Математические модели и методы решения сеточных уравнений для задач гидрофизики мелководных водоемов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Шишеня, Александр Владимирович

• Шишеня, Александр Владимирович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Шишеня, Александр Владимирович

Содержание

Введение

Глава 1. Построение и исследование непрерывной модели гидродинамики и тепломассопереноса с учетом движения свободной поверхности

1.1 Постановка задачи

1.2 Уравнения непрерывной модели

1.3 Постановка граничных условий

1.4 Выполнение закона сохранения механической энергии

1.5 Модель турбулентности

1.6 Расщепление по физическим процессам

1.7 Консервативность расщепленной непрерывной модели

1.8 Упрощение модели гидродинамики

1.9 Выводы 55 Глава 2. Построение и исследование дискретной модели гидродинамики и тепломассопереноса с учетом движения свободной поверхности

2.1 Пространственная аппроксимация уравнений

2.2 Аппроксимация уравнений модели в граничных узлах

2.3 Метод нахождения функции заполненности

2.4 Консервативность дискретной модели

2.5 Исследование устойчивости дискретной модели тепломассопереноса

2.5.1 Принцип максимума

2.5.2Исследование устойчивости модели гидродинамики

2.6 Исследование порядка погрешности аппроксимации дискретной модели

2.7 Выбор оптимальных параметров при решении нестационарного уравнения диффузии на основе схем с весами

2.8 Выводы

Глава 3. Методы решения сеточных уравнений

3.1 Улучшение оценки yi попеременно-треугольного метода с априорной информацией

3.2 Численные эксперименты по сходимости попеременно-

треугольного метода с улучшенной оценкой

3.3 Модифицированный попеременно-треугольный метод решения разностной задачи Дирихле для уравнения эллиптического типа с линейной функцией источника

3.4 Численные эксперименты по сходимости модифицированного попеременно-треугольного метода для уравнения Пуассона с линейной функцией источника

3.5 Метод минимальных поправок для решения сеточных уравнений с не самосопряженным оператором

3.6 Адаптивная оптимизация попеременно-треугольного итерационного метода с несамосопряженным оператором

3.7 Выводы 135 Глава 4. Программная реализация алгоритма расчета математической модели тепломассопереноса с учетом движения свободной поверхности и результаты численных экспериментов

4.1 Описание программного комплекса для расчета тепломассопереноса и движения свободной иоьерхносш в мелководных водоемах

4.1.1 Общие сведения о программном комплексе

4.1.2Функциональные возможности программного комплекса

4.1.3 Алгоритм расчета модели и его программная реализация

4.1.4 Архитектура программного комплекса

4.1.5 Используемые технические средства

4.2 Описание работы с программным комплексом

4.2.1 Формат входных данных

4.2.2Формат выходных данных

4.2.3 Верификация модели на тестовых задачах

4.3 Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Библиографический список

\

ч

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели и методы решения сеточных уравнений для задач гидрофизики мелководных водоемов»

Введение

В настоящее время основным подходом, который применяется для изучения сложных природных и техногенных систем, является сочетание математического моделирования и натурных экспериментов. Натурные эксперименты позволяют получить актуальную информацию об изучаемой системе с достаточной степенью точности, однако, недостатком такого подхода зачастую являются значительная трудоемкость и высокая стоимость таких измерений. Также в ходе натурного эксперимента невозможно измерить все параметры системы одновременно, а некоторые из них могут быть измерены лишь косвенно. При выполнении натурных измерений гидродинамических параметров Азовского моря это означает, что в реальности значения вектора скорости, величин давления, солености, температуры невозможно измерить одновременно в количестве точек, достаточном для построения достаточно подробной картины течений. На практике экспедиционные исследования Азовского моря могут занимать порядка недели. За это время может произойти изменение направления ветра и других погодных условий, которые оказывают влияние на гидрологический режим водоёма. Математическое моделирование является гибким инструментом изучения сложной системы. С помощью математического моделирования одновременно может быть получена полная информация о состоянии изучаемой системы, однако, для этого требуется некоторая исходная информация о системе и внешние условия, которые оказывают влияние в данный момент времени. Использование математического моделирования позволяет прогнозировать состояние изучаемой системы, а также строить альтернативные варианты развития системы в зависимости от изменения входных параметров. При моделирования Азовского моря входными данными модели выступает карта рельефа дна моря, информация о гидрологическом режиме рек. Внешними условиями, оказывающими влияние на систему, являются интенсивность осадков, сила и направление

ветра, а также другие погодные условия. Использование этих двух подходов - натурных экспериментов и математического моделирования - позволяет сочетать их преимущества и элиминировать недостатки. Входными параметрами для математической модели являются данные, полученные при проведении натурных измерений.

Актуальность темы исследования. В современном мире водные объекты стали важнейшими природными ресурсами. Водоемы подвергаются активному антропогенному воздействию: происходит строительство каналов, водозаборов, гидроэлектростанций, портов; производственные предприятия и заводы используют воду в качестве охлаждающей жидкости или как растворитель; происходит сброс сточных вод. Все это оказывает воздействие на гидрологические режимы, температуру, состав воды и, как следствие, подвергает изменениям экосистему водоема, поэтому охрана и мониторинг состояния водных объектов является необходимой составляющей их эксплуатации. Также водные объекты представляют опасность в случае возникновения чрезвычайных ситуаций, таких как попадание в водоемы и распространение опасных веществ, затопление прибрежных районов и т. д. Инструментом, позволяющим предсказывать возможные сценарии развития чрезвычайных ситуаций в водных системах является математическая модель гидрофизических процессов в водоеме. В то же время, в теории математического моделирования нелинейных задач гидрофизики остаются открытыми вопросы разработки математических моделей гидродинамики с уточненными граничными условиями на свободной поверхности, а также построения и исследования быстросходящихся методов решения сеточных уравнений типа диффузии-конвекции-реакции, допускающих эффективную реализацию на системах с массовым параллелизмом.

