Математическое моделирование и численно-аналитические методы расчета устойчивости тонкостенных конструкций при продольном ударе тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Хамитов, Тагир Камилевич

• Хамитов, Тагир Камилевич
• кандидат технических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат технических наук Хамитов, Тагир Камилевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА

ГЛАВА 2. ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ ПРИ ПРОДОЛЬНОМ УДАРЕ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ЗАКОНАХ

НАГРУЖЕНИЯ ТОРЦА

§2.1. Постановка задачи

§2.2. Полубесконечные стержни при различных способах

закрепления

§2.3. Обсуждение результатов, полученных в §2.2

§2.4. Метод разложения искомых функций в ряды Фурье для

стержней конечной длины

§2.5. Метод Бубнова-Галеркина для стержней конечной

длины

§2.6. Обсуждение результатов, полученных в §2.4, §2.5

ГЛАВА 3. ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГИХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ ПРОДОЛЬНОМ УДАРЕ

§3.1. Постановка задачи

§3.2. Полубесконечная оболочка

§3.3. Применение метода разложения функций в ряды Фурье к

упругим цилиндрическим оболочкам конечной длины

§3.4. Применение метода Бубнова-Галеркина к упругим

цилиндрическим оболочкам конечной длины

ГЛАВА 4. ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ

ОБОЛОЧЕК ПРИ ПРОДОЛЬНОМ УДАРЕ

§4.1. Потеря устойчивости полубесконечных упруго-

пластических стержней в случае мгновенного возрастания нагрузки. 104 §4.2. Случай линейного возрастания нагрузки до максимального

значения и остающейся постоянной до потери устойчивости

§4.3. Потеря устойчивости упруго-пластических стержней

конечной длины

§4.3.1. «Точное» решение для шарнирно опертого стержня.. 118 §4.3.2. Методы разложения функций в ряды Фурье и

Бубнова-Галеркина

§4.4. Об уравнениях движения упруго-пластических

цилиндрических оболочек

§4.5. Определение критических длин потери устойчивости полубесконечных цилиндрических оболочек при различных

способах закрепления

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЯ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование и численно-аналитические методы расчета устойчивости тонкостенных конструкций при продольном ударе»

Введение

Актуальность работы. Обеспечение устойчивости конструкций, состоящих из тонкостенных элементов типа стержней, пластин и оболочек, является важным этапом расчета при проектировании сооружений, машин или оборудования. В настоящее время в теории устойчивости упругих систем под действием статических нагрузок имеются хорошо разработанные методы расчета и исследованы многие задачи. Задачи динамической устойчивости конструкций при. ударных нагрузках, которые испытывают машина или сооружение в процессе эксплуатации или при возникновении «нештатной» ситуации разработаны в меньшей степени. Характер потери устойчивости при динамических и ударных нагрузках существенно отличаются от статической, появляются более высокие формы, конструкции могут выдержать нагрузки, в несколько раз превышающие их статическую критическую нагрузку. Впервые на это явление обратили внимание М.А. Лаврентьев и А.Ю. Ишлинский в 1949г [49].

Несмотря на относительно большое количество работ в этой области, проблема далека от завершения. Имеющиеся в литературе результаты относятся лишь к случаям мгновенного приложения продольной нагрузки. Недостаточно исследовано влияние граничных условий при потере устойчивости на малых временах (при «больших» ударных силах), не рассмотрены в литературе и нет в справочниках результатов по потере устойчивости стержней и цилиндрических оболочек при часто встречающихся способах закрепления. Много проблем остается в задачах потери устойчивости при ударе с учетом упругопластических деформаций. Поэтому существующие математические модели требуют дальнейшего дополнения и уточнения. Отсюда вытекает актуальность разработки новых подходов к моделированию самого явления и адаптации математических методов в данном классе задач.

Целью работы является математическое моделирование и разработка комбинированных численно-аналитических методов для решения задач потери устойчивости тонкостенных элементов конструкций при продольном ударе с учетом неоднородности напряженного состояния по длине элементов, вызванного волновыми процессами распространения деформаций. Для достижения этой цели решены следующие задачи:

1. Построены новые математические модели в задачах о потере устойчивости упругих и упругопластических тонкостенных конструкций в виде стержней и цилиндрических оболочек при продольном ударе.

2. Разработаны численно-аналитические методы решения систем дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка с переменными коэффициентами и переменной границей области определения решений, описывающих потерю устойчивости стержней и цилиндрических оболочек при продольном ударе.

3. Разработанные численно-аналитические методы реализованы в виде комплекса программ.

