Компьютерное моделирование систем с большим числом частиц и задач вихревой динамики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Ердакова, Надежда Николаевна

• Ердакова, Надежда Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ердакова, Надежда Николаевна

Содержание

Введение

Глава 1. Компьютерные и статистические методы в динамических системах с большим числом степеней свободы

1.1. Статистическое описание одномерного газа. Статистическое равновесие и слабый предел

1.2. Модели систем, постановка вычислительного эксперимента, программный комплекс

1.2.1. Модели систем одномерного газа

1.2.2. Постановка вычислительного эксперимента

1.2.3. Описание интерфейса программного комплекса

1.3. Результаты компьютерного эксперимента

1.3.1. Идеальный бесстолкновительный газ в отрезке

1.3.2. Идеальный бесстолкновительный газ в гравитационном поле

1.3.3. Идеальный бесстолкновительный газ с движущимся тяжелым поршнем

1.3.4. Идеальный бесстолкновительный газ с поршнем конечной массы

1.3.5. Идеальный бесстолкновительный газ с поршнем конечной массы. Релятивистский случай

1.4. Аналогия с биллиардом

Глава 2. Динамика двух точечных вихрей в кольцевой области

2.1. Уравнения движения вихрей и их гамильтоново представление

2.2. Интеграл момента и редукция к системе с одной степенью свободы

2.3. Качественный анализ динамики при равных по модулю интен-сивностях

2.4. Методы численного анализа и описание интерфейса программного комплекса

2.5. Классификация движения вихрей при равных по модулю ин-тенсивностях

2.5.1. Случай равенства абсолютных значений интенсивно-стей вихрей. Абсолютная динамика и хореографии

2.5.2. Случай вихревой пары

2.6. Предельный переход в систему двух вихрей в полосе

Глава 3. Томсоновские конфигурации вихрей в кольцевой области

3.1. Представление гамильтониана системы вихрей в кольцевой области через эллиптические функции

3.2. Типы критических точек и их устойчивость

3.3. Томсоновская конфигурация двух вихрей и ее устойчивость

3.4. Томсоновские конфигурации системы N вихрей (-/V ^ 3) и их устойчивость

3.5. Предельный переход в систему вихрей вне цилиндра

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Компьютерное моделирование систем с большим числом частиц и задач вихревой динамики»

Введение

Актуальность темы

В настоящее время в связи с бурным развитием компьютерных технологий с одной стороны и методов качественного анализа динамических систем с другой стороны появляются новые возможности для исследования нерешенных проблем нелинейной динамики. Актуальной задачей становится разработка современных компьютерных комплексов, с помощью которых можно изучать динамику сложных систем, в том числе с большим числом степеней свободы. Численно реализованные топологические методы в нелинейных интегрируемых системах и выполнение компьютерных исследований при изучении систем многих частиц ведет к новым результатам в областях динамики, где чисто аналитические методы не позволяют получить описание эволюции системы.

В диссертационной работе представлены аналитические и численные методы нелинейной динамики и статистической механики, с помощью которых, с одной стороны, можно исследовать динамику интегрируемых систем, с другой стороны — анализировать вопросы, связанные с проблемами статистической механики в системах с большим числом степеней свободы.

Изучение вопросов неравновесной статистической механики, главным образом, анализ механизма стремления динамической системы к состоянию термодинамического равновесия, подробно развиваемый в работах В. В. Козлова [46, 47], является крайне значимой задачей нелинейного анализа, прикладной и теоретической механики. Несмотря на многолетний интерес к данной проблеме, восходящей к работам Гиббса и Пуанкаре, эти вопросы и по

сей день остаются актуальными в научной среде, находятся в сфере постоянного научного обсуждения [2, 5, 31].