Обзор литературы по моделированию гидродинамики, тепломассопереноса и свободной поверхности, а также по сеточным методам.

Работы по моделированию Азовского моря предпринимаются уже достаточно давно. Пионерской в этой области принято считать работы И. И. Воровича, Ю. А. Жданова, А. Б. Горстко, Ю. А. Домбровского, Ф. А. Суркова. В Институте вычислительной математики РАН исследования в области математического моделирования гидрофизики морей и океанов, а также разработка методов усвоения данных натурных экспериментов проводилась под руководством Г. И. Марчука [1-4]. В настоящее время эти исследования продолжаются А. С. Саркисяном, В. Б. Залесным и др. [5-15]. Также в Институте вычислительной математики РАН под руководством В. П. Дымникова разработаны математические модели климатических изменений [16,17]. В ТРТУ-ЮФУ разработка моделей гидродинамики, гидробиологии, транспорта растворенных веществ и взвешенных частиц проводится под руководством А. И. Сухинова. Также в ЮНЦ РАН построен ряд моделей и выполнены численные эксперименты по моделированию гидродинамики со свободной поверхностью, а также транспорта наносов под руководством А. Л. Чикина. Работы по моделированию процессов гидро- и аэродинамики на основе квазигидродинамической системы уравнений с применением суперкомпьютерных технологий проводятся в Институте прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН Б. Н. Четверушкиным, а также В. Ф. Тишкиным, Е. В. Шильниковым и др. [18-31]

Существует несколько подходов к моделированию процессов гидродинамики [31-35]. Одним из наиболее распространенных методов описания динамики движения жидкости является использование системы гидродинамики на основе уравнений Навье-Стокса [36-40]. Несмотря на большое количество работ в области моделирования гидродинамики на основе уравнений Навье-Стокса, до сих пор существует ряд нерешенных проблем. Открытым остается вопрос о способе описания свободной поверхности при численном моделировании гидродинамики со свободной поверхностью. В настоящее время наиболее распространенным является

VOF-метод, который вытеснил достаточно популярный в прошлом МАС-метод. Идея VOF-метода заключается в том, чтобы описывать расчетную область с помощью индикаторной функции множества. При этом для расчета индикаторной функции используется уравнение конвекции. Дискретизация уравнений такого типа при их численном решении приводит к возникновению сеточной вязкости и, как следствие, потере четкости границы раздела двух сред. В работах последних лет предлагается множество вариантов решения данной проблемы. В статье Suho Shin и Woo II Lee [41] для расчета заполненности ячеек расчетной сетки на основе уравнения конвекции применяется донорно-акцепторный механизм, который фактически представляет собой способ расчета потока жидкости через грани ячейки. В работах J. Lopez, J. Hernandez, P. Gomez, F. Faura [42], Yang Wei, Li Shu-hong, Wu Yu-lin [43], G. D. Weymouth, Dick K.-P. Yue [44] рассматривается метод решения уравнения конвекции для функции заполненности при расчете гидродинамики со свободной поверхностью, основанный на восстановлении свободной поверхности сплайнами или ломаными и более точном расчете потоков через грани ячеек расчетной сетки. В статье Chunwu Wang, Huazhong Tang, Tiegang Liu [45] рассматривается течение двух не смешивающихся жидкостей. Функции скорости и давления терпят разрыв первого рода на границе раздела двух сред. Для более точного расчета искомых функций используется метод фиктивных узлов. Идея метода заключается в том, чтобы рассчитывать поля давления и скорости каждой жидкости для всей расчетной области, а затем использовать только найденные значения в зависимости от типа жидкости в каждой точке.

Трудности, возникающие при численным моделировании мелководных водоемов связаны со значительной разницей масштабов по вертикальному и горизонтальному направлениям, что приводит к возникновению плохо обусловленой СЛАУ для вычисления сеточной

функции давления. В работах А. JI. Чикина [46-48] выполняется декомпозиция области водоема на мелководье с верхней частью глубоководного слоя и на глубоководную область. Движение жидкости в первой подобласти описывается уравнениями мелкой воды, а во второй используется гидростатическое приближение. Другой подход применяется в работах А. И. Сухинова и А. Е. Чистякова [49,50]. Для всей расчетной области используется полная трехмерная система уравнений Навье-Стокса, а при вычислении сеточной функции давления используется начальное приближение, вычисленное на основе двумерной модели.

Во всех цитированных работах применяются дополнительные численные методы, направленные на сохранение четкости интерфейса раздела двух сред. Однако, зачастую такие построения являются искусственными и требуют дополнительных временных затрат.

При аппроксимации уравнений гидродинамики получаются СЛАУ с разреженными матрицами, называемые сеточными уравнениями. Одними из наиболее эффективных и распространенных методов решения уравнений такого типа являются итерационные методы. В последнее время многие работы по итерационным методам решения сеточных уравнений сосредоточены на построении алгоритма расчета оптимального параметра предобуславливателя. Так, в работе А. Н. Коновалова [511 предложен способ нахождения оптимального итерационного параметра попеременно-треугольного итерационного метода для уравнений с самосопряженным оператором. В статье А. И. Сухинова, А. Е. Чистякова [52] этот подход был расширен для несамосопряженных операторов. В работе А. Н. Коновалова [53] рассматривается общий подход к нахождению параметра предобуславливателя при некоторых ограничениях на его структуру. В цикле статей под авторством Л. А. Крукиера, Б. Л. Крукиера, Т. С. Муратовой, Г. В. Субботиной, Т. Н. Пичугиной, О. А. Мартыноваой [54-58] предлагается способ вычисления параметра предобуславливателя попеременно-

треугольного итерационного метода для систем уравнений с сильно несимметричными операторами.

