Математические модели и метод граничных интегральных уравнений в теории диэлектрических резонаторов c активными зонами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Спиридонов Александр Олегович

• Спиридонов Александр Олегович
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Спиридонов Александр Олегович

Введение

Глава 1. Задача о собственных модах диэлектрического резонатора с активными зонами

§ 1. Постановка задачи

§ 2. Локализация собственных значений

§ 3. Интегралвнвге представления собетвеннвгх функций

§ 4. Система граничнвгх интегралвнвгх уравнений Мюллера

§ 5. Исследование гладкости ядер

§ 6. Нелинейная спектралвная задача для фредголвмовой голоморфной оператор-

функции

§ 7. Точное решение задачи о собетвеннвгх модах активного круглого резонатора

Глава 2. Метод Нистрема численного решения нелинейной спектральной задачи для интегральной оператор-функции

§ 1. Описание метода

§ 2. Сходимоств метода

§ 3. Ввгаисление элементов матрицв1

§ 4. Метод обратнвк итераций с невязкой

§ 5. Учет симметрии

§6. Ввгаисление собетвеннвгх функций в точках плоскости

Глава 3. Программный комплекс и результаты численных экспериментов

§ 1. Программнвш комплекс

§ 2. Активнвш квадратнвш резонатор

§ 3. Активнвш треуголвнвш резонатор

§4. Круглвш резонатор с колвцевой активной зоной

§ 5. Активнвш эллиптический резонатор

§6. Эллиптический резонатор с круглой активной зоной

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели и метод граничных интегральных уравнений в теории диэлектрических резонаторов c активными зонами»

Введение

Для микро- и нанооптики последние десятилетия характерны изучением и техническим освоением компактных источников коротких электромагнитных волн [15]. Среди таких источников центральное место занимают лазеры на основе диэлектрических микрорезонаторов [36]. Их изготовление и измерение их характеристик связано с дорогостоящими технологиями. Поэтому в их проектировании и анализе важную роль играет математическое моделирование и применение средств вычислительной техники [37]. На этом пути возникают задачи теории диэлектрических резонаторов.

Классические задачи о собственных модах диэлектрических резонаторов являются задачами поиска комплексных собственных частот и отвечающих им частных решений уравнений Максвелла в виде стоячих волн в неограниченных областях, удовлетворяющих условиям сопряжения на границах раздела сред и соответствующим условиям на бесконечности [5]. Для их решения активно применяются коммерческие пакеты прикладных программ, основанные на сеточных методах [36], [39], [110]. Такой подход требует существенных вычислительных ресурсов.

Современные полимерные и полупроводниковые микрорезонаторы обычно имеют плоскую форму (см., напр., [33]). Это позволяет аппроксимировать решения трехмерной векторной спектральной задачи решениями скалярной спектральной задачи для оператора Гельмгольца, на плоскости [89], [52]. Отметим, что эмпирическому обоснованию этого приближения посвящено значительное число работ (см., напр., [45], [67], [70], [78],

[80], [82], [83], [87]).

Для расчета диэлектрических резонаторов в двумерном приближении широко применялись сеточные методы (см., напр., [56], [110], [118]) и методы геометрической оптики (см., напр., [51], [74], [75], [84], [111]). Достаточно эффективные и универсальные алгоритмы решения задач о собственных модах диэлектрических резонаторов в бесконечных областях основаны на переходе к граничным интегральным уравнениям [27]-[32], [47], [64], [66],

[81], [114], [115], [117], [124].

В последние годы интенсивно ведутся физические эксперименты с микрорезонаторами, содержащими активные зонв1 (см., напр., [25], [35], [52]). Именно такие устройства рассматриваются как наиболее перспективные источники тера.герцевых волн, а также источники одиночных фотонов [95]. Тем не менее, в цитированных выше работах активные зоны резонаторов никак не моделировались. В работах [34], [46], [69], [73], [76] предлагались разнообразные физические модели активных резонаторов. Модифицированная формулировка спектральной задачи для оператора Гельмгольца на плоскости, способная учесть наличие активной зоны, была предложена в статье Е.И. Смотровой и А.И. Носича, [88] и более детально описана в [89]. Она получила название «лазерная задача на собственные значения». В этой задаче кроме собственной частоты есть еще один искомый параметр — порог генерации лазерного излучения. Он равен отрицательной мнимой части показателя преломления и входит в коэффициент оператора Гельмгольца. В пассивных зонах мнимая часть показателя преломления равна нулю. Эта постановка применялась для систематического исследования частот и порогов излучения собственных мод разнообразных микрорезонаторных лазеров [24], [57], [77], [86], [88]—[98].

Наиболее полная информация получена о решениях относительно простой задачи для полностью активного круглого резонатора на основе анализа, характеристического уравнения, полученного методом разделения переменных [88], [95]. При каждом значении порога генерации лазерного излучения собственные функции этой задачи отвечают дискретному множеству собственных частот. Каждая собственная частота непрерывно зависит от порога. Важно найти такую его величину, что частота принимает вещественное значение, так как именно на этой частоте генерируется излучение.

Наибольшего прогресса при численном решении задачи, по-видимому, удалось достичь в [24], [94], [97] на пути применения системы граничных интегральных уравнений Мюллера [71] для полностью активного резонатора произвольной формы. Это система уравнений с логарифмическими ядрами, построенная с помощью формулы Грина. Дискретизация уравнений Мюллера осуществлялась методом Нистрема, специальным вариантом метода квадратур, разработанным первоначально для решения интегральных уравнений (см., напр., [38]). Он основан на аппроксимации искомых

функций тригонометрическими полиномами. Важно отметить, что в статьях [24], [97] экспериментально показана экспоненциальная скорость сходимости метода Нистрема при решении спектральной задачи для активного резонатора. Такая же скорость сходимости продемонстрирована и при решении этим методом задачи о собственных модах пассивного резонатора, [53].

