Исследование граничных задач с распределенными параметрами на графах при моделировании тепловых и волновых процессов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Провоторов, Вячеслав Васильевич

• Провоторов, Вячеслав Васильевич
• доктор физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Провоторов, Вячеслав Васильевич

Введение.

Глава 1. Граничные задачи с распределенными параметрами на графах при моделировании тепловых и волновых процессов в сетеподоб-ных конструкциях промышленных объектов.

1.1. Основные положения и понятия

1.2. Граничные задачи математических моделей процессов в сетеподобных конструкциях

1.3. Краткий обзор результатов

Выводы.

Глава 2. Обоснование метода Фурье для анализа граничных задач на графах при исследовании математических моделей процессов в сетеподобных конструкциях промышленных объектов.

2.1. Системы на простейших графах.

2.2. Системы на графе-звезда

2.3. Системы с особенностью на графе-звезда

2.4. Метод "склейки" базовых решений уравнения на графе-дерево. Составные звезды

2.5. Системы на графе-дерево

2.6. Системы на графе с циклом

Выводы

Глава 3. Идентификация теплофизических и упругих характеристик сетеподобных конструкций промышленных объектов.

3.1. Определение теплофизических и упругих свойств промышленных конструкций типа простейшего графа

3.2. Определение теплофизических и упругих свойств промышленных конструкций тииа графа-звезда .'

3.3. Определение теплофизических и упругих свойств промышленных конструкций типа графа-цепочка.

3.4. Алгоритмы определения теплофизических и упругих свойств сетеподобных конструкций промышленных объектов

Выводы

Глава 4. Разностные схемы на сетке графа для граничных задач математических моделей процессов сетеподобных конструкций.

4.1. Собственные числа и собственные векторы конечно-разностных аналогов дифференциальных операторов математических моделей на сетке графа.

4.2. Аппроксимация граничных задач математических моделей конечно-разностными аналогами на сетке графа.

4.3. Анализ свойств разностных схем математических моделей

4.4. Вычисление границ спектра положительной матрицы разностной схемы математической модели. Алгоритм вычисления границ спектра

Выводы

Глава 5. Анализ граничных задач математических моделей тепловых и волновых процессов в сетеподобных конструкциях промышленных объектов

5.1. Граничные задачи математических моделей теплофизических процессов в материалах с контролируемым температурным режимом

5.2. Граничные задачи математических моделей колебаний . мачтовых антенных конструкций

Выводы

Глава 6. Решение прикладных задач технической теплотехники и упругости промышленных объектов сетеподобной структуры

6.1. Нагрев металлического слитка с неизвестными теплофизическими характеристиками в проходной многозонной печи. Алгоритм решения задачи.

6.2. Задача успокоения непрерывно распределенной колеблющейся среды

6.3. Задача гашения колебаний мачтовых антенных конструкций

6.4. Вычислительные аспекты исследований колебательных процессов сетеподобных промышленных конструкций. Алгоритмы решения задач

Выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование граничных задач с распределенными параметрами на графах при моделировании тепловых и волновых процессов»

Актуальность проблемы. Современные технические конструкции часто допускают структурную формализацию в виде одномерных континуумов, взаимодействующих через связующие их узлы [17, 18, 36, 38-41, 74-76, 94, 99-101,108, 109]. Протекающие в таких устройствах процессы, как правило, описываются классическими математическими моделями, реализуемыми на геометрических графах.

Важной прикладной задачей промышленной теплотехники, возникающей при исследовании математических моделей с использованием уравнений с распределенными параметрами, является задача оптимального нагрева (охлаждения) массивных тел. Основы математической теории наблюдения систем с распределенными параметрами и ее приложений в областях промышленной теплотехники заложены в работах [1, 8-10 и литература там]. Полученные результаты относятся к исследованию математических моделей для систем с заданными распределенными параметрами на классических интервалах. Ситуация, когда объект исследования оснащен системой контроля состояния температурного поля, приводящая к уточнению классических закономерностей распространения теплоты в континууме при замене интервала на объединение интервалов по типу простейшего графа [55, 56, 77, 79, 80, 89, 91, 92, 105], является новой и требует развития классических методов анализа. При этом возникает сопутствующая задача, относящаяся к обратным задачам математической физики: определение теплофизических характеристик по информации о температурных нолях в некоторых точках объекта для обусловленного временного интервала [88, 91, 98, 105]. В работе исследуется математическая модель процесса нагрева конечного металлического слитка, имеющего форму стержня с неизвестными теплофизически-ми характеристиками. При этом исследуемый массив слитка имеет особенность — внедренные точечные неоднородности, реализуемые на практике как периферийные компоненты датчиков, измеряющих температуру стержня в местах их установки. Рассматриваемая ситуация является модельной при описании процесса температурной подготовки металлического слитка для адаптации его к процессу обработки прокатными устройствами (ограниченность температуры заготовки, снятия перепадов температур в массиве заготовки и связанных с ними температурных напряжений и т.д.).

