О стратифицированном пограничном слое тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Спиридонов, Сергей Викторович

• Спиридонов, Сергей Викторович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Спиридонов, Сергей Викторович

Оглавление

Стр.

Введение

Глава 1. Усреднение пограничного слоя ньютоновской жидкости

1.1 Течение жидкости вдоль пористой пластины

1.1.1 Замена Мизеса, обобщённое решение

1.1.2 Формулировка и доказательство теоремы усреднения

1.1.3 Возврат в декартовы координаты

1.2 Течение неоднородной магнитной жидкости вдоль пористой пластины в осциллирующем магнитном поле

1.2.1 Замена Мизеса, обобщённое решение

1.2.2 Формулировка и доказательство теоремы усреднения

1.3 Течение неоднородной магнитной жидкости сквозь пористую переграду в осциллирующем магнитном поле

1.3.1 Замена Мизеса, обобщённое решение

1.3.2 Формулировка и доказательство теоремы усреднения

1.3.3 Примеры

1.4 Течение неоднородной магнитной жидкости, проходящей сквозь пористую преграду, вдоль пористой пластины в осциллирующем

магнитном поле

1.4.1 Формулировка и доказательство теоремы усреднения

Глава 2. Усреднение пограничного слоя неньютоновской жидкости

2.1 Течение дилатантной жидкости сквозь пористую преграду

2.1.1 Замена Мизеса, обобщённое решение

2.1.2 Формулировка и доказательство теоремы усреднения

2.2 Течение дилатантной жидкости вдоль шероховатой пластины

2.2.1 Замена Мизеса, обобщённое решение

2.2.2 Формулировка и доказательство теоремы усреднения

2.2.3 Заключительные замечания

2.3 Течение модифицированной жидкости О.А.Ладыженской сквозь пористую преграду

2.3.1 Предварительные замечания

2.3.2 Формулировка и доказательство теоремы усреднения

Глава 3. Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О стратифицированном пограничном слое»

Введение

1. Описание проблемы и обзор литературы.

Уравнения Навье-Стокса являются основной математической моделью движения вязкой жидкости. V(¿,х,у,г) = (и: Я4 ^ Я3 задаёт вектор скорости движения жидкости. Мы рассматриваем однородную вязкую несжимаемую жидкость. При отсутствии массовых сил система уравнений Навье-Стокса выглядит следующим образом

ди ди ди ди 1 др .

— + и— + у— + = —— + V Аи сЯ дх ду дг р дх

ду ду ду ду 1 др .

— + и— + у— + = —— + V Ау а дх ду дг р ду

д-ш д-ш д-ш д-ш 1 др . — + и— + у— + = —— + V А'ш а дх ду дг р дг

ди ду д-ш о

дх ду дг

где V > 0 — кинематический коэффициент вязкости, р(1,х,у,г) — давление, р — плотность жидкости.

Для уравнений Навье-Стокса были сформулированы задачи усреднения для различных семейств краевых задач(например,[14][15][16][17]).

Основные задачи связаны с движением жидкости в различных ограниченных областях при обтекании. Граничные условия ставятся из соображения физического характера.

В 1904 году на Международном математическом конгрессе в г. Гейдельбер-ге Л.Прандтлем были заложены основы теории пограничного слоя, согласно которой при движении жидкости возникает основной поток — поток жидкости, которую можно рассматривать как идеальную, и тонкий пограничный слой, внутри которого жидкость рассматривается как вязкая. На границе пограничного слоя эти два потока сопрягаются. В связи с этим уравнения Навье-Стокса стало возможным заменить на более простые уравнения теории пограничного слоя.

В 60-70-е гг. прошлого века данная теория получила существенное развитие, в частности, результаты, полученные О.А. Олейник [18][19][20][21].

Теория Прандтля позволила рассмотреть широкий круг задач в различных областях гидромеханики. В частности, появилась возможность изучения качественного поведения жидкости вблизи обтекаемой поверхности со сложными свойствами или внешними силами, а также неоднородных жидкостей (взвесей, суспензий). Отдельно можно выделить класс задач поиска усреднённого решения для уравнения с быстро осциллирующими граничными условиями (например, [21][22][23]). Этому классу задач посвящена данная работа.

Система уравнений пограничного слоя выводится из уравнений Навье-Стокса при условии, что справедливы некоторые аксиомы Прандтля. Гипотеза Прандтля предполагает, что поток жидкости можно условно разделить на тонкий прилегающий к обтекаемой поверхности слой (так называемый, пограничный слой), где уравнения Навье-Стокса можно существенно упростить, и основной слой, в котором влиянием вязких сил зачастую можно пренебречь. Стационарная сисетма уравнений Прандтля выглядит следующим образом:

где плотность жидкости р предполагается равной единице, функции U(y), vx, Ux(x) известны, при этом Ux(x) = 0 и согласно закону Бернулли U1x2(x) + 2p(x) = C = const.

Для магнитных сред рассматривается модифицированная стационарная система уравнений Прандтля для плоскопараллельного течения жидкости:

где ] = а(Е + иВ) — компонента вектора электрического тока, соответствующего оси z. Влияние внешних магнитных сил на движение жидкости изучается, например, в [24][25][19].

д 2u du du 1 dp dUx

в области D = {0 < х < X, 0 < y < x} с граничными условиями

u(0,y) = U (y),u(x,0) = 0,v (х,0) = V (х) u(x,y) ^ Ux(x) при y ^ x,

du

u-—+ v-

Если сплошная среда имеет более сложные реологические свойства, чем ньютоновская жидкость, то ее движение описывается уравнениями более сложной структуры, чем уравнения Навье-Стокса. В настоящее время известны различные модели динамики так называемых неньютоновских сред [26][27]. Эта теория активно развивается уже довольно давно, что стимулируется необходимостью изучения динамики расплавов полимеров, жидких металлов, различных взвесей, биологических сред [28][29]. Одновременно возникла теория пограничного слоя неньютоновских жидкостей [21][30][24][25].

Распространённой моделью неньютоновской жидкости служит модель Оствальда со степенным реологическим законом:

При 0 < п < 1 жидкость называется псевдопластической (к таким жидкостям относятся многие полимеры), при п > 1 — дилатантной (различные смеси и взвеси). Такие жидкости рассматривались, например, в [31][32][33][34].

В 60-е гг. прошлого века модификация системы уравнений Навье-Стокса производилась также в связи с известными проблемами однозначной разрешимости этих уравнений. Некоторые новые уравнения для описания движения вязкой жидкости были предложены в [35][36][37]. При определенных условиях для этих модифицированных систем гидродинамики выполняются предположения Л. Прандтля, это дает возможность получить систему уравнений пограничного слоя, обобщающую уравнения Прандтля, и является одним из примеров уравнений пограничного слоя неньютоновских сред.