Основное внимание исследователей прежде всего было направлено на построение моделей и алгоритмов, анализ и интерпретацию полученных численных результатов. Важные и сложные вопросы качественного исследования свойств решений спектральных задач, доказательства сходимости применяемых численных методов либо не рассматривались, либо оставались исследованными недостаточно подробно.

Вместе с тем для близких спектральных задач теории дифракции в этих вопросах достигнут существенный прогресс. По-видимому, наиболее близкие постановки имеют задачи теории диэлектрических волноводов [11], [21]. В монографии Р.З. Да.утова, Е.М. Карчевского [7] методом граничных интегральных уравнений для ряда задач о собственных волнах диэлектрических волноводов получены результаты о качественных свойствах спектра, разработаны и обоснованы численные алгоритмы решения спектральных задач для волноводов с кусочно-постоянным показателем преломления, основанные на аппроксимации граничных интегральных уравнений методом Галеркина.

В этом контексте важно сказать о задачах о собственных волнах щелевых и полосковых линий, методы математического и численного анализа которых разрабатывались с начала восьмидесятых годов двадцатого века A.C. Ильинским и его учениками [8], [9]. В монографиях A.C. Ильинского, Ю.В. Шестопалова, [10], Ю.Г. Смирнова [17] указанные задачи формулируются как задачи поиска характеристических чисел фредгольмовых голоморфных оператор-функций, полученные на основе метода граничных интегральных уравнений. В работах этих авторов анализируются качественные свойства характеристического множества: локализация, дискретность, существование характеристических чисел. Исследования опираются на общую теорию нелинейных спектральных задач, развитую в работах [6], [12], [14], [49], [68], [113]. Предлагаются и исследуются проекционные методы

расчета волноведутцих структур. При обосновании численных методов используются результаты Г.М. Вайникко, О.О. Карма, [2], [3] о приближенных методах решения нелинейных спектральных задач для фредгольмовых голоморфных оператор-функций.

Дальнейшее развитие результаты [2], [3] получили в статьях [59], [60]. На, них опирались исследователи при доказательстве сходимости различных численных методов решения спектральных задач с нелинейным вхождением параметра, [22], [23], [40] [43], [50], [54], [61], [79], [99], [106] [108].

Подводя итог, можно сказать, что метод граничных интегральных уравнений активно применяется на, практике для численного решения задач о собственных модах (полностью активных и пассивных) диэлектрических резонаторов, но до сих пор не имеет достаточно полного теоретического обоснования. Такое обоснование может быть проведено на, основе общей теории нелинейных спектральных задач и известных результатов о сходимости приближенных методов решения спектральных задач для фредгольмовых голоморфных оператор-функций. Качественные свойства, решений задачи о собственных модах диэлектрического резонатора, с активными зонами изучены лишь в простейшем случае, допускающем применение метода, разделения переменных. Их можно исследовать в более общей постановке аналогично анализу свойств решений задач о собственных волнах диэлектрических волноводов, щелевых и полосковых линий.

Несмотря на, то, что задача, о собственных модах диэлектрического резонатора, с активными зонами, сформулированная в диссертационной работе, близка, к этим задачам в том смысле, что их операторы нелинейно зависят от спектральных параметров, они имеют существенные отличия. Это связано с тем, что разыскиваются иные частые решения уравнений Максвелла,, которые должны удовлетворять другим граничным условиям. В задачах о собственных волнах волноводов, щелевых и полосковых линий собственные функции разыскивались либо в виде потенциалов простого слоя, либо в виде потенциалов двойного слоя, в зависимости от граничных условий. В диссертации собственные функции ищутся в виде разности потенциалов простого и двойного слоя, что приводит к системе интегральных уравнений с другими ядрами.

Таким образом, проблемы исследования математических моделей спек-

тральной теории диэлектрических резонаторов являются весьма актуальными. Прежде всего, целью диссертационной работы является получение новой формулировки задачи о собственных модах диэлектрического резонатора, с активными зонами и качественный анализ свойств ее решений. Актуальной является проблема, доказательства, сходимости метода, Нистрема,, его компьютерная реализация в виде комплекса, программ, предназначенного для расчета, резонаторов с активными зонами, тестирование и анализ эффективности метода,.

В настоящей работе сформулирована, нелинейная спектральная задача, для фредгольмовой голоморфной оператор-функции, содержащей слабо сингулярные интегральные операторы, удобная для теоретического исследования и численного решения задачи о собственных модах диэлектрического резонатора, с активными зонами. Установлена, эквивалентность этой задачи исходной спектральной задаче для оператора, Гельмгольца, на, плоскости. Исследованы вопросы локализации и дискретности спектра,.

Построен и теоретически обоснован метод Нистрема, численного решения нелинейной спектральной задачи. Создан комплекс программ в системе МаШЬ. Решен ряд конкретных задач теории диэлектрических резонаторов, проанализирована, сходимость и показана, практическая эффективность предлагаемого метода, путем сравнения решений с известными точными решениями и результатами, полученными другими авторами. Рассчитаны собственные моды ряда, неисследованных ранее резонаторов с активными зонами.

Диссертация состоит из введения и трех глав. В первой главе формулируется и исследуется спектральная задача, о собственных модах диэлектрического резонатора, с активными зонами.

В §1.1 приводится постановка, этой задачи. Изложение следует [89]. Ненулевая функция и £ и называется собственной функцией задачи о собственных модах диэлектрического резонатора, с активными зонами, отвечающей собственным значениям 7 > 0, к £ Е, если (см. рис. 1.1, с. 20):

Аи + к^и = 0, х е теШи о, (0.1)

ди~

и~ = и+, ?/,п-— = цт+1-—, х е Гт, т е м. (0.2)

оп оп

Здесь М = {1,2,..., М}, множества, Е, А, Р С М такие, что Е П А П Р = 0

и Е и А и Р = М, Е ф 0, о = М + 1. Область П1 на плоскости М2 ограничена контуром Г1, каждая из областей £1/п, т = 2,3,..., М, ограничена контурами Гт_1 и Гт. Контуры Гт, т = 1,2,..., М, не имеют общих точек и дважды непрерывно дифференцируемы; и~(и+) — предельное значение функции и изнутри (извне) контура Гт; ди/дп — правильная производная по нормали к контуру Гт, внешней относительно области £1/п.

