Трехслойные пологие оболочки с дискретным внутренним слоем как вариант оболочки ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, кандидат технических наук Рыбакова, Ольга Владимировна

• Рыбакова, Ольга Владимировна
• кандидат технических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат технических наук Рыбакова, Ольга Владимировна

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

1. Построение модели пологой трехслойной оболочки с дискретным 15 внутренним слоем при конечных прогибах

1.1 Основные соотношения для пологих оболочек ступенчато-переменной 15 толщины

1.2 Оболочки, ослабленные внутренними вырезами, как модель трехслойной 19 оболочки с дискретным внутренним слоем

1.3 Вывод уравнений равновесия с использованием функционала полной энергии 23 деформации.

1.4Уравнения равновесия в перемещениях

1.5 Уравнения в смешанной форме

1.6 Уравнения метода конструктивной анизотропии в перемещениях для случая 34 большой частоты сетки внутреннего слоя

1.7 Выводы

2. Методика решения уравнений равновесия рассматриваемой модели 37 трехслойной оболочки с дискретным внутренним слоем

2.1. Линеаризации уравнений равновесия с помощью

метода последовательных нагружений

2.2 Применение метода Бубнова- Галеркина для решения линейной системы

дифференциальных уравнений. .

2.3. Программная реализация на ЭВМ методики решения уравнений равновесия 43 для рассматриваемого варианта трехслойной оболочки с дискретным внутренним слоем

2.4 Выводы

3. Напряженно деформированное состояние и устойчивости трехслойных 46 пологих оболочек с дискретным внутренним слоем

3.1. Преобразование входных и выходных параметров конструкции для перехода 46 от однослойной оболочки с внутренними вырезами к трехслойной оболочке с дискретным внутренним слоем

3.2. Эффективность использования предложенной модели трехслойной оболочки

3.3. Обоснование точности и достоверности получаемых результатов

3.4 Напряженно-деформированное состояние и устойчивость трехслойных 58 оболочек при различном числе ребер внутреннего дискретного слоя и их высоте и толщине

3.5. Выводы

Заключение

Список литературы

Приложение 1

Приложение 2

Приложение

97

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Трехслойные пологие оболочки с дискретным внутренним слоем как вариант оболочки ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах»

ВВЕДЕНИЕ

Необходимость уменьшения веса конструкций при сохранении достаточно высокой прочности в строительстве и различных областях машиностроения приводит к разработке легких, но высокопрочных элементов конструкций, которыми являются, в частности, тонкостенные ребристые оболочки и трехслойные оболочки с дискретным внутренним слоем (в виде системы пересекающихся ребер). Хотя трехслойные конструкции обладают большей прочностью, чем ребристые, при одинаковом весе, и их использование является более эффективным, но математические модели и расчетные схемы трехслойных оболочек являются более сложными и трудоемкими при исследовании этих конструкций на прочность и устойчивость.

Рассмотрим основные подходы к исследованию ребристых оболочек, существующие в настоящее время в теории ребристых оболочек.

Основы этой теории были заложены в работах В.З. Власова [12, 13, 90] и А.И. Лурье [61]. Они явились основателями двух главных подходов к исследованию ребристых оболочек, в которых считалось, что рёбра взаимодействуют с обшивкой по линии и что ребристую оболочку можно рассматривать как конструкцию, состоящую из оболочки (обшивки) и подкрепляющих её одномерных упругих элементов. В дальнейшем большинство авторов следовало одному из этих подходов.

В других исследованиях использовалась и более простая модель ребристой оболочки, в которой дискретность размещения рёбер не учитывается, а в уравнения равновесия вводятся коэффициенты, учитывающие увеличение жёсткости всей конструкции за счет подкрепляющих её ребер (метод конструктивной анизотропии).

П.А. Жилиным [27, 28] было предложено учитывать тот факт, что контакт между оболочкой и рёбрами происходит по поверхности полосы, а не по линии, и он стал рассматривать ребристую оболочку как оболочку ступенчато-переменной толщины.

Аналогичный подход к ребристой оболочке при решении нелинейных задач применил В.В. Карпов. В его работах [40, 51] этот подход получил свое дальнейшее развитие. Им была разработана нелинейная теория оболочек ступенчато-переменной толщины, учитывающая дискретность размещения рёбер, их ширину и совместную работу в местах пересечения, наличие в одной конструкции рёбер, вырезов и накладок. Эта теория обобщает все известные ранее подходы к ребристым оболочкам и позволяет получить уравнения равновесия и движения оболочек ступенчато-переменной толщины. Переменность толщины в ней задается с помощью единичных столбчатых функций.

За последние годы появилось большое число работ, относящихся к исследованию ребристых оболочек. Однако подавляющее число публикаций относится к исследованию ребристых оболочек в линейной постановке.

Наиболее общий обзор работ, посвященных устойчивости подкрепленных пластин и оболочек, приведен в работе Маневича А.И. [62]. Традиционная линейная постановка задач устойчивости для оболочек, ослабленных отверстиями, использована в работе [89]. В силу линейности задач общее НДС оболочки представляется в виде суммы основного (для оболочки не ослабленной отверстиями) и возмущенного (вызванного наличием отверстий), носящего локальный характер. Детальное исследование перфорированных пластинок и оболочек приведено в монографии Григолюка Э.И. и Филынтинского Л.А. [22].

Наиболее полно рассмотрены цилиндрические оболочки. Для задач динамики ребристых оболочек в наиболее общем виде уравнения движения построены для цилиндрических оболочек [7, 27].

