Численное интегрирование уравнений динамики твердого тела каноническим методом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Селиванов, Константин Михайлович

• Селиванов, Константин Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Селиванов, Константин Михайлович

Введение.

Глава 1. Проблемы моделирования в динамике твердого тела

1.1. Динамические системы.

1.2. Динамика и кинематика твердого тела.

1.3. Интегрирование уравнений динамики.

1.4. Использование канонического метода интегрирования в моделировании динамики и устойчивости летательного аппарата.

1.5. Постановка цели и задач исследований.

Глава 2. Построение математической модели движения твердого тела с использованием гамильтонова формализма.

2.1. Кинематика свободного вращения твердого тела.

2.2. Динамика свободного вращения твердого тела.

2.3. Движение твердого тела под действием обобщенных сил.

2.4. Устойчивость движения твердого тела под действием малых возмущений.

2.5. Полученные результаты и выводы.

Глава 3. Построение алгоритмов на основе канонического метода интегрирования.

3.1. Канонические преобразования фазового пространства.

3.2. Интегрирование динамических уравнений свободного вращения.

3.3. Движение твердого тела в потенциальном поле.

3.4. Движение твердого тела в потенциальном поле под действием диссипативных сил.

3.5. Сравнение результатов полученных каноническим методом с методом Эйлера.

3.6. Полученные результаты и выводы.

Глава 4. Программный комплекс моделирования динамической устойчивости летательных аппаратов.

4.1. Методика моделирования и исследования динамической устойчивости летательного аппарата.

4.2. Структура программного комплекса.

4.3. Этапы проведения эксперимента.

4.4. Исследование движения летательного аппарата.

4.5. Полученные результаты и выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное интегрирование уравнений динамики твердого тела каноническим методом»

Актуальность. Уравнения движения твердого тела в механике допускают различные формы записи-Для аналитических исследований» чаще других используется известная1 система уравнений Эйлера, имеющая < симметричный вид записи и форму, аналогичную уравнениям' Ньютона. Применяемый; в аналитической динамике- метод Лагранжа менее удобен вследствие не- инвариантности функции: Лагранжа относительно1, выбора координат, задающих ориентацию твердого тела. Преобразование Лежандра, осуществляемые при переходе к координатно-импульсному представлению; фазового пространства для. функции Гамильтона, также- приводят к усложнению формы, записи уравнений движения: Поэтому, в динамике твердого тела применение гамильтонова формализма, ограничено исследованием7 общих* свойств системы в частности, наличием у нее интегралов движения и циклических координат. Фундаментальные результаты, при разработке теоретических основ классической, механики принадлежат Л: Эйлеру, Ж. Л. Лагранжу, М.В. Остроградскому, У. Гамильтону, К. Якоби, А.М. Ляпунову, C.B. Ковалевской, А.Н. Колмогорову, В:И. Арнольду, Ю. Мозеру.

При численном интегрировании уравнений- движения» твердого тела ситуация принципиально меняется. Прежде всего, алгоритмы, полученные при использовании всех трех перечисленных методов, оказываются одинаково неинвариантными* по отношению к выбору обобщенных координат и одинаковыми по сложности. Однако при этом оказывается, что только в рамках гамильтонова формализма возможно использование канонического метода интегрирования, в основе которого лежат канонические преобразования фазового пространства.

Предметом исследования являются математические модели динамики твердого тела и численные методы интегрирования^ уравнений движения, применительно к транспортным, авиационным, космическим системам.

При конструировании, создании и последующей эксплуатации летательных аппаратов одним из важнейших вопросов является исследование условий устойчивости их движения, обеспечивающих безопасные режимы полета. Особо опасной является ситуация, при которой^ колебательное движение одной из степеней свободы, например, относительно оси* тангажа, переходит во вращательное движение* другой- степени свободы, например, относительно оси курса (плоский штопор). Натурное воспроизведение* таких режимов связано с большим риском для экипажа и самого летательного аппарата. Моделирование в аэродинамических трубах сопряжено с большими затратами» и, как правило, возможно лишь после создания опытного образца. В этой связи, альтернативой или направлением снижения рисков и затрат является построение адекватных объектно-ориентированных компьютерных моделей-динамики летательного аппарата и компьютерный эксперимент, позволяющий? проанализировать устойчивость его. движения.

