Методы исследования математической модели управления инвестиционным порфелем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Турусикова, Надежда Михайловна

• Турусикова, Надежда Михайловна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Турусикова, Надежда Михайловна

Введение.

Глава I. Исследование линейной математической модели управления инвестиционным портфелем.

§ 1.1 Построение математической модели управления инвестиционным портфелем

§ 1.2 Оптимальное управление линейной модели.

§ 1.3 Множество достижимости.

Глава П. Нелокальное исследование нелинейной математической модели управления инвестиционным портфелем.

§2.1 Двухточечная краевая задача для модели с нулевой матрицей линейного приближения.

§2.2 Достаточные условия нелокальной управляемости модели, матрица системы линейного приближения которой зависит либо от управления, либо от параметра

§2.3 О достижении инвестором доходности портфеля в некоторых случаях.

Глава Ш. Локальная управляемость нелинейной нестационарной математической модели управления инвестиционным портфелем.

§ 3.1 Существование управлений в одном случае.

§3.2 Условия управляемости модели в предположении, что матрица 2?(/) неособенная.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы исследования математической модели управления инвестиционным порфелем»

Актуальность темы исследования. В настоящей работе строится и исследуется математическая модель управления инвестиционным портфелем (ИП), которая описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений с управляющим параметром. Исследование проводится с целью определения условий наличия управляющих воздействий путем перераспределения капитала между различными видами инвестиций для достижения желаемой доходности инвестиционного портфеля. В соответствии с целью решается двухточечная краевая задача управляемой системы дифференциальных уравнений, определяются условия нелокальной и локальной управляемости нелинейной системы.

Изучение реальных процессов зачастую сводится к исследованию нелинейных систем дифференциальных уравнений, возникает необходимость построить теорию нелинейных систем, определить условия, при которых такая система управляема. Необходимость решения таких задач возникает при математическом моделировании экономических, химических, биологических, физических, социальных и других процессов [4, 6, 8, 10, 11, 13, 22, 35, 41, 48, 57, 60, 64, 67, 71, 77, 78, 82 - 84, 107]. Математическое моделирование не только помогает строго формализовать знания об объекте, но и в ряде случаев (при хорошей изученности объекта) оно может дать количественное описание процесса и предсказать его ход и эффективность.

Проблема управления инвестиционным портфелем является одной из основных задач финансового менеджмента. При решении этой проблемы исходят, как правило, из предположения о том, что при формирование своего портфеля, инвестор, с одной стороны, хотел бы минимизировать риск портфеля, с другой стороны — получать желаемую доходность. Содержание ИП складывается из ценных бумаг и имущественных вложений. В настоящее время резко возрастает эффективность математических методов в управлении инвестиционным портфелем, увеличивается интерес к их применению в финансовой работе. Необходимость поиска построения методов исследования и расчета математических моделей сложных процессов, динамика которых описывается управляемыми нелинейными системами дифференциальных уравнений, обусловлена в том числе интересом к задаче перевода объекта из начального состояния в заранее заданное при условии, что система линейного приближения не обладает свойством полной управляемости, к выбору множества допустимых управлений. Поэтому задача определения условий управляемости нелинейных математических моделей является актуальной. В диссертации рассматриваются случаи нелинейных моделей управления инвестиционным портфелем, изучаются вопросы нелокального и локального управления нелинейными системами. Несмотря на то, что исследованию проблемы управляемости систем посвящено большое количество работ, основная их часть относится к решению задачи локальной управляемости. Разнообразие теоретических и практических задач, возникающих в теории управляемости и ее приложений, вызывает необходимость поиска новых методов решения краевых задач, особенно для нелинейных систем.

Цели и задачи исследования. Целью работы является математическое моделирование процесса управления инвестиционным портфелем и получение теоретически обоснованных методов определения стратегии управления портфелем, описываемым математическими моделями — системами обыкновенных дифференциальных уравнений х = A{t,ii)x + B{t)u + /(/,х,м), х = A(t,/i)x + B(t)u + f(t,x,u), путем перераспределения капитала между активами для получения желаемой доходности портфеля.

Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие математические задачи.

Рассматриваются нелинейные системы дифференциальных уравнений х = A(t)x + B(t)u + f(t, х, и), (0.1) x = A(t,u)x + B(t)u + f(t,x,u), (0.2) х = A(t, ju)x + B(t)u + f(t,x,u), (0-3) x-B(t)u +f{t,x,ii), (0.4) в которых xeEtl - фазовая переменная, u<E.Em — управление, т<п, Ек — ^-мерное векторное пространство, A(t),A(t,u), A(t,/i) - пхп матрицы, B(t)— матрица порядка пхт, tе[0,Г],Те(0,+со), f(t,x,u) — «-мерная вектор-функция, {л — параметр.

Ставится задача - определить условия наличия числа Т > 0 и управления, заданного на сегменте [0, Г], при которых системы (0.1) - (0.4) имеют решение удовлетворяющее краевым условиям х(0) = а, х{Т) = J3, где аеЕп,/3<=Еп.

Для линейной системы дифференциальных уравнений х = A(t)x + B(t)u + F(t), (0.5) в которой х е Еп, и е Em, т<п, A(t), B(t) — матрицы, F(t) - и-мерная вектор-функция, Т > 0 — некоторое число, поставлена задача - найти управление, имеющее наименьшую норму и такое, что система (0.5) имеет решение x(t), удовлетворяющее равенствам х(0) = а, х(Т) = /3.

