Математические модели скользящего планирования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 08.00.13, кандидат физико-математических наук Каганович, Михаил Ильич

• Каганович, Михаил Ильич
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Каганович, Михаил Ильич

ВВЕДЕНИЕ.

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ.

Глава I. СКОЛЬЗЯЩЕЕ ПЛАНИРОВАНИЕ В МОДЕЛИ С ПЕРЕМЕННЫМИ

ВЫПУКЛЫМИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ МНОЖЕСТВАМИ.

1.1. Основные определения.

1.2. Предположения и результаты.

1.3. Теорема о магистрали.

1.4. Доказательство основного результата.

1.5. Доказательство вспомогательных утверждений.

Глава 2. СКОЛЬЗЯЩЕЕ ПЛАНИРОВАНИЕ В МЕЖОТРАСЛЕВОЙ МОДЕЛИ

С ПЕРЕМЕННЫМИ МАТРИЦАМИ.

2.1. Формулировка модели и основного результата.

2.2. Эффективные функционалы.

2.3. Доказательство теоремы 2.

2.4. Доказательство вспомогательных утверждений.

Глава 3. О СХОДИМОСТИ СКОЛЬЗЯЩИХ ПЛАНОВ.

Глава 4. СТРУКТУРА ОПТИМАЛЬНЫХ ТРАЕКТОРИЙ И СКОЛЬЗЯЩЕЕ

ПЛАНИРОВАНИЕ В УПРОЩЕННОЙ ^-МОДЕЛИ.

4.1. Постановка задачи и предположения.

4.2. Сводка результатов и схема доказетельства.

4.3. Доказательство вспомогательных лемм.

Глава 5. ОБ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ МЕЖОТРАСЛЕВЫХ РАСЧЕТАХ

МЕТОДОМ СКОЛЬЗЯЩЕГО ПЛАНИРОВАНИЯ.

5.1. Общие сведения о работе.

5.2. Соотношения модели.

5.3. Схема расчетов по методу скользящего планирования.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели скользящего планирования»

Диссертация посвящена математическому обоснованию эффективности известной процедуры скользящего планирования, заключающейся в регулярной корректировке долгосрочного плана со сдвигом вперед его временного горизонта. Траектории развития, строящиеся с помощью этой процедуры, исследуются в рамках динамических моделей экономики неймановского и леонтьевского типов с изменяющейся технологией. Основными результатами работы являются утверждения о приближенной оптимальности траекторий скользящего планирования.

Актуальность темы. Неопределенность будущих технологий, ресурсов и предпочтений, а также вычислительные трудности накладывают естественное ограничение на длину горизонта народнохозяйственного планирования. При планировании с конечным горизонтом возникает известная проблема выбора межотраслевых пропорций на конец планового периода (назначаемых в виде целевой функции или фиксированных плановых заданий). Пусть оптимальный перспективный Т -летний план определяется как траектория (т.е. последовательность векторов выпуска в каждый год планового периода) длины Т , максимизирующая некоторую функцию, зависящую от выцуска в последний год, при фиксированном векторе начального состояния и технологических ограничениях*. Ясно, что планы, получаемые на последние годы планового периода, существенным образом зависят от вы

35 Понятиям, используемым во введении, далее будут даны точные определения. бора целевой функции и тем самым могут, вообще говоря, быть неоптимальными с точки зрения дальнейшего развития, т.е. несогласованными с планами последующего периода. Точнее, план на 2Т-летний период, получаемый стыковкой двух последовательных оптимальных Т -летних планов, вообще говоря, сам не будет оптимальным. Поэтоаду для обоснованного определения плановых заданий на некоторый момент времени необходимо принимать в расчет экономические возможности и цели на последующую перспективу (после-плановый период). В свою очередь, при выборе целей развития для указанного послепланового периода необходим учет еще более далекой перспективы и т.д. На этом требовании основан известный в теории и практике перспективного планирования и прогнозирования принцип скользящего планирования (см. /12, с. 59/, /14, с. 43/, /18, с. 3-4/, /24/, /36, с. 208-209/, /43/), согласно которому принятие текущего краткосрочного плана осуществляется в рамках регулярной корректировки долгосрочного плана со сдвигом вперед / его временнбго горизонта. Общепризнано, что народнохозяйственное планирование целесообразно строить именно по этому принципу35. Реализация последнего отвечает актуальной задаче совершенствования системы планирования. Между тем, теоретически процедура скользящего планирования исследована и обоснована недостаточно, а опыт ее применения в практических плановых расчетах на макроуровне отсутствует.

