. - 550 с.

110) Титчмарш, Э. Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка / Э. Ч. Титчмарш. - Т.1. - М.: ИЛ, 1960. - 342 с.

111) Титчмарш, Э. Ч. Теория функций / Э. Ч. Титчмарш. - М.: Наука, 1980. - 329 с.

112) Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. - М.: Наука, 1977. - 736 с.

113) Филлипов, А. Ф. Об устойчивости разностных уравнений / А. Ф. Филлипов // Доклады РАН. - 1955. - Т.100. - № 6. - С.81-87.

114) Шабат, Б. В. Введение в комплексный анализ. Ч.1. Функции одного переменного / Б. В. Шабат. - М.: Наука, 1976. - 320 с.

115) Юрко, В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач / В. А. Юрко. - М.: Физматлит, 2007. - С. 384.

116) Юрко, В. А. О восстановлении сингулярных несамосопряженных дифференциальных операторов с особенностью внутри интервала / В. А. Юрко // Дифферен. уравнения. - 2002. - Т. 38. - №5. - С.645-659.

117) Юрко, В. А. О восстановлении операторов Штурма-Лиувилля на графах / В. А. Юрко // Математ. заметки. - 2006. - Т. 79. - вып.4. - С. 619-630.

118) Юрко, В. А. О восстановлении дифференциальных операторов высших порядков на компактных графах / В. А. Юрко // Доклады Академии наук. - 2008. - Т. 419. - № 5. - С. 604-608.

119) Юрко, В. А. Восстановление дифференциальных операторов на графе с циклом и с обобщенными условиями склейки / В. А. Юрко // Известия Саратовского ун-та (новая серия). Серия математика, механика, информатика. - 2008. - Т. 8. - вып.3. - С. 10-17.

120) Уральцева, Н. Н. Некоторые свойства обобщенных решений параболических уравнений второго порядка / Н. Н. Уральцева, А. В. Иванов, О. А. Ладыженская, А. Л. Трескунов // Докл. АН СССР. - 1966. - 168:1. - С.17-20.

121) Форсайт, Дж., Численное решение системы линейных алгебраических уравнений / Дж. Форсайт, К. Молер. - М.: Мир, 1969. - 314 с.

122) Artemov, M. A. On a 3D model of non-isothermal flows in a pipeline network / M. A.Artemov, E. S. Baranovskii, A. P. Zhabko, V. V. Provotorov // Journal of Physics. Conference Series. - 2019. - vol. 1203. - Режим доступа: https://doi.org/10.1088/1742-6596/1203/1/012094.

123) Baranovskii, E. S. On flows of Bingham-type fluids with threshold slippage / E. S. Baranovskii // // Advances in Mathematical Physics. - 2017. - vol. 2017. - Режим доступа: https://doi:10.1155/2017/7548328.

124) Borg, G. Eine Umkherung der Sturm-Liouvilleschen Eigenwertaufgabe / G. Borg // Acta Math. - 1946. - V.78. - P. 1-96.

125) Danilevich, D. V. Digital solution to the problem of flow control in mechanical engineering production [Электронный ресурс] / D. V. Danilevich, V. V. Provotorov, A. A. Fedotov, S. M. Sergeev, O. Ja. Kravets // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. - 2020. -862(3) 032024. - Режим доступа: https://doi.org/10.1088/1757-899X/862/3Z032065.

126) Friedrichs, K. O. Spectraltheorie halbbeschrankten Operatoren und ihre Anwendung auf Spectralzerlegung von Differentialoperatoren. Part 1 / K. O. Friedrichs // Math. Ann. - 1934. - №109. - Р.465-487.

127) Lumer, G. Connecting of local operators and evolution equations on network / G. Lumer // Lect. Notes Math. - 1980. - V.787. - P. 219-234.

128) Nicaise, S. Relationship between the lower frequency spectrum of plates and network of beams / S. Nicaise, O. Penkin // Math. Mech. Appl. Sai. - 2000. - V.23. - P. 1389-1399.

129) Podvalny S. L. The questions of controllability of a parabolic systems with distributed parameters on the graph [Текст] / S. L. Podvalny, V. V. Provotorov // В сборнике: 2015 International Conference "Stability and Control Processes" in Memory of V.I. Zubov (SCP). - 2015. - Р. 117-119.

130) Pokornyi, Yu. V. On Il'in-Moiseev type solvability conditions for nonlocal vector boundary value problems / Yu. V. Pokornyi, K. P. Lazarev, Zh. I. Bakhtina, V. V. Provotorov // Differential Equations. - 2008. - Т. 44. - № 3. - Р. 446-448.

131) Provotorov, V. V. Eigenfunctions of the Sturm-Liouville problem on astar graph / V. V. Provotorov // Digest: Mathematics. - 2008. - Т.199. - № 10. - Р. 1523-1545.

132) Provotorov, V. V. Unique weak solvability of nonlinear initial boundary value problem with distributed parameters in the netlike domain / V. V. Provotorov, V. I. Ryazhskikh, Yu. A Gnilitskaya // Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes. - 2017. - vol. 13. - iss. 3. - Р. 264-277.

133) Provotorov, V. V. Digital management by supply networks in engineering [Электронный ресурс] / V. V. Provotorov, T. V. Prozhogina, L. N. Borisoglebskaya, A. A. Zaslavskiy // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. - 2020. - 862(3) 032065. - Режим доступа: https://doi.org/10.1088/1757-899X/862/3/032024.

