Математическое моделирование движения ансамбля частиц с использованием канонического метода интегрирования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Германюк, Галина Юрьевна

• Германюк, Галина Юрьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Германюк, Галина Юрьевна

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В РАБОТЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1 МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

1.1. Анализ подходов в исследовании систем.

1.2. Ансамбль Гиббса в потенциальном поле.

1.3. Гамильтоновы динамические системы.

1.4. Методы интегрирования динамических систем.

1.5. Сравнительный анализ алгоритмов интегрирования.

1.6. Постановка цели и задачи выполняемого исследования.

ГЛАВА 2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ АНСАМБЛЯ ЧАСТИЦ.

2.1. Одномерный ансамбль Гиббса.

2.2. Консервативное возмущение в линейной и нелинейной системе.

2.3. Обратимость времени в линейной и нелинейной системе.

2.4. Математическая модель движения двумерного фазового ансамбля.

2.5. Динамика двухатомной молекулы.

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ.

ГЛАВА 3 ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС МОДЕЛИРОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ АНСАМБЛЯ ЧАСТИЦ.

3.1. Методика моделирования и исследования движения ансамбля Гиббса.

3.2. Структура и работа программного комплекса.

3.3. Отображение данных и сохранение изображения результатов эксперимента.

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ.

ГЛАВА 4 ДИНАМИКА ОДНОМЕРНОГО КРИСТАЛЛА.

4.1. Энергия и температура системы.

4.2. Динамическая температура в одномерной системе.

4.3. Динамика ансамбля вблизи положения равновесия.

4.4. Консервативный нагрев ансамбля частиц.

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование движения ансамбля частиц с использованием канонического метода интегрирования»

Актуальность. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений позволяет описывать динамические процессы в системах, обладающих свойствами детерминированности, конечномерности и дифференцируемости. Для исследования таких систем существуют аналитические и численные методы интегрирования.

В настоящие время возможности вычислительной техники позволяют численно интегрировать динамические уравнения для систем с числом структурных единиц порядка 104 -105, что является достаточным для исследования многих эволюционных процессов.

Основным при использовании численных методов является учет погрешности, вносимой процессом численного интегрирования, и, как следствие, оценки полученных компьютерных моделей.

В известных численных методах, в частности Эйлера и Рунге-Кутта, влияние итерационных процессов ведет к накоплению погрешности, которую можно снизить уменьшением шага интегрирования, что ведет к увеличению времени счета.

В качестве альтернативного подхода рассматривается так называемый канонический метод численного интегрирования, где сам процесс интегрирования уравнений движения консервативной системы является бесконечно малым по параметру шага консервативным возмущением.

Сравнительный анализ позволяет говорить о перспективности канонического метода численного интегрирования для описания и исследования динамических систем, что и определяет актуальность выполняемого исследования.

Предметом исследования являются динамические системы свободных и взаимодействующих частиц в условиях консервативных возмущений, которые представлены в форме ансамбля Гиббса, а также динамические процессы, происходящие в указанных системах.

Цель работы - математическое моделирование и исследование динамики ансамбля частиц в условиях действия консервативных возмущений с использованием канонического метода численного интегрирования.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

1. Разработка математических моделей движения ансамбля Гиббса в условиях действия консервативных возмущений.

2. Разработка алгоритмов численного интегрирования ансамбля частиц.

3. Создание комплекса программ для исследования динамики ансамбля частиц.

4. Компьютерное исследование поведения ансамбля частиц с использованием условия обратимости времени.

Методы исследования

В работе использованы теоретические и численные методы исследования на основе фундаментальных результатов гамильтоновой механики, теории канонического интегрирования и канонической теории возмущений. В практической части исследования использованы основные методы компьютерного моделирования.