В [36][37] была рассмотрена модифицированная система Навье-Стокса. Некоторые применения методов теории пограничного слоя для данной жидкости содержатся в [38][34][39][40][41], в случае псевдопластических жидкостей — в

Задачи с малыми параметрами в теории пограничного слоя возникают довольно естественно. Например, в [43] для изучения течения несжимаемой жидкости, проходящей сквозь малое отверстие, была использована теория усреднения. В [44] было рассмотрено воздействие гармонического осциллятора с быстро меняющимися параметрами на пограничный слой при обтекании пластины. Вопросы обтекания шероховатых пластин с микронеоднородностями изучались

о п—1

ди

ду

ди ду

[42].

в [45][46]. Некоторые вопросы усреднения пограничного слоя неньютоновских жидкостей были рассмотрены в [47][48].

В последнее время появились работы, посвященные исследованию задач теории пограничного слоя с малыми параметрами, где выводятся оценки скорости сходимости решений исходных задач к решению соответствующих усредненных (например, [45][49]), что дает возможность решить задачу приближенно и оценить возникающую при этом погрешность. Рассматриваемые модели поведения жидкости могут оказаться полезными при разработке технических устройств и в расчетах параметров технологических процессов в полиграфии [50]. Такие жидкости, как краски, клеи, дисперсные среды, являются неньютоновскими и динамика их описывается уравнениями, отличающимися от уравнений Навье-Стокса. Это очень важно, к примеру, при рассмотрении фильтрации типографской краски в пористую запечатываемую поверхность. В работах [51][52][53][54] излагаются результаты, касающиеся технологии использования реологически сложных сред и применения приближенных методов решения математических задач теории пограничного слоя. Также интересный подход был предложен для описания динамики типографской краски при перевозке банок с красками с негерметичными (перфорированными) крышками, а также при изучении поведения частично засохших форсунок краскопультов и печатных станков. В последнем случае задача сводится к проводимости пористой мембраны [55]. Близкие по методам задачи изучались также в работах [56][57][58][59][60][61].

Отдельно стоит отметить круг задач связанных с так называемым отрывом пограничного слоя. Это явление возникает в точке (для плоскопараллельного пограничного слоя), ниже которой возникает возвратное по отношению к внешнему течению движение жидкости. Для описания этой ситуации не походят классические уравнения Прандтля и течение жидкости может перестать быть безвихревым. Поэтому возникает необходимость контролировать течение жидкости, изменяя граничные условия таким образом, чтобы отрыва не происходило в интересуемой области. Различные методы подобного управления были рассмотрены, например, в [62][63][64][65][66].

Целью данной работы является исследование влияния микрнеоднородно-стей в граничных условиях на решения систем уравнений пограничного слоя ньютоновских и неньютоновских жидкостей.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Сформулировать задачу, моделирующую то или иное поведение жидкости внутри пограничного слоя.

2. Поставить задачу с малым параметром, определяющим характер микро-неоднородностей.

3. Доказать сходимость семейства решений задачи с параметром к решению усреднённой задачи.

Научная новизна:

1. Впервые было рассмотрено влияние микронеоднородностей в начальной скорости потока а также в самом пограничном слое.

2. Были показаны влияния микронеоднородностей пограничный слой жидкости с широким спектром реологических свойств (ньютоновская, неньютоновская жидкость и, в частности, жидкость О.А. Ладыженской).

Практическая значимость. Результаты данного исследования носят теоретических характер. Их можно использовать для построения приближённых решений задач, для которых представляется невозможным или затруднительным точное вычисление краевых условий.

Mетоды исследования. Для доказательства сходимости был использован подход, предложенный Мизесом и позволяющий свести систему уравнений к одном квазипараболическому уравнению. Далее, для полученной задачи формулируется обобщённая задача и с помощью вариации принципа максимума и системы интегральных оценок доказывается искомая сходимость.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих семинарах:

1. Семинар под руководством ЧечкинаГ.А., МГУ, Механико-математический факультет;

2. Семинар под руководством Жикова В.В. Шамаева А.С. Шапошниковой Т.А. Радкевича Е.В., МГУ, Механико-математический факультет.

Результаты диссертации докладывались также на следующих научных конференциях:

1. Международная конференция "Математические идеи П.Л.Чебышёва и их приложение к современным проблемам естествознания", Обнинск, Россия, 2006;

2. Международная конференция, посвящённая И.Г.Петровскому (XXII сессия совместных заседаний ММО и семинара им. И.Г.Петровского), МГУ, 2007.

3. Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, Россия, 2010;

4. Международная конференция, посвящённая 110 годовщине выдающегося математика И.Г.Петровскому (XXIII сессия совместных заседаний ММО и семинара им. И.Г.Петровского), МГУ, 2011;

5. Шестая Международная конференция по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям, Москва, Россия, 2011;

6. Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, Россия, 2012. -

Публикации.Основные результаты по теме диссертации изложены в 13 печатных изданиях, 6 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 6 — в тезисах докладов.

Публикации автора по теме диссертации в изданиях, рекомендованных ВАК

1. Spiridonov S. V. Homogenization of a stratified magnetic fluid problem with microinhomogeneous magnetic field and boundary data // Journal of Mathematical Sciences. 2010. Vol. 165, issue 1. P. 158-170. DOI: 10 . 1007 / s10958-010-9786-3

2. Spiridonov S. V., Chechkin G. A. Percolation of the boundary layer of a newtonian fluid through a perforated obstacle // Journal of Mathematical Sciences. 2010. Vol. 166,issue3. P. 328-337.DOI: 10.1007/s10958-010-9870-8

В работе [2] Спиридонову С.В. принадлежит доказательство основной теоремы 2 о сходимости.

3. Линкевич А. Ю., Спиридонов С. В., Чечкин Г. А. О пограничном слое неньютоновской жидкости, обтекающей шероховатую поверхность и проходящей через перфорированную преграду // Уфимский математический журнал. 2011. Т. 3, № 3. С. 93—104

В работе [3] Спиридонову С.В. принадлежит доказательство основной теоремы 2 о сходимости.

4. On a Thin Layer of Non-Newtonian Fluid on Rough Surface Percolating through Perforated Obstacle / A. Y. Linkevitch, S. V. Spiridonov, T. S. Ratiu,

G. A. Chechkin// Journal of Mathematical Sciences. 2013. Vol. 189, issue 3. P. 525-535. DOI: 10.1007/s10958-013-1204-1

В работе [4] Спиридонову С.В. принадлежит доказательство основной теоремы 1.2 о сходимости.