- Целью работы является построение математических моделей динамики' твердого тела с использованием канонического метода интегрирования применительно к описанию поведения летательного аппарата.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачш

1. Построение математической модели динамики твердого тела на основе1 гамильтонова формализма.

2. Построение канонических алгоритмов для; 'исследования устойчивости движения твердого тела.

3. Сравнение разработанных алгоритмов с существующими.

4. Разработка программного комплекса для исследования динамической устойчивости летательного аппарата.

5. Проведение исследования динамической устойчивости летательного аппарата.

Теоретические и методологические основы исследования.

Исследования проведены с использованием теории канонического метода интегрирования динамических уравнений Гамильтона. В основе указанного 5 метода лежит принцип консервативных возмущений. Согласно этому принципу все вычислительные процессы численного интегрирования уравнений движения должны соответствовать малому консервативному возмущению. Такой подход приводит1 к значительному повышению достоверности? и, информативности результатов компьютерного эксперимента.

Согласно, результатам, канонической теории? возмущений; (теорема. Колмогорова - Арнольда - Мозера) малые консервативные возмущения не могут нарушить устойчивость консервативной системы при* ее? движении вблизи положения: равновесия. С другой стороны, неустойчивость консервативно; возмущенной системы, воспроизводимая? в; процессе компьютерного эксперимента; всегда определяет неустойчивость исходной системы, поскольку, означает попадание решения для фазовой траектории в окрестность сепаратрисы. Таким образом, имеется реальная возможность использования результатов указанной теории в исследовании^ динамики твердого тела, в-частности, для условий устойчивости летательных аппаратов.

Достоверность и обоснованность полученных результатов подтверждаются проведенными исследованиями сходимости» численных методов, проверкой разработанных методик на решении тестовых задач и сравнением результатов расчетов с результатами, полученными другими авторами.

На защиту выносятся.

1. Математическая модель динамики твердого, тела, построенная с использованием гамильтонова формализма в условиях . свободного: вращения^ в потенциальном поле и под действием диссипативных сил.

2. Устойчивые алгоритмы интегрирования уравнений динамики твердого тела.

3. Сравнение результатов полученных каноническим методом и методом: Эйлера.

4. Программный комплекс моделирования динамики твердого тела и результаты анализа компьютерных моделей поведения летательного аппарата.

5. Исследование поведения летательного аппарата в условиях свободного вращения, в потенциальном поле, под действием диссипативных сил. Научная новизна работы.

1. Впервые получены математические модели движения твердого тела под действием консервативных и диссипативных сил.

2. Впервые получены устойчивые к накоплению погрешности алгоритмы численного интегрирования уравнений движения твердого тела в условиях свободного вращения, под действием обобщенных сил и моментов.

3. Впервые получена численная реализация канонического метода интегрирования уравнений динамики твердого тела.

4. Впервые разработан программный комплекс моделирования и исследования динамической устойчивости летательного аппарата.

5. Впервые с помощью программного комплекса даны сравнительные характеристики устойчивости движения твердого тела с использованием алгоритмов метода Эйлера и канонического метода.

Научная апробация результатов исследования.

Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях: Выставке - сессии инновационных проектов ИжГТУ, (Ижевск, 2008 г.), Научно - практических конференциях Чайковского технического института (филиал) ИжГТУ (Чайковский, 2008-2010 гг.), XII Международной научно - практической конференции "Фундаментальные и прикладные проблемы приборостроения, информатики и экономики" в МГУПИ (Москва, 2009 г.), VI Всероссийской научно - технической конференции "Информационные системы и модели в научных исследованиях промышленности и экологии" (Тула, 2010 г.).

