Математические модели распространения нелинейных внутренних волн в слоистой стратифицированной жидкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Ермишина Виктория Евгеньевна

• Ермишина Виктория Евгеньевна
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Ермишина Виктория Евгеньевна

Введение

Глава 1. Внутренние волны в многослойной мелкой воде

1.1. Математическая модель

1.2. Стационарные решения

1.2.1. Бифуркация постоянного решения

1.2.2. Модельные решения: уединенные волны

1.2.3. Сравнение с результатами наблюдений и прямого численного моделирования

1.3. Нестационарные расчеты

1.3.1. Численная реализация

1.3.2. Сравнение моделей

1.3.3. Сравнение с экспериментальными данными

1.4. Основные результаты главы

Глава 2. Уединенные волны в двухслойном сдвиговом течении

2.1. Модели двухслойной мелкой воды

2.1.1. Слабонелинейные волны

2.1.2. Солитоны в жидкости с одним негидростатическим слоем

2.1.3. Солитоны в жидкости с двумя негидростатическим слоями

2.2. Область существования уединенных волн

2.3. Профили уединенных волн

2.4. Основные результаты главы

Глава 3. Двухслойное течение с вовлечением

3.1. Уравнения движения

3.2. Характеристики уравнений движения

3.3. Стационарные решения

3.3.1. Решения с осциллирующей внутренней границей

3.3.2. Волны большой амплитуды

3.4. Численные результаты

3.4.1. Формирование волнового и монотонного бора

3.5. Основные результаты главы

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели распространения нелинейных внутренних волн в слоистой стратифицированной жидкости»

Введение

Актуальность темы исследования Процессы перемешивания и массооб-мена в стратифицированном океане и в атмосфере являются существенными факторами формирования климата, развития и поддержания различных биосистем и их экологического равновесия. В процессе нелинейного опрокидывания внутренних волн в устойчиво стратифицированной жидкости могут формироваться локализованные области турбулентности, в которых осуществляется эффективный перенос массы. Наличие плотностной стратификации потока может приводить к резкому изменению режима течения над препятствием и интенсивному вихревому движению, а также к другим гидрофизическим процессам, влияющим на жизнедеятельность человека. Взаимодействие внутренних волн большой амплитуды с рельефом дна, погруженными и заякоренными конструкциями необходимо учитывать при проектировании прибрежных сооружений и морских платформ для глубоководной разведки и нефтедобычи. Для описания волновых процессов в неоднородных жидкостях широкое применение получили слоистые модели теории мелкой воды первого и второго приближений. Наиболее изученными являются уравнения двухслойного течения. Для более точного и полного моделирования динамики внутренних волн необходимо учитывать тонкую структуру стратификации, сдвиговой характер течения, неровность дна и обрушение волн, приводящее к перемешиванию жидкости. Поэтому анализ влияния волновых процессов на гидрофизические и морфологические характеристики шельфовой зоны моря и пресноводных водоемов требует развития методов математического моделирования и построения новых нелинейных моделей динамики внутренних волн в стратифицированной жидкости.

Степень разработанности темы исследования Теория волновых движений жидкости является важным и устоявшимся разделом механики. Классические результаты по теории волн изложены в известных монографиях [1-3].

Основные результаты по устойчивости гидродинамических течений приведены в монографии [4]. Математические вопросы, возникающие при численном решении гиперболических моделей гидромеханики обсуждаются в [5]. Геофизические приложения гидродинамики стратифицированных сред рассматриваются в монографии [6]. Широкую известность в стране и за рубежом получили теоретические работы по волновой гидродинамике сотрудников ИГиЛ СО РАН (научная школа академика Л.В. Овсянникова). В коллективной монографии [7] доказаны теоремы существования и единственности задачи Коши-Пуассона, дано строгое обоснование приближения мелкой воды, предложена оригинальная модель слоя смешения. Теоретические результаты о распространении нелинейных возмущений в сдвиговых потоках жидкости, режимах течения слоистой жидкости над препятствием, формировании слоев смешения и турбулентного перемешивания в следствие развития неустойчивости Кельвина-Гельмгольца содержатся в монографии [8]. Изложенные в этой работе идеи и подходы используются в данном диссертационном исследовании. В частности, применяется предложенный в [8] метод построения гиперболических аппроксимаций для дисперсионных моделей второго приближения теории мелкой воды.