С точки зрения физики в целом и теоретической и прикладной механик в частности приоритетной проблемой, поставленной перед статистической механикой, является объяснение такого явления движения жидкости как турбулентность. Проблема турбулентности — глобальная многосторонняя иерархическая проблема. Имея как минимум пятивековую историю [63] и современные качественные научные результаты [57, 11], турбулентность как задача до сих пор остается нерешенной. На данный момент развито несколько моделей турбулентности, широко используются различные подходы (теоретический, феноменологический, компьютерный эксперимент), возникают новые задачи, связанные с моделированием процесса, учетом вязкости, критериями перехода потока в турбулентный режим, перемешиванием и т. д. Такой разносторонний подход к решению задачи определяет ее феномен как одну из центральных задач механики и гидродинамики. На сегодняшний день при описании проблемы турбулентности широко используются статистические методы и вихревое представление модели процесса, что, в свою очередь, подчеркивает значимость развития современных методов в исследованиях вихревой динамики.

В первой части диссертационной работы рассмотрены новые модельные задачи статистической механики, построенные согласно понятиям, моделям и гипотезам, развитым за многолетнюю историю вопроса. С помощью разработанного комплекса программ численно реализованы эксперименты с системой многих частиц в отрезке, проверены теоремы и гипотезы различных источников [46, 59, 65]. В частности, исследована модель гамильтоновой неконсервативной системы многих частиц, асимптотически теряющей свойство обратимости, но приходящей лишь к состоянию статистического равновесия, что противоречит представлению о связи теплового равновесия с потерей динамической памяти [59].

Во второй и третьей частях диссертационной работы с помощью разработанных компьютерных методов исследована актуальная и хорошо известная задача о движении вихрей в кольцевой области. Впервые задачу о движении точечных вихрей в круге рассмотрел А. Гринхилл в 1877 г. [12], который с помощью метода зеркальных отображений исследовал движение одного и двух вихрей внутри и вне круговой области. Исследованиями устойчивости полигональных вихревых конфигураций внутри и вне круга в разное время занимались Дж. Дж.Томсон [30], в честь которого данные конфигурации названы «томсоновскими», Т. Хавелок [14], решивший в 1931 году задачу о линейной устойчивости томсоноских конфигураций внутри круга, JI. Куракин [51], изучающий данную задачу в нелинейной постановке, и др. В наше время по задаче о движении вихрей в круговой области ставятся натурные эксперименты с жидкостями и магнито-гидродинамическими средами [58, 8], в связи с проблемой описания динамики сверхтекучего жидкого гелия II между вращающимися концентрическими цилиндрами в работах [44, 10] возникает задача о движении точечных вихрей в кольцевой области. Благодаря методам качественного анализа, развитым в работе [38], топологическим методам [37] и компьютерным технологиям появилась возможность провести полное исследование динамики двух вихрей в кольцевой области, получить классификацию движения двух вихрей в кольцевой области при равных по модулю интенсивностях вихрей, разрешить задачу о нахождении критериев существования устойчивых полигональных конфигураций вихрей в кольцевой области.

Цель диссертационной работы

Целью диссертационной работы является исследование одномерных динамических систем с большим числом степеней свободы и динамики точечных вихрей в кольцевой области методами математического моделирования и теории динамических систем.

Методы исследования

Исследование математических моделей в диссертационной работе основывается на сочетании численных и аналитических методов нелинейной динамики. При построении математических моделей и в ходе их аналитического исследования использовались законы сохранения и методы гамильтоновой механики. При построении численных решений применялись аналитические и численные методы нахождения корней уравнений и интегрирования уравнений движения. Для исследования динамики интегрируемых систем использовались топологические методы бифуркационного анализа и теории устойчивости. При исследовании полигональных конфигураций вихрей в кольце использовались методы линейной алгебры. Для получения статистического описания одномерных систем многих частиц применялись аналитические и численные методы расчета статистических характеристик. Реализация численных алгоритмов проводилась на языке С++ и в пакете прикладных программ МАРЬЕ.

В диссертационной работе решены следующие задачи:

• разработаны математические модели одномерного газа в отрезке при различных условиях;

• разработаны алгоритмы исследования динамики и статистического описания моделей одномерного газа в отрезке, на основе которых реализован комплекс программ, позволяющий проводить численное моделирование процессов релаксации одномерных систем многих частиц;

• изучено влияние параметров исследуемых одномерных систем многих частиц на процесс их релаксации;

• проведено аналитическое и численное исследование системы двух вихрей в кольцевой области;

• показано, что система двух вихрей в кольцевой области интегрируема по Лиувиллю;

• разработан пакет программ, в рамках которого реализованы численные методы анализа динамики системы двух точечных вихрей в кольцевой области (в том числе методы топологического анализа и теории устойчивости);

• доказан факт существования относительных хореографий для случая равных интенсивностей вихрей;

• выполнена полная классификация типов движения системы двух вихрей в кольцевой области в зависимости от параметров системы при равных по модулю интенсивностях вихрей;

• найдены критерии устойчивости полигональных конфигураций системы N вихрей в кольцевой области.