Таким образом, на сегодняшний день созданы непрерывные и дискретные математические модели гидрофизики, которые учитывают движение свободной поверхности и эффективные итерационные методы решения сеточных уравнений, возникающих при аппроксимации этих моделей. Однако, существующие модели мелководных водоемов, учитывающие движение свободной поверхности, требуют численного решения уравнения переноса, что приводит к серьезным трудностям, либо предполагает использование каких-либо искусственных приемов расчета формы свободной поверхности.

Цели и задачи диссертационной работы.

Целью диссертационной работы является построение и исследование трехмерной математической модели гидрофизики мелководных водоёмов с уточненными граничными условиями на свободной поверхности, развитие численных методов решения сеточных уравнений задач гидрофизики мелководных водоемов, создание комплекса программ, реализующих эти модели и методы, а также проведение численных экспериментов. Модели должны учитывать переменную плотность среды, процессы переноса тепла и солей, а также более точно учитывать движение свободной поверхности.

Для достижения поставленной цели решены следующие задачи: В области математического моделирования:

1. Построить усовершенствованную непрерывную модель гидрофизики мелководных водоемов, описывающую гидродинамику жидкости с переменной плотностью, со свободной поверхностью, а также перенос тепла и солей. Необходимо обеспечить учет таких факторов, как влияние силы Кориолиса и испарение жидкости с поверхности.

2. Разработать более точный по сравнению с известными, метод моделирования свободной поверхности;

3. Построить расщепленную непрерывную модель гидрофизики, наследующую основные свойства усовершенствованной непрерывной модели;

4. Выполнить исследование построенных непрерывных моделей на соответствие реальному физическому процессу.

В области численных методов:

5. Построить дискретную модель гидрофизики мелководных водоемов, описывающую гидродинамику жидкости с переменной плотностью, со свободной поверхностью, а также перенос тепла и солей;

6. Выполнено исследование построенной дискретной модели:

а. Исследовать консервативность дискретной модели;

б. Исследовать устойчивость дискретной модели, получить условия, при которой дискретная модель является устойчивой;

в. Исследовать точность, с которой дискретная модель аппроксимирует непрерывную модель гидродинамики;

7. Разработать и оптимизировать численные методы решения сеточных задач типа диффузии и диффузии-конвекции-реакции:

а. Построить и исследовать итерационный метод решения сеточных задач эллиптического типа с сильно меняющимися коэффициентами и линейной функцией источника;

б. Построить итерационный метод для решения сеточных задач диффузии-конвекции;

в. Выполнить оптимизацию весового коэффициента двухслойной разностной схемы с весами для уравнения диффузии с целью уменьшения погрешности аппроксимации при том же шаге сетки по времени;

В области создания комплексов программ:

8. Построить комплекс программ для моделирования задач гидрофизики мелководных водоемов, включая процессы гидродинамики и переноса

тепла и солей, отличающийся от известных использованием усовершенствованных модели гидродинамики с уточненными граничными условиями на свободной поверхности.

Методы и средства проведения исследования. Математическая модель гидрофизики мелководного водоема, описывающая гидродинамику со свободной поверхностью и переменной плотностью среды и процессы тепломассопереноса, построена на основе уравнений Навье-Стокса, уравнения неразрывности, уравнения состояния, уравнений диффузии-конвекции для описания распространения тепла и солей. Уравнение состояния представляет собой зависимость плотности от температуры, солености и давления, однако, в силу того, то плотность достаточно слабо зависит от давления, в данной работе зависимость плотности от давления не учитывается. Расщепление модели выполнено с помощью модификации метода проекций Чорина [59-61], а для пространственной аппроксимации использовался интегро-интерполяционный метод, учитывающий частичную заполненность ячеек расчетной сетки. Для исследования непрерывной и расщепленной непрерывной моделей применены методы векторного анализа. Программная реализация построенного алгоритма расчета модели для операционных систем семейства Windows выполнена с помощью среды разработки Microsoft Visual Studio 2008 Express Edition, для операционной системы Linux Ubuntu - с помощью среды разработки Qt Creator. Для программной реализации модели был выбран язык программирования С++. Визуализация результатов расчетов выполнена с использованием следующего набора программных средств:

1. Программный пакет для трехмерной визуализации результатов научных расчетов Visioninstruments;

2. Программный математический пакет MathCad;

3. Программный пакет для трехмерной визуализации результатов научных расчетов Sea3DView;

4. Средства библиотеки pylab интерпретатора языка python;

5. Свободно распространяемое программное обеспечение для визуализации данных научных расчетов OpenDX Data Explorer.

Научная новизна. В области математического моделирования:

Разработан комплекс программ для моделирования гидрофизики мелководных водоемов. Для непрерывной модели гидрофизики мелководных водоемов использованы уточненные граничные условия на свободной поверхности, позволяющие более точно описывать механические свойства границ области. Предложена модификация метода volume of fluid для моделирования гидродинамики жидкости со свободной поверхностью в поле силы тяжести, не требующая решения уравнения переноса для расчета функции заполненности, что позволяет упростить численное решение. Выполнено расщепление построенной непрерывной модели с помощью модификации метода проекций Чорина [59-61], учитывающей, что величина плотности может сильно изменяться во времени. Также при выполнении расщепления особое внимание уделялось корректному переносу граничных условий от непрерывной модели к дискретной. Показано, что для расщепленной непрерывной модели также выполняется закон сохранения массы.