5. LinkevichA. Y., Spiridonov S. V., Chechkin G. A. Homogenization of Stratified Dilatant Fluid // Journal of Mathematical Sciences. 2014. Vol. 202, issue 6. P. 849-858. DOI: 10.1007/s10 95 8-014-2081-y

В работе [5] Спиридонову С.В. принадлежит доказательство основной теоремы 3.1 о сходимости.

6. Усреднение модифицированной жидкости О.А.Ладыженской, протекающей через пористую преграду / А. Ю. Линкевич, В. Н. Самохин, С. В. Спиридонов, Г. А. Чечкин // Известия высших учебных заведений. Проблемы полиграфии и издательского дела. 2016. № 2. С. 25—35

В работе [6] Спиридонову С.В. принадлежит доказательство основной теоремы 2.1 о сходимости.

Остальные публикации автора по теме диссертации

7. Спиридонов С. В., Чечкин Г. А. Асимптотическое поведение решений стационарной системы уравнений пограничного слоя для магнитной жидкости // Тезисы докладов III международной конференции "Математические идеи П.Л.Чебышёва и их приложение к современным проблемам естествознания". Обнинск, Россия, 05.2006. С. 121—122

8. Спиридонов С. В. Усреднение решений стационарной системы уравнений пограничного слоя для магнитной жидкости // Международная конференция, посвящённая И.Г.Петровскому (XXII сессия совместных заседаний ММО и семинара им. И.Г.Петровского): Тезисы докладов. Москва : Изд-во МГУ, 05.2007. С. 379

9. Spiridonov S. V., Chechkin G. A. Homogenization of Stratified Boundary Layer of Viscous Fluid Percolated Through Perforated Obstacle // In: Book of Abstracts of the International Conference on Differential Equations and Dynamical Systems (July 2 - July 7, 2010, Suzdal, Russia). Moscow: Steklov Mathematical Institute Press, 2010. P. 76-77

10. Spiridonov S. The boundary layer flowing through a porous barrier // Mathematics in Engineering, Science and Aerospace. 2011. Vol. 2, no. 1. P. 1-16

11. Линкевич А. Ю., Спиридонов С. В., Чечкин Г. А. Об асимптотическом поведении решений системы уравнений Прандтля для стратифицированной магнитной жидкости // Международная конференция, посвящённая 110 годовщине выдающегося математика И.Г.Петровскому (XXIII сессия совместных заседаний ММО и семинара им. И.Г.Петровского): Тезисы докладов. - М.: Изд-во МГУ и ООО "ИНТУИТ.РУ" 2011. С. 424

12. Линкевич А. Ю., Спиридонов С. В., Чечкин Г. А. Об оценках решений системы уравнений Прандтля для микронеоднородной стратифицированной жидкости // Abstracts of the Sixth International Conference on Differential and Functional Differential Equations. Peoples' Friendship University of Russia Press, 08.2011. С. 97—98

13. LinkevitchA. Y., Spiridonov S. V., ChechkinG.A. On Filtration of Nonnewto-nian Fluid Passing Rough Surface, Through Perforated Obstacle // In: Book of Abstracts of the International Conference on Differential Equations and Dynamical Systems (June 29 - July 4, 2012, Suzdal, Russia). Moscow: Steklov Mathematical Institute Press, 2012. P. 106-107

2. Объем и структура работы.

Диссертация состоит из введения двух глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 97 страниц, включая 10 рисунков. Список литературы содержит 66 наименований.

Глава 1. Усреднение пограничного слоя ньютоновской жидкости

1.1 Течение жидкости вдоль пористой пластины

В данном параграфе изучается асимптотическое течение жидкости вдоль пористой пластины. Строится задача усреднения для характеристики пластины в модели плоскопараллельного пограничного слоя. Основные результаты изложены в [1].

Рисунок 1.1 — Течение жидкости вдоль пористой пластины

Рассмотрим задачу о продолжении двумерного (плоскопараллельного) стационарного немагнитного пограничного слоя. Она сводится к отысканию решения системы дифференциальных уравнений с частными производными вида

д 2u du du 1 dp и ю dU с ду2 дх ду р dx dx

ди ду о

дх ду

(1.1)

(1.2)

в области D = {0 < х < X, 0 < у < с} с граничными условиями

u(0,y) = U (у),и(х,0) = 0,v (х,0) = V (х)

и(х,у) ^ ис(х) при у ^ с,

где плотность жидкости р предполагается равной единице, функции U(у), ух, Uс(х) известны, при этом Uс(х) = 0 и согласно закону Бернулли Uс2(х) + 2р(х) = C = const.

Решением (1.1), (1.2) будут функции u(x,y) и v(x,y), обладающие следующими свойствами: u и v непрерывны в D, имеют в D непрерывные производные, входящие в уравнения (1.1), удовлетворяют уравнениям (1.1) и условиям (1.2).

Теорема 1 ([21] теорема 2.1.1, глава 2, параграф 2.1). Будем предполагать, что: U(у) > 0 при y > 0; U(0) = 0, U'(0) > 0, U(y) ^ иж(0) = 0 при y ^ ж; и

dx

V(x) непрерывно дифференцируемы на [0,X]; U(y), U'(y),U''(y) ограничены при 0 < y < ж и удовлетворяют условию Гёльдера. Предполагаем также, что выполнено условие согласования в точке (0,0)

v^my) - <т - V(0)dm = O(y2) (и)

dy2 dx dy

при малых y.

Тогда при некотором X > 0 в области D существует решение u(x,y),

v(x,y) системы (1.1) с условиями (1.2), обладающее следующими свойствами:

— ди

функция u(x,y) непрерывна и ограничена в D, и > 0 при y > 0; — > m > 0

У

du d2u

при 0 < y < y0, где m и y0 — некоторые постоянные; — и непрерывны и

dy dy2

ограничены в D;— ,v,— непрерывны и ограничены в любой конечной части D. dx dy

du dv

Если \ U'(y)| < mi exp (—m2y),m1,m2 = const > 0, то — и — ограничены в D.

dx dy

dp dp В случае, когда — < 0 и v0(x) < 0 или — < 0, такое решение задачи (1.1), (1.2)

dx dx

существует в D при любом X > 0.

1.1.1 Замена Мизеса, обобщённое решение

В дальнейшем мы будем использовать другую форму системы (1.1) — (12). Сделаем следующую замену переменных (так называемые переменные Мизеса). В качестве новых переменных здесь выступают х и функция тока жидкости:

(ху) ^ (х,ф):

ГУ* - гу>

- »

(1.4)

ф = ф(х,У),

где

дф

и = -7Г-, ду

у - У = -^ (1.5)

дх

х,0) = 0,

В качестве новой неизвестной функции выступает

и)(х,ф) = и2 (ху).