Скользящее планирование состоит формально в следующем: в конце каждого года (или более длительного периода), исходя из достигнутого состояния, заново рассчитывается оптимальная траекто Сфера применимости метода скользящего планирования, разумеется, не исчерпывается задачами макроуровня. Исследованию его свойств в моделях оперативного управления производством посвящены статьи /5, 30, 31/. рия, причем горизонт планирования Т (назовем его горизонтом скольжения) остается постоянным, а в критерий оптимизации могут на каждой итерации вноситься изменения. Рассчитанным Т -летним планом руководствуются в течение первого года, а затем осуществляется новая итерация перспективных расчетов. Заметим,что такая схема планирования хорошо вписывается в естественную ситуацию, когда горизонт прогнозирования будущих технологических возможностей ограничен некоторым числом лет ( Т ), и отвечает требованию учета послеплановой перспективы при принятии плановых решений (согласно описанной схеме, план на некоторый год окончательно принимается, если к моменту его составления имелся достоверный прогноз динамики технологических параметров на достаточно длинный последующий период).

Поскольку скользящий план "склеен" из начальных участков оптимальных траекторий, то можно надеяться, что влияние на него произвола при выборе целевых функций (терминальных условий), используемых при построении этих траекторий, относительно невелико. Это позволяет рассматривать скользящее планирование как возможный подход к решению обсуждавшейся выше проблемы динамического согласования плановых заданий. Отметим, что для достижения полного согласования, вообще говоря, потребовался бы учет бесконечной перспективы, т.е. решение задачи оптимального планирования на бесконечном интервале времени. Результат точного решения такой задачи, называемый бесконечной оптимальной траекторией, являясь, разумеется, чисто абстрактным объектом, служит удобным эталоном при рассмотрении динамических планов. В частности, проблему обеспечения согласованности динамических планов можно сфор-лулировать как задачу приближенного вычисления бесконечной оптимальной траектории. Известно, что если технологические параметры постоянны во времени, то в ряде случаев, решив экстремальную задачу относительно небольшой размерности, можно найти стационарное состояние (так наз. луч сбалансированного роста, или магистраль). Из теорем о магистрали (см. /16, 20, 21/) следует, что траектория, осуществляющая выход из начального состояния за конечный промежуток времени на указанный луч и дальнейшее движение по нему с максимальным темпом, аппроксимирует бесконечную оптимальную траекторию. Однако в реальной ситуации, когда происходят технологические изменения, этот метод не применим, и следует обратиться к итеративным процедурам, какой и является скользящее планирование.

Краткий обзор литературы*. Предположение о приближенной оптимальности скользящего планирования подтверждается результатами ряда работ, где оно изучается с помощью математических моделей. Переходя к их обсуждению, прежде всего следует отметить, что интерес представляют универсальные свойства рассматриваемой процедуры, т.е. присущие любой строящейся с ее помощью траектории. Очевидно, что если существует бесконечная оптимальная траектория, то существует и оптимальный (совпадающий с ней) скользящий план, однако задача его нахождения эквивалентна вычислению самой бесконечной оптимальной траектории. В /39/ рассмотрена такая исключительная ситуация, когда учет динамики технологических параметров и целевых функций на ближайший период, ограниченный некоторым горизонтом Т , позволяет принимать текущие решения, оптимальные и с точки зрения более отдаленной перспективы. Ясно, что в этом случае скользящее планирование с горизонтом не менее Т гарантирует оптимальность развития на бесконечном интервале к Достаточно полный обзор современного состояния теории экономической динамики сделан в /26/, поэтому здесь мы ограничиваемся упоминанием работ, имеющих непосредственное отношение к проблеме скользящего планирования. времени. На аналогичный факт указано в /10/.