4. На основе комплекса программ проведено математическое моделирование потери устойчивости стержней и цилиндрических оболочек при продольном ударе с применением уточненных моделей нагружения при упругих и упругопластических деформациях.

Научная новизна результатов, выносимых на защиту.

1. Математические модели потери устойчивости упругих и упругопластических стержней и цилиндрических оболочек при продольном ударе обобщены на случаи, учитывающие неоднородность напряженного состояния, вызванную конечностью скорости распространения упругих и упруго-пластических волн.

2. Разработаны численно-аналитические методы решения краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных с переменными

коэффициентами и решены новые задачи о потере устойчивости стержней и цилиндрических оболочек переменной длины при продольном ударе.

3. Разработана методика определения критических параметров (нагрузки, длины или времени) явления потери устойчивости для различных законов нагружения и граничных условий стержня и оболочки при первом прохождении продольной волны вдоль указанных элементов.

Практическая значимость. Результаты диссертационной работы используются на ЗАО «Казанский Гипронииавиапром» и ООО «ПРИС Меткон» при проектировании стальных конструкций на действие динамических нагрузок. На основе предложенных в работе методик и алгоритмов, разработан комплекс программ. Также полученные результаты могут быть использованы при проектировании конструкций в строительстве, машиностроении, в авиационной и горнодобывающей промышленности, подвергаемых ударным нагрузкам, для обеспечения работоспособности конструкций в «нештатных» ситуациях, в биомеханике для разработки методик безопасной деятельности человека при ударных воздействиях.

Методы исследования. В диссертационной работе использованы: метод характеристик для решения волновых уравнений, метод разложения функций в ряды Фурье, метод Бубнова-Галеркина, методы решения линейных алгебраических уравнений, метод Гаусса для вычисления определителей.

Достоверность результатов исследования обеспечивается использованием при моделировании фундаментальных положений механики деформируемого твердого тела; применением известных математических методов; математическим обоснованием сходимости примененных методов; численными экспериментами на сходимость решений; хорошим качественным и количественным согласованием с теоретическими и экспериментальными результатами, имеющимися в литературе.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались: - на итоговых научно-технических конференциях КГАСУ 2003-2011гг;

- на городском семинаре кафедр теоретической механики г. Казани (2010, 2012гг);

- на VII - X Крымских Международных математических школах «Метод функций Ляпунова и его приложения» (Крым, г. Алушта, 2004, 2006, 2008, 2010гг.);

- на Шестой молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения - 2007» (Казань, 2007);

- на Международном семинаре, посвященного памяти заслуженного деятеля науки ТАССР проф. A.B. Саченкова (Казань, 2008);

- на Всероссийском семинаре, посвященного столетию Аминова Монгима Шакуровича (Казань, 2008);

- на Всероссийском семинаре, посвященного столетию Кузьмина Павла Алексеевича (Казань, 2008).

- на X Международной Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление» (Казань, 12-16 июня 2012г).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 20 работ, из них 13 статей, 3 тезиса докладов, 4 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ. В том числе, 3 статьи опубликованы в изданиях из перечня ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы и приложения. Общий объем диссертации составляет 167 страниц, из них 148 страницы основного текста, включая 25 таблиц и 50 рисунков. Список литературы насчитывает 100 наименований.

Во введении обоснована актуальность темы, приведены цель и задачи исследования, научная новизна работы и практическая значимость результатов, сведения об апробации результатов работы и структуре диссертации.

В первой главе представлен анализ работ, посвященных вопросам моделирования и математическим методам исследования процессов

устойчивости упругих и упругопластических стержней и цилиндрических оболочек при продольном ударе. На основе сделанного обзора сформулированы цель и задачи исследования.

Во второй главе рассмотрены задачи о потере устойчивости упругих стержней при продольном ударе. Рассмотрены три способа приложения силы: сила мгновенно достигает своего максимального значения и остается постоянной (нагружение по закону прямоугольника); сила возрастает по линейному закону до момента потери устойчивости (нагружение по закону треугольника) и сила возрастает по линейному закону до некоторого значения и остается постоянной (трапециевидный закон нагружения). В первом параграфе приводятся основные уравнения движения. Система уравнений, описывающих явление, в общем случае состоит из гиперболических уравнений продольных и поперечных движений.

