Качественная теория многосекторных моделей экономической динамики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 08.00.13, доктор физико-математических наук Ашманов, Станислав Александрович

• Ашманов, Станислав Александрович
• доктор физико-математических наук
• 1983

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Ашманов, Станислав Александрович

В в е д е н и е

Обозначения.

ГЛАВА I. МОДЕЛЬ ВЗАИМОСВЯЗИ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОГО СНАБЖЕНИЯ И ОСНОВНОГО ПРОИЗВОДСТВА.

§ I. Оценка качества работы системы материально-технического снабжения - важная народнохозяйственная проблема.

§ 2. Содержательные предпосылки модели взаимосвязи.

§ 3. Экономико-математические предпосылки модели взаимосвязи.

§ 4. Описание модели взаимосвязи основного производства и системы материально-технического снабжения.

ГЛАВА 2. РАВНОВЕСИЕ В МНОГОСЕКТОРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ

МОДЕЛЯХ ПРОИЗВОДСТВА.

§ I. Описание модели Неймана.

§ 2. Конструктивное доказательство существования равновесия в модели Неймана.

§ 3. Равновесие в моделях неймановского типа.

§ 4. Равновесие в модели с произвольной функцией спроса.«.

ГЛАВА 3. МЕТОДЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ

ТРАЕКТОРИЙ В ДИНАМИЧЕСКИХ ЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ

§ I, Магистральная теория - средство анализа оптимальных траекторий.

- з

§ 2. Теорема о магистрали для общей модели неймановского типа.

§ 3. Теорема о магистрали для нетерминальной целевой функции.

ГЛАВА 4. ПРОБЛЕМА УСТОЙЧИВОСТИ ЗАДАЧ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ.

§ I. Понятие устойчивости задач линейного программи-' рования.

§ 2. Параметрические системы линейных неравенств.

§ 3. Необходимые и достаточные условия устойчивости задач линейного программирования.

§ 4. Регуляризация неустойчивых задач.

§ 5. Дифференциальные свойства функции значений задачи линейного программирования.

ГЛАВА 5. ИССЛЕДОВАНИЕ ИМИТАЦИОННОЙ МОДЕЛИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

ОСНОВНОГО ПРОИЗВОДСТВА С ИНФРАСТРУКТУРНОЙ ОТРАСЛЬЮ.

§ I. Равновесие в модели динамического межотраслевого баланса.

§ 2. Оптимальные траектории модели динамического межотраслевого баланса.

§ 3. Статистическая информация и организация расчетов.

§ 4. Описание численных экспериментов и анализ результатов. ЭД

3 а к л ю ч е н и е.

Л и т е р а тур а.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Качественная теория многосекторных моделей экономической динамики»

Данная работа посвящена качественной теории многосекторных моделей экономической динамики. Побудительным мотивом для получения значительной части излагаемых результатов послужила деятельность автора по изучению конкретной отрасли народного хозяйства - системы материально-технического снабжения и ее влияния на основное производство. Исследования по этой проблеме систематически ведутся на кафедре математических методов анализа экономики экономического факультета МГУ под научным руководством чл.-корр. АН СССР С.С.Шаталина и доцента, кандидата экономических наук И.В.Нита. Автор в течение долгого времени сотрудничал с И.В.Нитом и коллективом хоздоговорной группы упомянутой кафедры в качестве консультанта по математическим вопросам моделирования и анализа экономических моделей. Целью такого сотрудничества было построение формальной экономико-математической модели, которая, будучи насыщена конкретной статистической информацией, позволила бы оценить вклад системы материально-технического снабжения в создание валового национального продукта. Понятно, что правильная оценка деятельности столь глобальной по своим масштабам отрасли народного хозяйства, как система материального снабжения, является важнейшей народнохозяйственной проблемой. От решения этого вопроса зависит определение наилучших пропорций развития основного производства и системы маттехснаба, определение перспективных путей развития этой отрасли и в конечном счете, повышения эффективности всего общественного производства.

Несомненно, что решение столь большой и важной проблемы не может быть получено легко и просто. Автор ставил перед собой цель хотя бы нащупать подходы к ее изучению.