Область В переходит в область О = {0 < х < Х,0 < ф < то}.

Задача (1.1) — (1.2) в переменных Мизеса ставится следующим образом:

L(w) = v^ - ^ - V^ = -2UC(1.6)

ду2 дх ду dx

в области Q = {0 < х < X, 0 < у < с} с граничными условиями

Цх,0) = 0,w(0,y) = W(у)^(х,ф) ^ Uс2(х) при у ^ ж, (1.7)

где W (7 U(£)d^ = U2(у), и условием согласования:

vVWW + 2UC(0)UCX(0) - V(0)W' = О(У) при у ^ 0. (1.8)

Обобщённым решением задачи (1.6) — (18) назовём функцию w^^) со

/ п дw

свойствами: w непрерывна, ограничена и положительна при у > 0; -7— ограни-

ду

чена в Q; w > ку при 0 < у < ф\,к = const > 0; w удовлетворяет граничному

условию (1.7) при ф = 0 и ф ^ ею, а также интегральному тождеству

С 3/ш дф п ^дф _ дф 2Пе дие , 7, дф дф дх дф ^Jw дх

е (1.9)

+2 / л/"№ф(0,ф)ё,ф = 0,

для любой функции ф(х,ф) Е W\ (и), равной нулю при х = Х,ф = 0 и достаточно больших ф.

Эквивалентность постановок показана в [21], глава 10, параграф 10.1.

1.1.2 Формулировка и доказательство теоремы усреднения

Пусть {V£}eeR - множество непрерывных, ограниченных в совокупности функций таких, что существует непрерывная функция V0 и для любого интервала (a,b) существует

lim [ V£(x)dx

Причём

£^°J[a,b]

/ V0dx = lim / V£(x)dx.

[a,b] £^°J[a,b]

Рассмотрим уравнение

r , Л ._32w£ dw£ dw£ dU

L£(w£) = v^Jw£—— ----v£-- = -2U—, (1.10)

дф2 dx дф dx

0 < £ < £o, с условиями

w£(x,0) = 0, w£(0,^) = wl(^), w£(x^) ^ U2(x) при ф ^ ж, (1.11)

и уравнение

T f \ _ г-d2w0 dw0 dw0 OTrdU (1 12)

L0(w0) = vy/wo—w ----v0—- = -2U— (1.12)

дф2 dx дф dx

с условиями

w0(x,0) = 0, w0(0^) = w1(i^),w0(x,i^) ^ U2(x) при ф ^ ж, (1-13)

имеет место следующая теорема:

Теорема 2 (Доказано в работе [1]). Предположим, что функции и(х), щ(у), у£(х), у0(х) при любом 0 < £ < £0 удовлетворяют условиям теоремы 1 и их(х) > 0 при 0 < х < X.

Тогда решения задачи (1.10), (1.11) сходятся к обобщённому решению задачи (1.12), (1.13) при £ ^ 0, так что w£ ^ w0 в = {0 < х < X, 0 <ф < N} при любом N > 0 и w£ ^ w0 в W2,(UN).

■ По теореме 1 задача (1.10), (1.11) имеет классическое решение гш£. Кроме того, в главе II [21] были доказаны следующие оценки:

0 < < Иг,

\дф\<И2>

(1.14)

(1.15)

И3ф < и)£ < И4ф при 0 < ф < фг (1.16)

для всех £ е (0,е0), причём И1,И2,И3,И4,ф1 зависят от и(х), w1(ф), тах\у£(х)|, X, но не зависят от е.

д 2w,

Пусть п(Ф) Е Ото(Я1+) и п(Ф) = 0 при ф > А > 0. Умножив (1.10) на

£п2(ф) и проинтегрировав по О, получим

f д2w f д^) д2

J ил/^(дф)2п2(ф)dxdф - у дхх дф2п2(ф)^Ф =

дф2

II

12

у ( у£(х)~ф - ^и™—^ ) п2(ф^ф = I.

дф

dx ) дф2

дw£

12 проинтегрируем по частям с учётом w£х(х,0) = 0 и выразив —— из (1.10):

12 =-

дх

д'Ю£ д'Ю£ д>п'2{ф)^ - Г ^ф =

1п дф дх дф

1п дхдф дф дф

-дw£д2w£^ , . ,дп(ф) , , , [ , ч = - ' и^£дфдф? + / у£(х)

'п

,/п

А

(дwЛ \дф)

дп(ф)

-2 1 и-иТохдфдШ<хф - и (^¡-Уп2(ф)

'п

ф ф

2

1=-1,У£ (х){ тф)

2

о

X

ф

х=Х х=0

dxdф -

dф.

2

- пЩф!,ыф, + 1/ ъ{х)(д-ф) п2(ф)

о

ф

дw £ дп (ф)

ф=А

dx +

X

п

ф ф

dxdф - 2 ! дфп2(ф)

Ф=о ф=А

dx.

Ф=о

Тогда

иЛт

п

п'2(Ф)dxdф + [ ил/щг-^тд^т2п(ф)^^^^^dxdф +

удф2 ) ^

ф ф2

ф

1 + 2

А

г (д^Л I V дф)

£ \

п2(ф)

с=Х

(ф =

х=0

(д^и \ 2 дп (ф) 1 Р [ ди) \ 2

п2(ф)

X

'п

дф X

-2 / иеи

сю т тоо дгш£ 2

(х

^=0

дф

П (ф)

(х,

Ф=о

при 5 > 0,

'п

/д^Х

^дф2 у

£2

П 2(ф)(х(ф —

— Ул/щ£ I 5 ,/п

2 / ^(ф) + ^

/ д^у

Ш ') с" <

X

дп(ф)(х4ф + 1/«£(х)(д|)2п2(ф)

дф X

о

(х

^=0

-2 / иеие ^ -2

дф

П 2(ф)

(х.

ф=0

При 5 < 1 получаем

'п

(о2 \ 2

П2(ф)(х(ф < М5,

откуда

' дw

£2

П2(ф )(х(ф < М6.

