Магистральные свойства моделей экономической динамики с потреблением тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, доктор физико-математических наук Дементьев, Николай Павлович

• Дементьев, Николай Павлович
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Дементьев, Николай Павлович

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Г л а в а 1. Динамические модели с дисконтированной

функцией полезности

§ 1.1. Характеристики в моделях со стационарным

технологическим множеством

§ 1.2. Асимптотика оптимальных траекторий в

нестационарных моделях

§ 1.3. Оптимальные траектории и условная устойчивость

гиперболических точек

Г л а в а 2. Магистральные теоремы в моделях с неаддитивной во времени функцией полезности

§ 2.1. Магистральная теорема в слабой форме

§ 2.2. Магистральная теорема в сильной форме

§ 2.3. Сходимость оптимальных траекторий в моделях,

близких к стационарным

§ 2.4. Сходимость оптимальных траекторий в модели с

глобальным технологическим множеством

Г л а в а 3. Равновесные динамические модели

§ 3.1 Существование равновесных траекторий

§ 3.2. Квазистационарные равновесные траектории в

моделях с постоянной технологией

§ 3.3. Локальная асимптотическая устойчивость

функцией потребительского бюджета

Г л а в а 4. Обобщенные магистрали

§ 4.1. Поведение оптимальных траекторий в моделях со слабо изменяющейся технологией

§ 4.2. Регулярные траектории в моделях экономической динамики со слабо изменяющейся технологией

леонтьевского типа

§ 4.4. Обобщенные магистрали в дискретных линейных

моделях с переменной технологией

Приложение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Магистральные свойства моделей экономической динамики с потреблением»

ВВЕДЕНИЕ

К настоящему времени магистральная теория представляет собой важную область математической экономики со сложившимся кругом проблем и инструментарием исследования, которая в свою очередь распадается на ряд разделов, заметно различающихся по степени их разработанности. Впервые идея магистральных теорем применительно к моделям Неймана была высказана в работе Дорфмана Р., Самуэльсона П. и Солоу Р. [78]. Строгие доказательства при разных предположениях и разными методами одновременно были даны Раднером Р. [91] и Моришимой М. [88]. Макаров В.Л. [46-48], Маккензи Л. [83], Никайдо X. [89], Рубинов А.М. [62, 66] и др. затем существенно усилили полученные результаты. Метод Раднера, первоначально примененный к моделям леонтьевского типа, оказался эффективным и при доказательстве магистральных теорем в более широком классе моделей Неймана-Гейла.

Модели Неймана-Гейла, задаваемые конусом технологических возможностей, описывают замкнутые системы: в них не допускается ни приток продуктов (или ресурсов) в систему, ни отток продуктов из системы. Постепенно исследования в магистральной теории стали смещаться в сторону более реалистичных открытых (незамкнутых) моделей, в которые трудовые ресурсы поступают извне, а потребление относится к внешнему выпуску системы. В качестве максимизируемой величины стала рассматриваться сумма полезностей во времени, где полезность в каждый период времени зависит от текущего потребления. Магистральные теоремы в открытых системах восходят к работе Ф. Рамсея [92] по оптимальным сбережениям, поэтому соответствующие модели часто называются рамсеевскими.

Существенные результаты (с помощью модификации метода Раднера) были получены здесь Ацуми X. [72], Броком У. [76], Гейлом Д. [79], Макаровым В.Л. и РубиновымА.М. [50], Пелегом Б. [90], Романовским И,В. [61], Цукуи Дж. [98] и др.

Дисконтирование функций полезности во времени существенно усложняет доказательство магистральных теорем. В этом случае даже доказательство магистралей в многопродуктовых стационарных моделях оказывается нетривиальным, оно осуществляется с помощью теорем о неподвижной точке. При различных предположениях теоремы существования получены Купмансом Т. [82], Макаровым В.Л. [49], Сазерлендом У. [94]. Еще сложнее обстоит дело с асимптотической устойчивостью оптимальных траекторий в моделях с дисконтом. Дж. Шейнкман [95] показал, что при условиях, гарантирующих справедливость глобальных магистральных теорем при недисконтированной функции полезности, магистральные теоремы остаются справедливыми, если дисконт достаточно близок к единице. Этим же автором совместно с А. Эрейджоу в [71] был намечен иной подход в доказательстве асимптотической устойчивости оптимальных траекторий, связанный с доминированием диагональных элементов в бесконечномерной матрице, порождаемой линеаризацией ограничений модели в окрестности рассматриваемой оптимальной траектории.

