Структура оптимальных траекторий в моделях экономической динамики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 08.00.13, доктор физико-математических наук Матвеенко, Владимир Дмитриевич

• Матвеенко, Владимир Дмитриевич
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Матвеенко, Владимир Дмитриевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Модели экономической динамики

1. Основные понятия.

2. Модель фон Неймана - Гейла.

3. Модели со строгим состоянием равновесия.

ГЛАВА 2. Структура оптимальных траекторий в моделях с конечным числом состояний

4. Модель с конечным числом состояний без дисконтирования схема динамического программирования).

5. Модель фон Неймана, соответствующая схеме динамического программирования.

6. Структура бесконечных оптимальных траекторий в модели с конечным числом состояний с дисконтированием.

7. Структура Г-шаговых оптимальных траекторий в модели с конечным числом состояний с дисконтированием.

ГЛАВА 3. Структура оптимальных траекторий в моделях неймановского типа

8. Эффективные траектории как ранние магистрали.

9. Эффективный функционал и магистраль.

10. Второй эффективный функционал и структура оптимальных траекторий.

ГЛАВА 4. Структура оптимальных траекторий в малоразмерных моделях рамсеевского типа

11. Структура оптимальных траекторий и функции-значения в модели рамсеевского типа с дискретным временем.

12. Структура равновесных траекторий в модели эндогенного роста Лукаса.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Структура оптимальных траекторий в моделях экономической динамики»

Математические модели экономической динамики представляют собой один из основных инструментов исследования, применяемых в современной экономической науке. Среди динамических моделей, разработанных для нужд экономики, особую роль играют два класса моделей, привлекшие наибольшее внимание исследователей: многосекторные модели неймановского типа и однопродуктовые модели рамсеевского типа. Такого рода модели были сформулированы и начали исследоваться еще в довоенные годы в работах Дж. Фон Неймана (von Neumann, 1937) и Ф.Рамсея (Ramsey, 1928), однако широкий интерес к ним экономистов и математиков возник в конце 1950-х - начале 60-х годов после появления компьютеров и разработки методов теории оптимального управления. Удачное обобщение модели фон Неймана было предложено Д.Гейлом (1959), а идеи модели Рамсея были непосредственно развиты Д.Кассом (Cass, 1965) и Т.Купмансом (Koopmans, 1965). В те же годы были предложены другие родственные модели: многосекторные модели Леонтьева (см. Leontief, 1961, 1966), однопродуктовые модели экономического роста с постоянной нормой накопления (Solow, 1956, 1957, Swan, 1956), модели с овеществленным научно-техническим прогрессом (Канторович, Горьков, 1959, Johansen, 1959, Solow 1960), модели эндогенного роста (Uzawa, 1961, Arrow, 1962). Эти исследования во многом определили магистральный путь развития динамических моделей экономики до конца XX столетия.

Сложность реальной экономической системы делает невозможным ее адекватное описание в рамках одной модели. С другой стороны, разнообразие предлагаемых моделей делает невозможным создание единой универсальной формальной теории, включающей все отдельные модели как частные случаи. Тем не менее, в ходе исследования отдельных моделей и их классов, различными авторами были разработаны подходы и методы, применимые ко многим моделям экономической динамики, показывающие сходство и родство различных моделей. В этом смысле, была создана теория математических моделей экономической динамики.

Формирование этой теории отражено в монографиях и учебниках В.Л.Макарова, А.М.Рубинова (1973), Ю.Н.Черемных (1975), И.А.Красса (1976), А.М.Рубинова (1980, 1983), С.А.Ашманова (1984), Н.П.Дементьева (1991), А.М.Рубинова, К.Ю.Борисова, В.Н.Десницкой, В.Д.Матвеенко (1991), М.И.Левина, В.Л.Макарова, А.М.Рубинова (1993), А.А.Петрова, И.Г.Поспелова, А.А.Шананина (1996), Р.Дорфмана, П.Самуэльсона, Р.Солоу (1958), Р.Аллена (1963), Д.Гейла (1963), Е.Бурмейстера, А.Добелля (Burmeister, Dobell, 1970), Р.Солоу (Solow, 1970), М.Моришимы (1972), К.Ланкастера (1972), А.Такаямы (Takayama, 1985, 1994), Т.Сарджента (1987), У.Брока, М.Маллиариса (Brock, Malliaris, 1989), Н.Стоки, Р.Лукаса (Stokey, Lucas, 1989), А.Диксита (Dixit, 1990), К.Азариадиса (Azariadis, ш

1993), Р.Барро, К.Сала-и-Мартина (Barro, Sala-i-Martin, 1995), Д.Ромера (Romer, 1996), С.Турновского (Tumovsky, 1997), Ф.Агиона, П.Ховитта (Aghion, Howitt, 1998), Ч.Джонса (Jones, 1998), Л.Люнквиста, Т.Сарджента (Ljungqvist, Sargent, 2000) и других авторов.

Как правило, изучение каждого класса математических моделей экономической ^ динамики проходит определенную последовательность этапов: а) нахождение и исследование стационарных (сбалансированных) траекторий, т.е. таких, на которых остаются постоянными те или иные экономические показатели (например, темпы роста продуктов); б) сравнение стационарных траекторий, выбор класса наилучших стационарных траекторий, в смысле того или иного определения(принципа, критерия) оптимальности; в) нахождение необходимых (или необходимых и достаточных) условий оптимальности (в смысле того или иного определения) нестационарной траектории при тех или иных краевых условиях; г) исследование асимптотического поведения оптимальных траекторий (с ♦ бесконечным горизонтом или с конечным горизонтом Г при Т —»со); д) качественное исследование отдельных нестационарных оптимальных траекторий (так называемый, анализ переходной динамики); е) качественное исследование всего множества оптимальных траекторий - с конечным и бесконечным горизонтами, при различных значениях параметров, относящихся к краевым условиям, величине горизонта, предпочтениям, технологиям и т.п.)