В каждой активной зоне е € Е, показатель преломления равен комплексному числу уе = ае — ¿7, в каждой зоне с поглощением а Е А, он равен иа = аа + г5а. В областях Ц,, р Е Р, и неограниченной области И0 показатель преломления равен вещественным числам ир = ар и и0 = а0, соответственно. Здесь 7 > 0 — порог генерации лазерного излучения, 5а > О, а Е А, — коэффициенты поглощения, ат > 0, т Е М, — показатели преломления областей резонатора, а0 — показатель преломления окружающей среды; кт = кь>т — волновое число, где к = ш/с} ш — частота электромагнитных колебаний, с — скорость света в вакууме. Собственная функция и равна I¡л, а параметр цт равен ь>~2 в случае ^-поляризации, и = и Цт = 1 ПРИ ^/-поляризации. Остальные компоненты векторов напряженности электрического и магнитного поля однозначно определяются по и, к и 7 по явным формулам.

Буквой и обозначается множество функций, непрерывных в 0,т и дважды непрерывно дифференцируемых в £1т, т Е М и о, удовлетворяющих парциальным условиям излучения; Е — риманова поверхность функции 1пА:. Парциальные условия излучения заключаются в том, что функция и должна быть представима в виде абсолютно и равномерно сходящегося ряда, допускающего почленное дифференцирование до любого порядка:

оо

и(х) = ^^ щН^ (к0г) ехр(И(р), г ^ До- (0.3)

/=—оо

М

Здесь Ло — такое положительное число, что У £1т целиком лежит в кру-

т= 1

ге радиуса До; Н^ — функция Ханке ля первого рода порядка /; г, ср -полярные координаты точки х.

При любых фиксированных значениях 7 > 0, к Е Е функция из класса, и может как убывать, так и неограниченно возрастать на, бесконечности.

Это зависит от того, какой области римановой поверхности L принадлежит соответствующее значение волнового числа к.

Поверхность Римана L состоит из бесконечного числа листов и имеет точку ветвления к = 0. Точка ветвления не принадлежит L. Через Lo обозначается главный лист римановой поверхности L, который определяется следующими условиями:

—тг/2 < arg к < Зтг/2.

Если к Е Lo, Im£: ф 0, и функция и удовлетворяет парциальным условиям излучения (0.3), то эта функция удовлетворяет следующему условию на бесконечности (см., напр., [4]):

и = exp (ikr) О ' г сю.

Ясно, что если Im£: = а > 0, то и экспоненциально убывает на бесконечности:

и = ехр {—иг) О ( —- J , а > 0, г —>• оо. (0.4)

Известно [4], что все производные такой функции также удовлетворяют парциальным условиям излучения (0.3), и, как следствие, условию (0.4). В [4] доказано, что при к Е Ьо, 1т А: = 0, для всех функций, удовлетворяющих уравнению Гельмгольца, (0.1) в области условие излучения (0.3) эквивалентно условию излучения Зоммерфельда:

(в _гк\и=о(±Л.

\ог / \ \ г /

Если же 1т А: < 0, то и экспоненциально возрастает на бесконечности.

Если т = 1 и 7 = 0, то постановка задачи (0.1), (0.2) совпадает с формулировкой классической задачи о собственных модах пассивного диэлектрического резонатора (см., напр., [29]). Поэтому в диссертации мы изучаем свойства решений задачи (0.1), (0.2) при 7 е = {7 6 К : 7 > 0}.

В §1.2 исследуется локализация спектра поставленной задачи. Доказывается теорема 1.1 о том, что если А = 0, то для каждого 7 € положительная мнимая полуось 1+ главного листа Ьо римановой поверхности 1Ь свободна от собственных значений к задачи (0.1), (0.2). Затем доказывается теорема 1.2 о том, что если А ^ 0 и 0 < 5а < аа, а Е А, то

для каждого 7 Е [0,тто;е) полуось 1+ свободна от собственных значений

е€Е

к задачи (0.1), (0.2).

Теоремы 1.1, 1.2 обобщают известные результаты о локализации спектра активного круглого диэлектрического резонатора, полученные методом разделения переменных [95]. Предположение теоремы 1.2 о малости порога излучения 7 и коэффициентов поглощения 6а: а Е А, по сравнению с вещественными частями показателей преломления областей резонатора обычно выполняются на практике.

В §1.3 строятся интегральные представления собственных функций, а именно, доказывается, что если и есть собственная функция задачи (0.1), (0.2), отвечающая собственным значениям к Е 1Ь и 7 Е то

Г1

Гугг— 1

■ / -алх' щу)> х е <о-б) г

т

т = 2,3,..., М,

= хеио, (0.7)

Гм

где Сгт (к,

7; х, у), т Е М и о, — фундаментальное решение уравнения Гельмгольца, (0.1). Доказательство основано на третьей формуле Грина.

В §1.4 аналогично [97] строится система граничных интегральных уравнений Мюллера. Собственные функции должны удовлетворять условиям сопряжения (0.2). Поэтому в равенствах (0.5)—(0.7) и соответствующих выражениях для нормальной производной функции и точка х устремляется к Гт. Далее применяются известные предельные свойства потенциалов простого и двойного слоя и их производных (см., напр., [13]). В §1.5 методами классического анализа доказывается, что интегральные операторы, входящие в систему уравнений Мюллера имеют логарифмические и непрерывные ядра.

Известно, что если т = 1 и область — круг, то при каждом значении порога генерации лазерного излучения 7 собственные функции задачи (0.1), (0.2) отвечают дискретному множеству комплексных собственных частот [95]. Каждая собственная частота непрерывно зависит от порога. Генерация излучения происходит при такой величине 7 > 0, что частота тоже становится положительной. Поэтому практический интерес представляют пары положительных собственных значений 7 и к. Однако, при всех остальных значениях порога соответствующая собственная частота -комплексное число. Такой же эффект наблюдается и при численном решении задачи в более сложных случаях, так как 7 вычисляется с некоторой погрешностью. Об этом подробно говорится в параграфах, посвященных описанию численных экспериментов. Поэтому для приложений важно теоретически изучить функции к = к(7). Это делается в §1.6.