Практическая значимость и реализация результатов исследования.

Программный комплекс, использующий канонический метод интегрирования, обеспечивает повышение точности и, производительности компьютерного эксперимента.

Полученные алгоритмы и методики, реализованные в) программном комплексе, могут быть использованы при проектировании транспортных, авиационных и космических систем.

Результаты, работы внедрены в Чайковском технологическом институте (филиал) ГОУ ВПО "Ижевский государственный технический университет". Акт внедрения (использования) результатов работы прилагается.

Программный комплекс был использован в учебной программе в спецкурсе «Компьютерное моделирование физических' процессов» для-специальности «Автоматизированные системы обработки информации и управления», в курсе «Методология научного творчества» для магистрантов, а также при преподавании.разделов «Механика» в курсе физики.

Положительные результаты, использования канонического метода численного интегрирования для исследования, рассмотренных динамических моделей, позволяют утверждать перспективность его дальнейшего внедрения в различные области эволюционной'динамики.

Работа4 проводилась по заданию-Федерального агентства по образованию в рамках Аналитической ведомственной целевой программы "Развитие научного потенциала высшей школы" по теме 0120.0 805060 "Исследование динамической устойчивости летательных аппаратов (ЛА)" (2008 - 2009 гг.).

В настоящее время продолжаются исследования В' рамках ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 года (ГК № 02.740.11.0658 от 29 марта 2010 г) по теме "Разработка модели автоматизированной системы интеграции открытых виртуальных лабораторных комплексов".

Разработаны программные комплексы "Моделирование и исследование динамической устойчивости летательного аппарата" (свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2010611155) и "Моделирование и оценка вертикальных вибронагружений транспортного средства" (свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2010615497).

Публикации.

Результаты работы отражены в 9 научных публикациях:

7 статей в- научных журналах, в том числе 2 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов диссертации, 2 зарегистрированные программы для ЭВМ.

Структура и объем работы.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка и двух приложений. Работа изложена на 130 страницах машинописного текста, содержит 42 рисунка, 13 таблиц и список литературы из 126 наименований. В приложениях представлен акт о использовании результатов работы и свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Селиванов, Константин Михайлович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие основные выводы и результаты.

1. Математическая модель движения твердого тела, построенная на основе фундаментальных положений аналитической динамики, позволяет исследовать его поведения в условиях свободного вращения, в потенциальном поле и под действием диссипативных сил.

2. Доказано, что консервативные возмущения не нарушают устойчивость движения твердого тела.

3. Разработана методика построения алгоритмов интегрирования уравнений Гамильтона, устойчивых к накоплению погрешности во времени.

4. Построенные алгоритмы позволяют повысить точность решения и быстродействие, что подтверждается малой величиной относительной погрешности функции Гамильтона Н (шах - 0,0002) и наименьшим возможным числом используемых в алгоритмах арифметических операций.

5. Разработан программный комплекс моделирования и исследования динамической устойчивости летательного аппарата.

6. Программный комплекс использован для сравнительной характеристики устойчивости движения твердого тела с помощью алгоритмов интегрирования Эйлера и канонического метода интегрирования и для исследуемых режимов показал: а. свободное вращение: неустойчивость по методу Эйлера и устойчивость по каноническому методу; б. движение в потенциальном поле: неустойчивый фокус по методу Эйлера, устойчивый фокус по каноническому методу; в. движение в потенциальном поле под действием диссипативных сил: неустойчивый фокус по методу Эйлера, асимптотическая устойчивость по каноническому методу.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Селиванов, Константин Михайлович, 2010 год

1. Математическая энциклопедия: Большая советская энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. - 2-е изд. - М.: Большая советскаяэнциклопедия, 1977 1984.

2. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990.-312 с.

3. Айзерман М.А. Классическая механика. 2-е изд. - М.: Наука, 1980.367 с.

4. Ньютон И. Математические начала натуральной философии / Пер. с латин., в кн.: Крылов А.Н., Собр. трудов, Т. 7. М.: Л., 1936.