Научная новизна работы

• Предложены математические модели и численные методы статистического описания одномерного газа в отрезке при различных условиях.

• С помощью компьютерного эксперимента показано, что:

- одномерная система невзаимодействующих (статистически независимых) частиц газа (свободных и в поле тяжести) приходит лишь к состоянию статистического равновесия; данная система обратима во времени, в том числе после установления равновесия;

- система невзаимодействующих частиц газа в отрезке с подвижной стенкой, движущейся по заданному периодическому закону и перераспределяющей энергию в системе, не может служить моделью термостата, то есть не приводит к установлению в системе теплового равновесия (система необратима во времени);

- система невзаимодействующих частиц газа в отрезке, разделенная подвижным поршнем конечной массы (отличной от массы частицы), взаимодействующим с остальными частицами по законам сохранения классической и релятивистской энергии и импульса, приходит в состояние термодинамического равновесия с плотностью распределения

частиц по координатам и скоростям, зависящей от энергии системы; данные системы обратимы во времени в том числе и при численной реализации.

• Построен гамильтониан системы двух вихрей в кольцевой области и проведена редукция системы к одной степени свободы; получены уравнения движения приведенной системы двух вихрей в кольцевой области.

• Выполнены бифуркационный анализ системы двух точечных вихрей в кольцевой области и классификация типов движения при равных по модулю интенсивностях.

• Проведена классификация абсолютного движения вихрей в кольцевой области в зависимости от областей фазового портрета приведенной системы в случае равных интенсивностей.

• Указаны условия устойчивости полигоналных конфигураций N вихрей в кольцевой области в зависимости от параметров кольца.

Обоснованность и достоверность результатов

Достоверность результатов работы определяется выбором математических моделей, основанных на законах сохранения энергии и импульса, применением численных и аналитических методов интегрирования различной степени точности с оценкой погрешности расчета, а также сравнением результатов численных расчетов с тестовыми результатами, полученными ранее другими авторами для частных случаев.

Апробация результатов

Основные результаты работы неоднократно обсуждались на семинарах Кафедры теоретической физики УдГУ, также докладывались на российских и международных конференциях:

1) Трехмерная визуализация научной, технической и социальной реальности. Кластерные технологии моделирования. Ижевск, 4-6 февраля, 2009 г.;

2) Динамические системы, управление и наномеханика. Ижевск, 24-28 июня, 2009 г.;

3) Регулярная и хаотическая гидродинамика. Приложения к атмосфере и океану. Ижевск, 12-15 мая, 2010 г.;

4) Регулярная и хаотическая динамика. Ижевск, 19-24 января, 2010 г.;

5) Геометрия, динамика, интегрируемые системы. Белград, Сербия, 7-13 сентября, 2010 г.;

6) Геометрия, динамика, интегрируемые системы. Синтра, Португалия, 9-16 сентября, 2011 г.

Теоретическая и практическая ценность

1) Разработанный в рамках диссертационной работы программный комплекс по исследованию динамических и статистических закономерностей одномерного газа позволяет проведение численных экспериментов по апробации теорем и гипотез статистической механики.

2) Созданный в рамках диссертационной работы программный комплекс по исследованию динамики двух вихрей в кольцевой области может быть использован для проведения бифуркационного анализа и классификации движения в других системах вихревой динамики и классической механики.

3) Результаты анализа динамики двух точечных вихрей в кольцевой области могут быть использованы в теоретических и практических приложениях систем сверхтекучего гелия, моделей сильно намагниченной плазмы, где поведение электронов и ионов математически эквивалентно вихревому движению.

4) Методы, развиваемые в работе, могут быть применены в исследованиях других интегрируемых и неинтегрируемых нелинейных систем.