Методы исследования. Краевая задача для управляемых систем дифференциальных уравнений разрешается в классе кусочно-непрерывных управлений. Допустимые управления отыскиваются в виде вектор-функций, представляющих собой сумму линейной комбинации вектор-строк импульсной переходной матрицы системы и некоторой заранее заданной вектор-функции, зависящей от времени и параметра. В доказательстве теорем об условиях наличия управлений, удовлетворяющих задачам нелокальной и локальной управляемости модели, используется метод неподвижной точки оператора, метод замены переменных. Управление строится путем разбиения промежутка времени на части и задается на каждой части своей формулой. Используются численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

Основные результаты, имеющиеся по данной проблеме.

Вопросам финансового менеджмента, а также управления инвестиционным портфелем посвятили свои работы многие отечественные и зарубежные ученые. Начальный этап развития теории инвестиций относится к 20 — 30-м годам XX века и является периодом зарождения теории портфельных финансов как науки в целом. Этот этап представлен, прежде всего, основополагающими работами Дж. Хикса [95], И. Фишера [94] по теории процентной ставки и приведенной стоимости. Начало современной теории инвестиций определяется выходом в 1952 г. статьи Г. Марковича под названием «Выбор портфеля» в "Журнале финансов" ("The Journal of Finance"). В этой статье впервые была предложена математическая модель формирования оптимального портфеля ценных бумаг, были приведены методы построения таких портфелей при определенных условиях. В более расширенном варианте он изложил свою теорию в монографии [110]. Далее теория управления портфелем развивалась У. Шарпом [97, 112], Д. Тобином [ИЗ]. В работе А. С. Шведова [98] содержится изложение теории эффективных портфелей - одной из математических теорий, используемых для выработки решений на фондовых рынках. У. Шарп, Г. Александер, Дж. Бейли [97] занимались развитием теории оценки финансовых активов, рассматривали методы управления инвестициями, изучали проблемы глобализации инвестирования. Исследованшо динамических моделей макро- и микроэкономики в виде функционально-дифференциальных уравнений с последействием посвящены работы Колемаева В.А. [39], Симонова П.М. [82 — 84]. В частности Симоновым П.М. рассмотрены нелинейные экономические модели с запаздыванием ввода инвестиций.

Сегодня вопрос управления инвестиционным портфелем — одна из основных задач финансового менеджмента. В работах [20, 21, 25] предложена многомерная динамическая модель управления инвестиционным портфелем. Задача управления портфелем формулируется как динамическая задача слежения по квадратичному критерию за некоторым, задаваемым инвестором, портфелем, имеющим желаемую доходность (гипотетическим эталонным портфелем). В работе В.В. Домбровского, В.А. Гальперина [24] динамика ИП описывается в агрегированном виде, то есть используются уравнения для капитала портфеля в целом. Состояние портфеля определяется суммарным капиталом всех вкладов в активы, а управлениями являются объемы этих вкладов.

Математическая теория управления играет выдающуюся роль в развитии современной цивилизации, хотя возникла сравнительно недавно (наибольшее развитие получила во второй половине XX века). Совершенствование техники и растущая потребность в надежности и безопасности функционирования управляемых систем определило круг задач, которые составляют предмет математической теории управляемых процессов. Так возникли теория управляемости, как результат исследования проблемы перевода управляемого объекта в заданное конечное состояние, теория оптимального управления, направленная на уменьшение потерь при протекании процесса, теория наблюдения и стабилизации. Решение задач конфликтного управления привело к развитию новой ветви математической теории оптимального управления — теории дифференциальных игр. Начало исследований и основные результаты по теории управления процессами, описываемыми системами дифференциальных уравнений, связаны с такими именами, как Р.Е. Калман [36], Н.Н. Красовский [43 - 47], В.И. Зубов [32, 33], Е.А. Барбашин [7], С. Н. Шиманов [99] и другие.

Современная теория оптимального управления основана трудами JI.C. Понтрягина и его учеников — В.Г. Болтянского, Р.В. Гамкрелидзе ц Е.Ф.

Мищенко [74]. Она обеспечила возможность синтеза оптимального управления для широкого класса линейных систем. Большую роль в теории оптимальных процессов наряду с фундаментальным принципом максимума (необходимые условия оптимальности) Понтрягина Л.С. играет метод динамического программирования [8]. Отметим, что работы, посвященные вопросу существования оптимального управления [1, 2, 8, 9, 35, 50, 51, 65, 66, 70, 74, 93, 109], основываются на предположении об управляемости системы, то есть, на предположении, что существует допустимое управление, переводящее объект в заданное конечное состояние.

В работах [8, 36, 51, 74, 104] исследуются системы вида х = Ах + Ви, хей",(/е R'" с постоянными параметрами, определена структура области управляемости, получены некоторые свойства решений краевых задач. Авторы статьи [115] рассматривают аналогичные системы в банаховом пространстве, где А — генератор С-полугруппы, управление и принадлежит LF ([О, Т\ U), 1 < р <оо, U — банахово пространство. Получены условия управляемости и условия нуль-управляемости таких систем.