Основная трудность в оценке качества работы материально

- 6Гтехнического снабжения происходит от того, что эта система представляет собой типичную инфраструктурную отрасль. Это, в частности, означает, что результаты деятельности отрасли наблюдаются лишь опосредовано через результаты функционирования основного производства. Поэтому выбор в качестве оценки работы системы маттехснаба каких-либо частных показателей, как это принято в настоящее время, является вынужденным компромиссом. Решения партии и правительства призывают оценивать деятельность каждого участка общественного производства по конечным народнохозяйственным результатам. Тем более это необходимо по отношению к отраслям инфраструктурной сферы.

Таким образом, задача оценки качества'.функционирования системы материально-технического снабжения в целом требует включения в свою орбиту основных производящих отраслей с учетом их взаимосвязей с маттехснабом.

В работе предлагается соответствующая экономико-математическая модель, основные предпосылки которой таковы: специальный блок описывает функционирование основного производства; второй основной блок отражает деятельность системы материально-технического снабжения. Имеется описание связей между блоками, так что любые технические или организационные изменения в одном из них сказывается на работе второго. Из модели сознательно исключены некоторые компоненты общественного производства (связь, транспорт), чтобы более выпукло проследить роль маттехснаба.

На основе предложенной теоретической схемы была построена имитационная модель, насыщенная статистической информацией. С имитационной моделью проделан целый ряд экспериментов и получены интересные выводы. Вместе с тем понятно, что данный этап работы с моделью является лишь предварительным. Экспериментальная

- б работа с этой схемой рассчитана на длительный период с последующим использованием получаемой информации, введением новых статистических данных, расширением области обследований, уточнением параметров и т.д.

Описанию модели взаимосвязи системы материально-технического снабжения и основного производства посвящена глава I.

Следует сказать, что для создания упомянутой модели пришлось провести большую исследовательскую и организационную работу. Так, описание функционирования системы материально-технического снабжения в целом проделано, по-видимому, впервые. С этой целью проводились обследования конкретных территориальных управлений Госснаба СССР, был организован сбор информации, отсутствующей в центральных органах.

Целый ряд теоретических проблем возник в связи с моделированием блока основного производства. В качестве базовой схемы была выбрана модель динамического межотраслевого баланса. Мы условно называем ее 7Г - модель, подчеркивая ее близость к построениям Иванилова Ю.П. и Петрова A.A. Процесс взаимосвязи двух блоков имитационной модели предполагает многократное решение динамических оптимизационных задач. В связи с большой размерностью возникающих матриц потребовалось провести качественное исследование эффективных (оптимальных) траекторий с тем, чтобы в ряде случаев заменить громоздкий поиск оптимальных траекторий более простой процедурой поиска близких к ним допустимых решений.

Подобные исследования удобно проводить в рамках так называемой модели Неймана. В главе П показано, что Ту" - модель может быть сведена к виду, формально напоминающему стандартный вариант модели Неймана, однако осложненный тем обстоятельством, что возникающие матрицы имеют отрицательные элементы. Вследствие

- * этого оказалось невозможным применить в нашей ситуации наиболее мощный инструмент из теории динамических процессов производства - магистральные теоремы. Автору удалось разработать новый метод получения подобных результатов для весьма широкого класса линейных моделей и доказать достаточно общую теорему о магистрали.

Здесь следует отметить прием, изобретенный автором для этой цели: с помощью введения алгебраического поля формальных степенных рядов задача исследования бесконечной последовательности разностных уравнений сведена к решению обычной системы уравнений. Полученный результат был применен к изучаемому варианту 7/ -модели и позволил сделать важные выводы: для произвольной оптимальной траектории соотношение между текущими затратами на оборотные средства и капиталовложениями на расширение производства должно сохраняться почти неизменным и быть близким к числу, для вычисления которого предложена несложная формула.

Основой всех рассуждений, связанных с качественным исследованием оптимальных траекторий, является понятие положения равновесия модели Неймана. Автором предложен конструктивный метод отыскания равновесия, дающий также доказательство его существования.