Другая важная задача из области материаловедения связана с мониторингом колебательных процессов и состоянием материалообразующей основы сложных механических конструкций. Рассматривается упругая механическая система " мачта-растяжки", представляющая собой тело мачты с прикрепленными к нему мачтовыми растяжками, причем узлов прикрепления может быть как один, так и несколько [94, 99, 101, 105, 107-109]. Указанные конструкции, как правило, работают в экстремальных режимах — перепады температур, внешние механические воздействия, сопровождающиеся искажением передающих (принимающих) сигналов. Непрерывное наблюдение за объектом, сопровождающееся анализом структурных изменений материала компонент системы, помогает совершенствовать конструкции различного рода внешних устройств с целью сгладить, либо нивелировать нежелательные явления. В работе предлагается исследование одного из вариантов математической модели такой системы, реализуемой па геометрическом графе-звезде (одноуровневая система) или на графе-цепочке (многоуровневая система), воздействие на упомянутую систему осуществляется только посредством задаваемых на границе функций [108]. К этому же классу задач относится задача гашения колебаний наполненного жидкой субстанцией трубопровода [107-109]. Следует отметить, что исследованию задач граничного управления упругими колебаниями на классических интервалах посвящено большое число работ (например, [19-21, 132] и литература там). Анализ колебательных процессов в состоящей из конечного числа струн механической системе, возникающих под воздействием граничных управляющих сил, приводит к задачам управления дифференциальными системами с носителем на геометрических графах [5, 100, 108, 109, 141]. В диссертационной работе для математических моделей с носителем на графе развиваются некоторые методы авторов работ [5, 8, 9, 141], в т.ч. метод моментов, разработанный

A.Г.Бутковским для граничных задач на интервале.

Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей сетеподобных конструкций основано на анализе соответствующих прямых и обратных задач для систем уравнений с распределенными параметрами на графе, прежде всего, на анализе спектральной полноты и базисности собственных функций соответствующих краевых задач в пространстве функций с суммируемым квадратом, а также отыскании приемлимых для практической реализации условий единственности решения обратных задач [84-86, 88-90, 93, 95-98, 102, 104, 105]. История развития теории дифференциальных уравнений (прежде всего обыкновенных дифференциальных уравнений) на сетях хотя и не велика, по-видимому, несколько более 20 лет, но уже имеет свои ярко выраженные тенденции и особенности. Большинство работ посвящено так называемым прямым задачам спектральной теории. К наиболее крупным результатам зарубежных математиков следует отнести работы G. Lumer, S.Nicaise, J.Below [142, 145-147]. В нашей стране основные исследования в этом направлении проводятся Ю.В.Покорным, А.В.Боровских, М.Г.Завгородним, К.П.Лазаревым, О.М.Пенкиным, В.Л.Прядиевым, С.А.Шабровым (см., например, [16, 17, 36-41]). Другое не менее важное направление — обратные спектральные задачи для дифференциальных операторов на компактных графах. История вопроса восходит, прежде всего, к основополагающим работам G.Borg'a, Б.М.Левитана, М.Г.Гасымова, М.Г.Крейна, N.Levihson'a,

B.А.Марченко, Л.Д.Фадцеева [13, 23, 24, 27-29, 32, 119], результаты которых относятся к случаям полуоси и конечного интервала. Появившиеся новые сферы приложений теории обратных задач для операторов Штурма-Лиувилля, например, краевые задачи с условиями разрыва внутри интервала, связаны с разрывными свойствами среды [2-4, 26] и инициировали изучение обратных задач с особенностями (В.А.Садовничий, Д.Г.Шепельский,

В.А.Юрко [115, 123, 125-131, 137]), интерпретируемые в диссертационной работе как обратные спектральные задачи на простейших графах [88, 89, 93, 96, 98, 105]. Наконец, упомянутая выше теория дифференциальных уравнений на сетях, дала импульс для исследований в области теории обратных задач на геометрических графах. Современное состояние теории обратных задач на графах можно проследить по основным статьям и монографиям В.А.Юрко [133-136, 138-140] (монография [134] содержит подробную библиографию). В диссертации отражены новые результаты по исследованию обратных спектральных задач на графах [104, 105], лежащих в основе анализа обратных задач для уравнений с распределенными параметрами на графе.

