Математическое моделирование экспериментов "μe-универсальность" и "фамилон" методом Монте-Карло тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Карасев, Евгений Михайлович

• Карасев, Евгений Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Карасев, Евгений Михайлович

Введение

1 Особенности математического моделирования экспериментов в физике элементарных частиц методом Монте-Карло

§ 1.1. Основы метода Монте-Карло.

§ 1.2. Программа GEANT.

§ 1.3. Структура вычислений. Моделирование физического процесса

§ 1.4. Графическое представление данных моделирования.

2 Физика редких и экзотических распадов ж и /i мезонов

§ 2.1. Распад мюона.

§2.2./хе-универсальность в распаде пиона.

§ 2.3. Безнейтринный распад мюона

3 Математическое моделирование эксперимента по исследованию /ге-универсальности в распаде пиона

§3.1. Экспериментальная постановка.

§3.2. Задачи моделирования.

§3.3. Моделирование установки.

§ 3.4. Идентификация мюонного трека.

§ 3.5. Выводы.

4 Математическое моделирование эксперимента по исследованию безнейтринного распада мюона на электрон и безмассовый голдстоуновский бозон - фамилон

§4.1. Экспериментальная постановка.

§4.2. Анализ высокоэнергетичной части спектра позитронов ц —> е-распада.

§4.3. Моделирование установки.

§4.4. Вычисление эффективности регистрации позитронов е(р,в)

§4.5. Оценка точности измерения импульсов.

§4.6. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование экспериментов "μe-универсальность" и "фамилон" методом Монте-Карло»

Актуальность проблемы. Прогресс развития наших представлений о кирпичиках мироздания во многом сегодня связывается с успехами поиска на существующих и строящихся суперускорителях новых объектов: тяжелых хиггсов, суперпартнеров обычных частиц и т.д. Однако это не единственный, а может быть и не самый быстрый путь поиска доказательства справедливости стандартной модели или возможных отклонений от нее. Другой путь есть постановка прецизионных экспериментов по улучшению наших знаний о свойствах хорошо известных элементарных объектов на светосильных ускорит елях промежуточных энергий — мезонных фабриках. И здесь особое значение имеет изучение редких мод распадов мюона и пиона. Обладая малой массой и, следовательно, малым числом возможных каналов распада они позволяют наиболее точно изучать процессы, находящиеся за пределом стандартной модели.

Одним из свойств стандартной модели является значительное число постулируемых элементарных состояний. С учетом заряда, спина и цвета с необходимостью появляются 90 состояний (частиц и античастиц) для кварков и лептонов и 27 состояний для фундаментальных бозонов — переносчиков взаимодействия. Напрашиваются параллели с имевшими место в истории физики ситуациями, когда наличие большого числа состояний приводило к обнаружению нового, более глубокого уровня организации материи. Гипотеза о том, что стандартная модель является предельным случаем более фундаментальной теории, выглядит вполне правдоподобно. Будущая теория (если, конечно она существует) должна разрешить и некоторые другие затруднения стандартной модели, в частности, для получения всей совокупности масс и констант взаимодействия в стандартной модели требуется не менее 25 произвольных параметров, что также представляется неудовлетворительным.

Для решения этих проблем разрабатываются различные теоретические схемы. Например, модели техницвета позволяют избежать появления элементарных хиггсовских частиц, однако они вносят генерации технича-стиц и калибровочных бозонов техницвета, которые должны экспериментально наблюдаться. Для решения проблемы калибровочных иерархий развиты суперсимметричные модели, которые стремятся унифицировать бозоны и фермионы, однако, в свою очередь, вводя при этом генерацию не очень тяжелых частиц - суперпартнеров обычных частиц, отличающихся от них на спин 1/2. Для объяснения существования поколений фермионов, предложен ряд моделей с "горизонтальной" симметрией. СР-нарушение, несохранение четности, изменяющие аромат нейтральные токи легко включаются в эти модели и должны быть подавлены большой массой соответствующих калибровочных бозонов. В случае, если "горизонтальная" симметрия есть глобальная симметрия, спонтанное нарушение симметрии ведет к существованию голдстоуновских бозонов.