5. Григорян А.Т. История механики с древнейших времен до XVIII в. -М.:Л., Наука, 1972. 523 с.

6. Космодемьянский A.A. Очерки по истории механики. 2 изд., - М.: Мир, 1964.-432 с.

7. Яковлев В.И. Предыстория аналитической механики. Ижевск: РХД, 2001.-328 с.

8. Эйлер Л. Основы динамики точки. М.: Л., 1938. - 499 с.

9. Лагранж Ж. Аналитическая механика. Т. 1,2./ Пер. с фр.; Под ред. А.Г. Лойцянского и А.И. Лурье - М.: Л., 1950.

10. Остроградский М. В. Полное собрание трудов. Т. 2, 3. - Киев: АН УССР, 1959.

11. Гамильтон У. Об общем методе в динамике. / Пер. с англ., в кн.: Вариационные принципы механики. Сборник статей под. ред. A.C. Полака. М.: ФИЗМАТЛИТ, 1959. - С. 284 - 288.

12. Якоби К. Лекции по динамике. / Пер. с нем.; Под ред. А.Г. Лойцянского. М.: Л., ОНТИ, 1936. - 272 с.

13. Фейнман Р. Фейнмановские лекции по физике. Т. 1,2.- М.: Мир, 1981.

14. Гернет М. М. Курс теоретической механики: учебник для вузов. 4-е изд., перераб. и сокр. - М.: Высшая школа, 1981. - 304 с.

15. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М.: Наука, 1988. - 174 с.

16. Четаев Н.Г. Теоретическая механика. -М.: Наука, 1987. 368 с.

17. Ольховский И.И. Курс теоретической механики для физиков. — М. Изд-воМГУ, 1978. -57'5с.

18. Татаринов Я.В. Лекции по классической динамике. М.: Изд-во МГУ, 1984.-295 с.

19. Маркеев А.П. Теоретическая механика. М.: Наука, 1990. - 416 с.

20. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1971.-240 с.

21. Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. М.: Мир, 1975.-222 с.

22. Бишоп Р., Криттенден Р. Геометрия многообразий. М.: Мир, 1967. -335 с.

23. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974.-432 с.

24. Бутенин Н. В. Введение в аналитическую механику. М.: Наука, 1971. — 264 с.

25. Синг Дж. Л. Тензорные методы в динамике. М.: Государственное изд.-во иностранной литературы, 1947. - 42 с.

26. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. -М.: Мир, 1971.-392 с.

27. Аппель П. Теоретическая механика. Динамические системы. Аналитическая механика. М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960. - 487 с.

28. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1967.-664 с.

29. Ланцош К. Вариационные принципы механики. — М.: Мир, 1965. — 408 с.

30. Вариационные принципы механики: Сборник статей / Под. ред. A.C. Полака. М.: ФИЗМАТЛИТ, 1959. - 932 с.

31. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике. М.: Мир, 1985.-589 с.

32. Купершмидт Б.А. Лагранжев формализм в вариационном исчислении. / Функц. анализ и его прил. 1976. - Т. 6. - № 2. - С. 77-78

33. Цлаф Л.Я. Вариационное исчисление и интегрированные уравнения: Справ, рук. 3-е изд. - СПб.: Лань, 2005. - 191 с.

34. Сибирский К.С. Введение в топологическую динамику. Кишинев: АН МолдССР, 1970. - 144 с.

35. Ибрагимов Н. X. Группы преобразований в математической физике. -М.: Наука, 1983.-280 с.

36. Голдстейн Г. Классическая механика. М.: Наука, 1975 - 415 с.

37. Алексеев В.М. Лекции по небесной механике. Ижевск: РХД, 1999. -160 с.

38. Арнольд В.И. Математические аспекты классической и небесной механики. -М.: ВИНИТИ, 1985. 305 с.

39. Халмош П.Р. Лекции по эргодической теории. Ижевск: РХД, 2000, -136 с.

40. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 5. - М.: Наука, 1964.-523 с.