Особый интерес в теории волновых движений жидкости представляют уединенные волны (солитоны), способные распространяться на значительные расстояния с сохранением формы и переносить частицы жидкости в захваченном ядре. С момента первого наблюдения и описания уединенной волны на водной поверхности Расселом в 1834 году, солитонообразные волны неизменно привлекают внимание исследователей. Уединенные внутренние волны часто наблюдаются в стратифицированном океане и прибрежных водах [9-12]. Среди волн большой амплитуды можно выделить волны моды 1 и моды 2. В случае волн первой моды изопикны смещены в одном направлении и могут представлять либо волны повышения, либо, что более типично, волны понижения, тогда как у волны второй моды изопикны смещаются в противоположных направлениях [13]. Большая часть результатов натурных наблюдений [14,15], лабораторных

экспериментов [16,17], и численного моделирования [18-20] относится к волнам моды 1. Однако многие полевые наблюдения показали, что волны моды 2 также широко распространены в водной среде [21,22]. С развитием оборудования для натурных наблюдений возрос интерес к более высоким бароклинным режимам, поскольку они могут быть более распространены, чем считалось ранее. Уже имеется обширная литература по моделированию распространения волн моды 2 как в каналах с ровным дном [23-25] так и при наличии склонов и шельфов [26,27]. В работе [28] описано численное моделирование разрушения внутренних волн препятствием на боковой стенке канала. Важной особенностью волн большой амплитуды моды 2 является их способность переносить жидкие частицы на значительные расстояния [29,30]. В результате перенос массы этими волнами может повлиять на перемешивание океана, распределение биологических и химических компонентов и других загрязнителей океана. Поэтому комплексное исследование процессов генерации и эволюции уединенных внутренних волн второй моды представляет значительный интерес.

Помимо упомянутых выше полевых наблюдений и лабораторных исследований, значительный прогресс был достигнут в описании уединенных внутренних волн посредством теоретических и численных исследований. Различные типы уединенных волн в окрестности состояния покоя рассмотрены в [31] на примере ряда моделей обратимых волновых процессов в гидромеханике. Развитие осцилляций на задней стороне волны, являющихся одной из характеристик уединенных волн большой амплитуды, анализировалось в работах [32,33]. Сильно нелинейная длинноволновая модель распространения внутренних волн большой амплитуды в двухслойных жидкостях была получена и исследована в работе [34]. Показано, что модель дает хорошее соответствие с имеющимися экспериментальными данными и численными решениями уравнений Эйлера. В работах [35, 36] модель была расширена на случай трехслойного течения, что позволило описать уединенные внутренние волны как первой, так и второй моды. Были найдены новые классы решений для уединенных волн моды 2,

характеризующиеся несимметричными многогорбыми волновыми профилями. Модификация уравнений Грина-Нагди для двухслойной жидкости, применимая к широкому диапазону отношения толщин слоев, была разработана в [37]. Наиболее общая модель сильно нелинейных внутренних гравитационных волн в многослойной жидкости была получена в работе [38], но эта система довольно сложна и поэтому неудобна в использовании. Упрощение этой модели, заключающееся в применении приближения Буссинеска и учете негидростатических эффектов только в верхнем и нижнем слоях, было предложено в работе [39]. В рамках трехслойной модели были построены несимметричные волны моды 2, существование которых подтверждено в экспериментах [30,40]. Возможность построения решения рассматриваемой многослойной модели с захваченным ядром установлена в [41]. В недавних работах [42,43] было показано, что многослойная модель с одним негидростатическим слоем позволяет достаточно хорошо описать динамику внутренних волн первой моды, распространяющихся в шель-фовой зоне приливного моря.

Численное решение дисперсионных уравнений мелкой воды связано с рядом сложностей. Например, гибридный численный метод, предложенный в [44] с использованием схемы типа Годунова, требует дополнительного обращения эллиптического оператора на каждом шаге по времени. Как следствие, это резко увеличивает время вычислений, особенно для многомерных и/или многослойных моделей. Альтернативная формулировка дисперсионных уравнений, предложенная в [45,46] в рамках гиперболической системы первого порядка, позволяет избежать этих проблем и существенно сократить время вычислений. Этот подход все чаще используется для численного решения дисперсионных уравнений [47,48]. В частности, этот подход уже применялся для моделирования внутренних волн моды 2 в трехслойной жидкости [49] и моды 1 в многослойной мелкой воде с одним негидростатическим слоем [42].

Распространение внутренних волн в покоящейся слоистой жидкости приводит к формированию сдвигового течения [42]. При слабой стратификации и

достаточно большом сдвиге скорости в слоях это может привести к неустойчивости Кельвина-Гельмгольца и перемешиванию слоев [50,51]. Область применимости слоистых гидростатических моделей теории длинных волн, как правило, определяется условием их гиперболичности, обеспечивающим устойчивость рассматриваемого течения по линейному приближению. Для двухслойных гидростатических моделей теории мелкой воды условия гиперболичности уравнений движения приведены в [52]. Вероятно, область применимости более общих длинноволновых моделей слоистых негидростатических течений следует ограничить областью параметров, для которых соответствующая гидростатическая модель является гиперболической. Очевидно, что наличие сдвига скорости влияет на распространение внутренних волн и возможность их генерации. Для непрерывно стратифицированных течений в [53, 54] выведены уравнения типа Кортвега-де Фриза, описывающие внутренние волны конечной амплитуды в слабо-сдвиговом потоке. Исследованы свойства уравнений и построены профили уединенных волн. Экспериментальное исследование и численное моделирование распространения и обрушения внутренних волн в трехслойном сдвиговом течении (внешние однородные слои и линейно стратифицированный пикноклин) выполнено в [55,56].