Рассматривается потеря устойчивости полубесконечных упругих стержней при приложении ударной силы, изменяющейся по двум законам: сила возрастает по закону треугольника и сила, мгновенно достигнув своего максимального значения, убывает по закону треугольника. Получены критические длины выпучивания полубесконечных стержней при двух законах нагружения и четырех видах граничных условий на ударяемом торце. При заданной на торце силе удара, для определения критических длин используются два критерия потери устойчивости - статический и динамический. Полученные по статическому критерию критические длины и соответствующие им критические силы сравниваются с имеющимися справочными данными по Эйлеровым критическим силам статической потери устойчивости стержней, сжатых собственным весом. Отмечается хорошее совпадение.

Кроме того, приводятся результаты решения задач о выпучивании стержней конечной длины. Нагрузка на ударяемом торце прикладывается по закону прямоугольника, треугольника и трапеции. Предполагается, что выпучивание происходит при первом прохождении продольной волны вдоль стержня.

/Л

У

Рассмотрены пять вариантов граничных условий на различных торцах. Используется метод разложения функций в ряд Фурье, который применительно к задаче о потере устойчивости шарнирно опертого стержня при нагрузке, приложенной по закону прямоугольника, был применен в работе [56]. Значения критических нагрузок в зависимости от длины, на которую продвинулась продольная волна сжатия вдоль стержня, представлены в таблице.

В этой же главе методом Бубнова-Галеркина для восьми вариантов граничных условий решены те же задачи, что и в третьем параграфе. Результаты расчетов, полученные двумя методами, полностью совпадают.

В третьей главе рассматривается осесимметричное выпучивание упругих цилиндрических оболочек. Относительно вида нагружения, методов решения, критериев потери устойчивости сохраняются предпосылки второй главы. Вычисления показывают, что для цилиндрических оболочек критические нагрузки не зависят от граничных условий и длины оболочки. Как только продольная волна проходит расстояние, равное длине полуволны выпучивания, критическая нагрузка практически не меняется. Этот факт полностью соответствует имеющимся в литературе результатам [17], полученным в предположении, что по длине оболочка делится на большое число полуволн.

В четвертой главе приводятся результаты исследования потери устойчивости элементов конструкций в виде полубесконечных упруго-пластических стержней и цилиндрических оболочек при продольном ударе. Для материала элементов конструкций принята диаграмма с линейным упрочнением. Уравнение возмущенного поперечного движения оболочки получены с использованием результатов работы [48] с добавлением инерционного члена. Вычисления проводились для различных значений касательного модуля, отношений толщины к радиусу (для оболочек) и гибкости (для стержней).

Работа выполнена на кафедре теоретической механики Казанского государственного архитектурно-строительного университета.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю, кандидату физико-математических наук, профессору КГАСУ Шигабутдинову Ф.Г. за постановку задачи, постоянное внимание и помощь при выполнении работы и сотрудникам кафедры теоретической механики КГАСУ за внимание к работе и обсуждение полученных результатов.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Хамитов, Тагир Камилевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В предлагаемой работе рассматривались проблемы математического моделирования и расчета потери устойчивости идеальных стержней и цилиндрических оболочек при продольном ударе в упругой и упругопластической постановках. Учитывались эффекты, связанные с распространением продольных волн вдоль элементов. На основании проведенных расчетов можно сделать следующие выводы:

1. Построены новые математические модели потери устойчивости упругих и упругопластических стержней и цилиндрических оболочек при продольном ударе. В разработанных моделях учитывается широкий спектр факторов, влияющих на потерю устойчивости при продольном ударе: упругое и неупругое поведение материалов, влияние неоднородности напряженного состояния по длине элементов, вызванной конечностью скорости распространения продольной волны деформаций и начальными условиями, учитываются различные граничные условия и различные законы продольного нагружения на торцах стержней и оболочек.

2. Разработаны численно-аналитические методы решения систем дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка с переменными коэффициентами и переменной областью определения решений.

3. На основе предложенных в работе алгоритмов, разработан комплекс программ.

4. Проведено численное моделирование на ЭВМ и определены критические длины или нагрузки потери устойчивости в новых задачах: а) о потере устойчивости упругих стержней, сжатых «прямоугольной», «треугольной» и «трапециевидной» нагрузками; б) о потере устойчивости упругих цилиндрических оболочек, сжатых «прямоугольной», «треугольной» нагрузками при больших временах (когда продольная волна успевает до снятия нагрузки у торца пробежать длину, превосходящую несколько длин полуволн потери

устойчивости); в) о потере устойчивости упругих цилиндрических оболочек, сжатых «прямоугольной» и «треугольной» нагрузками при малых временах (когда продольная волна до снятия нагрузки у торца успевает пробежать длину, сопоставимую с длиной полуволн потери устойчивости); г) о потере устойчивости упругопластического стержня, сжатого «прямоугольной» и «трапециевидной» нагрузками; д) о потере устойчивости полубесконечной упругопластической цилиндрической оболочки, сжатой «прямоугольной» нагрузкой.