В /34/ траектории скользящего планирования изучаются в рамках неоклассической модели оптимального экономического роста с непрерывным временем. Рассматриваются две стратегии назначения терминальных условий (в виде ограничения снизу на величину фондовооруженности труда в конце периода планирования). Доказано, что если величина терминальной фондовооруженности к остается постоянной от итерации к итерации, то скользящее планирование в пределе приводит к некоторой (вообще говоря, неоптимальной) траектории сбалансированного роста, параметры которой зависят от использовавшейся величины к . Если же на каждой итерации ставится условие, чтобы к концу периода планирования фондовооруженность была не меньшей, чем в текущий момент - ^ к^. , где t - текущий (для данной итерации) момент, Т - горизонт скольжения, - то траектория скользящего планирования стремится к траектории оптимального сбалансированного роста (магистрали), а тем самым и к бесконечной оптимальной траектории. В /3/ для модели Неймана-Леонтьева с постоянной матрицей технологических коэффициентов при условии ее так наз. примитивности доказывается существование траекторий скользящего планирования, лежащих вблизи неймановского луча - магистрали. Кроме того, приведен пример траектории скользящего планирования, целиком лежащей на некотором луче сбалансированного роста, близком к неймановскому, но не совпадающем с ним. В /48/ для модели Неймана-Гейла (охватывающей, в частности, случай, рассмотренный в /3/) доказано, что в условиях теоремы о магистрали в сильной форме всякий скользящий план, построенный с использованием достаточно большого горизонта скольжения, лежит, начиная с некоторого момента, в малой окрестности магистрали. Во всех трех названных работах предполагается, что технология не меняется во времени. Однако, как отмечалось выше, наибольшее значение имеет выяснение свойств процедуры скользящего планирования при наличии технологических изменений. В /22/*, где рассматривается модель равновесного экономического роста, изменение технологий допускается в пределах равномерных ограничений, и кроме того, предполагается, что технологические множества удовлетворяют равномерному условию строгой выпуклости. Траектория скользящего планирования строится в результате последовательных пересчетов траекторий равновесного роста с фиксированным конечным плановым горизонтом и нулевыми терминальными условиями (заданиями на объем производственного накопления в последний момент планового периода). Доказано, что при достаточно большом горизонте скольжения скользящее планирование обеспечивает движение системы вблизи траектории, описывающей оптимальное равновесное развитие на бесконечном интервале времени.

Уместно также упомянуть работы /38/ и /40/, где в рамках модели Неймана-Леонтьева с изменяющейся матрицей технологических коэффициентов рассматривается проблема определения длины периода планирования, достаточной для принятия плановых решений, позволяющих, в случае заблаговременной их корректировки (за определенное число лет до истечения достоверного прогноза технологий), достигнуть значений целевых показателей, близких к оптимальным. Однако, при скользящем планировании такие корректировки производятся многократно, и возникает вопрос, не происходит ли при этом накопления ошибок, приводящего к существенному отклонению от оптимума. Решение именно этой проблемы составляет основное содержание доказательства утверждений о приближенной оптимальности траекторий скользящего планирования. С результатами этой работы автор был знаком до написания

Основной целью диссертации является математическое обоснование эффективности процедуры скользящего планирования в случае изменяющейся технологии в рамках получивших большое распространение динамических межотраслевых моделей неймановского и леонтьевского типов, в том числе моделей, используемых для практических расчетов.

Содержание работы. Среди множества моделей неймановского типа можно выделить два важных класса, различающихся по форме представления технологических ограничений:

1) Технологические множества (объединяющие допустимые технологические процессы) являются строго выпуклыми конусами.

Конусность следует из предположения о линейной зависимости объема выпуска от объема производственных затрат*, свойство же строгой выпуклости можно интерпретировать как явление "внешней экономии", при котором одновременное использование различных технологических процессов приводит к повышению совокупной эффективности .

2) Технологические ограничения заданы в виде линейных неравенств с использованием матриц технологических коэффициентов, что соответствует классической модели Неймана (здесь для простоты рассматривается известный частный случай - модель леонтьевского типа). Заметим, что в моделях этого класса технологические множества являются многогранными выпуклыми конусами.