В области численных методов:

Для дискретизации уравнений расщепленной непрерывной модели по пространственным направлениям используется интегро-интерполяционный метод, учитывающий частичную заполненность ячеек расчетной сетки. Это позволяет использовать для расчета движения свободной поверхности Эйлерову (а не Лагранжеву) систему координат и добиться более точного

учета формы свободной поверхности и других границ водоема по сравнению с использованием ступенчатой границы в Эйлеровой системе координат в обычно применяемом на практике интегро-интерполяционном методе. Выполнено исследование и сравнение порядка погрешности аппроксимации в случае применения обычно используемого на практике интегро-интерполяционного метода и метода, учитывающего частичную заполненность ячеек расчетной сетки. При этом учитывалась погрешность, возникающая при аппроксимации границы области. Показано, что при использовании обычно применяемого на практике интегро-интерполяционного метода погрешности задания границы вносят константную ошибку, а в случае применения метода, учитывающего частичную заполненность ячеек сетки погрешность аппроксимации в граничных узлах имеет первый порядок по пространственным направлениям. Выполнено исследование консервативности дискретной модели, показано выполнение закона сохранения массы на дискретном уровне. Получены условия устойчивости дискретной модели. При аппроксимации уравнений модели по временной переменной использовались схемы с весами.

Получена оценка относительной погрешности решения уравнения диффузии с помощью схемы с весами. Разработан алгоритм вычисления значения веса, минимизирующего полученную оценку, что позволило увеличить шаг сетки по времени без потери точности решения.

Разработан модифицированный попеременно-треугольный метод для сеточного эллиптического уравнения с сильно меняющимися коэффициентами и линейной функцией источника. Сходимость построенного итерационного метода слабо зависит от отношения коэффициентов, участвующих в операторе второй разностной производной, а при некоторых естественных ограничениях на функцию источника количество итераций, требуемых для сходимости метода снижается в корень квадратный раз. Разработанный метод используется для решения сеточного уравнения

Пуассона с сильно меняющимися коэффициентами и линейной функцией источника, которое возникает при аппроксимации предложенной модели гидродинамики мелководного водоема, с помощью интегро-интерполяционного метода, учитывающего заполненность ячеек расчетной сетки.

Получена улучшенная оценка нижней границы спектра предобусловленного оператора для попеременно-треугольного метода, что позволило асимптотически вдвое сократить число итераций, требуемых для сходимости метода.

Разработан вариант метода минимальных поправок для решения сеточных задач с несамоспоряженным оператором, а также получены оценки скорости сходимости метода. Разработанный метод является частью алгоритма адаптивного попеременно-треугольного метода для сеточных уравнений с несамосопряженным оператором, который позволяет автоматически рассчитывать итерационный параметр.

Разработанные итерационные методы допускают эффективную параллельную реализацию на многопроцессорных вычислительных системах с распределенной памятью. В области создания комплексов программ:

Построен комплекс программ, отличающийся от известных тем, что для моделирования задач гидрофизики мелководных водоемов используются усовершенствованные модели с уточненными граничными условиями на свободной поверхности. Разработанный программный комплекс позволяет совместно моделировать гидродинамические процессы со свободной поверхностью и транспорт тепла и солей в водоемах;

Достоверность научных положений и выводов обосновывается строгостью методов построения модели. Проведены аналитические исследования влияния граничных условий на полную энергию непрерывной модели и выполнения закона сохранения массы для расщепленной

непрерывной и полностью дискретной моделей. Показано, что поставленные граничные условия модели корректно отражают реальные физические свойства границы. Выполнено исследование порядка погрешности аппроксимации уравнений модели по пространственным переменным с учетом погрешности, вносимой приближенным заданием границы. Показано, что при использовании интегро-интерполяционного метода, учитывающего частичную заполненность, погрешность аппроксимации по пространственным переменным на границе имеет первый порядок, в то время как при использовании обычно применяемого на практике интегро-интерполяционного метода на границе возникает константная ошибка, вызванная погрешностью задания границы.

Научная и практическая значимость работы. На практике построенный программный комплекс может применяться для мониторинга и прогнозирования состояния мелководных водоемов, в том числе для прогнозирования возникновения и развития таких чрезвычайных ситуаций, как затопление прибрежных районов и попадание в водоем вредных загрязняющих веществ. Также разработанные программные средства могут являться составной частью программного комплекса для моделирования динамики развития планктона и ихтиофауны изучаемого водоема.

Построенные математические модели обладают значительной новизной. Непрерывная модель учитывает движение свободной поверхности и при этом не требует решения уравнения переноса, что облегчает её численное решение. Расщепление непрерывной модели выполнено таким образом, чтобы полученная модель на сколько это возможно наиболее точно учитывала колебания плотности среды. Дискретная модель получена с помощью интегро-интерполяционного метода, учитывающего частичную заполненность ячеек расчетной сетки, что позволяет моделировать движение свободной поверхности с применением Эйлеровой расчетной сетки.

В диссертации получен алгоритм вычисления близкого к оптимальному значения весового коэффициента для разностной схемы с весами для нестационарного уравнения диффузии, а также разработаны быстросходящиеся итерационные методы решения сеточных задач, в том числе с несамосопряженным оператором, допускающие эффективную реализацию на параллельных вычислительных системах с распределенной памятью, которые могут найти свое применение при математическом моделировании физических процессов, описываемых уравнениями типа диффузии-конвекции-реакции.

Апробация работы.