Красовским Н.Н. [46] задача об управляемости линейной системы х = A(t)x + B{t)ii + , x(ta ) = xa, x(tp ) = xp, рассматривается как проблема моментов. Сформулированы необходимые и достаточные условия существования оптимального решения, установлена зависимость решения от краевых условий. Для квазилинейной системы х = f(t,x)+g(t,x)u, x(ta) = xa, x(tp) - 0, в предположении, что система линейного приближения вполне управляема на отрезке j, методом последовательных приближений доказывается существование релейного управления, разрешающего краевую задачу и отличающегося от оптимального управления на величину второго Доказано, что для полной управляемости линейпорядка малости по ной нестационарной системы х — A(t)x + B(t)u, / е [f0, ], элементы матриц

A(f),B(t) являются аналитическими и периодическими функциями времени t с периодом со, достаточно, чтобы rang{B(z),rB(T),.,Г"'1 В(т))= п, где Г = х[&$\х[а>$] = х(а>)х{р\ X{t) - фундаментальная матрица решений системы х = Л(/)х. В работе [47] изучаются задачи программного управления и управления по принципу обратной связи.

Значительная сложность проблемы разрешимости краевой задачи, особенно для нелинейных систем, стимулирует поиск методов её решения. Исследованию проблемы управляемости нелинейных систем посвящены работы [6, 10, 11, 15 - 17, 22, 28 - 34, 52 - 54, 58 - 61, 64, 65, 68, 71 - 73, 75, 76, 79, 80, 86, 94 — 96, 111, 114]. Большинство результатов этих работ относятся к решению задачи локальной управляемости.

Зубов В.И. в работе [32] рассматривал краевую задачу для линейных и квазилинейных систем, большое внимание уделял возможности численного решения краевой задачи с помощью методов последовательного приближения.

Задача о построении управления, переводящего нелинейную систему х - A(t)x + b(t)u + f{x,i) из заданного начального состояния x(ta) = x" в заданное конечное x(tp) = xр и имеющего наименьшую интенсивность, при достаточно малых ха, хр рассматривалась в [3], [45]. В этих работах описан метод построения управления близкого к оптимальному. В работе [3] Альбрехтом Э.Г. для квазилинейной системы, описываемой уравнением х = A(t)x + b(t)u + ju f{x, t) с малым параметром //, решается двухточечная краевая задача, строится управления с наименьшей интенсивностью. Автором предложен итеративный способ построения оптимального управления установлены достаточные условия оптимальности. Решение задачи опирается на свойства вполне управляемой системы первого приближения х = Ait^x + bifp. Для аналогичной системы Красовским Н.Н. [46] описан способ построения оптимального управления без требования малости краевых условий.

Построением управления u{t,ju) близкого к оптимальному u°(t,ju) в случае квазилинейных систем занимались Субботин А.И. [85], Альбрехт Э.Г., Соболев О.Н. [5]. В частности авторы работы [5] обосновали процедуру вычисления оптимального управления по принципу обратной связи, исследовали свойства функции оптимального результата.

Красовский Н.Н. в работе [46] и Минюк С.А. в статье [62] исследовали вопрос полной (нуль-управляемости) управляемости системы B{t)u{t), t e[/0,/j]. Получены условия полной нуль-управляемости в случае гладких матричных функций A{t\ B(t).

Проблемой устойчивости управления по параметру занимался М.Т. Терехин [87, 88]. В отличие от работ [3, 5], где рассматривалась аналогичная задача, в статье [88] определены условия сохранения (потери) управляемости систем вида х = f(t,x,u,X) при изменении параметра Я без предположения о полной управляемости системы линейного приближения.

Ф.Н. Григорьев, Н.А. Кузнецов [22] рассматривали нелинейную систему третьего порядка, являющуюся математической моделью движения крупнотоннажного водоизмещающего судна. Доказано, что оптимальным по быстродействию управлением является релейное управление, имеющее не более двух переключений. Описан метод построения поверхности и линии переключения оптимального управления, что дает основание для синтеза оптимального управления.

Шарафеевым Д.Р. [96] найдены условия существования тройки "начальное значение - управление - параметр", разрешающей периодическую краевую задачу. В работах Львовой Л.Л. [52 - 54] задача управляемости нелинейных систем решается методом последовательных приближений. В предположении, что система линейного приближения может не быть вполне управляемой, получены условия существования пары "управление - параметр", которая переводит объект из нулевого начального в нулевое конечное состояние. Исследуется зависимость свойства управляемости системы х = A{t)х + B{t)u + f{t, х, и, Л) от малых изменений параметра Л.

Земляковой JI.C. [26 — 31] получены достаточные условия существования кусочно-постоянного управления, разрешающего глобальную краевую задачу. Управлением динамическими системами с помощью кусочно-постоянных управлений методом последовательных приближений занимались Раковщик JI.C. [75, 76], Нгуен Т.Б. [67].

Авторами работ [92, 111] в предположении полной управляемости системы линейного приближения получены достаточные условия управляемости нелинейной системы. Тонковым E.JI. [92] установлено, что система х = f(x,t,u), ueUaRm, локально управляема, если Oeint U и локально управляема соответствующая ей система линейного приближения.

Терехиным М.Т. [90] рассмотрены системы, не являющиеся в общем случае управляемыми, определяется множество, в любой точке которого система управляема.

В работе Пантелеева В.П. [69] установлен необходимый и достаточный признак локальной управляемости линейной по состоянию нестационарной динамической системы х = A(t)x + b(t,u). Работы [63, 64] Митрохина Ю.С., Степанова А.Н. посвящены исследованию системы вида х = / (х) + Ви. В случаях, когда система линейного приближения неуправляема, сформулированы необходимое и достаточное условия локальной управляемости.