В первой главе диссертации изучаются рамсеевские модели с дисконтированной функцией полезности. Полученные здесь результаты наиболее близки к традиционным направлениям магистральной теории.

Типичная модель рамсеевского типа может быть сформулирована как оптимизационная задача, ограничения которой имеют вид

{хьу1)еОь / = 1,2,...; (В.1)

у(>хм+с1) / = 0,1,...; (В.2)

Здесь заданы: п - число продуктов в системе; £2/ е Я^ ~

технологическое множество в момент /, / = 1,2,.....

Эндогенными величинами являются: х( - вектор затрат в момент Г, у( - вектор выпусков в момент t, с( - вектор потребления в момент I.

Включение (х, у) е означает, что экономическая система,

затратив в момент t вектор продуктов х, может произвести набор у. Согласно ограничениям (В.2), произведенная в момент г продукция распадается на потребление в этот момент и на производственные затраты в момент ? + 1.

Траектория (л^+ь у^, называется допустимой, если она

удовлетворяет ограничениям (В.1), (В.2). При этом говорят, что траектория исходит из состояния у0. Для сравнения "качества" допустимых траекторий вводится последовательность функций полезности

щ: Я? -> Я, / = 0,1,.... (В.З)

(* *

х/+1» У/ > с(0 называется

оптимальной, если

( Т , ч Т

1ш1

'Г ->«о\/=0 /=0

для всех допустимых траекторий {xt+^í,yt , исходящих из у*.

Говорят, что траектория (Уь ^г+Ь с() допускает характеристику (Р()™=0, если (р( - ненулевая последовательность и для каждого t

+ С/_,) + И,-!^) + р(у( > >-р^(х + с) + и(^(с)+р(у для всех (х,у) е с > 0.

Исследования, проводимые в этой модели, связаны обычно с существованием оптимальных траекторий, их характеризацией и асимптотикой Согласно магистральным теоремам в слабой форме, две оптимальные траектории могут существенно отличаться друг от друга в конечном числе моментов времени. Теоремы в сильной форме утверждают, что такие моменты времени находятся в начале планового периода.

В главе 1 рассматриваются модели описанного типа, в которых

функции полезности имеют вид щ(с) = рг'С^(с), где рГ1 € (0, I) -дисконт, а функции удовлетворяют ряду условий

"равномерно" по

В § 1.1 изучаются квазистационарные модели, в которых

О/ = О, щ(с) = при всех где рГ1 е(0, со).

Нами предложены условия, обеспечивающие существование стационарной траектории {у(, х{+\, с() = (у,х,с) с квазистационарной характеристикой р( = При р, > 1 такие условия ранее предлагались Т. Кумпансом [82] и В.Л. Макаровым [49] в связи с существованием магистралей - оптимальных стационарных траекторий (при р. > 1 всякая стационарная траектория,

допускающая характеристику Р( = (х~*р, является магистралью — стационарной оптимальной траекторией). Если р < 1, то в нормальном случае магистраль не существует. Однако этот случай

также рассматривается в диссертации. Он интересен следующим: стационарная траектория с характеристикой является

равновесной (см. §3.2) при некоторых р> 0, р, е (0,1), если потребительский бюджет в каждом году равен некоторой фиксированной доле "заработной платы трудящихся". Предположения, сделанные В.Л. Макаровым, - довольно жестки с экономической точки зрения (телесность множества допустимых векторов потребления, обращение в нуль функции на границе

положительного ортанта Я+). В предложенной нами схеме доказательства упомянутые предположения излишни, если О -компакт.

