Математические вопросы гидродинамики неньютоновских и электропроводных сред тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Самохин, Вячеслав Николаевич

• Самохин, Вячеслав Николаевич
• доктор физико-математических наук
• 1997

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Самохин, Вячеслав Николаевич

Введение.

Гл. I. Теоремы существования для системы уравнений магнитной гидродинамики нелинейно вязких сред.

§ 1. Некоторые функциональные пространства и вспомогательные результаты.

§ 2. Нестационарная система уравнений магнитной гидродинамики степенной жидкости в трехмерном пространстве.

2.1. Постановка задачи

2.2. Определение обобщенного решения

2.3. Существование обобщенного решения

§ з. Система уравнений двумерного магнитогидродинамического течения степенной жидкости с условиями дифракции. з. 1. Постановка задачи

3.2. Определение обобщенного решения

3.3. Существование обобщенного решения

§ 4. Стационарная система магнитной гидродинамики степенной жидкости.

4.1. Постановка задачи

4.2. Определение обобщенного решения

4.3. Существование обобщенного решения

§ 5. Теоремы существования для системы уравнений гидродинамики сред Оствальда-де-Вале.

5.1. Нестационарная система уравнений 5. 2. Стационарная система уравнений Гл. и. Математические задачи теории пограничного слоя степенных жидкостей.

§ 1. Вспомогательные предложения.

1.1. Принцип максимума для квазилинейного вырождающегося параболического уравнения

1. 2. Принцип максимума для системы обыкновенных дифференциально-разностных уравнений второго порядка

1. з. Теорема Лере-Шаудера о неподвижной точке

§ 2. Стационарная система уравнений пограничного слоя псевдопластической жидкости в окрестности критической точки.

2. 1. Постановка задачи и сведение системы пограничного слоя к одному уравнению

2.2. Основная теорема

§ з. Продолжение пограничного слоя псевдопластической жидкости

3. 1. Постановка задачи и сведение ее к вспомогательной задаче в переменных типа Крокко з.2. Построение обобщенного решения с помощью метода прямых з. з. Теорема единственности решения вспомогательной задачи

3.4. Основной результат

§ 4. Система уравнений пограничного слоя дилатантных сред.

Продолжение пограничного слоя.

4. 1. Постановка задачи. Вспомогательная задача в переменных Мизеса 4.2. Априорные оценки

4. з. Существование решения вспомогательной задачи 4. 4. Некоторые условия существования коинцидентного множества в пограничном слое 4. 5. Теорема единственности

4. б. Основной результат

§ 5. Система уравнений пограничного слоя дилатантных жидкостей в окрестности критической точки.

5.1. Постановка задачи и определение обобщенного решения

5. 2. Существование обобщенного решения

5. з. О существовании коинцидентного множества. Теорема единственности 5. 4. Основная теорема Гл. in. Система уравнений магнитогидродинамического- (МГД) пограничного слоя.

§ 1. Пограничный слой электропроводной псевдопластической жидкости в поперечном магнитном поле.

1.1. Осесимметрический пограничный слой 1. 2. Нестационарный пограничный слой

§ 2. Некоторые свойства автомодельных решений системы уравнений магнитогидродинамического пограничного слоя дилатантных жидкостей.^^

§ з. Задача продолжения пограничного слоя электропроводных дилатантных жидкостей. з. 1. Постановка задачи

3.2. Существование решения вспомогательной задачи

3.3. Существование коинцидентного множества и теорема единственности

3. 4. Основная теорема

§ 4. Пограничный слой электропроводных дилатантных жидкостей в окрестности критической точки.

4. i. Постановка задачи и основной результат

4.2. Решение вспомогательной задачи в переменных Мизеса

4.3. Теорема единственности

Гл. IV. Задачи дифракции для системы уравнений пограничного слоя.

§ i. Слой смешения ньютоновских жидкостей с различными свойствами. i. i. Постановка задачи. Основной результат

1. 2. Решение задачи дифракции для вспомогательного уравнения в переменных Мизеса

§ 2. Задача о вдуве в пограничный слой жидкости с иными реологическими свойствами.

2. i. Постановка задачи. Основной результат

2. 2. Метод Мизеса и вспомогательная граничная задача 2.з. Решение вспомогательной задачи в переменных Мизеса

2. 4. Единственность решения

§ з. Пограничный слой электропроводных жидкостей с поверхностью разрыва.

3. i. Постановка задачи

3.2. Переменные Мизеса; сведение задачи с неизвестной границей к задаче дифракции

3.3. Решение задачи дифракции

3.4. Основной результат

Гл. V. Асимптотические методы в теории уравнений пограничного слоя.

§1. Асимптотическое решение задачи об образовании МГД - пограничного слоя при импульсном разгоне.

1.1. Постановка задачи об образовании МГД - пограничного слоя

1.2. Решение задачи в переменных Крокко и асимптотическое разложение решения

1.3. Теорема существования и единственности решения задачи об образовании МГД - пограничного слоя

§2. Усреднение системы уравнений Прандтля при быстро осциллирующем вдуве-отсосе.

2.1. Обобщенное решение системы уравнений Прандтля

2.2. Усреднение уравнений Прандтля в переменных Мизеса

2.3. Сходимость решений вспомогательной задачи к решению усредненного уравнения

2.4. Сходимость решения системы Прандтля к решению усредненной задачи

§3. Усреднение системы уравнений МГД - пограничного слоя в быстро осциллирующем поперечном магнитном поле.

3.1. Обобщенные решения системы уравнений магнитогидро-динамического пограничного слоя

3.2. Усреднение уравнений МГД - пограничного слоя

3.3. Сходимость осциллирующего решения к решению усредненной задачи

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические вопросы гидродинамики неньютоновских и электропроводных сред»

Математические проблемы гидродинамики привлекают внимание ученых различных научных направлений в течение более двух столетий. Причина этого в том, что теоретическая гидромеханика не только дает практически приложимые результаты, но и является источником новых, постоянно усложняющихся задач.

Основным инструментом изучения гидродинамических явлений являются дифференциальные уравнения, и поэтому многие проблемы гидромеханики изучаются в теории дифференциальных уравнений. Нелинейность дифференциальных уравнений гидромеханики приводит к значительным трудностям в вопросах существования и единственности решения соответствующих краевых задач, требует новых подходов к определению их обобщенных решений, стимулирует развитие новых методов качественного изучения полученных решений.

Длительное время основным средством описания динамики вязкой несжимаемой жидкости была система уравнений Навье-Стокса.

Сравнение экспериментальных данных о движении реальных жидкостей и математических результатов, относящихся к уравнениям Навье-Стокса, показало определенные несоответствия предложенной модели вязкой несжимаемой жидкости реальным течениям. Кроме того, с развитием новых технологий в последние десятилетия возникла потребность в новых моделях реальных жидкостей и газов. Успехи реологии дали возможность создать модели, учитывающие сложные и аномальные явления, возникающие при движении сплошных сред. В итоге были получены системы уравнений, обобщающие систему Навье-Стокса и описывающие движение неньютоновских жидкостей. Это привело к новым математическим задачам теоретической гидромеханики.

Изучение движения электропроводной жидкости во внешнем магнитном поле является предметом магнитной гидродинамики. Результаты, полученные в области этой науки, обеспечили создание принципиально новых технических устройств и источников энергии, использующих магнитогидродинамические эффекты. Естественно, что при этом возникают разнообразные математические задачи.

Самостоятельным разделом гидромеханики является теория пограничного слоя. Вязкие силы в потоке жидкости, обтекающей твердое тело, существенно сказываются лишь в слое жидкости, непосредственно примыкающем к твердой поверхности. При больших числах Рейнольдса этот слой очень тонок, что позволило Л. Прандтлю существенно упростить уравнения Навье-Стокса при описании движения жидкости в пограничном слое. Теория пограничного слоя оказалась очень плодотворной при решении задач о сопротивлении, возникающем при движении тела в вязкой жидкости, в задачах теплообмена жидкости и обтекаемых тел, при разработке методов управления течением посредством вдува или отсоса среды и т. д. Эта теория применима также в гидродинамике неньютоновской жидкости и в магнитной гидродинамике. Здесь обнаружен ряд явлений, не имеющих места в механике ньютоновской жидкости.

Некоторые из обширного многообразия задач, указанных выше, и составили предмет данной работы.

Укажем основные обозначения и дадим определения, применяемые ниже.

IRn - n-мерное евклидово пространство, х=(х ., х- ) - точка Rn; если п - область (ограниченная, если не оговорено противное) в Кп, то п означает замыкание п, а да - границу £2; со с0(Q)=d(Q) - пространство бесконечно дифференцируемых в D функций с компактным носителем; ск(Q) (ck(Q)), к - целое положительное число, совокупность непрерывных в n (Q) функций, имеющих непрерывные производные в п (Q) до порядка к включительно; ь 4-/V --с (Q), о<а<1, - пространство функций, непрерывных в (П), i производная порядка к которых по переменной х.,удовлетворяет в ñ условию Гельдера с показателем а; с(П) (с(Q)) - пространство функций, непрерывных на п (Q); ca(ñ), o<a<i, - пространство функций, непрерывных в ñ и удовлетворяющих в Q условию Гельдера с показателем а; f;x|| - норма в банаховом пространстве х элемента fex; / х - пространство, сопряженное банахову пространству х; f, g> - значение функционала fex на элементе дех; f, д) - скалярное произведение в гильбертовом пространстве х;

L2 (fi) - гильбертово пространство вещественных функций, определенных в п, со скалярным произведением f, g)=Jf(x)g(x)dx. Q l (i2) - пространство вещественных функций, определенных на п, с нормой р l/p f; L (Q) || = (J I f (X-) I dx) при 1<р<со И P 2 f, Lco(fi) || = ess sup I f (x) | ; П l (a, /3; x) - пространство (классов эквивалентности) функций f(t), определенных на интервале (а, /з), измеримых, принимающих значения в х и таких, что

13 г i/r

IIf; Lp(a, /3; X)||=(J||f; Х|| dt) <«> при 1<г<ю, a f; l (a, /3; X) || = ess sup ||f; X||<oo при r=oo. Г t€(a,/3) y(a, /3; x) - пространство функций f(t)eX, te(a, /3), норма которых в пространстве х как функция переменной t принадлежит пространству y ((a, 13)); hs(Q) (s - целое неотрицательное число) - гильбертово пространство, пополнение пространства cs(о) по норме f; Hs (fi) || = law a a ' 2 а i а n a +. . . +a =a . . . dx

1 n 1 n

1/2 tfp(a),P>i, банахово пространство функций f(x), определенных на Q, с нормой f; ^(Q)|H|f; L (Q)||+ 2 || -Ц— ; Ь (П) II; i = i i i 1 w (Q) - замыкание г>(П) в норме пространства w (Q);

Р Р г , г w 1 2(Q), ПсК2, - анизотропное пространство Соболева, Р 1 ' Р 2 пространство функций f(x), определенных в и, с нормой г .

I" 2 ^ р'^НЬ 2 (||г; ь (П) ||+||-^-Х; ь (П)||);

1 ' 2 >1 Pj (ЗXГJ Pj

1 , i J 1 2 н (П), псК , - пространство Никольского, см. [26]; Р 1 ' Р 2

ДЛЯ функции £{х х х ), ОПредеНвННОЙ в ПсК3, Гш'к(хз) (т,к -целые) означает къ, х ), где ь=сопз1:>о, (тъ, къ, хз)еп;

X X

1 2 запись дПес2 означает, что граница области п является многообразием класса с2.

В главе I диссертации изложены теоремы существования решения ряда задач гидромеханики неньютоновских жидкостей. Эти результаты получены в работах [59-62] и [71; 72].

Предположим, что и={и^(х, г), и (х, Ь), и (X, t)}, хеК3, -вектор скорости жидкости. Для несжимаемой жидкости уравнения движения имеют вид ди. з ( ди. да. . (и)

К., 1=1, 2, 3, ри. ^----Ыт дх. дх ^^ ' J J сИУ Ц=0, где сг (и) - тензор напряжений в среде, р - плотность среды, к={к , к , к } - вектор массовых сил. 1 2 3 ди. ди. Пусть в . (ц) = -д^- + -д^- ~ тензор скоростей деформаций.

Для степенных жидкостей, динамика которых изучается в диссертации, п- 1 2

О". . (и)=-р*з . +к\-в1 В. 1 I в. (и),

1J * 1J 2 1 к к 1 1Л где - давление, к>о - показатель консистенции среды, о<л<оо,

- символ Кронекера, по повторяющимся символам предполагается суммирование. Если п=1, то о- зависит от в линейно и жидкость называется ньютоновской ( жидкостью с обычными свойствами), при о<п<1 среда называется псевдопластической, при п>1 - дилатантной (средой Оствальда-де Вале).