Вопросом управляемости нелинейных систем дифференциальных уравнений занимался Воскресенский Е.В. [11 — 17]. В основе его подхода лежит метод сравнения системы с другой, линейной или нелинейной, более удобной для исследования системой. При этом помимо решения проблем теории управляемости метод сравнения позволяет установить ряд других полезных свойств решений, например, устойчивость. В работе [17] на основании принципа сравнения решаются задачи управляемости движением с обратной связью, при условии, что система имеет линейное приближение. За счет малости нелинейной части, управляемости системы линейного приближения свойством управляемости обладает и нелинейная система. dx

Павлов А.Ю. [68] систему — = A(t)x + B(t)u + fit, х, и) + F(t) сравниdt вает с соответствующей линейной системой в предположении, что в фиксированном классе управлений система сравнения является управляемой за конечный или бесконечный промежуток времени.

Мастерковым Ю.В. в работах [58 — 60] исследовались множества локально управляемых, устойчиво управляемых и N -управляемых систем. Получены соотношения между этими понятиями. Показано, что свойство N- управляемости является наиболее сильным из известных свойств управляемости. Авторами работы [111] получен аналог критерия Калмана, сформулированный для систем с запаздыванием.

Петров Н.Н. в работах [71, 72] при исследовании нелинейной автономной системы не предполагал полной управляемости системы линейного приближения. Методом функции Ляпунова получены достаточные условия существования кусочно-постоянного управления, переводящего динамическую систему за конечный промежуток времени из любой точки фазового пространства в начало координат.

При решении задач управляемости в работах [6, 59, 61] в качестве допустимых управлений рассматриваются измеримые, ограниченные вектор-функции. В работе Пантелеева В.П. [69] предполагается, что функция, содержащая управление, удовлетворяет условиям Каратеодори. В [101] допустимыми управлениями считаются измеримые, ограниченные на [0,Г] вектор-функции, зависящие от фазовой переменной,.

Проблема существования управлений, разрешающих краевую задачу для нелинейных систем, исследовалась различными методами [17, 26 — 31, 67, 68, 107]. Габасов Р.Ф. и Кириллова Ф.М. [18] применяют метод приращений, рассматриваемых на траекториях системы, Терехин М.Т., Землякова JI.C. [94] предлагают метод вариации промежуточной точки, в работе D. Kleis, E.W. Sachs [107] используют метод неподвижных точек.

Содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения и приложения. Введение содержит обоснование актуальности темы диссертации, цель работы, методику исследования, краткий обзор результатов других авторов по теме исследования, краткое содержание работы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Турусикова, Надежда Михайловна

Заключение

Работа посвящена построению и исследованию математической модели управления инвестиционным портфелем, описываемой системой обыкновенных дифференциальных уравнений с управляющим параметром. Предложены методы разрешимости двухточечной краевой задачи для нелинейной модели. Получены условия нелокальной и локальной управляемости модели на множестве кусочно-непрерывных управлений.

В диссертации допустимые управления отыскиваются в виде вектор-функций, представляющих собой сумму линейной комбинации вектор-строк импульсной переходной матрицы системы и некоторой заранее заданной вектор-функции, зависящей от времени и параметра. Теоремы о разрешимости краевой задачи доказываются с использованием метода неподвижной точки нелинейного оператора. Управление строится путем разбиения промежутка времени на части и задается на каждой части своей формулой.

Рассматривается применение изложенной теории к исследованию математической модели управления инвестиционным портфелем. Полученные в работе результаты исследований по теории систем дифференциальных уравнений позволяют находить условия достижения желаемой доходности инвестиционного портфеля, корректировать управляющие воздействия методом разбиения промежутка времени на части. Управляющее воздействие определяется как кусочно-непрерывная вектор-функция. В случае линейной модели управления портфелем найдены условия наличия оптимального управления, исследована возможная ожидаемая доходность портфеля при выбранном виде управления.

В диссертации имеются численные примеры с исследованием математических моделей управления конкретными инвестиционными портфелями. Составлена программа в системе Matchcad 14.0, позволяющая исследовать линейные математические модели управления портфелем.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Турусикова, Надежда Михайловна, 2010 год

1. Александров, В.В. Оптимальное управление движением / В.В. Александров и др... - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 376 с.

2. Алексеев, В.М. Оптимальное управление / В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин. М. : Наука, 1979. - 432 с.

3. Альбрехт, Э.Г. Об оптимальном управлении движением квазилинейных систем / Э.Г. Альбрехт // Дифференциальные уравнения, — 1969. -Т.5, №3. С. 430 - 442.

4. Альбрехт, Э.Г. Об управлении движением нелинейных систем / Э.Г. Альбрехт // Дифференциальные уравнения, — 1966. — Т.2, №3. — С. 324 -334.

5. Альбрехт, Э.Г. Синтез систем управления с минимальной энергией / Э.Г. Альбрехт, О.Н. Соболев // Дифференциальные уравнения, 1995. - Т.31, №10. - С. 1611-1616.

6. Арутюнов, А.В. Регулярные нули квадратичного отображения и локальная управляемость нелинейных систем / А.В. Артюнов, В.Н. Розова // Дифференциальные уравнения, 1999. — Т.35, №6. - С. 723 — 728.

7. Барбашин, Е.А. Введение в теорию устойчивости / Е.А. Барбашин. — М. : Наука, 1967.-233 с.

8. Болтянский, В.Г. Математические методы оптимального управления / В.Г. Болтянский. М. : Наука, 1969. - 408 с.