При использовании схем типа 7? -модели, отражающей многие существенные черты общественного производства, для моделирования процесса планирования на конечный промежуток времени важным моментом является так называемая проблема экономического горизонта. В том случае, когда рассматривается терминальный целевой функционал, нет оснований опасаться каких-либо нежелательных эффектов, связанных с ограниченностью планового промежутка. Однако, если целевой функционал носит интегральный характер, может случиться, что оптимальная с формально-математической точки зрения траектория окажется неприемлемой с содержательной стороны -к концу планового периода основные фонды производства окажутся на недопустимо низком уровне. Это означает, что следует менять исходную постановку задачи - условие достижения запланированного уровня в последнем периоде нужно включать в ее ограничения. Однако, в таком случае неизвестно, будет ли по-прежнему иметь место магистральный эффект, который сыграл столь важную роль в нашем исследовании оптимальных траекторий 7Г -модели с терминальным функционалом. Автором исследована подобная постановка проблемы и показано, что и в данной ситуации магистральный эффект имеет место, что позволяет в имитационной модели рассматривать и интегральный критерий.

Подобная постановка вопроса для многосекторных моделей производства предложена, по-видимому, впервые, а соответствующий результат пока единственен. Описанный материал составляет содержание ПЧП глав.

Практическая направленность модели взаимосвязи основного производства и системы материально-технического снабжения потребовала ответа и на такой вопрос: поскольку вся статистическая информация с необходимостью носит приближенный характер, насколько это отражается на поведении оптимальных решений? Другими словами, речь идет о проблеме устойчивости портавленных математических задач. Здесь хотелось бы иметь простые, удобные критерии устойчивости и столь же простые методы регуляризации неустойчивых задач. Автора не смогли удовлетворить результаты, полученные на этот счет в области математического программирования (подробнее об этом см. в главе 1У) и им была разработана небольшая теория устойчивости задач линейного программирования, результатом которой явились эффективные критерии устойчивости и метод регуляризации таких задач.

Глава 5 посвящена применению полученных теоретических результатов к исследованию имитационной модели взаимосвязи основного производства и инфраструктурной отрасли - системы материально-технического снабжения (системы МТС). Для выбранного варианта модели динамического межотраслевого баланса вычисляется темп роста и стационарная траектория путем сведения этой задачи к проблеме отыскания нуля монотонной функции. Показывается, что оптимизационная динамическая модель основного производства обладает магистральным эффектом, что позволяет отказаться от трудоемкой процедуры вычисления оптимальных траекторий с помощью симплекс-метода и заменить ее гораздо более эффективной в смысле быстродействия процедурой отыскания почти-оптимальных решений. Исследуется устойчивость оптимизационных задач динамического межотраслевого баланса.

Описывается статистическая информация, используемая в имитационной модели и методы ее обработки.

Приводится описание численных экспериментов с имитационной моделью и анализ результатов.

ОБОЗНАЧЕНИЯ п п, гс - к-, -мерное евклидово пространство. п ^

Пусть № - произвольный вектор, - I -тая координата а> ; .»О,

Через О обозначается как число, так и нулевой вектор. -с зс Уу> - скалярное произведение векторов ос и ^ Мы пишем эс ^ ( СС > у,) , если ^¿ъ у с ( Ъс > для всех с - множество всех ос £ /2 ^ ^ а? ^ О -- множество всех Xе /гЛ , сзс ^ О. Пусть = - произвольная ^ * п^ матрица строк, ис- столбцов). Тогда - с -тая строка матрицы /4 , а СЬ^ - ^ -тый столбец матрицы А А - матрица, транспонированная к /\ А Ъ О означает, что все элементы матрицы А неотрицательны.

Через X обозначаем единичную Уъ х к. - матрицу.

Введем также не столь общепринятое, но весьма для нас удобное обозначение: пусть ос^О, ^ ^ О , ^ Ф О.

Положим Х-//^ ^^^ ? . Например, если ог - Г с?, <?)

0,2,1,4) § то = Для <2* Г09±,2,0)7

КЦ у, ~ */<, .

Отметим сразу же три очевидных свойств символа // : а) = ^ ^//р да Дус^ > о; б) в) если а*к-*Х.°->0 , то У^ос* $//. Символ II СХ>|/ обозначает какую-либо (когда необходимо, это уточняется) норму вектора <£

Основным инструментом исследования экономических моделей в работе служит теория линейного программирования. Ради удобства изложения приведем несколько фактов, которые мы в дальнейшем используем без пояснений.

Определение. Будем говорить, что неравенство с, ос > £ оС (I) является следствием системы неравенств

Аъ * £ ,

2) если для любого 32 , удовлетворяющего всем неравенствам этой системы, выполняется неравенство (I). Для сокращения записи будем выражать это символически так:

А ос * £ <. С, > ^ <?С .