В недавних работах [57,58] выведена двухслойная модель движения неоднородной жидкости со свободной границей над неровным дном с учетом эффектов дисперсии и завихренности. Течение однородной жидкости в нижнем негидростатическом слое предполагается потенциальным. В более тонком верхнем слое давление распределено гидростатически, но жидкость неоднородна по плотности и ее движение вихревое. Такое двухслойное течение может возникнуть в результате обрушения волн и формирования приповерхностного пузырькового слоя, либо при перемешивании тонкого верхнего слоя с нижележащим слоем более тяжелой жидкости при их совместном сдвиговом движении. В [58] также получены численные решения, описывающие осциллирующее поведение внутренней границы раздела, которые наблюдаются в природных течени-

ях [59,60]. Характерные особенности слоистых неоднородных течений, возникающих при наличии сильной турбулентности в приповерхностном слое, исследовались в [61,62]. Влияние внутренних волн на акустические свойства приповерхностного пузырькового слоя в упрощенной постановке изучалось в [63]. Прямое численное моделирование на основе уравнений Навье-Стокса для двухфазных течений и анализ формирующихся вихревых структур проводился в [64]. Модели слоистого течения с учетом турбулентного перемешивания на внутренних границах раздела применялись для описания автоколебательного режима течения в канале с податливыми стенками [65] и формирования слоя смешения в спутных стратифицированных потоках [51].

Цели и задачи исследования. Целью данной работы является построение и исследование новых негидростатических моделей распространения нелинейных внутренних волн в многослойной стратифицированной жидкости.

В соответствии с поставленной целью в работе решаются следующие задачи:

- построение многослойной модели с внешними негидростатическими слоями, описывающей распространение уединенных внутренних волн, и ее аппроксимация системой уравнений первого порядка;

- построение и исследование решений уравнений движения в классе бегущих волн, примыкающих к постоянному потоку и описывающих уединенные волны;

- численное решение полученных уравнений, верификация модели путем сравнения с известными экспериментальными данными и результатами прямого численного моделирования;

- анализ условий существования уединенных волн конечной амплитуды для моделей слоистого сдвигового течения в приближении Буссинеска;

- получение гиперболической модели, аппроксимирующей нелинейные дисперсионные уравнения двухслойного течения неоднородной жидкости со свободной поверхностью с учетом турбулентного перемешивания на внутренней границе раздела.

Научная новизна состоит в развитии методов математического моделирования распространения нелинейных волновых возмущений в слоистой стратифицированной жидкости. Полученные модели применены для описания эволюции внутренних и поверхностных волн большой амплитуды. Получены следующие новые результаты:

- Построена модель многослойной мелкой воды для негидростатических течений в приближении Буссинеска, представимая в виде системы законов сохранения первого порядка. Модель верифицирована на данных лабораторных экспериментов и полевых наблюдений. Модель позволяет учесть тонкую структуру пикноклина и наличие сдвига скорости в слоях.

- Получены условия существования уединенных волн конечной амплитуды, распространяющихся в двухслойном стратифицированном течении со сдвигом скорости в слоях.

- Построена гиперболическая модель двухслойного течения неоднородной жидкости с учетом турбулентного перемешивания на внутренней границе раздела

Теоретическая и практическая значимость. Построены и исследованы новые модели распространения уединенных внутренних волн в слоистой стратифицированной жидкости. На основе предложенных моделей выполнены численные расчеты эволюции и обрушения нелинейных внутренних волн в многослойных течениях жидкости. Сравнение с известными экспериментальными

данными и натурными наблюдениями, а также результатами прямого численного моделирования, показало эффективность и точность построенных моделей.

Полученные результаты могут быть востребованы в области теоретической и прикладной гидродинамики, при решении практических задач мониторинга и моделирования течений и распространения волн в шельфовой зоне моря.

Методология и методы исследования Для решения поставленных задач в работе использовались: методы механики сплошных сред, теория нелинейных волновых движений жидкости, теория дифференциальных уравнений в частных производных, методы численного решения гиперболических уравнений, реализованные в среде MATLAB, и методы символьного вычисления, реализованные в пакете MATEMATICA.

Основные положения, выносимые на защиту На защиту выносятся следующие основные результаты диссертационной работы:

- Построена модель многослойного течения стратифицированной жидкости, представимая в виде системы неоднородных законов сохранения первого порядка. Построены стационарные и нестационарные решения уравнений в виде уединенных внутренних волн первой и второй моды. Модель верифицирована на данных лабораторных экспериментов (распространение внутренних волн моды 2 в резервуаре постоянной толщины и сужающемся канале), полевых наблюдений (уединенные волны первой моды, зафиксированные в Японском море и Боденском озере), прямого численного моделирования (обрушение волны второй моды над широким изолированным препятствием).

- В терминах двух безразмерных параметров определена область существования решений уравнений, описывающих распространение уединенных внутренних волн в двухслойной стратифицированной жидкости в приближении Буссинеска.