9. Брайсон, А. Прикладная теория оптимального управления / А. Брай-сон, Хо Ю-Ши. М.: Мир, 1972, -544 с.

10. Воротников, В.И. О нуль-управляемости по части переменных нелинейных динамических систем / В.И. Воротников //Автоматика и телемеханика, 1997. - №6. - С. 50 - 63.

11. Воскресенский, Е.В. Асимптотические методы: теория и приложения / Е.В. Воскресенский. Саранск: СВМО, 2001. - 300 с.

12. Воскресенский, Е.В. Методы сравнения в нелинейном анализе / Е.В. Воскресенский. — Саранск: Изд-во Сарат. ун-та Саран, фил., 1999. -224 с.

13. Воскресенский, Е.В. О методе сравнения и периодических решениях нелинейных систем / Е.В. Воскресенский // Укр. мат. журн., — 1991. — Т.43, №10. С. 1366- 1371.

14. Воскресенский, Е.В. Оптимальная стабилизация программного движения / Е.В. Воскресенский. — Саранск: Средневолжское математическое общество, 2002, препринт №47. 23 с.

15. Воскресенский, Е.В. О сравнении и управляемости нелинейных систем / Е.В. Воскресенский, П.Г. Черников // Труды СВМО, -1998. Т.1, №1. - С. 37-76.

16. Воскресенский, Е.В. Управляемость численным процессом / Е.В. Воскресенский, П.Г. Черников // Труды СВМО, 1999. - Т.2, №1. - С. 3 -17.

17. Воскресенский, Е.В. Управляемость и синтез управления нелинейных систем / Е.В. Воскресенский // Труды СВМО, 2006. - Т.8, №1. - С. 24 -35.

18. Габасов, Р.Ф., Качественная теория оптимальных процессов / Р.Ф. Га-басов, Ф.М. Кириллова. М. : Наука, 1971. — 501 с.

19. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. М. : Наука, 1988. -552 с.

20. Герасимов, Е. С. Динамическая сетевая модель управления инвестициями при квадратичной функции риска / Е. С. Герасимов, В.В. Дом-бровский // Автоматика и телемеханика. 2002. — №2. — С. 119—128.

21. Герасимов, Е. С. Динамическая сетевая модель управления инвестиционным портфелем при случайном скачкообразном изменении волатильностей финансовых активов / Е. С. Герасимов, В. В. Домбровский // Автоматика и телемеханика . 2003. №7. - С. 77-86

22. Григорьев, Ф.Н. Оптимальное по быстродействию управление в одной нелинейной задаче / Ф.Н. Григорьев, Н.А. Кузнецов // Автоматика и телемеханика, 2000. - № 8. - С. 11 - 25.

23. Демидович, Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П. Демидович, М. : Наука, 1967. - 472 с.

24. Домбровский, В.В. Динамическая модель управления инвестиционным портфелем при квадратичной функции риска / В.В. Домбровский, В.А. Гальперин // Вест. Том. гос. ун-та. 2000. №269. - С. 73-75.

25. Домбровский, В. В. Динамическая сетевая модель управления портфелем ценных бумаг в непрерывном времени при квадратичной функции риска /В.В. Домбровский, Е. С. Герасимов // Вест. Том. гос. ун-та. 2000. - № 269. - С. 70 -72.

26. Егорова, Н.Е. Применение дифференциальных уравнений для анализа динамики развития малых предприятий, использующих кредитно-инвестиционные ресурсы / Н.Е. Егорова, С.Р. Хачатрян // Экономика и математические методы, -2006. -Т.42, — Вып.1 -С. 24 29.

27. Землякова, Л.С. Управляемость в малом в случае пространства EJ Л.С. Землякова // Дифференциальные уравнения. Сборник трудов математических кафедр пединститутов РСФСР. Рязань, 1980. -Вып.15. — С. 47-52.

28. Землякова, Л.С. Об управляемости некоторой системы дифференциальных уравнений / Л.С. Землякова // Дифференциальные уравнения (Качественная теория): Межвуз. сб. науч. тр. Рязань: Изд-во РГОУ, — 1996.-С. 63-68.

29. Землякова, Л.С. Управляемость нелинейных систем дифференциальных уравнений / Л.С. Землякова // Дифференциальные уравнения (Качественная теория): Межвуз. сб. науч. тр. Рязань: Изд-во РГПУ, — 1995.-С. 64-71.

30. Землякова, Л.С. Управляемость систем дифференциальных уравнений / Л.С. Землякова // Дифференциальные уравнения (Качественная теория): Межвуз. сб. науч. тр. Рязань: Изд-во РГПУ, 1995. - С. 72 - 78.

31. Землякова, J1.C. Управляемость систем с периодической правой частью / л.С. Землякова // Дифференциальные уравнения (Качественная теория): Межвуз. сб. науч. тр. Рязань: Изд-во РГПУ, 1997. — С. 33 — 35.

32. Зубов, В.И. Лекции по теории управления/В.И. Зубов. М.: Наука, -1975.-459 с.

33. Зубов, В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования / В.И. Зубов. — JL: Машиностроение, 1974. — 335с.

34. Иванов, В.А. Теория оптимальных систем автоматического управления / В.А. Иванов, Н.В. Фалдин. М. : Наука, 1981. - 336 с.

35. Калман, Р.Е. Об общей теории систем управления / Р.Е. Калман // Труды I Международного конгресса ИФАК, Т.П. М.: Изд-во АН СССР, 1961.