В работе представлены новые качественные и приближенные аналитические методы исследования математических моделей с носителями на геометрических графах. Решены актуальные задачи технической теплотехники, материаловедения с использованием глубоко развитых качественных и приближенных методов теории управления динамическими системами (работы В.И.Зубова, А.П.Жабко, В.Л.Харитонова [14, 15, 20-22, 144] и их научных коллективов). В настоящее время численные методы для уравнений с распределенными параметрами на графах находятся в стадии формирования. В работе получены новые результаты, относящиеся к области аппроксимации разностными схемами уравнений на графе, а также дан анализ устойчивости и сходимости полученных разностных схем [34, 109, 110-112]. Предложены алгоритмы решений граничных задач для уравнений параболического и гиперболического типов применительно к задачам технической теплотехники, упругости в случае сложных физических систем сетеподобной структуры [34, 108-110].

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Воронежский государственный университет» в рамках научной темы «Исследование свойств операторов в функциональных пространствах и актуальных задач для дифференциальных уравнений», регистрационных! № 0120.0853009.

Цель работы. Разработка новых качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей сложных физических систем сетеподобной структуры, реализуемых в виде граничных задач для уравнений с распределенными параметрами на геометрических компактных графах; разработка и обоснование эффективных численных методов и алгоритмов. Реализация цели исследования осуществляется решением следующих задач как теоретического, так и прикладного характера: обоснование метода Фурье при отыскании решения граничных задач для систем уравнений с распределенными параметрами на графах, исследование решений обратных задач с носителями иа графе, разработка эффективных численных методов решения граничных задач для уравнений математической физики на компактных графах (методы построения конечно-разностных аналогов уравнении математических моделей, вопросы аппроксимации конечно-разностными операторами, устойчивость разностных схем и сходимость разностного решения приближенной задачи к решению точной), разработка эффективных алгоритмов решения граничных задач на графах, а также разработка комплексов проблемно-ориентированных программ для ЭВМ с проведением вычислительных экспериментов на тестовых задачах, решение задач прикладного характера: а) построение температурных полей при нагреве металлического слитка с неизвестными теплофизическими характеристиками, оптимальный нагрев металлического слитка; б) описание изменений амплитуд колебаний сложно-сочлененных констрз'кций, используемых при проектировании трубопроводов и антенных устройств; в) гашение колебаний заданной на графе-дерево системы уравнений с распределенными параметрами — основополагающего объекта в моделировании трубопроводов и антенных конструкций.

Объект исследований. Качественные и приближенные аналитические методы исследования математических моделей технических устройств и систем, представляющих собой сложносочлененные конструкции, составленные из одномерных континуумов, взаимодействующих только через связующие их узлы.

Методы исследования. Разработанные в диссертационной работе методы исследования математических моделей сложносочлененных конструкций основаны на фундаментальных методах современного анализа прямых и обратных задач математической физики. Методы построения разностных схем, их обоснование получены с использованием последних разработок вычислительных методов для уравнении с распределенными параметрами на графах.

Научная новизна. В диссертационной работе предлагаются новые подходы при анализе математических моделей, основополагающим математическим объектом которых является система уравнений с распределенными параметрами на графе. Результаты диссертационной работы содержат подробное исследование серии прямых и обратных спектральных задач на графе: спектральные задачи на простейшем графе, звезде, цепочке, произвольном графе-дерево, графе с циклом. Изучены свойства спектральных характеристик этих задач, получены достаточные условия равномерной сходимости ряда по собственным функциям. При исследовании спектральных задач на графах сложной структуры (цепочка, несколько цепочек, произвольный граф-дерево) введено понятие составной звезды данного графа: структурирование исходного графа сложной конструкции составной звездой позволяет использовать результаты исследований задач на звезде для изучения задач на произвольном графе-дерево. Представлены постановки обратных задач для операторов Штурма-Лиувилля на компактных графах (звезда, цепочка звезд), являющихся естественными обобщениями классических обратных спектральных задач на интервале. Доказаны теоремы единственности решения таких задач, для конкретных ситуаций дается конструктивная процедура определения решения в виде алгоритмов. Приводятся условия определения конечного числа мод теплового процесса по известной информации о сечении температурного поля (данные тепловых датчиков). Разработаны и обоснованы эффективные численные методы для математических объектов на графах, представлены алгоритмы решения эволюционных и динамических задач на графах. Получены решения актуальных задач прикладного характера, описывающих эволюционные теплофизические и колебательные процессы в сложносочлененных конструкциях, разработан пакет программ для приближенного решения таких задач. Эффективность полученных результатов подтверждена численным экспериментом тестовых задач.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая и практическая значимость результатов и методов диссертационной работы заключается в возможности их использования в качестве инструментария для исследования математических моделей с носителями на графах.