- Выведена гиперболическая модель движения неоднородной жидкости с учетом эффектов вовлечения и перемешивания, дисперсии и топографии. Исследована возможность построения решений в форме уединенных волн, примыкающих к заданному постоянному потоку. Приведены примеры таких решений, получаемых в результате численного решения стационарных и нестационарных уравнений движения.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью используемого математического аппарата, а также верификацией моделей сравнением с экспериментальными данными и результатами других авторов. Результаты опубликованы в ведущих рецензируемых научных изданиях [79-82] и представлены на всероссийских и международных конференциях.

Личный вклад автора В ходе работы автором проведены математические расчеты (построение решений, анализ математических свойств уравнений, вывод аппроксимирующих моделей) и численные эксперименты (реализация и доработка численных схем). Также автор принимала участие в обсуждении полученных результатов, их физической интерпретации и постановке задач.

Результаты диссертации опубликованы в 4 работах [79-82]. В публикациях [79,81] автором проведено построение стационарных решений (бегущих волн) в форме уединенных волн, примыкающих к заданному постоянному многослойному потоку. Проведены нестационарные расчеты формирования и эволюции внутренних волн большой амплитуды. В.Ю. Ляпидевским и А.А. Чесноковым дана общая постановка задачи и идеи вывода уравнений движения, а также предоставлены данные для сравнения с натурными и лабораторными экспериментами.

В статье [82] постановка задачи и общая идея работа принадлежит А.А. Чеснокову. Построение уединенных волн, примыкающих к сдвиговому двухслойному течению и анализ их существования выполнен автором.

Работа [80] выполнена без соавторов.

Апробация работы Результаты работы легли в основу 4-х публикаций в рецензируемых отечественных и международных изданиях [79-82], а также представлены на 6-ти конференциях, включая школы молодых ученых:

- Международная конференция «Марчуковские научные чтения 2021» (Новосибирск, 2021);

- 12-ая международная конференция — школа молодых ученых «Волны и вихри в сложных средах» (Москва, 2021);

- XI Всероссийская конференция «Актуальные проблемы прикладной математики и механики» с международным участием, посвященная памяти академика А.Ф.Сидорова с элементами школы молодых ученых (Кабардинка, 2022);

- XIII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Санкт-Петербург, 2023);

- 14-ая международная конференция — школа молодых ученых «Волны и вихри в сложных средах» (Москва, 2023);

- Всероссийская конференция «Математические проблемы механики сплошных сред», посвященная 105-летию со дня рождения академика Л.В. Овсянникова (Новосибирск, 2024).

Результаты диссертации сообщались и обсуждались на следующих научных семинарах:

- Объединенный семинар Кафедры гидродинамики НГУ и Лаборатории волновых процессов в неоднородных средах ИГиЛ СО РАН под руководством д.ф.-м.н. Чеснокова А.А., Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирский государственный университет;

- Семинар «Математические методы экономики и естественных наук» под руководством д.ф.-м.н. Шамаева А.С. и д.ф.-м.н. Розановой О.С., Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова;

- Семинар «Прикладная гидродинамика» под руководством чл.-корр. РАН Пухначева В.В. и д.ф.-м.н. Ерманюка Е.В., Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН;

- Семинар «Краевые задачи механики сплошных сред» под руководством член.-корр. РАН Плотникова П.И. и д.ф.-м.н. Старовойтова В.Н., Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН;

- Семинар «Теоретические и вычислительные проблемы математической физики» под руководством д.ф.-м.н. Ткачева Д.Л. и д.ф.-м.н. Трахини-на Ю.Л., Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН;

- Семинар «Гемодинамика» под руководством д.ф.-м.н. Чупахина А.П., Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН;

- Семинар «Математическое моделирование в механике» под руководством д.ф.-м.н. Андреева В.К. и д.ф.-м.н. Бекежановой В.Б., Институт вычислительного моделирования СО РАН, Институт математики и фундаментальной информатики Сибирского федерального университета.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из 97 страниц, в которые входят введение, три главы, заключение и список литературы. В работе 23 рисунка, а список литературы содержит 82 наименования.

Краткое содержание работы В первой главе предложена неоднородная система законов сохранения первого порядка, описывающая распространение внутренних уединенных волн в многослойной стратифицированной жидкости.

Течение во внешних негидростатических слоях описывается уравнениями второго приближения теории мелкой воды. В промежуточных слоях, число которых может быть произвольным, предполагается гидростатическое распределение давления. Такая конфигурация позволяет описать тонкую структуру пикно-клина и учесть слабый сдвиг скорости в слоях. Построение этой модели основано на использовании дополнительных переменных, позволяющих аппроксимировать дисперсионные уравнения типа Грина-Нагди системой первого порядка. Получены гладкие стационарные солитоноподобные решения предложенной модели в виде симметричных и несимметричных волн моды 2, примыкающих к заданному многослойному постоянному потоку. Проведены численные расчеты генерации и распространения внутренних волн большой амплитуды как с использованием предложенной системы первого порядка, так и с использованием исходных уравнений типа Грина-Нагди для внешних слоев. Установлено, что решения этих моделей практически совпадают. Преимуществом уравнений первого порядка является простота численной реализации и значительное сокращение времени нестационарных расчетов. Построены стационарные решения в виде уединенных волн первой и второй моды, в том числе несимметричных волн моды 2. Показано, что результаты численного моделирования хорошо согласуются с экспериментальными данными по эволюции уединенных волн моды 2 в канале постоянной толщины и сужающемся канале. Для волн первой моды приведено сравнение с известными результатами натурных наблюдений в Боденском озере и Японском море.