В работах Амиро И.Я. и Заруцкого В.А. [5, 6] даны обзоры состояния исследования ребристых оболочек как в статической, так и в динамической постановке. Следует отметить также обзор работ в области статики ребристых оболочек, составленный Кантором Б.Я. и др. [39].

К приведенным выше обзорам, на наш взгляд, следует добавить еще работы Абовского Н.П., Енджиевского Л.В. и др. [1-3, 25, 85, 86], а также работы Карпова В.В. [40 -44, 51, 52, 54], Тимашева С.А. [75, 81] и Климанова В.И. [52, 55].

Единичные функции для задания дискретности толщины пластин и оболочек применяются в работах [2, 25, 27, 28, 85]. Следует отметить при этом, что в работах Абовского Н.П., Енджиевского Л.В. и других ученых Красноярской школы [2, 25, 84, 85] задание дискретной переменности толщины используется как для задач в физически нелинейной постановке, так и геометрически нелинейной. Это позволяет рассчитывать оболочки, подкрепленные ребрами, так и ослабленными вырезами.

Большое число работ посвящено исследованию трехслойных пластин и оболочек.

Большой интерес вызывает подход, предложенный в работе Михайлова Б.К., Каратаева Л.П., Овчинникова М.А. [66], исследования трехслойной пластины с дискретным ребристым заполнением. Разделением ребра по средней линии трехслойная пластина распадается на две однослойные плиты с ребрами, направленными в противоположные стороны по отношению друг к другу. Таким образом, задача расчета трехслойной плиты с внутренним ребристым заполнением сводится к расчету двух однослойных ребристых плит с последующим определением неизвестных из канонических уравнений, число которых равно числу ребер.

Методам расчета трехслойной пластины и оболочек симметрического строения по толщине посвящена работа Водяного Л.Ф. [14], в которой вариационным методом получены уравнения изгиба непологой трехслойной оболочки, а также решена задача об изгибе трехслойной оболочки с жестким заполнителем под действием равномерно распределенной нагрузки в случаях шарнирно-неподвижного опирания и заделки кромок. В работе также рассмотрен изгиб подкрепленных трехслойных оболочек и пластинок под действием поперечной нагрузки с учетом дискретного расположения ребер жесткости.

Многие авторы уделяют внимание многослойным пологим оболочкам [37, 57, 91]. Например, Кабуловым В.К. и Бабамурадовым К.Ш. [37] разработана программа численного решения для пологих трехслойных оболочек, испытывающих конечные прогибы под действием внешних сил. Методике решения нелинейных задач строительной механики посвящена работа Краснова [57]. Данная методика рассматривается в применении к расчету многослойных, несимметрично армированных, гладких и подкрепленных пологих оболочек и пластин позволяет по единому алгоритму определять компоненты НДС конструкций и критическую нагрузку при статических и динамических воздействиях. Юркевичем A.A. [91] доказана теорема существования решения задач для геометрически нелинейных пологих трехслойных оболочек с граничными условиями типа защемления и шарнирного опирания, а также для случая двухслойной оболочки.

Авторами Григолюком Э.И., Куликовым Г.М. [21] уделяется большое внимание геометрически нелинейной теории многослойных анизотропных оболочек типа Тимошенко, построенной на основе независимых гипотез относительно характера распределения перемещений, поперечных и касательных напряжений по толщине пакета. Путем использования смешанного вариационного принципа получены уравнения равновесия, граничные условия и интегральные соотношения для касательных напряжений. Рассматривается уточненная теория пологих многослойных оболочек. Получена система разрешающих уравнений относительно силовой функции F, функции перемещений и функции сдвига, совпадающих по форме записи с нелинейными уравнения трехслойных оболочек Э.И.Григолюка - П.П.Чулкова [22]. Здесь же исследуется модель армированного слоя, позволяющая определять механические свойства материала на основании свойств составляющих его компонентов, а также геометрически нелинейный вариант теории многослойных анизотропных оболочек с учетом локальных эффектов. На основе

разработанных программ представлен детальных анализ эффекта анизотропии в перекрестно армированных оболочках.

Многослойным оболочкам вращения также уделяется внимание исследователей. Тимониным A.M. [83] получена разрешающая система уравнений, состоящая из десяти нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных с переменными коэффициентами, и сформулированы соответствующие граничные условия для этой системы. По разработанной методике построен и реализован алгоритм численного решения задач о нелинейной деформации слоистых ортотропных оболочек вращения с малой сдвиговой жесткостью, находящихся под воздействием несимметричных и локальных краевых и поверхностных нагрузок и температурных полей. Многослойные конструкции, выполненные в виде комбинации оболочек вращения с произвольной формой меридиана, в том числе разветвленной и многосвязной, являются предметом исследований Э.В.Игнатьевой [34]. В основу численных алгоритмов расчета НДС положен полуаналитический вариант метода конечных элементов, который применяют вместе с методами прямого численного интегрирования для расчета НДС конструкций при нестационарном нагружении. Разработана эффективная методика и расчет НДС многослойных пологих оболочек из композиционных материалов с промежуточными упругими опорами, включая выбор и обоснование варианта теории оболочек в соответствии с особенностями рассматриваемого класса задач и свойствами многослойных материалов с новым типом ячеистого заполнителя.

Анализируя работы, посвященные трехслойным оболочкам и пластинам, можно заметить, что большинство из них относится к гладким конструкциям с разными жесткостными характеристиками слоев[21, 37, 82, 91]. И только малое число работ относится к трехслойным пластинам и оболочкам, подкрепленным ребрами [14, 32, 60, 66], причем

w и Т"* и w и

задачи рассматриваются в линеинои постановке. В геометрической нелинейной постановке

решены задачи для трехслойных оболочек в работах [21, 37, 57, 91]. Упрощенная модель трехслойной пластины с внутренними ребрами рассматривается в работе [66].