Если жидкость электропроводна и находится под воздействием внешнего магнитного поля, то уравнения движения содержат, кроме того, члены, учитывающие электромагнитные силы, и к уравнениям движения присоединяются уравнения Максвелла. В результате получается система уравнений магнитной гидродинамики (МГД).

В § 1 главы I введены некоторые функциональные пространства вектор-функций и указаны их основные свойства.

В § 2 рассмотрена система уравнений магнитной гидродинамики степенной жидкости в трехмерном пространстве. В цилиндре

С2=Г2х(о, т) решается система уравнений вида дЬ

-V 2

1 = 1 дх.

3 2

I = 1 3 I и 1 = 1 ди. ди. J р-2)/2 дН, дх. дх. J 1 диддо з

1 дх. ~р . ^ Н1 дх. 1 1 = 1 1 2 ди, ди. к + 1 дх. дх, 1 к

-V

1 р дх. дд Я о

К=1,

Ну а=0,

0.1) гс^ Е=-ДД

ЭЯ о згс^ Я=сг (£7+дд ^ [ ц, ,

31У(ДД Я)= О, о с граничными условиями иих(0,Т)=°' Нл Ьх (0,Т)=0, £г|5х(О,Т)=0' и начальными условиями

0.2) и(х,о) =и^ (х) , Я(х, 0)=Н (X),

0.3)

Здесь н(х, с)={н , я , яз> - напряженность магнитного поля, £) ={Е / я , £3> - напряженность электрического поля, f(x, t)={fi#f2,f3} - вектор внешних сил, jQ (x,t)={jQг, jQ2, j } - заданные токи, д - магнитная проницаемость, до -магнитная постоянная, <т - проводимость жидкости, р связано с параметром п из выражения о- (и) равенством р=п+1,

Р-2

2 , нп - нормальная составляющая вектора я, -касательная составляющая вектра е на поверхности sx(o, т).

Неизвестными в задаче (о.1)-(о.з) являются и, я, е, Введено понятие обобщенного решения этой задачи таким образом, что возможно разделить нахождение и, н и е, рЛ. Пусть 7(П) означает пространство соленоидальных векторов, компоненты о о которых пренадлежат пространству w1(П), a j (fi) р 1 / п пространство соленоидальных векторов, компоненты которых принадлежат а нормальная составляющая на s равна нулю.

Введем оператор а (и) : v(n)->v (Q) такой, что для любой вектор-функции v&v{D.) a{u) , v>=±- / i л 3 г 3 -| (р-2) /2 ? Bij<«>

1, J =1 L1, J = 1

В (U)Bij (V) CÍJT, П и трилинейную форму на множестве соленоидальных векторов з dv. ь(ц, г, ы)= I Ju. V ,dx. l'i=x а 1 1

Определение o.i. Обобщенным решением задачи (0.1)-(о.з) называется пара векторов и, я, заданных в q, таких, о что иеь (о, т; 7(П)), яеь (о, г; j (Q)), и и я удовлетворяют

Р 2 1 / П почти всюду начальным условиям (о.з) и при почти всех te[o, т] интегральным тождествам ' дд a (t), p)+i>(¿(u), ip)+Ь (и, и, <р)- ——Ь(Н, Я, <p) = (f(t), ¥>), дд (Я (t), ^) + -i-(rot Я, rot ^)+дд b(u, Я, ^)-дд Ь(Я, и, 0) = о и оо U'0, rot

О , при любых <p€Lp(0, Т; 7(Q) ), yeL^o, г; ^ (П)); í¿ éL (О/Гуу'сяф

HiéLAv0L ir rn

Теорема o.i. Предположим, что f(x, t)eL '(о, т; v(fl))n г г

Пь (Q), p+p =pp , j {x,t)£L2(q),u {x) принадлежит замыканию в l (п) множества гладких финитных в п соленоидальных векторов,

2 о hq (х) принадлежит замыканию в ь2(П) пространства ji П(П),

Р>5/2. Тогда задача (о.1)-(о.з) имеет обобщенное решение.

Обобщенное решение задачи (о.1)-(о.з) получено методом

Фаэдо-Галеркина с использованием монотонности оператора л(и).

Функции е(х, t) и t) определяются по и и я таким образом, что уравнения (o.i) выполняются в смысле пространства d (q).

В § 3 главы i рассматривается система уравнений двумерного МГД-течения степенной жидкости с условиями дифракции магнитного и электрического полей.

Пусть ndR2, s=dq£с? Q=nx(o, т). В цилиндре q рассматривается система дифференциальных уравнений ди, 2 а ГГ 2 fdu. 5a.i2l (p-2)/2f ди, ди;

2 5 dt " дх

1=1 i Z

L1' J = 1

4J j i k+ i дх. dx, i k

2 ди Щ1 2 dH i я дд Я2 1 и. k--- 2 Я. -з—k=f, - — (рЛх, t)+ ° ) , i дх. р i дх. к р дх, ' ' 2 '

1=1 1 i=i 1 к

К=1, 2, div u=0, (0.4) дН rot Е=-дд

О dt rot Я=о-(Е+ддо [a, H])+j'o, div (дд^Я)=0.

Здесь вектор-функции t)={u (х-, t), u t) >, я(х, t) = = {н (х-, t), н (x, t)}, e(x, t) и скалярная функция t) являются искомыми, вектор-функция f(x, t)={f (X, t) , f (x, t)> и вектор-функция j (*/ t) заданы. Постоянные i»o, p>o, p>2 зависят от реологических свойств жидкости, функции д и о-определяют электромагнитные свойства среды, до - магнитная постоянная, [а, я] = и н -и н . В системе (o.i) rot н={о, о, дн дн i22i

- ^Ль Вектор тока ct(e+uuq[u, h])+jq коллинеарен вектору 1 2 е если (е , е , е^) - баЗИС векторов пространства К3{хг, х2, хз>. Считая, что jQ(x, t)={o, о, jQ3(x, t)>, имеем £(х, t)={0, о, е (х, t)}. В (0.4) отождествляем е(х, t) с е (х, t), j (х,

3 f <Э£ 3 ° t) С j (х, t). При ЭТОМ rot E=J , - of.

2 1 J

Предположим, что п состоит из области п , заполненной жидкостью, твердого проводника Пз и области fi2, являющейся диэлектриком и изолирующей от Q3 и окружающего пространства; s =<эп ее2, s3=(5Q3ec2. Первые три уравнения системы (0.4) должны выполняться в q =п х(о, т), последние три уравнения - во всем q. Так как все среды предполагаются однородными и изотропными, то В Q2=fi2x(0, Г) должно выполняться равенство div Е=0, что автоматически выполнено из-за дЕ/дх =о. з

Будем предполагать, что а=<г при хеп сг=о, х=&2} о-=сг^,хеПз; д=д , xefi ; д=д , xefi ; д=д , xeQ ; сг , сг ><х >0; д>М >0.

1 1 2 2 3 3 1 3 0 о

Кроме того, j (х, t)=о при xen ип .

Система уравнений (0.4) рассматривается при условиях и=0 на S; Я = О, е= О НЭ S; (0.5) дЯ ]=0, [Ят]=0, [Е]=0 на S US / (0.6) где [•] - скачок функции. Кроме того, задаются начальные условия и(х, о)=и (х), н(х, о)=н {х), xefi. (0.7)

Задача (о.4)-(о.7) решается в обобщенной постановке. Для этого вводится пространство п(п) - гильбертово пространство векторов Ф(х) = {Ф (х), Ф (х)у, принадлежащих в п и П2 соответственно классам и ^(п ) и yfl0BJieTB0PHK)I№x условиям div (ц.^ф(х) )=o, xei^, i=l, 2, rot ф(х)=о, xeQ^, [д(х)1(I (x)]=o на s , [^(x)]=o на s , ф (х)=о на s. Скалярное n 1С in произведение в н(П) введем следующим образом:

Ф, х)х(ы = №, х) , +(Ф, х) 1

V1 (Q ) W (Q )

2 1 2 2

Рассматриваются также двумерные аналоги оператора л (и) и формы Ь(и, к, V) , определенных выше.

Определеннее).2. Обобщенным решением задачи (о.4)-(0.7) назовем пару векторов и{х) , н(х), заданных в Q, при чем и(х, t)eL (о, т, 7^)), н(х, t)еь^{о, т, Я(П)), и(х, t) и н(х, t) удовлетворяют почти всюду начальным условиям (0.7) и при почти всех te(o, т) интегральным тождествам дд ц (t), q>)+v(A(u), (р) +b (и (t) , u(t), <Р) - —°b(ff(t), Я( t) , <р) = (f(t) , f) , дд o(H(t), 0) + -l-(rot Я, rot ф)+ццоЬ(и(Ь) , H (t) , ф)-- ДДob(H(t), U(t), l/,)=i-(jo, rot 0) при любых <peLp(o, T, F (Q) ) , феь^о, T, H(Q))

Теорема o.2. Предположим, что р>2, f(x, t)eL '(о, т; 7(£2i))nL2(Q1)t jQ(x' t)^L2(Q)f и0(х) принадлежит замыканию в l2(q) множества гладких финитных соленоидальных векторов, hq (х) принадлежит замыканию в b2(fi) пространства я (П). Тогда задача (о.4)-(0.7) имеет обобщенное решение.

Функция е(х, t) принадлежит при почти всех te(o, г) о пространству (Q) и определяется с помощью равенства -ддоя£= =rot Е(х, t). Давление t)=-pq-^QH2/2, где q<=Dr (П) таково, что

4 „ ди ЦЦ0 | тт дн

-Q^r +vA (u) + I u " - » 2 t) = k=i k k=i k grad q (x, t).

В § 4 изучается стационарная система уравнений магнитной гидродинамики степенной жидкости в К3. При этом предполагается наличие дифракции магнитного и электрического полей, как в предыдущей задаче.

Система дифференциальных уравнений вида 3

-V I i = 1 а ( з 2 Л' У ди. 1 1 ди. j 2 i дх. 1 . j дх. 1 дд 3 о v н. 1 1 дН к 1 д дх. " к р дхк

Р~2 ди. ди. дх. дх, 2 и,ди, хдх. 1=1 1 д ц Я' о к=1, 2, 3,

0.8) div и=О, rotE=0, rot Н=сг (Е+цц [и, H])+j , div(jmx Я) =0 рассматривается в области ndR3.

Смысл величин, входящих в (0.8), указан выше. Будем предполагать, что ix^uf^ui^, причем п заполнена жидкостью, Пз - твердый поводник, Q2 - диэлектрик, изолирующий Qj от Пз и от окружающего пространства. Поверхности s=da, -s =дп , 1=1, 2, з, являются многообразиями класса с2. Величины д и о- на этих поверхностях могут иметь разрыв, как указано в предыдущей задаче.

На поверхностях s, s , sзаданы граничные условия и условия сопряжения

0.9) (0.10)

Пространством будем называть гильбертово пространство векторов \р(х)={ф^ (х), Ф2(х), Фз(х)}, хеп, принадлежащих в п классу (п.), i=i, 2, з, и удовлетворяющих условиям и=о на s ; нп=о, ех=о на s; [дя ]=о, [я ]=о, [е ]=о на s us .

П с с 13 div (ii ^ (х)) =0, xeQ., 1=1,2,3, rot ф(х)=о, хеП^, и(х)Ф (х)]=о на 5 ия ; [Ф (х)]=о на б иб ; ф (х)=о на 5 п з со скалярным произведением (Ф, 2 (Ф, х)^ ^ у

Определение о.з. Обобщенным решением задачи (0.8)-(о.ю) назовем вектор-функции и(х)е7(П ) и н(х)еК(П), которые удовлетворяют интегральным тождествам дд

1>(Л(ч) , <р)+Ь(и, и, <р)о

Ь(Я, Я, ?>) = (f, <р) ,

-i- (rot Я, rot ф)+ nHQb(u, Я, ф)-ццоЬ(Н, и, ф) = -±г (jо,гоЬф) при любых <p(x)€V(n ) , ф{х)еП(Q) .

Основным результатом о разрешимости задачи (о.8)-(о.ю) является следующая теорема. г

Теорема о.з. Предположим, что f{x)&v{Q), j (х) <=L2 (п un ), р>9/5. Тогда существует обобщенное решение задачи (о.8)-(о.ю).

Аналогичный результат имеет место также при п=п и пз=0. В двумерном случае теорема, аналогичная теореме о.з, справедлива при р>з/2.

В § 5 главы i приводятся результаты о разрешимости краевых и начально-краевых задач для системы уравнений гидродинамики степенных жидкостей без учета электромагнитных явлений.