Достоверность и обоснованность полученных результатов Достоверность теоретических результатов обеспечивается корректной формулировкой математических моделей. В основу теоретических методов положены основные результаты гамильтоновой механики и теории возмущений. Достоверность результатов численного интегрирования и компьютерного эксперимента подтверждается их совпадением с основными теоретическими предсказаниями теоремы Колмогорова-Арнольда-Мозера для движения систем, близких к интегрируемым, и имеющимися результатами канонической теории возмущения.

На защиту выносятся: 1. Математические модели для исследования движения ансамбля Гиббса в условиях действия консервативных возмущений.

2. Алгоритмы численного интегрирования уравнений движения ансамбля частиц.

3. Комплекс программ для исследования динамики ансамбля частиц при различных начальных условиях и условиях взаимодействия.

4. Результаты компьютерного исследования поведения ансамбля Гиббса с использованием условия обратимости времени.

Научная новизна диссертационной работы состоит в том, что:

1. Впервые получены математические модели движения ансамбля частиц в условиях консервативных возмущений.

2. Впервые проведено аналитическое исследование устойчивости канонического метода интегрирования уравнений движения ансамбля частиц.

3. Впервые построены устойчивые к накоплению погрешности численные алгоритмы интегрирования уравнений движения на больших интервалах времени.

4. Впервые условие обратимости времени использовано для анализа поведения ансамбля Гиббса.

5. Разработан комплекс программ для качественного и количественного исследования ансамбля Гиббса в условиях действия консервативных возмущений.

Научная апробация результатов исследования

Основные научные результаты, полученные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на 2-ой Всероссийской конференции молодых ученых, преподавателей, аспирантов и студентов «Теория динамических систем в приоритетных направлениях науки, технологии и техники» (г. Чайковский, 2007г.), на 2-ой Международной конференции «Информационно-математические технологии в экономике, технике и образовании» (г.Екатеринбург 2007г.), на 6 - ой Всероссийской научно-технической конференции «Информационные системы и модели в научных исследованиях, промышленности, образовании и экологии» (г. Тула 20Юг), на 13-ой Международной научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы приборостроения и информатики» (г. Сочи 2010г.).

Практическая значимость и реализация результатов исследования

Положительные результаты использования канонического метода численного интегрирования для исследования рассмотренных динамических моделей могут быть применены в различных областях эволюционной динамики.

Одношаговый тип канонических алгоритмов интегрирования и минимально возможное количество выполняемых операций делают перспективным создание программных комплексов, используя процедуру распараллеливания процесса счета. Практическая ценность разработанного программного комплекса заключается в том, что, как и в натурном эксперименте, предусмотрена возможность разделения процесса его проведения и анализа результатов.

Программный комплекс используется в учебной программе в спецкурсе «Компьютерное моделирование физических процессов» для специальности «Автоматизированные системы обработки информации и управления», а также преподавания разделов «Механика» и «Молекулярная физика» в курсе физики.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в 8 публикациях, в том числе в 3 работах в издании рекомендованным ВАК РФ, 1 свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из содержания, введения, четырех глав, заключения, библиографического списка, включающего 125 наименований. Работа изложена на 143-х листах машинописного текста, содержит 91 рисунок и 8 таблиц.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируется цель, основные задачи исследования и методы проведения диссертационного исследования. Определяется научная и практическая значимость, научная новизна и основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе приводятся математические модели исследования динамики ансамбля частиц на основе использования теории обыкновенных дифференциальных уравнений, гамильтоновой механики, канонической теории возмущений, численных методов интегрирования. Выполнен обзор существующих численных методов и приведен сравнительный анализ устойчивости к накоплению погрешности для алгоритмов по каноническому методу и методу Эйлера на больших интервалах времени.

На основе проведенного анализа определяется общая структура работы и этапы решения поставленных задач.