На защиту выносятся

• Математические модели одномерного газа в отрезке при различных условиях;

• Комплекс программ, позволяющий проводить математическое моделирование процессов релаксации одномерных систем с большим числом частиц.

• Результаты вычислительных экспериментов по исследованию динамических и статистических закономерностей различных моделей одномерного газа.

• Программный комплекс для исследования, визуализации и топологического анализа динамики системы двух точечных вихрей в кольцевой области.

• Результаты бифуркационного анализа, анализа устойчивости и классификация движения системы двух вихрей в кольцевой области.

• Результаты анализа условий устойчивости полигональных конфигураций N вихрей в кольцевой области.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 9 работах, в том числе в 4 работах научных журналов списка ВАК.

1) Васькин В.В., Ердакова H.H., Мамаев И. С. Статистическая механика нелинейных динамических систем // Нелинейная динамика, 2009, 5 (3). С. 385-402.

2) Васькин В. В., Ердакова Н. Н. Статистическая механика релятивистского газа в отрезке // Нелинейная динамика, 2009, 5 (4). С. 561-567.

3) Васькин В. В., Ердакова Н. Н. Динамика двух точечных вихрей в кольцевой области // Нелинейная динамика, 2010, 6 (3). С. 531-547.

4) Ердакова Н. Н. Томсоновские конфигурации в динамике двух вихрей в кольцевой области // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 2010, 4. С. 71-76.

5) Ердакова Н. Н. Задача о движении двух вихрей в кольцевой области// Сборник тезисов Второй международной конференции "Геометрия, динамика, интегрируемые системы", Белград, Сербия, 2010, г.

6) Ердакова Н. Н. Статистическая механика газа в отрезке. Релятивистский и нерелятивистский случай // Регулярная и хаотическая динамика: тез. докл. Всерос. конф., г. Ижевск, 19-24 янв., 2010 г.

7) Ердакова Н. Н. Задача о движении двух вихрей в кольцевой области // Регулярная и хаотическая гидродинамика. Приложения к атмосфере и океану: тез. докл. Междунар. конф., г. Ижевск, 12-15 мая, 2010 г.

8) Ердакова Н. Н. Тепловое и статистическое равновесие динамических систем с большим числом степеней свободы // Динамические системы, управление и наномеханика: тез. докл. Всерос. конф., г. Ижевск, 24-28 июня, 2009 г.

9) Ердакова Н. Н. Тепловое и статическое равновесие динамических систем с большим числом степеней свободы // Трехмерная визуализация научной, технической и социальной реальности. Кластерные технологии моделирования: труды Первой междунар. конф., Ижевск, 4-6 февраля, 2009 г.

Структура и объем работы

Диссертация изложена на 105 страницах и состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы (65 наименований).

Краткое содержание работы

В первой главе приведено статистическое описание одномерного газа, описаны модельные задачи одномерного бесстолкновительного газа при различных условиях, разработанный программный комплекс и результаты ком-

пьютерных экспериментов по исследованию динамических и статистических закономерностей.

Построены модели и выполнены расчеты для следующих систем:

- бесстолкновительный газ в отрезке, частицы которого упруго отражаются от концов, в гравитационном поле и без;

- бесстолкновительный газ в отрезке, левый конец которого колеблется по заданному периодическому закону;

- бесстолкновительный газ в отрезке с движущимся поршнем конечной массы, взаимодействующий с частицами газа по законам сохранения энергии и импульса;

- бесстолкновительный газ в отрезке с движущимся поршнем конечной массы, взаимодействующий с частицами газа по законам сохранения релятивистских энергии и импульса.

Компьютерные эксперименты показали, что система невзаимодействующих (статистически независимых) частиц асимптотически стремится к состоянию статистического равновесия, предсказанного в [46], и обратима во времени, в том числе после прихода к равновесию. Система невзаимодействующих частиц в гравитационном поле не достигает теплового равновесия ни при адиабатическом, ни при мгновенном добавлении гравитационного воздействия. Система газа в отрезке с движущимся тяжелым поршнем не может служит моделью термостата, так как создаваемое им перераспределение энергии в системе не приводит к тепловому равновесию. А возникающая в данной системе необратимость во времени, в связи с накоплением ошибок в стохастическом слое, не подтверждает предположения, выдвинутые в [59]. При добавлении к системе невзаимодействующих частиц всего одной частицы отличной массы, взаимодействующей с остальными по законам классической и релятивистской энергии-импульса в системе наблюдается установление теплового

равновесия с распределениями, зависящими от энергии. При этом системы не теряют свойств обратимости. Результаты данной главы изложены в работах [1,2] приведенного выше списка литературы.