5. Расчеты показали необходимость учета при ударе неоднородности напряженного состояния по длине стержней и цилиндрических оболочек, вызванной конечностью скорости распространения продольной волны. Критические нагрузки (длины) существенным образом зависят от закона ударного нагружения торца (вида начальных условий), воспринимающего удар, и от граничных условий на торцах. При разных законах нагружения критические нагрузки могут различаться в несколько раз.

6. Методы решения и программы используются в проектных организациях на ЗАО «Казанский Гипронииавиапром» и ООО «ПРИС Меткой» при проектировании несущих систем из стальных конструкций на действие динамических нагрузок (подтверждены справками внедрения).

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Хамитов, Тагир Камилевич, 2013 год

Литература

1. Абросимов H.A., Баженов В.Г. Нелинейные задачи динамики композитных конструкций. - Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 2002. -400с.

2. Агамиров В.Л., Вольмир A.C. Об устойчивости цилиндрической оболочки при продольном ударе. // ДАН СССР, 1964, т. 157, №2, с. 307-308.

3. Агамиров В.Л., Вольмир A.C. Поведение цилиндрических оболочек при продольном ударе. // Проблемы устойчивости в строительной механике. Труды Всесоюзной конференции по проблемам устойчивости в строительной механике (Москва, 1963), Стройиздат, М., 1965, с. 143-152.

4. Агамиров В.Л., Вольмир A.C. Поведение цилиндрических оболочек при динамическом приложении всестороннего давления и осевого сжатия. // Изв. АН СССР, ОТН, механика и машиностроение, 1959, №3, с. 78-83.

5. Аракелян А.Е., Мовсисян Л.А. Об упругопластической устойчивости стержня и цилиндрической оболочки при продольных интенсивных нагружениях.// Изв. АН Арм. ССР, серия ф.-м. н., т. XL, №5, 1987, с. 3-13.

6. Баженов В.Г., Игоничева Е.В. Нелинейные процессы ударного выпучивания упругих элементов конструкций в виде ортотропных оболочек вращения. - Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 1991. -132с.

7. Баженов В.Г., Ломунов В.К. Исследование упруго-пластического выпучивания оболочек вращения при ударном нагружении. // Прикладные проблемы прочности и пластичности: Всесоюз. межвуз. сб. / Горьк. ун-т, Горький. 1975, вып.2, с.44-50.

8. Баженов В.Г., Чекмарев Д.Т. Численные методы решения задач нестационарной динамики тонкостенных конструкций. // Изв. РАН, МТТ, 2001, №5, с. 156-173.

9. Блохина А.И. Динамическая устойчивость цилиндрической оболочки с начальным изгибом при заданной скорости сближения торцов.// Инженерный сборник АН СССР, 1961, т.31, с. 196-201.

10. Болотин B.B. Динамическая устойчивость упругих систем. - М., ГИТТЛ, 1956. -600с.

П.Борисенко В.И. Об устойчивости цилиндрической оболочки при продольном ударе.// Прикладная механика, 1965, т. I, вып.5, с. 100-104.

12. Борисенко В.И., Волошин В.Т. Экспериментальное исследование устойчивости цилиндрической оболочки при продольном ударе.// Прикладная механика, 1967, т. III, вып.4, с. 45-52.

13. Борисенко В.И., Клокова А.И. Закритическая деформация цилиндрической оболочки при ударе.// Прикладная механика, 1966, т. II, вып. 10, с. 29-35.

14. Вольмир A.C. Поведение цилиндрических оболочек при динамическом нагружении. // ДАН СССР, 1958, т. 123, №5, с. 806-808.

15. Вольмир A.C., Кильдибеков И.Г. Исследование процесса выпучивания стержней при ударе.//ДАН СССР, 1966, т. 167, №4, с. 775-777.

16. Вольмир A.C., Кильдибеков И.Г. К исследованию поведения оболочек и пластинок при ударе.// Изв. вузов, Машиностроение, 1964, №7, с. 26-30.

17. Вольмир A.C. Устойчивость упругих систем. -М., Наука, 1963г., 880с.

18. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М., Наука, 1972, 432с.

19. Гордиенко Б.А. Выпучивание стержней при ударном нагружении.// Изв. АН СССР, МТТ, 1969, №1, с. 185-188.