Пусть Qc[Rn, граница s области п достаточно гладкая, в цилиндре Q=Qx(о, т) рассматривается система уравнений р-2 n ( ди. i V + ^ 2 -^г4^-1 К ^ i , j=l k-v т JL dt v дх. 1=1 i

1 dp. ди, 1 2 2 ди, ди .ч k+ 1 дх. дх, к 1 к П (Эи дх. J - 2 . . , п I я к-0 1-1 дх к —1 к ди. , i дх. i=l 1 с граничными условиями и начальными условиями и

Sx(0,Т)

0.11)

0.12) и(х, О)=uq(x), xefi.

0.13)

Вектор внешних сил f (x,t)={f ^ (x,t), fn(x, t)} И UQ(x)= uQ^(x)y считаются заданными, а неизвестными un(x,t)y и являются скорость среды u(x,t)={u (х,t), . давление p*(x,t).

Определение о.4. Предположим, что F(fi), л(и), Ь(и, v, v) означают л-мерные аналоги пространства, оператора и формы, указанных в определении o.i. Обобщенным решением задачи (о. 11)-(о. 13) называется вектор-функция u(x,t)eLp(о,г;у(п^я'фе

L(0,T;7(n)) / которая почти всюду в Q удовлетворяет условию (0.13) и % ' при почти всех te(o, т)удовлетворяет интегральному тождеству u' (t) , <p)+v(A(u), <р) +b (и (t) , u(t), ?>) = (f(t), p) ДЛЯ любой вектор-функции (peLp(0, Т; 7(П)).

Теорема о.4. Пусть p>i+2n/(n+2), f(x,t)eL ' (о,т; г г

7(П)), р+р =рр , "о(х) принадлежит замыканию в ь^ (Q) множества гладких финитных соленоидальных вектор-функций. Тогда обобщенное решение задачи (o.ii)-(o.i3) существует.

Стационарная задача, соответствующая задаче (о. и) - (о. 13), состоит в отыскании в области QdRn таких u(x)={u (х), ., и (х) Ь р. (X), что

V I л дх. i=l i п 1 i/j = i ди. ди х + J t) дх . дх. J

P* р-2 ди, ди. k + i дх. дх. п + 2 и ди, i к-n ди. i дх. 1=1 i дх. К=1, 2, п; к=1 0

0.14) И и15=0 (0.15)

Обобщенным решением задачи (0.14), (0.15) называется вектор и(х)€7(£2) такой, что при любом <реУ№) выполняется равенство г>(А(и), <р)+Ь (и, и, = <р) .

Теорема 0.5. Если г(х)еУ {П) и р>зп/(п+2), то обобщенное решение задачи (0.14), (0.15) существует.

Следующие четыре главы диссертации посвящены математическим задачам теории пограничного слоя степенных жидкостей как в обычной, так и в магнитной гидродинамике. На основании гипотезы Прандтля о том, что пограничный слой очень тонок, давление поперек него неизменно, а движение жидкости внутри слоя происходит преимущественно вдоль обтекаемой поверхности, из системы уравнений вида (о.и) для описания течения жидкости в пограничном слое может быть выведена более простая система уравнений (см. [22], [85], [87]), называемая системой уравнений пограничного слоя.

В случае двумерного течения система уравнений пограничного слоя степенной жидкости имеет вид ди +4%L+Vdu=v д dt дх ду ду du , dv ди n1 ди ) ду ду \ 0 дхду (0.16) и рассматривается в области D={o<t<œ, о<х<х, о<у<со>. Здесь u(t, у)> v(t, х, у) - компоненты скорости жидкости в пограничном слое,, v-h/p, u(t, х) - заданная продольная компонента скорости внешнего потока, связанная с давлением p(t, х) соотношением

U+UIJ =-р /р. t X X

Система (о.1б) рассматривается с начальными и граничными условиями вида u(t, х, y)-»L/(t, х) при у-*со, (0.17) где функции uq и vq считаются заданными.

В § 1 главы il приведены предложения, которые для последующего имеют вспомогательное значение.

В §2 изложена теорема существования и единственности решения стационарной системы уравнений пограничного слоя псевдопластической жидкости в случае симметрического течения. Эти результаты получены в [41], опубликованы также в [38, 42].

Для стационарного плоскопараллельного симметрического течения система уравнений пограничного слоя имеет вид ди

71-1 д ду\ ду ди dv дх дх ди\ ди ди xdU(x, -u—-v~- = -U{x)—0 < п < 1, ду) дх ду dx ^.18) и рассматривается в области D = {0 < х < X, 0 < у < оо} при условиях 0, и\у=0 = 0, v\y=Q = ^о, и(х,у) ооприу оо, (0.19) причем U(0) = 0, U(x) > 0 при х > 0. п

Предположим, что U(x) = xV(x), V(x) > 0, v${x) = xn + ^vi(x), V(x) и v\{x) - ограниченные функции. В задаче (0.18), (0.19) перейдем к новым независимым переменным = х, r¡ — u/U и введем новую неизвестную функцию п — 1

Ш= \иу\п-1иу/{хП + 1и).

В результате система уравнений (0.18) с условиями (0.19) сведется к уравнению

1 — п 1 + п ипУ п |ги| п у)щ - + Аш^ + Вы = 0 (0.20) в области П = {0 < £ < X, 0 < г] < 1} с условиями

Щг) =

1 = 0, (z/«;|w;|(1-n)/X - ui(0H4(1n)/n + С) |„=i = 0, (0.21) А = (г]2 - 1){V + £VX), В = т] + СК) , С = V^-W^iy + £VX).

Задача (0.20), (0.21) решается методом прямых. С помощью ее решения (/(С, 77) строится решение задачи (0.18), (0.19). В итоге получается следующий результат.

Теорема 0. 6. Предположим, что и{х)=х{а+ха ^ (х)), уо (х)=

П~ 1 П+ 1 а ix, х (Ь+хЬ^(х)), а=сопз1:>0, Ь=сопз1:, и>0 при х>0, а а , ь , ь ограничены, и >о при о<х<х. Тогда в области о,

1X X 1 IX X где х зависит от и, V п, существует единственное решение и, V задачи (0.18), (0.19), которое обладает следующими свойствами: п- 1 п -Ти >0 при у>о и х>о; и/и, и /х п 1 и ограничены и непрерывны в у У п-1 п —+—

I); и>О при У>о И х>0; и->и при у-»со; и /X п 1 17-»0 При у-»«; и , у х ыу' иуу 0ГРаничены и непрерывны в о; у непрерывна по у при х>о в Ъ, непрерывна по х и у внутри с и ограничена при ограниченны п-1

- 2-П у и х>о; и и и непрерывны в к; и /хп 1 и у ууу ^ ^ уу у непрерывно по у в Б. Имеют место неравенства п~1 2 п п~1 2 п

М X П+1 17(< ип< М X п+1 С7(1-4)П+1,

1 и у 2 и '

П-1 П+1 П~1 п+1

1-П --—,-;—Т 1 П п(п+1) --п~1 п(п+1) --П~1

Мзх и п у+1) х и п у+1)

М .=сопб1:>0, 1=1, . . . , 4.

В § 2 гл. и рассмотрена задача о продолжении пограничного слоя псевдопластической жидкости, в нем изложены результаты работ [43, 44]. Система уравнений (0.18) решается при условиях и' х-0=и0 (У) ' и]у=о=0' у1у=0=у0(х) > и->и(х) Приу^с», (0.22) причем и(х)>о при х>о и ио(о;=о, ио(у)>о при у>о. Физический смысл этой задачи в том, что распределение продольной составляющей скорости и (у) при х=о продолжается на отрезок [о, х], соответствующий определенному участку обтекаемой поверхности.

С помощью замены независимых переменных -п=и/и и

П~1 неизвестной функции и^/и, обобщающей замену переменных

Крокко (см. [22, 27, 85]), задача (о.18), (о.22) приводится к одному квазилинейному уравнению

1~П 1 + п п п

1?пи \у\ V -771/1/^+ (V2-1) ииг --ци ьг=0 (0.23)

7)7] 1 £ 4 1 ' 7) 1 х

В Области П={0<£<Х, 0<7)<1} с условиями

VI,. 1п1и . . =0 (0.24)

0 оу оу/17=1/о (71) , у '

1 —П 1П П-1 гпг\ъг\ п V -V 1/11/1 п +13 п ¡7)1

V О X 7}= О

Решение задачи (о.23) (0.24) рассматривается в обобщенном смысле.

Определение о. 5. Обобщенным решением задачи

0.23), (о.24) называется ограниченная измеримая функция т)), положительная при о<£<1, имеющая обобщенную производную V (?,т])еь (£2) и удовлетворяющая интегральному 11 2 тождеству

1 - п vlJ п игр —циФг -- +(Г12-1)и Ф — . + 1 Ут х/п ^ ' хгТ1 1 / п

О V V

1 - п п-1

V 7] = О £ = 0 I/ при любой дважды дифференцируемой функции т?), такой что, ^'трп^0' «Ут^сГ0'

Обобщенное решение задачи (о.23), (о. 24) получается с помощью метода прямых. Как следствие получен результат об однозначной разрешимости задачи (о.18), (о.22).

Теорема 0.7. Предположим, что функция и{х) непрерывна при о<х<х, и (х) непрерывна по Гельдеру и г (х) непрерывна при

X О о<х<х, и (х) >сопз"Ь>о. Предположим также, что и (у) непрерывна

X О при 0<у<со, ио(0)=0, ио(у)>0 при У>0, и (У)-»С7(0) ПрИ у->со производная ио (у) непрерывна при о<у<оэ, ао >о, и выполняются неравенства

2 2

1/п 1/п и . . п+1 1/п 1/п и (у) П+1

К! у (0) (1~ иго) ^ ^иоу(у)£К2 и Г(оГ} ' существует обобщенная производная и (у) такая, что с 1 -п оуу

2 ( —т— )

00 гг 1+П

2п-3 2 и и и (1—£.) б.у<со. Тогда существует обобщенное о 0у 0уу решение и(х,у), у(х, у), задачи (о. 18), (0.22) в следующем смысле: и(х, у) измерима, ограничена и непрерывна по у в о ,и>о при у>о, и=о при у= о; и^(х,у) ограничена в и, выполняются неравенства

1/п 1/п 2/(п+1) 1/п г/п 2/(п+1) кпи ^-тт) и

1/п (1-п)/п (п+1)/(п-1)

-[/(1+к -тх^^7 У)

1 2 1+п ' п (1-п)/п (п+1)/(п-1)

17-11 (1+К у)

1 1 1+п существуют обобщенные производные и к и , причем

У У У У У

• 1 -П X

2п-3 2 ( - )

Яиу и (1 « , 1+П п уу и

6 2П пи и +п(п-2)и 2 ууу ууу Б

74"п и йхйу<са\ у у(х,у)~ измеримая в о функция такая, что

П + 3 П- 1

§§у(х,у) (1+у) С?Х(5у<оо. С

Уравнения (о.18) и граничные условия (о.22) при х=о и у=о выполняются в смысле интегральных тождеств

1 -П и Ф -ю и 1-п —

С С 7 77 7 77 и2 Фу п

ГГ[1'V —--и<р и п ) —¿и и + иу2~п х и2 иу Х

1 -2П т, 2 г Т --Л 1 - п со

ТТ П п и(р и^ ] ахау-¡и П (Х)1р(Х, 0)7 (Х)бХ~¡и (у) (р (О, у)х о о

1-П хи п (0)с?у=0, оо

П - 1 U ff(vnu и ip+ <р -vu <p+UU ip) dxdy+J—°4р-<р(0, y)dy =0

D j УУ при любой функции <р(х,у), имеющей в d непрерывные ограниченные производные <р , <р , <р , и такой, что х У УУ п+ 1

Р(Х,У)= 0, <ру(х, 0)=0, \<р{х, у) |<К13(1+К14У) n1 При у-»со.

Решение и, v задачи (о.18), (0.22), обладающее указанными свойствами, единнственно.

В §§ 4, 5 главы Ii изучается система уравнений пограничного слоя дилатантных жидкостей. Излагаются результаты,

ОПубЛИКОВаННЫе В [51, 53, 55].

В § 4 рассматривается система уравнений вида д /I du |n1 du . du du гт du ^ ^

V -5- ( —5— -д— ) -U -ä- -V -3---U —5- , 1<П<ОЭ, ду Ч ду I ду ' дх ду dx

Ju,dv^=n (0.25) дх + ду '

В области D={ 0<х<Х, 0<у<оо} с условиями и (0, У)=и (у), и{Х, 0) =0, v{x, 0)=v (х), U-^U(X) при у^оо. (0.26) Как обычно, и(х), uq (у), vq (х)-известные функции, uq(o)=o (у)>0 при У>0, и(х)>о при Х>0.

Система уравнений пограничного слоя дилатантных жидкостей л>1), в отличие от рассмотренной выше (o<n<i), имеет ряд особенностей: классическое решение этой системы уравнений может не существовать даже при бесконечно гладких данных задачи, кроме того, при некоторых условиях существует постоянная уо>о, такая, что при y>yQ выполняется равенство и(х, у)=и(х). Это приводит к необходимости рассматривать обобщенные решения задачи (о. 25), (о, 26).