Определение. Цудем говорить, что неравенство (I) является неотрицательной линейной комбинацией неравенств системы (2), если существуют такие неотрицательные числа р±^рг , , что

УП

1 т1 оС ъ £ рс 6 ¿ ^ и= 1 или с-рА , з)

4)

5)

01>,<р,в>7 Р* . (6)

Теорема. Для того чтобы неравенство < С, ОС > £ оО являлось следствием системы Л эс. ^ , необходимо и достаточно, чтобы существовало неотрицательное решение р системы (5), (6).

Альтернативы для систем линейных неравенств.

1. либо уравнение рА~С имеет неотрицательное решение, либо имеет решение система неравенств А зс < О , с, сс > > О .

2. либо неравенство рА Ъ С имеет неотрицательное решение, либо имеет неотрицательное решение система неравенств АХ ^ О , >0.

3. либо уравнение рА ~ О имеет положительное решение р > О , либо существует такой вектор -оС , что се ^ О , /4 зе * О.

4. либо уравнение р А ~ О имеет неотрицательное решение р ? О , либо разрешимо неравенство Л 02 •> О.

Заключение диссертации по теме «Математические и инструментальные методы экономики», Ашманов, Станислав Александрович

Основные результаты работы состоят в следующем.

1. Разработана общая схема, позволяющая оценивать результаты функционирования инфраструктурной отрасли экономики через ее влияние на конечные результаты деятельности основного производства.

2. Построена информационно-обеспеченная модель взаимодействия основного производства и системы материально-технического снабжения, позволяющая исследовать проблему определения рационального соотношения темпов развития двух указанных подразделений экономики.

Конкретная реализация теоретической модели взаимодействия потребовала разработки широкого круга вопросов математического плана относительно качественных свойств решений многосекторных моделей экономической динамики. В этом направлении получены следующие результаты.

3. Получены весьш общие условия существования равновесия в моделях неймановского типа, причем метод доказательства достаточности этих условий является конструктивным, что позволило его реализовать в виде программ для ЭВМ.

4. Предложен новый метод качественного исследования оптимальных траекторий многоотраслевых динамических моделей, основанный на рассмотрении алгебраического поля формальных степенных рядов вместо обычного поля комплексных чисел. Доказана достаточно общая теорема о магистрали для.модели неймановского типа.

5. Теорема о магистрали доказана для принципиально новой, не рассматривавшейся ранее, но практически важной ситуации, когда в модели присутствуют ограничения снизу на ее состояние в последний момент рассматриваемого планового периода (вопрос, связанный с проблемой экономического горизонта).

6. Разработана теория устойчивости задач линейного программирования в той постановке, которая отражает проблемы численного определения оптимальных траекторий многоотраслевых моделей экономической динамики.

7. Результаты, перечисленные выше под номерами 2-4 составили теоретическую основу модели взаимодействия основного производства и системы материально-технического снабжения. Построена имитационная модель, насыщенная реальной статистической информацией. Имитационная модель реализована в виде пакета программ и с ней проделан целый рад экспериментов, показавших ее работоспособность. Основные проведенные эксперименты показывают принципиальную возможность использования имитационной модели как инструмента для исследования актуального с практической точки зрения вопроса об определении рациоанльного соотношения развития основного производства и системы материально-технического снабжения и о путях достижения такого соотношения.

-22 е-Заключение

Переход экономики на интенсивный путь развития, неуклонное расширение масштабов производства предъявляют все более высокие требования по всем участкам народного хозяйства. Немаловажную роль в осуществлении решений ХХУ1 съезда КПСС, ноябрьского (1982г.) Пленума ЦК КПСС о повышении эффективности экономики: играют инфраструктурные отрасли народного хозяйства и среди нвх -система материально-технического снабжения, понимаемая в достаточно широком смысле. Большая роль системы материально-технического снабжения отмечается в апрельском (1983г.) постановлеши ЦК КПСС и Совета Министров СССР по вопросу соблюдения договорных обязательств по поставкам продукции и повышения в этом деле ответственности министерств, ведомств и предприятий ("Правда", 16 апреля 1983г.). Постановлением,в частности, предложено Госплану СССР и Госснабу СССР "цринять дополнительные меры по совершенствованию планирования, улучшению сбалансированности объемов производства с материально-техническими ресурсами, своевременному устранению выявляющихся в ходе выполнения плана недостатков в развитии отраслей".