20. Гордиенко Б.А. Ударное выпучивание упругих систем.// Изв. АН СССР, МТТ, 1971, №4, с. 109-115.

21. Гордиенко Б.А. Экспериментальное исследование поведения стержней и цилиндрических оболочек при ударе.// Труды VII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок. Днепропетровск, 1969. М.: Наука, 1970, с. 190193.

22. Гордиенко Б.А., Нечипорук Г.С., Тен Ен Со. Реакция цилиндрических и конических оболочек на осевой удар.// Труды VIII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Ростов-на-Дону, 1971, М.: Наука, 1973, с. 431-436.

23. Гордиенко Б.А. Реакция подкрепленных и соосных цилиндрических оболочек на ударную нагрузку.// Прикладная механика, 1974, т. 10, №3, с. 25-29.

24. Гордиенко Б.А. О машинном решении задач ударного выпучивания упругих систем методом конечных разностей.// Изв. АН СССР, МТТ, 1970, №3.

25. Даревский В.М. Устойчивость оболочки при динамической нагрузке.// Труды VII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Днепропетровск, 1969. М.: Наука, 1970, с. 224-229.

26. Даревский В.М. Устойчивость цилиндрической оболочки при осевой динамической нагрузке.// Труды VIII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Ростов-на-Дону, 1971, М.: Наука, 1973, с. 442-447.

27. Даревский В.М. Устойчивость оболочки при динамической нагрузке. В сб. «Проблемы механики твердого деформируемого тела». JL, «Судостроение», 1970.

28. Ефимов А.Б., Малый В.И. О механизме выпучивания цилиндрической оболочки при продольном ударе././ Труды VIII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Ростов-на-Дону, 1971, М.: Наука, 1973, с. 459-463.

29. Ефимов А.Б., Малый В.И., Утешев С.А. О потере устойчивости цилиндрической оболочки при продольном ударе.// Изв. АН СССР, МТТ, 1971, №6, с. 20-23.

30. Жигалко Ю.П., Шигабутдинов А.Ф. Выпучивание упругих цилиндрических оболочек и стержней под действием прямоугольного импульса силы. // Изв. вузов, Авиационная техника, 2004, №4, с. 7-10.

31. Зубчанинов В.Г. Устойчивость и пластичность. Т.1. Устойчивость. - М.: Физматлит, 2007. - 448с.

32. Зубчанинов В.Г. Устойчивость и пластичность. Т.2. Пластичность. - М.: Физматлит, 2008. - 336с.

33. Ильюшин A.A. Пластичность. М.: Гостехиздат, 1948, 376с.

34. Каган М.Е., Геня Н.Д. Экспериментальные исследования работы деревянных стержней на продольный удар.// Изв. вузов, Строительство и архитектура, 1961, №3, с. 33-38.

35. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. M.-JL: Физматгиз, 1962, 708с.

36. Кацитадзе О.И. Теоретическое и экспериментальное исследование ударного продольного изгиба.// Труды Кутаисского с.-х. института, 1957, №1, с.151-168.

37. Кацитадзе О.И. О продольном изгибе стержней при продольном ударе.// Труды Грузинского института субтропического хозяйства, 1961, №5-6, с.284-286.

38. Кацитадзе О.И. Об устойчивости стержней большой гибкости при продольном ударе.// Строительная механика и расчет сооружений, 1969, №4, с.54-55.

39. Кацитадзе О.И. Об устойчивости стержней при динамическом нагружении продольными следящими силами.// Строительная механика и расчет сооружений, 1970, №2, с.76-77.

40. Кийко И.А. Цилиндрическая оболочка под действием осевой ударной нагрузки.// Изв. АН СССР, МТТ, 1969, №2, с. 135-138.

41. Кийко И.А. Продольный удар по тонкой цилиндрической оболочке.// Вестник МГУ, Математика и механика, 1972, №3, с. 118-121.

42. Кирюхин Л.В., Малый В.И. Потеря устойчивости упругой пластинки и цилиндрической панели при продольном ударе.// Вестник МГУ, Математика и механика, 1974, №4, с. 83-90.

43. Кирюхин A.B., Малый В.И. Выпучивание упругого стержня при продольном ударе.// Вестник МГУ, 1974, №3, с. 81-86.

44. Коноплев Ю.Г., Тазюков Ф.Х., Устойчивость упругих пластин и оболочек при нестационарных воздействиях. - Казань: Изд-во Казанского университета, 1994. -124с.

45. Корнев В.М. О формах потери устойчивости упругого стержня при ударе.// ПМТФ, 1968, №3. с. 63-66.