(1.17)

п дх

Из оценок (1.14),(1.15) следует, что семейство {п)£} равномерно ограничено, а также для каждого х Е [0,Х] равномерно равностепенно непрерывно как семейство функций одного переменного ф. Допустим, существует е > 0 такой, что для любого 5 > 0 найдутся £,ф0,х1 < х2 такие, что \х1 — х2\ < 5 и |w£(xl,ф0) — ,п)£(х2ф0)\ > 2е. Тогда в силу (1.15) существует а > 0 такое, что \w£(xl,ф) — w£(x2,ф)\ > е для любого ф Е [ф0,ф0 + а], причём а зависит только от е и М2. Тогда

Х2

I =

дw£ (х,ф) дх

(х

Х1

х2

дw£(x,ф) дх

(х

Х1

= \W£(х1,ф) — W£(x2,ф)\ > е.

Х

2

2

Но

Х2

дw£ (х,ф) х

dx =

Х1

[Х1,Х2^ \ х:

дw£ (х,ф)

х

>п

дw£ (х,ф)

х

dx +

1з

+

[Х1,Х2^ < х:

дw£ (х,ф)

х

п

дw£ (х,ф)

х

dx.

14

14 < П[1([х1,х2]^< х

|х :

дw£ (х,ф)

х

}

< п >) < пб, тогда 13 > е - пб.

х2

Г (дw£(х,ф)\ ] \ дх )

dx >

х1

> и

[х1,х2]П{ х:

дw£ (х,ф)

х

>п

/ cЩ£(xф)X х

dx >

[ххМЪ \ х:

дw£ (х,ф)

х

>п

откуда

15 =

[х1,х2] х [фо,фо+а]

д-и] £ (х,ф) х

' дw£ (х,ф) х

dx > п(е - пб) = пе - п2б,

dx > а(пе - п2б).

Возьмём п(ф) = 1 при ф < N. Для любого И возьмём и > -, б < —. Тогда

2И еа 2п

15 > а(пе - п2б) >--> И, что противоречит (1.17).

еа 2

Таким образом, семейство } равномерно равностепенно непрерывно в С (Ох), откуда по критерию Арцела-Асколи следует его компактность в С (Ох). Кроме того, вследствие (1.14)—(1.17) } слабо компактно в W22(ОN). Поэтому можно считать, что существует последовательность {ек}кЕм (ек ^ 0 при к ^ то) такая, что

w£k ^ w0 в Ох при любом N> 0, (1.18)

w£ к — w0 в W2l(О х) при любом N > 0. (119)

Далее, в силу (1.9)

[ ( дW дф дф дф 2игх дито \

уд-и~дфдф - '^^^кк^ + 2у£(x)Vщkk-Ф, + /=—'ф ) Ыф +

дф у/йГк дх )

2

+2J уЧ(ф)ф(0,ф^ф = 0,

о

для любой функции ф(х,ф) Е W2Í (и), равной нулю при х = Х,ф = 0 и достаточно больших ф. Переходя к пределу е^ ^ 0, получаем

[ ( дwо дф п дф п дф 2ис дис \ , 7,

- 2л/wо^- + 2vоy/wо^J +--^^— ф dxdф +

Уп \ дф дф дх дф ^Jw дх )

со

+2 J уЧ(ф)ф(0,ф^ф = 0,

о

то есть w0 является обобщённым решением задачи (1.12), (1.13) и для него выполнены соотношения (1.18), (1.19). w0(x,0) = 0.

Воспользуемся принципом максимума из [21], глава 2: Рассмотрим дифференциальный оператор

(dw\ д 2w dw dw

- дХ +b(x'ф)дф +c(x' ф)'" (120)

в области и = {0 < x < Х,ф1 <ф <ф2}. Через y обозначим часть границы и:

Y = {х,ф :0 < x < Х,ф = ф1}и {х,ф : 0 < x < Х,ф = ф2} U {х,ф : x = 0, ф1 < ф < ф2}.

Лемма 1 ([21], глава 2, принцип максимума в ограниченной области). Предположим, что функции a(w,p), Ь(х,ф), с(х,ф) ограничены при (х,ф) Е и и p Е R, a(x,p) > 0, w(x^) непрерывна в и и имеет в и непрерывные производные, входящие в (1.20). Тогда если A(w) < 0 в и \ y и w > 0 на y, то w > 0 в и. Если же A(x) > 0 в и \ y и w < 0 на y, то w < 0 в и.

■ Рассмотрим функцию W(х,ф), связанную с w равенством w = Weax, где а = const и с(х,ф) — а < 0. Тогда

л Г \ ах\ ( 9w\ д 2W dW , .dw . .

A(w)=e {4w' — sx — ь(х'ф)Щ + (с(х'ф) — a)W} ■

Если A(w) > 0 в и \ y и w > 0 на y, то в области и \ y имеем

dw\ d2W dW dw

дф2 дх ' дф

(dw\ д vv ijvv Sw

w, дф) — — — Ь(х,ф) — + (с(х,ф) — a)W < 0 (1.21)

и У > 0 на 7. Отсюда следует, что У > 0 всюду в й, так как в противном случае функция W имела бы в некоторой точке (х0,ф0) е й \ 7 отрицательный минимум и выполнялись бы неравенства:

эщх^ > ^ жМ < 0, дух,фо) = у( <

дф2 дх дф

что противоречит неравенству (1.21). Значит У > 0 в й, откуда вытекает, что т = Уеах > 0 в й.

Вторая часть леммы доказывается аналогично.

□

Ниже приводим утверждение, доказанное в [21], лемма 2.1.3, глава 2, параграф 1:

Лемма 2 ([21], лемма 2.1.3, глава 2, параграф 1). Пусть выполнены предположения леммы 1, а(т,р) имеет ограниченные частные производные по т, р в й. Ф(х,ф) — непрерывная в й функция, имеющая в й \ 7 непрерывные частные производные, входящие в (1.20). Тогда если А(т) — А(Ф) < 0 в й \ 7 и т > Ф на то т > Ф в й. Если же А(т) — А(Ф) > 0 в й \ 7 и т < Ф на то т < Ф в й.

■ Заметим, что

дт\ д2 V _дУ ( дУ

дф2 дф ' дф

где

V (х,ф) = т(х,ф) — Ф(х,ф),

(дт\ д V дУ дУ

т, дф) дф2 — + В(х,ф)+ С(х, ф)У,

в(хф = ь(х, ф) + дф [1 да{т>тт* +(1—т')Ф*

дф2 Л др

С(хф) = Ф,ф) + *(™ + %— т)Ф'ФАт.

Откуда по лемме 1 следует требуемое утверждение.

□

В силу леммы 2 при ф > ф2 > 0

к(х,ф) — и™2(х)\ < 5 + И5е—^+ах

равномерно по е, где а = const > 0 и 6 = 6(ф2) > 0 может быть сделано произвольно малым. Значит w0 также удовлетворяет этому неравенству и условие (1.13) при ф ^ ж выполнено. В силу единственности, w0(x^) является единственной предельной точкой {w£}.