Как известно, матричные динамические модели нашли широкое применение в практике планирования и прогнозирования, однако и модели, относящиеся к первому классу, представляют не только теоретический интерес, так как к ним можно свести некоторые модели (с дискретным временем), использующие производственные функции

35 Случай неконусной технологии, при которой отдача убывает с ростом масштаба производства, рассматривался автором в /47/.

-см., например, /27/.

Моделям из первого класса, т.е. так наз. моделям Неймана-Гейла, посвящена глава I, в главе 2 рассматривается классическая модель Неймана-Леонтьева, принадлежащая ко второму классу. Содержание излагаемых результатов состоит в основном в утверждении, что любая траектория скользящего планирования является близкой (в смысле межотраслевых пропорций) к бесконечной оптимальной, причем указанная близость, вообще говоря, тем теснее, чем больше горизонт скольжения. Используемые в доказательствах предположения различны для названных классов моделей. В первом случае, подобно /22/, предполагается, что условие строгой выпуклости выполняется в некотором смысле равномерно для всей последовательности технологических множеств. Во втором - что технологические матрицы примитивны, и притом также равномерно. Напомним, что траектория скользящего планирования "склеена" из начальных участков оптимальных траекторий. В доказательстве основных результатов глав I и 2 - теорем I.I и 2.1, соответственно, - можно выделить два основных момента: I) доказывается, что начальные участки оптимальных траекторий малочувствительны по отношению к изменению терминальных условий и длины интервала планирования, если последняя достаточно велика (это свойство оптимальных траекторий весьма типично для многих динамических моделей экономики - см. /32, 35, 42/); 2) устанавливается, что накопление "ошибок" на итерациях скользящего планирования не приводит к существенному отклонению межотраслевой структуры получаемой траектории от оптимальной (т.е. соответствующей бесконечной оптимальной траектории). При анализе чувствительности отклонения будут измеряться с помощью специальных нелинейных функционалов ("цен"), называемых эффективными функционалами, которые являются опорными для любой бесконечной оптимальной траектории (независимо от ее начального состояния). Это понятие было предложено в /25/ для стационарной технологии. Здесь оно естественным образом обобщается на случай изменяющейся технологии.

Следует отметить, что в большинстве названных результатов речь идет о некотором приближении скользящих планов (при фиксированном горизонте скольжения) к бесконечной оптимальной траектории, т.е. попадание в ее малую окрестность. Приводившиеся выше примеры из /3, 34/ показывают, что некоторые скользящие планы могут отклоняться в пределах этой окрестности от бесконечной оптимальной траектории и тем самым не достигать максимальных темпов роста. В связи с этим возникает вопрос о возможности построения такого специального алгоритма скользящего планирования, который позволял бы строить траектории, сходящиеся к бесконечной оптимальной. В упоминавшемся результате из /34/ сходимость скользящего плана к оптимальной траектории сбалансированного роста в неоклассической модели обеспечивалась с помощью специальной стратегии назначения терминальных условий. В главе 3 аналогичная стратегия применяется при построении траекторий скользящего планирования в модели Неймана-Леонтьева с постоянной матрицей технологических коэффициентов: на каждом шаге t+i решается задача максимизации выпуска в конечный момент t +Т при фиксированных пропорциях, соответствующих состоянию в исходный момент i , т.е. используется полученная на предыдущем шаге информация. Доказывается сходимость строящихся таким образом скользящих планов к магистрали - траектории максимального сбалансированного роста.

В главе 4 рассматривается открытая динамическая модель, представляющая собой упрощенный вариант Иь -модели /II/. Ее основное отличие от традиционных моделей леонтьевского типа состоит в том, что помимо параметров, характеризующих затраты и выпуск продукции, в ней представлены также величины, описывающие динамику произволственных мощностей. Такая и подобные постановки лежат в основе ряда моделей, применяемых для вариантных расчетов в процессе разработки сводного раздела перспективных планов - см., например, /4, 15, 17/. Цель главы 4 - изучение свойств оптимальных траекторий и траекторий скользящего планирования в упрощенной $С -модели с одной фондообразующей отраслью при медленно изменяющихся технологических коэффициентах. При условии, что абсолютная величина годового изменения каждого технологического коэффициента не превосходит некоторой малой константы (зависящей от параметров модели), дано описание оптимальных траекторий и траекторий скользящего планирования, из которого следует их структурная близость. Таким образом и в этой модели скользящее планирование обладает свойством приближенной оптимальности. Однако из полученного в главе 4 результата вытекает также, что в рассматриваемой ситуации существует способ точного построения ("синтеза") бесконечной оптимальной траектории. А именно, подобно случаю, когда технология постоянна, следует из начального состояния за определенное число лет А/ выйти в состояние со стационарной межотраслевой структурой, которая определяется значениями технологических коэффициентов года ta + N , где ~tQ - начальный момент. Затем движение должно происходить в режиме, аналогичном максимально^ сбалансированному росту: для каждого года решается одношаговая задача максимизации объема выпуска продукции в фиксированной межотраслевой структуре, которая, однако, зависит от текущих значений технологических коэффициентов и медленно изменяется вместе с ними.