Перечисленные схемы естественным путем приводят к существованию запрещенных стандартной моделью распадов фермионов. Поиски таких распадов и участвующих в них скалярных частиц являются наряду с поиском предсказываемых теорией Глешоу-Вайнберга-Салама хиггсовских бозонов важнейшим направлением современной физики. Голдстоуновские частицы имеют при этом, с точки зрения эксперимента, то преимущество, что являясь безмассовыми могут наблюдаться в процессах, идущих при невысоких энергиях.

Все каналы распада мюонов и пионов, кроме основных, были естественным образом разбиты на два класса [1]: I) распады, которые существуют в природе, описываются стандартной моделью электрослабого взаимодействия, но по различным причинам вероятность которых резко подавлена — РЕДКИЕ распады; II) распады, существование которых приводит к отклонению от стандартной модели электрослабого взаимодействия, нарушению каких-либо законов сохранения существующих в стандартной модели и наблюдение которых обозначало бы обнаружение новых явлений и требовало бы изменения принятых на сегодня моделей взаимодействия в физике частиц — ЭКЗОТИЧЕСКИЕ распады. Прецизионное исследование редких распадов класса (I) позволяет проверять существующие представления, заложенные в стандартную модель электрослабого взаимодействия. Например, исследование редких распадов пиона 7г+ —> е+ие,7г+ —> e+ve,y позволяет с наилучшей точностью исследовать fie универсальность электрослабого взаимодействия. Гипотеза fie универсальности означает, что переходы fi е и соответственно г^ —» ve не изменяет законов природы. Прецизионное исследование процессов класса (II) позволяет изучать возможность существования новой физики за пределом стандартной модели. Так, например, если в природе существует процесс конверсии мюония в антимюоний, то наши представления о природе электрослабого взаимодействия существенно изменятся:

1) в электрослабой модели наряду с V — Л-взаимодействием должно присутствовать и V+A-взаимодействие, а следовательно в природе должен существовать правый Wr-бозон с массой больше 400 ГэВ;

2) нейтрино является майорановской частицей (нейтрино и антинейтрино являются тождественными частицами) и обладает майорановской массой;

3) в природе должен существовать дважды заряженный хиггсовский бозон с массой « 200 ГэВ.

Перспективными с этой точки зрения выглядят и эксперименты по исследованию fie универсальности электрослабого взаимодействия в распаде пиона и эксперимент по поиску безнейтринного распада мюона на позитрон и безмассовый голдстоуновский бозон - фамилон.

Лептонная универсальность будучи распространена на три поколения лептонов (е/хг-универсальность), жестко вставлена в стандартную модель, и отклонение от нее имело бы значительные следствия для калибровочной структуры теории (существование отдельно вырожденных калибровочных бозонов для каждого поколения; наличие лептонного смешивания, если нейтрино обладает массой; существование четвертого поколения кварков и лептонов и т.д.).

Поиск распадов с испусканием свободного фамилона может служить очень чувствительным тестом теоретической модели с нарушенной симметрией поколений. В контексте космомикрофизики поиск таких распадов обретает значение критического эксперимента для космологических сценариев образования нестабильной скрытой массы и фамилонных моделей, на которых они основываются. Таким образом, прогресс в поиске такого распада важен как для физики элементарных частиц, так и для космологии.

В 90-х годах в ПИЯФ предложен и реализован метод и создана необходимая аппаратура для исследования редких распадов мюона. Метод основан на регистрации высокоэнергичных электронов от распада мюона широкоапертурным магнитным /3 -спектрометром. При финансовой поддержке подпрограммы "Фундаментальная ядерная физика"(проект 135-07) и РФФИ (гранты 95-02-03780-а, 95-02-07498-6) аппаратура ПИЯФ использовалась в эксперименте ПИЯФ-ОИЯИ, выполненном на интенсивном пучке поверхностных мюонов фазотрона ЛЯП ОИЯИ по исследованию конверсии мюония в антимюоний [2]. Получены новые оценки верхних экспериментальных пределов на вероятность процесса конверсии Wmm и на константу слабого взаимодействия GMM в этом процессе: WMM < 4.7 х 10~7; GMM < 0.14Gf (90%CL). Получено ограничение снизу на массу дважды заряженного хиггсовского бозона Н++, ответственного за процесс конверсии М М : М#++ > 210 ГэВ/с2 [3].