Вторая глава посвящена аналитическому и численному исследованию динамики нелинейной системы двух точечных вихрей с интенсивностями Г1.Г2 в идеальной несжимаемой жидкости, ограниченной абсолютно гладкими стенками в форме кольца. С помощью метода зеркальных изображений найдены функция тока системы и уравнения движения. Построен гамильтониан системы. Показано, что система имеет дополнительный первый интеграл — момент завихренности, и проведена редукция к системе с одной степенью свободы. С помощью разработанного комплекса программ получены бифуркационные диаграммы при равных по модулю интенсивностях вихрей, отображения Пуанкаре приведенной системы, соответствующие разным областям бифуркационных диаграмм, траектории движения реальной системы. Доказан факт существования относительных хореографий в системе вихрей равной интенсивности, и проведена классификация абсолютного движения вихрей в зависимости от областей фазового портрета приведенной системы. Также показано, что система двух вихрей между параллельными стенками является предельным случаем системы двух вихрей в кольцевой области при стремлении радиусов кольца к бесконечности. Результаты данной главы изложены в работе [3] приведенного выше списка литературы.

В третьей главе гамильтониан системы двух вихрей в кольцевой области выражен через эллиптические ^-функции и решена задача о нахождении критериев устойчивости полигональных (томсоновских) конфигураций А вихрей в кольцевой области в зависимости от отношения радиусов кольца. Частично результаты данной главы изложены в работе [4] приведенного выше списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Ердакова, Надежда Николаевна

Заключение

В диссертации получены следующие результаты.

• Предложены математические модели и численные методы статистического описания одномерного газа в отрезке при различных условиях.

• С помощью компьютерного эксперимента показано, что:

- одномерная система невзаимодействующих (статистически независимых) частиц газа (свободных и в поле тяжести) приходит лишь к состоянию статистического равновесия; данная система обратима во времени, в том числе после установления равновесия;

- система невзаимодействующих частиц газа в отрезке с подвижной стенкой, движущейся по заданному периодическому закону и перераспределяющей энергию в системе, не может служить моделью термостата, то есть не приводит к установлению в системе теплового равновесия (система необратима во времени);

- система невзаимодействующих частиц газа в отрезке, разделенная подвижным поршнем конечной массы (отличной от массы частицы), взаимодействующим с остальными частицами по законам сохранения классической и релятивистской энергии и импульса, приходит в состояние термодинамического равновесия с плотностью распределения частиц по координатам и скоростям, зависящей от энергии системы; данные системы обратимы во времени в том числе и при численной реализации.

• Построен гамильтониан системы двух вихрей в кольцевой области и проведена редукция системы к одной степени свободы; получены уравнения движения приведенной системы двух вихрей в кольцевой области.

• Выполнены бифуркационный анализ системы двух точечных вихрей в кольцевой области и классификация типов движения при равных по модулю интенсивностях.

• Проведена классификация абсолютного движения вихрей в кольцевой области в зависимости от областей фазового портрета приведенной системы в случае равных интенсивностей.

• Предложены математические модели и численные методы статистического описания одномерного газа в отрезке при различных условиях.

• С помощью компьютерного эксперимента показано, что:

- одномерная система невзаимодействующих (статистически независимых) частиц газа (свободных и в поле тяжести) приходит лишь к состоянию статистического равновесия; данная система обратима во времени, в том числе после установления равновесия;

- система невзаимодействующих частиц газа в отрезке с подвижной стенкой, движущейся по заданному периодическому закону и перераспределяющей энергию в системе, не может служить моделью термостата, то есть не приводит к установлению в системе теплового равновесия (система необратима во времени);

- система невзаимодействующих частиц газа в отрезке, разделенная подвижным поршнем конечной массы (отличной от массы частицы), взаимодействующим с остальными частицами по законам сохранения классической и релятивистской энергии и импульса, приходит в состояние термодинамического равновесия с плотностью распределения частиц по координатам и скоростям, зависящей от энергии системы; данные системы обратимы во времени в том числе и при численной реализации.