46. Корнев В.М. О формах потери устойчивости упругих оболочек при интенсивном нагружении.// Изв. АН СССР, МТТ, 1969, №2, с. 129-135.

47. Корнев В.М., Слепян Л.И., Троянкина Л.В. О волне потери устойчивости.// Труды VII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Днепропетровск, 1969. М.: Наука, 1970, с. 310-313.

48. Королев В.И. Упругопластическая деформация оболочек. М., Машиностроение, 1971, 304с.

49. Лаврентьев М.А., Ишлинский А.Ю. Динамические формы потери устойчивости упругих систем.// ДАН СССР. 1949, т. 64, №6 , с. 779-782.

50. Малый В.И. Длинноволновое приближение в задачах о потере устойчивости при ударе.// Изв. АН СССР, МТТ, 1972, №4, с. 139-144.

51. Малый В.И. Выпучивание стержней при продольном ударе. Малые прогибы.// Изв. АН СССР, МТТ, 1973, №4, с. 181-186.

52. Малый В.И., Ефимов А.Б. Потеря устойчивости стержней при продольном ударе.// Док. АН СССР, 1972, т. 202, №4, с. 797-799.

53. Малый В.И., Ефимов А.Б. Выпучивание упругой цилиндрической оболочки при продольном ударе о преграду.// Вестник МГУ, Математика и механика, 1972, №3, с. 122-125.

54. Малышев Б.М. Устойчивость стержней при ударном сжатии.// Изв. АН СССР, МТТ, 1966, №4, с. 137-142.

55. Мовсисян Л.А. О потере устойчивости цилиндрических оболочек при продольном ударе.// Изв. АН Арм. ССР, серия ф.-м. н., т. XVII, №6, 1964, с. 5763.

56. Мовсисян J1.A. Об устойчивости упругой балки при продольном ударе.// ДАН Арм. ССР , 1969, т. XXLX, №3, с. 124-130.

57. Мовсисян Л.А. Об устойчивости упругой балки при быстрых нагружениях.// Изв. АН Арм. ССР , 1971, т. XXIV, №1, с. 38-50.

58. Мовсисян Л.А. Об одном случае устойчивости стержня при внезапном приложении нагрузки. // Известия HAH Армении, 2000, т.53, №3, с. 45-51.

59. Мовсисян Л.А. Продольный удар по цилиндрической оболочке. // Изв. АН Арм. ССР, серия ф.-м. н., т. XVII, №5, 1964, с. 43-46.

60. Мовсисян Л.А. Устойчивость цилиндрических оболочек при быстрых нагружениях.// Док. АН Арм. ССР, т. LV, 1972, с. 211-217.

61. Мовсисян Л.А. К устойчивости упругопластических стержней при ударных нагрузках.// Изв. АН Арм. ССР, серия ф.-м. н., т. XXXIX, №2, 1986, с. 15-23.

62. Нечипорук Г.С., Тен Ен Со. Экспериментальное исследование ударного выпучивания цилиндрических и конических оболочек.// Изв. АН СССР, МТТ, 1974, №3, с. 175-182.

63. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник, том 3. Под ред. И. А. Биргера и Я. Г. Пановко. Изд-во "Машиностроение" М. 1968г., 568с.

64. Рахматуллин Х.А., Демьянов Ю.А. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках. М., Физматгиз, 1961г., 369с.

65. Саченков A.B. Динамический критерий устойчивости пластин и оболочек.// Исследования по теории пластин и оболочек. - Казань: Изд-во КГУ, 1976, вып. 12, с.281-293.

66. Терегулов И.Г., Шигабутдинов Ф.Г. Устойчивость упругопластического стержня при динамическом нагружении.// Сб. «Прочность и жесткость тонкостенных конструкций». Вып.2. Казань: 1977, с. 77-86/ Сб. деп. В ВИНИТИ №4101-77Деп. От 25.10.1977г.

67. Терегулов И.Г., Шигабутдинов Ф.Г. Об устойчивости упругопластической цилиндрической оболочки при продольном ударе.// Сб.

«Прочность и жесткость тонкостенных конструкций». Вып.2. Казань: 1977, с. 77-86/ Сб. деп. В ВИНИТИ №4101-77Деп. От 25.10.1977г.

68. Фельдштейн В.А. Упруго-пластические деформации цилиндрической оболочки при продольном ударе. // Сб. «Волны в неупругих средах». Кишинев, 1970, с. 199-204.

69. Фельдштейн В.А. Поведение упруго-пластической конической оболочки при продольном ударе.// Труды VII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок. Днепропетровск, 1969. М.: Наука, 1970, с. 588-591.