Разработаны и обоснованы новые качественные аналитические методы исследования математических моделей, которые формализованы в виде систем уравнений с распределенными параметрами на геометрических графах. При этом исследована структура спектра соответствующих краевых задач с носителями на графе-дерево и на графе с циклом, построены системы ортонормированных собственных функций, функции Грина, проведено исследование их по спектральному параметру и получены асимптотические формулы. Проведено исследование спектральной полноты и базисности систем собственных функций в пространстве функций с суммируемым квадратом на графе (граф-дерево, граф с циклом), получены достаточные условия разложимости заданной функции по таким системам собственных функций. Последнее является обоснованием метода Фурье для систем с распределенными параметрами на геометрических графе.• Представлено исследование решений обратных задач на компактном графе-дерево: решена задача восстановления потенциала по двум спектрам, задача определения спектральных данных по сечению решения эволюционного уравнення, заданного на графе.

Разработаны эффективные численные методы применительно к математическим моделям с носителями на геометрических графах. Представлены новые методы построения и анализа конечно-разностных аналогов систем уравнений с распределенными параметрами на графах, включающие в себя условия аппроксимации таких систем конечно-разностными аналогами на сетке графа, проведено исследование порядка аппроксимации, доказательство устойчивости построенных разностных схем. Проведен анализ сходимости разностного решения к решению точной задачи, получены условия разрешимости конечно-разностных систем уравнений, возникающих в методе сеток. Представлены результаты тестирования полученных численных методов с применением ЭВМ.

В работе представлены решения следующих задач, актуальных в областях промышленной теплотехники и материаловедения:

1. Задача построения температурных полей при нагреве металлического слитка с неизвестными теплофизическими характеристиками, определяемыми по наблюдаемым данным; оптимальный нагрев металлического слитка.

2. Задача описания изменений амплитуд колебаний сложносочлененных конструкций, используемых при проектировании трубопроводов и антенных устройств; гашение колебаний сложносочлененных конструкций.

Для приведенных задач разработаны эффективные алгоритмы решения их конечно-разностных аналогов, представлены комплексы программ, проведено тестирование разработанных численных методов.

Наиболее существенные результаты, полученные автором и выносимые на защиту. На защиту выносятся качественные и приближенные аналитические методы исследования математических моделей, формализо-ваных в виде систем уравнений с распределенными параметрами на геометрических графах, численные методы и алгоритмы в виде комплексов проблемно-ориентированных программ.

1. Обоснование метода Фурье при отыскании решения граничных задач для уравнений с распределенными параметрами на графе-дерево и графе с циклом, включающее в себя исследование полноты и базисности систем собственных функций в пространстве функций с суммируемым квадратом на графе, достаточные условия разложимости заданной функции по системе собственных функций, непосредственно проверяемые при решении задач прикладного характера.

2. Новые аспекты теории обратных задач для уравнений с распределенными параметрами на компактном графе-дерево, связанные с восстановлением потенциалов на графе по спектральным характеристикам, которые определяются по наблюдаемым данным. Предложена конструктивная процедура решения в виде алгоритма.

3. Новые методы построения конечно-разностных аналогов граничных задач на графах. Аппроксимация дифференциальных операторов на графах конечно-разностными операторами на сетке, порядок аппроксимации, условия устойчивости построенных разностных схем. Анализ сходимости разностного решения к решению точной задачи.

4. Решение граничных задач, лежащих в основе математической модели нагрева металлического слитка с неизвестными теплофизическими характеристиками, а также моделей волновых процессов в трубопроводах и сложных антенных устройствах.