36. Канторович, Л.В. Функциональный анализ / Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. М.: Наука, 1984. - 572 с.

37. Клейменов, А.Ф. Неантагонистические позиционные дифференциальные игры / А.Ф. Клейменов. — Екатерирбург : Наука, 1993. — 412 с.

38. Колемаев, В.А. Математическая экономика / В.А. Колемаев. М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2005. - 400 с.

39. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмагоров, С.В. Фомин. М.: Наука, 1976. - 544 с.

40. Коробов, В.И. Управляемость треугольных систем с равномерно ограниченными возмущениями / В.И. Коробов, С.С. Павличков // Вестн. Харьков, ун-та, 1999, - №444. - С. 10 - 14.

41. Красовский, А.Н. Синтез смешанных стратегий управления / А.Н. Красовский. Свердловск : Изд-во Урал. Ун-та, 1988. - 366 с.

42. Красовский, Н.Н. Управление динамической системой / Н.Н. Красовский. М. : Наука, 1985. - 398 с.

43. Красовский, Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения / Н.Н. Красовский. М. : Физматгиз, 1959. - 211 с.

44. Красовский, Н. Н. Шелементьев, Г.С. / Н.Н. Красовский, Г.С. Шеле-ментьев // Прикладная математика и механика, — 1965. — Т. 29, — Вып. 3, С. 401 - 407.

45. Красовский, Н. Н. Теория управления движением. Линейные системы / Н.Н. Красовский. М.: Наука, 1968. - 476 с.

46. Красовский, Н.Н. О некоторых задачах управления / Н.Н. Красовский // Тр. Мат. ин-та РАН, 1999. 224. - С. 208 - 217.

47. Красс, М.С. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. М. : Дело, 2003. - 688 с.

48. Леваков, А.А. К управляемости линейных нестационарных систем / А.А. Леваков // Дифференциальные уравнения. — 1987. Т. 23. — № 5. -С. 798-806.

49. Лейтман, Дж. Введение в теорию оптимального управления / Дж. Лейтман. -М.: Наука, 1968. 192 с.

50. Ли, Э.Б. Основы теории оптимального управления / Э.Б. Ли, Л. Маркус. -М. : Наука, 1972.-576 с.

51. Львова, Л.Л. О разрешимости задач управляемости нелинейных систем / Л.Л. Львова // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. Рязань : Изд-во РГПУ, - 2000. -№3. - С. 66-72.

52. Львова, Л.Л. Условия управляемости нелинейных систем / Л.Л. Львова // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. Рязань : Изд-во РГПУ, — 2000. - №3. - С. 73 - 80.

53. Львова, ЛЛ. Условия управляемости нелинейных систем с параметром / Л.Л. Львова // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. — Тамбов : Изд-во ТГУ, — 2000. — Т. 5. — Вып. 4. С. 475 - 476.

54. Люстерник, Л.А. Элементы функционального анализа / Л.А.Люстерник, В.И. Соболев. — М. : Наука, 1965. 510 с.

55. Малкин, И.Г. Теория устойчивости движения / И.Г. Малкин. — М.: Наука, 1966.-532 с.

56. Марголин, А. М. Экономическая оценка инвестиций / А. М. Марголин А. Я. Быстряков. М. : Экмос, 2001. - 240 с.

57. Мастерков, Ю.В. О некоторых задачах управляемости нелинейных систем: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук / Ю.В. Мастерков / Удмуртский гос. ун-т. Ижевск: Изд-во УГУ, 1999.

58. Мастерков, Ю.В. К вопросу о локальной управляемости в критическом случае / Ю.В. Мастерков // Известия вузов. Математика. — 1999. № 2. - С. 68 - 74.

59. Мастерков, Ю.В. Некоторые вопросы управляемости нелинейных систем / Ю.В. Мастерков // Удм. гос. ун-т. Изв. Ин-та мат. и инф-ки. -1999, -№2. -С. 41 -101.

60. Мастерков, Ю.В. Достаточные условия устойчивой управляемости нестационарной системы в критическом случае / Ю.В. Мастерков, Л.И. Родина // Дифференциальные уравнения, — 2004. — Т.40. №1. — С. 33 -40.

61. Минюк, С.А. К теории полной управляемости линейных нестационарных систем / С.А. Минюк // Дифференциальные уравнения, —1990. — Т.26. №3. - С. 414 — 420.

62. Митрохин, Ю.С. Об управляемости в малом нелинейных неавтономных систем дифференциальных уравнений оптимального регулирования / Ю.С. Митрохин // Труды Рязан. радиотехн. ин-та. — Рязань, — 1976. Вып. 69. - С. 25 - 30.

63. Моисеев, Н.Н. Элементы теории оптимальных систем / Н.Н. Моисеев.- М.: Наука, 1975. - 528 с.

64. Нарманов, А.Я. Нелокальные проблемы теории оптимальных процессов. I / А.Я. Нарманов, Н.Н. Петров // Дифференциальные уравнения,- 1985. — Т.21, №4. — С. 605-614.

65. HiyeH, Т.Б. Об управляемости квазилинейных систем / Тхянь Банг Нгуен // Прикладная математика и механика, 1969. - Т.31, — №1.

66. Павлов, А.Ю. Об управляемости нелинейных систем / А.Ю. Павлов // Вестник Мордовского университета, -1995. —№1. -С. 54 57.

67. Пантелеев, В.П. Об управляемости нестационарных линейных систем / В. П. Пантелеев // Дифференциальные уравнения, —1985. — Т.21, — №4. -С. 623-628.