В §1.6 задача (0.1), (0.2) изучается методами спектральной теории фредгольмовых голоморфных оператор-функций. Вводится банахово пространство С(Гт) непрерывных на Гт, т Е М, функций со стандартной максимум-нормой. Построенная в §1.4 система граничных интегральных уравнений Мюллера записывается в операторном виде:

\¥ = В(£:,7)л¥, (0.8)

где \¥ЕИ/ = И/1хИ/2х...х \¥м, = С(Гт) х С(Гт). Доказывается теорема 1.3 о том, что для всех к Е 1Ь и 7 Е интегральный оператор 15 : \¥ \¥ компактный. Доказательство опирается на результаты §1.5 о гладкости ядер системы интегральных уравнений.

Затем доказывается теорема 1.4 о спектральной эквивалентности задач (0.1), (0.2) и (0.8). Она состоит в том, что если и Е и является собственной функцией задачи (0.1), (0.2), отвечающей некоторым собственным значениям к Е 1Ь и 7 Е то вектор однозначно строящийся по явным формулам по предельным значениям функции и и ее нормальной производной, принадлежит пространству ЦТ и является нетривиальным решением уравнения (0.8) при тех же самых значениях параметров к и 7. С другой стороны, если при некоторых значениях к Е 1Ь и 7 Е уравнение (0.8) имеет нетривиальное решение Е IV, то функция и7 определенная в (0.5)—(0.7), где и+/~ и (ди/дп)+/~, х Е Гт, т Е М, однозначно стро-

ятся по явным формулам по вектору принадлежит пространству и и является собственной функцией задачи (0.1), (0.2), отвечающей тем же самым собственным значениям к и 7. Доказательство теоремы 1.4 опирается на известные свойства интегральных операторов со слабо сингулярными ядрами (см., напр., [13]). При этом существенным образом используется гладкость контуров Гт, т Е М.

Далее вводится оператор-функция параметра к Е 1Ь:

А(А:,7)=1-В(А;,7), (0-9)

где 7 Е — фиксированный параметр, I : \¥ \¥ — единичный оператор, В(£:,7) — оператор-функция, стоящая в правой части уравнения (0.8). Из теоремы 1.3 следует, что при всех к Е Ь оператор А(к,гу) фредголь-мов. Доказывается теорема 1.5 о том, что для каждого 7 Е оператор-функция В(£:,7) голоморфна по к Е 1Ь, т. е. ее можно представить в виде степенного ряда

оо

В(А:, 7) = ^ Вр(к - ко)р, Вр Е Ж),

р=о

который сходится в £(\¥,\¥) в некоторой окрестности каждой точки ко Е Ь (см., напр., [62]). Здесь /2(Ж, Ж) — пространство всех ограниченных линейных операторов, действующих в \¥. Доказательство опирается на известный критерий голоморфности [85]: оператор-функция В(£:,7) голоморфна по к Е 1Ь тогда и только тогда, когда для каждого Е \¥ и каждого ограниченного линейного функционала д, определенного на ЦТ, функция д[В(£:,7)\¥] голоморфна по к Е 1Ь. Его применение потребовало детального анализа гладкости по переменным х и у функций, возникающих при дифференцировании по параметру к ядер системы граничных интегральных уравнений Мюллера.

Затем, следуя [62], приводятся необходимые определения и результаты спектральной теории фредгольмовых голоморфных оператор-функций. Собственные векторы ш Е ]У оператор-функции А(£:,7), отвечающие характеристическим значениям к Е 1Ь, удовлетворяют условию

А(£:,7)л¥ = 0. (0.10)

Множество <т(А) всех к £ L для которых оператор А(к1гу) не имеет ограниченного обратного оператора называется характеристическим множеством А(£:,7). Множество р(А) = {к : к е L, ЗА(А:,7)-1 : W ->■ W} называется регулярным множеством А(к1гу).

Если ко — характеристическое значение А(£:,7), то размерность ядра

ker А(А:0,7) = {w eW : A(£:0,7)w = 0}

называется геометрической кратностью ко. Если ко — характеристическое значение А (А:, 7) и wo — собственный вектор, отвечающий ко-, то элементы wi,..., wg_i пространства W называются обобщенными собственными векторами, если выполняются равенства

" 1

^2-A{j){ko)wn_j = 0, п =

з=о

где

Говорят также, что упорядоченный набор векторов wo, wi,..., wg_i есть жорданова цепочка, отвечающая ко- Если ко — характеристическое значение оператор-функции А(£:,7), a S(A,ko) — множество всех вектор-функций Ф{к)7 представимых в виде

ф(к) = У -^-

и (к-КГ

(где — жорданова цепочка и q ^ 1) таких, что выполняется условие

А(к)Ф(к) = O(l), \к-к0\ <е,

то размерность S(A,ko) называется алгебраической кратностью ко-Если wo — собственный вектор А(£:,7), отвечающий ко-, то

wо{к - ко)'1 е S{A,ko).

Поэтому геометрическая кратность не превосходит алгебраической кратности. Хорошо известно (см., напр., [62]), что характеристическое множество любой фредгольмовой голоморфной оператор-функции с непустым регулярным множеством может состоять лишь из изолированных характеристических значений конечной алгебраической кратности.

Основными результатами параграфа 1.6 являются теоремы 1.6 и 1.7. Теорема 1.6 состоит в том, что если А = 0, то справедливы следующие утверждения.

1. Для каждого 7 Е регулярное множество оператор-функции А (А:, 7) не пусто, а именно, 1+ С р(А).