5. Численные методы, алгоритмы решения конечно-разностных задач па сетке графа, комплексы проблемно-ориентированных программ для решения задач прикладной теплотехники и материаловедения.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы неоднократно докладывались на научных конференциях и семинарах. Среди них Всесоюзные конференции по краевым задачам для дифференциальным уравнениям (г. Ижевск, г. Тамбов, г. Пермь, г. Магнитогорск, г. Уфа, 1979-1989г.г.), школы по моделированию теплофизических процессов (г. Минск, 1982г., г. Тамбов, 1992г.), Всесоюзная конференция по краевым задачам для дифференциальных уравнений и их приложениям (г. Рига, 1989г.), Международные конференции по дифференциальным уравнениям и приложениям (Руссе, Болгария, 1987г., 1989г.), Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах (г. Тамбов, 1989г.), Международные конференции "Современные проблемы теории функций и смежные вопросы" (г. Воронеж, 1992-2008г.г.), Международные конференции "Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения" (г. Воронеж, 1993-2009г.г.), Международные конференции "Общие проблемы управления и их приложения. Колмогоровские чтения" (г. Тамбов, 2006г.), Всероссийские конференции "Теория конфликта и ее приложения" (г. Воронеж, 2000г.), Международные конференции "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования" (г. Воронеж, 2005г.), семинар профессора В.Н.Абрашина (г. Минск, 1982г.), семинар профессора С.В.Мищенко (г. Тамбов, 1986-1991г.г.), семинары профессора Н.В.Азбелева (г. Пермь, 1981-1984г.г.), семинары профессоров А.И.Булгакова и Е.С.Жуковского (г. Тамбов, 1998г., 2006г., 2009г.), семинар профессора В.А.Юрко (г. Саратов, 2008г.), семинар профессора Ю.В.Покорного (г. Воронеж, 2009г.), семинар профессора А.П.Жабко (г. С.-Петербург, 2009г.), семинар профессора О.М.Пенкина (г. Белгород, 2009г.), семинары профессоров А.В.Глушко и В.И.Ряжских (г. Воронеж, 2009г.).

Публикации. По тематике диссертации опубликованы 74 научные работы [34, 42-104, 106-114] и одна монография [105], из них 41 [42-45, 47, 48, 51, 53, 55, 57-59, 61. 64, 65, 67-69, 71, 80, 85, 90-92, 94, 95, 97-102, 104, 108-114] содержат основные результаты по теме исследования, в том числе 13 работ [90-92, 94, 98-1-2, 108-111] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. В работах [42-45, 47, 55, 56], опубликованных в соавторстве, лично соискателю принадлежат теоретические исследования, в работах [34, 70, 74, 77, 89] - постановка задачи.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы из 147 наименований и приложений. Работа изложена на 374 страницах и содержит 12 рисунков и 6 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Провоторов, Вячеслав Васильевич

Основные результаты диссертационного исследования заключаются в следующем.

1. Разработаны и обоснованы новые качественные аналитические методы исследования математических моделей, формализованных в виде систем уравнений с распределенными параметрами на геометрических графах: изучена структура спектров краевых задач на графе, построены системы собственных функций, получены асимптотические формулы по спектральному параметру для собственных значений, собственных функций и функций Грина краевых задач на графе, проведено исследование полноты и базис-ности системы собственных функций в пространстве функций с суммируемым квадратом на графе, получены достаточные условия разложимости заданной функции по системе собственных функций, непосредственно проверяемые на практике. Проведено обоснование метода Фурье при решении граничных задач для уравнений с распределенными параметрами на графе.

2. Развиты аналитические методы исследования математических моделей с носителями на графе, включающих в себя элементы обратных задач технической теплофизики. Решена задача восстановления спектральных характеристик краевой задачи, соответствующей граничной задаче для эволюционного уравнения на простейшем графе, по некоторой априорной наблюдаемой информации. Решена задача восстановления потенциала по двум спектрам в задаче определения теплофизических или иных характеристик промышленного объекта.

3. Представлены новые приближенные аналитические методы построения конечно-разностных аналогов граничных задач на графах: получены условия аппроксимации дифференциальных операторов на графах конечио-разностными операторами на сетке, исследован порядок аппроксимации, доказана устойчивость построенных разностных схем, проведен анализ сходимости разностного решения к решению точной задачи. Получены условия разрешимости конечно-разностных систем уравнений, возникающих в методе сеток, представлен алгоритм для вычисления границ положительного спектра положительного оператора, являющегося конечномерным аналогом системы уравнений с распределенными параметрами на графе.