Еще в начале 70-х годов Т. Купманс [82] показал, что в однопродуктовых моделях сходимость оптимальных траекторий к магистрали имеет место при любом дисконте, меньшем единицы. В многопродуктовых моделях дело обстоит намного сложнее [71, 87, 95]. В этом случае в магистральных теоремах обычно предполагается, что дисконт р. достаточно близок к единице. В § 1.2 установлена оценка для тех значений дисконтирующего множителя

(т. е. указан интервал вида ^1,/^), при которых сохраняется

сходимость оптимальных траекторий друг к Другу с экспоненциальной скоростью. Эта оценка явно выражается через параметры, фигурирующие в предположениях относительно технологических множеств и функций £/,. Предположения весьма жесткие, предполагается, в частности, равномерная строгая выпуклость технологических множеств.

В § 1.3 для доказательства локальной асимптотической устойчивости магистралей в квазистационарных моделях нами была использована теорема об условной устойчивости гиперболических

точек. В этом направлении нам известна только одна работа Дж. Шейнкмана [95], в которой автор с помощью гиперболической теории вначале получил магистральные теоремы для моделей с недисконтированной функцией полезности, а затем, доказав непрерывную зависимость устойчивого многообразия от величины дисконта, распространил полученные результаты на модели с дисконтом, достаточно близким к единице. Нам удалось применить гиперболическую теорию сразу к моделям с дисконтированной функцией полезности, что позволило оценить область значений дисконта, при которых справедливы локальные магистральные теоремы.

Нами используется следующий результат гиперболической теории [58, с. 104].

Пусть ср - диффеоморфизм класса С окрестности точки 0 в Яп на окрестность точки 0 в Кп, переводящий 0 в 0. Предположим, что производная ф'(0) не имеет собственных чисел, равных по модулю единице (тогда 0 называется гиперболической точкой). Пусть т - число собственных чисел, по модулю меньших единицы. Тогда <р имеет в окрестности точки 0 устойчивое инвариантное дифференцируемое многообразие М (т. е. е М при всех

N > 1, если х0 € М, причем ф^(д:0) -» 0 при N -> с©)? касающееся в точке 0 устойчивого т-мерного инвариантного подпространства оператора ф'(0).

Рассмотренная нами модель имеет вид

Р{х(,у()<{),

У(~\ - ^ 0, Х/>0, у! > 0, ¿ = 1,2,..., Уо ~ У >

ОО

х - х() шах.

Хотя модель проста, продемонстрированные на ней схемы доказательств могут быть распространены на более сложные оптимизационные и равновесные модели.

Наряду с достаточно традиционными предположениями относительно модели принимается, что на магистрали

матрица II - ^-^(у* - #*) отрицательно определена, а матрица дсгу ,

А о,

„ д2Р / * *\ „ ЪРI * *\ г дР / * Л невырождена, где Рп = ^¡Д* ,у ), Р{ = ,у ^ Р2 = —\х ,у

Тогда существует интервал (1, р) такой, что при ц е (1, р)

магистраль локально асимптотически устойчива. При

этом р > 1 явно выражается через параметры, фигурирующие в модельных предположениях.

Схематически доказательство этого факта выглядит следующим образом. Рассматривается система уравнений

п дР , ч , ди, ч Л

в< £о*

получаемая из двойственных соотношений задачи путем замены = цг'б/, где Xf - двойственная переменная. Показывается, что система, образованная этими уравнениями и уравнением Р(х(,У() = 0, разрешима относительно ПРИ любых

(У/-1,Х() из некоторой окрестности точки Обозначим через

Ф отображение (<у/_1?л:/) -> {У(,х(+1}. Ясно, что {у*, х*^ = Показывается, что производная отображения ф в точке

имеет п собственных чисел с модулем, меньшим 1, и п собственных чисел с модулем, большим 1. Тогда согласно гиперболической теории в окрестности существует п~

мерное дифференцируемое устойчивое инвариантное многообразие М. Далее доказывается, что существует некоторая окрестность

точки у* такая, что для любого у из этой окрестности можно

подобрать (у, х) е М. Отсюда без труда выводится справедливость

теоремы.

