Математическое моделирование динамики трубопроводов высокого давления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Крайнова, Лариса Николаевна

• Крайнова, Лариса Николаевна
• кандидат технических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат технических наук Крайнова, Лариса Николаевна

ВВЕДЕНИЕ.

1. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ В ТРУБОПРОВОДНЫХ СИСТЕМАХ

1.1. Обзор литературы и состояние вопроса по исследованию колебаний трубопроводов

1.2 Уравнения изгибных колебаний трубопровода

1.3. Обзор численных методов исследования нелинейных колебаний

2. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТРУБОПРОВОДА С УЧЕТОМ ДАВЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ И НАЧАЛЬНОГО ПРОГИБА В ОДНОМОДОВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

2.1. Уравнение движения трубопровода в одномодовом приближении

2.2. Собственные частоты изгибных колебаний трубопровода

2.3. Свободные нелинейные колебания трубопровода

2.4. Вынужденные колебания трубопровода

3. МЕТОД РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ И

ЕГО ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ

3.1. Алгоритм решения задач

3.2. Метод продолжения решения по параметру

3.3. Исследование устойчивости периодических решений

3.4. Описание пакета прикладных программ

4. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТРУБОПРОВОДА С ЖЕСТКИМИ ОПОРАМИ С УЧЕТОМ НЕСКОЛЬКИХ МОД

4.1. Вынужденные колебания трубопровода с учетом нескольких мод

4.2. Описание стенда для экспериментальных исследований вынужденных колебаний трубопровода

4.3. Результаты эксперимента

4.3.1. Эксперимент с трубой

4.3.2. Эксперимент со стержнем без продольной силы

4.3.3. Эксперимент со стержнем с продольной сжимающей силой

4.4. Исследование сходимости полученных решений

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование динамики трубопроводов высокого давления»

Актуальность темы диссертации. Гидравлическая система современных машин представляет собой сложную вибронагруженную конструкцию, состоящую из прямых участков труб, поворотов, арматур, тройников, патрубков и средств крепления - опор. Их вибрация возникает вследствие переменных нагрузок, сопровождающих работу машин. Различают две причины вибрации трубопроводов и аппаратов: первая - кинематическое возбуждение, обусловленное механическими вибрациями корпуса насоса или компрессора, которые передаются на примыкающие к цилиндрам компрессора или входам насоса участки трубопроводов, или на опоры отдаленных участков; вторая -пульсирующий поток и акустические колебания рабочей жидкости и газа в трубопроводах. Необходимость изучения основных динамических характеристик трубопроводов гидравлических систем определяется высокими требованиями к их прочности и надежности работы. Исследования показывают, что вибрация опор с амплитудой 0,15 - 0,2 мм может вызвать в условиях резонанса опасные колебания трубопровода.

Большой интерес представляет динамический расчет маслопроводов высокого давления в гидравлических системах подъемных кранов, манипуляторов и бурильных машин. Основными источниками вибрации маслопроводов в большинстве случаев являются динамические нагрузки вращающихся неуравновешенных роторов двигателя, гидронасоса и гидромотора.

Как показывает практика, при эксплуатации трубопровода, загруженного внешним давлением, опасность колебаний заключается в том, что при некоторых определенных соотношениях между собственными частотами колебаний трубопровода и частотами возбуждения происходит неограниченное возрастание амплитуды колебаний и наступает явление резонанса. В условиях резонанса конструкция подвергается опасному циклическому воздействию, которое может привести к усталостному разрушению. Поэтому основной задачей динамического расчета трубопровода является определение границ областей динамической неустойчивости с тем, чтобы при проектировании принять меры, которые помогут избежать попадания расчетных параметров конструкции в эти области.

Для решения данных технических проблем возникает необходимость исследования нелинейных резонансных явлений в механических системах трубопроводов при воздействии внешних периодических нагрузок. Существенное влияние на управление динамическими процессами оказывают геометрические параметры трубопроводной системы, поэтому особый интерес представляют исследования изгибных колебаний трубопровода, имеющего малую начальную кривизну.