134) Provotorov, V. V. Outrunning planning by network management in Industry 4.0 concept [Электронный ресурс] / V. V. Provotorov, L. B. Raijhelgauz, A. A. Fedotov, S. N. Makarova, O. Ja. Kravets // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. -2020. - 862(4) 042011. - Режим доступа: https://doi.org/10.1088/1757-899X/862/4/042011.

135) Provotorov, V. V. Uniqueness solution to the inverse spectral problem with distributed parameters on the graph-star / V. V. Provotorov, A. P. Zhabko, K. B. Nurtazina // Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes. - 2020. - vol. 16. - iss. 2. - Р. 129-143.

136) Provotorov, V. V. Countable stability of a weak solution of a parabolic differential-difference system with distributed parameters on the graph / V. V. Provotorov, S. M. Sergeev, Van N. Hoang // Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes. - 2020. - vol. 16. - iss. 4. - Р. 154-168.

137) Yurko, V. A. On higher-order differential operators with a singular point / V. A. Yurko // Inverse Problems. - 1993. - vol.9. - Р. 495-502.

138) Yurko, V. A. Recovering higher-order differential operators on star-type graphs from spectra / V. A. Yurko // Cubo Math. J. - 2008. - vol.10. - №1. - Р. 83-102.

139) Yurko, V. A. An inverse spectral problem for Sturm-Liouville operators with singular potentials on star-type graphs. Analysis on graphs and its applications / V. A. Yurko, G. Freiling, M. Ignatiev // Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. - 2008. - vol.77. - Р. 397-408.

140) Yurko, V. A. Numerical methods for solving inverse Sturm-Liouville problems / V. A. Yurko, M. Yu. Ignatiev // Results in Math.. - 2008. - vol.52. - Р. 63-74.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1.1 Численный расчет эволюционных потоковых явлений (процессов) на простейшей сети. В таблицах 1 и 2 представлены результаты численного расчета.

Приложение 1.2 Численный расчет эволюционных потоковых явлений (процессов) на сети-звезда. В таблицах 3 и 4 представлены результаты численного расчета.

Приложение 1.3 Численный расчет эволюционных потоковых явлений (процессов) на суперпозиции простейшей сети и сети-звезда. В таблицах 5-7 представлены результаты численного расчета.

Приложение 1.4 Численный расчет эволюционных потоковых явлений (процессов) на сети, содержащий циклы. В таблицах 8-12 представлены результаты численного расчета.

0.157 0.314 0.471 0.628 0.785 0.942 1.099 1.256 1.413 1.570 1.727

1=0 0.000 0.156 0.309 0.454 0.588 0.707 0.809 0.891 0.951 0.988 1.000

1=0.001 0.000 0.156 0.309 0.454 0.587 0.706 0.808 0.890 0.950 0.987 0.987

1=0.002 0.000 0.156 0.308 0.453 0.587 0.706 0.807 0.889 0.949 0.985 0.985

1=0.003 0.000 0.156 0.308 0.453 0.586 0.705 0.807 0.888 0.948 0.984 0.984

1=0.004 0.000 0.156 0.308 0.452 0.585 0.704 0.806 0.887 0.947 0.982 0.982

1=0.005 0.000 0.156 0.307 0.452 0.585 0.704 0.805 0.887 0.946 0.981 0.981

1=0.006 0.000 0.156 0.307 0.451 0.584 0.703 0.804 0.886 0.945 0.979 0.979

1=0.007 0.000 0.155 0.307 0.451 0.584 0.702 0.803 0.885 0.944 0.978 0.978

1=0.008 0.000 0.155 0.307 0.450 0.583 0.701 0.803 0.884 0.943 0.977 0.977

1=0.009 0.000 0.155 0.306 0.450 0.583 0.701 0.802 0.883 0.942 0.975 0.975

1=0.010 0.000 0.155 0.306 0.449 0.582 0.700 0.801 0.882 0.941 0.974 0.974

1=0.011 0.000 0.155 0.306 0.449 0.581 0.699 0.800 0.881 0.940 0.973 0.973

Таблица 2. Численный расчет эволюционных потоковых явлений (процессов) на простейшей сети (ребро 2)._

1.727 1.884 2.041 2.198 2.355 2.512 2.669 2.826 2.983 3.140 3.297

1=0 1.000 0.988 0.951 0.891 0.809 0.707 0.588 0.454 0.309 0.156 0.000

1=0.001 0.987 0.987 0.950 0.890 0.808 0.706 0.587 0.454 0.309 0.156 0.000

1=0.002 0.985 0.985 0.949 0.889 0.807 0.706 0.587 0.453 0.308 0.156 0.000

1=0.003 0.984 0.984 0.948 0.888 0.807 0.705 0.586 0.453 0.308 0.156 0.000

1=0.004 0.982 0.982 0.947 0.887 0.806 0.704 0.585 0.452 0.308 0.156 0.000

1=0.005 0.981 0.981 0.946 0.887 0.805 0.704 0.585 0.452 0.307 0.156 0.000

1=0.006 0.979 0.979 0.945 0.886 0.804 0.703 0.584 0.451 0.307 0.156 0.000

1=0.007 0.978 0.978 0.944 0.885 0.803 0.702 0.584 0.451 0.307 0.155 0.000

1=0.008 0.977 0.977 0.943 0.884 0.803 0.701 0.583 0.450 0.307 0.155 0.000

1=0.009 0.975 0.975 0.942 0.883 0.802 0.701 0.583 0.450 0.306 0.155 0.000

1=0.010 0.974 0.974 0.941 0.882 0.801 0.700 0.582 0.449 0.306 0.155 0.000

1=0.011 0.973 0.973 0.940 0.881 0.800 0.699 0.581 0.449 0.306 0.155 0.000