Из данного постановления, как и из других партийных и государственных документов, непосредственно следует и необходимость правильного определения пропорций развития основного производства и системы материально-технического снабжения. Отсюда вытекает актуальность проведенного выше исследования, посвященного разработке математической теории взаимодействия многоотраслевого промышленного производства с системой материально-технического снабжения и построению на основе этой теории конкретного инструмента исследования такого взаимодействия - имитационной модели, насыщенной реальной статистической информацией.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Ашманов, Станислав Александрович, 1983 год

1. Аганбегян А.Г., Багриновский К.А., Гранберг А.Г. Система моделей народнохозяйственного планирования. М.: Мысль, 1972.

2. Алешин A.B., Шматков Б.А. Асимптотическое поведение оптимальных траекторий обобщенной модели Неймана Гейла. -Экономика и матем. методы, 1975, II, № 5, с. 886-891.

3. Алешин A.B., Шматков Б.А. Двойственные теоремы о магистрали.-Экономика и матем.методы, 1978, 14, № 5, с. 949-957.

4. Алешин A.B., Шматков Б.А. Теорема о магистрали с неймановской гранью с терминальной и интегральной целевыми функциями. Экономика и матем. методы, 1980, 16, № I, с. 194-198.

5. Аллен Р. Математическая экономия. М.: ИЛ, 1963.

6. Анчишкин А.И. Прогнозирование роста социалистической экономики. М.: Экономика, 1973.

7. Аркин В.И., Евстигнеев И.В. Вероятностные модели управления и экономической динамики. М.: Наука, 1979.

8. Астафьев H.H. Двойственная регуляризация задачи линейного программирования, заданной последовательностью реализаций.-Ж.вычисл. матем. и матем. физ., 1978, 18, № 5, II29-II38.

9. Астафьев H.H. Линейные неравенства и выпуклость. М.: Наука, 1982.

10. Ашманов С.А. Теорема о магистрали для нетерминальной целевой функции. Оптимизация, Наука, 1975, вып. 16 (33), с. 5-14.

11. Ашманов С.А. Математические модели в экономике. Ч. I. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1976.

12. Ашманов С.А. Решение задачи распределения ресурсов для мультипликативного функционала. Вестн. Моск. ун-та, сер. 15, № I, 1977, с. 88-90.

13. Ашманов С.А. Математические модели в экономике. Ч. 2. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978.

14. Ашманов С.А. Математические модели и методы в экономике. М.; Изд-во Моск. ун-та, 1980.

15. Ашманов С.А. Линейное программирование. М.: Наука, 1981.

16. Ашманов С.А. Условия устойчивости задач линейного программирования. Ж. вычисл. матем. и матем. физ. № 6, 1981,с. 1402-1410.

17. Ашманов С.А. Алгебраический подход к доказательству теорем о магистрали. Докл. АН СССР, 263, № 4; 1982, с. 780-781.

18. Ашманов С.А. Теорема о магистрали для общей модели неймановского типа. Оптимизация, 1982, вып. 30 (47), с. 77-79.

19. Ашманов С.А. Алгебраический подход к доказательству теорем о магистрали. Ж. вычисл. матем. и матеМ. физ., 1983,т.25, № 5, с.

20. Беленький В.З. Некоторые модели оптимального планирования, основанные на схеме межотраслевого баланса. Экономика и мат. методы, 1967, 3, №4, с. 534-549.

21. Белухин В.П. Параметрический метод решения задач линейного динамического программирования. Автоматика и телемеханика, 1975, № 3} с. 95-103.

22. Белухин В.П. Многоуровневое разложение задачи оптимального управления. В кн: Алгоритмы и модели управления в технических и организационных системах. М., ИАТ, 1976, с. 36-42.

23. Белухин В.П. Метод проектирования и разбиений для задач линейного динамического программирования. Ж. вычисл.матем. и матем. физ., 1978, т. 18, Л I, с. 49-61.

24. Березнева Т.Д., Мовшович С.М. Равновесие сбалансированного роста в моделях неймановского типа. Экономика и матем. методы, 1975, II, №4, с. 658-668.

25. Березнева Т.Д. Теорема о магистрали в моделях неймановского типа. В сб.: "Матем. программирование и смежные вопр. Вычисл.методы. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1976, с. 119-128.