В главе 5 содержится информация о работе, ответственным исполнителем которой является автор, по проведению практических расчетов методом скользящего планирования, включенной в план создания АСПР Госплана Эстонской ССР. Излагается оптимизационная динамическая межотраслевая модель, подобная рассмотренной в главе

4, и алгоритм расчетов по ней, реализующий метод скользящего планирования. В отличие от данного выше определения скользящего планирования на итерациях этого алгоритма решается задача планирования, в которой технологические коэффициенты постоянны - используются их значения, соответствующие текущему (для данной итерации) году. При этом получаемая в результате траектория скользящего планирования удовлетворяет ограничениям задачи с изменяющимися технологическими коэффициентами. Такая модификация метода скользящего планирования обладает очевидными вычислительными преимуществами. Эвристическим основанием для ее применения является полученный в главе 4 результат для упрощенной модели, согласно которому значения выходных переменных, получаемых при скользящем планировании, не зависят от будущих значений технологических коэффициентов, если последние изменяются достаточно медленно.

В приложении приведен иллюстративный пример расчета скользящего плана по алгоритму, изложенному в главе 5.

Научная новизна работы. В диссертации впервые изучены свойства траекторий скользящего планирования (доказана их приближенная оптимальность) в динамических моделях неймановского типа с изменяющейся технологией. В частности, выяснена структура оптимальных траекторий и траекторий скользящего планирования для упрощенного варианта одной распространенной прикладной модели ( ЦС -модели) с медленно изменяющимися матрицами технологических коэффициентов - ранее подобные модели изучались математически лишь при постоянных матрицах. Доказательства основных результатов диссертации существенно опираются на предложенное автором обобщение понятия эффективных функционалов в динамических моделях на случай изменяющейся технологии.

Практическая значимость диссертации. Полученные в работе результаты о приближенной оптимальности скользящего планирования позволяют рекомендовать его использование для вариантных расчетов в процессе разработки сводного раздела перспективных народнохозяйственных планов. Экспериментальные расчеты этим методом по динамической народнохозяйственной модели проводятся при участии автора в рамках плана создания АСПР Госплана Эстонской ССР. Наиболее целесообразно применять метод скользящего планирования на базе уже функционирующих систем плановых расчетов по оптимизационным динамическим межотраслевым моделям.

Доклады, публикации. Результаты диссертации докладывались автором на I Всесоюзной конференции "Системное моделирование социально-экономических процессов" (Воронеж, 1980), УШ Всесоюзном совещании по проблемам управления (Таллин, 1980), Второй конференции по оптимальному планированию и управлению народным хозяйством (Москва, 1983), на всесоюзных и республиканских школах и семинарах, а также на научных семинарах Института кибернетики АН ЭССР, ЦЭМИ АН СССР и ИПУ АН СССР. По теме диссертации автором опубликовано 10 научных работ /45-54/.

Связь с планом научных работ. Диссертация выполнена в соответствии с планом научно-исследовательских и опытных работ Института кибернетики АН Эстонской ССР в области естественных и общественных наук по проблеме IЛ.17.10 "Теория оптимизации" по темам:

- "Разработка методов решения задач оптимизации иерархических структур, динамической оптимизации и нелинейных уравнений" (№ гос. регистрации 8II0398I);

- "Приспособление методов оптимизации к решению прикладных задач" (№ гос. регистрации 81103982).