Одним из важнейших достижений в нелинейной теории пластин и оболочек явился метод продолжения решения по параметру, предложенный Э.И. Григолюком и В.И.Шалашилиным в их совместной монографии [23]. Этот метод был применен ими к задачам механики.

Однако более известен метод последовательного нагружения (МПН), предложенный В.В. Петровым в 1959 г. в работе [66], который является вариантом метода продолжения по параметру. Этот метод получил дальнейшее развитие и применение в работах как самого Петрова В.В. [68]., так и его учеников [42, 52, 58, 59, 63 и др.]. В дальнейшем появились модификации МПН. Например, В.В. Кузнецовым за последовательно изменяющийся параметр был принят размер оболочки в плане [7]. В работах В.В. Карпова был предложен метод последовательного наращивания ребер (МПНР), когда за изменяющийся параметр принимается высота ребер [49, 50-53, 42 и др.] и метод последовательного изменения кривизны (МПИК), когда за изменяющийся параметр принимается кривизна оболочки [47].

Применение этих методов в сочетании с методом Бубнова - Галеркина [15, 16] позволило В.В. Карпову рассмотреть сложные задачи устойчивости ребристых оболочек с позиций геометрической нелинейности и определить местную и общую потерю устойчивости таких оболочек во взаимосвязи. Следует отметить при этом, что предложенные В.В. Карповым модели и методы позволяют учесть такие факторы, как влияние перекрестной системы ребер на поперечные сдвиги и кручение обшивки, а также производить расчет оболочек, ослабленных вырезами.

Разработка Карповым В.В. [54], Игнатьевым О.В. и Филипповым A.C. [35-37] метода последовательного наращивания ребер (МПНР) и создание на базе МПНР и МПН варианта метода покоординатного спуска дало возможность сравнительно просто выбирать

рациональные варианты .подкрепления оболочек ребрами жесткости. Такой подход к выбору рациональной кривизны на базе метода последовательного изменения кривизны (МПИК) и МПН предложен в работе [47].

В последние годы большое значение приобрели приближенные методы, основанные на вариационных постановках задач математической физики. Задачи, допускающие вариационную постановку, позволяют максимально ослабить математические ограничения, накладываемые на разыскиваемое решение. Кроме того, вариационная формулировка предоставляет возможность взаимосвязи с задачами оптимизации и выбора рациональных параметров. Вариационно-параметрический метод рассмотрен в работе Карпова В.В., Игнатьева О.В., Игнатьевой И.А. [30].

Анализ современного состояния теории пологих ребристых и многослойных оболочек показал следующее:

• достаточно полно исследованы оболочки в линейной постановке, большей частью цилиндрические;

• в геометрически нелинейной постановке проведены исследования также в основном цилиндрических оболочек, и при этом с использованием модели Кирхгофа-Лява. Рёбра в этих исследованиях рассматривались как упругие одномерные элементы, присоединенные к обшивке по линии;

• в большинстве работ, посвященных трехслойным оболочкам и пластинам, исследуются гладкие конструкции с разными жесткостными характеристиками слоев, и только в некоторых работах рассматриваются (в основном в линейной постановке) трехслойные пластины и оболочки, подкрепленные внутренним слоем ребер.

Анализ публикаций по теме диссертации позволяет сделать вывод, что трехслойные оболочки с дискретным внутренним слоем исследованы недостаточно полно, хотя такие конструкции находят широкое применение. Таким образом задача разработки

математической модели трехслойных пологих оболочек с дискретным внутренним слоем

является актуальной.

Цель работы состоит:

• в разработке математической модели трехслойных пологих оболочек с дискретным внутренним слоем как варианта оболочки ступенчато-переменной толщины с внутренними вырезами, при условии, что для всех слоев принимается единая нормаль;

• в выводе уравнений равновесия для оболочек с внутренними вырезами;

• в разработке методики расчета НДС и устойчивости таких оболочек и исследовании конкретных оболочечных конструкций.

Научная новизна работы заключается в следующем:

• в подходе к трехслойной оболочке с дискретным внутренним слоем как оболочке ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах;

• в разработке на основе оболочки с внутренними вырезами новой модели трехслойной оболочки с дискретным внутренним слоем, в которой гипотеза о недеформируемой нормали применяется ко всему пакету в целом;

• в выводе уравнений равновесия в перемещениях и в смешанной форме с учетом геометрической нелинейности, в которых учитываются краевые условия свободного края на боковой поверхности дискретного внутреннего слоя (на краю внутреннего выреза);

• в получении уравнений равновесия метода конструктивной анизотропии в перемещениях (при «размазывании» жесткостных характеристик внутреннего дискретного слоя);

• в разработке программного комплекса для решения задач расчета НДС и устойчивости трехслойных оболочек с дискретным внутренним слоем;

• в проведении исследования НДС и устойчивости конкретных трехслойных оболочек с дискретным внутренним слоем и доказательстве эффективности полученной модели и расчетных схем.

Достоверность полученных результатов подтверждается применением научно-обоснованного аппарата при выводе уравнений равновесия для рассматриваемого вида оболочек, а также использованием для решения полученных уравнений детально изученных методов. Сравнение с результатами, полученными для одних и тех же задач на основе различных методик, также говорят о достоверности получаемых результатов.