41. Климантович Ю.Л. Статистическая физика. М.: Наука, 1982 - 608 с.

42. Стэррок П. Статическая и динамическая электронная оптика. М.: Мир, 1958.-72 с.

43. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Квантовая механика. Т. 3. - М.: Наука, 1989. - 652 с.

44. Давыдов A.C. Квантовая механика. М.: Наука, 1973. - 450 с.118

45. Борн М. Лекции по атомной механике. Т. 1,2. - Харьков: ОНТИ, 1975.

46. Данилов Л.В. Теория нелинейных электрических цепей. Л.: Энергоатомиздат, 1990. - 256 с.

47. Нетушил A.B. Теория автоматического управления: Нелинейные системы, управление при случайных воздействиях: учебник для вузов. -2-е изд., перераб. и доп. М.: Высш. школа, 1983. - 432 с.

48. Схоутен Я. А. Тензорный анализ для физиков / Пер. с англ. М.: Наука, 1965.-456 с.

49. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.-488 с.

50. Медведев Б.В. Начала теоретической физики. М.: Наука, 1977. - 496 с.

51. Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории управления. / Пер. с англ.; Под ред. Алексеев В.М. М.: Наука, 1974. - 384 с.

52. Парс Л.А. Аналитическая динамика. М.: Наука, 1971. - 636 с.

53. Ламб Г. Теоретическая механика. Т. 2. - М.: Ленинград, 1935. - 496 с.

54. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. 1. - М.: Наука, 1989. - 520 с.

55. Яворский Б.М., Детлаф A.A., Лебедев А.К. Справочник по физике. Для инженеров и студентов вузов. М.: ОНИКС Мир и Образование, 2006. -1056 с.

56. Савельев И. В. Курск общей физики. Т. 1. - М.: Наука, 1971. - 352 с.

57. Татаринов Я.В. Лекции по классической динамике. — М.: Изд-во МГУ, 1984.-296 с.

58. Яворский Б.М., Пинский А.А. Основы физики. Механика. Молекулярная физика. Электродинамика / Под ред. Ю.И. Дика. 5-е изд. - Т. 1. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 576 с.

59. Трухан Н.М. Динамика твердого тела: Учебно-методическое пособие: Теоретическая механика. М.: Изд-во МФТИ 2000. - 42 с.

60. Черногоров Е.П. Теоретическая механика. Кинематика: Курс лекций. -Челябинск 2009. 76 с.

61. Сивухин Д.В. Общий курс физики: Учеб. пособие: Для вузов. Механика. 4-е изд. - Т. 1. - М.:ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 560 с.

62. Синг Дж. Л. Классическая динамика. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. -448 с.

63. Бюшгенс Г.С., Студнев Р.В. Динамика пространственного движения самолета М.: Машиностроение, 1967. - 226 с.

64. Ишлинский А. Ю., Борзов В. И., Степаненко Н. П. Лекции по теории гироскопов. М.: Изд-во МГУ, 1983. - 248 с.

65. Магнус К. Гироскопы. Теория и применения. М.: Мир. 1974. - 280 с.

66. Голубев Ю.Ф. Основы теоретической механики: Учебник. 2-е изд., парераб. и дополн. - М.: Изд-во МГУ, 2000. - 719 с.

67. Дружинин Е.И., Ромашов Ю.В. Компьютерные технологи решения задач теоретической механики: Учебное пособие. Харьков: НТУ «ХПИ», 2003. - 320 с.

68. Бюшгенс Г.С., Студнев Р.В. Динамика самолета. Постранственное движение. — М.: Машиностроение, 1983. 320 с.

69. Хаар Д. тер. Основы Гамильтоновой механики. М.: Наука, 1974. - 290 с.

70. Ильин В. А., Садовничий В. А. Математический анализ. Ч. 1; 3-е изд.; Под. ред. А. Н. Тихонов. - М.: Проспект, 2004. - 517 с.