□

1.1.3 Возврат в декартовы координаты

Покажем, как соотносятся близкие решения в переменных Мизеса с исходными уравнениями. Для этого рассмотрим 0 < ф0 < ф1 < х, £ > 0, М1 > 0, М2 > 0, М3 > 0, М4 > 0, М5 > 0 и такие два решения ш>0 и что

\ш1 (х, ф) — ш0(х, ф)\ < г при 0 < ф < ф1,

М1ф < < М2ф при 0 < ф < ф0,

М1ф < < М2ф при 0 < ф < ф0, дш0

дф дш1

< Мз,

< М3,

дф

ш>0 > М4 при ф > ф0, > М4 при ф > ф0, 'Ш0 < М5, < М5.

Для решения ш> переменная у восстанавливается следующим образом:

Ф

У =

¿ф

у/м(х,фУ

откуда

Пусть

тогда

Ф

и х,

¿ф

Ф0

у=

\/ш(х,ф)

¿ф

\/ш(х,ф).

Ф1

¿ф

0 у/^о(х,ф) 0 у/^1(х,ф)'

Ф1

¿ф

Ф0

(ф

0 у/^1(х,ф) 0 \/ш)о(х,ф)

л/щХхф) \/то(х

Аф <

,ф)

Ф0

Аф —

Аф

Ф1

л/то(х,ф)

,ф)

А

о

А

Vхтх(х,ф) у/то(х,

Аф +

(х,ф) у/то(х,ф)

<

1 1 Ф1 1> 1 1

+ Аф + А

\Jrni (х,ф) л/то(х,ф) ^■Ш1(х,ф) л/то(х,ф)

Аф =

Аф <

Аф <

А

< 2

у/Щф

Ф1

Аф + 1щА)-*Ых,ф)— МхА

—3/2

<

<

е.

Тогда при А = ММ2 получаем,

Ф1 /

1

у/т^хф) \/то(х

,ф)

Аф < (ф1 + 2)е1/\

откуда

Ф0

Аф

Ф1

у/то(х,ф)

< (ф1 + 2)е1/А.

С другой стороны

Ф0

Аф

Ф1

^/то(х,ф)

>

Ф0

Ф1

Аф

тш

1о

уЩъ

откуда

ф — фо| <\Щь(ф1 + 2)е1/А

Тогда для решений ио и и1 исходных уравнений, соответствующих то и выполнено:

\щ(х,у) — ио(х,у)\ = ^^хф1) — то(х,ф°)1 <

1

1

1

1

1

1

1

1

|ш1(х,ф1) — ш0(х,ф1)| + |ш0(х,ф1) — ш>0(х,ф0)| <

г + Мз|ф1 — ф°\< г + Мзл/И5(ф1 + 2)г1/4.

Полученное неравенство позволяет оценить сверху порядок разницы решений исходного уравнения относительно решений уравнения в переменных Мизеса, тем самым установив их сходимость в декартовых координатах.

1.2 Течение неоднородной магнитной жидкости вдоль пористой пластины в

осциллирующем магнитном поле

В данном параграфе рассматривается стационарный магнитогидродинами-ческий пограничный слой неоднородной магнитной жидкости. Изучается асимптотическое поведение решения уравнения Прандтля для задачи с осциллирующим магнитным полем и условиями на границе обтекаемого тела. Основные результаты изложены в [1].

Рисунок 1.2 — Течение неоднородной магнитной жидкости вдоль пористой

пластины

Система уравнений Прандтля для плоского стационарного пограничного слоя в неоднородной магнитной жидкости описывается следующей системой уравнений:

"дуи — идх — % = -*(х'У)(и Х(х) — и) — их ди°°

дх

ди ду 0 дх ду

в области Б = {0 < х < X, 0 < у < х} с граничными условиями

и(0,у) = и (у),и(х,0) = 0,у (х,0) = V (х) и(х,у) ^ их) при у ^ х,

(1.22)

(1.23)

где ¿(х, у) = 5(х, у)В2(х)/р, 5 — проводимость жидкости, В — ортогональная к обтекаемой поверхности компонента магнитной индукции.

1.2.1 Замена Мизеса, обобщённое решение

Аналогично предыдущей задаче сделаем следующую замену переменных Мизеса для задачи (1.22) — (1.23) (х,у) ^ (х,ф):

(1.24)

ГУ* - гу>

- «ЛУ у

ф = ф(х,у),

где

дф

и = тг-, ду

т/ дф (1.25)

у — V = ——. 4 7

дх

ф(х,0) = 0,

В качестве новой неизвестной функции выступает

ш(х,ф) = и2 (х,у).

Область Б переходит в область П = {0 <х<Х,0 < ф < х}.

Задача (1.22) — (1 23) в переменных Мизеса ставится следующим образом:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Спиридонов, Сергей Викторович, 2018 год

Список литературы

1. Spiridonov S. V. Homogenization of a stratified magnetic fluid problem with mi-croinhomogeneous magnetic field and boundary data // Journal of Mathematical Sciences. —2010. —Vol. 165, issue 1.— P. 158-170. — DOI: 10.1007/s10958-010-9786-3.

2. Spiridonov S. V., Chechkin G. A. Percolation of the boundary layer of a newtonian fluid through a perforated obstacle // Journal of Mathematical Sciences. —

2010. — Vol. 166, issue 3. — P. 328-337. — DOI: 10.1007/s10958-010-9870-8.

3. ЛинкевичА. Ю., Спиридонов С. В., Чечкин Г. А. О пограничном слое неньютоновской жидкости, обтекающей шероховатую поверхность и проходящей через перфорированную преграду // Уфимский математический журнал. —

2011. —Т. 3,№3. —С. 93—104.

4. On a Thin Layer of Non-Newtonian Fluid on Rough Surface Percolating through Perforated Obstacle / A. Y. Linkevitch, S. V. Spiridonov, T. S. Ratiu, G. A. Chechkin // Journal of Mathematical Sciences. — 2013. — Vol. 189, issue 3. — P. 525-535.—DOI: 10.1007/s10958-013-1204-1.

5. Linkevich A. Y., Spiridonov S. V., Chechkin G. A. Homogenization of Stratified Dilatant Fluid // Journal of Mathematical Sciences. — 2014. — Vol. 202, issue 6.—P. 849-858.—DOI: 10.1007/s10958-014-2081-y.

6. Усреднение модифицированной жидкости О.А.Ладыженской, протекающей через пористую преграду / А. Ю. Линкевич, В. Н. Самохин, С. В. Спиридонов, Г. А. Чечкин // Известия высших учебных заведений. Проблемы полиграфии и издательского дела. — 2016. — № 2. — С. 25—35.