Во второй главе рассматривается нелинейная система уравнений, описывающая в приближении Буссинеска распространение внутренних уединенный волн конечной амплитуды в двухслойной стратифицированной мелкой воде под крышкой. В классе бегущих волн получены обыкновенные дифференциальные уравнения, определяющие профиль уединенной волны в сдвиговом течении с учетом негидростатического распределения давления в одном или в обоих слоях. В терминах двух безразмерных параметров, связанных со скоростью волны

и сдвигом скорости невозмущенного потока, определены условия существования уединенных волн конечной амплитуды. Для рассмотренных моделей приведены примеры профилей уединенных волн, показывающих влияние сдвига скорости и негидростатичности давления на форму волны.

В третьей главе предложена математическая модель распространения нелинейных длинных волн в двухслойном сдвиговом потоке неоднородной жидкости со свободной границей с учетом эффектов дисперсии и перемешивания. Уравнения движения жидкости представлены в виде гиперболической системы квазилинейных уравнений первого порядка. В классе бегущих волн построены решения, описывающие затухающие осцилляции внутренней границы раздела. Найдены параметры двухслойного потока, при которых возможно формирование волн большой амплитуды. Выполнено численное моделирование нестационарных течений, возникающих при обтекании локального препятствия. Показано, что в зависимости от скорости набегающего потока и формы препятствия вверх по течению распространяются возмущения в виде монотонного или волнового бора.

Заключение содержит список основных результатов, полученных в диссертационной работе.

Благодарности Автор выражает большую благодарность своему научному руководителю Чеснокову Александру Александровичу за руководство при проведении исследований, помощь в научной и организационной работе и моральную поддержку, а также Ляпидевскому Валерию Юрьевичу за полезные и познавательные обсуждения.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (коды проектов 20-11-20189, 21-71-20039, 23-41-00090), а также в рамках гранта № 075-15-2024-533 Министерства науки и высшего образования РФ на выполнение крупного научного проекта по приоритетным направлениям научно-технологического развития (проект «Фундаментальные исследования Байкальской

природной территории на основе системы взаимосвязанных базовых методов, моделей, нейронных сетей и цифровой платформы экологического мониторинга окружающей среды»).

18

Глава 1

Т~> и и и

Внутренние волны в многослойной мелкой воде

В данной главе будет предложена неоднородная система законов сохранения первого порядка, описывающая распространение внутренних уединенных волн в слоистой стратифицированной жидкости. Модель получена в приближении длинных волн с учетом негидростатического распределения давления во внешних (верхнем и нижнем) слоях. Число промежуточных гидростатических прослоек может быть произвольным, что позволяет моделировать тонкую структуру пикноклина. В классе бегущих волн построены солитоноподобные решения, примыкающие к заданному постоянному потоку. Приводится сравнение результатов численных экспериментов распространения волн первой и второй моды с известными результатами натурных наблюдений и лабораторных экспериментов.

1.1. Математическая модель

Рассматриваем внутренние гравитационные волны, распространяющиеся в многослойной жидкости с плотностями р1, % = 1 ,...,п (пронумерованы от верхнего слоя к нижнему), ограниченной сверху и снизу непроницаемыми поверхностями ^ = и ^ = хп+\(х) (Рис. 1.1). Сильно нелинейная модель, описывающая динамику внутренних волн большой амплитуды в многослойной жидкости, была предложена Чои [38] в предположениях потенциальности течения в слоях и малости длинноволнового параметра (е = Н^/Ь ^ 1, где - невозмущенная толщина ¿-го слоя и Ь - характерная длина волны). Полученные уравнения движения содержат негидростатические поправки порядка 0(е2). Из-за сложности этой модели наиболее изученными являются уравнения двухслойного [34] и трехслойного [35] течений. Уравнения существенно упрощаются, если учитывать негидростатические эффекты только в верхнем и нижнем слоях [39].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ермишина Виктория Евгеньевна, 2024 год

Список литературы

1. Стокер Дж. Дж. Волны на воде. Математическая теория и приложения //М.: Изд-во иностр. лит. - 1959.

2. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны //М.:Мир - 1977.

3. Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях //М: Мир. - 1981. - 598 с.

4. Дразин Ф. Введение в теорию гидродинамической устойчивости//М.: Физ-матлит. - 2005. - 288 с.

5. Куликовский А. Г., Погорелое Н. В., Семенов А. Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений // М.: Физ-матлит. - 2001.

6. Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика// М.: Мир. - 1984.