2. Для каждого 7 Е характеристическое множество <т(А) оператор-функции А (А:, 7) может состоять лишь из изолированных точек, являющихся ее характеристическими значениями конечной алгебраической кратности.

3. Каждое характеристическое значение к оператор-функции А(£:,7) непрерывно зависит от параметра 7 Е и может появляться и исчезать только на границе поверхности 1Ь, т. е. в нуле и на бесконечности.

Доказательство теоремы 1.6 основано на применении упомянутого выше классического результата из теории фредгольмовых голоморфных оператор-функций и теоремы [109] о поведении характеристических значений к оператор-функции А (А:, 7) в зависимости от изменения вещественного параметра 7 в случае, если оператор-функция А(£:,7) является непрерывной функцией параметров к и 7.

Теорема 1.7 состоит в следующем. Пусть А ф 0 и 0 < 6а < аа, а Е А.

Тогда для 7 Е [0,тшае) справедливы все утверждения теоремы 1.6. До-

ееЕ

казательство теоремы 1.7 аналогично доказательству теоремы 1.6. Отличие заключается лишь в том, что доказательство утверждения о непустоте регулярного множества опирается на теорему 1.2 о локализации спектра исходной задачи, а не на теорему 1.1.

Теоремы 1.6 и 1.7 обобщают известные результаты (см., напр., [95]) о зависимости собственных частот мод полностью активного круглого диэлектрического резонатора от порога генерации лазерного излучения, полученные в результате анализа характеристического уравнения метода разделения переменных. В §1.7 приводятся решения этого уравнения и анализируются их свойства.

Во второй главе строятся и исследуются приближения к решениям нелинейной спектральной задачи (0.10) для интегральной оператор-функции, основанные на применении метода Нистрема.

В §2.1 задача (0.10) сводится к нелинейной алгебраической спектраль-

ной задаче. Предполагается, что все контуры Гт, т £ М, заданы параметрически. На отрезке [0, 27т], который пробегает переменная t функции параметрически задающей кривую Гт, вводится равномерная сетка с шагом hm = 7т/пт, т. е. t^ = jhm, j = 0,... ,2пт — 1, пт £ N, где N — множество всех натуральных чисел. В левой части уравнения (0.10) интегралы с логарифмическими ядрами аппроксимируются по квадратурной формуле

2тг 9 _i

// I \ -jVj-Iп 1

ln(4Sin2^J f(r)dr^ Y. ¡f-Htmtfb, i6 [0,2тг],

о j=0

Г) ^m 1 н

R^ = -— E 7C0SJ = 0, ..., 2nm — 1.

nm I Пт

Эта, формула численного интегрирования получается путем интерполяции подынтегрального выражения / тригонометрическим полиномом порядка пт на сетке с узлами j = 0,..., 2пт — 1 (см., напр., [38]). Интегралы с гладкими ядрами приближаются методом трапеций с теми же узлами квадратуры. Затем обе части уравнения, полученного из (0.10), приравниваются в узлах сетки.

При каждом фиксированном 7 £ приближением по методу Ни-стрема, к решению задачи (0.10) называется решение построенной таким образом нелинейной алгебраической спектральной задачи

An(fc)wn = (I - Bn(fc))wn = 0, (0.11)

где I — единичная матрица, Ви(/с) — матрица с элементами, нелинейно зависящими от к; wn — вектор значений искомых функций в узлах квадратуры, п = (пьп9,... ,пм), п = minпт. Символом <т(Ап) обозначается мно-

тем

жество характеристических значений оператор-функции Ап{к)7 а р(Ап] регулярное множество.

В §2.2 исследуется сходимость метода Нистрема. Доказывается теорема 2.1, которая состоит в следующем. Пусть А = 0. Тогда для любого фиксированного 7 £ справедливы следующие утверждения.

1. Для каждого характеристического числа ко оператор-функции А (к) существует последовательность характеристических чисел матри-

цы Ап(к), сходящаяся к ко при п —>• оо, п £ N.

2. Если — некоторая последовательность характеристических чисел матрицы Ап(к) и — последовательность соответствующих нормированных собственных векторов такие, что кп —>■ ко Е 1Ь при п —>• оо, п Е М, то

а) ко — характеристическое число оператор-функции А (А:),

— дискретно компактная последовательность, и ее предельные точки — нормированные собственные векторы оператора А(ко).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Спиридонов Александр Олегович, 2017 год

Литература

1. Абамовиц, М. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / М. Абамовиц, И. Стиган; пер. с англ. под ред. В.А. Диткина, JI.H. Карамзиной. — М: Наука, 1979. - 832 с.

2. Вайникко, Г.М. О сходимости приближенных методов решения линейных и нелинейных операторных уравнений / Г.М. Вайникко, О.О. Карма // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1974. — Т. 14. — № 4. -С. 828-837.

3. Вайникко, Г.М. О быстроте сходимости приближенных методов в проблеме собственных значений с нелинейным вхождением параметра / Г.М. Вайникко, 0.0. Карма // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -1974. - Т. 14. - № 6. - С. 1393-1408.

4. Векуа, H.H. О метагармонических функциях / H.H. Векуа // Труды Тбилисского математического института — 1943. — Т. 12 — С. 105-174.

5. Городецкий, M.JI. Оптические мокрорезонаторы с гигантской добротностью. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011. - 416 с.

6. Гохберг, И.Ц. Основные положения о дефектных числах, корневых числах и индексах линейных операторов / И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн // Успехи математических наук — 1957 — Т. 12. — № 2(74). — С. 43-118.

7. Да.утов, Р.З. Метод интегральных уравнений и точные нелокальные граничные условия в теории диэлектрических волноводов / Р.З. Да.утов, Е.М. Карчевский. — Казань: Казанский государственный университет, 2009. - 271 с.

8. Ильинский, A.C. Обоснование метода расчета собственных волн микро-полосковой линии передачи / A.C. Ильинский // Дифференциальные уравнения - 1981. - Т. 17. - № 10. - С. 1868-1874.