70. Фельдштейн В.А. Исследование упруго-пластических деформаций двухслойной оболочки при динамическом нагружении.// Изв. АН СССР, МТТ, 1973, №3, с. 155-161.

71. Хамитов Т.К. Потеря устойчивости упругих стержней при продольном ударе с учетом конечности скорости распространения продольной волны.// Материалы 55-й республиканской научной конференции. Сборник научных трудов аспирантов. Казань: КГ АСА, 2003г. - с.50-55.

72. Хамитов Т.К. Определение критических длин потери устойчивости упругопластических стержней при продольном ударе с учетом неоднородности напряженного состояния по длине. // Прикладная математика и механика: сборник научных трудов. - Ульяновск: УлГТУ, 2011г. - с.477-482.

73. Хамитов Т.К. Потеря устойчивости полубесконечных стержней при ударном приложении импульса различной формы.// Материалы 56-й республиканской научной конференции. Сборник научных трудов докторантов и аспирантов. Казань: КГ АСА, 2004г. - с.30-35.

74. Хамитов Т.К., Шигабутдинов Ф.Г. Об устойчивости стержней при продольном ударе.// Материалы Шестой молодежной научной школы-конференции. - Казань: Изд-во Казанского математического общества, Изд-во Казанского государственного университета, 2007, с. 234-236.

75. Хамитов Т.К., Шигабутдинов Ф.Г. Критические параметры движения упругих стержней при продольном ударе.// Аналитическая механика,

устойчивость и управление движением. Материалы Всероссийского семинара, посвященного столетию Аминова Монгима Шакуровича. Казань, 4-5 февраля 2008г, с. 80-81.

76. Хамитов Т.К., Шигабутдинов Ф.Г. К вопросу об устойчивости упругих стержней при продольном ударе силой, изменяющейся по линейному закону, при различных способах закрепления.// Актуальные проблемы нелинейной механики оболочек. - Казань: Изд-во Казанск. гос. ун-та, 2008, с. 121-123.

77. Хамитов Т.К., Шигабутдинов Ф.Г. Потеря устойчивости упругих стержней при продольном ударе силой, изменяющейся по линейному закону, при различных способах закрепления.// Вестник Иркутского государственного технического университета. Иркутск, 2009, №1, с. 200-205.

78. Хамитов Т.К., Шигабутдинов Ф.Г. К вопросу о потере устойчивости упругих цилиндрических оболочек при продольном сжатии усилием ударного типа.// Вестник Иркутского государственного технического университета. Иркутск, 2010, №3 (43), с. 70-76.

79. Хамитов Т.К., Шигабутдинов Ф.Г. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2012613425 «IMPACT-1». Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 11.04.2012.

80. Хамитов Т.К., Шигабутдинов Ф.Г. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2012613426 «IMPACT-2». Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 11.04.2012.

81. Шигабутдинов Ф.Г., Хамитов Т.К. Об устойчивости упруго-пластических стержней при продольном ударе.// Аналитическая механика, устойчивость и управление движением. Труды X Международной Четаевской конференции. Т.2. Секция 2. Устойчивость. Казань, 12-16 июня 2012г, с.560-569.

82. Шигабутдинов Ф.Г., Хамитов Т.К., Шигабутдинов А.Ф. Определение критических сил потери устойчивости упругих стержней при продольном ударе по "статическому критерию".// Механика. Научные исследования и

учебно-методические разработки: междунар. сб. науч. тр. Вып. 3. Гомель: БелГУТ, 2009, с. 138-143.

83. Шигабутдинов Ф.Г., Хамитов Т.К. Влияние формы импульса на критическую нагрузку потери устойчивости при продольном ударе.// Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники: Труды международной конференции КЛИН-2004.-Ульяновск: УлГТУ, 2004. Т.7.- с.205-207.

84. Шигабутдинов Ф.Г. Выпучивание упругопластических элементов конструкций, связанных с упругим основанием, при продольном приложении ударной нагрузки, возрастающей по линейному закону.// 8-й Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Пермь, 23-29 августа 2001г. Аннотация докладов, с. 607.

85. Шигабутдинов Ф.Г., Петухов Н.П. Выпучивание стержней конечной длины в форме усеченной пирамиды при продольном ударе по торцу с учетом волнового характера распространения продольных деформаций.// Труды Международной конференции, посвященной 100-летию проф. Муштари Х.М., 90-летиию проф. Галимова К.З., 80-летию проф. Корнишина М.С. Казань, 26-30 июля 2000г. Казань: Новое Знание, 2000, с.439-444.