Предполагаем, что uq(o)>o, uQ(y)^u(o)^o при у->ш, их(х) и vQ(x) непрерывно дифференцируемы при хе[о, х]; и (у), и (у) / / uq (у) ограничены при о<у<со и удовлетворяют условию Гельдера; выполнено условие согласования в точке (о,о):

П-1 <1и.

-Г~~Уо (0) -^Г-+и(0)их{0)=0(у2) ПРИ У">0с1у *

Рассмотрим задачу (о, 25), (0.26) в форме Мизеса (см. [22,

28, 85]). Для этого сделаем замену переменных х=х, Iр=ф(X, у) и введем новую неизвестную функцию ф)=и2(х, у). При этом

Ф(х, у) такова, что и-дф/ду, у=-дф/дх+уп(х), ф{х, 0)=0.

УП йи с ау

В результате задача сведется к уравнению V п-1 д<р ду п~г д\у д<р д(р д\V , .

- — -v (x) дх ок ' +2и^-= О дф йх в области п={о<х<х, о<ф<оо} с условиями

1/(0, \у{х, 0) =0, \/{х, ф)->иг(х) при 0-*»,

0.27)

0.28) где ^ и0 (п)ат])=и2о (у). о

Определение о.б. Обобщенным решением задачи (о.27) (0.28) в области о называется неотрицательная ограниченная и непрерывная вТ5 функция г(х, <р), имеющая ограниченную обобщенную производную д\у/дф, локально суммируемую производную диг/дх, удовлетворяющая условиям (0.28) и интегральному тождеству

00 X ;;

V дьг

2П-1 дф

П-1 д\у д<р дф дф

У\у дх а V (х) диг , о4 '

Р+ о о

У\у ду дф

9 ~

2ии

7Г"

1хс1ф=0 при любой непрерывной в п функции <р(х, Ф), имеющей ограниченную производную д<р/дф и равной нулю при Ф=о и при Ф>Фо>о (постоянная Фо зависит от <р(х, у)).

Обобщенное решение задачи (0.27), (0.28) получается кг предел последовательности решений краевых задач для квазилинейных пораболических уравнений. Доказывается, что при указанных выше условиях, которым удовлетворяют функции и(х), г (х), и0(У)> обобщенное решение задачи (о. 27), (о,28) существует. Особое свойство решений системы пограничного слоя дилатантных жидкостей, в отличие от псевдопластических и ньютоновских, устанавливается в следующей теореме.

Теорема о. 8. Пусть и(х ), (*), и (у) удовлетворяют ранее наложенным условиям, а также соотношениям ил(х)>о, / 2 го(х)<о, ^о(ф)>о, V (ф)зи (о) при Ф>Фг>о. Тогда существуе' такое что при обобщенное решение задачи (о.27),

0.28) удовлетворяет равенству к{х, \р)=иг(х). Решение, обладающее указанным свойством, единственно.

Вопрос о единственности решения задачи (0.27),

0.28)(естественно, что и задачи (0.25), (о.2б)) в общем случае не решен.

Теоремао.9. Предположим, что "0(У)>о при у>о, ц (о)=о, / и (о)>о, и (у)-»[/(0)^0 при у-^со, и (х) >0, и (х) иг (х) непрерш о о ^ о ' ' но дифференцируемы при хе[о;х]; и (уЬ « (у) / и (у) ограничены прт о<у<со и удовлетворяют условию Гельдера; выполнено условие согласования в точке (о, о) 2 с1и п-1 с[ и с1и vt1 о щ2—-vq{0) -g-^- +U(0)XJx(0)=0(y^) при у-»о. у

Тогда при некотором х в области в существует обобщенное решение и(х, у), у(х, у) задачи (о.25), (о.2б) в следующем смысле. Первое уравнение системы (0.25) выполняется в смысле интегрального тождества ди п"х

JJ> d

Щ-^Г-^Г <Р~Щ£ <p)dxdy=0 ду при любой непрерывной в в функции <р{х, у), имеющей ограниченную производную ч> (х, у) и равной нулю при у=о и достаточно больших у; и(х, у)- непрерывная в в функция, положительная, имеющая в d ограниченную производную ди/ду, ди/ду>К=сопэ^О при 0<У<У0; ди/дхеЬ^00(О), У(х, у)€1^ос(0), ди/дх и V непрерывны при у= о; второе уравнение системы выполняется почти всюду. Граничные условия (0.26) выполняются в обычном смысле, и(х, у) ->и (х) при у->со равномерно относительно хе[о, х]. В случае и^о и уо(х)<о или их(х)>о решение существует при любом х>о. Если дополнительно предположим и>о, у (х)<о, и (у)=и(о) при у>у >о, с 0 0 1 то существует такое у2*у1, что при у>у2 имеем и(х,у)=и(х) и такое решение единственно.

В пятом параграфе решается задача о пограничном слое дилатантной жидкости в окрестности критической точки, т. е. система уравнений вида (о.25) рассматривается с условиями ц(0, у) =0, и(х, 0)=0, У(Х, 0)=Уо(х), и{х, у)-^и(х) при у-^со, (0.29) [7(0) =0, и(х)>0 При х>0.

Эта задача решается методами, близкими к тем, что применялись в предыдущем параграфе. Основной результат заключается в следующей теореме.

Теорема о.ю. Предположим, что функции и, и и , V <о, V непрерывны при о<х<х, и(о)=о, и (х)>о при о<х<х,

X X О О X X х)|<мох2п~! м=сопэ^о.Тогда существует обобщенное решение и(х, у), у(х, у) задачи (0.25), (0.29), обладающее следующими свойствами: и, V удовлетворяют уравнениям системы (0.25) почти всюду, а непрерывна в области о , V квадратично суммируема на любом компакте в и, и(х, о)=о, и(о, у)=о, и(х, у)->и(х) при у-*», 0<и <М , М =сопб-Ь>0, и >0 при у=0 и х>0, и>о при х>0 и у>0,

У 1 ( П - 1 ) / 2 У функция квадратично суммируема по любому компакту в г>, и квадратично суммируема по любому компакту в о. Если 1<п<2, то иуу суммируема с квадратом на любом компакте в с; при любом х^>о и о<х^<х<х функции и^ и V непрерывны при у=о и г(х, о)=г0(х)- При у>м2, М2=сопз1:>о, выполняется равенство и(х, у)=и(х). Указанное решение задачи (0.25), (о 29) единственно.

В главе ш изучается система уравнений МГД- пограничного слоя степенных жидкостей. Соответствующая система уравнений получается путем упрощения уравнений (0.1) или (0.4) на основе гипотезы Прандтля. При этом система уравнений имеет наиболее простой вид, если течение плоскопараллельное, а внешнее магнитное поле перпендикулярно обтекаемой поверхности (см. [15; 23]). Кроме того, в этом случае можно применять к решению задач методы и результаты предыдущей главы. В третьей главе излагается, в основном, содержание работ [47, 48, 50, 52

54, 65].

Рассмотрим плоскопараллельный пограничный слой степенной электропроводной жидкости на изолированной поверхности при наличии электромагнитного поля. Предполагаем, вектор магнитной индукции В перпендикулярен обтекаемой поверхности, вектор напряженности электрического поля Е перпендикулярен 1В и направлению продольной составляющей скорости среды в пограничном слое. Если координата х направлена вдоль обтекаемой поверхности, у - по нормали к поверхности, а ось 2 перпендикулярна плоскости течения, то Е=(о, о, е) , 1В=(о, в, о). В безындукционном приближении система уравнений пограничного слоя проводящей степенной жидкости имеет вид дх ду р дх р ду v ди ду

П- 1

--?-в(ив-е), ду ' Р ди/дх+ду/ду=О.

Здесь и и V- составляющие скорости жидкости в пограничном слое к>о и л>о-реологические константы среды, р- давление. Величины р, в, е считаем заданными функциями переменной х. Пусть и(х)~ продольная составляющая скорости среды на внеш/ней границе пограничного слоя. Тогда из первого уравнения системы можно исключить давление и компоненту электрического поля при помощи соотношения

3х р йх р р

Обозначив к/р=у и сгв2/р=о2, получим систему уравнений вида

П- 1 дх ду (1х ду к ду I ду ' х ди/дх+ду/ду=О (О.ЗО) которые рассматриваются в области с={о<х<х, о<у<оо> с граничным условиями о=0' и1х=о=ио{У)- и*и{Х) ПРИ и (у) и го(х)-заданные функции. (0.31) Рассмотрим псевдопластическую жидкость, т. е. о<п<1„

Пограничный слой будем рассматривать в окрестности критической точки, т. е. предполагаем ¡7(0) =о, и(х)>опри х>о, и (у)=о.

Т е о р е м а о. и. Предположим, что■ и(х)=х(а+ха (х)), п-1)/(п+1)

Уо(х)=х {Ъ+хЬ^(х)), Б (х) =б.+хб. ^ (х) , а=сопз-Ь>0,

Ь=сопз1:, <3=сопз1:,г7>0 при х>0, а , а , а , Ъ , Ъ , <3 , <3

1 ix 1xx 1 ix 1 ix непрерывны при о<х<х. Тогда в области о, где х зависит от и, V б, п, V, существует единственное решение и, V задачи (о.зо), (0.31), которое обладает следующими свойствами: иу>о п-1)/(п+1) при у>о и х>о; и/и, и /х и ограничены и непрерывны в п-1)/(п+1) и>0 при у>0 и х>0; и^и при у-к»; и^/х и^О при у->со; и , и , и ограничены и непрерывны по у в с? и непрерывны по х х У УУ и у в с; V непрерывна по у при хг>о, у>о, непрерывна по г и у в с и ограничена при ограниченных у и х>о; иху и непрерывны в в; и у/х^'1 1 (п+1) "непрерывно по у в в. Справедливы неравенства п~ 1 хп+1 [/У(и/и)ехр(-к1х)<иуп< -^-^-^иу(\1/и)ехр(к2х) , (0.32; где У(т})~ решение дифференциального уравнения упа(1-п)/пУ(п+1)+[ (^^2-l)a+(77-l)d2]У7í-(^^2na/(n+l)+d ) У=0 на отрезке о<т?<1 с условиями

1/П 1/П (П 1)/П 2 • п

У(1)=0, (иУ +а (а+с? ) ) I ТГ7=0 , (ехр (К^х/л) 1"п-1) / п (П+1) у (1 ~п) /пу+1) (п+1)/(п-1)£ <1-а/[7<(М11/п-^-ехр(-К1х/п))х (п-1)/п(п+х) х х[7(1-п)/п (п+0 / (п-1) м к положительные

12 1 2 постоянные.

Следствием неравенства (0.32) является асимптотическое равенство иуп=х(п-1)/{п+1)и¥(и/и)+0(и(х)У(и/и)х2п/(п+1)) при х^о. Так как касательная составляющая т напряжения вязкого трения на поверхности обтекаемого тела равна \?риуп(х, о), то

Т=^(п"1)/(п+1)17(Х)У(0)+0(С7(Х)У(0)Х2п/(п+1)), Х+О. Нестационарное плоскопараллельное симметрическое течение проводящей псевдопластической жидкости в пограничном слое при наличии поперечного магнитного поля описывается системой уравнений вида du , du , du dU ,тт ди , д v = -ЯГ- +U ^Г +V "Я7Г ( dt дх ду dt дх ду n- 1 ,„ 2 ди ду ду ди )+D (и-и), du/dx+dv/dy=0, 0<п<1 (0.33)

В Области G={0<t<co, 0<х<Х, 0<у<оо} с условиями "lt=0=UQ(x, У), и\х=о=0, v\y=o=VQ(t, X), U->U(t,X) при У-»00. (0. 34)

Здесь u{t, х)- заданная продольная компонента скорости внешнего течения, u(t, о)=о, u(t, х)>о при х>о; D(t, х)заданная функция, зависящяя от электромагнитных свойств среды и данного магнитного поля; у>о-постоянная, зависящяя от консистенции и плотности среды; uq и v - заданные функции.

Задача (о.зз), (о.з4) решается в более общем случае, чем задача (о.зо), (o.3i). Это касается характера поведения функций u(t, х), v (t, х), d(t, x) в окрестности точки х=о

Будем предполагать, что u(t, x)=xmv(t, x), v(t, x)>o; D(t, x)= m-1)/2 (2mn-n~m)/(n+1) x W(t, x) , VQ(t, x)=x У (t, X) , V, M, v -ограниченные функции, V(t, 0)=a=const>0, v (t, 0)=b=const,

W(t, O)=d=const.