В главе 2 изучаются динамические модели с конечным периодом планирования [О, Т] и неаддитивными во времени функциями полезности. Функция полезности

называется аддитивной во времени, если она представима в виде

Т

и(с0,с„...,сг)= 2>,(с,).

/=о

Применение таких функций полезности в экономическом анализе имеет серьезные недостатки. Действительно, в этом случае игнорируется принцип "историзма": поле предпочтений в году ? не зависит от предыдущей истории в потреблении, не учитывается специфика службы предметов длительного пользования. Тем не менее, в моделях экономической динамики рамсеевского типа до сих пор используются только аддитивные во времени функции полезности. Л. Маккензи в обзоре [87] указал только две работы П. Самуэльсона [93] и К. Иваи [80], в которых были предприняты попытки ослабить предположение об аддитивности во времени функции полезности.

П. Самуэльсон доказал локальную магистральную теорему для стационарной однопродуктовой модели, в которой технологическое множество задается с помощью неоклассической производственной функции, а функция полезности имеет вид

где N > 0 - конечное целое число. В доказательстве существенна стационарность модели, поскольку оно основано на спектральном анализе линеаризованной (в окрестности магистрали) модели.

К. Иваи рассматривал несколько иную функцию полезности

где функция V зависит от двух аргументов. Доказательство сходимости оптимальных траекторий к магистрали опирается на идеи динамического программирования, в нем также существенна стационарность модели.

Нами в § 2.1 показано для многопродуктовых нестационарных моделей, что требование об аддитивности функции полезности излишне при доказательстве магистральных теорем в слабой форме.

При доказательстве теорем в сильной форме нами в дополнение к традиционным предположениям потребовано

предметов потребления в году I от наборов потребления в другие годы т ^ / должна достаточно быстро ослабевать при возрастании |£—т Конкретно, в § 2.2 предполагалось экспоненциальное ослабевание упомянутой зависимости:

где б > 0, # е [0,1) - некоторые числа. Разумеется, аддитивные во времени функции полезности удовлетворяют сформулированному

ди / ч дщ / ч

условию, так как предельные полезности -^\Со>с1>--->ст) ~ -^r{ct)

вообще не зависят от наборов сх, хФ t.

и(с0, с15 с2,...) = К(с0, «(с„ с25...)) = = Г(с0, Г(с(, и(с2,...)))=...,

следующее: зависимость предельных полезностей

(В.4)

Согласно магистральным теоремам, в моделях с постоянными во времени технологическими множествами и стационарной

Т

аддитивной функцией полезности оптимальные траектории

t=o

сходятся к магистрали при удалении Г от концов отрезка [О, Т\. Поэтому состояния (Х(,у(,С() и (хт,>'т,сг) на оптимальной

траектории мало отличаются друг от друга при /, х е [/, Т - /], где

/ > 0 - достаточно большое целое число. В § 2.3 это свойство было перенесено на модели с неаддитивной во времени функцией полезности (естественно, при постоянной технологии). Для этого было введено еще одно дополнительное требование относительно функции полезности, расширяющее понятие "стационарность" на случай неаддитивных функций:

существуют числа с > 0, р е [0,1) такие, что для всех целых Н > О справедливо неравенство

орА (В.5)

для всех х е [Л, Т - Щ и всех с', с" таких, что

Смысл (В.5) состоит в том, что предельные полезности потребительских благ в точках /их мало отличаются, если "истории" потребления совпадают на достаточно больших окрестностях этих точек.

Следует отметить как недостаток, что установленные в §§ 2.2 -2.3 магистральные свойства справедливы только для тех оптимальных траекторий, на которых с( > О V/.

В § 2.4 рассматривается динамическая модель на конечном временном интервале, в которой технологические возможности описываются с помощью одного глобального технологического множества:

¿1, зг» 1т+\) ^ о;

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Дементьев, Николай Павлович, 1998 год

Литература

1. Аганбегян А. Г., Багрииовский К. А., Гранберг А. Г. Система моделей народнохозяйственного планирования. - М.: Мысль, 1972.