По материалам диссертационного исследования сделаны следующие доклады на конференциях:

1. «Моделирование процессов переноса тепла и солёности в мелководных водоёмах на примере Азовского моря», Всероссийская конференция Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления, Таганрог 2008г;

2. «Двумерная модель процессов переноса тепла и солей в мелководных водоёмах на примере Азовского моря с использованием нерегулярных сеток», материалы Международной конференции по новым технологиям и приложениям современных физико-химических методов, Азов, 2009 г;

3. «Изучение механизма образования зон анаэробного заражения в Азовском море с помощью трехмерной модели гидродинамики мелководных водоемов», Всероссийская конференция Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления, Таганрог, 2012;

4. «Двумерная математическая модель волновых процессов в прибрежной зоне», Российско-Французский коллоквиум, Псков, 2012 г;

5. «Параллельная реализация трехмерной модели гидродинамики мелководных водоемов на супервычислительной системе», Всероссийская научная конференция «Современные проблемы математического моделирования, супервычислений и информационных технологий», Таганрог, 2012 г;

6. «Моделирование тепломассопереноса в мелководном водоеме с учетом движения свободной поверхности», Девятнадцатая Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых, Архангельск 2013.

Публикации и личный вклад автора.

Публикации в журналах перечня ВАК:

1. Сухинов А. И., Шишеня А. В. «Улучшение оценки параметра у1 попеременно-треугольного итерационного метода с априорной информацией». Известия ЮФУ. Технические науки. Тематический выпуск «Теоретические и прикладные аспекты математического моделирования». - Таганрог: Изд-во ТТИЮФУ, 2010, №6(107), с. 7-15.

2. Шишеня А. В. «Трехмерная модель гидродинамики и процессов переноса тепла и солей в акватории Азовского моря с учетом сгонно-нагонных явлений». Известия ЮФУ. Технические науки. Тематический выпуск «Актуальные задачи математического моделирования». -Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2011, №8(121), с. 44-56.

3. А. И. Сухинов, А. В. Шишеня, «Повышение эффективности попеременно-треугольного метода на основе уточнённых спектральных оценок», Матем. Моделирование, 24:11 (2012), с. 20-32.

4. А. И. Сухинов, А. Е. Чистяков, Е. Ф. Тимофеева, А. В. Шишеня, «Математическая модель расчета прибрежных волновых процессов», Матем. Моделирование, 24:8 (2012), с. 32^4.

5. Сухинов А. И., Чистяков А. Е., Шишеня А. В., «Вариант метода минимальных поправок для решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором» Известия ЮФУ. Технические науки. Тематический выпуск «Актуальные проблемы математического моделирования». - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2013. №4 (141), с. 194 -202.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Шишеня, Александр Владимирович, 2013 год

Библиографический список

1. Г. И. Марчук, А. А. Кордзадзе, Ю. Н. Скиба «Расчет основных гидрологических полей черного моря на основе метода расщепления» ,Известия Российской академии наук. Физика атмосферы и океана. 1975. Т. 11. №4. С. 379.

2. G. I. Marchuk, V. В. Zalesny, J. Sundermann «Mathematical modelling of marine and oceanic currents», Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 2001. T. 16. № 4. C. 331-362

3. G. I. Marchuk, V. B. Zalesny, N. A. Diansky, A. S. Rusakov «Splitting numerical technique with application to the high resolution simulation of the indian ocean circulation» ,Pure and Applied Geophysics. 2005. T. 162. № 8-9. C. 1407-1429.

4. Zalesny V. В., Marchuk G. I., Agoshkov V. I., Bagno A. V., Gusev A. V., Diansky N. A., Moshonkin S. N., Volodin E. M., R. Tamsalu «Numerical simulation of large-scale ocean circulation based on the multicomponent splitting method» ,Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 2010. T. 25. №6. C. 581-609.

5. N. A. Diansky, A. V. Bagno, V. B. Zalesny «Sigma model of global ocean circulation and its sensitivity to variations in wind stress», Izvestiya. Atmospheric and Oceanic Physics. 2002. T. 38. № 4. C. 477-494.

6. V. B. Zalesny «Numerical simulation and analysis of the sensitivity of large-scale ocean dynamics», Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 1996. T. 11. № 5. C. 421-443.

7. V. B. Zalesny «Mathematical model of sea dynamics in a o-coordinate system», Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 2005. T. 20. № l.C. 97-113.

8. В. Б. Залесный, В. И. Кузин «Численные аспекты моделирования общей циркуляции океана» Известия Российской академии наук. Физика атмосферы и океана. 1995. Т. 31. № 3. С. 404.

9. S. N. Moshonkin, A. V. Bagno, A. Y. Gusev, N. A. Diansky, V. B. Zalesny, G. Y. Alekseev «Numerical simulation of the north atlantic - arctic ocean - bering sea circulation in the 20th century», Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 2011. T. 26. № 2. C. 161-178.

10. Y. B. Zalesny, V. O. Ivchenko «Modeling the global circulation response and the regional response of the arctic ocean to the external forcing anomalies», Oceanology. 2010. T. 50. № 6. C. 829-840.

11. A. S. Sarkisyan, V. B. Zalesny «Splitting-up method and adjoint equation method in the ocean dynamics problem», Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 2000. T. 15. № 3-4. C. 333-347.

12. А. С. Саркисян, А. И. Передерей «Динамический метод как первое приближение при расчете уровенной поверхности бароклинного океана», Метеорология и гидрология. 1972. № 4. С. 45.

13. Yu. A. Ivanov, К. V. Lebedev, A. S. Sarkisyan «Generalized hydrodynamic adjustment method (ghdam)», Izvestiya. Atmospheric and Oceanic Physics. 1997. T. 33. № 6. C. 752-757.

14. А. С. Саркисян «Численное моделирование динамики Гольфстрима», Известия Российской академии наук. Физика атмосферы и океана. 2004. Т. 40. № 5. С. 623-635.