Во второй главе проводятся исследования влияния малых консервативных возмущений, генерируемых алгоритмами канонического метода численного интегрирования в линейных и нелинейных системах. В качестве математической модели динамической системы был использован ансамбль Гиббса. Исследования влияния консервативных возмущений, моделируемых вычислительным процессом, осуществляются на следующих системах невзаимодействующих частиц: с одной степенью свободы - гармонический осциллятор, математический маятник; с двумя степенями свободы - движение в потенциальном поле Тода.

Влияние консервативного возмущения в условиях межчастичного взаимодействия исследуется на компьютерной модели двухатомной молекулы. В качестве потенциала взаимодействия используется известный потенциал Леннарда-Джонса.

Проведена оценка влияния малых консервативных возмущений на исследуемые системы посредством относительного изменения функции Гамильтона.

В третьей главе представлен разработанный программный комплекс, в основу которого положен канонический метод численного интегрирования динамических уравнений. Описывается структура и работа.

Приведены опытные результаты работы программного комплекса исследования динамической модели из И = 3 -1000 частиц. Полученные результаты показали устойчивость работы программного комплекса к накоплению погрешности. Использования в блоке интегрирования алгоритмов канонического метода численного интегрирования обеспечивают повышение точности и производительности компьютерного эксперимента.

В четвертой главе приводятся результаты проведения компьютерного эксперимента, полученные на программном комплексе, при исследовании динамики одномерного ансамбля частиц в условиях попарного межчастичного взаимодействия. Для ансамблей из 11 и 101 частиц исследовано влияние передаваемых импульсов в начальный момент времени.

В ходе проведения компьютерного эксперимента было подтверждено, что использование канонического метода численного интегрирования в программном комплексе обеспечивает устойчивость систем к влиянию малых консервативных возмущений вблизи положения равновесия. При возрастании нелинейности системы и действия малых консервативных возмущений упорядоченное движение переходит в неупорядоченное.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Германюк, Галина Юрьевна

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ

Полученные результаты исследования одномерного ансамбля частиц в условиях попарного межчастичного взаимодействия на программном комплексе позволяют сделать следующие выводы:

1. Разработанный программный комплекс позволяет осуществлять исследования процессов в одномерных ансамблях взаимодействующих частиц.

2. Анализ компьютерного эксперимента показал, что неупорядоченные процессы в одномерном ансамбле при консервативном нагреве могут развиваться, начиная со значения начального импульса Ар = 0,5.

3. Причиной неупорядоченных процессов в условиях нелинейного характера движения частиц ансамбля является влияние малых консервативных возмущений.

4. Развитие неупорядоченных процессов под действием малых консервативных возмущений приводит к общей необратимости динамических процессов в ансамбле.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе исследования были получены следующие основные результаты:

1. Построены математические модели движения ансамбля частиц, которые позволяют исследовать движение ансамбля Гиббса: гармонический осциллятор, математический маятник, двумерный ансамбль с потенциалом Тода, в условиях действия консервативных возмущений.

2. Проведен сравнительный анализ устойчивости к накоплению погрешности на больших интервалах времени для алгоритмов интегрирования по каноническому методу и методу Эйлера.

3. На основе компьютерного эксперимента, осуществляемого в условиях обратимости времени, было показано:

- линейные системы устойчивы к действию консервативных возмущений;

- наличие консервативных возмущений в условиях нелинейности системы приводят к возникновению и развитию неупорядоченных процессов;

- в неинтегрируемых системах в отличие от интегрируемых, неупорядоченные процессы развиваются интенсивнее.

4. Изменение динамической температуры во времени может быть использовано для оценки характера движения системы в условиях парного взаимодействия с потенциалом Леннарда-Джонса.

5. Анализ компьютерного эксперимента показал, что неупорядоченные процессы при консервативном нагреве в одномерном ансамбле N = 51-1001 частиц, могут развиваться, начиная со значения начального импульса Ар = 0,5.