68. Пантелеев, А.В. Оптимальное управление в примерах и задачах / А.В. Пантелеев, А.С. Бортаковский, Т.А. Летова. М.: Изд-во МАИ, 1996. -211 с. енц

69. Петров, Н.Н. Локальная управляемость автономных систем / Н.Н. Петров // Дифференциальные уравнения, -1968. Т.4, —№7. — С. 1218 — 1232.

70. Петров, Н.Н. Об управляемости автономных систем / Н.Н. Петров // Дифференциальные уравнения, 1968. - Т.4, - №4. - С. 606 — 617.

71. Петров, Н.Н. Решение одной задачи теории управляемости / Н.Н. Петров // Дифференциальные уравнения, — 1969. — Т.5, —№5. — С. 962 — 963.

72. Понтрягин, Л.С. Математическая теория оптимальных процессов / В.Г. Болтянский, Р. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. М.: Наука, 1969. -384 с.

73. Раковщик Л.С. Построение допустимых управлений I / Л.С. Раковщик // Автоматика и телемеханика, — 1962. — Т.23, — №10.

74. Раковщик Л.С. Построение допустимых управлений II / Л.С. Раковщик // Автоматика и телемеханика, — 1964. — Т.25, № 1.

75. Ризниченко, Г. Ю. Математические модели в биофизике и экологии / Г.Ю. Ризниченко. Москва Ижевск: Институт Компьютерных Исследований, 2003. - 184 с.

76. Ризниченко, Г. Ю. Математические модели биологических продукционных процессов / Г.Ю. Ризниченко, А.Б. Рубин. — М. : — Изд-во МГУ, 1993.-302 с.

77. Розанова, А.В. Управляемость для нелинейного абстрактного эволюционного уравнения / А.В. Розанова // Математические заметки, — 2004. -Т.76, -№4. -С. 553 567.

78. Розова, В.Н. Локальная управляемость систем специального вида / В.Н. Розова, А.В. Мартынова // XXXIX Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методике преподавания естественно — научных дисциплин, 2003. С. 15.

79. Рудашевский, В.Д. Оптимальная стратегия развития франчайзинговой системы / В.Д. Рудашевский, М.Н. Фурщик // Экономика и математические методы, 1998. - Т.34. - Вып. 2. -С. 89 - 104.

80. Симонов, П.М. Динамические математические модели с последействием в экономике и биологии / П. М. Симонов // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002. - Т. 9. — Вып. 3. — С. 654 -655.

81. Симонов, П.М. О некоторых динамических моделях микроэкономики/ П. М. Симонов // Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика. Пермь; Перм. гос. техн. ун-т, - 2002. - С. 109—114.

82. Субботин, А.И. Об управлении движением квазилинейной системы / А.И. Субботин // Дифференциальные уравнения. 1967. -Т.З. -№7, -С. 1113-1118.

83. Терехин, М.Т. Управляемость в малом системы обыкновенных дифференциальных уравнений / М.Т. Терехин // Дифференциальные и интегральные уравнения. Методы топологической динимики: Межвуз. сб. науч. тр. Горький: Горьк. ун-т, - 1987. - С. 48 - 52.

84. Терехин, М.Т. Устойчивость управления по параметру / М.Т. Терехин // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. — Рязань: Изд-во РГПУ, 1998. - № 1. - С. 86 - 96.

85. Терехин, М.Т. Об устойчивости управления по параметру/ М.Т. Терехин // Известия ВУЗов. Математика, Рязань, - 2000. — №9. - С. 38 -46.

86. Терехин, М.Т. Об управляемости систем обыкновенных дифференциальных уравнений / М.Т. Терехин, Л.С. Землякова // Дифференциальные уравнения (Качественная теория): Межвуз. сб. науч. тр. — Рязань: Изд-во РГПУ, -1995. С. 141 - 150.

87. Терехин, М.Т. Бифуркация периодических решений функционально — дифференциальных уравнений / М.Т. Терехин // Известия вузов. Математика. 1999. - № 10 (449). - С. 37 - 42.

88. Тонков, Е.Л. Управляемость нелинейной системы по линейному приближению / Е.Л. Тонков // Прикладная математика и механика, —1974.- Т.38, Вып.4. - С. 599 - 606.

89. Ухин, М.Ю. Синтез приближенно — оптимального управления на дискретных моделях / М.Ю. Ухин // Автоматика и телемеханика. -2006. — №7. С. 75 - 87.

90. Фишер, И. Покупательная сила денег/ Ирвинг Фишер. М. : Дело, 2001.- 198 с.

91. Хикс Дж. Р. Стоимость и капитал / Джон Ричард Хикс. М. : Издательство БЕК, 1997. - 332с.

92. Шарафеев, Д.Р. Существование периодических решений нелинейных управляемых систем с параметром / Д.Р.Шарафеев // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2001. - №5. — С. 182 - 188.

93. Шарп, У. Инвестиции / У. Шарп, Г. Александер, Дж. Бейли; пер. А.Н. Буренина, А.А. Васина. М. : ИНФРА-М, 1999. - XII. - 1028 с.

94. Шведов, А.С. Теория эффективных портфелей ценных бумаг/ А.С. Шведов. М., Изд-во ГУ ВШЭ, 1999. - 142 с.

95. Шиманов, С.Н. Колебания квазилинейных автономных систем с запаздыванием / С.Н. Шиманов // Известия вузов. Радиотехника. —I960.1. Т. 3. — №3. — С. 456-466.