7. Овсянников Л. В. и др. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн //Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние. - 1985.

8. Ляпидевский В. Ю., Тешуков В. М. Математические модели распространения длинных волн в неоднородной жидкости //ИСО РАН - 2000.

9. Jackson C.R., Apel J. An atlas of internal solitary-like waves and their properties //Contract. - 2004. - V. 14. - no. 03-C. - 0176.

10. Макаренко Н. И. и др. Внутренние стационарные волны в глубоководных стратифицированных течениях //ПМТФ. - 2019. - Т. 60. - № 2. - P. 74-83.

11. Scotti A., Pineda J. Observation of very large and steep internal waves of elevation near the Massachusetts coast // Geophys. Res. Lett. - 2004. - V. 31. -no. 22.

12. Mackinnon J. A., Gregg M. C. Shear and baroclinic energy flux on the summer New England shelf //J. Phys. Oceanogr. - 2003. - Т. 33. - no. 7. - P. 1462-1475.

13. Yang Y. J. et al. Convex and concave types of second baroclinic mode internal solitary waves //Nonlinear Process. Geophys. - 2010. - Т. 17. - no. 6. - P. 605-614.

14. Helfrich K. R., Melville W. K. Long nonlinear internal waves // Ann. Rev. Fluid

Mech. - 2006. - V. 38. P. 395-425.

15. Lien R. C. et al. Large-amplitude internal solitary waves observed in the northern South China Sea: properties and energetics //J. Phys. Oceanogr. -

2014. - V. 44. - no. 4. - P. 1095-1115.

16. Cheng M. H, Hsu J. R. C. Effects of varying pycnocline thickness on interfacial wave generation and propagation //Ocean Eng. - 2014. - V. 88. - P. 34-45.

17. Hartharn-Evans S. G. et al. Stratification effects on shoaling internal solitary waves //J. Fluid Mech. - 2022. - V. 933. - A19.

18. Hsieh C. M. et al. Numerical study on evolution of an internal solitary wave across an idealized shelf with different front slopes //Appl. Ocean Res. - 2016. - V. 59. - P. 236-253.

19. Lamb K. G. Internal wave breaking and dissipation mechanisms on the continental slope/shelf //Annu. Rev. Fluid Mech. - 2014. - V. 46. - P. 231-254.

20. Vlasenko V., Brandt P., Rubino A. Structure of large-amplitude internal solitary waves // J. Phys. oceanography. - 2000. - T. 30. - no. 9. - C. 2172-2185.

21. Ramp S.R. et al. The evolution of mode-2 nonlinear internal waves over the northern Heng-Chun Ridge south of Taiwan //Nonlinear Process. Geophys. -

2015. - V. 22. - №. 4. - P. 413-431.

22. Shroyer E. L., Moum J. N., Nash J. D. Mode 2 waves on the continental shelf: Ephemeral components of the nonlinear internal wavefield // J. Geophys. Res. Oceans. - 2010. - V. 115. - C07001.

23. Carr M., Davies P. A., Hoebers R. P. Experiments on the structure and stability of mode-2 internal solitary-like waves propagating on an offset pycnocline //Phys. Fluids. - 2015. - V. 27. - no. 4. - 046602.

24. Cheng M. H. et al. Effects of initial amplitude and pycnocline thickness on the evolution of mode-2 internal solitary waves //Phys. Fluids. - 2018. - V. 30. -no. 4. - 042101.

25. Deepwell D., Stastna M. Mass transport by mode-2 internal solitary-like waves //Phys. Fluids. - 2016. - V. 28. - no. 5. - 056606.

26. Carr M. et al. Shoaling mode-2 internal solitary-like waves // J. Fluid Mech. -2019. -V. 879. - P. 604-632.

27. Cheng M. H. et al. Transformation of mode-2 internal solitary wave over a pseudo slope-shelf //AIP Advances. - 2017. - V. 7. - no. 9. - 095309.

28. Deepwell D. et al. Vortex generation due to internal solitary wave propagation past a sidewall constriction // J. Fluid Mech. - 2021. - V. 913. - A47.

29. Brandt A., Shipley K. R. Laboratory experiments on mass transport by large amplitude mode-2 internal solitary waves //Phys. Fluids. - 2014. - V. 26. - no. 4. - 046601.

30. Liapidevskii V., Gavrilov N. Large internal solitary waves in shallow waters //The Ocean in Motion: Circulation, Waves, Polar Oceanography. - 2018. -P. 87-108.

31. Ильичев А. Т. Уединенные волны в моделях гидромеханики// М.:Физматлит. - 2003.

32. Akylas T. R., Grimshaw R. H. J. Solitary internal waves with oscillatory tails //J. Fluid Mech. - 1992. - V. 242. - P. 279-298.

33. Rusas P. O., Grue J. Solitary waves and conjugate flows in a three-layer fluid //Eur. J. Mech.- B/Fluids. - 2002. - V. 21. - no. 2. - P. 185-206.

34. Choi W., Camassa R. Fully nonlinear internal waves in a two-fluid system // J. Fluid Mech. - 1999. - V. 396. - P. 1-36.