Последний из перечисленных этапов, по мнению автора, наиболее важный и интересный, вместе с тем, является и наиболее сложным. Такого рода исследование удается провести лишь частично и для весьма конкретных моделей или классов моделей.

Основной задачей, рассматриваемой в настоящей диссертации, является качественное исследование структуры оптимальных траекторий для ряда моделей экономической динамики, в частности, для модели с конечным числом состояний и для моделей неймановского и рамсеевского типа.

Большинство работ, относящихся к математическим моделям экономической динамики, посвящены построению и исследованию оптимальных, в том или ином смысле, Г-шаговых траекторий с фиксированным начальным состоянием л-„. В качестве оптимизационных задач часто рассматривают типичные для теории оптимального управления задачи о максимуме терминального целевого функционала у/ в момент Т и о максимуме интегрального функционала ф на временном отрезке [О, Г]. Типичным для моделей рамсеевского типа является целевой функционал т-\ 1=0 где г = {х, },г=0 - Г-шаговая траектория, ¡3 е (0,1) - субъективный коэффициент дисконтирования, и — функция полезности, относящаяся к переходу из состояния х, в состояние х,+1. Поскольку горизонт Т и целевые функционалы ц/, ср выбираются, вообще говоря, произвольно, большое значение имеют результаты о независимости поведения оптимальных траекторий от величины горизонта и от вида целевого функционала.

В 1958 г. Дорфман, Самуэльсон и Солоу (Оогйпап а1., 1958) высказали гипотезу о наличии в моделях экономической динамики магистралей — особых множеств состояний, на которых (или вблизи которых) проводит большую часть времени Г-шаговая оптимальная траектория, если горизонт Т достаточно велик. Эти авторы предложили удачную аналогию магистрали со скоростной дорогой: водители автомашин при длительных поездках выводят машину на скоростную дорогу (магистраль), движутся по магистрали, а затем в какой-то момент покидают ее. Наличие магистралей позволяло экономистам сделать важные выводы об общих «магистральных путях» развития тех или иных стран и регионов (так называемых, клубов) и о существовании определенных оптимальных пропорций, на которые следует ориентироваться в долгосрочном планировании и прогнозировании. Подтверждению указанной гипотезы послужили теоремы о магистрали, доказанные в 1961 г. Р.Раднером и М.Моришимой для модели фон Неймана и в 1964 г. Х.Никайдо для модели фон Неймана - Гейла. В дальнейшем магистральной теории была посвящена обширная научная литература (см. обзоры McKenzie, 1976, 1986, 1998, Рубинов, 1982).

В книге Дорфмана, Самуэльсон и Солоу впервые приведена фазовая ^ диаграмма для модели экономической динамики, изображающая семейство оптимальных траекторий с фиксированными начальным и конечным состояниями х0, хт (см. рис. 1). Здесь х - фазовая переменная, g — управляющая переменная. Заметим, что рисунок очень схематичен, он не может буквально относиться к модели с дискретным временем, которую рассматривали авторы, но имеет характер гипотезы, относящейся к значительно более широкому классу моделей. Авторы замечают важное свойство структуры траекторий: чем больше горизонт Г, тем большее время оптимальная траектория ab проводит в окрестности стационарного состояния Р. В современной терминологии, Р является средней магистралью. Фуруя и Инада (Furuya, Inada, 1962) сделали дальнейшее наблюдение: оптимальная траектория ab сходится к своей асимптоте, сегменту АРВ. Они заметили также, что ^ по сегменту АР проходит бесконечная оптимальная траектория, в современной

Рис. 1. Структура оптимальных траекторий в модели Дорфмана, Самуэльсона, Солоу. терминологии, ранняя магистраль, к которой сходятся конечные оптимальные траектории при Т —> со.

Естественным следующим шагом было бы исследование природы сегмента РВ. Самуэльсон (Samuelson, 1965), имея в виду модель рамсеевского типа с непрерывным временем, довольно туманно пишет, что РВ - это «рамсеевская траектория, которая отправилась из точки полного счастья (bliss)» (т.е. точки Р) в «незапамятные времена» и которая «не имеет простой экономической интерпретации». Еще одно наблюдение, которое делает Самуэльсон: по мере увеличения горизонта Г, начало а конечной оптимальной траектории приближается к точке А, а ее конец Ъ - к точке В.

До недавнего времени дальнейшие исследования, проясняющие структуру оптимальных траекторий на финальном участке, отсутствовали. В известном обзоре Мак-Кензи (McKenzie, 1976, см. также McKenzie, 1983, 1985, 1998, Рубинов, 1982) выделено три типа теорем о магистрали: о средней магистрали (близость достаточно длинных оптимальных траекторий к магистрали за исключением конечного числа периодов), о ранней магистрали (близость достаточно длинных конечных оптимальных траекторий на начальном участке к некоторой бесконечной траектории) и о поздней магистрали (сходимость бесконечных оптимальных траекторий к магистрали). В терминах рис. 1, такие теоремы описывают близость траекторий к сегменту АР и их поведение в окрестности точки Р. По сути, к изучению поздней магистрали можно отнести и многочисленные исследования, посвященные сходимости (конвергенции) экономических показателей стран и регионов (см., например, Baumol, 1986, Barro, Sala-i-Martin, 1995, Galor, 1996).