2. Аркин В. И., Евстигнеев И. В. Вероятностные модели управления и экономической динамики.- М.: Наука, 1979.

3. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1978.

4. Ашманов С. А. Введение в математическую экономику. - М.: Наука, 1984.

5. Багриновский К. А. О гладких решениях некоторых задач планирования. // Проблемы народнохозяйственного оптимума. М.: Экономика, 1969, с. 300-325.

6. Барабаш С- Б. Параметрический анализ конечномерных экстремальных задач // Математический анализ моделей экономического взаимодействия. - Новосибирск: Наука. Сиб. отделение, 1981, с. 3-21.

7. Борисов К. Ю. Модель равновесия с производителем, максимизирующим норму прибыли // Математические модели экономической динамики - Вильнюс, 1988, с. 6-20.

8. Борисов К. Ю. О локально-оптимальных траекториях в однопродуктовой модели неймановского типа // Анализ и применение математических моделей экономической динамики. -Новосибирск: Наука, 1990, с. 3 -8.

9. Данилов В. Л Оптимальное развитие экономики с переменной технологией // Методы функционального анализа в математической экономике. - М.: Наука, 1978, с. 3-22.

10. Дементьев НЛ. Об одном обобщении модели Неймана// Методы

моделирования и обработка информации. - Новосибирск, 1976, с. 93 - 95.

11. Дементьев Н.П. Об одной модели экономического роста // Оптимизационные и балансовые модели народного хозяйства. -Новосибирск: Наука, 1977, с. 167 - 173.

12. Дементьев НЛ Стабильный рост в динамических моделях Леонтьева с переменной технологией // Динамическая и вероятностная оптимизация. - Новосибирск: Наука, 1978, с. 224 -256.

13. Дементьев НЛ. Об устойчивости одной динамической модели // Конференция молодых экономистов и социологов Сибири (Улан-Удэ, 1979). - Новосибирск, 1979, с. 18-21.

14. Дементьев НЛ. Траектории сбалансированного роста и сглаживающие сплайн-функции в динамической модели Леонтьева с переменной технологией // Модели и методы исследования экономических систем. - Новосибирск: Наука, 1979, с. 50 - 60.

15. Дементьев Н. И Магистрали с дисконтом, меньшим единицы, в некоторых моделях экономической динамики // Оптимизация, № 23(40), 1979, с. 85-97.

16. Дементьев Н. П. Обобщенные магистрали в моделях Леонтьева с переменной технологией // Известия Сибирского отделения АН СССР, № 6: Сер. обществ, наук, вып. 2, 1982, с. 46-51.

17. Дементьев Н. П. Поведение оптимальных траекторий в моделях со слабо изменяющейся технологией // Оптимизация, № 32(49), 1983, с. 69-88.

18. Дементьев Н. П. Обобщенные магистрали в дискретных моделях Леонтьева с переменной технологией // Математические методы

анализа взаимодействия отраслевых и региональных систем. Новосибирск: Наука, 1983, с. 11-27.

19. Дементьев Н. П. О стабильности темпов роста в балансовых моделях леонтьевского типа // Процессы воспроизводства и их моделирование. Новосибирск: Наука, 1983, с. 147-155.

20. Дементьев Н. П. Дисконтирующие функции и потребительский спрос И Оптимизация, № 38(55), 1986, с. 121-134.

21. Dementiev N. P. Generalized turnpikes in models with slowly changing technology. A report for the 5th IFAC/IFORS Conference on Dynamic Modelling and Control of National Economics. Budapest, June 1986. - Novosibirsk, 1986.

22. Дементьев H. IL Оценки сходимости оптимальных траекторий в моделях экономической динамики // Оптимизация, №41(58), 1987, с. 88-101.

23. Дементьев Н. IL, Павлов В л. Н. Технологический прогресс, оптимальные траектории и цены. - Новосибирск, 1987, с. 5-24.

24. Дементьев H.IL, Павлов ВлЛ. Технологический прогресс и свойства оптимума // Взаимосвязи НТП и экономического развития. - Новосибирск, 1987, с. 32-49.