7. Спиридонов С. В., Чечкин Г. А. Асимптотическое поведение решений стационарной системы уравнений пограничного слоя для магнитной жидкости // Тезисы докладов III международной конференции "Математические идеи П.Л.Чебышёва и их приложение к современным проблемам естествознания". — Обнинск, Россия, 05.2006. — С. 121—122.

8. Спиридонов С. В. Усреднение решений стационарной системы уравнений пограничного слоя для магнитной жидкости // Международная конференция, посвящённая И.Г.Петровскому (XXII сессия совместных заседаний

ММО и семинара им. И.Г.Петровского): Тезисы докладов. — Москва : Изд-во МГУ, 05.2007. — С. 379.

9. Spiridonov S. V., Chechkin G. A. Homogenization of Stratified Boundary Layer of Viscous Fluid Percolated Through Perforated Obstacle // In: Book of Abstracts of the International Conference on Differential Equations and Dynamical Systems (July 2 - July 7, 2010, Suzdal, Russia). — Moscow: Steklov Mathematical Institute Press, 2010. — P. 76-77.

10. Spiridonov S. The boundary layer flowing through a porous barrier // Mathematics in Engineering, Science and Aerospace. — 2011. — Vol. 2, no. 1. — P. 1-16.

11. Линкевич А. Ю., Спиридонов С. В., Чечкин Г. А. Об асимптотическом поведении решений системы уравнений Прандтля для стратифицированной магнитной жидкости // Международная конференция, посвящённая 110 годовщине выдающегося математика И.Г.Петровскому (XXIII сессия совместных заседаний ММО и семинара им. И.Г.Петровского): Тезисы докладов. - М.: Изд-во МГУ и ООО "ИНТУИТ.РУ" — 2011. — С. 424.

12. Линкевич А. Ю., Спиридонов С. В., Чечкин Г. А. Об оценках решений системы уравнений Прандтля для микронеоднородной стратифицированной жидкости // Abstracts of the Sixth International Conference on Differential and Functional Differential Equations. — Peoples' Friendship University of Russia Press, 08.2011. —С. 97—98.

13. Linkevitch A. Y., Spiridonov S. V., Chechkin G. A. On Filtration ofNonnewtonian Fluid Passing Rough Surface, Through Perforated Obstacle // In: Book of Abstracts of the International Conference on Differential Equations and Dynamical Systems (June 29 - July 4, 2012, Suzdal, Russia). — Moscow: Steklov Mathematical Institute Press, 2012. — P. 106-107.

14. Левенштам В. Б. Обоснование метода усреднения для задачи конвекции при высокочастотных вибрациях // Сиб. матем. журн. — 1993. — Т. 34, № 2. — С. 92—109.

15. Симоненко И. Б. Обоснование метода осреднения для задачи конвекции в поле быстро осциллирующих сил и для других параболических уравнений // Матем. сб. — 1972. — Т. 87(129), № 2. — С. 236—253.

16. Polisevski D. Homogenization of Navier-Stokes model: the dependance upon parameters // ZAMP. — 1989. — Т. 40, № 3. — С. 387—394.

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

McLaughlin D., Papanicolaou G., Pironneau O. Nonlinear Evolution Equation with Rapidly Oscillating Initial Data // Lecture Notes in Physics. — 1982. — Т. 154. — С. 177—182.

Олейник О. А. О системе уравнений Прандтля в теории пограничного слоя // ДАН СССР. — 1963. — Т. 150, № 1. — С. 28—32.

Олейник О. А. О системе уравнений теории пограничного слоя // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1963. — Т. 3, № 3. —С. 489—507.

Олейник О. А. К математической теории пограничного слоя для нестационарного течения несжимаемой жидкости // Прикладная математика и механика. — 1966. — Т. 30, № 5. — С. 801—821.

Олейник О. А., Самохин В. Н. Математические методы в теории пограничного слоя. — М.: Наука. Физматлит, 1997. — 512 с. — ISBN 5-02-015202-1.

Самохин В. Н. Усреднение системы уравнений Прандтля // Дифференц. уравнения. — 1990. — Т. 26, № 3. — С. 495—501.

Романов М. С. Усреднение задач со многими масштабами в магнитной гидродинамике // Проблемы мат.анализа. — 2007. — № 35. — С. 133—138.

Сапунков Я. Г. Автомодельные решения пограничного слоя неньютоновской жидкости в магнитной гидродинамике // Изв. АН СССР. МЖГ. — 1967. — № 6. — С. 77—82.

Самохин В. Н. Математические вопросы магнитной гидродинамики неньютоновских сред. — М.: МГУП, 2004.

Рейнер М. Реология. —М.: Наука, 1965.

Уилкинсон У. Л. Неньютоновские жидкости. — М.: Мир, 1964.

Астарита Д., Маруччи Д. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. — М.: Мир, 1978.

Литвинов В. Г. Движение нелинейно-вязкой жидкости. — М.: Наука: Физматлит, 1982.

Шульман З. П., Берковский Б. М. Пограничный слой неньютоновских жидкостей. — Мн.: Наука и техника, 1966.

31. Самохин В. Н. О нестационарной системе уравнений МГД-пограничного слоя псевдопластической жидкости // Магнит.гидродинамика. — 1985. — № 1. —С. 130—132.

32. Самохин В. Н. О системе уравнений пограничного слоя проводящей псевдопластической жидкости в магнитном поле // Гидродинамика. — 1988. — №58. —С. 31—32.

33. Самохин В. Н. О системе уравнений ламинарного пограничного слоя при вдуве неньютоновской жидкости // Сиб. матем. журн. — 1993. — Т. 34, № 1. —С. 157—168.

34. Самохин В. Н., Фадеева Г. М., Чечкин Г. А. О непрерывной зависимости решения уравнений пограничного слоя от профиля начальных скоростей // Вестник МГУП им. Ивана Федорова. — 2010. — Т. 4. — С. 64—71.

35. Головкин К. К. Новые модельные уравнения движения вязкой жидкости и их однозначная разрешимость // Тр. МИАН СССР. — 1967. — Т. 102. — С. 29— 50.

36. Ладыженская О. А. О модификациях уравнений Навье-Стокса для больших градиентов скоростей // Тр. МИАН СССР. — 1967. — Т. 102. — С. 85—104.

37. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. — М.: Наука: Физматлит, 1970.