Практическая ценность и внедрение результатов. Разработанное математическое и программное обеспечение задачи расчёта напряженно-деформированного состояния трехслойных оболочек с дискретным внутренним слоем при конечных прогибах может найти применение в научно-исследовательских, проектных, и конструкторских организациях при расчётах на прочность, устойчивость и оптимизацию деталей машин, аппаратов, конструкций и сооружений.

Все полученные в работе результаты численного эксперимента приведены в безразмерном виде, удобном для их использования в практике проектирования конструкций. Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались:

• на 51-й, 52-й и 53-й научных конференциях профессоров, преподавателей, научных работников и аспирантов Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета (Санкт-Петербург, 1995,1996,1997гг.),

• на 2-й Саратовской международной летней школе по проблемам механики сплошной среды (Саратов, 1996г.).

Полностью работа докладывалась:

• на научном семинаре кафедры строительной механики ВолгГАСА под руководством академика, д.т.н., проф. Игнатьева В. А. (Волгоград, январь 1998г.);

• на научном семинаре кафедры вычислительной математики СПбГАСУ под руководством д.ф.-м.н., проф. Вагера Б.Г. (Санкт-Петербург, май 1998г.).

Публикации. Основное содержание диссертационной работы опубликовано в четырех научных статьях.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 103 наименований и приложения. Работа изложена на 109 страницах машинописного текста, иллюстрирована 14 рисунками. В приложение вынесены коэффициенты, полученных в работе уравнений и программы расчёта на ЭВМ.

В первой главе на основе подхода к трехслойной оболочке с дискретным внутренним слоем, как оболочки ступенчато- переменной толщины, а именно имеющей внутренние прямоугольные вырезы, получена модель такой оболочки, когда гипотеза Кирхгофа-Лява о недеформируемой нормали применяется ко всему пакету в целом. С помощью вариационного подхода получены уравнения равновесия в усилиях и моментах двумя способами:

1) когда краевые условия на краю внутреннего дискретного слоя учитываются в уравнениях равновесия в виде дополнительных членов уравнений;

2) когда краевые условия не учитываются в уравнениях равновесия и задаются в виде дополнительных соотношений (краевая задача для многосвязной области с более простыми уравнениями равновесия).

Для первого случая краевой задачи получены уравнения равновесия в перемещениях и в смешанной форме с учетом геометрической нелинейности. Кроме этого получены уравнения равновесия в перемещениях в случае "размазывания" внутреннего дискретного слоя при большой его частоте.

Во второй главе приводится методика решений, полученных в первой главе уравнений. Методом последовательных нагружений нелинейная задача сводится к последовательности решения линейных задач. Для каждого этапа нагружения система линейных дифференциальных уравнений в частных производных, содержащих в

коэффициентах единичные функции, дельта-функции и их первые производные, методом Бубнова- Галеркина сводится к системе линейных алгебраических уравнений. Последняя решается методом Гаусса. В этой же главе описывается программный комплекс для расчетов на ЭВМ НДС и устойчивости трехслойных оболочек с дискретным внутренним слоем.

В третьей главе излагаются результаты исследования НДС и устойчивости трехслойных оболочек с дискретным внутренним слоем. Доказывается достоверность получаемых результатов и эффективность применения предлагаемой методики исследования трехслойных оболочек с дискретным внутренним слоем.

В заключении приводятся результаты работы и делаются основные выводы по диссертационной работе.

В приложения вынесены коэффициенты системы нелинейных алгебраических уравнений, коэффициенты системы линейных алгебраических уравнений, программы расчёта на ЭВМ.

1.ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ ПОЛОГОЙ ТРЕХСЛОЙНОЙ ОБОЛОЧКИ С ДИСКРЕТНЫМ ВНУТРЕННИМ СЛОЕМ ПРИ КОНЕЧНЫХ ПРОГИБАХ

1.1. Основные соотношения для пологих оболочек ступенчато -переменной толщины

Рассмотрим тонкую прямоугольную в плане пологую оболочку положительной Гауссовой кривизны, находящуюся над действием заданных внешних нагрузок интенсивностью Рх, Ру, ц, приложенных к элементу в направлении осей ОХ, О У, 02 соответственно. Срединную поверхность оболочки толщиной к примем за координатную поверхность. Оси ОХ, ОУ — направим по линиям главных кривизн оболочки, а ось 02 — по нормали к срединной поверхности в сторону вогнутости. Ступенчатую переменность толщины оболочки

зададим с помощью единичных столбчатых функций - хД £>(у- у,) [ ]

т и _ п т

н(х, у)=X - )+£ кЧу - у,) -ЕЕ * - - у,) • ал)

м ¡=1 /=1 7=1

Здесь

- = и(х - а^ - и(х - ¿Д Цу - у,.) = и(у - с;) - и(у — столбчатые функции, равные разности единичных функций, принимающие значения равные единице при а]<х< bj и, соответственно, при с( < < и равные нулю при прочих значениях координат;

У / г / г /

а] ~Х!~ /2 ^ = х] + /2 ' с< = У' ~ /2 ' = У' + /2 ' г' — высота и ширина

или /-го ребра, или /-го выреза в сечении , т — число ребер или вырезов в этом сече-

нии; И, г,,п — аналогично для сечения; №=тт{И, И}.

Таким образом, с помощью функции Н(х,у) задается или локальное увеличение толщины оболочки, или локальное уменьшение ее (рис.1.1). Если И, И положительны, то оболочка подкреплена ребрами жесткости (общая часть при их пересечении И* вычитается). Если И=Н=0 , а ЬР< 0, то оболочка подкреплена накладками (с учетом минуса перед № ). Если И=И=0 , а /г'-/=/г, то оболочка ослаблена отверстиями (сквозными вырезами).Могут быть и другие случаи.