Лемма. При (3m-i)na/(n+i)+d2>o дифференциальное уравнение 1 - n) /П ( 1 + n) /п 2 vna Y Y +((7] -1) ma+ (-q-1) d2 ) Y

7)7) v 4 1 ' K ' ' ' 7)

- (Г1 (Зт-1) па/ (n+l)+d2) Y= 0; на отрезке o<7)<i с условиями l/n l/n , , . n

Y{ 1)=0, (vy Y-T]~bY +a n(ma+d2) ) [ 77=0 имеет решение, обладающее следующими свойствами: иг (i-7i)2n/(n + 1)<y<M2(i-7))2n/(n+l),

-M (1-77) (n-l)/(n+l) (1-71) (n-l)/(n+l)

3 7} 4

-M <Yl/nY <-M , 5 7)7] 6

M.=const>0. 1

Теорема 0.12. Предположим, что £/(«:, х)=хт(а+ха (г, х)), ш-1)/2 . . . .

Л(С, х)=х (й+хй^С, х)), к^ (С, х) =х(2тп-п-т)/(п + 1)х х(ь+х-ь х)), т>о, а (е:, х) и с? х) имеют ограниченные производные второго порядка, ь (*:, х) имеет ограниченные производные первого порядка, (Зт-1)ла/(п+1)+32>0 в с; и у) такова, что функция удовлетворяет условиям

V имеет непрерывную производную по V при о<т?<1^ Y7lexp(Mloa^o7l<Yvexp(-Mlla, -Их [1"п) > п (0 , х)

Л(0, С 7})^о71+В(0/ С,

У10 1/п1/ -V V 1/п+С) = 0 при Т/—0 И х=0, 4 о от] ; 10 ' г

ГДе Л=(т)2-1) + £=-7} (Зт-1) п7/(п+1)

-7 /7-И'2,С=7(п~1) /п(т7+£7 +7 /7+Й^2 ) . л I XX.

Тогда при некотором х в области б существует и единственно решение и, г задачи (о.зз), (0.34), удовлетворяющее уравнениям (о.зз) почти всюду и обладающее следующими свойствами; и>о при у>о, и->и при у-*о, иу>о при у>о; и/и, иуп/х-(2тп~п~т)/(п+1)17 ограничены и непрерывны в с, иу->о при у-*»; их, и , V- ограничены и непрерывны по у в б; к непрерывна по у при х->о, у>о и ограничена при ограниченных у и х>о. Выполняются неравенства х(2тп-п-ш)/(п+1)[7у(и/г7)ехр(к хНип

2тп-п-т)/(п+1)цу(и/и)ехр(К^х), К.=сопз1^0, / , К X (2тп-п-т)/п(п+1) (1-п)/п (п+1)/(п~1) м2 и

- К х (гшп-п-ш)/п(п+1)

1--¥—<(М ехр (--— )х х и 4 1 1+п ^ ^ п ' х17 у+1) ' '.

Заметим, что теорема (0.12) гарантирует существование решения задачи (о.зз), (0.34) на интервале о<*ка> при условии (зш-1) па/(п+1) +<52>о. Это условие обеспечивает выполнение неравенства (зт-1)п7/(п+1) +иг2>о при хе[о, х] и достаточно малом х. Последнее неравенство означает, что достаточно сильное поперечное магнитное поле исключает отрыв пограничного слоя. В первом параграфе третьей главы приводится также теорема о-решении стационарной задачи, соответствующей задаче (о.зз), (0.34), аналогичная теореме 0.12. Эта теорема доказана в [543 при условии х (и^+Б2) + (2тп-п-т) [// (п+1) >0.

Далее в главе ш излагаются результаты относительно системы уравнений МГД-пограничного слоя дилатантных жидкостей. В 8 2 рассмотрены автомодельные решения уравнений пограничного слоя. При изучении движения дилатантной жидкости в пограничном слое было обнаружено, что в некоторых случаях изменение продольной составляющей скорости происходит в пространственно локализованной области. Это же явление имеет место и в пограничном слое проводящей дилатантной жидкости в поперечном магнитном поле.

В безындукционном приближении ситема уравнений пограничного слоя проводящей степенной жидкости имеет вид дх ду йх р ду к\ ду I ду ' р к ' ' ди 1<п<со. (0.35) дх ду

Уравнения (о.зб) рассмотрены с граничными условиями и(0, у) =0, и(х, 0)=0, у(х, 0)=0, и(х, у)->и(х) при у-*», (0.36) что соответствует случаю симметрического пограничного слоя.

Предположим, что и(х)=схт, с=сопб оо, т=сопзг, ш- 1 в(х) =ьх 2 , ь^сопв-ь. При этих предположениях задача (о.зб), (о. зб) автомодельна и форма ее решения зависит от значения параметра г=(2п-1)т+1>о. + \ 1/(п+1)

Если г>о, то полагая т)=ухт~г/кп г;[гс2пр/л(п+1)К] и и(х, у) =и(х)г (-л), для £{т]) из (о. 35) получаем уравнение вида п~1/" +г/+/3(1-/ 2) +N(1-/ ) =0, (0.37) где /3=т(л+1)/г, Ы=(п+1)(тЬ2/Ср>0, с условиями

Г(0)=0, / (0)=0,

Г (т?)-> 1 при тноо. (0.38)

Кроме того, из физических соображений следует / /

7])->0 при Т)^00.

Теорема 0.13. Пусть Г(т])-решение задачи (0.37), (о.з8) и £"(т])->с(л) при т?-*». Тогда с(п)=1. Существует а , *>+! г б П+1

- п-1 1 л ( 1+4/З+ЗЛГ) -1 такое, что г (а*)=1 и, значит, / (т))=1 при 7?>а*. При п->а имеем ' (ч)-»о, если 1<п<2, /"(т})-»-г(а*), если п=2, и / "(т?)-*», если п>2.

В случае г=о вместо (0.37) получаем уравнение

I п~1/"-р(1-/ )=0, (0.39) где /3=1/(2п-1), Ы=(тЬг/Ср.

Теорема о.14. Если г (-л) -решение задачи (о.зэ), (0.38), то существует и*, г п+1г 6 п П+1

17 - п-11 п(4/3+3//) -1 такое, что г(т)*)=1 и г (т?) =1 при т}>7)*. Производная г (-л) в случае г=о непрерывна при любом п>1.

Далее, рассматривается задача продолжения МГД-пограничного слоя дилатантной электропроводной среды. Система уравнений

- % ^ < I -371'п~:' >« <*> « <*> =0, 1<п<» (0.40) решается в области (?={о<х<х, о<у<со} при условиях и (0, у) =ио (у), Ц(х, 0)=0, О)=ко(х), и(х, у)->и(х) при у-*». (0.41)

Эта задача аналогична рассматриваемой в §.5 главы и и решается теми же методами.

Теорема о.15. Предположим, что ио(у)>о при у>о, и0(У)= и (о)>о, ио (у)^и(о)*о при у-» оо, и(х)>о; в2 (х) и го(х) непрерывно дифференцируемы при хе[о, х]; "0(уЬ и0(УЬ

9 > а (у) ограничены при о<у<со и удовлетворяют условию Гельдера; выполнено условие согласования в точке (о, о) п-1 ,, ,

УП|ио(у)| ио (у) -V о (0) и (у)+1>2(0) (и(0)-ио(у))+и(0)Г7х(0)=0(у2) при у-»о.

Тогда при некотором х>о в области g существует обобщенное решение и(х, у), v(x, у) задачи (0.40), (o.4i) в следующем смысле:

1) и(х, у)-положительная при у>о, непрерывная в g , ограниченна. loe — функция, v{x, y)eb2 (G) и непрерывна по у в g ;

2) существуют обобщенные производные ди/ду, ди/дх, dv/dy, производная ди/ду ограничена;

3) функции и и v удовлетворяют интегральному тождеству л л. i ди in1 ди дФ , ди . ди

ЯН I ~ду~ -щг 9+7 g

-D2(x) (U-u)<p-U-~<p)dxdy=0 при любой непрерывной функции <р{х, у), имеющей ограниченную производную vy{x, у) и равной нулю при у=о и у>у(<р), (у(?>)-положительная постоянная, зависящая от <р(х, у));

4) функции и и v почти всюду удовлетворяют второму уравнению системы (0.40).

При этом решение задачи (0.40), (о.41) обладает следующими свойствами: ди/ду>к>о при o<y<yQ, где уо достаточно мало; loe ди/дхеь2 (G), ди/дх и v непрерывны при у=о по у; и{х, у)-*и(х) при у-»со равномерно на отрезке [о, х]. В случае и >о и v (х)<о

X О или ux(x)+d2(х)>о решение существует при любом х>о. Если и >о, vq(x)<o и uq(y)=u(о) при у>уг>о, то существует такое y^y > что при у>у2выполняется равенство и(х, у)=и(х) и в этом случае решение единственно.

В § 4 главы ш система уравнений (0.40) рассмотрена е области g={o<x<x, о<у<со} с граничеными условиями и(х, о)=о, u(0, у)= О, v(x, 0)=VQ(x), и(х, y)*U(x) При у->со, (0.42) что в предположении и{о)=о сответствует пограничному слою с критической точкой х=о. Получен следующий результат.

Т е о р е м а о. 16. Предположил, что функция и, и , ихх, V (х), V (х), г>2(х), (б2(х)) непрерывна при о<х<х, и{о)=о,

О О Л Л

2П-1

17 (0)>0, их(х)+Иг (х)/2>ао>0 при 0<х<Х, ~М0Х <Уо(х)<0, мо=сопб-ь>о. Тогда существуют функции и(х, у) и у(х, у), которые имеют обобщенные производные, входящие в уравнения (0.40), удовлетворяют уравнениям системы (0.40) почти всюду и обладают следующими свойствами: и непрерывна в "с ; V квадратично суммируема на любом компакте в б; и(х, о)=о, и(х, у)=о, и(о, у)^и(х) при у-»со; и>0 при х>0 и у>О; О<и^<Ксопэ^О; О при у= о и х->о; и квадратично суммируема по любому компакту в с; и^и у) непрерывны по у при у=о, о)=го (х) при о<х<х

При где со>о-постоянная, зависящая от данных задачи и х, выполняется равенство и=и(х). Если б2(х)/и2п+1(х)>а1>о, то постоянную с^можно выбрать не зависящей от х. Решение задачи (0.40), (0.42), обладающее указанными свойствами, единственно.

В главе iv для системы уравнений пограничного слоя степенных жидкостей рассматриваются такие задачи, в которых кроме граничных условий задаются некоторые условия на кривой или поверхности внутри области, в которой задана система уравнений. Эта кривая или поверхность является границей раздела двух сред с различными свойствами, а условия, задаваемые на ней, выражают непрерывность некоторых физических величин, например, скоростей среды, вязких напряжений и др. Сама граница раздела двух сред может быть известной и тогда мы имеем задачу типа дифракции. Если же эта граница неизвестна и подлежит определению в процессе решения задачи, то эта задача подобна задаче Стефана. Рассмотренный круг задач возникает, например, при изучении процесса смешения двух контактирующее жидкостей (см. [27]) или при постановке "завесы", изолирующей поток жидкости от обтекаемой твердой поверхности ([5, зб, 83, эо, 95]). Одна из таких задач рассмотрена в работе [78].

В первом параграфе гл. iv изучается задача о слое смешения ньютоновских жидкостей с различными реологическими свойствами. Излагаются результаты, опубликованные в [49, 57, 68].

Предположим, что граница потоков совпадает с прямой у= о. В этом случае движение жидкости в области б -{о<х<х, о<у<+со} описывается системой уравнений и и и =1? и -р /р , и =0 (0.43)

1 IX 1 1у 1 1уу х 1 IX 1у с граничными условиями

1^(0, у)=и10(у), 0) =0, иг(х, у)-»!/^*) При у->+со, (0.44) где и (х, у), V (х, у)-компоненты скорости жидкости, V >о-вязкость р -плотность жидкости в первом потоке.

В области б ={о<х<х, -оо<у<о> распределение скорости задается системой уравнений и и +у и =у и -р /р , и +г =0 (0.45)

2 2 X 2 2 у 2 2 уу X 2 2Х 2у с граничными условиями

2(0, У)=и20(У), гг(х, 0)=0, иг{х, у)*и2(х) При у->~со, (0.46) где и (х, у), V (х, у), V >0, р -соответственно компоненты 2 2 2 2 ■> скорости, вязкость и плотность жидкости во втором потоке. При этом функции и^(х)>о, и2(х)>о, и (у)>о, и2о(у)>о считаются 2 заданными. По закону Бернулли р и (x')+2p(x)=const, 2=1, 2. Е рамках теории пограничного слоя давление поперек слоя смешения

2 2 не изменяется, и поэтому Р1и1(х)~Р2и2Условие п о)=у2(х, о) =о получено вследствие предположения, что у=о-разделяющая линия тока. При у=о задаются условия сопряжения и^х, о )=и2(х, О), (0.47)

Р1Р1игу(ХГ' 0)=У2Р2и2^Х' 0)* (0.48)

Будем предполагать и1о(у)>о, и2о(у)>о, и (у)-»и (0) при у-*»,

20 (У)->и2 (°) при у-»-«,. Функция Рх(х) непрерывно дифференцируема, и1о(у), и (у), и'10(У) ограничены при о<у<+оо / // удовлетворяют условию Гельдера, и (у), и (у), "(у)

2 0 2 0 2 0 ограничены при -со<у<о и удовлетворяют условию Гельдера. Кроме того, и (о)=ы (о), I» р и' (о) =1^ р и' (о). Обозначим через 10 20 ' 11 10ч ' 2 2 20 ^ и (у) непрерывную функцию, совпадающую с « 0(У) при о<у<+оо и с II (у) при -оо<у<0.