15. A. S. Sarkisyan, A. Staskiewicz, Z. Kowalik «Diagnostic computation of the summer circulation in the baltic sea», Oceanology. 1975. T. 15. C. 653.

16. Дымников В. П., Володин Е. M., Галин В. Я., Глазунов А. В., Грицун А. С., Дианский Н. А., Лыкосов В. Н., «Чувствительность климатической системы к малым внешним воздействиям» Метеорология и гидрология. 2004. № 4. С. 77-92.

17. Дымников В. П., Лыкосов В. Н., Володин Е. М. «Проблемы моделирования климата и его изменений» Известия Российской академии наук. Физика атмосферы и океана. 2006. Т. 42. № 5. С. 618-636.

18. А. А. Давыдов, Б. Н. Четверушкин, Е. В. Шильников, "Моделирование течений несжимаемой жидкости и слабосжимаемого газа на многоядерных гибридных вычислительных системах", Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 50:12 (2010), 2275-2284

19. К. Н. Иванова, Б. Н. Четверушкин, Н. Г. Чурбанова, "Квазигазодинамическая система уравнений и уравнения Навье-Стокса", Матем. моделирование, 16:4 (2004), 98-104

20. И. А. Ивахненко, С. В. Поляков, Б. Н. Четверушкин, "Квазигидродинамическая модель и мелкомасштабная турбулентность", Матем. Моделирование, 20:2 (2008), 13-20

21. Л. В. Дородницын, Б. Н. Четверушкин «Кинетически согласованные схемы для моделирования течений вязкого газа» ,Журнал вычислительной математики и математической физики. 2000. Т. 40. № 12. С. 1875.

22. Б. Н. Четверушкин «Кинетические схемы и высокопроизводительные многопроцессорные вычисления в газовой динамике» ,Вычислительные технологии. 2002. Т. 7. № 6. С. 65-89.

23. Б. Н. Четверушкин, Н.Г. Чурбанова «Квазигазодинамическая система уравнений и уравнения Навье-Стокса» ,Доклады Академии наук. 2003. Т. 392. № 5. С. 610-613.

24. М. Е. Ладонкина, О. Ю. Милюкова, В. Ф. Тишкин, "Численный алгоритм для уравнений диффузионного типа на основе многосеточных методов", Матем. моделирование, 19:4 (2007), 71-89

25. О. Ю. Милюкова, В. Ф. Тишкин, "Методы решения уравнений параболического типа на локально измельчающихся сетках", Ж. вычисл. матем. и матем. Физ., 45:11 (2005), 2031-2043

26. И. В. Белов, М. С. Беспалов, Л. В. Клочкова, А. А. Кулешов, Д. В. Сузан, В. Ф. Тишкин, "Транспортная модель распространения газообразных примесей в атмосфере города", Матем. моделирование, 12:11 (2000), 38-46

27. Л. В. Дородницын, Б. Н. Четверушкин, Е. В. Шильников, "О неявных кинетически согласованных схемах", Матем. моделирование, 11:7 (1999), 64-74

28. Б. Н. Четверушкин, Е. В. Шильников, "Об одном алгоритме расчёта двумерных задач газовой динамики в переменных Лагранжа", Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 25:3 (1985), 422^130

29. Е. В. Шильников, М. А. Шумков «Моделирование трехмерных нестационарных течений газа на МВС с распределенной памятью», Математическое моделирование. 2001. Т. 13. № 4. С. 35.

30. Т. Г. Елизарова, Е. В. Шильников «Возможности квазигазодинамического алгоритма для численного моделирования течений невязкого газа» ,Журнал вычислительной математики и математической физики. 2009. Т. 49. № 3. С. 549-566.

31. Четверушкин Б. Н. Кинематические схемы и квазигазодинамическая система уравнений . - М.: МАКС Пресс, 2004. - 332

32. Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. Т. 1. СПб: Гидрометеоиздат, 1992.

33. Белоцерковский О. М., Метод «крупных частиц» в газовой динамике / О. М. Белоцерковский, Ю. М. Давыдов. - М.: Наука. - 1982. - 391

Г"

34. Ландау Л. Д., Лифшиц В. М. Гидродинамика. - М.: Наука. 1988.

733 с.

35. Лойцянский Л. Г., Механика жидкости и газа / Л. Г. Лойцянский.-5-е изд. - М.: Наука. - 1978. - 736 с.

36. Марчук Г. И., Саркисян А. С. Математическое моделирование циркуляции океана.- М.: Наука. 1988.-304 с.

37. Монин А. С., монография «Гидродинамика атмосферы океана и земных недр» С-Питер Гидрометеоиздат 1999 с.524 , 3-60 с.

38. Роуч П. Вычислительная гидродинамика: Пер с англ. - М.: Мир,1980.- 616 с.

39. Флетчер К., Вычислительные методы в динамике жидкостей: [пер. с англ.]. В 2 ч. Ч. 1. / К. Флетчер. - М.: Мир. - 1991. - 504 с.

40. Флетчер К., Вычислительные методы в динамике жидкостей: [пер. с англ.]. В 2 ч. Ч. 2. / К. Флетчер. - М.: Мир. - 1991. - 552 с.

41. Suho Shin, Woo II Lee, «Finite element analysis of incompressible viscous flow with moving free surface by selective volume of fluid method», International Journal of Heat and Fluid Flow 21 (2000) 197-206

42. J. Lopez, J. Hernandez, P. Gomez, F. Faura, A volume of fluid method based on multidimensional advection and spline interface reconstruction, Journal of Computational Physics 195 (2004) 718-742

43. Yang Wei, Liu Shu-hong, Wu Yu-lin, An unsplit Lagrangian advection scheme for volume of fluid method, Journal of Hydrodynamics, 2010, 22(1), pp. 73-80

44. G. D. Weymouth, Dick K.-P. Yue, Conservative Volume-of-Fluid method for free-surface simulations on Cartesian-grids, Journal of Computational Physics, 229 (2010), pp. 2853-2865.