Свойством трубопровода, находящегося под действием высокого давления жидкости и имеющего малую начальную кривизну, является скачкообразное изменение поведения при непрерывном изменении внешних условий. Трубопровод под действием вибрационной нагрузки, действующей в одной плоскости, может совершать как плоские, так и пространственные колебания в зависимости от значений параметров задачи. Для различных режимов движения характерны качественно различные поля напряжений и соответственно различные прочностные характеристики. Поэтому актуальной проблемой является создание математических моделей нелинейных систем и нахождение всех существующих решений.

Целью работы — разработка математических моделей для динамического расчета участка трубопровода с учетом давления жидкости, малой начальной кривизны и геометрической нелинейности, обусловленной неподвижными в продольном направлении опорами. Рассматриваются задачи о нелинейных пространственных колебаниях трубопровода с близкими значениями собственных частот изгибных колебаний в разных плоскостях.

Задачи исследования.

1. Разработка математической модели участка трубопровода в виде системы дифференциальных уравнений и граничных условий.

2. Решение полученных уравнений участка трубопровода для одномодо-вого приближения в двух ортогональных плоскостях.

3. Оценка устойчивости полученных решений.

4. Получение экспериментальных результатов, отражающих закономерности движения трубопровода имеющего малую начальную кривизну.

5. Анализ полученных результатов динамического расчета участка трубопровода и сопоставление с результатами эксперимента.

6. Программная реализация численного метода решения систем дифференциальных уравнений с учетом нескольких форм колебаний.

Методы исследования. В работе выполнены теоретические и экспериментальные исследования. Математическая модель колебаний трубопровода построена на основе уравнений механики твердого деформируемого тела. Уравнения, описывающие состояние трубопровода с учетом давления жидкости и малой начальной кривизны, решены методом Бубнова-Галеркина. В отдельных случаях получено аналитическое решение задачи. Для численного построения амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик использовался метод продолжения решения по параметру. Исследование устойчивости полученных решений выполнено на основе второго метода Ляпунова с использованием СЖ. алгоритма.

Проверка основных теоретических положений выполнена на экспериментальном стенде для исследования вынужденных колебаний трубопровода, представляющем собой физическую модель трубопровода, имеющего малую начальную кривизну.

Научная новизна

1. Разработана модель трубопровода с неподвижными в продольном направлении опорами с учетом давления жидкости и малой начальной кривизны, отличающаяся от известных моделей учетом взаимосвязей колебаний в разных направлениях.

2. Разработан комбинированный метод решения уравнений, описывающих колебания трубопровода с учетом давления жидкости и малой наб чальной кривизны, использующий метод Бубнова—Галеркина, с помощью которого получены алгебраические уравнения, и метод продолжения решения по параметру для построения амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик.

3. Решена задача о свободных колебаниях трубопровода с шарнирно-неподвижными опорами с прогибом в одной плоскости и учетом постоянного давления жидкости, учитывающая пространственную форму колебаний, которая реализуется при наличии достаточно больших возмущений в плоскости ортогональной плоскости начальной кривизны.

4. Выявлены и исследованы резонансные явления, возникающие при вынужденных колебаниях трубопровода в различных направлениях и заключающиеся в наличии нескольких плоских и пространственных форм движения трубопровода в области резонансов.

5. На испытательном стенде для исследования вынужденных колебаний трубопровода получены экспериментальные результаты, отражающие закономерности движения трубопровода, имеющего малую начальную кривизну.

Практическая ценность работы.

- разработана методика расчета нелинейных колебаний трубопровода, позволяющая исследовать пространственные колебания трубопроводов с постоянным давлением жидкости в зависимости от параметров задачи;

- разработанный комплекс программ позволяет рассчитать вибрационную прочность трубопровода и определить его остаточный ресурс, а также прогнозировать поведение исследуемой динамической системы во времени при изменении параметров модели;

- предложенные алгоритмы расчета целесообразно использовать при проектировании систем трубопроводов в инженерных конструкциях.

Внедрение. Научные и практические результаты работы внедрены на ОАО «Ивэнергомаш» (акт внедрения прилагается). Материалы диссертации использовались при написании учебного пособия «Нелинейные колебания», а также используются в учебном процессе ИГЭУ.