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

R — п -мерное линейное пространство. X*Y - прямое произведение пространств X и Y . X = (Х(*\ Ха\ . ,ХСп')) в - вектор с координатами Х^ . х > IJ,) , где Х,^. е ft^ , означает, что ^ (соответственно, х^ > ), j = 4,.,1г .

Аналогично, если - матрицы одинаковой размерности, то записи А^В и А > В (ив частности, А * О и А > 0 ) означают выполнение для всех элементов неравенств dLj

-У v и ау > -V CL- ^ О и &■■> О , соответственно). !/ , f/ соответственно

R+ ~ { X & R,n \ X - неотрицательный ортант . п.

X Ц , где /а/ - абсолютная llxll =]L.lxJl для j=/t величина числа Л .

11^11 рами X и ^ .

- угловое расстояние между вектоx,lf) fx^ j.Х^ i^., 2/г-мерный вектор, составленный из векторов ОС и & R, п. -Z- jlJ'X>

- скалярное произведение векторов /г и X ^ (линейные функционалы в Й^ отождествляются

А И с векторами из И ). Если а - скаляр, то ах - результат умножения вектора X на число Л . т (ос) = пиль x(j). jп вей - вектор, все координаты которого 4 б - матрица размерности п х п , все элементы которой равны I.

Е - единичная матрица.

Ах , где /4 - матрица размерности /г * п , X ^ ЦП , понимается как умножение матрицы справа на вектор-столбец. где jz в R,*1 , - как умножение матрицы слева на вектор-строку.

Т - знак транспортирования, так что если X рассматривается т как вектор-строка, то X - вектор-столбец.

А = А ' А ' ••• ' А} - к -я степень квадратной матрицы /4 -Yк раз

Если к = О , то /4 единичная матрица.

11/41- пихсс, 2 I - норма матрицы А . L~4 J

П оС - произведение чисел i =г

Ы- X - внутренняя часть множества X .

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Каганович, Михаил Ильич, 1984 год

1. Ашманов С.А. Алгебраический подход к доказательству теорем о магистрали. - ЖВМ и МФ, 1983, т. 23, №5, с. 1052-1059.

2. Беленький В.З., Волконский В.А., Павлов Н.В. Динамические межотраслевые модели, их использование для расчетов плана и цени экономического анализа. Экономика и матем. методы, 1972, т. 8, вып. 4, с. 495-511.

3. Березнева Т.Д. Некоторые асимптотические свойства оптимальных траекторий динамической межотраслевой модели. Экономика и матем. методы, 1976, т. 12, вып. 4, с. 740-746.

4. Биргер Е.С., Уринсон Я.М., Чарный В.И. Опыт построения динамической межотраслевой модели. Экономика и матем. методы, 1978, т. 14, вып. 3, с. 465-479.

5. Гайцгори В.Г., Первозванский А.А. 0 приближенной оптимальности скользящего планирования. Автоматика и телемеханика, 1977, № Ю, с. 93-99.

6. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. - 576 с.

7. Гейл Д. Замкнутая линейная модель производства. В кн.: Линейные неравенства и смежные вопросы. - М.: ИЛ, 1959, с. 382400.

8. Дюкалов А.Н. Некоторые задачи прикладной математической экономики. М.: Наука, 1983. - 120 с.

9. Ефимов М.Н., Мовшович С.М. Анализ сбалансированного роста в динамической модели народного хозяйства. Экономика и матем. методы, 1973, т. 9, вып. I, с. 32-43.

10. Зеликина Л.Ф. Оптимальные вложения в научно-технический прогресс в макроэкономических моделях и магистральные теоремы. -Экономика и матем. методы, 1975, т. II, вып. 3, с. 453-467.

11. Иванилов Ю.П., Петров А.А. Динамическая модель расширения и перестройки производства ( Ji -модель). В кн.: Кибернетику на службу коммунизму. - М.: Энергия, 1971, т. 6, с. 23-50.

12. Казакевич Д.М. Очерки теории социалистической экономики. -Новосибирск: Наука, 1980. 368 с.

13. Клоцвог Ф.Н. и др. Модель межотраслевого баланса с элементами оптимизации. Экономика и матем. методы, 1971, т. 7, вып. 5, с. 643-657.