6. Разработан и протестирован комплекс программ для исследования движения ансамбля Гиббса до N = 1000 частиц.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Германюк, Галина Юрьевна, 2010 год

1. Стратонович Р.Л., Полякова М.С. Элементы молекулярной физики, термодинамики и статистической физики. Изд-во Московского Университета, 1981,— 176 с.

2. Кикоин А.К., Кикоин И.К. Молекулярная физика. Изд-во «Наука» М., 1976, -480 с.

3. Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика. Учебное пособие. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983,-416 с.

4. Климантович Ю.Л. Статистическая физика. Учебное пособие. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982. С. 608

5. Рейф Ф. Статистическая физика. Перевод с англ. Главная редакция физико-математической литературы изд-во «Наука», 1977, 352 с.

6. Мякишев Г.Я. Динамические и статистические закономерности в физике. -М.: Наука, 1973

7. Гапонов-Грехов A.B., Рабинович М.И.Хаотическая динамика простых систем. // Природа. 1981. — №2

8. Синай Я.Г. Случайность неслучайного. // Природа. 1981. - №3

9. Тарасов Л.В. Мир, построенный на вероятности. М.: Просвещение, 1984

10. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И.М. Виноградов, т. 1-5. М.: Советская энциклопедия, 1977-1984.

11. П.Ньютон И., Математические начала натуральной философии, пер. с латин., в кн.: Крылов А.Н., Собр. трудов, т.7, М.-Л., 1936.

12. Эйлер Л., Основы динамики точки. М.-Л., 1938.

13. Лагранж Ж., Аналитическая механика. Т. 1,2. / Пер. с фр.; Под ред. А.Н. —М.-Л., 1950.

14. Остроградский М.В. Полное собрание трудов. Т. 2,3. -К. 1961.

15. Гамильтон У. Об общем методе в динамике., / Пер. с англ. В кн.: Вариационные принципы механики. Сборник статей под ред. A.C. Полака. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1959. С. 284-288.

16. Якоби К. Лекции по динамике. / Пер. с нем.; Под ред. А.Н. -M.-JL, ОНТИ, 1936. -272 с.

17. Фейнман Р. и др. Фейнмановские лекции по физике. Т. 1,2. М.: Мир, 1981. - 14 у.п.л.

18. Гернет М.М. Курс теоретической механики: учебник для вузов. 4-е изд., перераб. и сокр. - М.: Высшая школа, 1981. — 304 е., ил.

19. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. -М.: Наука, 1988. 174 с.

20. Четаев Н.Г. Теоретическая механика. М.: Наука, 1987. - 368 с.

21. Ольховский И.И. Курс теоретической механики для физиков. — М. Изд-во Моск. ун-та: 1978. 575 е., 127 ил.

22. Татаринов Я.В. Лекции по классической динамике. М.: Изд. МГУ, 1984. -295 с.

23. Маркеев А.П. Теоретическая механика. М.: Наука, 1990. -416 с.

24. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1971.-240 с.

25. Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. М.: Мир, 1981. - 14 у.п.л.

26. Бишоп Р., Криттенден Р. Геометрия многообразий. — М.: Мир, 1967. — 335 с.

27. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974.-432 с.

28. Бутенин Н.В. Введение в аналитическую механику. М.: Наука, 1971. - 264 с.

29. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. -М.: Мир, 1971.-392 с.

30. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1967. — 664 с.

31. Гиббс Дж. В. Основные принципы статистической механики. M.-JL, Гостехиздат, 1946.

32. Ефимов И.Н., Морозов Е.А. Каноническое интегрирование гамильтоновых систем. Изд-во Институт экономики УрО РАН, 2006, 142 с.

33. Курс физики: Учебник для вузов: В 2 т. Т.1. / Под ред. В.Н. Лозовского. -СПб.: Изд-во «Лань», 2001 576 с.

34. Савельев И.В. Курс общей физики, Т.1. Механика. Молекулярная физика. -М.: Наука. 1982. 432 с.