26. Берёзнева Т.Д. Некоторые асимптотические свойства оптимальных траекторий динамической межотраслевой модели. Экономика и матем. методы, 1976, 12, №'4; с. 740-746.

27. Березнева Т.Д. Условия равновесия в моделях неймановского типа. В сб.: Моделирование экономических процессов. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1977, с. 57-63.

28. Бирюков С.И., Иванов Ю.Н. Формализованные схемы составления экономического плана. Ш. Автоматика и телемеханика, 1978, № 4, с. 113-126.

29. Бирюков С.И. Формализованные схемы составления экономического плана.1У. Автоматика и телемеханика, 1978, № 5, с. 8796.

30. Бойков В.А., Чарный В.И. О декомпозиции линейных функциональных задач. П. Автоматика и телемеханика, 1978, №8, с. 108116.

31. Волконский В.А. Модель оптимального планирования и взаимосвязи экономических показателей. М.: Наука, 1967.

32. Гейл Д. Теория лийейных экономических моделей. М.: ИЛ, 1963.

33. Голыитейн Е.Г., Юдин Д.Б. Новые направления в линейном программировании. М.: Сов. радио, 1966.

34. Голыптейн Е.Г., Мовшович С.М. Непрерывная зависимость от параметра множества решений минимаксной задачи. Экономика и матем.методы, 1968, 4,^6.

35. Голыптейн Е.Г. Теория двойственности в математическом программировании и ее приложения. М.: Наука, 1971.

36. Гребцов Г.И., Смехов Б.М., Смоляр Л.И. Основы разработки межотраслевого баланса. М.: Экономиздат, 1961.

37. Дубовский C.B., Дюкалов А.Н., Иванов Ю.Н., Токарев В.В., Уздемир А.П., Фаткин Ю.М. О построении оптимального экономического плана. Автоматика и телемеханика, 1972, $ 8,с. I00-II4.

38. Дубовский C.B., Дюкалов А.Н., Иванов Ю.Н., Илютович А.Е., Токарев В.В., Уздемир А.П., Фаткин Ю.М. Математическое описание элементов экономики, ч. 1,П. Серия "Проблемы прикладной математической экономики", М.: Институт проблем управления, 1973.

39. Дубовский C.B., Уздемир А.П. Критерии оптимальности и вариационные подходы в динамических моделях экономики. Автоматика и телемеханика, 1974, № 6, с. 90-98.

40. Дудкин Л.М. Система расчетов оптимального народнохозяйственного плана. М.: Экономика, 1972.

41. Дюкалов А.Н., Илютович А.Е. Асимптотические свойства оптимальных траекторий экономической динамики. Автоматика и телемеханика, 1973, $ 3, с. 97-109.

42. Дюкалов А.Н., Илютович А.Е. Магистральные свойства оптимальных траекторий динамической модели межотраслевого баланса в непрерывном времени. Автоматика и телемеханика. 1974, № 12, с. III-II9.

43. Дюкалов А.Н., Иванов,Ю.И., Токарев В.В. Теория управления и экономические системы. I. Проблема описания. Автоматика. и телемеханика, 1974, № 5, с. II7-I32.

44. Дюкалов А.Н., Иванов Ю.Н., Токарев В.В. Теория управления и экономические системы. П. Качественные особенности. Схемы управления. Автоматика и телемеханика, 1974, $ 6,с. 69-89.

45. Еремин И.И., Астафьев H.H. Введение в теорию линейного и выпуклого программирования. М.: Наука, 1976.

46. Ефимов М.Н., Мовшович С.М. Анализ сбалансированного роста в динамической модели народного хозяйства. Экономика и ма-тем. методы, 1973, 9, № I.

47. Жафяров А.Ж. Двойственный подход к одной из форм теорем о магистрали. Оптимизация, 1972, вып. 7 (24), с. 5-13.

48. Жаряров А.Ж. О характеристике траекторий моделей, определяемых многогранными конусами. Оптимизация, 1974, вып. 15 (32), с. 5-12.

49. Иванилов Ю.П., Петров A.A. Динамическая модель расширенияи перестройки производства ( -ТГ -модель). В кн.: Кибернетику на службу коммунизму. М.: "Энергия", 1971, т. 6, с. 23-50.