Апробация работы. Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались на Международной научно-технической конференции «XV Бенардосовские чтения» (г. Иваново, 2009), III региональной научно-практической конференции студентов, аспирантов, ученых и специалистов (г. Воскресенск 2009), Международной научно-технической конференции «Вибрация 2010. Управляемые вибрационные технологии и машины» (г. Курск, 2010), V региональной научно-практической конференции студентов, аспирантов, ученых и специалистов (г. Воскресенск 2011), Международной научно-технической конференции «XVI Бенардосовские чтения» (г. Иваново, 2011).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано статей в журналах - 3, из них 3 по Перечню ВАК [41, 55, 56], сборниках трудов Международных, Всероссийских и региональных научно-технических конференций - 5 печатных работ [39,40, 42-44], 1 свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ [57], 1 свидетельство о регистрации программы в государственном информационном фонде неопубликованных документов ФГНУ «Центр информационных технологий и систем органов исполнительной власти» [54].

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Крайнова, Лариса Николаевна

6. Результаты работы использовались при расчете гидравлической системы бурильной машины МРК-800, выпускаемой ОАО «Ивэнергомаш».

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Крайнова, Лариса Николаевна, 2011 год

1. Акуленко А.Д. Собственные поперечные колебания вращающегося стержня/ А.Д. Акуленко, Л.И. Коровина, C.B. Нестеров // Изв. РАН. МТТ. 2007. - №1. - С. 3-14.

2. Акуленко Л.Д. Влияние диссипации на пространственные нелинейные колебания струны/ Л.Д. Акуленко, Г.В. Костин, C.B. Нестеров // Изв. РАН. МТТ. 1997. — №1. — С. 19-28.

3. Акуленко Л.Д. Анализ пространственных нелинейных колебаний струны/ Л.Д. Акуленко , C.B. Нестеров // Прикладная математика и механика. -1996. -Т.60, вып.1.-С. 88-101.

4. Акуленко Л.Д. Вынужденные нелинейные колебания струны/ Л.Д. Акуленко, C.B. Нестеров // Изв. РАН. МТТ. 1996. - №1. - С. 17-24.

5. Акуленко Л.Д. Изгибные колебания движущегося стержня/ Л.Д. Акуленко, C.B. Нестеров// Прикладная математика и механика. 2008. -Т.2, вып.5. - С. 759

6. Акуленко Л.Д. Нелинейные колебания струны/ Л.Д. Акуленко, C.B. Нестеров // Изв. РАН. МТТ. 1993. - N4. - С. 87-92.

7. Андронов A.A. Теория колебаний/ A.A. Андронов, А.А Витт, С.Э. Хай-кин. М.: Физматгиз, 1959. - 915 с.

8. Бабаков И.М. Теория колебаний/ И.М. Бабаков. М., 1956. - 282 с.

9. Бабицкий В.И. Колебания в сильно нелинейных системах/ В.И. Бабицкий, В Л. Крупенин. М.: Наука, 1989. - 320 с.

10. Бахвалов Н.С. Численные методы/ Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. М.: Лаборатория базовых знаний, 2001. — 632 с.

11. Беллман Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи/ Р.Беллман, Р. Калаба. М.: Мир, 1968. - 183 с.

12. Бидерман В.Л. Прикадная теория механических колебаний. Учебное пособие для втузов/В .Л. Бидерман М.: Высшая школа, 1972. - 416 с.

13. Блэкьер О. Анализ нелинейных систем/ О. Блэкьер. — М.: Мир, 1969. — 320 с.

14. Боголюбов H.H. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний/ H.H. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. М.: Наука, 1974. - 504 с.

15. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем/ В.В. Болотин. -М.: Гостехиздат, 1959. 500 с.

16. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости/ —B.В. Болотин. — М.:Физматгиз, 1961. — 339 с.

17. Болотин В.В. Случайные колебания упругих систем/ В.В. Болотин. М.: Наука, 1979.- 335 с.

18. Болотин В.В. Проблемы устойчивости движения, аналитической механики и управления движением/ В.В. Болотин. Новосибирск: Наука, 1977. -7-18 с.

19. Болотин В.В. Устойчивость участка трубопровода с упругой опорой/ В.В. Болотин, В.П. Радин, В.П. Чирков, A.B. Щугорев // Изв. РАН. МТТ. -2009. -№1.- С. 174-184.