35. Henon М., Heiles С. The applicability of the third of motion: some numerical experiments.Asrtron. J., 69, 73 (1964).

36. Ford J., Stoddard S.D., Turner J.S. On the integrability of the Toda lattice. Prog. Theor. Phys., 50, 1574 (1973).

37. Contopoulos G., Polymilis C. Approximations of the 3- particle Toda lattice. Physica, 24D, 328 (1987).

38. Физическая энциклопедия. Гл. ред. Прохоров A.M., т. 1-5. — М.: Советская энциклопедия, 1990.

39. Анималу А. Квантовая теория кристаллических твердых тел. — М.: Мир, 1981,574 с.

40. Lennard-Jones J. Е.// Proc. Roy. Soc. 1924. V. A106. P. 463; Lennard-Jones J. E. Wave functions of many-electron atoms// Proc. Camb. Phil. Soc. 1931. V. 27. P. 469.

41. Morse P. M. Diatomic molecules according to the wave mechanics. II. Vibrational levels// Phys. Rev. 1929. V. 34. P. 57.

42. Зиненко В. И., Сорокин Б. П., Турчин П. П. Основы физики твердого тела. М.: Изд-во физ.-мат. лит., 2001.

43. Кривцов А. М., Кривцова Н. В. Метод частиц и его использование в механике деформируемого твердого тела// Дальневосточный математический журнал. 2002. Т. 3, № 2. С. 254.

44. Malescio G. Intermolecular potentials — past, present, future// Nature Materials. 2003. V. 2. P. 501.

45. Wilson N. T. The structure and dynamics of noble metal clusters: PhD Thesis, 2000.

46. Maruyama S. Molecular dynamics method for microscale heat transfer// W. J. Minkowycz, E. M. Sparrow (Eds). Advances in Numerical Heat Transfer. V. 2, Chap. 6. New York: Taylor & Francis, 2000. P. 189—226.

47. Stoddard S. D., Ford J. Numerical Experiments on the Stochastic Behavior of a Lennard-Jones Gas System// Phys. Rev. 1973. V. A8. P. 1504.

48. Табор M. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. Пер. с англ. -М.: Эдиториал УРСС, 2001. 320 с.

49. Дубровин Б.А., в сб. Итоги науки и техники (Динамические системы, Т.4, Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления) М.: ВИНИТИ, 1985. С.179

50. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: Эдиториал УРСС, 2002

51. Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд-во Удм. гос. ун-та, 1995

52. Заславский Г.М. Физика хаоса в гамильтоновых системах. М.- Ижевск: Инст. компьют.исслед., 2004

53. Стэррок П. Статистическая и динамическая электронная оптика. — М.: Мир. 1958. 72 с.

54. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.З: Квантовая механика. М.: Наука, 1989.-652 с.

55. Давыдов А.С. Квантовая механика. М.: Наука, 1973. 450 с.

56. Борн М. Лекции по атомной механике. Т. 1-2. Харьков. ОНТИ, 1975.

57. Данилов Л.В. и др. Теория нелинейных электрических цепей. Л.: Энергоатомиздат, 1990. -256 с.

58. Нетушил A.B. и др. Теория автоматического управления: Нелинейные системы, управление при случайных воздействиях: учебник для вузов. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Высш. школа, 1983. — 432 е., ил.

59. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости.- М.: Наука, 1967. 488 с.

60. Медведев Б.В. Начала теоретической физики. М.: Наука, 1977. - 496 е., ил.

61. Пуанкаре А. Избранные труды. Т.1. М.: Наука, 1971.

62. Биркгоф Д. Динамические системы. Ижевск: Изд. дом. «Удм. ун-т», 1999.

63. Крылов Н.С. Работы по обоснованию статистической физики. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1950.

64. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984.