35. Barros R., Choi W, Milewski P.A. Strongly nonlinear effects on internal solitary waves in three-layer flows // J. Fluid Mech. - 2020. - V. 883. - A16.

36. Doak A., Barros R., Milewski P.A. Large mode-2 internal solitary waves in three-layer flows //J. Fluid Mech. - 2022. - V. 953. - A42.

37. Zhao B. et al. Experimental and numerical studies on internal solitary waves with a free surface //J. Fluid Mech. - 2020. - V. 899. - A17.

38. Choi W. Modeling of strongly nonlinear internal gravity waves. - Los Alamos National Lab.(LANL), Los Alamos, NM (United States), 2000. -LA-UR-00-2139.

39. Gavrilov N., Liapidevskii V., Gavrilova K. Large amplitude internal solitary waves over a shelf //Nat. Hazards Earth Syst. Sci. - 2011. - V. 11. - no. 1. -P. 17-25.

40. Гаврилов Н. В., Ляпидевский В. Ю., Ляпидевская З. А. Влияние дисперсии на распространение внутренних волн в шельфовой зоне // Фундам. и прикл. гидрофизика. 2013. Т. 6, №2. С. 25-34.

41. Ляпидевский В. Ю., Чесноков А. А. Уединенные внутренние волны с захваченным ядром в многослойной мелкой воде //ТМФ. - 2022. - Т. 211. - № 2. - С. 249-263.

42. Ляпидевский В. Ю. и др. Моделирование нестационарных гидрофизических процессов на шельфе Японского моря //Изв. РАН. МЖГ. - 2022. - № 1. -С. 57-68.

43. Ляпидевский В. Ю. и др. Нелинейные внутренние волны в многослойной мелкой воде //ПМТФ. - 2020. - Т. 61. - № 1. - С. 53-62.

44. Le Métayer O., Gavrilyuk S., Hank S. A numerical scheme for the Green-Naghdi model //J. Comput. Phys. - 2010. - V. 229. - no. 6. - P. 2034-2045.

45. Favrie N., Gavrilyuk S. A rapid numerical method for solving Serre-Green-Naghdi equations describing long free surface gravity waves //Nonlinearity. - 2017. - V.30. - no. 7. - 2718.

46. Ляпидевский В. Ю., Гаврилова К. Н. Дисперсионные эффекты и блокировка потока при обтекании порога //ПМТФ. - 2008. - Т. 49. - № 1. - С. 45-58.

47. Busto S. et al. On high order ADER discontinuous Galerkin schemes for first order hyperbolic reformulations of nonlinear dispersive systems //SIAM J. Sci. Comput. - 2021. - V. 87. - no. 2. - 48.

48. Chesnokov A. A., Nguyen T. H. Hyperbolic model for free surface shallow water flows with effects of dispersion, vorticity and topography // Comput. Fluids. -2019. - V. 189. - P. 13-23.

49. Chesnokov A., Liapidevskii V. Hyperbolic model of internal solitary waves in a three-layer stratified fluid //Eur. Phys. J. Plus. - 2020. - V. 135. - no. 7. -

P. 1-19.

50. Caulfield C. P. Layering, instabilities, and mixing in turbulent stratified flows // Annu. Rev. Fluid Mech. - 2021. - V. 53. - P. 113-145.

51. Chesnokov A.A., Gavrilyuk S.L., Liapidevskii V.Y. Mixing and nonlinear internal waves in a shallow flow of a three-layer stratified fluid //Phys. Fluids. - 2022. - V. 34. - no. 7. - 075104.

52. Овсянников Л. В. Модели двухслойной "мелкой воды" //ПМТФ - 1979. -№2. - С. 3-14.

53. Clarke S.R., Grimshaw R.H.J. The effect of weak shear on finite-amplitude internal solitary waves //J. Fluid Mech. - 1999. - V.395. - P. 125-159.

54. Derzho O. G. Large internal solitary waves on a weak shear //Chaos. - 2022. -V. 32. - no. 6. - 063130.

55. Fructus D. Carr, M, Grue, J., Jensen, A., & Davies, P.A. Shear-induced breaking of large internal solitary waves //J. Fluid Mech. - 2009. - V. 620. -P. 1-29.

56. Xu C., Stastna M. Internal waves in a shear background current: Transition from solitary-wave regime to dispersive-wave regime //Phys. Rev. Fluids. - 2019. -V.4. - no. 9. - 094801.

57. Gavrilyuk S. L., Liapidevskii V. Y, Chesnokov A. A. Spilling breakers in shallow water: applications to Favre waves and to the shoaling and breaking of solitary waves //J. Fluid Mech. - 2016. - V. 808. - P. 441-468.

58. Gavrilyuk S., Liapidevskii V., Chesnokov A. Interaction of a subsurface bubble layer with long internal waves //Eur. J. Mech.- B/Fluids. - 2019. - V. 73. -P. 157-169.