В 1996 году в ПИЯФ и ОИЯИ принята программа дальнейших исследований редких и экзотических распадов мюонов и пионов с использованием разработанного экспериментального метода. В программу исследований включены три проекта: дальнейшие исследования конверсии мюония в антимюоний (эксперимент МАКС); исследование вероятности редких распадов пионов 7г —у ей, 7г —> ей7 (эксперимент /хе-УНИВЕРСАЛЬНОСТЬ); поиск экзотического безнейтринного распада мюона (эксперимент ФАМИ-JIOH). В программе исследований участвуют ведущие ядерно-физические институты и высшие государственные учебные институты России (ПИ-ЯФ РАН, Гатчина; ОИЯИ, Дубна; ГНЦ ИТЭФ, РНЦ КИ, ИПМ, Москва; СПбГТУ, Санкт-Петербург; МФТИ, Москва; СГПИ, Стерлитамак). В ПИЯФ и ОИЯИ проведена модернизация магнитного спектрометра, изготовлены новые пропорциональные камеры с координатным съемом информации, разработана и изготовлена новая система считывания информации с пропорциональных камер и программное обеспечение. В ИТЭФ и СГПИ созданы программы моделирования экспериментов методом Монте-Карло и программа off-line обработки экспериментального материала. В 2000 году Международный программный комитет по ядерной физике в ОИЯИ принял к постановке на пучке мюонов фазотрона ЛЯП ОИЯИ эксперимент ФАМИЛОН и выделил ускорительное время для проведения тестовых и физических экспериментов.

Исследования проводятся в рамках целевой научно-технической Программы России "Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития науки и техники гражданского назначения", подпрограмма "Фундаментальная ядерная физика" проект "Физика редких процессов" (Гос. контракт № 40.052.1.1.1111 от 31 января 2003г.), Программы Президиума РАН "Нейтринная физика"(Гос. контракт № 10002-251/П-06/048-058/100603-602 от 1 апреля 2003 г.), Проекта РФФИ (проект 99-02-17943-а) и Программы поддержки ведущих научных школ России (проект НШ-1867.2003,2).

Планирование любого эксперимента в настоящее время начинается с его детального математического моделирования. Этот этап чрезвычайно важен при планировании экспериментов в области физики элементарных частиц высоких и промежуточных энергий, поскольку процесс оптимизации экспериментальных установок на реальном пучке очень дорог. Для моделирования установок в этой области в институте CERN (Швейцария) разработан специализированный пакет прикладного программного обеспечения GEANT, который в настоящее время является общепризнанным инструментом для разработки и конструирования самых сложных современных детекторов. Одним из преимуществ пакета GEANT является то, что его сопровождение, модернизация и адаптация к различным операционным системам ЭВМ координируется международной группой физиков и математиков. В данной работе, при моделировании установки ФАМИЛОН использовалась версия 3.21 этого пакета.

Моделирование экспериментальной установки состояло из следующих шагов:

• создание геометрии экспериментальной установки;

• транспортировка частиц через установку в идеальных условиях (были отключены все физические взаимодействия) для подтверждения принципиальной возможности эксперимента;

• оценка вклада в систематическую погрешность экспериментальной величины, для измерения которой моделируется эксперимент, различных физических взаимодействий;

• изменение, если это возможно, экспериментальной установки и поиск другого метода определения экспериментальной величины для уменьшения ее систематической погрешности и уменьшения материальных затрат на саму установку и на ускорительное время.

Цели настоящей работы можно сформулировать следующим образом:

1. Математическое моделирование эксперимента "//е-универсальность"на основе дрейфовой камеры высокого давления, оптимизация расположения отдельных элементов установки, выявление критериев распознавания двух каналов распада пиона (ir —> ей и 7Г —> ци).

2. Разработка расчетного метода идентификации коротких мюооных треков в объеме дрейфовой камеры.

3. Математическое моделирование эксперимента "ФАМИЛОН", оптимизация расположения отдельных элементов установки для достижения энергетического разрешения магнитного спектрометра на уровне Ю-3, расчет эффективности регистрации позитронов, оценка влияния вещества на пути позитронов на точность и эффективность.

Научная новизна и практическая ценность работы. В работе получены следующие новые методические и научные результаты:

Смоделирована экспериментальная установка по исследованию це-универсальности в распаде пиона на основе дрейфового детектора высокого давления в качестве активной мишени.

Разработан новый метод идентификации коротких мюонных треков при цепочке распадов тт —> /i —> е.