9. Ильинский, A.C. Исследование дисперсионных уравнений спектрального метода / A.C. Ильинский, М.М. Муталлимов // Доклады Академии наук. - 1983. - Т. 271, № 4. - С. 793-795.

10. Ильинский, A.C. Применение методов спектральной теории в задачах распространения волн / A.C. Ильинский, Ю.В. Шестопалов. — М.: Изд-во МГУ, 1989. - 184 с.

11. Карчевский, Е.М. Математические модели и численые методы в спектральной теории диэлектрических волноводов: автореф. дне. ... д-ра. физ.-мат. наук: 05.13.18 / Карчевский Евгений Михайлович. — Казань, 2006. - 31 с.

12. Ка.то, Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Ка.то. М.: Мир, 1972. - 740 с.

13. Колтон, Д. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния / Д. Колтон, Р. Кресс. - М.: Мир, 1987. - 312 с.

14. Маркус, A.C. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков, — Кишинев: Штиинца, 1986. — 260 с.

15. Новотный, JI. Основы нанооптики / JI. Новотный, Б. Хехт; пер. с англ. под ред. В.В. Самарцева. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. - 484 с.

16. Погорелов, A.B., Дифференциальная геометрия / A.B. Погорелов. -М.: Наука, 1974. - 176 с.

17. Смирнов, Ю.Г. Математические методы исследования задач электродинамики / Ю.Г. Смирнов. — Пенза: Информационно-издательский центр ПГУ, 2009. - 268 с.

18. Спиридонов, А.О. Граничные интегральные уравнения Мюллера в спектральной теории диэлектрических волноводов / А.О. Спиридонов, Е.М. Карчевский, А.И. Носич // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. — 2015. -№ 1 (33).- С. 24-36.

19. Спиридонов, А.О. Метод коллокации решения нелинейных спектральных задач для граничных интегральных уравнений Мюллера / А.О.

Спиридонов, Е.М. Карчевский, А.И. Носич // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2015. - № 2 (34). - С. 32-45.

20. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский — 6-е изд. испр. и доп. — М.: Изд-во Московского государственного университета университета, 1999. — 799 с.

21. Фролов, А.Г. Математические модели и метод коллокации в теории слабонаправляющих диэлектрических волноводов: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / Фролов Александр Геннадьевич. — Казань, 2012. - 19 с.

22. Apel, Т. Structured eigenvalue methods for the computation of corner singularities in 3D anisotropic elastic structures / T. Apel, V. Mehrmann,

D.Watkins // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. -2002. - Vol. 191. - № 39-40. - P. 4459-4473.

23. Apel, T. Computation of 3D vertex singularities for linear elasticity: error estimates for a finite element method on graded meshes / T. Apel, A.-M. Sanclig, S. Solov'ev // ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis. - 2002. - Vol. 36. - № 6. - P. 1043-1070.

24. Balaban, M.V. Nystrom-type techniques for solving electromagnetics integral equations with smooth and singular kernels / M.V. Balaban,

E.I. Smotrova, O.V. Shapoval, V.S. Bulygin, A.I. Nosich // International Journal of Numerical Modelling: Electronic Networks, Devices and Fields. -2012. - Vol. 25. - № 5-6. - P. 490-511.

25. Bogclanov, A.A. Mode selection in InAs quantum clot microdisk lasers using focused ion beam technique / A.A. Bogclanov, I.S. Mukhin, N.V. Kryzhanovskaya, M.V. Maximov, Z.F. Saclrieva, M.M. Kulagina, Y.M. Zacliranov, A.A. Lipovskii, E.I. Moiseev, Y.V. Kuclashova, A.E. Zhukov // Optics Letters. - 2015. - Vol. 40. - № 17. - P. 4022-4025.

26. Bonnet-Ben Dhia, A.S. Stability of acoustic propagation in 2D duct flows: a low frequency approach / A.S. Bonnet-Ben Dhia, M. Durufle, P. Joly,

L. Joubert // Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. -2011. - Vol. 21. - № 5. - P. 1121-1151.

27. Boriskina, S.V. Effect of a layered environment on the complex natural frequencies of two-dimensional WGM dielectric-ring resonators / S.V. Boriskina, T.M. Benson, P. Sewell, A.I. Nosich // Journal of Lightwave Technology. - 2002. - Vol. 20. - № 8. - P. 1563-1572.

28. Boriskina, S.V. Tuning of Elliptic Whispering-Gallery-Mode Microdisk Waveguide Filters / S.V. Boriskina, T.M. Benson, P. Sewell, A.I. Nosich // Journal of Lightwave Technology. - 2003. - Vol. 21. - № 9. - P. 19871995.

29. Boriskina, S.V. Accurate simulation of two-dimensional optical microcavities with uniquely solvable boundary integral equations and trigonometric Galerkin discretization / S.V. Boriskina, P. Sewell, T.M. Benson, A.I. Nosich // Journal of the Optical Society of America, A: Optics and Image Science, and Vision. - 2004. - Vol. 21. - № 3. - P. 393-402.

30. Boriskina,, S.V. Spectral shift and Q change of circular and square-shaped optical microca.vity modes clue to periodic sidewa.il surface roughness / S.V. Boriskina,, T.M. Benson, P. Sewell, A.I. Nosich // Journal of the Optical Society of America, B: Optical Physics. - 2004. - Vol. 21. - № 10. -P. 1792-1796.

31. Boriskina,, S.V. Optical modes in imperfect 2D square and triangular microcavities / S.V. Boriskina,, T.M. Benson, P. Sewell, A.I. Nosich // IEEE Journal of Quantum Electronics. - 2005. - Vol. 41. - № 6. - P. 857862.

32. Boriskina,, S.V. Q-fa.ctor and emission pattern control of the WG modes in notched microdisk resonators / S.V. Boriskina,, T.M. Benson, P. Sewell, A.I. Nosich // IEEE Journal on Selected Topics in Quantum Electronics. -2006. - Vol. 12. - № 1. - P. 66-70.