Основным результатом является

Теорема о.17. При указанных выше предположениях и некотором х>о существует решение и^, V , и , V задачи

0.43)-(0.48), обладающее следующими свойствами: и непрерывна 2 2 и ограничена в и и >о; диуду, д иуду непрерывны и ограничены в г».; диудх, V- ду /ду непрерывны в и и ограничены в любой части области я ; ди /ду, г непрерывны в С , 1=1, 2, вплоть до у=о. Если \и'(у)\йк ехр(-к 1у\) при |у|-*», где к1, *2>о постоянны, то диудх, ду /ду ограничены в г> . Если <з.р/йх<о, то решение существует при любом х>о. Решение задачи (о.43)-(о.48) с указанными свойствами единственно.

При решении задачи (о.4з)-(о.48) применяется преобразование Мизеса, которое сводит ее к задаче типа дифракции для квазилинейного параболического уравнения. Эта вспомогательная задача решается методом сглаживания коэффициентов.

Во втором параграфе четвертой главы излагаются результаты, опубликованные в [64] и относящиеся к задаче о продолжении пограничного слоя ньютоновской жидкости, когда е пограничный слой через обтекаемую проницаемую твердук поверхность вдувается неньютоновская жидкость, не смешивающаяся с ньютоновской.

Предположим, что область г>={ о<х<х, о <у<»} разделена неизвестной непрерывной кривой Г:у=у*(х), о<х-<х, на две части: о<х<х, о<у<уЛ(х) > и 1>2={0<х<х, у:к(х)<у<оо}. В области ^ рассмотрим систему уравнений п -1 и ди ди д

1 -¿—-V д

1 дх 1 ду

1 ду ди 1 ду ди ду и ст ах

1<П<оо, ди ду

0,

0.49) дх ду описывающую движение дилатантной жидкости, а в области г> -систему уравнений Прандтля и ди, г дх ди 2 д и V

2 ду г ду

2 . СЮ 2— +и —вйх ди ду

0.50) дх ду

Будем считать величину у*(о) известной и зададим граничные условия иг(0, у)=и10(у) при 0<у<ул(0), их(х, 0)=0, у^х, 0)=Уо(х)>0,

0.51)

2(0, у)=и20(у) при у*(0)<у<со, и2(х, у)^и(х) при у-*о.

Предположим, что кривая Г является линией тока, разделяющей две среды, в силу чего у*(*) Г(Х, У+{Х)) у+(х)) йх и. уЛх) ) и(Х, уЛх) )

0.52)

Потребуем на Г непрерывности скоростей и вязких напряжений, т. е. и (X, уЛх))=и{х, у* (Х)Ь

0.53) V ди^(х, У*(х)) ду п- 1 ди^(х, уА(х)) ди^(х, у#(х)) ду ду

0.54) ir* л

В задаче (о.49)-(о.54) функции и(х), v (х), и (у), и (у)

А О 10 2 0 предполагаются известными и требуется найти ui(x, у), vi(x, у), и2(х> У)- v2(x* УЬ Введем функцию и (у), о<у<со, равную и10(у) при 0<у<уА (0) и Ы20(у) при у* (о) <у<со.

Определение о. 7. Обобщенным решением задачи (0.49)-(0.54) называются функции и(х, у), v(x, у), у*(х), {X, y)eD, обладающие следующими свойствами:

1) и(х, у)-положительная при у>о, непрерывная в d ограниченная loe функция; v(x, y)&L2 (d) и непрерывна при у=о;

2) существуют обобщенные производные ди/ду; ди/дх, dv/dy, loe принадлежащие l(D), производная ди/ду ограничена;

3) и(х, О) =0, u(0, y)=UQ(y), u^U(x) при у->со, r(x, 0)=vQ(x);

4) при любой непрерывной функции <р(х, у), имеющей непрерывную производную д(р/ду и равной нулю при у=о и при достаточно больших у, функции и, v удовлетворяют интегральному тождеству ди Я D v (У)

N(y)-1 ди д<р + ди )г ди dU ду ду дх V v ду ^ dx^ dxdy=О, ду где »(у)^^, ЛГ(у)=л при 0<у<у^(х), У(у)= V , ЛГ(у)= 1 при У*(Х)<У<™, dyií(x)/dx=v(x, у^))/и(х, у ^ {х)) ;

5) почти всюду в г> выполняется равенство ди/дх+&г/ду=о.

Теорема о.18. Предположим, что и(х)>о при хе[о, х], функции и (х), V (х) непрерывно дифференцируемы; и (о)=о,

X О 10 г и1о(0)>0, и1о(у)>0 при у>0, и20(у)>0, ц (у)-»и(0) при у-> оо; / // и (у), 1=1' 2' 0ГРаничены И удовлетворяют условию Гельдера. Кроме того, и (у*(о))=и (уА(о)),

II/ т1о(ул(0))|п 1"1О(У,(0))^2а2о(у,(0)) и в точке (0, 0) выполнено условие согласования // / / ^1П|ию(У) |П 1"1о(У)-^о(0)а1о(у)+С7(0)[7х(0)=0(у2) при у->0.

Тогда при некотором х>о существует обобщенное решение задачи (0.49)-(0.54), обладающее следующими свойствами: у*(*)= / ^ / / ulo(s)ds+^^o(t)dt, о гьг(х,Ь) о о где V(х/ г) - решение некоторой задачи дифракции (известная функция); ди/ду>мо>о при о<у<уо, где уо зависит от исходных

1ок данных рассматриваемой задачи; ди/дхеь(с), ди/дх и г(х, у) непрерывны при у=о. В случае и^>м^>о решение существует при любом х>о. При и^>о решение задачи (о.49)-(о.54), обладающее указанными свойствами, единственно.

Из доказательства этой теоремы следует, что вне некоторой окрестности кривой у=у*(х) функции и(х, у) и у(х, у) обладают / большей гладкостью, чем указано в теореме, а при у>у*(х) даже имеют непрерывные производные, входящие в систему (0.50), и удовлетворяют этой системе в каждой точке.

Аналогичная задача теории МГД-пограничного слоя ньютоновских жидкостей рассмотрена в § з главы IV, основные результаты опубликованы в [63] и состоят в следующем.

Предположим, что область о={о<х<х, о<у<со} разделена некоторой кривой Г:у=у^(х)>о, о<х<х на области о ={0<£<х, о<у<у*(х)} и с ={о<х<х, у. (х)<у<оо}. В области Р. 1=1, 2,

2 * 1 , рассмотрим систему уравнений вида р.и.и. +р.У.и. =У.р.и. -р (х) -сг.В(х) (и .В(х) +Е(х)) ,

1 1 ix 1 1 1у 11 1у у x 11 и. +г. =0, 1=1, 2. , .

IX 1у (0.55)

Здесь постоянные ^.>о, р.>о, о- >о, - соответственно, вязкость, плотность и электропроводность жидкости, заполняющей область п.; в(х) - у-компонента вектора магнитной индукции, Е(х) - компонента вектора напряженности электрического поля, ортогональная плоскости хоу; р(х) - гидродинамическое давление.

Все эти величины считаются заданными.

Будем предполагать, что у*(о) известно и зададим граничные условия и, (О, у)=и (у), 0<у<у (X) , и (О, У)=и (у) , у*(0)<у<со,

ГО 56^

0)=0, У1(х, 0)=Уо(х)>0, и2(х, у)^и(х) при у-*», * • ' где и1о(у), и (у), го(х), и(х)>о - известные функции. Скорость внешнего потока и(х) связана с давлением р(х) соотношением

-р (х) =р и (х) и (х) +о~ В (х) Е (х) +сг В2 (х) и (х) .

X << Л с ь

Кривая Г: у=у*(х) предполагается неизвестной и функция у*(-х") является одним из неизвестных в данной задаче. Будем считать кривую Г линией тока, разделяющей две среды. Тогда г (X, У*(х)) /и^х, У*{х))=у 2(х, У*(Х)) /и2(х, у*(х)).

0.57)

Кроме того, на кривой Г зададим условия сопряжения, выражающие непрерывность скоростей жидкости и вязких напряжений: и^х, у^(х))=и2(х, У*(Х)). (0.58)

1Р1и1у(Х' 7*(х))=и2Р2а2у(Х' У*(х)) (0.59)

Из (0.57) и (о.58) следует также, что на Г имеем у1=у2- В задаче (о.55)-(0.59)' неизвестными являются функции и (х, у), г(х, у), и (X, у), V (X, у), У*(х).

12 2х

Если введем переменные х=х, ф=ф(х, у), (0.60) где дф/ду=и^(х, у). дф/дх=Уо (х) (х, у) при (х, у)е!>., ТО переходит в П1 = {о<х-<х, о<ф<ф^ {х)}, а. Я2 в П2={о<х<х,

Ф^(х)<1р<оо}, где граница ъ:ф=ф^(х) известна, так как в силу

0.57) И (0.60) имеем дф^(х)/дх=У {х) и у*(о) х 0 о о

Для новых неизвестных функций V (х, ^)=и.2(х, у), 1=1, 2, получаем следующую задачу дифракции: сг. ВЕ у—' з I/» . -ч ЦШ . СЛ»' . /—I ■ "тит ^-р- "ж/г "р. -я^-р.^ 00 -д-г-1-2сг.в2/1/.=2 1 су* 11 дц) ) 1 ох о4 ' дф 1 1 1

0.61) при (х, </0<еП.;

V (О, 0<ф<ф^ (О) , у (О, (ф) , ф^(0)<ф<т, (0.62)

1 10 2 20

Vх (0, 0)=о, ьг2(х-, ф)+и2(х) при ;

0.63)

Решив задачу (о.61)-(о.63) в некотором классе функций, допускающем обращение преобразования Мизеса, получим на основе ее решения решение задачи (о.55)-(о.59).

Теорема о.19. Предположим, что и(х)>о, уо(х)>о при о<х<х, ар/ах, в(х), Е(х), уо(х) непрерывно дифференцируемы: ы10(у)>о при у>0, и2о(у)>0, и1о(0)=0, и1о(0)>0, и20(у)+и(О) при // со; и (у), и (у), и (у) ограничены при 0<у<у. (О) и 10 10 10 А х г // удовлетворяют условию Гельдера; и (у), и (у), и2о^ ограничены при у*(0)<у<со и удовлетворяют условию Гельдера. Кроме того,

1О(У*(0))=и2о(у*(0)), ^1Р1"1О(У*(0))=1'2Р2и2о(у^(0)) и выполнено условие согласования гг / / и1р1а1о(у)-р1ко(0)а1о(у)-р {0)-<тВ(0) (и ^ о (у) В (0) +£ (0) ) =0 (у2) при у->0.

Тогда при некотором х>о существует решение и , V , и2, V , у*(х) задачи (о.55)-(о.59), обладающее следущими свойствами: и непрерывно в 1Г, о при у>о, ди^/ду>т^>о при о<у<уо, где т и уо - некоторые постоянные; ди^/ду, д2и^/ду2 непрерывны и ограничены в в^-, ди^/дх, ди^/ду ограничены в я и непрерывны при у= о; и непрерывна и ограничена в в ; ди ¡дх, V ,ду /ду 2 2 2 2 2 непрерывны и ограничены в любой конечной части области ди./ду, V. непрерывны во., 1=1, 2, вплоть до кривой у=у*(х). г /

Если и2о(у)->о, при у->со достаточно быстро, так что и2о(у)<т2 ехр (-т у2), т , т >0, ТО ди /дх, <5г /<Эу ограничены В С .

3 2 3 2 2 2

Функция у*(х) непрерывно дифференцируема на отрезке [о, х] и у*«= ; ** о (х,я)

При <?р/сЬг+о- в(х)я(х)<0, 2=1, 2, такое решение существует в г> при любом х>о. Решение, обладающее данными свойствами, единственно. ■

Пятая глава посвящена некоторым приближенным методам решения задач теории пограничного слоя. В качестве примеров рассмотрены три задачи различного характера.