20. Бордовицына Т.В. Современные численные методы в задачах небесной механики/ Т.В. Бордовицына. М.: Наука, 1984. - 136 с.

21. Бутенин Н.В. Введение в теорию нелинейных колебаний/ Н.В. Бутенин, Ю.И. Неймарк, H.A. Фуфаев. М.: Наука, 1976. - 256 с.

22. Вайнберг М.М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений/ М.М. Вайнберг, В.А. Треногий. М.: Наука, 1969. - 529 с.

23. Ганиев Р.Ф. Динамика систем твердых и упругих тел/ Р.Ф. Ганиев, П.С. Ковальчук. М.: Машиностроение, 1980. - 208 с.

24. Ганиев Р.Ф. Колебания твердых тел/ Р.Ф. Ганиев, В.О. Кононенко. М.: Наука, 1976.-432 с.

25. Гладких П.А. Вибрации в трубопроводах и методы их устранения/ П.А. Гладких, С.А. Хачатурян. М.: Машгиз. 1959. - 243 с.

26. Годунов К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // УМН. -1961.-Т. 16C.171-174.

27. Голоскоков Е.Г. Нестационарные колебания деформируемых систем/ Е.Г. Голоскоков, А.П. Филиппов. Киев: Наукова думка, 1977. - 340 с.

28. Григолюк Э.И. Нелинейные колебания и устойчивость пологих стержней и оболочек/ Э.И. Григолюк // Изв. АН СССР. ОТН. — 1955. — №3.-С. 33-68.

29. Грудев И. Д. Колебания криволинейных стержней/ И. Д. Груд ев. — М.: МИК, 2007. 255 с.

30. Гребенников Е.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем/ Е.А. Гребенников, Ю.А. Рябов. М.: Наука, 1979. - 431 с.

31. Гуляев В.И. Прикладные задачи теории нелинейных колебаний механических систем/ В.И. Гуляев, В.А. Баженов В.А., С.Л. Попов. М.: Высшая школа, 1989. -384 с.

32. Давиденко Д. Ф. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений/ Д.Ф. Давиденко // ДАН СССР. — 1953. — Т. XXXVIIV, № 4. С. 601-602.

33. Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений. /Х.Д.Икрамов; под ред. Д.К. Фадеева. М.: Наука, 1984. - 192 с.

34. Ильгамов М.А. Поперечные колебания трубы под действием бегущих волн в жидкости/ М.А. Ильгамов, В.Н. Мишин // Изв. РАН. МТТ. 1997. -№ 1.- С. 181-192.

35. Казакевич М.И. Проектирование металлических конструкций надземных промышленных трубопроводов/ М.И. Казакевич М.И., А.Е. Любин. — Изд-во: Будивельник, 1989. — 160 с.

36. Каудерер Г. Нелинейная механика/ Г. Каудерер. М.: Изд-во иностр.лит., 1961.- 777 с.

37. Киселев В.А. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений/ В.А. Киселев. М.: Стройиздат, 1980. - 616 с.

38. Кононенко В.О. Нелинейные колебания механических систем / В.О Ко-ноненко. Киев: Наукова Думка, 1980. - 384 с.

39. Крайнова Л.Н. Нелинейные колебания трубопроводов высокого давления/ Л.Н. Крайнова// Сб. науч. докл. III региональной науч.-практич. конф. студентов, аспирантов, ученых и специалистов. Воскресенск. -2009.-С. 219.

40. Крайнова Л.Н. Собственные частоты колебаний элемента трубопровода малой кривизны/ Л.Н.Крайнова// Междунар.науч.-техн. конф. «Состояние и перспективы развития электротехнологии» (XV Бенардосовские чтения) Иваново. 2009. - С. 74. •

41. Крайнова Л.Н. Пространственные нелинейные колебания трубопровода при гармоническом возбуждении/ Л.Н. Крайнова, А.И. Муницын // Машиностроение и инженерное образование. 2010. - №2. - С. 46-51.