96. ЮО.Шолохович, Ф.А. Об управляемости и £ -управляемости линейных динамических систем в бесконечномерных пространствах / Ф.А. Шо-лохович // Известия УРГУ. Математика и механика, 1998, - №1. -С. 102-126.

97. Юханова, М.В. О локальной управляемости системы обыкновенных дифференциальных уравнений / М.В. Юханова // Известия ТулГУ. Серия «Дифференциальные уравнения и прикладные задачи». Вып. 1. Тула: Изд-во ТулГУ. - 2006. - С. 39-42.

98. Akhmet, М. Controllability of two-point nonlinear boundary-value problems by the numerical-analytic method / M. Akhmet, A. Zafer // Appl. Math, and Comput. 2004. -151, -№3. -P. 729 - 744.

99. Barnett, S. Introduction to mathematical control theory / S. Barnett. O.U.P., Oxford, 1975.

100. Dauer, J.P. Controllability of some nonlinear systems in Hilbert spaces / J.P. Dauer, N.I. Mahmudov // Optimiz. Theory and Appl. 2004. - 123, -№2.-P. 319-329.

101. Fisher, I. The Purchasing Power of Money / Irving Fisher. N.Y.: Wiley, 1911.

102. Friedman, A. Optimal control of a chemical vapor deposition reactor / A. Friedman, B. Hu // Optimiz. Theory and Appl. 1998. - 97, - №3, - P. 623-644.

103. Kleis D. Optimal control of the sterilization of prepackged food / D. Kleis, E.W. Sachs // SIAM J. Optimiz. 2000. - 10, - №4. - P. 1180 - 1195.

104. Krasovskii, A.N. Control under lack of information / A.N. Krasovskii, N.N.Krasovskii. Basel: Birkhauser, 1995.

105. Liu, W. Local boundary controllability for the semilinear plate equation / Weijiu Liu // Commun. Part. Differ. Equat. 1998. - 23, - №1-2. - P. 201- 221.

106. Markowitz, Н.М. Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments/ H.M. Markowitz. Yale Univ. Press, 1959.

107. Mounier H. On a class of linear delay system often are arising in practice / Hugues Mounier, Michel Fliess // Kybernetika. 2001. - №3. - p. 295 -308.

108. Sharpe, W.F. Portfolio Theory and Capital Markets/ W.F. Sharpe. N.Y.: McGraw-Hill. 1970.

109. Tobin, D. National economic policy / James Tobin. New Haven. 1966.

110. Vassilyev, S. N. On controllability of nonlinear systems under phase restrictions and persistent perturbations/ Stanislav N. Vassilyev // Nonlinear Anal. Theory, Meth. and Appl. - 1997. - 29, - № 1. - P. 1 - 7.

111. Xin, Y. Controllability of infinite dimensional linear systemsin Banach spaces / Xin Yu, Kangsheng Liu, Chen Pengman // Shuxue niankan. Ann. Math.A. -2007. 28, - №5. - P. 589 - 600.

112. Турусикова, H. M. Исследование математической модели управления инвестиционным портфелем в непрерывном времени / Н.М. Турусикова // Вестник Рязанского государственного радиотехнического университета. Рязань: РГРТУ, - 2007. - Вып. 22. - С. 112 -114.

113. Турусикова, Н. М. О разрешимости двухточечной краевой задачи управляемой системы дифференциальных уравнений / Н.М. Турусикова // Вестник Рязанского государственного радиотехнического университета. Рязань: РГРТУ, - 2008. - Вып. 24. - С. 67 - 69.

114. Турусикова, Н. М. Условия разрешимости двухточечной краевой задачи управляемой системы дифференциальных уравнений / Н.М. Турусикова // Известия ТулГУ. Естественные науки. — Тула: Изд-во Тул-ГУ, 2008. - Вып. 2. - С. 49 - 54.

115. Турусикова, Н. М. Управляемость нелинейных систем дифференциальных уравнений / Н.М. Турусикова // Аспирантский вестник Рязанского государственного университета имени С.А. Есенина. — Рязань: РГУ. 2007. - № 10.-С.6-11.

116. Турусикова, Н. М. Об оптимальном управлении с минимальной нормой линейной системы дифференциальных уравнений / Н.М. Турусикова // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. — 2007. — №12. -С. 102- 107.

117. Турусикова, Н. М. Условия нелокальной управляемости системы дифференциальных уравнений / Н.М. Турусикова // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. — 2008. №13. — С. 148 - 152.

118. Турусикова, Н. М. Об одной математической модели управления инвестиционным портфелем / Н.М. Турусикова // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. — 2008.—№13. — С. 153— 157.

119. Турусикова, Н. М. О локальной управляемости нелинейных систем / Н.М. Турусикова // Математика. Компьютер. Образование: сб. научн. трудов. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», -2008. - Вып. 15, - Т. 2. - С. 88 - 90

120. Турусикова, Н. М. Об одном способе исследования математической модели управления инвестиционным портфелем / Н.М. Турусикова // Труды СВМО. Саранск, - 2008. - Т. 10. - №1. - С. 259 - 265.

121. Турусикова, Н. М. О локальной управляемости нелинейных систем дифференциальных уравнений / Н.М. Турусикова // Аспирантский вестник Рязанского государственного университета имени С.А. Есенина. Рязань: РГУ. - 2008. - № 12. - С. 3 - 7.