71. Демидович Б.П. Численные методы анализа. М.: Наука, 1967. - 368 с.120

72. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. -М.: Наука, 1977. 832 с.

73. Бахвалов Н.С. и др. Численные методы / Жидков Н.П., Кобельков Г.М. -3-е изд., перераб. и доп. М.: Бином, 2001. - 632 с.

74. Ильина В.А., Силаев П.К. Численные методы для физиков-теоретиков. -Т. 2. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — С. 16-30.

75. Данилина Н.И. Численные методы: Учебник для техникумов. М.: Высш. шк. 1976.-368 с.

76. Ефимов И.Н., Морозов Е.А. Каноническое интегрирование гамильтоновых систем. Екатеринбург: Изд-во Института экономики УрО РАН, 2006. 143 с.

77. Большая советская энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. 3-е изд.- Т. 14. М.: Большая советская энциклопедия, 1973.

78. Боргест Н.М. и др. Краткий словарь авиационных терминов / Данилин А.И., Комаров В.А, М.: Изд-во МАИ, 1992. - 224 с.

79. Афонин П.М., Голубев И.С. Беспилотные летательные аппараты. / Под. ред. JI.C. Чернобровкина- М.: Машиностроение 1967. 440 с.

80. Остославский И.В., Стражева И.В. Динамика полета. М.: Машиностроение. 1969. - Т. 1 - 500 с.

81. Пашковский И.М. Устойчивость и управляемость самолета. М.: Машиностроение. 1975. -328 с.

82. Кильчевский H.A. Курс теоретической механики, — Т. 2. М.: Наука. 1977.-544 с.

83. Ефимов И.Н., Морозов Е.А. К проблеме интегрирования динамических систем. // Вестник Оренбургского ГУ. 2005. № 12(50). - С. 34 - 39.

84. Ефимов И.Н., Морозов Е.А. Каноническое интегрирование гамильтоновых систем. Екатеринбург-Ижевск: Изд-во институт экономики Уро РАН, 2006. - 135 с.

85. Ефимов И.Н., Морозов Е.А. Каноническое интегрирование динамических систем. Екатеринбург-Ижевск: Изд-во института экономики УрО РАН, 2006. -198 с.

86. Ефимов И.Н., Морозов Е.А. Канонические преобразования и канонические ряды гамильтоновых систем. // Вестник ПГТУ. Пермь 2005.-№3-С. 80-88.

87. Богословский С.Г., А.Д. Дорофеев. Динамика полета летательных аппаратов: Учебное пособие. СПб.: СПбГУАП, 2002. - 64 с.

88. Котик М.Г. Динамика взлета и посадки. М.: Машиностроение 1984. -256 с.

89. Николаев Л.Ф. Аэродинамика и динамика полета транспортных самолетов. М.: Изд-во Транспорт, 1990. - 392 с.

90. Лебедев А.А., Чернобровкин Л.С. Динамика полета беспилотных летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1973. - 309 с.

91. Морозов Е.А. О связи канонических отображений с гамильтонианами. // Интеллектуальные системы в производстве. ИжГТУ. Ижевск 2005. -№2-С. 43-46.

92. Морозов Е.А. Каноническое интегрирование в проектировании динамических систем. Екатеринбург-Ижевск: Изд-во института экономики УрО РАН, 2006. -198 с.

93. Ефимов И.Н., Морозов Е.А. Канонический метод интегрирования нелинейных динамических систем: Тез. докл. Международного конгресса. Нелинейный динамический анализ. (Санкт-Петербург, 2007). -СПб. 2007.-274 с.

94. Бадягин A.A., Мухамедов Ф.А. Проектирование легких самолетов. М.: Машиностроение, 1978. - 208 с.

95. Матвеев В.Н. Расчет возмущенного движения самолета. М.: Оборонгиз, 1960. -224 с.

96. Смешко Ю.И. Устойчивость и управляемость самолета в эксплуатационной области полета: Справочник. М.: Машиностроение, 1987.-136 с.