42. Крайнова Л.Н. Пространственные нелинейные колебания трубопроводов/ Л.Н. Крайнова, А.И. Муницын // Сб. науч. статей в 2 ч. Международной науч.-техн. конф. «Вибрация 2010. Управляемые вибрационные технологии и машины». Курск. 2010. С. 252-257.

43. Крайнова Л.Н. Экспериментальные исследования вынужденных колебаний трубопровода/ Л.Н. Крайнова, Ф.Б. Огурцов// Междунар. науч.-техн. конф. XVI Бенардосовские чтения Иваново. - 2011. - С. 25-26.

44. Крайнова Л.Н. Исследование пространственных колебаний трубопровода/ Л.Н. Крайнова // Сб.научн.докладов V региональной научно-практич. конференции студентов, аспирантов, ученых и специалистов. Воскресенск. - 2011. - С.63-64.

45. Крылов В.И. Вычислительные методы Т.2 / В.И Крылов, В.В. Бабков, П.И. Монастырный / М.: Наука, 1977. 400 с.

46. Кузнецов Е.Б. Наилучшая параметризация при построении кривых/ Б.Б. Кузнецов // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2004. - Т. 44, № 9. -С. 1540-1551.

47. Ладыгина E.B. Свободные колебания нелинейной кубической системы с двумя степенями свободы при близких собственных частотах / Е.В. Ладыгина, А.И. Маневич // ПММ. 1993. - Т. 57, вып. 2. - С. 40-49.

48. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний/ И.Г. Мал-кин. М.: Гостехиздат, 1956. — 491 с.

49. Маневич Л.И. Метод нормальных колебаний для существенно нелинейных систем/ Л.И. Маневич. М.: Наука, 1989. - 215 с.

50. Мигулин В.В. Основы теории колебаний/ В.В. Мигулин, В.И. Медведев., Е.Р. Мустель, В.Н. Парыгин. М.: Наука, 1978. - 392 с.

51. Милославский А.И. Неустойчивость прямолинейного трубопровода при большой скорости жидкости, протекающей через него Харьков, 1981. Деп. в ВИНИТИ 11.11.81. N5184-81.-21 с.

52. Муницын А.И. Нелинейные колебания стержня с близкими значениями осевых моментов инерции поперечного сечения / А.И. Муницын// Прикладная математика и механика. — 2009. — Т. 73, вып. 3. — С. 427-438.

53. Муницын А.И. Пространственные нелинейные колебания стержня с неподвижными шарнирными опорами/ А.И. Муницын // Прикладная математика и механика. — 2006. Т. 70, вып. 1. - С. 82-90.

54. Муницын А.И. Нелинейные колебания элемента трубопровода малой кривизны / А.И. Муницын, Л.Н. Крайнова// Вестник ИГЭУ. 2009. -С. 42-45.

55. Муницын А.И. Пространственные нелинейные колебания стержня с двумя заделками/ А.И Муницын, Л.Н. Крайнова, H.A. Сабанеев// Вестник ИГЭУ.-2010.-Вып. 2.-С. 63-65. '

56. Найфэ А.Х. Введение в методы возмущений/ А.Х. Найфе -М.: Мир, 1984. 535 с.

57. Окопный Ю.А. Об устойчивости участка трубопровода с протекающей жидкостью/ Ю.А. Окопный, В.П. Радин, A.B. Щугорев // Справочник. Инженерный журнал. 2006. - №10. - С. 15-22.

58. Пановко Я.Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем/ Я.Г. Пановко. -М.: Физматгиз, 1960. 193 с.

59. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории колебаний и удара/ Я.Г.Пановко. Л.: Машиностроение, 1976. - 320 с.

60. Светлицкий В.А. Механика трубопроводов и шлангов/ В.А. Светлицкий. -М.: Машиностроение, 1982. -279 с.

61. Смирнов А.Ф. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений/ А.Ф. Смирнов, A.B. Александров, Б.Я. Лащеников, H.H. Шапошников. М.: Стройиздат, 1984. - 415 с.

62. Старжинский В.М. Прикладные методы нелинейных колебаний/ В.М. Старжинский. М.: Наука, 1977. - 255 с.

63. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах/ Дж. Стокер. М.: Иностранная литература, 1953. - 251 с.

64. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле/ С.П. Тимошенко, Д.Х. Янг, У. Уивер. М.: Машиностроение, 1985. - 472 с.

65. Трушин С.И. Решение задачи Коши методом продолжения по параметру/ С.И. Трушин//Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2005.- Вып.2. - С. 59-61.

66. Феодосьев В.И. О колебаниях и устойчивости трубы при протекании через нее жидкости / В.И. Феодосьев// Инж.сб. -1951.- Т.10. С. 169-170.105

67. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем/ А.П. Филиппов. М.: Машиностроение, 1970. - 736 с.

68. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления/ Г.М. Фихтенгольц // СПб.: Изд-во "Лань", 1997. Т.1. - 608 с.

69. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах/ Т. Хаяси. — М.: — Мир, 1968.-191 с.

70. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах/ Дж. Хейл. — М.: Мир, 1966. -231 с.

71. Холл Дж. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений/Дж. Холл, Дж. Уатта. М.: Мир, 1979. - 312 с.

72. Чарный И.А. Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах/ И.А. Чарный. Л.: ГИТТЛ. - 1951. - 225 с.

73. Челомей С.В. О динамической устойчивости упругих систем/ С.В. Чело-мей // Докл. АН СССР. 1980. - Т.252, № 2. - С. 307-310.

74. Челомей С.В. О динамической устойчивости упругих систем при протекании через них пульсирующей жидкости/ С.В. Челомей // МТТ. 1984. — №5.-С. 170-252.

75. Шалашилин В.И. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике/ В.И. Шалашилин, Е.Б. Кузнецов Е.Б. М.: Эдиториал УРСС, 1999. - 224 с.

76. Шорин В.П. Устранение колебаний в авиационных трубопровода/ В.П. Шорин. М.: Машиностроение, 1980. - 156 с.

77. Ashley Н. Bending vibrations of pipe line containing flowing fluid/ H. Ashley, G. Haviland // J.Appl.Mech. 1950. - V.17, №3. - P. 229-232.

78. Bernitsas M.M. Buckling of risers in tension due to internal pressure: nonmov-able boundaries/M.M. Bernitsas, T. Kokkinis // Trans. ASME. J. Energy Re-sour.Technol. 1983. - V.105, №3. - P. 277-281.

79. Crawford J.D. Introduction to bifurcation theory/ J.D. Crawford // Reviews of Modern Physics. 1991. - Vol. 63. - P. 991-1037.

80. Decker D.W. Path following near bifurcation / D.W. Decker, H.B. Keller // CP AM. 1981. - Vol. XXXIV. - P. 149-175.

81. Dowell E.H. Studies in Nonlinear Aeroelasticity/ E.H. Dowell, M.A. Ilgamov //New York: Springer-Verlag, 1988.-455 p.

82. Huang T. Buckling and frequencies of long vertical pipe / T. Huang, D.W. Dfreig // J.Eng.Mech.Divis. 1969. - V.95, №i. p. 161-181.

83. Ilgamov M.A. Flutter and forced esponse of a cantilevered pipe: the influence of internal pressure and nozzle dischange / M.A. Ilgamov, D.M. Tang, E.H. Dowell // J. Fluids and Structures. 1994. - V.8. - P. 139-156.

84. Moon F.C. Chaotic Vibrations / F.C. Moon New York: Wiley, 1987. - 309 p.

85. Paidoussis M.P. Flow-induced instabilities of cylindrical structures/ M.P. Paid-oussis //Appl.Mech.Rev. 1987. - V40, №2. - P. 163-175.

86. Reiss E.L., Matkowski B.J. Nonlinear dynamic buckling of a compressed elastic column / E.L. Reiss, B.J. Matkowski //Quart. Appl. Math. 1971 - V.29, №2.-P. 245-260.

87. Tang D.M. Buckling and postbuckling behavior of a pipe subjected to internal pressure / D.M. Tang, M.A. Ilgamov, E.H. Dowell // J. Appl. Mech. 1995. -V. 62, №3.-P. 595-600.

88. Trenogin V.A.Computation of one-parametric families of solutions of nonlinear equations / V.A. Trenogin // Proceedings of the Second ISAAK Congress. -2000. Vol.1. - P. 727-735.