25. Дементьев Н. TL, Финкель С. М. Оценки народнохозяйственной эффективности технического прогресса в строительстве // Анализ межотраслевых проблем интенсификации общественного производства. - Новосибирск, 1987, с. 85-100.

26. Дементьев Н. IL, Петров Ю. А. Взаимосвязь натуральной и стоимостной структуры общественного производства // Анализ межотраслевых проблем интенсификации общественного производства. - Новосибирск, 1987, с. 3-15.

27. Dementiev N. P. Turnpike theorem: the case when utility is not additively separable with respect to time // J. of Mathematical Economics, 18(1989), p. 385-397.

28. Дементьев H. IL, Петров Ю. А. Структуры цен и производства на стационарных траекториях экономического роста // Анализ и применение математических моделей экономической динамики. -Новосибирск: Наука, 1990, с. 9-22.

29. Дементьев Н. П. Равновесная модель экономической динамики с заданной функцией формирования потребительского бюджета // Экономика и математические методы, т. 27, вып. 1, 1991, с. 119129.

30. Дементьев Н. П. Магистральные свойства моделей экономической динамики с потреблением. - Новосибирск: Наука, 1991, 167 с.

31. Дементьев H. П. Поведение равновесных траекторий в моделях экономической динамики с бюджетной функцией // Системный анализ воспроизводства. - Новосибирск, 1992, с. 84-95.

32. Дементьев Н. П. Регулярные траектории в моделях экономической динамики со слабо изменяющейся технологией // Анализ и моделирование экономических процессов переходного периода в России. - Новосибирск: ЭКОР, 1996, с. 180 - 191.

33. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

34. Десницкая ВЛ. Эффективные траектории в одном классе макроэкономических моделей с переменной технологией// Анализ и применение математических моделей экономической динамики. - Новосибирск: Наука, 1990, с. 3 - 8.

35. Ефимов МЛ, Мовшович CJVI. Анализ сбалансированного роста в динамической модели народного хозяйства // Экономика и математические методы, т. IX, №1, 1973, с. 32-43.

36. Жафяров А. Ж. Теорема о магистрали в одной модели. Оптимизация, вып. 2(19), Новосибирск, 1971.

37. Жафяров А. Ж. Асимптотипа оптимальных траекторий моделей, заданных разложимыми суперлинейными отображениями// Оптимизация, вып. 42 (59), Новосибирск, 1988.

38. Жафяров А. Ж Теория устойчивости динамических дискретных моделей экономики и демографии. Новосибирск, 1996, 338 с.

39. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. - М: Прогресс, 1975, 606 с.

40. Ицкович И. А. Анализ линейных экономико-математических моделей. - Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1976, 190 с.

41. Канторович Л. В., Акилов Г- П. Функциональный анализ. - М.: Наука, 1977, 741 с.

42. Канторович Л.В., Макаров ВЛ. Модели роста и их использование в долгосрочном планировании // В кн.: Долгосрочное планирование и прогнозирование. - М.: Прогресс, 1975, с. 164-181.

43. Коссов BJB. Межотраслевые модели (теория и практика использования). - М.: Экономика, 1973.

44. Красс И. А. Математические модели экономической динамики. -М.: Сов. радио, 1976, 279 с.

45. Ланкастер К. Математическая экономика. - М.: Сов. радио, 1972, 464 с.

46. Макаров ВЛ. Асимптотика решений линейных динамических моделей с дискретным временем // ДАН СССР, 1965, 4, 1965, с. 767-769.

47. Макаров ВЛ. Асимптотическое поведение оптимальных траекторий линейных моделей экономики // Сибирский матем. журнал, 7, 4, 1966, с. 832-857.

48. Макаров В. JL Модели оптимального роста экономики // Экономика и матем. методы, т. 5, вып. 4, 1969.

49. Макаров В. JL Существование магистрали при дисконте, большем единицы J J Оптимизация, № 2(19), 1971, с. 114-119.

50. Макаров В. JL, Рубинов А. М. Математическая теория экономической динамики и равновесия. - М.: Наука, 1973.