Получена нижняя оценка экспериментальной погрешности величины отношения вероятностей двух каналов распада пиона (тг —> ev и 7Г —> fiv) экспериментальной установки.

Построена модель экспериментальной установки "ФАМИЛОН"по поиску безнейтринного распада мюона с использованием //SR-техники.

Получены физические параметры установки "ФАМИЛОН", а именно: размеры пропорциональных камер, их взаимное расположение, величина требуемого магнитного поля.

Получены предельная энергетическая точность измерения энергии распадных позитронов при различных наполнителях экспериментальной установки: воздух, вакуум, гелий.

В диссертации фактически представлены завершенные предложения о проведении двух экспериментов по исследованию свойств элементарных частиц, результаты которых обещают дать весомый вклад в наши представления, в том числе и теоретические, о фундаментальных свойствах микромира. Практическая значимость работы заключается в том, что в ней обосновываются принципиальные параметры установок, которые реально используются в качестве исходных данных при конструировании элементов установок и планировании их расположения на ускорит еле. Результаты работы могут быть использованы в учебно-педагогическом процессе при изучении студентами старших курсов ВУЗов современных методов моделирования сложных технологических процессов.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Карасев, Евгений Михайлович

§ 4.6. Выводы

Осуществлено моделирование установки ФАМИЛОН. В результате моделирования определены следующие параметры установки: С = 20 см, yi = 35 см, y'jj = 35 см, величину магнитного поля В\\ = 3.15 кГс и угол поворота камер за магнитом v = 126°.

Вычислена зависимость эффективности регистрации е от двух переменных - первоначального импульса р и угла в его вылета из мишени. Эффективность регистрации позитронов с импульсами от 45 МэВ/с до максимального значения не уменьшается ниже 0.5 вплоть до 6°.

Предельная точность, которая может быть достигнута при измерении координат с дискретностью h—2 мм в гипотетическом идеальном случае, когда на пути позитронов нет вещества, ар = 0.025 МэВ или для максимума спектра Мишеля ар/р ~ 5 • Ю-4.

Максимально достижимая точность с пропорциональными камерами данной конструкции (с определенным количеством вещества на пути позитронов) при условии, что вся установка помещена в вакуум, составляет ар/р « 2.5 • 10~3.

Если воздух откачать только внутри магнита, то погрешность в измерении импульса возрастет до crp/p ~ 5 • Ю-3.

Если всю измерительную часть установки заполнить гелием, то точность улучшится до СГр/p ~ 3 • Ю-3.

В случае, когда вся установка находится в воздухе, crp/p ~ 9 • Ю-3.

Самым оптимальным является вариант, когда из вакуумного кожуха откачивается воздух, а остальное пространство заполняется гелием. В этом случае ар/р « 2.6 • Ю-3.

Заключение

1. В рамках специализированной компьютерной системы GEANT-3.21 созданы полномасштабные математические модели двух экспериментов, направленных на проверку фундаментальных положений теории элементарных частиц: /^-универсальности в распадах 7г-мезонов и гипотезы нарушения "горизонтальной"симметрии в микромире.

2. В установке по прецизионному измерению отношения вероятностей распадов 7Г —> fiu и тг —> v впервые предложено использовать трековый детектор - дрейфовую камеру высокого давления, что позволит в несколько раз улучшить точность, достигнутую в последних экспериментах и разрешить существующую в настоящее время неоднозначность в проблеме так называемой //-универсальности, которая является одной из фундаментальных проблем физики элементарных частиц.

3. Построен функционал для вычисления методом наименьших квадратов длины трека /z-мезона в распаде 7г —> fiv —> еии по информации с дрейфовой камеры. Найденное в диссертации аналитическое решение позволяет оперативно идентифицировать события с короткими пробегами мюонов, что в несколько раз уменьшит возможную систематическую погрешность по сравнению с экспериментами, результаты которых опубликованы в литературе.

4. Вычисления, проведенные по разработанной автором модели для эксперимента "//-УНИВЕРСАЛЬНОСТЬ", свидетельствуют о возможности постановки эксперимента и достижения точности теоретических предсказаний 3-10~2%) для отношения вероятностей основных каналов распада 7г-мезонов.