45. Chunwu Wang, Huazhong Tang, Tiegang Liu, An adaptive ghost fluid finite volume method for compressible gas-water simulations, Journal of Computational Physics 227 (2008), pp. 6385-6409

46. Чикин A. JL, "Трехмерная задача расчета гидродинамики Азовского моря", Матем. моделирование, 13:2 (2001), 86-92

47. Чикин А. Л., "Двухслойная математическая модель ветровых течений в водоемах, имеющих большие площади мелководья", Матем. Моделирование, 21:12 (2009), 152-160

48. Чикина Л. Г., Чикин А. Л., "Моделирование распространения загрязнения в Мобилском заливе (США)", Матем. моделирование, 13:2 (2001), 93-98

49. Сухинов А. И., Чистяков А. Е., Алексеенко Е. В., "Численная реализация трехмерной модели гидродинамики для мелководных водоемов на супервычислительной системе", Матем. моделирование, 23:3 (2011), 3-21

50. Чистяков А. Е. Трехмерная модель движения водной среды в Азовском море с учетом транспорта солей и тепла// Известия ЮФУ. Технические науки -2009. №8 (97). - С 75-82.

51. Коновалов А. Н., "К теории попеременно-треугольного итерационного метода", Сиб. матем. журн., 43:3 (2002), 552-572

52. Сухинов А. И., Чистяков А. Е., "Адаптивный модифицированный попеременно-треугольный итерационный метод для решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором", Матем. моделирование, 24:1 (2012), 3-20 '

53. Коновалов А. Н., "Вариационная оптимизация итерационных методов расщепления", Сиб. матем. журн., 38:2 (1997), 312-325

54. Крукиер Л. А., Крукиер Б. Л., "О сходимости кососимметричных итерационных методов", Изв. вузов. Матем., 2011, №6, 75-79

55. Крукиер Л. А., Пичугина О. А., Мартынова Т. С., "Повышение эффективности вариационных методов при решении сильно несимметричных СЛАУ, возникающих в задачах конвекции-диффузии", Матем. моделирование, 22:10 (2010), 56-68

56. Крукиер Л. А., Муратова Г. В., "Решение стационарной задачи конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией многосеточным методом со специальными сглаживателями", Матем. Моделирование, 18:5 (2006), 6372.

57. Крукиер Л. А., Муратова Г. В., Субботина Т. Н., "Эффективные разностные схемы решения нестационарного уравнения конвекции-

диффузии с преобладающей конвекцией", Матем. моделирование, 17:12 (2005), 80-86

58. Крукиер J1. А., Субботина Т. Н., "Об одном классе треугольных кососимметричных схем решения нестационарного уравнения конвекции-диффузии", Изв. вузов. Матем., 2004, № 5, 41^6

59. Chorin, A. J., "Numerical Solution of the Navier-Stokes Equations", 1968, Math. Сотр. 22: 745-762

60. Chorin, A. J., J. E. Marsden, "A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics" (3rd éd.), 1993, Springer-Verlag. ISBN 0-387-97918-2.

61. Temam, R., "Une méthode d'approximation des solutions des équations Navier-Stokes", 1968, Bull. Soc. Math. France 98: 115-152

62. Лэмб Г., Гидродинамика / Г. Лэмб. - M.: Гостехиздат. - 1947. - 928 с. Майборода, А. Н. Математическая модель гидродинамики для тела, пересекающего свободную поверхность идеальной весомой жидкости / А. Н. Майборода // Доклады АН Украинской ССР. - 1991. - № 5. - С. 50-53.

63. L. G. Leal, Advanced transport phenomena: fluid mechanics and convective transport processes, Cambridge University Press, 2007, p. 912.

64. Белоцерковский О. M., Опарин A. M., Чечеткин В. M. Турбулентность: новые подходы. M: Наука, 2002, 286 с.

65 Бепоттепкокский С. M.. Моделиоование тлт^лентных струй и

" " * ' 1' ' ' 1 1 г л г Ж »

следов на основе метода дискретных вихрей / С. М. Белоцерковский, А. С. Гиневский. - М.: Физико-математическая литература. - 1995. - 368 с.

66. Белоцерковский С. М., Математическое моделирование нестационарного отрывного обтекания кругового цилиндра / С. М. Белоцерковский, В. Н. Котовский, М. И. Ништ, Р. М. Федоров // Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа. - 1983.- № 4. - С. 138-147.

67. Белоцерковский С. М., Математическое моделирование плоскопараллельного отрывного обтекания тел. М.: Наука.- 1988. — 232 с.

68. Белоцерковский С. M., Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью / С. М. Белоцерковский, М. И. Ништ. - М.: Наука - 1978.- 352 с.

69. Монин А. С. Турбулентность и микроструктура в океане// Успехи физических наук, том 109с.

70. Фрик П. Г. Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть 1 / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 1998, 108 с.

71. Фрик П. Г. Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть 2 / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 1998, 136 с.

ч 72. Алексеенко Е. В., Расчет коэффициента вертикального

турбулентного обмена для моделей мелководных водоемов // Математическое моделирование и информационные технологии / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). г.Новочеркасск: Ред. журн. «Изв. вузов. Электромеханика», 2007, с.72-76.

73. J. Smagorinsky, General circulation experiments with the primitive équations, I. The basic experiment," Monthly Weather Review 91, 99- 152 (1963).