4. Разработаны математические методы, используемые при анализе математических моделей нагрева металлического слитка со встроенными периферийными компонентами датчиков, переноса тепла по антенной конструкции типа "мачта-растяжки" и сетчатой антенной конструкции, колеблющейся субстанции трубопровода, а также методы, используемые для анализа математических моделей, описывающие колебательные процессы сложных антенных конструкций.

5. Численно проинтегрированы граничные задачи, лежащие в основе математических моделей процессов промышленной теплотехники и материало

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе представлены новые качественные и приближенные аналитические методы исследования математических моделей, описывающих тепловые и волновые процессы, проходящие в сетеподобных промышленных устройствах и конструкциях. Современный аналитический аппарат изучения таких моделей находится в начальной стадии формирования. Полученные качественные аналитические методы исследования основываются на эффективных результатах анализа прямых и обратных задач для систем с распределенными параметрами на графах. В настоящее время численные методы для уравнений с распределенными параметрами на графах, их обоснование также находятся в стадии формирования. В работе получены новые результаты, относящиеся к области аппроксимации разностными схемами уравнений па графе, а также дан анализ устойчивости и сходимости полученных разностных схем. Разработаны эффективные алгоритмы решений граничных задач для уравнений параболического и гиперболического типов применительно к задачам практической теплофизики и упругости в случае сложных физических систем сетеподобной структуры, представлены комплексы проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Провоторов, Вячеслав Васильевич, 2010 год

1. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. — М.: Наука, 1976. 424 с.

2. Аниконов Ю.Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. — Новосибирск: Наука, 1978. 245 с.

3. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1984. - 383 с.

4. Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи. — М.: Мир, 1968. 749 с.

5. Белишев М. И. О граничной управляемости динамической системы, описываемой волновым уравнением на одном классе графов (на деревьях) // Зап. науч. семинаров ПОМИ. 2004. Т. 308. С. 23-47.

6. Беляев Н.М., Рядно A.A. Методы теории теплопроводности, Ч. 1. — М.: Высшая школа, 1982. — 327 с.

7. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. — Киев: Наукова думка, 1965. — 346 с.

8. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. — М.: Наука, 1965. — 474 с.

9. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. — М.: Наука, 1975. — 568 с.

10. Бутковский А.Г., Малый С.А., Андреев Ю.Н. Оптимальное управление нагревом металла. — Изд-во "Металлургия", 1972. — 440 с.

11. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1974. 512 с.

12. Гантмахер Ф.Р., Крейн М.Г. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем, — М.-Л.: Гостехиздат, 1950. — 360 с.

13. Гасымов М.Г., Левитан Б.М. Определение дифференциального оператора по двум спектрам // УМН. 1964. Т.19, №2. С. 3-63.

14. Жабко А.П., Харитонов В.Л. Методы линейной алгебры в задачах управления. — СПб.: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 1993.— 320 с.

15. Жабко А.П., Кирпичников С.Н. Лекции по динамическим системам. Части 1-4. СПб.: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 2003-2004,- 516 с.

16. Завгородний М.Г. Спектральная полнота корневых функций краевой задачи на графе // Доклады РАН. 1994. - Т.335, № 3. - С.281-285.

17. Завгородний М.Г. Об эволюционных задачах на графе // Успехи мат. наук. 1991. - Т.46, № 6. - С.199-200.

18. Завгородний М.Г., Майорова С.П. Аналог рядя Фурье на геометрическом графе // Сб. науч. тр. "Современные методы теории функций и смежные проблемы". — Воронеж: ВГУ. — 2009. — С. 64-65.

19. Знаменская Л.Н. Управление упругими колебаниями. — М.: Физматлит, 2004. 176 с.

20. Зубов В.И. Лекции по теории управления. — М.: Наука, 1975. — 496 с.

21. Зубов В.И. Колебания и волны. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1989. — 416 с.

22. Зубов В.И. Консервативные численные методы интегрирования дифференциальных уравнений в нелинейной механике // Доклады РАН.— 1997.- Т. 354, № 4,- С.891-895.

23. Костюченко А.Г., Саргсян И.С. Распределение собственных значений. М.: Наука, 1979. - 400 с.25