5. Выполнена оптимизация геометрического расположения элементов широкоапертурного прецизионнного магнитного спектрометра ФАМИ-JIOH в экспериментальном зале ускорителя ОИЯИ в Дубне. Из условия достижения максимальной точности в измерении импульса позитрона в высокоэнергетичной части спектра Мишеля при высокой эффективности регистрации позитронов получены рекомендации о величине магнитного поля, координатах пропорциональных камер, о размерах вакуумированных кожухов для уменьшения отрицательного влияния многократного рассеяния позитронов в воздухе на точность измерения импульса. По результатам оптимизации выполнена реконструкция спектрометра.

6. Определена предельная точность, которая может быть достигнута при измерении координат с дискретностью h=2 мм в гипотетическом идеальном случае, когда на пути позитронов нет вещества, ар = 0.025 МэВ или для максимума спектра Мишеля сгр/р & 5 • Ю-4. Показано, что максимально достижимая точность с пропорциональными камерами (с определенным количеством вещества на пути позитронов) при условии, что вся установка помещена в вакуум, составляет сгр/р & 2.5 • 10~3.

7. Первые экспериментальные данные на установке ФАМИЛОН, полученные на пучке "поверхностных"мюонов фазотрона ЛЯП ОИЯИ, находятся в хорошем согласии с результатами моделирования и указывают, что проведение полномасштабного физического сеанса (600 часов набора статистики) позволит как минимум в три раза улучшить существующий предел на вероятность безнейтринного распада мюона.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Карасев, Евгений Михайлович, 2004 год

1. Review of Particle Physics / /The European Physical Journal C, 2000, v. 15, 878 p.

2. B.A. Гордеев, O.B. Савченко, В.М. Абазов и др. Экспериментальное исследование конверсии мюоний-антимюоний на фазатроне ЛЯП СИЯЙ //Письма в ЖТЭФ, 1993, т.57, с.262.

3. В.А. Гордеев, Е.Г. Друкарев, А.Ю. Киселев и др. Новый метод исследования конверсии мюония в антимюоний / / ЯФ, 1997, т.60, вып.7, с.1291-1305.

4. Б.П. Демидович, И.А. Марон. Основы вычислительной математики. -М., 1970, 664 с.

5. Метод Монте-Карло в проблеме переноса излучений. Под ред. Г.И. Марчука. -М., Атомиздат, 1967.

6. R. Вгип et al. "GEANT3. User Guide". CERN DD/EE/84-1, Geneve, 1987.

7. GEANT - инструмент моделирования детекторов. Метод, указ. для студ. высш. уч. зав. /Авт. Е.М. Карасев - Стерлитамак: Стерлитамак, гос. пед. инст., 2003. -31 с.

8. Береснсиани З.Г., Чкареули Дэю.Л. Кварк-лептопные семейства в модели с SU{5) X 5С/(3)-симмстрией / / Я Ф , 1983, т.37, с.1043.

9. Asano Y. et al. Search for a Rare Decay Mode K'^ —>• тт'^ии And Axion / /Phys. Lett., 1982, v.BlOT, p.l59.

10. Anselm A.A. Preprint LNPI-1034, 1985.

11. T. Fazzini et al Electron Decay of the Pion / /Phys . Rev. Lett., 1958, v. l , p.247.

12. G. Impeduglia et al. (3 Decay of the Pion / /Phys . Rev. Lett., 1958, v. l , p.249.

13. R.P. Feynman and M. Gell-Mann. Theory of the Fermi Interaction / /Phys . Rev., 1958, v.l09, p.l93.

14. W.J. Mardano. r Decay puzzle / /Phys . Rev., 1992, v.D45, p.R721.

15. X. Li and E.Ma. Gauge Model of Generation Nonuniversality / /Phys . Rev. 1.ett., 1981, V.47, p.l788.

16. H.L. Anderson et al. Search for the Electronic Decay of the Positive Pion //Nuovo Cimento , 1957, v.6, p. 1356.

17. H.L. Anderson et al. Electron decay of the positive Pion / /Phys . Rev. 1.ett., 1959, V.2, p.53.

18. D.A. Bryman. / /Comm. nucl. phys., 1993, v.22, p.lOl.

19. T. Nurnao. Precise test of e - /i Universality / /Mod. Phys. Lett., 1992, V.7, p.3357.

20. D.A. Bryman et al. Search for // — e Conversion in Ti / / Phys. Rev. Lett., 1985, V.55, p.465. 36. т. Eguchi. Radiative тг -> /x Decay / /Phys . Rev., 1952, v.85, p.943.