50. Иванилов Ю.П., Петров A.A. О некоторых способах решения задачи оптимального планирования для динамических моделей производства. В кн.: Кибернетику - на службу коммунизм. М., Энергия, 1971, т. 6, С. 51-64.

51. Иванилов Ю.П., Пропой А.И. Соотношения двойственности для задач линейного динамического программирования. Автоматика и телемеханика, 1973, № 12, с.(100-108.

52. Иванилов Ю.П., Малашенко Ю.Б. О методе решения линейной динамической задачи. Кибернетика, 1973, № 5, с. 42-49.

53. Иванилов Ю.П., Лотов A.B. Математические модели в экономике. М.: Наука, 1979.

54. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Прогресс, 1975.

55. Канторович Л.В. Экономический расчет наилучшего использования ресурсов. М.: Изд-во АН СССР, i960.

56. Канторович Л.В., Горстко А.Б. Оптимальные решения в экономике. М.: Наука, 1972.

57. Канторович Л,В., Жиянов В.И. Однопродуктовая динамическая модель экономики, учитывающая изменение структуры фондов при наличии технического прогресса. Докл. АН СССР, 1973, 211, & 6.

58. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М.: Мир, 1964.

59. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1980.

60. Клоцвог Ф.Н., Ершов Э.Б., Еузунов P.A., Конюс A.A., Абды-кулова Г.М. Модель межотраслевого баланса с элементами оптимизации. Эконом, и матем. методы, 1971, 7, J& 5.

61. Кононов Д.А. Теорема о магистрали в сильнейшей форме для модели Неймана с нетерминальной целевой функцией. Вестн. Моск. ун-та, сер. 15, 1979, Jfe I, с. 26-33.

62. Коссов В.В. Межотраслевой баланс. М.: Экономика, 1966.

63. Кривоножко В.Е., Чеботарев С.П. О методах факторизации в задачах линейного динамического программирования. Автоматика и телемеханика, 1976, № 7, с. 80-90.

64. Ланкастер К. Математическая экономика. М.: Сов. радио, 1972.

65. Лебедев в.Ю. Итерационный алгоритм решения экономических задач большой размерности. Ж.вычисл.матем. и матем.физ., 1973, т. 13, № 6, с. I527-1533.

66. Макаров В.Л. Оптимальное функционирование линейных моделей экономики на бесконечном интервале. В сб.: Оптимальное планирование, вып. 5, Новосибирск, Наука, 1966, с. 86-1II.

67. Макаров В.Л. Линейные динамические модели производства.

68. В сб.: Оптимальное планирование, вып. 5, Новосибирск, Наука, 1966, с. 3-85.

69. Макаров В.Л. Асимптотическое поведение оптимальных траекторий линейных моделей экономики. Сиб.мат.ж., 1966, 7,4, с. 832-853.

70. Макаров В.Л. Модели оптимального роста экономики. Экономи-как и матем. методы, 1969, 5, № 4, с. 569-581.

71. Макаров В.Л. Существование магистрали в модели с дисконтом. Оптимизация . 1971, вып. 2 (19), с. II4-II8.

72. Макаров В.Л., Рубинов A.M. Математическая теория экономической динамики и равновесия. М.: Наука, 1973.

73. Мовшович С.М. Теоремы о магистрали в моделях Неймана-Гейла (слабая форма). Экономика и матем. методы, 1969, 5, № 6, с. 877-889.

74. Мовшович С.М. Магистральный рост в динамических народнохозяйственных моделях. Экономика и матем. методы, 1972, 8,2, с. 256-265.

75. Мовшович С.М., Овсиенко Ю.В. Воспроизводство и экономический оптимум. М.: Наука, 1972.

76. Мовшович С.М. Асимптотическое поведение хороших траекторий в модели с невоспроизводимыми ресурсами. Экономика и матем. методы, 1978, 14, JM, с. 731-737.

77. Моисеев H.H. Математические модели экономической науки. М.: Знание, 1973.

78. Моришима М., Равновесие, устойчивость, рост. М.: Наука, 1972.

79. Никаидо I. Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир, 1972.

80. Пропой А.И. Элементы теории оптимизации дискретных процессов. М.: Наука, 1973.i

81. Разумихин B.C. Задача о выходе экономики на магистраль сбалансированного роста. Автоматика и телемеханика, 1974, № 9, с. II9-123.