86. Шигабутдинов Ф.Г., Хамитов Т.К. Устойчивость одномерных упругих элементов конструкций конечной длины при продольном ударе с учетом конечности скорости распространения продольной волны.// Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники: Труды международной конференции КЛИН-2003.-Ульяновск: УлГТУ, 2003. Т.5.-с.108-111.

87. Шигабутдинов Ф.Г., Хамитов Т.К. Об устойчивости упругих стержней сжатых волновой нагрузкой различной формы. // VII Крымская Международная математическая школа «Метод функций Ляпунова и его приложения»: Тез. докл.; Алушта, 11-18 сентября 2004г, с. 159.

88. Шигабутдинов Ф.Г., Хамитов Т.К. Определение критических сил потери устойчивости упругих стержней и цилиндрических оболочек при продольном ударе. // IX Крымская Международная математическая школа «Метод функций Ляпунова и его приложения»: Тез. докл.; Алушта, 15-20 сентября 2008г, с. 186.

89. Шигабутдинов Ф.Г., Хамитов Т.К., Мухутдинов Р.Ф. К вопросу о потере устойчивости упругих стержней и цилиндрических оболочек при продольном ударе. // X Крымская Международная математическая школа «Метод функций Ляпунова и его приложения»: Тез. докл.; Алушта, 13-18 сентября 2010г, с.147.

90. Шигабутдинов Ф.Г., Хамитов Т.К. Определение критических усилий потери устойчивости упругих цилиндрических оболочек при продольном сжатии силами ударного типа // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева, 2011, №2, с.85-92.

91. Abrahamson G.R., Goodier J.N. Dynamic flexural buckling of rods within an axial plastic compression wave.// Trans. ASME, J. of Appl. Mech., 1966, E33, №2, p. 241-247.

92. Coppa A.P. On the Mechanism of Buckling of a Circular Cylindrical Shell Under Longitudinal Impact. // General Electric Report R60SD 494, presented at Tenth International Congress of Applied Mechanics, Stresa, Italy, August 31 -September 7, 1960; русск. пер.: Коппа А. О механизме выпучивания круговой цилиндрической оболочки при продольном ударе.// Механика. Сборник переводов иностранных статей. 1961, №6, с. 145-164.

93. Grybos R. Wyboczenie uderzeniowe preta о duzel smuklosci.// Mech. theor. I stosow., 1976, 14, №1,33-34.

94. Huffington N. Response of Elastic Columns to Axial Pulse Loading. / AJAA J., 1963, vol.1, №9, p. 2099-2104; русск. пер.: Хаффингтон H. Деформации упругих стержней при действии осевой импульсивной нагрузки.// Ракетная техника и космонавтика, 1963, №9, с. 110-117.

95. Koning С., Taub J. Stossartige Knickbeansprung Schlanker stabe in elastischen Bereich. - Zuftfahrforschung, 1933, 10, №2.

96. Lindberg H.E. Impact Buckling of a Thin Bar. // J. of Appl. Mech., 1965, E32, №2, p. 315-322; русск. пер.: Линдберг Г.Е. Потеря устойчивости тонкого стержня при ударе.// Прикладная механика. Тр. Американского общества инж.-механиков, сер. Е, 1965, №2, с. 67-76.

97. Lindberg Н.Е., Herbert R.E. Dynamic Buckling of a Thin Cylindrical Shell Under Axial Impact. // J. of Appl. Mechanics, 1966, ser. E, №3; русск. пер.: Линдберг Г.Е., Герберт Р.Е. Динамическая потеря устойчивости тонкой цилиндрической оболочки под действием осевой ударной нагрузки.// Прикладная механика. Тр. Американского общества инж.-механиков, сер. Е, 1966, №1, с. 91-100.

98. Roth R.S., Klosner J.M. Nonlinear response of cylindrical shells subjected to dynamic axial loads. // AJAA J., 1964, vol.12, №10, p. 1788-1794; русск. пер.: Рот P.С., Клоснер Дж. М. Нелинейная задача о деформировании цилиндрических оболочек при действии динамических осевых нагрузок.// Ракетная техника и космонавтика, 1964, №10, с. 148-155.

99. Sevin Е. On the elastic bending of columns due to dynamic axial forces including effects of axial inertia. // J. of Appl. Mechanics., 1960, vol.27, №4, p. 125131.

lOO.Smitt A.F. Dynamic buckling test of aluminum shell. // Aeronaut. Eng. Review, 1956, №9, p.54-58.