ап-^-^-

■ -- — ----► X

Рис. 1.1

Для описания напряженно-деформированного состояния (НДС) оболочки ступенчато-переменной толщины используем теорию гибких пологих оболочек [12]. Считаем, что деформации находятся в пределах действия закона Гука.

Деформации удлинения ех, еу и сдвига точек срединной поверхности оболочки задаются в виде

ди 1

гх = —+ ~

х дх х 2

дх

2

Заключение диссертации по теме «Строительная механика», Рыбакова, Ольга Владимировна

6. Результаты работы могут быть использованы при проектировании конструкций, представляющих собой пологие трехслойные оболочки с дискретным внутренним слоем.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. На основе модели оболочки ступенчато-переменной толщины с внутренними вырезами разработана модель трехслойной оболочки с дискретным внутренним слоем для случая, когда гипотеза о недеформируемой нормали применяется ко всему пакету в целом.

2. Для разработанной модели получены уравнения равновесия в перемещениях и в смешанной форме с учетом геометрической нелинейности, в которых учитываются краевые условия свободного края на боковой поверхности дискретного внутреннего слоя.

3. Получены уравнения равновесия в перемещениях метода конструктивной анизотропии (при «размазывании» жесткостных характеристик внутреннего дискретного слоя при большой частоте сетки его ребер).

4. Составлен комплекс программ для решения задач исследования НДС и устойчивости трехслойных оболочек с дискретным внутренним слоем при различных параметрах нагрузки, жесткостных характеристик ребер и кривизны.

5. Проведены исследования устойчивости конкретных трехслойных оболочек с дискретным внутренним слоем и доказана эффективность их использования по сравнению с ребристыми оболочками.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Рыбакова, Ольга Владимировна, 1999 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абовский Н.П. Смешанные вариационные уравнения для пологой ребристой оболочки//Строительная механика и расчет сооружений.— 1969.—№4.—

С. 20-22.

2. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек // Под ред. Абовского Н.П..—Наука, 1978.— 228 с.

3. Абовский Н.П., Чернышов В.Н. Павлов A.C. Гибкие ребристые пологие оболочки: Учеб. пособие для вузов. - Красноярск, 1975.—128 с.

4. Амиро И.Я., Заруцкий В.А. Исследования в области динамики ребристых оболочек // Прикл. механика.—1981.— Т.17, №11—С. 3-20.

5. Амиро И.Я., Заруцкий В.А. Исследования в области устойчивости ребристых оболочек // Прикл. механика..—1983.— Т. 19, №11.— С. 3-20.

6. Амиро И.Я., Заруцкий В.А. Методы расчета оболочек. Т.2.Теория ребристых оболочек.— Киев: Наукова думка, 1980.— 368 с.

7. Андронов В.А. Применение метода дискретных конечных элементов к решению задач статики и динамики сложных стержневых систем регулярной и квазирегулярной структуры: Дисс. на соиск. уч. ст. к.т.н.—Волгоград, 1986.— 187с.

8. Бурмистров Е.Ф. Симметричная деформация конструктивно-ортотропных обло-лочек.— Саратов.: Изд-во Сарат. ун-та, 1962.—108 с.

9. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ.— М.: Машиностроение, 1976.— 278 с.

10. Валишвили Н.В., Силкин В.Б. Применение метода прямых для решения нелинейных задач динамики пологих оболочек // МТТ 1970.—N3.— С. 140-143.

11. Власов В.З. Контактные задачи по теории оболочек и тонкостенных стержней // Изв. АН СССР. ОТН.—1949.—№6.—С. 819-939.

12. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложение в технике.— М. - Л.: Гос-техиздат, 1949.— 784 с.

13. Водяной Л.Ф. Некоторые задачи изгиба гладких и подкрепленных трехслойных пластин и оболочек.: Автореф. дис. канд. техн. наук.— Днепропетровск, 1974—16с.

14. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек // М.: Наука, 1972.— 432 с.

15. Вольмир A.C. Устойчивость деформированных систем // М.: Наука, 1967. - 984 с.

16. Гавриленко Г.Д. Устойчивость несовершенных ребристых цилиндрических оболочек при линейном и нелинейном докритическом состоянии// Устойчивость пластин и оболочек.— Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1981.— С. 20-22.

17. Грачев O.A., Игнатюк В.И. Об устойчивости трансверсально изотропных ребристых оболочек вращения // Строительная механика и расчет сооружений.— 1986.—№3.—С. 61-64.

18. Грачев O.A. О влиянии эксцентриситета ребер на устойчивость оболочек при внешнем давлении // Прикл. механика.—1985.— Т. 21, №1.— С. 53-67.

19. Гребень Е.С. Основные соотношения технической теории ребристых оболочек // Известия АН СССР. Сер. "Механика".—1965.—N3.—С. 81-92.

20. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Многослойные армированные оболочки: Расчет пневматических шин // Машиностроение.—1988.— 287 с.

21. Григолюк Э.И., Филынтинский JI.A. Перфорированные пластины и оболочки // М.: Наука, 1970.—556 с.

22. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Метод продолжения по параметру в задачах нелинейного деформирования стержней, пластин и оболочек // Успехи механики.— 1981.—Т.4, вып. 2.—С. 89-122.

23. Давиденко Д.Ф. О приближенном решении системы нелинейных уравнений // Укр. мат. журнал.—1953—Т.5,№2.—С. 196-206.

24. Енджиевский JI.B. Нелинейные деформации ребристых оболочек // Красноярск: Изд. Красноярск, ун-та, 1982.— 295 с.