Очевидной лакуной в классификации Мак-Кензи и в многочисленных исследованиях, которые она отражает, является отсутствие результатов о поведении оптимальных траекторий на финальном участке. Мы называем такого рода результаты теоремами о финальной магистрали. «Финальные магистрали» наглядно видны на фазовых диаграммах, распространенных в экономико-математической и макроэкономической литературе последних десятилетий (например, Takayama, 1985,

Blanchard, Fisher, 1989, McCafferty, 1990, Tu, 1991, Chiang, 1992, Azariadis, 1993, Takayama, 1994, Barro, Sala-i-Martin, 1995), однако их природа не получила объяснения, до того, как теоремы о финальной магистрали были получены для модели фон Неймана - Гейла независимо В.З.Беленьким (Беленький, 1990) и автором (Матвеенко, 19886, 1989). Затем автором были получены теоремы о финальной магистрали для модели с конечным числом состояний без дисконтирования (Матвеенко, 1990), с дисконтированием (Матвеенко, 1998а) и для однопродуктовой модели рамсеевского типа (Матвеенко, 1999).

Основная линия диссертации - исследование структуры Г-шаговых оптимальных траекторий при достаточно больших значениях горизонта Т для моделей с конечным множеством состояний без дисконтирования и с дисконтированием (глава 2), моделей неймановского типа (глава 3) и однопродуктовых моделей рамсеевского типа (глава 4).

Как известно, в моделях рамсеевского типа, с бесконечными оптимальными траекториями тесно связана функция-значение, иногда называемая функцией Беллмана. Аналогом функции-значения в моделях неймановского типа является эффективный функционал (см. раздел 9). Для характеризации финальной магистрали в моделях рамсеевского типа автором введено понятие второй функции значения. Установлено, что финальная магистраль может быть построена пошагово с помощью второй функции-значения (разделы 7, 11). Аналогом второй функции-значения в моделях неймановского типа является второй эффективный функционал (раздел 10). Для ряда моделей получена теорема о представлении значения задачи с конечным горизонтом в виде суммы функции-значения и второй функции-значения (разделы 7,10,11).

При определенных предположениях, для рассматриваемых классов моделей выявлена следующая «трехчастная» структура Г-шаговых оптимальных траекторий. При достаточно большом горизонте, Г-шаговая оптимальная траектория с фиксированными концами состоит (или близка к траектории, состоящей) из трех последовательных участков: первый участок близок или совпадает с соответствующим участком бесконечной оптимальной траектории (ранней магистрали), которая зависит лишь от начального состояния (не зависит от конечного состояния и от величины горизонта); на втором участке траектория проходит по средней магистрали или вблизи нее; на третьем участке траектория, рассматриваемая в обратном времени, проходит по финальной магистрали или вблизи нее, финальная магистраль определяется только конечным состоянием. Начальный участок может быть построен пошагово с помощью функции-значения (или эффективного функционала), а финальный участок (в обратном времени) - с помощью второй функции-значения (или второго эффективного функционала).

В диссертации рассматривается также ряд других мало исследованных ранее вопросов, относящихся к качественному и количественному исследованию структуры оптимальных траекторий, среди них связь различных способов двойственной характеризации оптимальных траекторий (принцип максимума, динамическое программирование, теорема о характеристике), теоремы о ранней магистрали, уточнение теорем о средней магистрали, сравнение оптимальных траекторий для различных критериев оптимальности.

Также изучаются модели эндогенного роста (раздел 12 и приложение 2). Исследование такого рода моделей стало в последние десятилетия основным направлением в теории экономического роста.

Диссертация включает четыре главы и три приложения.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Матвеенко, Владимир Дмитриевич, 2004 год

1. Нормальные множества и монотонные функции и их приложения Журнал вычислительной математики и математической физики, т, 33, 7, с.1004-1

2. Математическая экономика. М., Изд-во иностранной литературы. Ашманов А. 1

3. Некоторые модели оптимального планирования, основанные на схеме межотраслевого баланса// Экономика и матем. методы, т.З, в.

5. Экономическая динамика: обобщающая бюджетная факторизация гейловской технологии// Экономика и матем. методы, т.26, в.1, с.165-

7. Оптимальное управление: принцип максимума и динамическое программирование (учебное пособие). KJI/2001/002. М., Российская экономическая школа. Беллман Р. 1

8. Динамическое программирование. М, Иностранная литература. Болтянский В.Г. 1

9. Оптимальное управление дискретными процессами. М., Наука. Борисов К.Ю. 1

10. Однопродуктовая модель роста с эндогенным научнотехническим прогрессом// Оптимальные модели и системном анализе. Отв. редакторы Л.В.Канторович, А.Г.Кругликов. М., ВНИИСИ, с.65-

11. Основы исследования операций. М., Мир. Воробьев Н.Н. 1

12. Экстремальная алгебра положительных матриц// Electronische Informationsverarbeitung, 3, S. 39-

14. Экстремальная алгебра неотрицательных матриц// Electronische Informationsverarbeitung, б,. S. 303-

16. Магистральные свойства оптимальных траекторий в одной макроэкономической модели// Оптимизация, в. 27(44). Новосибирск, с.21-

18. Теория матриц. М., Наука. Гейл Д. 1

19. Замкнутая модель производства.//Линейные неравенства и смежные

20. Теория линейных экономических моделей. М., Изд-во иностранной литературы. Дементьев Н.П. 1