33. Ca.o, H. Dielectric microcavities: Model systems for wave chaos and non-Hermitia.n physics / H. Ca.o, J. Wiersig // Reviews of Modern Physics. -2015. - Vol. 87. - № 1. - P. 61-111.

34. Chang, S.W. Confinement factors and modal volumes of micro- and nanoca.vities invariant to integration regions / S.W. Chang // IEEE Journal on Selected Topics in Quantum Electronics. — 2012. — Vol. 18. — № 6. -P. 1771-1780.

35. Chern, G.D. Unidirectional lasing from InGaN multiple-quantum-well spiral-shaped micropillars / G.D. Chern, H.E. Tilreci, A. Douglas Stone, R.K. Chang, M. Kneissl, N.M. Johnson // Applied Physics Letters. -2003. - Vol. 83. - № 9. - P. 1710-1712.

36. Choi, A.H.W. Handbook of Optical Microcavities / A.H.W. Choi. — Pan Stanford, 2014. - 526 p.

37. Chremmos, I. Photonic Microresonator Research and Applications / I. Chremmos, O. Schwelb, N. Uzunoglu; Springer Series in Optical Sciences, -Springer US, 2010. - 518 p.

38. Colton, D. Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory / Colton D., Kress R. — Springer: Applied Mathematical Sciences, 1998. -Vol. 93. - 334 p.

39. Dash, S.K.K. Modelling of dielectric resonator antennas using numerical methods: a review / S.K.K. Dash, T. Khan, A. De // Journal of Microwave Power and Electromagnetic Energy. — 2016. — Vol. 50. — № 4. — P. 269293.

40. Effenberger, C. Chebyshev interpolation for nonlinear eigenvalue problems / C. Effenberger, D. Kressner // BIT Numerical Mathematics. — 2012. -Vol. 52. - № 4. - P. 933-951.

41. Engstrom, C. Spectral approximation of quadratic operator polynomials arising in photonic banc! structure calculations / C. Engstrom // Numerische Mathematik. - 2014. - Vol. 126. - № 3. - P. 413-440.

42. Engstrom, C. Efficient and reliable hp-FEM estimates for quadratic eigenvalue problems and photonic crystal applications / C. Engstrom, S. Giani, L. Grubisic // Computers and Mathematics with Applications. -2016. - Vol. 72. - № 4. - P. 952-973.

43. Engstrom, C. Rational eigenvalue problems and applications to photonic crystals / C. Engstrom, H. Langer, C. Tretter // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 2017. - Vol. 445. - № 1. - P. 240-279.

44. Fang, W. Wave interference effect on polymer microstadium laser / W. Fang, H. Cao // Applied Physics Letters. - 2007. - Vol. 91. — № 4. -P. 041108/3.

45. Fang, W. Control of lasing in fully chaotic open microcavities by tailoring the shape factor / W. Fang, H. Cao, G.S. Solomon // Applied Physics Letters. - 2007. - Vol. 90. - № 8. - P. 081108/4.

46. Gagnon, D. Ab initio investigation of lasing thresholds in photonic molecules / D. Gagnon, J. Dumont, J.-L. Deziel, L.J. Dube // Journal of the Optical Society of America, B: Optical Physics. — 2014. — Vol. 31. -№ 8. - P. 1867-1873.

Gia.nnini, V. Calculations of light scattering from isolated and interaction metallic nanowires of arbitrary cross section by means of Greens theorem qncl intergral equations in parametric form / V. Gia.nnini, J.A. Sanchez-Gil // Journal of the Optical Society of America. A: Optics and Image Science, and Vision. - 2007. - Vol. 24. - № 9. - P. 2822-2830.

Gma.chl, C. High-power directional emission from microla.sers with chaotic resonators / C. Gma.chl, F. Ca.pa.sso, E.E. Na.rima.nov, J.U. Nockel, A.D. Stone, J. Faist, D.L. Sivco, A.Y. Cho // Science. - 1998. - Vol. 280. -№ 5369. - P. 1556-1664.

49. Gohberg, I. Classes of Linear Operators Vol. I / I. Gohberg, S. Goldberg, M.A. Ka.ashoek // Operator Theory: Advances and Applications. — 1990. -Vol. 49. - 468 p.

50. Ha.lla., M. Convergence of hardy space infinite elements for Helmholtz scattering and resonance problems / M. Ha.lla. // SIAM Journal on Numerical Analysis. - 2016. - Vol. 54. - № 3. - P. 1385-1400.

51. Hentschel, M. Quantum chaos in optical systems: The annular billiard / M. Hentschel, K. Richter // Physical Review E - Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics. - 2002. - Vol. 66. - № 5. - P. 056207/13.

47.

48.

52. Harayama, T. Two-dimensional microcavity lasers / T. Harayama,, S. Shinohara // Laser and Photonics Reviews. — 2011. — Vol. 5. — № 2. -P. 247-271.

53. Heicler, P. Computation of scattering resonances for dielectric resonators / P. Heicler // Computers and Mathematics with Applications. — 2010. -Vol. 60. - № 6. - P. 1620-1632

54. Hohage, T. Convergence of infinite element methods for scalar waveguide problems / T. Hohage, L. Na.nnen // BIT Numerical Mathematics. -2015. - Vol. 55. - P. 215-254.

55. Huang, Y.-Z. Analysis of mode characteristics for equilateral triangle semiconductor microlasers with imperfect boundaries / Y.-Z. Huang, Q.-Y. Lu, W.-H. Guo, L.-J. Yu // IEEE Proceedings: Optoelectronics. — 2004. -Vol. 151. - № 4. - P. 202-204.

56. Huang, Y.-Z. Mode characteristics for equilateral triangle optical resonators / Y.-Z. Huang, Q. Chen, W.-H. Guo, Q.-Y. Lu, L.-J. Yu // IEEE Journal on Selected Topics in Quantum Electronics. — 2006. — Vol. 12. -№ 1. - P. 59-65.

57. Huang, Y. Efficient method for lasing eigenvalue problems of periodic structures / Y. Huang, Y.Y. Lu // Journal of Modern Optics. — 2014. -Vol. 61. - № 5. - P. 390-396.