97. Горощенко Б. Т., Дьяченко А. А. Эскизное проектирование самолета. -М.: Машиностроение, 1970. 327 с.

98. Остославский И.В. Калачев Г.С. Продольная устойчивость и управляемость самолета. М.: Государственное издательство оборонной промышленности, 1951. - 366 с.

99. Пышнов B.C. Динамические свойства самолета. М.: Оборонгиз, 1951, -173 с.

100. Мозер Ю. KAM тория и проблема устойчивости. - Ижевск: ИРТ, 2001. - 448 с.

101. Морозов Е.А. О консервативном характере возмущений метода численного интегрирования. // Известия ТулГУ. Серия математическая. Математика. Механика. Инфоматика. Т 11. Вып. 3. Тула: ТулГУ. 2005. -С. 142-145.

102. Ефимов И.Н., Морозов Е.А. Устойчивость канонического метода интегрирования гамильтоновых систем. // Интеллектуальные системы в производстве. ИжГТУ. Ижевск 2003. №1 - Ижевск: Изд-во ИжГТУ -С. 23-38.

103. Морозов Е.А. Об устойчивости интегральных кривых в сопряженных пространствах. // Вестник ИжГТУ. Ижевск 2005. №3 - Ижевск: Изд-во ИжГТУ,-С. 39-41.

104. Морозов Е.А. Об интегрировании диссипативных динамических систем. // Вестник ИжГТУ. Ижевск 2006. № 3 - Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2006. -С. 63 -65.

105. Исследование динамической устойчивости летательных аппаратов (ЛА): Отчет НИР (заключ.) / ИжГТУ; рук. Ефимов И.Н. 2009 134 с. -Исполн.: Морозоев Е.А., Германюк Г.Ю., Селиванов K.M., и др.. -№ государственной регистрации 01 200. 805060.

106. Фленов М.Е. Библия Delphi. 2-е изд., перераб. и доп. - Спб.: БХВ-Петербург, 2008. - 800 с.

107. Ревич Ю.В. Нестандартные приемы программирования на Delphi. -СПб.: БХВ-Петербург, 2005. 560 с.

108. Фаронов В. В. Система программирования Delphi в подлиннике. СПб.: БХВ-Петербург, 2003. - 450 с.

109. Мюллер Дж. Технология СОМ+: библиотека программиста. СПб.: Питер, 2002. - 464 с.

110. Липаев В.В. Проектирование программных средств: Учеб. пособие для вузов по спец. «Автоном. сист. обр. информ. и упр.». М.: Высш. шк., 1990.-303 с

111. By M. и др. OpenGL. Руководство по программированию. Библиотека программиста. / Дэвис Т., Нейдер Дж., Шрайндер Д. СПб.: Питер, 2006.-400 с.

112. Эдвард Энджел. Интерактивная компьютерная графика. Вводный курс на базе OpenGL 2-е изд. - М.: Вильяме, 2001. - 592с.

113. Ричард С и др. OpenGL Суперкнига / Райт мл., Бенджамин Липчак. 3-е изд. - М.: Вильяме, 2006. - 1040 с.

114. Рэнди Дж. OpenGL. Трехмерная графика и язык программирования шейдеров. Для профессионалов. СПб.: Питер, 2005. - 430 с.

115. Ефимов И.Н., Морозов Е.А., Селиванов K.M., Ермолаева Е.В. Канонические преобразования фазового пространства в динамике твердого тела. // Вестник ИжГТУ. 2009. №4 - Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2009.-С. 190-195.

116. Селиванов К.М. Канонический метод интегрирования в исследовании движения твердого тела. // Интеллектуальные системы в производстве. — Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2010.- № 1.- С. 67-76.

117. Свидетельство о официальной регистрации программы для ЭВМ «МИДУЛА» / Ефимов И.Н., Морозов Е.А., Селиванов К.М., Ермолаева Е.В.- № 2010611155; Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 9.02.2010 г.

118. Roskam Jan Airplan aerodynamics and performance. Design, Analysis and Research Corporation, 1997. - 743 c.