25. Жилин П.А. Линейная теория ребристых оболочек // Изв. АН СССР. Сер. "Механика твердого тела", 1970.— С. 15—162.

26. Жилин П.А. Общая теория ребристых оболочек.// Прочность гидротурбин: Труды ЦКТИ, вып.88.-Л., 1971, С. 46-70.

27. Игнатьев В.А. Расчет регулярных статически неопределимых стержневых систем // Саратов.: Изд-во Сарат. ун-та, 1979.— 296 с.

28. Игнатьев О.В. Конструктивно-ортотропная схема ребристой оболочки, учитывающая сдвиговую и крутильную жесткость перекрестной системы ребер и ее применение к расчету оболочек ступенчато-переменной толщины: Дисс. на со-иск. уч. ст. к.т.н.- Волгоград, 1993.—146 с.

29. Игнатьев О.В., Игнатьева И.А., Карпов В.В. Вариационно-параметрический подход к расчету пологих оболочек ступенчато-переменной толщины.// Исследования по механике материалов и конструкций /Вып.9/Петерб. гос. ун-т путей сообщения.—СПб., 1996. С. 44 -54./Ил.-рус./ Деп. ВИНИТИ 21.04.97. №1327-В97.

30. Игнатьев О.В., Рыбакова О.В. Модель трехслойной пологой оболочки с дискретным внутренним слоем как вариант оболочки ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах // Труды молодых ученых. 2.1.—СПб.: СПбГАСУ, 1998.—С. 16-22.

31. Игнатьева И.А. Вариационно-параметрический метод исследования пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах : Дисс. на соиск. уч. ст. к.т.н.- Волгоград, 1997.—135 с.

32. Игнатьева И.А. Методика расчёта на прочность и устойчивость непологих ребристых оболочек, допускающих прогибы, соизмеримые с толщиной оболочки.// Математика. Моделирование. Экология: Тез. докл. IV Междунар. конф. женщин-математиков.— Волгоград, 27-31 мая 1996 года.— Волгоград: Издательство ВолГУ, 1996.—С. 65-66.

33. Игнатьева И.А., Карпов В.В. Расчет напряженно-деформированного состояния пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах вариационно-параметрическим методом // Исследования по механике материалов и конструкций. Вып.9./Петерб. гос. ун-т путей сообщения.— СПб., 1996.— С.38-44. /Ил.-рус./ Деп. ВИНИТИ 21.04.97. №1327-В97.

34. Игнатьева Э.В. Расчет многослойных конструкций при нестационарном нагру-жении.: Автореф. дис. канд. техн. наук.— М, 1990.— 16с.

35. Ильин В.П., Карпов В.В. Устойчивость ребристых оболочек при больших перемещениях// JL: Стройиздат. Ленигр. отд., 1986.— 168с.

36. Ильин В.П., Карпов В.В., Масленников A.M. Численные методы решения задач строительной механик // Минск: Вышейшая школа, 1990.— 349с.

37. Кабулов В.К., Бабамурадов К.Ш. Расчет трехслойных оболочек на ЭВМ// ФАН, 1970,—164с.

38. Кантор Б.Я. Нелинейные задачи теории неоднородных пологих оболочек // Киев.: Наукова думка, 1971..— 136с.

39. Кантор Б.Я., Катарянов С.И., Офий В.В. Обзор теории оболочек, подкрепленных ребрами с 1972-80г // Институт проблем машиностроения АН УССР, 1982.-№ 167.—78с.

40. Карпов В.В. Анализ напряженно-деформированного состояния гибких ребристых оболочек и их устойчивость при различных подходах к введению ребер // Исследование по механике строительных конструкций и материалов.: Межвуз. темат. сб. тр. .—Л., 1986.—С. 30-37.

41. Карпов В.В. Вариационный подход к расчету устойчивости и оптимизации оболочек ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах // Тезисы докладов и сообщений на 1-й саратовской международной летней школе по проблемам механики сплошной среды..— Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1995.— с. 14-15.

42. Карпов В.В. Метод последовательного наращивания ребер и его применения к расчету оболочек ступенчато-переменной толщины // Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте.— М.: Транспорт, 1990.— с. 162 - 167.

43. Карпов В.В. Некоторые варианты уравнений гибких пологих оболочек дискретно-переменной толщины, полученные вариационным методом // Аналитические и численные решения прикладных задач математической физики: Межвуз. темат. сб. тр. .— Л., 1986.—С. 26-34.

44. Карпов B.B. Применение процедуры Рунге-Кутта к функциональным уравнениям нелинейной теории пластин о оболочек // Расчет пространственных систем в строительной механике.— Саратов.: Изд-во Сарат. ун-та, 1972.— С. 3-7.

45. Карпов В.В. Различные схемы конструктивно-ортотропных оболочек и их применение к расчету оболочек дискретно-переменной толщины // Исследования по механике строительных конструкций и материалов: Межвуз. темат. сб. тр.— JL: ЛИСИ, 1988.

46. Карпов В.В., Брагина М. Ю., Рыбакова О.В. Вариационно-параметрический метод расчета трехслойных пологих оболочек с дискретным внутренним слоем // Проблемы механики сплошной среды: Тез. докл., представленных на II Между-нар. школу по механике сплошной среды, Саратов, 1996.— С. 24-27.

47. Карпов В.В., Вахрушева М.Ю., Рыбакова О.В. Эффективность применения трехслойных оболочек с дискретным внутренним слоем по сравнению с ребристыми оболочками // Надежность и долговечность строительных материалов и конструкций: Материалы междунар. науч.-техн. конф. 4.2/ ВолгГАСА. .— Волгоград, 1998.—С.113-115.