21. Магистральные свойства моделей экономической динамики с потреблением. Новосибирск, Наука. Десницкая В.Н. 1983. Об одной макроэкономической модели, учитывающей научно-технический прогресс// Оптимальные модели и системном анализе. Отв. редакторы Л.В.Канторович, А.Г.Кругликов. М., ВНИИСИ, с.69-

22. Дудников П.И., Самборский Н. 1

23. Эндоморфизмы полумодуля над полукольцом с идемпотентной операцией. Препринт. Киев, ИМ АН УССР. Дудников П.И., Самборский Н. 1

24. Эндоморфизмы полумодулей над полукольцами с идемпотентной операцией// Известия АН СССР, серия математическая, т.55, 1, с.93-

25. Жемайтис А., Медайскис Т.И., Раяцкас Р.Л., Римкунас А.В. 1

26. Исследование зависимости темпа роста и оптимальных параметров в модели равномерного сбалансированного роста// Моделирование экономических систем. Вильнюс, в.Ю, с. 177-

27. Зеликин М.И., Корнев А. 1

28. Синтез оптимальных траекторий для одной пмерной многошаговой задачи оптимального управления// Оптимальное управление. Математические вопросы управления производством. М., МГУ, В.7, с.46-

29. Зеликин М.И., Корнев А. 1

30. Оптимальное распределение ресурсов и теорема о магистрали в дискретных моделях экономической динамики// Системное моделирование социально-экономических процессов. Тезисы докладов и сообщений 1-ой Всесоюзной конференции, ч.1, Воронеж, с.

32. Универсальные многообразия и теоремы о магистрали для некоторого класса задач оптимального управления// Доклады АН СССР, т.244,№1,с.31-

34. Многомерный синтез и теоремы о магистрали в задачах

36. Математические модели скользящего планирования. Таллин, Валгус. Канторович Л.В., Горьков Л.И. 1959. О некоторых функциональных уравнениях, возникающих при анализе однопродуктовой экономической модели// Доклады АН СССР, т. 129, 4, 732-

37. Королев А.В., Матвеенко В.Д. 1999. О структуре нестационарных траекторий в модели эндогенного роста Лукаса// Проблема развития в гуманитарном и социально-экономическом знании. Межвузовская научная конференция. -Петербург, ЛЭТИ, с. 138-

39. Математические модели экономической динамики. М., Советское радио. Круглов А.И. 1

40. Исследование оптимальных траекторий модели НейманаЛеонтьева методами теории графов// Всес. научн. конф. «Методы и программы решения оптимизационных задач на графах в сетях». Ч. I. Алгоритмы, программы, применения. Новосибирск, 1989, с. 98-

42. Модели воспроизводства с производственными отображениями леонтьевского типа. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Л., ИСЭП РАН. Ланкастер К. 1

43. Математическая экономика. М., Советское радио. Левин М.И., Макаров В.Л., Рубинов A.M. 1

44. Математические модели экономического взаимодействия. М., Наука Физматлит. Макаров В.Л. 1

45. Асимптотическое поведение оптимальных траекторий линейных моделей экономики// Сибирский математич. журнал, т. 7, 4, с. 832-

47. Моделирование экономической динамики// Оптимизация. Новосибирск, в. 11(28), с. 24-

48. Макаров В.Л., Клейнер Г.Б. 1999а. Бартер в Российской экономике: особенности и тенденции переходного периода. М., ЦЭМИ РАН.

49. Развитие бартерных отношений в России. Институциональный подход. М., ЦЭМИ РАН. Макаров В.Л., Рубинов A.M. 1

50. Математическая теория экономической динамики и равновесия. М., Наука. Маслов В.П., Колокольцов В.Н. 1

51. Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении. М., Физматлит. Матвеенко В.Д. 1

52. Дискретная модель с фондами, различающимися по срокам службы// Оптимизация. Новосибирск, в. 26(43), с. 90-

54. Бесконечно-оптимальные траектории в дискретных однопродуктовых моделях экономической динамики// Математические модели и статистический анализ научно-технического прогресса. Отв. редакторы Л.В.Канторович, А.Г.Кругликов. М„ ВНИИСИ, с.37-

55. Матвеенко В.Д. 1983а. Эффективные траектории в дискретной однопродуктовой модели с дезагрегированными фондами// Оптимизация. Новосибирск, в. 31 (48). с. 105-

57. Оптимальные значения макроэкономических показателей в дискретных в однопродуктовых динамических моделях// Оптимальные модели и системном анализе. Отв. редакторы Л.В.Канторович, А.Г.Кругликов. М.: ВНИИСИ, с.58-

59. Оптимальные траектории в дискретной однопродуктовой модели экономической динамики// Доклады АН СССР, т.277, 3, с.534-

60. Матвеенко В.Д. 1985а. Оптимальные траектории в однопродуктовых моделях с эндогенным НТШ/ Системное моделирование и оптимизационные методы в исследованиях научно-технического прогресса. Отв. редакторы Л.В.Канторович, А.Г.Кругликов. М. ВНИИСИ, с.40-

61. Матвеенко В.Д. 19856. 0 6 одном методе построения оптимальных траекторий в однопродуктовой управляемой динамической системе// Журнал вычисл. математики и мат. физики, т.Ю, 1560-1

62. Матвеенко В.Д. 1985в. Горизонт эффективности в однопродуктовой модели

63. Матвеенко В.Д. 1986а. Порождающие управления в однопродуктовой модели экономической динамики. Математические исследования, в. 87, Кишинев, с. 111-

64. Матвеенко В.Д. 19866. О законах сохранения в экономической динамике// Сб. тр. ВНИИСИ, в. 19, М., с. 105-