14. Комплексное народнохозяйственное планирование. М.: Экономика, 1974. - 240 с.

15. Комплекс укрупненных межотраслевых моделей. Кн. I. Методические материалы/ ГВЦ Госплана СССР, ЦЭМИ АН СССР. М.: 1982.

16. Макаров B.JI., рубинов A.M. Математическая теория экономической динамики и равновесия. М.: Наука, 1973. - 336 с.

17. Методические указания к разработке государственных планов экономического и социального развития СССР. М.: Экономика, 1980. - 776 с.

18. Мовшович С.М. Магистральный рост в динамических народнохозяйственных моделях. Экономика и матем. методы, 1972, т. 8, вып. 2, с. 256-265.

19. Моришима М. Равновесие, устойчивость, рост. М.: Наука, 1972. - 280 с.

20. Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая экономика. -М.: Мир, 1972. 519 с.

21. Полтерович В.М. Эффективный равновесный рост и скользящее планирование. Экономика и матем. методы, 1979, т. 15, вып. 4, с. 760-773.

22. Рао С.Р. Линейные статистические методы и их применения. -М.: Наука, 1968. 548 с.

23. Шапиев К.Ш. Об одном обобщении теоремы о магистрали Раднера.- В кн.: Оптимальное планирование. Новосибирск: Наука, 1968, вып. 10, с. 7-13.

24. Brock W. Sensitivity of Optimal Growth Peaths with Respect to a Change in Target Stocks. In: Zeitschrift fur Nationaloko-nomie, Suppl. 1, 1971, p. 73-89.

25. Gantz D. A Strong Turnpike Theorem for a Nonstationary von Neumann-Gale Production Model. Econometrica, 1980, vol. 48, No. 7, p. 1777-1790.

26. Goldman S. Optimal Growth and Continual Planning Revision. -- Review of Economic Studies, 1968, vol 35, Ho. 2, p.145-154.35* Hammond P. Agreeable Plans with Many Capital Goods. Review of Economic Studies, 1975, vol. 42, Ho. 1, p. 1-14.

27. Johansen L. Lectures on Macroeconomic Planning. Part 1, -Amsterdam: North Holland, 1977. 355 p.

28. Keeler E. A Twisted Turnpike. International Economic Review, 1972, vol. 13, No. 1, p. 160-166.

29. Los J. The Approximative Horizon in von Neumann Models of Optimal Growth. In: Zeitschrift fur Nationalokonomie, Suppl. 1, 1971, p. 99-106.

30. Morishima M. Proof of a Turnpike Theorem: the "No Joint Production" Case. Review of Economic Studies, 1961, vol. 28, No. 2, p. 89-97.

31. Neimuth M. Sensitivity of Optimal Growth Paths. Journal of Mathematical Economics, 1978, vol. 5, No. 3, p.289-301.

32. Каганович М.И. Теорема о магистрали для неограниченной выпуклой технологии. Экономика и матем. методы, 1979, т. 15, вып. 4, с. 994-1001.

33. Каганович М.И. Скользящее планирование в модели Неймана-Гейла. Изв. АН Эст.ССР. Физ. Матем., 1979, т. 28, $ 4, с. 310-316.

34. Каганович М.И. 0 сходимости траекторий скользящего планирования в динамической межотраслевой модели. Изв. АН Эст.ССР. Физ. Матем., 1980, т. 29, № 2, с. 145-149.

35. Каганович М.И. Асимптотические свойства траекторий скользящего планирования в моделях неймановского типа. В кн.: Системное моделирование социально-экономических процессов: Тез. докл. и сообщений I Всесоюз. конф. Часть 1.-Воронеж: 1980, с. 72-74.

36. Kaganovich М. Approximate Effective Design and Sliding Planning. Изв. АН Эст.ССР. Физ. Матем., 1981, т. 30, № I, с. 29-34.

37. Каганович М.И. Математические модели скользящего планирования. Таллин: Валгус, 1983. - 76 с.

38. Каганович М.И. Скользящее планирование в динамических межотраслевых моделях с изменяющейся технологией. В кн.: Вторая конференция по оптимальному планированию и управлению народным хозяйством. Секция Ш: Тез. докл. - М.: 1983, с. 89-92.