48. Карпов В.В., Игнатьев О.В. Метод последовательного изменения кривизны // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Сб. тр. СПбГАСУ, 1996.—С. 131-135.

49. Карпов В.В, Игнатьев О.В., Вахрушева М.Ю., Рыбакова О.В. Трехслойные оболочки с дискретным внутренним слоем// Тр. XVIII Междуна. конф. по теории оболочек и пластин.Т.З.— Саратов, 1997.— С. 83-87.

50. Карпов В.В, Игнатьев О.В., Филиппов A.C. Применение метода последовательного наращивания ребер для выбора оптимального подкрепления тонких оболочек ребрами жесткости // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Сб. тр. СПбГАСУ 1994.—С. 104-110.

51. Карпов В.В., Игнатьев О.В., Филиппов A.C. Уравнения метода последовательного наращивания ребер для оболочек ступенчато-переменной толщины в смешанной форме // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Сб. тр. СПбГАСУ, 1994.— С 113-118.

52. Карпов В.В., Михайлов Б.К. Исследование влияния жесткости ребер на устойчивость пологих оболочек с учетом нелинейности деформаций // Численные методы в задачах математической физики: Межвуз. темат. сб.тр.— Л., 1983.— С. 135142.

53. Карпов В.В, Петров В.В. Уточнение решений при использовании шаговых методов в теории гибких пластинок и оболочек // Изв. АН СССР. Сер. МТТ.— 1975.—С. 189-191.

54. Карпов В.В., Филиппов A.C. Выбор шага наращивания ребер при расчете ребристых оболочек методом последовательного наращивания ребер // Исследования по строительной механике. Вып.6.— СПб.: ПГУПС, 1993.— С. 37-43.— Депонирован в ВИНИТИ 22.03.94 №692-В94.

55. Карпов В.В., Шацков В.В. Некоторые варианты расчета гибких пологих ребристых оболочек // Аналитические и численные решения прикладных задач математической физики: Межвуз. темат. сб. тр.—JI.,1986.— С.34-38.

56. Климанов В.И. Комбинирование методов В.З. Власова и конечных разностей при расчете гибких панелей с ребрами // Инженерные проблемы строительной механики. -М.: МИСИ, 1980.—С. 33-41.

57. Климанов В.И., Тимашев С.А. Нелинейные задачи подкрепленных оболочек // Свердловск.: УНЦ АН СССР, 1985.—С.279-288.

58. Краснов A.A. Прямые методы интегрирования уравнений движения нелинейных многослойных пологих оболочек и пластин.: Автореф. дис. к. т. н.— Ростов на /Д, 1995.—24с.

59. Крысько В.А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек // Саратов: Изд-во Сарат. ун-та.— 216с.

60. Кузнецов В.В. Об использовании метода продолжения решения по длине отрезка интегрирования при расчете круглых гофрированных пластин // Изд. АН СССР Механика твердого тела.— 1993.—№2.— С. 189-191.

61. Лерман Л.Б. НДС многослойных оболочек с промежуточными упругими элементами.: Автореф. дис. к. т. н.—Киев, 1989.— 18с.

62. Лурье А.И. Общие уравнения оболочки, подкрепленной ребрами жесткости.— Л., 1948.—28 с.

63. Маневич А.И. Устойчивость и оптимальное проектирование подкрепленных оболочек.—Киев; Донецк: Вища школа, 1979.— 152с.

64. Маневич А.И. К теории связанной потери устойчивости подкрепленных тонкостенных конструкций // Прикл. математика и механика.— 1982. - Т.42, N2.— С.337-345.

65. Милейковский И.Е., Гречанинов И.П. Устойчивость прямоугольных в плане пологих оболочек // Расчет пространственных конструкций: сб. ст., Вып. 12.— М.: Стройиздат, 1969.—С. 168-176.

66. Михайлов Б.К. Пластины и оболочки с разрывными параметрами // Л.: Наука 1966.— 432с.

67. Михайлов Б.К., Каратеев Л.П., Овчинников М.А. Конструкции и расчет трехслойных панелей из древесины и синтетических материалов: Учебное пособие.— СПб: СПбГАСУД 996.— 72с.

68. Петров В.В. К расчету пологих оболочек при конечных прогибах/ Научн. доклад высшей школы // Строительство.—1959.—№1.— С 27-35.

69. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластинок и оболочек.— Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975.— 119 с.

70. Постнов В.А., Корнеев B.C. Использование метода конечных элементов в расчете устойчивости подкрепленных оболочек // Прикл. механика.— 1976. - Т12 № 1.— С 27 -35.

71. Постнов В.В. Численные методы расчету судовых конструкций.— Л.: Судостроение, 1977.— 270 с.

72. Приближенное решение операторных уравнений / М. А. Красносельский, Г.М.Вайникко, П.П.Забрейко и др. М.: Наука, 1969.— 456 с.

73. Преображенский И.Н. Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отверстиями.— М.: Машиностроение, 1981.—191 с.

74. Прокопов В.К. Скелетный метод расчета оребренной цилиндрической оболочки// Научно-техн. информ. бюллетень. - Л.: Изд-во ЛПИ, 1957. - №12. - С. 13-15.

75. Рассудов В.М. Деформации пологих оболочек, подкрепленных ребрами жесткости//Учен. зап. сарат. ун.-та.— Саратов, 1956.— Т.52.— С. 51-91.

76. Рекомендации по расчету подкрепленных оболочек положительной кривизны на устойчивость / Госстрой СССР.— Свердловск, 1974.- 76с.—Библ.С. 70-75.