65. Матвеенко В.Д. 1987а. Некоторые применения моделей экономической динамики с переменной технологией// Измерения и моделирование в экономике. Л., Ленинградский инженерно-экономический институт. Матвеенко В.Д. 19

66. Применение модели Неймана-Гейла для исследования динамических процессов// Анализ и применение математических моделей экономической динамики. Новосибирск: Институт экономики и организации промышленного производства СО АН СССР, с. 31-

67. Матвеенко В.Д. 1988а. Применение модели Неймана для исследования схемы динамического программирования Автоматика и телемеханика, 12, с. 62-

69. Эффективный функционал и магистраль в моделях экономической динамики// Математические модели экономической динамики. Отв. ред. А.М.Рубинов. Вильнюс, Институт экономики АН Литвы, с.97-

70. Матвеенко В.Д. 1988в. Эффективные траектории как ранние магистрали в моделях экономической динамики// Некоторые вопросы анализа и моделированиея народнохозяйственных процессов. Отв. ред. Ю.В.Овсиенко, Н.В.Жукова. М., ЦЭМИ АН СССР и журнал «Экономика и математические методы», с. 81-

72. Плановые и рыночные механизмы управления в моделях экономической динамики. Препринт научного доклада. Л., Институт социально-экономических проблем АН СССР, 52 с. Матвеенко В.Д. 1

73. Оптимальные траектории схемы динамического программирования и экстремальные степени неотрицательных матриц// Дискретная математика, т. 2, в. 1, с. 59-71.

74. Матвеенко В.Д. 19986. О дискретных сублинейных и суперлинейных операторах// Дискретная математика, т. 10, в.2, с. 87-

75. Матвеенко В.Д. 1999а. Структура траекторий и вторая функция-значение в оптимизационных динамических системах с дисконтированием// Автоматика и телемеханика, 1, с. 26-

77. Модель экономической интеграции и экономического роста// Экономика Северо-Запада: проблемы и перспективы развития. Тезисы докладов научно-практической конференции. -Петербург, СЗНЦ и Отделение экономики РАН, с. 38-

78. Матвеенко В.Д. 2002. Об исследованиях по математической и теоретической экономике// Экономико-математические исследования: математические модели и информационные технологии, П. -Петербург, -Петербургский экономико-математический институт РАН, с. 27-

80. Теория экономического роста и динамика российской экономики// Теория представлений, динамические системы. XI. Специальный выпуск. Сборник работ под ред. А.М.Вершика. Записки научных семинаров ПОМИ, т. 312, -Петербург. Матвеенко В., Вострокнутова Е., Буев М. 1

81. Трансформационный спад и перспективы роста в России. Научные доклады,

82. Российская программа экономических исследований EERC. М., 62 с. Перевод на английский язык: Matveenko V., Vostroknoutova К., Bouev М. Transformational decline and preconditions of growth in Russia. Working paper Series 98/03. EERC, 1998, 54 p. Матвеенко В.Д., Гуревич A.M. 2

83. Модели эндогенного роста, их развитие и перспективы.// Экономические исследования: теория и приложения. Петербург, Европейский университет в -Петербурге, с. 260-

84. Матвеенко В.Д., Пашаев Р.Т., Рубинов A.M. 1

85. Выпуклый анализ на плоскости.

86. Матвеенко В.Д., Савельев П.А. 2

87. Влияние сторонних возможностей занятых на предложение труда в России// Экономические исследования: теория и приложения, в. 2. -Петербург, Европейский университет в -Петербурге, с. 193-

88. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. 1

89. Методы оптимизации. М., Наука. Моришима М. 1972, Равновесие, устойчивость, рост. М., Наука. Никайдо X. 1

90. Выпуклые структуры и математическая экономика. М., Мир. Паппэ Я.Ш. 1

91. Малоразмерные модели экономического роста с воспроизводимыми ресурсами// Системное моделирование и оптимизационные методы в исследованиях научно-технического прогресса. Отв. редакторы Л.В.Канторович, А.Г.Кругликов. М. ВНИИСИ, с. 52-

92. Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. 1

93. Опыт математического моделирования экономики. М., Энергоатомиздат. Полтерович В.М. 1

94. Модели равновесного экономического роста// Экономика и математические методы, т. XII, в.

96. Равновесные траектории экономического роста// Методы функционального анализа в математической экономике. М., Наука. Полтерович В.М. 1

97. Экономическое равновесие и хозяйственный механизм. М., Наука, 1

99. Трансформационный спад в России// Экономика и математические методы, т. 32, в. 1, с. 54-

100. Романовский И.В. 1967а. Оптимизация стационарного управления дискретным

102. Асимптотическое поведение дискретного детерминированного процесса с непрерывным множеством состояний// Оптимальное планирование. Новосибирск, в. 8, с. 171-

104. Алгоритмы решения экстремальных задач. М., Наука. Рубинов A.M. 1

105. Темпы роста траекторий в моделях с переменной технологией// Оптимизация. Новосибирск, в. 19(36), с. 119-

107. Суперлинейные многозначные отображения и их приложения к экономико-математическим задачам. Л., Наука. Рубинов A.M. 1

108. Экономическая динамика// Итоги науки и техники, т. 19. М., ВИНИТИ, с.59-

110. Математические модели расширенного воспроизводства. Л., Наука. Рубинов A.M. 1

111. Эффективные функции в моделях воспроизводства// Всесоюзн. научи, конф. «Прогнозирование социального развития и демографических процессов в условиях ускорения НТП». Секция V. Математическое моделирование социально-экономического развития и демографических процессов в условиях ускорения НТП, Ереван, с. 71-

112. Рубинов A.M., Борисов К.Ю., Десницкая В.Н., Матвеенко В.Д. 1

113. Оптимальное управление в агрегированных моделях экономики. Л,, Наука, 272 с Рубинов A.M., Шапиев К.Ш. 1968. Об одном обобщении теоремы о магистрали в сильной форме//Оптимальное планирование, в.