59. Shroyer E. L., Moum J. N., Nash J. D. Energy transformations and dissipation of nonlinear internal waves over New Jersey's continental shelf //Nonlinear Process. Geophys. - 2010. - V. 17. - no. 4. - P. 345-360.

60. Harris J. C., Decker L. Intermittent large amplitude internal waves observed in Port Susan, Puget Sound //Estuar. Coast. Shelf Sci. - 2017. - V. 194. -

P. 143-149.

61. Brocchini M, Peregrine D.H. The dynamics of strong turbulence at free surfaces. Part 1. Description //J. Fluid Mech. - 2001. - V. 449. - P. 225-254.

62. Brocchini M, Peregrine D.H. The dynamics of strong turbulence at free surfaces. Part 2. Free-surface boundary conditions //J. Fluid Mech. - 2001.

- V. 449. - P. 255-290.

63. Grimshaw R. H. J. et al. Structure formation in the oceanic subsurface bubble layer by an internal wave field //Phys. Fluids. - 2010. - V. 22. - no. 10. - 106603.

64. Lubin P., Glockner S. Numerical simulations of three-dimensional plunging breaking waves: generation and evolution of aerated vortex filaments // J. Fluid Mech. - 2015. - V. 767. - P. 364-393.

65. Ляпидевский В. Ю., Хе А. К., Чесноков А. А. Режимы течения в плоском эластичном канале при наличии локального изменения жесткости стенок //Сиб. журн. индустр. математики. - 2019. - Т. 22. - № 2. - С. 37-48.

66. Ляпидевский В.Ю., Новотрясов В. В., Храпченков Ф.Ф., Ярощук И.О. Внутренний волновой бор в шельфовой зоне моря // ПМТФ. - 2017.- Т. 58.

- №5. - С. 60-71.

67. Кукарин В. Ф, Ляпидевский В. Ю., Храпченков Ф. Ф, Ярощук И. О. Нелинейные внутренние волны в шельфовой зоне моря // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. - 2019. - №3. - С. 38-48.

68. Ляпидевский В. Ю., Турбин М. В., Храпченков Ф. Ф., Кукарин В. Ф. Нелинейные внутренние волны в многослойной мелкой воде // ПМТФ. - 2020. -Т. 61. - №1. - С. 53-61.

69. Preusse M. et al. Intrinsic breaking of internal solitary waves in a deep lake //Plos One. - 2012. - V. 7. - no. 7. - e41674.

70. LeVeque R. J. Finite volume methods for hyperbolic problems. - Cambridge university press. - 2002. - V. 31.

71. Nessyahu H., Tadmor E. Non-oscillatory central differencing for hyperbolic conservation laws // J. Comput. Phys. - 1990. - V. 87. - no. 2. - P. 408-463.

72. Deepwell D. et al. Wave generation through the interaction of a mode-2 internal solitary wave and a broad, isolated ridge //Phys. Rev. Fluids. - 2019. - V. 4. -no. 9. - 094802.

73. Ermanyuk E. V., Gavrilov N. V. A note on the propagation speed of a weakly dissipative gravity current // J. Fluid Mech. - 2007. - V. 574. - P. 393-403.

74. Гаврилов Н. В., Ляпидевский В. Ю. Уединенные волны конечной амплитуды в двухслойной жидкости //ПМТФ. - 2010. - Т. 51. - № 4. - С. 26-38.

75. Besse C., Noble P., Sanchez D. Discrete transparent boundary conditions for the mixed KDV-BBM equation //J. Comput. Phys.. - 2017. - V. 345. - P. 484-509.

76. Givoli D., Neta B. High-order nonreflecting boundary conditions for the dispersive shallow water equations // J. Comput. Appl. Math. - 2003. - V. 158. - no. 1. - P. 49-60.

77. Chesnokov A.A. et al. Stability of shear shallow water flows with free surface //SIAM J. Appl. Math. - 2017. - V. 77. - no. 3. - P. 1068-1087.

78. Treske A. Undular bores (Favre-waves) in open channels-experimental studies //J. Hydraul. Res. - 1994. - V.32. - no. 3. - P. 355-370.

79. Ляпидевский В. Ю., Чесноков А. А., Ермишина В. Е. Квазилинейные уравнения динамики уединенных внутренних волн в многослойной мелкой воде //ПМТФ. - 2021. - Т. 62. - №4. - С. 34-45.

80. Ермишина В. Е. Гиперболическая модель сильнонелинейных волн в двухслойных течениях неоднородной жидкости // Сиб. жур. индустр. математики. - 2022. - Т. 25. - № 4. - С. 71-85.

81. Chesnokov A.A., Ermishina V.E., Liapidevskii V.Y. Strongly non-linear Boussinesq-type model of the dynamics of internal solitary waves propagating in a multilayer stratified fluid //Phys. Fluids. - 2023. - V. 35. - no. 7. - 076605

82. Ermishina V. E., Chesnokov A. A. Finite-amplitude internal solitarywaves in a shear flow of a two-layer fluid //Interfacial Phenom. Heat Transf. - 2024. -V. 12. - no. 1. - P. 1-13.