65. Колмогоров А.Н. О сохранении условно периодических движений при малом изменении функции Гамильтона. //Докл. АН СССР. 1954, т.98, С. 572

66. Колмогоров А.Н. ДАН СССР 124 754 (1959)

67. Синай Я.Г. ДАН СССР 124 768 (1959)

68. Колмогоров А.Н. ДАН СССР 98 527 (1954)

69. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1990. - 176 с.

70. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967. - 224 с.

71. Арнольд В.И. знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической механике. // Успехи математических наук. Т.18, С. 85, 1963

72. Борисов A.B., Мамаев И.С. Динамика твердого тела. Гамильтоновы методы, интегрируемость, хаос. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. — 576 с.

73. Мозер Ю., в сб. Математика. Периодический сборник переводов иностранных статей Т.6. М.: Мир, 1962, С. 51

74. Арнольд В.И. Успехи математической науки 18 13 (1963)

75. Арнольд В.И. Успехи математической науки 18 91 (1963)

76. Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах. М.: Мир, 1973

77. Мозер Ю. KAM теория и проблемы устойчивости. - Ижевск: ИРТ, 2001. -С. 448

78. Холодниок М. и др. Методы анализа нелинейных динамических моделей. -М.: Мир, 1991.-368 с.

79. Старжинский В.М. Прикладные методы нелинейной динамики. М.: Наука, 1977.-256 с.

80. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику: От маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988

81. Кузнецов С.П. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2001

82. Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир, 1990

83. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987

84. Трещев Д.В. Ведение в теорию возмущений гамильтоновых систем. М.: Фазис, 1998

85. Ефимов И.Н., Морозов Е.А. О принципе консервативных возмущений. // Интеллектуальные системы в производстве. ИжГТУ. 2005/1 Ижевск 2005, С. 52-62

86. Морозов Е.А. Об устойчивости интегральных кривых в сопряженных пространствах. // Вестник ИжГТУ. 2005. №3 Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2005. С. 39-41

87. Лоскутов А.Ю. Динамический хаос. Системы классической механики. // Успехи физических наук, 2007. Том 177, №9. С. 990-1015

88. Олыпанецкий М.А., Переломов A.M., Семенов-Тян-Шанский М.А., в сб. Итоги науки и техники. Сер. Динамические системы. Т.7. М.: ВИНИТИ, 1987. С.86

89. Трофимов В.В., Фоменко А.Т. в сб. Итоги науки и техники. Динамические системы. Т.7, Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1987. С.227

90. Щукин А.А., Сушкин И.Н., Зах Р.Г., Бахмачевский Б.И., Лызо Г.П.

91. Теплотехника. М. 1973 С. 479

92. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.5: Статистическаяфизика. М.: Наука, 1964. 523 с.

93. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Термодинамика и молекулярная физика.1. М.: Наука, 1979.-552 с.

94. Курс физики: Учебник для вузов: В 2 т. Т.2. / Под ред. В.Н. Лозовского.

95. СПб.: Изд-во «Лань», 2001 576 с.

96. И.С. Березин, Н.П. Жидков. Методы вычислений. Физматгиз, 1959, ч. II, гл.1..

97. Демидович Б.П. и др. Численные методы. М.: Наука, 1967. — 368 с.

98. Данилина Н.И. и др. Численные методы. Учебник для техникумов. М.: Высшая школа, 1976. — 368 с.

99. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. -М.: Наука, 832 с.

100. Л. Коллатц. Численные методы решения дифференциальных уравнений, ИЛ, 1953, гл.1.

101. Дж. Скарборо. Численные методы математического анализа, ГТТИ, 1934, гл.Х1, XIII.

102. Ефимов И.Н., Морозов Е.А. Канонические схемы численного интегрирования уравнений движения. // Социально-экономические проблемы развития региона. Г. Чайковский, 2001. С. 339-349

103. Морозов Е.А. О связи канонических отображений с гамильтонианами. // Интеллектуальные системы в производстве. ИжГТУ. 2005/2. Ижевск 2005

104. Морозов Е.А. Каноническое интегрирование в проектировании динамических систем. Екатеринбург-Ижевск: Изд-во Института экономики УРО РАН, 2006. 196 с.