114. Новосибирск, Наука. Свирежев Ю.М., Логофет Д.0.1

115. Устойчивость биологических сообществ. М., Наука. Черемных Ю.Н. 1

116. Качественное исследование оптимальных траекторий динамических моделей экономики: (Вопросы магистральной теории). М., Изд. Московского университета. Яковенко СЮ. 1989. О понятии бесконечной экстремали в стационарных задачах динамической оптимизации//Доклады АН СССР, т. 308, 4, с. 798-802.

117. Product variety, Marshallian externalities, and city sizes// Journal of Regional Science, v. 30, pp. 165-

119. Endogenous growth theory. Cambridge (Massachusets), London, MIT Press. Aigner D.J., Goldberger A.S., Eds. 1

120. Latent variables in socio-economic models. Amsterdam, North-Holland. Arrow K.J. 1962. The economic implications of learning by doing// Review of Economic Studies, v. 29, June, pp. 155-

121. Arrow K.J., Hahn F.H. 197L General competitive analysis. San Francisco, Holden Day. Atkeson A., Kehoe P.J, 1

122. Industry evolution and transition: a neoclassical benchmark. Working Paper 6005, NBER. Azariadis С 1

123. Intertemporal macroeconomics. Cambridge (Mass.), Blackwell. Barro R.J., Sala-i-Martin X. 1

124. Economic growth. New York, McGraw-Hill. Baumol W.J. 1

125. Productivity growth, convergence, and welfare: What the long-run data show// American Economic Review, v. 76, n. 5, pp. 1072-1

126. Becker R.A. 1980. On the long-run steady state in a simple dynamic model of equilibrium with heterogeneous households// Quarterly J. of Economics, v. 94, pp. 375-

127. Benhabib J., Day. R.H. 1982. A characterization of erratic dynamics in the overlapping generations model// Journal of Economic Dynamics and Control, v. 4, pp.37-

129. Uniqueness and indeterminacy: On the dynamics of endogenous growth// J. of Economic Theory, v. 63, pp. 113-

130. Bewley T. 1982. An integration of equilibrium theory and turnpike theory// J. of Mathematical Economics, v. 10, n. 2/3, pp. 233-

132. Lectures on macroeconomics. Cambridge (Mass.), London, MIT Press. Blanchrd O., Kremer M. 1

133. Disorganization// Quarterly Journal of Economics, v. 112,n.l, pp. 1091-1

134. Boldrin M., Montrucchio L. 1986. On the indeterminacy of capital accumulation paths// Journal of Economic Theory, v. 40, n. 1, pp.26-39.

135. Acyclicity and stability for intertemporal optimization International Economic Review, v. 29, n. 1, pp. 137-

137. Acyclicity and dynamic stability: generalizations and applications// J. of Economic Theory, v. 65, n. 2, pp. 303-

138. Sensitivity of optimal growth paths with respect to a change in target stocks// Contributions to the von Neumann growth model, G.Brockman, W.Weber, Eds., New York, Springer-Verlag, pp. 73-

140. Differential equqtions, stability and chaos in dynamic economies. Amsterdam etc.. North Holland. Burmeister E., Dobell A.R. 1

141. Mathematical theories of economic growth. London, Macmillan. P.Butkovic, K.Cechlarova, P.Szabo.l

142. Strong linear independence in bottleneck algebra// Linear Algebra and Its Applications, v. 94, pp. 133-

143. Optimum growth in an aggregative model of capital accumulation// Review of Economic Studies, v. 32, 233-

144. Caves R.E., Frankel J. A., Jones R.W. 1

145. World trade and payments: an introduction. 5"" ed. Нафег Collins. Cechlarova K. 1

146. Eigenvectors in bottleneck algebra// Linear Algebra and Applications, v. 175, pp. 63-

148. Efficient computation of the greatest eigenvector in fuzzy algebra// Tatra Mountains Math. Publications, v. 12, pp. 73-

149. Cheung S.N.S. 1973. The fable of bees: an economic investigation// The Journal of Law and Economics, V. 16 pp. 11-

150. Elements of dynamic optimization. New York, McGraw-Hill. Coase R.H. 1988. The firm, the market, and the law. Chicago: University of Chicago Press. Cuninghame-Green R. 1

151. Minimax algebra. Lecture Notes in Econom. And Math. Systems, 166, Berlin, Springer-Verlag. Deneckere R., Pelican S. 1

152. Competitive chaos// Journal of Economic Theory,

154. National debt in a neoclassical growth model// American Economic Review, v.55, pp. 1126-1

155. Dorfman R., Samuelson P.A., Solow R.M. 1

156. Linear programming and economic analysis. New-York-Toronto-London, McGraw-Hill. Dutta P.K. 1

157. What do discounted optima converge to? A theory of discount rate asymptotics in economic models// J. of Economic Theory, v. 55, n. 1, pp. 64-

158. Easterly W. 2002. The elusive quest for growth: Economists adventures and misadventures in the tropics. Cambridge, London, MIT Press. Easterly W., Levine R. 2001. Its not factor accumulation: stylized facts and growth models. World Bank Economic Review, v. 13, n.