В § 1 главы V решается задача об образовании пограничного магнитогидродинамического слоя на теле при импульсном разгоне жидкости, в которое тело погружено. При решении применяются методы работ [40, 45]. Задача о возникновении МГД-пограничного слоя ранее без строгих доказательств рассматривалась, к примеру, в [б].

В случае импульсного разгона жидкости задача о развитии

МГД-пограничного слоя в поперечном магнитном поле приводит к системе уравнений вида ди ,„ ди ди „ д2и ,п2/л. , ди ,тт ди ди , ду оу дх^ + ~ду~ <°-б4> в области с={о<г<т, о<х<х, о<у<«>} с граничными условиями

О/ х, у)=и(О, х), u(t, х, 0)=0 при t>0, u(t, 0, у)=0, (0.65) х, 0)=Уо(Ь, х) , и (Ь, х, у) (Ь, х) при у-*».

Предполагается и(ь, х)=о, и(г, х)>о при х>о, что соответствует случаю симметрического пограничного слоя.

Приведем теорему о разрешимости и асимптотическом разложении решения задачи (0.64), (0.65). и.

Теорема 0.20. Предположим, что функции и, и, и -Ли , у£ х! и

Д2) и г>2) , V непрерывны в <?, и и о)>о, —+в2>о, —м^и<—— +1>2 при малых х. Пусть, далее, е

V <м t

О 2 и " и 1 \у \<м ь 2 , -Л \у 1<м , где с - положительная

ОХ 3 О 1 4 постоянная. Тогда в области с?, если т достаточно мало, существует и единственно решение и, к задачи (о.64), (0.65), обладающее следующими свойствами: и/и непрерывно в о при ь>о, у>о и t=o/ у>о; Ли^/и непрерывно и ограничено в и; V непрерывна по у с" при ь>о; ь^, и^, и , V , ограничены в ~о при t>to>o; и и V почти всюду удовлетворяют уравнениям (0.64) и удовлетворяют условиям (0.65). Выполняются неравенства

1 Ли У '

М (1-—)/-1п д(1-—)<

5- и и и

М (1- — )/-1п д(1- — ) , 0<д<1, 6 и и и ь ги

-М У-1п д(1- — <

7 ^ ' и и у

УУс -м и и

1п Д(1- — ) , и и [Ь , х) ехр

М2у2 б

4С и(С , х) ехр

М уУ -1п д ^ б

УГ х)-и<

М2у2 5

М уу -1п Д 5

ТЕ

Если имеют место асимптотические разложения к

1 К + 1 и(Ь, х)= I аз(х)Ь5+ак х), \ а^ ^(Ь, х) \ <М ^ ,

Э = О 1 1 к

2 / /■ К + 1 дг) = I а хЛЬ, х), Iа и, х)|<М ,

Б г* + 1 10

Э = О 2 2 гт К

U з /с +1

D+— = I Ъ (x)ts+b (t, X"), 1Ь (t, X") I <М t3 ,

U sv/ к +1 v ' ' к +i ' Ii ' s = о з з к vQ{t, х)= Ids(x)ts + 1/2+dic +i(t, x), \dK +i(t, x)\ <Mi2t 4 + 3 \ s = 1 4 4 причем а (0)=0, s=0, 1, к , a (t, 0)=0, а (0)>0,

A s 1 к + 1 о f а (x)+ь (x)>o, существует постоянная м >o такая, что при малых х, -Mi3as (х)<Ьз (х) , xi>m-l, i=1, 2, 3, 4, функции ag/ c?s имеют ограниченные производные до порядка ш, то справедливо асимптотическое равенство m i-i/2 -1/2 u (t, x, у) =U(t, X) I t Y.(X, -g-)+t I7(t, Х)Я(/Г, X, y i = 0 1 где я таково, что

Хоо

U 2Ш+2

JjR2<VTf X, -Н-) ^dxdytH t о о а т}), i=о, 1 т, - решение (единственное) системы обыкновенных дифференциальных уравнений

VY Y +1/2=0, о otjtj ' ' v I Y.Y.Y, -7} I а i+j +р = к J 1 + s = к -1 ^ i^k, j^k, р^к (^-1) 2 а;(?)у +(77-i) s as(*>ri7f

1 + s = к - 1 i + s = k- i

-v I 3 (С)у,- 2 Ь (£)у.=0, к=1, 2, т, s 1 . , s 1 i+s=k-i i+s=k-i на отрезке о<т?<1 с параметром о<£<х и граничными условиями у (0) =0, у (1) =0 , у, (1) =0 , о77 о k v

0, т? = о о кт? . 1 1 т) s4^' 1 к -1 k-i i+j=k s + 1 = к- 1

J -1/2 При этом нетрудно установить, что г (0) = (т0 и г (v) задается формулой х

-1/2 1/2 2 erf{[-ln((7U>) Уо(77))] }=П, erf(x) = ^/e s ds. о

В следующем параграфе рассмотрена система уравнений Прандтля с быстро осциллирующим граничным условием, определяющим вдув или отвод массы через обтекаемую поверхность. Задача имеет очевидные физические приложения (см. [16]). Приводимые ниже результаты опубликованы в [58, 69].

Рассмотрим стационарную систему Прандтля для плоскопараллельного течения несжимаемой жидкости

VU -и и -V и =—U(х)U (X), и +V =0 (0.66) еуу с сх с еу 4 ' х ex еу 4 '

В Области G={ 0<х<Х, 0<у<оо> с граничными условиями ue(0, у)=и1(у), ис(х, 0)=0, vc(x, 0)=VQ(x/e), и(х, y)^U(x) при у-»со. (0.67)

Функции и(х), и (у), v (х) считаются заданными, v>o, плотность среды принимается равной единице; давление р(х) связано с и(х) уравнением Бернулли и2(x)+2p(x)=const,функция г (z) непрерывная и i-периодическая.

Обозначим через <^о> среднее значение функции г (z) на периоде. Усредненной задачей, соответствующей задаче (о.бб), (0.67), назовем систему уравнений

VU -и и -VU =-U(x)U (х), и +v =0, (0.68) оуу о ох оу X ох у которая рассматривается в области g с условиями и (0, у)=ц (у), U (х, 0)=0, v(X, 0)=<v >, (0.69)

0 10 о и0(х' У)^и(х) при у-»оо.

Теорема 0.21. Предположим, что и(х)>о при о<х<х;

U (X), V (Х/С)&сг ([О, X]), ее(0, с ], и (х)>0; и (0)=0, и (у)>0

X О 0X11 t н при у>о, и ^ (о) >о, и (у), и (у), и (у) ограничены при о<у<со и удовлетворяют условию Гельдера. Тогда решения задачи (о.бб), (0.67) при е-»о сходятся к решению задачи(о.б8), (0.69) так, что ис-*и0 равномерно при о<х<х, о<у<у1<оо, при любом у >о; Vc*V0 РавномеРно при XQ<X<X, о<у<уг И любом XQe(Of X); дгас! ие->дгас1 ио слабо В Ь2({0<х<Х, 0<у<у }).

В последнем параграфе рассмотрена система уравнений

МГД-пограничного слоя в быстро осциллирующем поперечном магнитном поле. Эта система уравнений имеет вид 2 и и +1г и =ъш +0 (х, х/с) (и(х)-и )+ии (х) , и +г =0, (0.70) е ех ееу еуу гх ' ' ' 4 4 ' е' хч ' ех еу ' 4 ' рассматривается в области с?={о<х<х, о<у<оо> с граничными условиями ые(0, У)=и1(У), ие(х, 0)=0, Ус(х, 0)=Го(х), (0.71) ис(х* У)^и(х) при у->со, 2 где функция д (х, г) непрерывна, удовлетворяет условию Липшица по х и является 1-периодической по г. Введем обозначение 1 2 с?2 (х) = (1) (х, г)(?2.

Усредненной системой уравнений (0.70) будем называть систему уравнений вида и и +уи =1ш +с1г (х) (и(х)-и )+ии , и =0, (0.72) о ох оуу еуу о х ох у

В работе [77] при определенных условиях доказаны существование и единственность решения задачи (0.70), (0.71). Можно доказать, что при этом система уравнений (0.72) в области с при условиях ио(0, у)=и1(у)/ и0(х, 0)=0, У(Х, 0)=Уо(х), (0.73) ио(Х, у)->и(х) при у->СО. также имеет решение в некотором обобщенном смысле.

При е->о решения задачи (0.70), (0.71) сходятся к решению задачи (0.72), (о.73), причем справедлива теорема, аналогичная теореме 0.21.

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на конференциях по дифференциальным уравнениям с частными производными и на совместных заседаниях ММО и семинара им. И. Г. Петровского. Тезисы и резюме докладов опубликованы в

66-74].

Далее принята тройная нумерация формул, лемм и теорем: номер главы, номер параграфа и номер формулы или утверждения в данном параграфе. Пункты в каждом параграфе имеют двойную нумерацию.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Самохин, Вячеслав Николаевич, 1997 год

1. Брановер Г.Г., Цинобер А.Б. Магнитная гидродинамика несжимаемых сред.-М. : Наука, 1970.

2. Буковшин В.Г., Таганов Г. И. Ламинарный пограничный слой смешения на границе двух потоков при наличии продольного градиента давления // Прикл. матем. и мех.-1974.-Т. 38, вып. 6.-С. 1133-1136.

3. Быховский Э.Б., Смирнов Н. В. Об ортогональном разложении пространства вектор-функций, квадратично суммируемых по заданной области, и операторах векторного анализа // Тр. МИАН СССР.-1960.-Т. 59.-С. 5-36.

4. Вайнберг М. М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. -М. : Наука, 1972.

5. Ватажин А. Б. О вдувании в пограничный слой в присутствии магнитного поля электропроводной жидкости или газа // Прикл. матем. и мех.-1960.-Т. 24, N 5.-С. 909-911.

6. Ватажин А. Б. О развитии магнитогидродинамического пограничного слоя на теле // Ж. прикл. мех. и техн. физ. . -1965. N 4. -С. 40-44.

7. Волосов К. А., Павлов К. Б., Федотов И. А. К теории ламинарногопограничного слоя проводящей неньютоновской жидкости со степенным реологическим законом в поперечном магнитном поле // Магнитная гидродинамика. -1980. -и 4. -С. 39-42.

8. Граник И. С. , Мартинсон Л.К. Плоское нестационарное движение проводящей неньютоновской жидкости со степенным реологическим законом // Магнитная гидродинамика. -1971.-n 2. -С. 50-58.

9. Джураев Т.Д. О системе уравнений теории пограничного слоя для стационарного течения несжимаемой жидкости // Дифференц. уравнения.-1968.-Т. 4, n И.-С. 2068-2083.

10. Иосифьян Г. А., Олейник 0. А. ,Шамаев A.C. О собственных значениях краевых задач для системы теории упругости с быстро осциллирующими коэффициентами в перфорированной области // Мат. сб. .-1984.-Т. 132 (174), n 4.-С. 517-530.

11. Калашников A.C. О распространении возмущений в первой краевой задаче для вырождающегося параболического уравнения с двойной нелинейностью // Труды семинара им. И.Г. Петровского.-1982. -Вып. 8.-С. 128-134.

12. Калашников А. С. Об одном нелинейном уравнении, возникающем в теории нестационарной фильтрации // Труды семинара им. И. Г. Петровского. -1978. Вып. 4. -С. 137-146.

13. Кондратьев В. А., Олейник 0. А. Краевые задачи для теории упругости в неограниченных областях. Неравенства Корна // УМН.--1988. -Т. 43. -Вып. 5. -С. 55-98. .

14. Кружков С. Н. Нелинейные параболические уравнения с двумя независимыми переменными // Труды Моск. матем. общества.-1967.-Т. 16.-С. 329-346.

15. Куликовский А. Г., Любимов Г. А. Магнитная гидродинамика. -М. : Физматгиз, 1962.

16. Кулонен Г.А., Кулонен Л.А. Отсос ламинарного пограничного слоя через систему щелей конечной ширины // Прикладная механика. -1978. -Т. 14, n 9. -С. 83-88.

17. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа.- М.:Наука,1967.

18. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

19. Ладыженская O.A., Солонников В.А. Решение нестационарных задач магнитной гидродинамики для вязкой несжимаемой жидкости Тр. МИАН. 1960. - Т. 59. - С. 115-173.

20. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

21. Литвинов В.Г. Движение нелинейно-вязкой жидкости.- М.: Наука, 1982.

22. Лойцянский Л.Г.Механика жидкости и газа.- М.:Наука,1973.

23. Любимов Г.А. К постановке задачи о магнитогидродинамичес-ком пограничном слое// Прикл.мат.и мех.- 1962.- Т. 26, 5.- С. 811-820.

24. Мартинсон Л.К., Павлов К.Б. Магнитная гидродинамика неньютоновских жидкостей// Магнитная гидродинамика.- 1975.-4.- С. 59-67.