105. Ефимов И.Н., Морозов Е.А. Устойчивость канонического метода интегрирования гамильтоновых систем. // Интеллектуальные системы в производстве. ИжГТУ. 2003/1. Ижевск 2003. С.23-38

106. Морозов Е.А. О консервативном характере возмущений метода численного интегрирования. // Известия ТулГУ. Серия математическая. Математика. Механика. Информатика. — Т 11. Вып. 3. Тула. Изд-во ТулГУ. 2005. С. 142-145.

107. Шилейко A.B., Шилейко Т.И. Информация или интуиция? М.: Мол. гвардия, 1983.-208 с.

108. Henon М. Integrals of the Toda lattice. Phys. Rev., B9, 1921, 1974

109. Casati G., Ford J. Stochastic transition in the unequal-mass Toda lattice. Phys. Rev., Al 2, 1702, 1974

110. Тимоти Бадд. Объектно-ориентированное программирование в действии. Изд-во: Питер, 1997 464 с.

111. Пышкин Е.В. Основные концепции и механизмы объектно-ориентированного программирования. Изд-во: СПб.: БХВ — Петербург, 2005 640с.

112. Иванова Г.С., Ничушкина Т.Н., Пугачев Е.К. Объектно-ориентированное программирование. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001 320с.

113. Ш.Немнюгин Сергей Андреевич, Pascal и Turbo Pascal. Учебные языкипрограммирования 2-е издание, — СПб.: Питер, 2008. 544 с. 112. Фаронов В.В. Turbo Pascal 7.0. Практика Программирования. - М.: Просвещение. 1999

114. ПЗ.Культин Н.Б. Delphi 6. Программирование на OBJECT PASCAL. 2 изд.М.

115. Вильяме». 2001. — 526 с. 114. Фленов М.Е. Библия Delphi 2-е изд., перераб. и доп. - Спб.: БХВ-Петербург, 2008. - 800 с: ил. +CD-ROM

116. Архангельский А.Я. Delphi 2006/ Справочное пособие: Язык Delphi, классы, функции Win 32 и .NET. M. : ООО "Бином-Пресс", 2006 г. - 1152 с. : ил

117. Нб.Культин Н. Б. Основы программирования в Delphi 7. СПб.: БХВ-Петербург. 2003. - 608 е.: ил.

118. Зуев Е. А. Программирование на языке Turbo Pascal 6.0, 7.0, М.:Веста,Радио и связь, 1993, — С.376

119. Кассера В. Ф. Turbo Pascal 7.0, Диасофт, 2003

120. Нэйл Рубенкинг. Turbo Pascal для Windows = Turbo Pascal for Windows. Techniques and Utilités. — M.: Мир, 1993. — С. 535.

121. Фаронов В. В. Turbo Pascal. Наиболее полное руководство. BHV-Санкт-Петербург, 2007.

122. Шрайнер Дэйв, By M., Нейдер Дж., Девис, OpenGL Programming Guide, Fourth edition. СПб.: Питер, 2006. - 624 с.

123. Ричард С. Райт мл., Бенджамин Липчак. OpenGL. Суперкнига = OpenGL SuperBible. — 3 изд. — M.: Вильяме, 2006. — С. 1040.

124. By M., Дэвис Т., Нейдер Дж., Шрайндер Д. OpenGL. Руководство по программированию. Библиотека программиста. Питер, 2006

125. Эдвард Энджел. Интерактивная компьютерная графика. Вводный курс на базе OpenGL = Interactive Computer Graphics. A Top-Down Approach with Open GL. — 2-е изд. — M.: Вильяме, 2001. — 592 с

126. Рэнди Дж. Рост. OpenGL. Трехмерная графика и язык программирования шейдеров. Для профессионалов. Питер, 2005