159. Ericson R., Ickes B. 2000. A model of Russias "Virtual Economy". CEPR/WDI Annual International Conference on Transition Economics. Moscow. Frankel M. 1962. The production function in allocation and growth: a synthesis// American Economic Review, v. 52, n. 5, pp. 995-1

161. Balanced growth and intertemporal efficiency in capital Accumulation// International Economic Review, v. 3, n. 1, pp. 94-

162. Pure Exchange Equilibrium of Dynamic Economic Models// Journal of Economic Theory, v. 6, pp. 12-

163. Convergence? Inferences from theoretical models// Economic Journal, V. 106, July, pp. 1036-1

164. Grandmont J.-M. 1985. On endogenous competitive business cycles// Econometrica, v. 53, pp.995-1

165. Jacobs J. 1969. The economy of cities. New York, Random House. Johansen L. 1

166. Substitution versus fixed production coefficients in the theory of economic growth: a synthesis// Econometrica, v. 27, n. 2, pp. 157-

168. Mead, bees and externalities// The Journal of Law and Economics, V. 16, pp. 35-

169. Time series tests of endogenous growth models// Quarterly Journal of

170. Introduction to economic grovvh. Norton. Kanemoto Y. 1

171. Theories of urban externalities. Amsterdam, New-Holland. Kataoka H. 1983. On the local conservation laws in the von Neumann model// Lecture Notes in Econom. And Math. Systems, v. 210. pp. 156-

172. Klenow P.J., Rodruguez-Clare A. 1997. The Neoclassical revival in growth economics: has it gone too far?// NBER Macroeconomic Annual, v. 12, pp. 73-

173. Koopmans T. 1965. On the concept of optimal growth// The econometric approach to development planning, Stokie, Rand McNally. Komai J. 1

174. Transformational recession: the main causes// Journal of Comparative Economics, v. 19, n. 1, pp. 39-

176. Theories ofendogenous growth in historical perspective// Contemporary economic issues: Proceedings of the Eleventh World Congress of the International Economic Association, Tunis, v. 4 (Economic behaviour and design). M.R.Sertel, Ed. International Economic Association, pp. 223-

177. Kurz H.D., Salvadori N. 2000. The dynamic Leontief model and the theory of endogenous growth// Economic Systems Research, v. 12, n. 2, pp. 255-

179. Time to build and aggregate fluctuations// Econometrica, v. 50, pp. 1345-1

181. Fundamentals of public economics. Cambridge, MIT Press. Leontief W.W. 1951. The structure of American economy 1919-1939. New York, Oxford University Press. Leontief W.W. 1

182. Input-output economies. London-New York. Ljungqvist L., Sargent T.C. 2

183. Recursive macroeconomic theory. Cambridge-London, MIT Press. Lucas R.E. 1988. On the mechanics of economic development// Journal of Monetary Economics, v. 22, pp.3-

184. Making a miracle// Econometrica, v.61,2, pp.251-

185. Trust vs illusion: what is driving demonetization in Russia? CEPR/WDI

186. Development with positive externalities: the case of the Russian economy// Journal of Policy Modeling, v. 17, n. 3, pp. 207-

187. Matveenko V.D. 1997. On a dual representation of CRS functions by use of Leontief functions// Proceedings of the First International Conference on mathematical economics, non-smooth analysis, and informatics. Baku, pp. 160-

189. Eigenvectors in systems with operations max and 4-я Московская международная конференция по исследованию операций (ORM2004). Труды. Отв. ред. П.С.Краснощеков, А.А.Васин. М.: МАКС Пресс, с. 148-

191. Labor supply in the state sector of the Russian economy. ASPE Research Paper Series/Серия научных докладов ASPE, 5:2001, Ассоциация исследователей экономики общественного сектора ASPE. М., Тровант, 42 с. McCafferty S. 1

192. Macroeconomic theory. New York, Harper Row. McGrattan E.R. 1998. A defense of AK growth models// Federal Reserve Bank of Minneapolis Quarterly Review, v, 22, n. 4, pp.13-27. McKenzie L.W. 1

193. Turnpike theory// Econometrica, v.44, n.5, pp.841-865. McKenzie L.W. 1

194. Turnpike theory, discounted utility, and the von Neumann facet// Journal of Economic Theory, v. 30, n. 2, pp.330-352. McKenzie L.W. 1

195. Optimal economic growth, turnpike theorems and comparative Dynamics// Handbook of mathematical economics, v. 13, K.J.Arrow, M.D.IntriUgator, Eds. Amsterdam, North Holland, pp.1281-1355. McKenzie L.W. 1

196. Turnpikes// American Economic Review, v. 88, n. 2, pp.1-

197. External economies and diseconomies in a competitive situation// Economic Journal, v. 62, pp. 54-

198. Mehra R. 1988. On the existence and representation of equilibrium in an economy with growth and nonstationary consumption// International Economic Journal,v. 29, n. 1, pp. 131-135.

199. Montrucchio L. 1988. The occurence of erratic fluctuations in models of optimization over infinite horizon// Grovth cycles and multisectoral economies: the Goodwin tradition. G.Ricci, K.Velupillai,.Eds. Lecture Notes in Economics and Math. Systems, v.