• Построен гамильтониан системы двух вихрей в кольцевой области и проведена редукция системы к одной степени свободы; получены уравнения движения приведенной системы двух вихрей в кольцевой области.

• Выполнены бифуркационный анализ системы двух точечных вихрей в кольцевой области и классификация типов движения при равных по модулю интенсивностях.

• Проведена классификация абсолютного движения вихрей в кольцевой области в зависимости от областей фазового портрета приведенной системы в случае равных интенсивностей.

Соискатель выражает благодарность за поставленные задачи и обсуждение результатов A.B. Борисову, И.С. Мамаеву и A.A. Килину. Также соискатель благодарен В.В. Васькину за постоянное внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ердакова, Надежда Николаевна, 2012 год

Литература

[1] Agostinelli C. Applicazione del metido delle immagini alia determinazione del moto liquido piano in una corona circolare in cui si formino dei vortici puntiformi. Problemi elettrostatici correspondent!//Rend. 1st. Lomb. Sci. Lett, (ser. 3), 1942, vol. 6, pp. 669-689.

[2] Berman G. P., Izrailev F. M. The Fermi-Pasta-Ulam Problem: Fifty Years of Progress // Chaos, 2005, vol. 15, 015104.

[3] Boltzmann L. On Certain Questions of the Theory of Gases // Nature, 1895, vol. 51, pp. 413-415.

[4] Borisov A. V., Mamaev I. S., Kilin A. A. Absolute and relative choreographies in the problem of point vortices moving on a plane // Regul. Chaotic Dyn., 2004,vol. 9, no. 2, pp. 101-112.

[5] Bunimovich L. Kinematics, Equilibrium, and Shape in Hamiltonian System: The "LAB"effect // Chaos, 2003, vol. 13, № 3, pp. 903-912.

[6] Burdick L. W„ Kelly S. D., Marsden J. E., Shashikanth B. N. The Hamiltonian structure of a two-dimensional rigid circular cylinder interacting dynamically with N point vortices. Physics of Fluids. 2002, v. 14, № 3, p. 1214-1227.

[7] Dunkel J. Theory of relativistic Brownian motion: The (1 + 1)-dimensional case. // Phys. Rev. E 71. - 016124 - 2005. - 12 p.

[8] Edwards D. F., Taylor J. B. Negative temperature states of two-dimensional plasmas and vortex fluids // Proc. Roy. Soc. London, 1974, vol.A 336, p. 257.

[9] Ehrenfest P., Ehrenfest Т. Begriffliche Grundlagen der statistischen Auffassung in der Mechanik // Enzyclopädie d. Math. Wiss., 1912, vol. IV, 2, II, H. 6, pp. 3-90.

[10] Fetter A. Low-lying superfluid states in a rotating annulus // Phys. Rev., 1967, vol. 153, no. 1, pp. 285-296.

[11] Fincham A.M., Maxworthy Т., Spedding G.R. Energy dissipation and vortex structure in freely decaying, stratified grid turbulence // Dyn. Atmos. and Oceans, 1996, vol. 23, pp. 155-169.

[12] Greenhill A. G. Plane Vortex Motion // Quart. J. Pure and Appl. Math., 1877/78, vol. 15, № 58, pp. 10-30.

[13] Hardin J. C., Mason J. P. Periodic motion of two and four vortices in a cylindrical pipe // Phys. Fluids. 1984. 27 (7). P. 1583-1589.

[14] Havelock Т.Н. The stability of motion of rectilinear vortices in ring formation // Phil.Mag. 1931, v. 11, № 70, pp. 617-633

[15] Helmholtz H. Über Intagrale hydrodynamischen Gleichungen, weiche den Wirbelbewegungen entsprechen, J. Rein. Angew. Math., 1858, vol.55, pp. 22-55. См. также русский перевод с комментариями С. А. Чаплыгина: Гельмгольц Г. Основы вихревой теории. М.-Ижевск: Инст. компьютерн. иссл., 2002. 82 с.