74. Самарский A. A., Вабищевич П. H., Аддитивные схемы расщепления для задач математической физики. - М.: Наука, 1999. - 319с.

75. Чистяков А. Е. Трехмерная модель движения водной среды в

A u TJ __________^ Т Т

, Азовском море с учетом транспорта солеи и тепла, i-ubc^imm xwvyy.

Технические науки. Тематический выпуск «Актуальные проблемы математического моделирования». - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2009, №8(97). С 75-82.

76. Васильев В. С., Сухинов А. И., "Прецизионные двумерные модели мелких водоемов", Матем. моделирование, 15:10 (2003), 17-34

77. Васильев В. С, Сухинов А. И. Двумерные модели ветровых течений Азовского моря. Известия ЮФУ. Технические науки. Таганрог Изд-во ТТИ ЮФУ, 2001, №2(20), стр. 13-25.

78. Самарский А. А. Теория разностных схем. М. Наука, 1989.

79. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. — 532 с.

80. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. 2009, стр. 284.

81. Электронный справочник теплофизика http://thermalinfo.ru/

82. Sukhinov A. I. Reconstruction of 2001 Ecological Disaster in the Azov Sea on the Basis of Precise Hydrophysics Models.// Parallel Computational Fluid Dynamics, Mutidisciplinary Applications, Prcoceedings of Parallel CFD 2004 Conference, Las Palmas de Gran Canaria, Spain, ELSEVIER, Amsterdam-Berlin-London-New York-Tokyo, 2005, p. 231-238.

83. Сухинов А. И. Двумерные схемы расщепления и некоторые их приложения. - М.: МАКС Пресс, 2005. - 408 с.

' 84. Stevenson, J. С., М. S. Kearney and Е. W. Koch. Impacts of Sea Level Rise on Tidal Wetlands and Shallow-Water Habitats: A Case Study from Chesapeake Bay. In: N. A. McGinn (Ed.) Fisheries in a Changing Climate. American Fisheries Society, Symposium 32, Bethesda, Maryland, pages 23-36. UMCES contribution # 3583, 2002.

85. Белоцерковский О. M., Численное моделирование в механике сплошных сред / О. М. Белоцерковский. = М.: Наука. - 1984. - 520 с.

86. Самарский, А. А. Численные методы / А. А. Самарский, А. В. Гулин - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1989.-432 с.

87. Самарский, А. А. Введение в численные методы: учебное пособие для вузов по специальности «Прикладная математика» / А. А. Самарский -М.: Наука, 1987.-286 с.

88. Самарский А. А. Введение в численные методы : учебное пособие для вузов. МГУ им. М. В. Ломоносова. 3-е изд., СПб: Лань, 2005. - 288 с.

89. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. Учеб. пособие для вузов. М.: Наука, 1989. 432 с.

90. Самарский А. А. Численные методы решения обратных задач математической физики/ - М. : ЛКИ, 2007. - 480 с.

91. Самарский А. А., Разностные методы решения задач газовой динамики / А. А. Самарский, Ю. П. Попов. - М.: Наука. - 1980. - 352 с.

92. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. М.: Физматлит, 2001. 320 с.

93. Бахвалов Н. С. Численные методы : учебное пособие / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков; МГУ им. М. В. Ломоносова. - 3-е изд., доп. и перераб. - М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004. - 636 с.

94. Бахвалов Н. С. Численные методы : [учебное пособие для студентов физико-математических специальностей вузов] / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков; Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова. - М. :БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. - 636 с.

95. Вержбицкий В. М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения : [учебное пособие для вузов, обучающихся по математическим специальностям и направлениям подготовки дипломированных специалистов в области техники и технологии]/В. М. Вержбицкий. М. : ОНИКС 21 век, 2005. - 400 с

96. Вержбицкий В. М. Основы численных методов : Учеб. пособие для вузов / В. М. Вержбицкий. - М. : Высш. шк., 2002. - 840 с.

97. Вержбицкий В. М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения : Учеб. пособие для вузов / В. М. Вержбицкий. - М. : Высш. шк., 2001. - 382 с

98. Волков Е. А. Численные методы : учебное пособие / Е. А. Волков. - Изд. 3-е, испр. - СПб. : Лань, 2004. - 248 с

99. Калиткин Н. Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.

100. Тихонов А. Н. Математическое моделирование / Под ред. А. Н. Тихонова, В. А. Садовничего и др. М.: Изд-во МГУ, 1993.

101. Бабенко К. И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.

102. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 736 с.

103. Холл Д., Уатт- Д. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1970. 312 с.

104. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1987. 572 с.

105. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. М.: Мир, 1982. 583 с.

106. Химельблау Д., Прикладное нелинейное программирование. Мир, 1975. 534 с.

107. Арсенин В. Я., Методы математической физики и специальные функции / В. Я. Арсенин. - М.: Наука. - 1984. - 384 с.

108. Кузнецов Б. Г., О постановке задач гидродинамики в многосвязных областях. Вычислительные технологии i Б. Г. Кузнецов, В. 11. Сироченко // Сб. науч. трудов, МВТ СО РАН, Новосибирск. - т. 4. - 1995.-№12.-С. 209-218.

109. Андерсон Д., Вычислительная гидромеханика и теплообмен: [пер. с англ.]. В 2 ч. Ч. 1. / Д. Андерсон, Дж. Таннехилл, Р. Плетчер; под ред. Г. Л. Подвидза. - М.: Мир. - 1990. - 384 с.

110. Андерсон Д., Вычислительная гидромеханика и теплообмен: [пер. с англ.]. В 2 ч. Ч. 2. / Д. Андерсон, Дж. Таннехилл, Р. Плетчер; под ред. Г. Л. Подвидза. - М.: Мир. - 1990. - 336 с.