38. Самохин В. Н., Фадеева Г. М., Чечкин Г. А. Модификация О.А. Ладыженской уравнений Навье-Стокса и теория пограничного слоя // Вестник МГУП им. Ивана Федорова. — 2009. — Т. 5. — С. 127—143.

39. Самохин В. Н., Фадеева Г. М., Чечкин Г. А. Асимптотика решений уравнений пограничного слоя обобщённо ньютоновской среды при внешнем течении, близком к симметричному // Проблемы математического анализа. — 2011. — Т. 59.— С. 123—128.

40. Самохин В. Н., Фадеева Г. М., Чечкин Г. А. Уравнения пограничного слоя для модифицированной системы Навье-Стокса // Труды семинара им. И.Г.Петровского. — 2011. — Т. 28. — С. 329—361.

41. Самохин В. Н., Фадеева Г. М., Чечкин Г. А. Аттракторы системы уравнений пограничного слоя обобщённо ньютоновской среды // Вестник МГУП им. Ивана Федорова. — 2011. — Т. 1. — С. 245—249.

42. Романов М. С. Об усреднении пограничного слоя псевдопластической жидкости в присутствии быстроосциллирующих внешних сил // Труды семинара им. И.Г.Петровского. — 2011. — Т. 28. — С. 300—328.

43. Conca C. On the application of the homogenization theory to a class of problems arising in fluid mechanics // J. Math. Pures Appl. — 1985. — Т. 64, № 1. — С. 31—75.

44. Рыжов О. С., Савенков И. В. Пространственные возмущения, вносимые гармоническим осциллятором в пограничный слой на пластинке // Ж. вычисл. мат. и мат. физ. — 1988. — Т. 28, № 4. — С. 591—602.

45. Amirat Y., Chechkin G. A., Romanov M. S. On Multiscale Homogenization Problems in Boundary Layer Theory // Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Physik. — 2012. — Т. 63. — С. 475—502.

46. Bayada G., Chambat M. Homogenezation of the Stokes system in a thin film with rapidly varying thickness // Model. Math. et Anal. Number. (M2AN). — 1989. — Т. 23, № 2. — С. 205—234.

47. Ратью Т. С., Романов М. С., Чечкин Г. А. Усреднение уравнений динамики нематических жидких кристаллов с неоднородной плотностью // Проблемы математического анализа // Проблемы математического анализа. — 2012. — Т. 66.— С. 167—173.

48. Nematodynamics and Random Homogenization / G. A. Chechkin, T. P. Chechkina, T. S. Ratiu, M. S. Romanov // Applicable Analysis. — 2015.

49. Романов М. С., Самохин В. Н., Чечкин Г. А. О скорости сходимости решений уравнений Прандтля в быстро осциллирующем магнитном поле // Доклады РАН. — 2009. — Т. 426, № 4. — С. 450—456.

50. Самохин В. Н. // Технология полиграфии: физико-химические проблемы. Межвед. сб. научн. тр. — 2001. — Т. 17. — С. 84—90.

51. Самохин В. Н. // Известия вузов. Проблемы полиграфии и издательского дела. — 2012. — № 3. — С. 76—78.

52. Самохин В. Н. // Известия вузов. Проблемы полиграфии и издательского дела. — 2012. — № 4.

53. А. П. Ибрагимов, А. Ю. Линкевич, В. Н. Самохин, П. Н. Силенко, Г. А. Чечкин // Известия вузов. Проблемы полиграфии и издательского дела. — 2013.—№3. —С. 12—19.

54. А. П. Ибрагимов, А. Ю. Линкевич, В. Н. Самохин, П. Н. Силенко, Г. А. Чечкин // Известия вузов. Проблемы полиграфии и издательского дела. — 2015. — №3. — С. 37—43.

55. Belyaev A. G., Chechkin G. A., GadylShin R. R. Effective Membrane Permeability: Estimates and Low Concentration Asymptotics // SIAM J. Appl. Math. — 2000. — Т. 60, № 1. — С. 84—108.

56. Oleinik O. A., Chechkin G. A. On asymptotics of solutions and eigenvalues of the boundary value problems with rapidly alternating boundary conditions for the system of elasticity // Atti Accad. Naz. Lincei, Cl. Sci. Fis. Mat. Nat., IX. Ser., Rend. Lincei, Mat. Appl. 7. — 1996. — № 1. — С. 5—15.

57. Беляев А. Ю., Чечкин Г. А. Усреднение операторов с мелкомасштабной структурой граничных условий // Математические заметки. — 1999. — Т. 65, № 4.

58. Гадыльшин Р. Р., Чечкин Г. А. Краевая задача для Лапласиана с быстро меняющимся типом граничных условий в многомерной области // Сиб. мат. журнал. — 1999. — Т. 40, № 2. — С. 271—287.

59. Pérez M. E., Chechkin G. A., I. Y. E. Non-Periodic Boundary Homogenization and "Light"Concentrated Masses // Indiana University Mathematical Journal. — 2005. — Т. 54, № 2. — С. 321—348.

60. On Homogenization of Networks and Junctions / G. A. Chechkin, V. V. Jikov, D. Lukkassen, A. L. Piatnitski // Asymptotic Analysis. — 2002. — Т. 30, № 1. — С. 61—80.

61. Homogenization in Domains Randomly Perforated Along the Boundary / G. A. Chechkin, T. P. Chechkina, C. D'Apice, U. De Maio // Discrete and Continuous Dynamical Systems, Ser. B. — 2009. — Т. 12, № 4. — С. 713—730.

62. Влияние плазмы высокочастотного барьерного разряда на структуру динамического пограничного слоя на плоской поверхности / О. Г. Пенязьков, П. П. Храмцов, М. Ю. Черник, И. Н. Шатан, И. А. Ших // Инж.-физ. журнал. — 2008. — Т. 81, № 1. — С. 55—61.

63. Font G. I. Boundary Layer Control with Atmospheric Plasma Discharges // AIAA Paper 2004-3574. —.

64. Font G. I., Morgan W. L. Plasma Discharges in Atmospheric Pressure Oxygen for Boundary Layer Separation Control // AIAA Paper 2005-4632. —.

65. Roth J. R., Sherman D. M., Wilkinson S. P. Boundary Layer Flow Control with a one Atmosphere Uniform Glow Discharge Surface Plasma // Proceed. of 36th Aerospace Sciences Meeting and Exhibit, Reno, NV, January 12-15, 1998, AIAA paper 98-0328. —.

66. Boundary layer control by means of wall parallel Lorentz forces / T. Weier, U. Fey, G. Gerbeth, G. Mutschke, O. Lielausis, E. Platacis // Magnetohydrodynamics. — 2001. — T. 37, № 1/2. — C. 177—186.