[16] Hlawka Е. Mathematische Modelle der kinetischen Gastheorie // Rhein.-Westfal. Acad. d. Wissensch. Natur-, Ingenier- und Wirtschaftswissensch. Opladen: Westdeutscher Verl., 1974. V. 240, pp. 361-376.

[17] Holm D.D., Putkradze V., Tronci C. Collisionless kinetic theory of rolling molecules // arXiv:1109.6365v1

[18] Katok A., Hasselblatt B. Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. — Cambridge: Cambridge University Press. 1995.

[19] Kimura Y. Motion of two point vortices in a circular domain. J. Phys. Soc. Japan. 1988, v. 57, №5, p. 1641-1649.

[20] Kimura Y., Kusumoto Y., Hasimoto H. Some particular solutions for symmetric motion of point vortices in a circular cylinder. J. Phys. Soc. Japan. 1984, v. 53, № 9, p. 2988-2995.

[21 ] Kozlov V. V. Gibbs Ensembles, Equidistribution of the Energy of Sympathetic Oscillators and Statistical Models of Thermostat // Regular and Chaotic Dynamics. - 2008. - 13(3). - pp. 141-154.

[22] Kozlov V. V. Kinetics of collisionless gas: Equalization of temperature, growth of the coarse-grained entropy and the Gibbs paradox // Regular and Chaotic Dynamics. - 2009. - 14(4-5). - pp. 535-540.

[23] Kurakin L. G., Yudovich V. I. The stability of stationary rotation of a regular vortex polygon // Chaos, American Institute of Physics. —2002. —Vol. 12. — No 3. -p. 574-595.

[24] Kuttah R., Joens R. B. Rigid body molecular dynamics with nonholonomic constraints: Molecular thermostat algorithms // Physical review E — 2000. — vol. 61 - №3 -pp. 3186-3198.

[25] Lakaniemi M. On the dynamics of point vortices in a quantum gas confined in an annular region // arXiv:0708.1898v3.

[26] Lewis T.C. Some cases of vortex motion // Messenger of Math. 1879, 9, p. 93-95.

[27] Lin С. С. On the motion of vortices in two dimensions. I, II // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1941. V. 27. №2. P. 570-577. (См. также Lin С.С. On the motion of vortices in two dimensions. Univ. Toronto Press, 1943.)

[28] Pashaev О. K., Yilmaz O. Vortex images and q-elementary functions // J. Phys. A: Math.Theor. - 2011. - vol.41.

[29] Pashaev O.K., Yilmaz O. Hamiltonian dynamics of N vortices in concentric annular region // J.Phys.A: Math.Theor. — 2011. — vol.44.

[30] Thomson J. J. A treatise on the motion of vortex rings. London: Macmillan, 1883.

[31] Zaslavsky G. M. From Hamiltonian Chaos to Maxwell's Demon // Chaos, 1995, vol. 5, №4, pp. 653-661.

[32] Zaslavsky G. M. Chaotic Dynamics and the Origin of Statistical Laws // Physics Today, 1999, vol. 52, pp. 39^15.

[33] Zermelo E. Uber einen Satz der Dynamik und der mechanischen Warmetheorie. — Wied. Ann. 57. 1896.

[34] Абрамовиц M., Стиган И. Справочник по специальным функциям. — М.: Наука, 1979.

[35] Бахвалов Н. С., Жидков Н.П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2008. — 636 с.

[36] Боголюбов Н. Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. М.-Л.: Гостехиздат, 1946.

[37] Борисов А. В., Болсинов А. В., Мамаев И. С. Топология и устойчивость интегрируемых систем // УМН, 2010, т. 65, вып. 2(392), с. 71-132.

[38] Борисов А. В., Мамаев И. С. Математические методы динамики вихревых структур. М.-Ижевск: Инст. компьютерн. иссл., 2005. 368 с.

[39] Борисов А. В., Мамаев И. С., Васькина А. В., Новые относительные равновесия в системе трех точечных вихрей в круговой области и их устойчивость // Нелинейная динамика. —• 2011. — Т. 7, № 1. — с. 119-138.