21. B.A. Гордеев, Е.М. Карасев. Математическое моделирование процессов распада пионов по каналам тг —>• ei^ и тг —)> //г/ / Труды междун. науч. конф. 22-25 сентября 1998г. -Стерлитамак. гос. пед. инст., 1998. -Ч .2 , с.21-27.

22. Сагг J. et al. Search for Right-Handed Currents in Muon Decay / /Phys . Rev. Lett., 1983, v.51, p.627.

23. Jodidio A. et al. Search for Right-handed current in muon decay / /Phys . Rev., 1986, V.34D, p.l967.

24. Oram C.J. et al. Commissioning of a new Low Energy тг — /i channel at TRIUMF //Nucl. Instr. Meth., 1981, v.l79, p.95.

25. Bolton R.D. et al. Search for the Muon-Number-Nonconserving Decay /i+ -> e+e+e" / /Phys. Rev. Lett., 1984, v.53, p.l415.

26. Bolton R.D. et al. Searchfor the Decay fi^ —>• e'^j / /Phys . Rev. Lett., 1986, V.56. p.2461.

27. Goldman T. et al. Light-boson emission in the decay of the fi'^ / / Phys . Rev., 1987, v.D36, p.l543.

28. Гордеев B.A. Препринт ЛИЯФ-1077, 1985; В сб.: Мезоны и пионы в веществе, Дубна, ОИЯИ, 1987, Д14-87-799, с.442.

29. Гордеев В.А. Спин-резонансная спектроскопия мюона и мюония. Докторская диссертация, Ленинград, ЛИЯФ, 1990.

30. Абазов В.М., Брагин А.Н., Густое А. и др. Сообщения ОИЯИ Р9- 93-81, Дубна, ОИЯИ, 1993.

31. В.А. Гордеев, В.А. Андреев, Е.М. Карасев и др. Поиск безнейтринного распада мюона. Проект эксперимента. Препринт ПИЯФ 2380, Гатчина, 2000, 37с.

32. V.A. Andreev, V.A. Gordeev, E.M. Karasev et al. Search for two-particle muon decay to electron and goldstone massless boson (familon). PNPI research Report 1998-1999. Part I, Gatchina, 2000, p.14-15.

33. V.A. Andreev, V.A. Gordeev, E.M. Karasev et al. the search for two- particle muon decay to positron and Goldstone massless boson-familon. Project of the experiment. Preprint PNPI Я^2405, Gatchina, 2000, p.33.

34. В.А. Андреев, В.А. Гордеев, B.C. Демидов, Е.М. Карасев и др. Эксперимент Фамилон. Постановка задачи, моделирование. Препринт ИТ-ЭФ 9-03, -М. 2003, 18.

35. A.M. Кольчуэ1Скип, В.В. Учайкин. Введение в теорию прохождения частиц через вещество. М., Атомизадт, 1978, 256 с.

36. G. Z. МоИёге. Theorie der Streuung schneller geladener Teilchen I: Einzelstreuung am abgerschmitten Coulomb-Feld / / Z. Naturforsch., 1947, v.2a, p.133.

37. G. Z. Moliere. Theorie der Streuung schneller geladener Teilchen II: Merfach- und Vielfachstreuung / / Z . Naturforsch., 1948, v.3a, p.78.

38. H. A. Bethe. Moliere's Theory of Multiple Scattering / /Phys . Rev., 1953, V.89, p.1256.

39. W. T. Scott The Theory of Small-Angle Multiple Scattering of Fast charged Particles / / Rev. Mod. Phys., 1963, v.35, p.231.

40. S. Goldsmit and J.L. Saunderson. Multiple scattering of electrons / / Phys. Rev., 1940, V.57, p.24.

41. S. Goldsmit and J.L. Saunderson. Multiple scattering of electrons II / / Phys. Rev., 1940, v.36, p.36.

42. R.M. Sternheimer. General Expression for the Density Effect for the Ionization Loss of Charged Particles / / Phys. Rev. B, 1971, v.3, p.3681.

43. S.M. Seltzer and M.J. Berger. Monte-Carlo Calculation of the Penetration and Diffusion of Fast Charged Particles / / Nucl. Inst. Meth., 1985, v.B12, p.95.