82. Разумихин B.C. Физические модели и методы теории равновесия в программировании и экономике. М.: Наука, 1975.

83. Рубинов A.M. Асимптотическое поведение оптимальных траекторий в одной математической модели производства. В сб.: Оптимальное планирование", вып. 9, Новосибирск, Наука, 1967, с. 87—III.

84. Рубинов A.M. Оптимальные траектории в моделях Неймана.--Гейла со строгим состоянием равновесия. ОптимизацияД975, вып. 17 (34), с. 40-45.

85. Рубинов A.M. Об одном классе оптимальных траекторий в моделях Неймана Гейла. - Оптимизация., 1978, вып. 20 (37),с. 147-155.

86. Рубинов A.M. Магистрали в моделях Неймана Гейла. Докл. АН СССР, 1978, 242, № 2, с. 287-289.

87. Тер-Крикоров A.M. Оптимальное управление и математическая экономика. М.: Наука, 1977.

88. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач. Докл. АН СССР, 1963, 151, ^ 3.

89. Тихонов А.Н. О некорректных задачах линейной алгебры и устойчивом методе их решения. Докл. АН СССР, 1965, 1636.

90. Тихонов А.Н. О некорректных задачах оптимального планирования и устойчивых методах их решения. Докл. АН СССР, 1965. 164, № 3.

91. Тихонов А.Н. О некорректных задачах оптимального планирования. Ж.вычисл.матем и матем. физ., 1966, 6, № I.

92. Тихонов А.Н., Карманов В.Г., Руднева Т.Л. Об устойчивости задач линейного программирования. в кн.: Вычисл. матем. и программирование, ХП, М.: Изд. Моск. ун-та, 1969.

93. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.

94. Федоров В.В. К вопросу об устойчивости задачи линейного программирования. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1975, Jê 6, с. I4I9-I423.

95. Федоров В.В. Численные методы максимина. М.: Наука, 1979.

96. Чарный В.И. О декомпозиции линейных функциональных задач.

97. Автоматика и телемеханика, 1978, № б, с. II6-I25.

98. Чуканов C.B. Магистральные свойства оптимальных траекторий экономического развития (циклические исключения). Автоматика и телемеханика, 1975, № 10, 120-127.

99. Bohm V. On the continuity of the optimal policy set for linear programming.-SIAM J.Appl.Math.,1975,28,p.303-306.

100. Brosovski S. On parametric linear optimization.-Lect.Notes in Econom. Math. System, 1978,v. 157,p.37-44.

101. Dorfman R.,Samuelson P.A.,Solow R.M. Linear programming and economic analisys.New-York,1958.

102. Evans J.P.,Gould P.J. Stability in nonlinear prograrnraing.-Oper.Res.,l970,l8,p.l07-II8.

103. Evans J.P.,Gould P.J. Stability in nonlinear programming.-Oper.Res.,1972,20,p.143-153.

104. Gale D. On optimal development in a multi-sector economy.-Re v. Econom.Studie s,1967,34(I>,97,p.I-I8.

105. Glassay C.R. Nested decompozition and multi-stage linear programs.-Manag.Sci.,1973,20,3,p.282-292.

106. Ho J.K. ,Manne A.a. Nested decompozition for dynamic models.105.106.107.108.109.

107. Math, programming,1974,2,p.121-140.

108. Kemeny I.G.,Morgenstern 0.,Thompson G.L. A generalisation of the von Neumann model of an expanding economy.-Econometrica,1956,24,2,p.II5-I35,

109. MQKenzie L.W. The turnpike theorem of Morishima.-Review of Economic Studies,1963,30(3),p.169-176.

110. McKenzie L.W. Turnpike theorems for a generalized Leontief model.-Econometrica,1963,31,I,p.165-180. McKenzie L.W. Turnpike theory.-¿econometrica,1976,44,5, p.841-865.

111. Radner R. Paths of economic growth that are optimal with regard only to final states:a turnpike theorem.-Review of Economic Studies,1961,28(2),76,p.98-104.

112. Tsukui I. Turnpike theorem in a generalized dynamic input-output system.-Econometrica,1966,34,2,p.396-407.

113. Tsukui I. Application of a turnpike theorem to planning for efficient accumulation:an example for Japan.-Econometrica,1968,I,p.172-186.