[40] Борисов А. В., Мамаев И. С., Килин А. А., Динамика точечных вихрей внутри и вне круговой области // Фундаментальные и прикладные проблемы теории вихрей / A.B. Борисов [и др.]. М.-Ижевск: Инст. компьютерн. иссл., 2003. с. 414-440.

[41] Вержбицкий В.М. Основы численных методов. Учебник для вузов. М.: Высш. школа., 2002. — 840 с.

[42] Гешев П. И., Ездин Б. С. Движение вихревой пары между параллельными стенками // ПМТФ, 1983, №> 5, с. 62-67.

[43] Зуева Т. И. Гелий во вращающихся кольцах: равновесное распределение большого числа вихрей // Физика низких температур, 1996, т. 22, № 9, с. 1100-1102.

[44] Зуева Т. И. Движение вихрей в кольцевой области // Физика низких температур, 2000, т. 26, № 2, с. 119-127.

[45] Кирхгоф Г. Механика. Лекции по математической физике. М.: АН СССР, 1962. 404 с. [Kirchhoff G. Vorlesungen über mathematische Physik: Bd. 1: Mechanik. Leipzig: Teubner, 1876. 466 p.]

[46] Козлов B.B. Ансамбли Гиббса и неравновесная статистическая механика. М.-Ижевск: РХД, 2008.

[47] Козлов В. В. Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре. М.-Ижевск: ИКИ, 2002.

[48] Козлов В. В., Трещев Д. В. Слабая сходимость решений уравнения Ли-увилля для нелинейных гамильтоновых систем // ТМФ, 2003, т. 134, с. 388-400.

[49] Козлов В. В., Трещев Д. В. Биллиарды. Генетическое введение в динамику систем с ударами. М.: Изд-во Моск. ун-та. 1991.

[50] Крамер Г. Колмогоров А. Н. —Случайные величины и распределения вероятностей. —М.: Гос. изд-во иностр. лит., 1947.

[51] Куракин JI. Г Об устойчивости томсоновских вихревых конфигураций внутри круговой области // Нелинейная динамика, 2009, т.5, №3, с. 295-317.

[52] Куракин JI. Г Об устойчивости томсоновского вихревого пятиугольника внутри круга // Нелинейная динамика, 2011, т.7, №3, с. 465 488.

[53] Ламб Г. Гидродинамика. ОГИЗ, Гостехиздат, 1947. Пер. с англ. Lamb Н. Hydrodynamics. Ed. 6-th. N. Y., Dover publ., 1945.

[54] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: В 10 тт. М.: Наука, 1976. Т. 5: Статистическая физика.

[55] Лебовиц Л., Синай Я., Чернов Н. Динамика массивного поршня, погруженного в идеальный газ // УМН, 2002, т. 57, вып. 6, с. 3-86.

[56] Маркеев А. П. Теоретическая механика: Учебн. пособие для вузов. М.: ЧеРо. 1999.572 с.

[57] Новиков Е.А. Динамика и статистика системы вихрей // ЖЭТФ. 1975, т. 68, вып. 5(11), с. 1868-1882

[58] Паттерман С. Гидродинаимка сверхтекучей жидкости. М.: Мир, 1964

[59] Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса. М.: Прогресс, 1986.

[60] Пуанкаре А. Замечания о кинетической теории газов // Избранные труды: Т. 3. М.: Наука, 1974. С. 385-412.

[61] Сэффмэн Ф. Дж. Динамика вихрей. М.: Научный мир, 2000. Пер. с англ. Saffman P. G. Vortex Dynamics. Camb. Univ. Press, 1992.

[62] Фейнман P., Лейтон P., Сэндс M. Фейнмановские лекции по физике: Т. 4. М.: Мир, 1976.

[63] Фриш У. Турбулентность. Наследие А.Н. Колмогорова. Перевод с англ. А.Н. Соболевского под ред. M.JT. Бланка. М.-Фазис: 1998.

[64] Формалев В.Ф., Ревизников Д. Л. Численные методы.—М.: ФИЗМАТ-ЛИТ. -2004. -400 с.

[65] Хинчин А. Я. Математические основания статистической механики. — М.-Ижевск: РХД, 2003. (Оригинальное издание: - М.-Л.: - ОГИЗ-ГИТТЛ, 1943.)