25. Мартинсон Л.К. Установившиеся магнито- и электродинамические течения неньютоновской жидкости// Магнитная гидродинамика.- 1975. 3. - С. 21-28.

26. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1969.

27. Олейник O.A. Математические задачи теории пограничного слоя// Успехи мат. наук. 1968. Т. 23, вып. 3. - С. 3-65 27\. Олейник O.A., Самохин В.Н. Математические методы в теории пограничного слоя. - М.: Наука • Физматлит, 1997.

28. Олейник O.A. О системе уравнений пограничного слоя Журнал вычисл. мат. и мат. физики.- 1963.-Т.3, 3.- С.489-507.

29. Олейник O.A., Кружков С.Н. Квазилинейные параболическиеуравнения второго порядка со многими независимыми переменными // Успехи мат. наук.-1961.-Т. 16, вып. 5.-С. 116-155.

30. Олейник O.A. Асимптотическое разложение решения системы уравнений пограничного слоя для стационарного плоскопараллельного течения несжимаемой жидкости в окрестности точки остановки // Труды Ин-та прикладной математики ТГУ. -1969. -n 2.-С.93-111.

31. Олейник O.A. Обобщенные решения в смысле С.Л. Соболева для системы уравнений пограничного слоя. В кн. : Дифференциальные уравнения с частными производными // Труды симпозиума, посвященного 60-летию акад. С. Л. Соболева. -М. : Наука, 1970.

32. Олейник O.A. Приближенные решения и асимптотические разложения для задачи о развитии пограничного слоя при разгоне // Прикл. мат. и мех.-1969.-Т. 33, n 3.-С. 441-455.

33. Павлов К. Б. К теории нестационарных МГД-течений неньютоновских дилатантных жидкостей // Магнитная гидродинамика.-1981.N 1.-С. 3-13.

34. Павлов К. Б. К теории ламинарного пограничного слоя проводящей неньютоновской жидкости со степенным реологическим законом в поперечном магнитном поле // Магнитная гидродинамика. -1979. -n 1. -С. 33-38.

35. Павлов К. Б., Федотов И. А., Шахорин А. П. О структуре ламинарного пограничного слоя в . неньютоновских дилатантных жидкостях // Изв. АН СССР, МЖГ.-1981.-n 4.-С. 142-145.

36. Сагаутдинов Ш. Ш., Шерьязданов Г. Б. Ламинарноесмешение МГД потоков с переменной проводимостью в поперечном магнитном поле // Магнитня гидродинамика. -1985. -n 2.-С. 132-135.

37. Самохин В. Н. Об образовании симметрического пограничногослоя при внезапном возникновении движения // Прикл. матем. и механ. . -1972. -Т. 36, n 3. -С. 471-474.

38. Самохин В. Н. Об уравнениях пограничного слоя для псевдопластической жидкости в окрестности точки остановки // Успехи матем. наук. -1972. -Т. 27, n 6. -С. 249-250.

39. Самохин В.Н. О системе уравнений пограничного слоя псевдопластической жидкости // Докл. АН СССР. -1973. -Т. 210, n 5. --С. 1043-1046.

40. Самохин В. Н. Развитие плоскопараллельного симметрического пограничного слоя при внезапном возникновении движения // Труды Моск. матем. о-ва.-1973.-Т. 28.-С. 117-133.

41. Самохин В. Н. Некоторые математические задачи теории пограничного слоя. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.-М. : МГУ, 1972.

42. Самохин В. Н. О системе уравнений пограничного слоя неньютоновских жидкостей // Вестн. МГУ. Сер. мат., мех.-1974.--N2.-С. 46-51.

43. Самохин В. Н. Обобщенные решения задачи о продолжении пограничного слоя псевдопластической жидкости // Труды сем. им. И. Г. Петровского. -1978. -Вып. 3. -С. 161-175.

44. Самохин В.Н. Продолжение пограничного слоя степенной жидкости при малых показателях степени. М.: 1981. Деп. в ВИНИТИ 19.08.81, n 4101-81 деп.

45. Самохин В. Н. Асимптотическое разложение для задачи об образовании пограничного слоя // ЖВМ и МФ. -1982. -Т. 22, n 5.-С. 1260-1265.

46. Самохин В. Н. Продолжение пограничного слоя на теле, мгновенно приведенном в движение. М. :1977. Деп. в ВИНИТИ n 2547-77.

47. Самохин В. Н. Об уравнениях ламинарного пограничного слоя проводящей дилатантной жидкости в поперечном магнитном поле // Магнитная гидродинамика.-1984.-ы 1.-С. 71-75.

48. Самохин В. Н. О системе уравнений пограничного МГД-слоя псевдопластической жидкости // Магнитная гидродинамика. -1984. --и 2. -С. 93-95.

49. Самохин В. Н. О ламинарном слое смешения на границе двух потоков // ЖВМ и МФ.-1985.-Т. 25, n 4.-С. 614-617.

50. Самохин В.Н. О нестационарной системе уравнений МГД-погра-ничного слоя псевдопластической жидкости // Магнитная гидродинамика. -1985. -ы 1. -С. 130-132.

51. Самохин В. Н. О системе уравнений пограничного слоя дилатантных жидкостей // УМН.-1986.-Т. 41, вып. 5.-С. 195-196.

52. Самохин В. Н. Об уравнениях пограничного МГД-слоя дилатантной жидкости в поперечном магнитном поле // Магнитная гидродинамика. -1987. -ы 3. -С. 71-77.

53. Самохин В. Н. Обобщенные решения системы уравнений пограничного слоя дилатантных жидкостей и конечная скорость возмущений // Дифф. уравнения.-1987.-Т. 23, n 6.-С. 1053-1061.

54. Самохин В. Н. О системе уравнений пограничного слоя проводящей псевдопластической жидкости в магнитном поле // Гидромеханика. Ин-т гидромеханики АН УССР. -1988.-С. 31-33.

55. Самохин В. Н. О системе уравнений стационарного пограничного слоя дилатантной среды // Труды сем. им. И.Г. Петровского.--1989.-Вып. 14. -С. 89-108.

56. Самохин В. Н. Асимптотическое разложение силы вязкого трения при мгновенном приведении тела в движение в покоящейся жидкости. М. : Деп. ВИНИТИ, N 2546-77 Деп.

57. Самохин В. Н. О слое смешения на границе потоков двух жидкостей с различными свойствами // Сиб. матем. журнал.-1989. --Т. 30, N2.-0- 161-166.

58. Самохин В. Н. Усреднение системы уравненийПрандтля // Дифференц. уравнения.-1990.-Т. 26, n 3.-С. 495-501.

59. Самохин В.Н. Теоремы существования для одной модели нелинейно вязкой среды // Ред. журн. "Дифф. уравнения", Минск, 1990. -Деп. ВИНИТИ, n 2380-В90. -9 стр.

60. Самохин В. Н. Существование решения одной модификации системы уравнений магнитной гидродинамики // Матем. сборник. -1991. -Т. 182, n 3. -С. 395-407.

61. Самохин В. Н. О системе уравнений магнитной гидродинамики нелинейно вязких сред // Дифф. уравнения.-1991.-Т. 27, n 5.--С. 886-896.

62. Самохин В.Н. О стационарных задачах магнитной гидродинамики неньютоновских сред // Сиб. матем. журнал.-1992.-Т. 33, n 4.--С. 120-127.

63. Самохин В.Н. Об одной задаче с неизвестной границей в гидродинамике электропроводных сред // Успехи матем. наук.-1992.--Т. 47, вып. 3. -С. 173-174.

64. Самохин В. Н. О системе уравнений ламинарного пограничного слоя при вдуве неньютоновской жидкости // Сиб. матем. журнал.-1993.-Т. 34, n 1.-С. 157-168.

65. Самохин В.Н. О системе уравнений магнитогидродинамического пограничного слоя дилатантной среды // Дифф. уравнения.-1993.--Т. 29, n 2. -С. 328-336.

66. Самохин В. Н. О системе уравнений пограничного слоя степенных жидкостей // Труды Всесоюзной конференции по уравнениям с частными производными. -М. : Изд-во МГУ . -1978. -С. 437-438.

67. Самохин В. Н. Продолжение пограничного слоя степенной жидкости при малых показателях степени // Успехи матем. наук.-1982.-Т. 37, вып. 4.-С. 118.

68. Самохин В. Н. Об одной задаче сопряжения для системы уравнений Прандтля // Успехи матем. наук.-1986.-Т. 41, n 4.-С. 158-159.

69. Самохин В. Н. Усреднение системы уравнений Прандтля при быстро осциллирующем вдуве-отсосе // Успехи матем. наук.-1987.--Т. 42, N 4. -С. 168.

70. Самохин В. Н. О задачах дифракции для нелинейных вырождающихся уравнений // Успехи матем. наук. -1988. -Т. 43, вып. 4. --С. 189-190.

71. Самохин В.Н. Теоремы существования для некоторых математических моделей неньютоновских сред // Успехи матем. наук. -1989. -Т. 44, вып. 4.-С. 215-216.

72. Самохин В. Н. О стационарной системе уравнений магнитной гидродинамики сред Оствальда-де Вале // Успехи матем. наук. --1990.-Т. 45, вып. 4.-С. 131.

73. Самохин В. Н. О некоторых задачах с неизвестной границей в теории пограничного слоя // Успехи матем. наук.-1991.-Т. 46, вып. 6. -С. 152. ( Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" ).

74. Самохин В. Н. Усреднение системы уравнений магнитогидродина-мического пограничного слоя в быстроосциллирующем магнитном поле // Успехи-матем. наук.-1993.-Т. 48, вып. 4.-С. 222-223.

75. Сапунков Я. Г. Автомодельные решения пограничного слоя неньютоновской жидкости в магнитной гидродинамике // Изв. АН СССР, МЖГ. -1967. -к 6. -С. 77-82.

76. Соболев С. JI. Уравнения математической физики.-М. :Наука, 1966.

77. Суслов А. И. О системе уравнений магнитогидродинамического пограничного слоя // Вестник Моск. Гос. ун-та., Сер. мат., мех. . -1974. n 2. -С. 62-70.

78. Суслов А. И. О системе уравнений Прандтля для пограничного слоя с поверхностью разрыва // Труды семинара им. И.Г. Петровского. -1976. -Вып. 2. -С. 243-259.

79. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. -М. : Мир, 1968.

80. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М. : Мир, 1970.

81. Чуркина 0.И., Шерьязданов Г. Б. Ламинарное смешение параллельных потоков несжимаемой жидкости переменной проводимости в поперечном магнитном поле // Магнитная гидродинамика. -1980. --n 4. -С. 49-52.

82. Шахорин А.П. О структуре ламинарного пограничного слоя в неньютоновских жидкостях // Труды МВТУ.-1981.-n 374.-С. 87-102.

83. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. -М. : Наука, 1969.

84. Шульман 3. П. Конвективный теплома.ссоперенос реологически сложных жидкостей. -М. : Энергия, 1975.

85. Шульман 3. П., Берковский Б. М. Пограничный слой неньютоновских жидкостей.-Шнек: Наука и техника, 1966.

86. Astin J., Jones R.S. and Lockyer P. Boundary layers in non newtonian fluids // J. mec.-1973.-Bd. 12, N 3.-P. 527-539.

87. Bamberger A. Etude d'une equation doublement non-leneare // J. Funct. Anal.-1977.-V. 24, N 2.-P. 148-155.

88. Gebel Claude, Reitzer Henri. Etude de la couche limite hydrodynamique. Evolution de d'écoulement autor d'obstacles en presence d'injectionde fluide non newtonien dans la couche limite // C.r. Acad. Sei.-1970.-Bd. 271, N 4.-A 286-288.

89. Koneru Sarweswar R., Manohar Ram. Stagnation point flows of non-Newtonian power law fluids // ZAMP.-19 68.-B. 19, Nr. 1.-P.84-88.

90. Messiha S.A.S. Laminar boundary layer flow in non-Newtonian power law fluids // Nuovo cim.-1974.-B. 21, N 2.-P. 271-278.

91. Sanchez-Palencia E. Quelques résultats d'existence et d'unicité pour les écoulements magnetohydrodynamiques non stationnaires //J. Mecanique.-1969.-Bd. 8.-P. 509-541.

92. Spinelli Robert A. On the O.D.E. of stagnation point flows of power law fluids // ZAMP.-1969.-B. 20, Nr. 4.-S. 479-486.

93. Thompson E.R., Snyder William T. Laminar boundary-layer flows of Newtonian fluids with non-Newtonian fluid injectants //J. Hydronaut.-1970.-Bd. 4, N 2.-P. 86-91.

94. Weyl H. The method of ortogonal projection in potential theory // Duke Math. Journal.-1940.-V. 7.-P. 411-444.