51. Матвеенко В. Д. Горизонт эффективности в однопродуктовой модели экономической динамики // Оптимизация, № 36(53), 1985, с. 113-120.

52. Матвеенко В. Д. Эффективный функционал и магистраль в моделях экономической динамики // Математические модели экономической динамики. - Вильнюс, 1988, с. 97-117.

53. Матвеенко В. Д. Применение модели Неймана-Гейла для исследования динамических процессов // Анализ и применение математических моделей экономической динамики. - Новосибирск: Наука, 1990, с. 3 -8.

54. Математическая энциклопедия, т. 1, М.: Советская энциклопедия, 1977, с. 1150.

55. Мовшович С. М. Магистральный рост в динамических народнохозяйственных моделях // Экономика и матем. методы, т. 8, вып. 2, 1972, с. 256-265.

56. Моришима М. Равновесие, устойчивость, рост. - М.: Наука, 1972, 279 с.

57. Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая экономика. - М.: Мир, 1972, 517 с.

58. Палис ЭК* ди Мелу В. Геометрическая теория динамических систем: Введение. - М.: Мир, 1986, 301 с.

59. Полтерович В. М. Об устойчивости некоторых процессов распределения фондов и регулирования цен // Математическая экономика и функциональный анализ. - М.: Наука, 1974.

60. Полтерович В. М. Равновесные траектории экономического роста // Методы функционального анализа в математической экономике. - М.: Наука, 1978, с. 56-97.

61. Романовский И. В. Асимптотическое поведение дискретного детерминированного процесса с непрерывным множеством состояний // Оптимальное планирование, № 8, 1967.

62. Рубинов А. М. Суперлинейные многозначные отображения и их приложение к экономико-математическим задачам. - Л.: Наука, Ленингр. отд-ние, 1980, 166 с.

63. Рубинов А, М. Дискретный вариант простейшей модели экономического прогнозирования: Односекторная модель // Оптимизация, № 25(42), 1980, с. 139-151.

64. Рубинов А. М. Дискретный вариант простейшей модели экономического прогнозирования: Двухсекторная модель / / Оптимизация, № 26(43), с. 103-118.

65. Рубинов А. М. Экономическая динамика. - В кн.: Итоги науки и техники. Серия: Современные проблемы математики, т. 19. М: ВИНИТИ, 1982, с. 59 - 110.

66. Рубинов А. М. Математические модели расширенного воспроизводства. - Л.: Наука, Ленингр. отд-ние, 1983, 186 с.

67. Рубинов А. М. Модель равновесного типа как инструмент построения эффективных траекторий в моделях воспроизводства

// Математические модели экономической динамики. - Вильнюс, 1988, с. 131-150.

68. Столерю Л. Равновесие и экономический рост. - М.: Статистика, 1974, 471 с.

69. Черемных Ю. Н. Анализ поведения траекторий динамических народнохозяйственных моделей. - М.: Наука, 1982, 177 с.

70. Черемных Ю. Н. Качественное исследование оптимальных траекторий динамических моделей экономики. М.: Издательство МГУ, 1975, 183 с.

71. Araujo А^ Scheinkman J. Smoothness, comparative dynamics and the turnpike property // Econometrica, 45, 1977, p. 601-620.

72. Atsumi H. Neoclassical Growth and the Efficient Program of Capital Accumulation // Review of Economic Studies, 32, 1965, p. 127-136.

73. Becker R. On the long-run steady state in a simple dynamic model of equilibrium with geterogeneous households // Quarterly Journal of Economics, 94, 1980, p. 375-392.

74. Benveniste I*, Scheinkman J. Duality Theory for Dynamic Optimization Models of Economics: The Continuous Time Case // J. of Economic Theory, V. 27, № 1, 1982, p. 1-19.

75. Bewley T. An integration of equilibrium theory and turnpike theory // J. of Mathematical Economics, V. 10, № 2/3, 1982, p. 233-269.