200. Berlin Heidelberg, Springer-Verlag, pp.83-

202. Transitional dynamics in two=sector models of economic growth. Quarterly J. of Economics, v. 108, pp. 736-

204. Uber ein okonomisches Gleickungssystem und eine Verallgemeinerung des Brouwerschen Fixpunktsaltzes// Ergebuisse eines Math. Kolloquiums. Vienna, 8. S.73-

205. English translation: A model of general economic equilibrium// Review of Economic Studies, 1945-46, v. 13, pp. 1-

206. Phelps E. 1961. The golden rule of accumulation: a table for growthmen// American Economic Review, v. 51, pp. 638-

208. Theory ahead of business cycle measurement// Real business cycles, real exchange rates and actual policies. K.Brunner, A.H.Meltzer, Eds. GamegieRochester Series on Public Policy, v. 25, pp. 11-

210. Needed: A theory of total factor productivity// International Economic Review, v. 39, n. 3, pp. 525-

211. Ramsey F. 1928. A mathematical theory of saving// Economic Journal, 1928, v. 38, pp. 543-

213. Endogenous cycles in competitive models: a short overview// Studies in Nonlinear Dynamics and Econometrics, v. 1, i. 4, pp. 175-

214. Advanced macroeconomics. New York, McGraw-Hill. Romer P. 1

215. Increasing returns and long-run growth// Journal of Political economy, v.94,pp.l002-1

217. Gapital accumulation in the theory of long-run growth.// Modem Business Cycle Theory. R.J.Barro, Ed. Cambridge, Harvard University Press. Romer P. 1

218. Increasing returns and new developments in the theory growth//

220. Public finance. 2-nd ed. Homewood, Irwin. Rubinov A.M., Glover B.M. 1

221. Duality for incresing positively homogeneous functions and normal sets// Recherche operationnelle/Operations Research, v. 12, n.2, pp. 105-

222. Rubinov A.M., Glover B.M., Jeyakumar V. 1995. A general approach to dual characterizations of solvability of inequality systems with application// Journal of Convex Analysis, v. 2, n. 1-2, pp.309-

223. Ruhl C Vinogradov V. 1996. The blind man subsidies: output, inflation and unemployment in transition economies A general framework// East European Studies, V. 35, Vienna, Institute for Advanced Studies. Samuelson P. 1

224. Interactions between the multiplier analysis and the principle of Acceleration// Revue of Economics and Statistics, v. 21, pp.75-

225. Samuelson P. 1958. An exact consumption-loan model of interest with or without the social contrivance of money// Journal of Political Economy, v. 66, pp. 467-

226. Samuelson P. 1965. A catenary turnpike theorem involving consumption and the golden rule// American Economic Review, v. 55, June, pp. 486-496.. Samuelson P. 1970. Law of conservation of the capital-output ratio// Proceedings of the National Academy of Sciences, v.67, n. 3, pp.1477-1

228. Resolution of eigen fuzzy sets equations// Fuzzy Sets and Systems, v. 1, pp. 69-

230. Dynamic macroeconomic theory. Cambridge, Harvard Univ. Press. Sato R. 1981. The theory of technical change and economic invariance: application of Lie groups. N.-Y., Academic Press. Scheinkman J. 1976. On optimal steady states of «-sector growth model when utility is discounted// J. of Economic Theory, v. 12, pp. 11-

231. Nonnegative matrices. London, Allen and Unwin. Sladky K. 1976. On dynamic programming recursions for multiplicative Markov

232. Bounds on discrete dynamic programming recursions I, Models with nonnegative matrices// Kybernetica, v. 16, pp.526-

233. Solow R. 1956. A contribution to the theory of economic growth// Quarterly Journal of Economics, v. 70, 65-

234. Technical change and the aggregate production function// Review of Economics and Statistics, August, v. 39, pp. 312-320.. Solow R.M. 1

235. Investment and technical progress// Mathematical methods in the social sciences. Stanford University Press, 1960, pp. 89-

236. Growth theory: An exposition. 1988 edition. Oxford, Oxford Univ.Press. Solow R. 1

237. Another possible reason for wage stickiness// J. of Macroeconomics, V. 1, pp. 79-

239. Recursive methods in economic dynamics. Cambridge, Harvard Univ. Press. Sutherland W, 1970. On optimal development in a multi-sectoral economy: the discounted case// Review of Economic Studies, v. 37, pp. 585-

240. Behavioural constraints and the creation of markets in post-socialist economies// Economic Institutions, markets and competition: Centralization and decentralization in the transformation of economic systems. B.Dallago, L.Mittone, Eds. Cheltenham, Brookfield, Edgar, pp. 221-

241. Economic growth and capital accumulation// Economic Record, v. 22, pp. 334-

243. Mathematical economics. Cambridge, Cambridge University Press. Takayama A. 1

244. Analytical methods in economics. New York et al.. Harvester Wheatsheaf. Tu P.N.V. 1

245. Introductory optimization dynamics: optimal control with economics and management science applications. 2"" ed. Berlin, New York, Springer-Verlag. Tumovsky S. 1

246. International macroeconomic dynamics. London: MIT Press. Uzawa H. 1961. On a two-sector model of economic grovih// Review of Economic

247. Winter S.G., Jr. 1967. The norm of a closed technology and the straight-down-thetumpike theorem// Review of Economic Studies, v. 34, n. 1, pp. 67-84. Xie D. 1

248. Divergence in economic performance: transitional dynamics with muUiple equilibria// J. of Economic Theory, v. 63, pp. 97-

249. Yano M. 1984. The turnpike of dynamic general equilibrium paths and the inswnsitivity to initial conditions// J. of Mathematical Economics, v. 13, pp. 235-

250. Meiximum principle, dynamic programming, and their connection in deterministic control// Journal of Optimization Theory and Applications, V.65, n.2, pp.363-

252. Dynamic programming models with general nonnegative matrices// Technische Hochschule Leipzig, Wissenchafllische Zeitschrift, v. 8, pp. 145-

253. Zimmermann K. 1984, On max-separable optimization problems// Annals of Discrete Math., v. 19, pp.357-

255. Linear and combinatorial optimization in ordered algebraic structures// Annals of Discrete Math., v. 10.