77. Рикардос Р.Б., Голдманис М.В. Оптимизация ребристых оболочек из композиторов, работающих на устойчивость при внешнем давлении // Механика композитных материалов.—1980.—№3.— С. 468-475.

78. Соломенко Н.С., Абрамян К.Г., Сорокин В.В. Прочность и устойчивость пластин и оболочек судового корпуса.—Л.: Судостроение, 1967.— 488 с.

79. Статика и динамика тонкостенных оболочек конструкций / Кармишин A.B., Ляс-ковец В.А., Мяченков В.И.. Фролов А.Н. - М.: Машиностроение, 1975.— 376с.

80. Теребушко О.И. Устойчивость и закритическая деформация оболочек, подкрепленных редко расставленными ребрами // Расчет пространственных конструкций: Сб. ст., Вып. 14.— М.: Стройиздат., 1964.— С.131-160.

81. Теребушко О.И. Устойчивость и оптимальное проектирование пластин, подкрепленных ребрами // Прикл. механика.—1982.— Т18., №6.— С. 69-74.

82. Тимашев С.А. Устойчивость подкрепленных оболочек.— М.: Стройиздат., 1974.—256 с.

83. Тимонин A.M. Напряженное состояние многослойных ортотропных оболочек вращения с учетом геометрической нелинейности и деформаций сдвига: Авто-реф. дис. канд. физ.-мат. наук.— Киев, 1982.— 19с.

84. Филин А.П. Приближенные методы математического анализа, используемы, используемые в механике деформируемых тел.— Л.: Судостроение., 1971.—160 с.

85. Чернышенко И.С. К расчету осесимметричных оболочек вращения переменной толщины с учетом физической и геометрической нелинейности // Теория пластин и оболочек.- М. :Наука, 1971.— С. 279-284.

86. Чернышов В.Н. Расчет гибких ребристых пологих оболочек: Автореферат дис-серт. на соиск. уч. ст. к.т.н.— Новосибирск, 1980.—19 с.

87. Чернышев В.Н. Расчет гибких ребристых оболочек с отверстиями //Пространственные конструкции в Красноярском крае.— Красноярск, 1981.— С.169-175.

88. Чувиковский B.C. Численные методы расчетов в строительной механике корабля (общая теория, одномерные и квазиодномерные процессы).— Л.: Судостроение, 1976.—374с.

89. Шалашилин В.И. Метод продолжения по параметру и его применение к задаче больших прогибов непологой круговой арки // Изв. АН СССР. МТТ.— 1979.— №4.—С 178-184.

90. Шалашилин В.И., Костриченко А.Б. Об оптимизации параметра продолжения решения нелинейных уравнений // Тр. I Всесоюзн. симпозиум "Нелинейная теория тонкостенных конструкций и биомеханика".—Кутаиси, 1985.— С. 482-485.

91. Юлин В.А. Выбор шага изменения кривизны в методе последовательного изменения кривизны // Исследования по механике материалов и конструк-ций.Вып.9./Петерб. гос. ун-тет путей сообщения. - СПб., 1996. С. 55-59. /Ил.-рус./ Деп. ВИНИТИ 21.04.97, №1327-В97.

92. Юркевич А.А. Существование решений геометрически нелинейных задач теории пологих трехслойных оболочек: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. .— М, 1987.—21с.

93. Byskov Е., Hanses J.C. Postbuckling and imperfection sensitivity analysis of axially stiffened cylindrical shells with mode interaction.// J. Struct. Mech.— 1980.— Vol 8.—№2,—P. 205-224.

94. Chrobot B. Mathematical methods of ribbed Shells // Studia Geotechnica et Nechanica.—Vol IV,, № 3,1982 - 4.—P. 55 - 68.

95. Fisher C.A., Bert C.W. Dynamic buckling of an axially compressed cylindrical shells with discrete rings and stringers // Trans ACME. Ser. E. 1973. 40. № 3.—P. 736-740.

96. Kicher T.R., Chao Tung - Lai. - Minimum weight design of stiffened fiber composite cylinders.// J. Aircraft, 1971.—t.8, № 7.—P. 562-569.

97. Koiter W.T. General theory of mode interaction in stiffened plate and shell structures // WTHD Report № 590. August 1976.

98. Singer J. Buckling of integrally stiffened cylindrical shells - a review of experiment and theory // Contr. Theory Aircraft struct/ Delft, 1972.—P. 325 - 357.

99. Tennyson R.C. The effects of unreinforced circular cutouts on the buckling of circular cylindrical shells under axial compression. J. of Engineering for industry // Trans ASME, 1968, 90, ser. B, 4.

100. Nemish, Yu.N.; Sagalyuk, I.S.; Chernopiskii, D.I,. Flexural rigidity of a three-layer cylindrical shell with a honeycomb filler // Strength of Materials.— Vol: 26 , 1994.— p. 68

101. Gui-Rong Liu; Khin Yong Lam; Tani, J. Strip element method for characterization of flaws in sandwich plates // JSME International Journal, Series A ,Mechanics and Material Engineering.— Vol. 38, 1995.—P. 554-562.

102. Liu Ren-Huai; Cheng Zhen-Qiang On the non-linear buckling of circular shallow spherical sandwich shells under the action of uniform edge moments // Jinan Univ., Guangzhou, China International Journal of Non-Linear Mechanics.— Vol: 30., 1995.—P. 33-43.

103. Scott Burton, W.; Noor, Ahmed K. Assessment of computational models for sandwich panels and shells// Corporate Source: Univ. of Virginia, Hampton, VA, USA Source: Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering.— Vol.124, n 1-2 ,1995.— P 125-151.