76. Brock W. A. On existence of weakly maximal programmes in a multi-sector economy // Rev. of Economic Studies, 37, No. 2, 1970, p. 275 - 280.

77. Cass D. Optimal growth in a aggregative model of capital accumulation // Review of Economic Studies, № 32, 1965.

78. Dorfman R., Samuelson P., Solow R. Linear Programming and Economic Analysis. - New-York: McGraw-Hill, 1958.

79. Gale D. On optimal development in a multi-sector economy // Review of Economic Studies, № 34, 1967, p. 1-18.

80. Iwai K. Optimal Economic Growth and Stationary Ordinal Utility: A Fisherian Approach // J. of Economic Theory, V. 5, № 1, p. 121151.

81. Khan M, Mitra T. On the existence of a stationary optimal stock for a multi-sector economy: A primal approach // J. of Economic Theory, № 40, 1984, p. 319-328.

82. Koopmans T. A model of a Continuing State with Scarle Capital // Cowles Foundation for Research in Economics at Yale university, 1971.

83. McKenzie L. The Turnpike Theorem of Morishima // Review of Economic Studies, 30, 1963, p. 169-176.

84. McKenzie L. Turnpike theory // Econometrica, V. 44, № 5, 1976, p. 841-865.

85. McKenzie L, Yano 1VL Turnpike theory: Some corrections // Econometrica, № 48, 1980, p. 1839-1840.

86. McKenzie L. A primal route to the turnpike and Liapunov Stability // J. of Economic Theory, № 27, 1982, p. 194 - 209.

87. McKenzie L. Optimal Economic Growth, Turnpike Theorems and Comparative Dynamics // Handbook of Mathematical Economics, V. 3, 1986, p. 1281-1355.

88. Morishima M. Proof of Turnpike Theorem: The No Joint Production Case // Review of Economic Studies, 28, 1961, p. 89-97.

89. Niacado H. Persistence of Continual Growth near the von Neumann Ray: A Strong Version of the Radner Turnpike Theorem // Econometrica, 32, 1964, p. 152-162.

90. Peleg B. On competitive prices for optimal consumption plans // SIAM. J. AppL Math., 26, no. 2, 1974, p. 239 - 253 (PJKMaT, 1974, 11B727).

91. Radner R. Paths of Economic Growth That Are Optimal with Regard Only to Final States // Review of Economic Studies, 28, 1961, p. 98-104.

92. Ramsey F. A mathematical theory of savings // Economic Journal, № 38, 1928, p. 543- 559.

93. Samuelson P. Turnpike theorems even though tastes are intertemporally dependent // Western Economic Journal, № 9, 1971, p. 21-26.

94. Sutherland W. On optimal development in a multi-sectoral economy: The discounted case // Review of Economic Studies, № 37, 1970, p. 585-589.

95. Scheinkman J. On optimal steady states of n-sector growth model when utility in discounted // J. of Economic Theory, № 12, 1976, p. 11-30.

96. Scheinkman J. Stability of separable Hamiltonians and investment theory // Review of Economic Studies, № 45, 1978, p. 559 - 570.

97. Tsukui J. Turnpike theorem in a generalized dynamic input-output system // Econometrica, V. 34, № 2, 1966.

98. Tsukui J. The Consumption and the Output Turnpike Theorems in a von Neumann Type of Model, A Finite Term Problem // Review of Economic Studies, 34, 1967, p. 85-93.

99. Tsukui J. Application of a Turnpike Theorem to Planning for Efficient Accumulation: An Example for Japan // Econometrica, v. 36, №1, 1968, p. 172-186.

100. Uzawa H. Time preference and the Penrose effect in a two-class model of economic growth // J. of Political Economy, № 77, 1969, p. 628-652.

101. Yano M. Competitive Equilibria on Turnpikes in a McKenzie Economy. 1: A Neighborhood Turnpike Theorem // International Economic Review, V. 25, № 3, 1984, p.695-718.

102. Yano M. Competitive Equilibria on Turnpikes in a McKenzie Economy. 2: A Asymptotic Turnpike Theorem // International Economic Review, V. 26, № 3, 1985, p. 661-670.