58. Kartchevski, E.M. Mathematical analysis of the generalized natural modes of an inhomogeneous optical fiber / Kartchevski E.M., Nosich A.I., Hanson G.W. // SIAM Journal on Applied Mathematics. - 2005. - Vol. 65. -№ 6. - P. 2033-2048.

59. Karma, O. Approximation in eigenvalue problems for holomorphic Freclholm operator functions, I/O. Karma, // Numerical Functional Analysis and Optimization. - 1996. - Vol. 17. - № 3-4. - P. 365-387.

60. Karma, O. Approximation in eigenvalue problems for holomorphic Freclholm operator functions, II: Convergence rate / O. Karma, // Numerical Functional Analysis and Optimization. — 1996. — Vol. 17. — № 3-4. -P. 389-408.

61. Kimeswenger, A. Coupled finite and boundary element methods for fluid-solid interaction eigenvalue problems / A. Kimeswenger, O. Steinbach, G. Unger // SIAM Journal on Numerical Analysis. — 2014. — Vol. 52, № 5, P. 2400-2414.

62. Kozlov, V. Differential equations with operator coefficients with applications to boundary value problems for partial differential equations / V. Kozlov, V. Ma.z'ya. — Springer Monographs in Mathematics, 1999. -444 p.

63. Kress, R. Linear Integral Equations / R. Kress. — Springer-Verlag New York, 1999. - 367 p.

64. Kurdoglyan, M.S. Unidirectional lasing from a microcavity with a rounded isosceles triangle shape / M.S. Kurdoglyan, S.-Y. Lee, S. Rim, C.-M. Kim // Optics Letters. - 2004. - Vol. 29. - № 23, P. 2758-2760.

65. Lebental, M. Directional emission of stadium-shaped microlasers / M. Lebental, J.S. La.uret, J. Zyss, C. Schmit, E. Bogomolny // Physical Review A - Atomic, Molecular, and Optical Physics. — 2007. — Vol. 75. - № 3. -P. 033806/5.

66. Lee, S.-Y. Resonance patterns in a stadium-shaped microcavity / S.-Y. Lee, M.S. Kurdoglyan, S. Rim, C.-M. Kim // Physical Review A - Atomic, Molecular, and Optical Physics. - 2004. - Vol. 70. - № 2. - P. 023809/8.

67. Lozenko, S. Enhancing performance of polymer-based microlasers by a pedestal geometry / S. Lozenko, N. Djellali, I. Gozhyk, C. Delezoide, J. La.utru, C. Ulysse, J. Zyss, M. Lebental // Journal of Applied Physics. -2007. - Vol. 111. - № 10. - P. 103116/10.

68. Mennicken, R. Root functions, eigenvectors, associated vectors and the inverse of a holomorphic operator function / R. Mennicken, M. Moller // Archiv cler Mathematik. - 1984. - Vol. 42. - № 5. - P. 455-463.

69. Mock, A. First principles derivation of microcavity semiconductor laser threshold condition and its application to FDTD active cavity modeling / A. Mock // Journal of the Optical Society of America, B: Optical Physics. -2010. - Vol. 27. - № 11. - P. 2262-2272.

70. Michael, C.P. Optical material characterization using microdisk cavities: Ph.D. thesis (California Institute of Technology). —2009.

71. Muller, C. Foundations of the Mathematical Theory of Electromagnetic Waves / C. Muller. — Springer Berlin Heidelberg, 1969. — 353 p.

72. Neumaier, A. Residual inverse iteration for the nonlinear eigenvalue problem / Neumaier A. // SIAM Journal on Numerical Analysis. — 1985. -Vol. 22. - № 5. - P. 914-923.

73. Nezhad, M.P. Room-temperature subwa.velength metallo-clielectric lasers / M.P. Nezhad, A. Simic, O. Bonclarenko, B. Slutsky, A. Mizra.hi, L. Feng, V. Lomakin, Y. Fainman // Nature Photonics. — 2010. — Vol. 4. — № 6. -P. 395-399.

74. Nockel, J.U. Chaotic light: a theory of asymmetric resonant cavities / J.U. Nockel, A.D. Stone; edited by R. K. Chang and A. J. Campillo. — advanced Series in Applied Physics, World Scientific, Singapore, 1995. — Vol. 3. -P. 389-426

75. Nockel, J.U. 2-D microcavities: theory and experiments //Nockel J.U., Chang R.K.; edited by van Zee, R.D., Looney, J.P. — Cavity-Enhanced Spectroscopies. Academic Press, 2002. — P. 185-226

76. Nojima, S. Theoretical analysis of feedback mechanisms of two-dimensional finite-sized photonic-crystal lasers / S. Nojima, // Journal of Applied Physics. - 2005. - Vol. 98. - № 4. - P. 043102/9.

77. Nosich, A.I. Trends in microdisk laser research and linear optical modeling / A.I. Nosich, E.I. Smotrova, S.V. Boriskina, T.M. Benson, P. Sewell // Optical and Quantum Electronics. - 2007. - Vol. 39. - № 15. - P. 12531272.

78. Qiu, M. Effective index method for heterostructure-slab-waveguicle-basecl two-dimensional photonic crystals / M. Qiu // Applied Physics Letters. -2002. - Vol. 81. - № 7. - P. 1163-1165.

79. Pallav, R.R. The Collocation method with parabolic splines for integral equations with singularities / R.R. Pallav, A.A. Pecla.s A.A. // Differential Equations. - 2003. - Vol. 39. - № 9. - P. 1343-1352.

80. Redding, B. Local Chirality of Optical Resonances in Ultrasmall Resonators / B. Redding, L. Ge, Q. Song, J. Wiersig, G.S. Solomon, H. Cao // Physical Review Letters. - 2012. - Vol. 108. - № 25. - P. 253902/5.

81. Rogobete, L. Spontaneous emission in a subwavelength environment characterized by boundary integral equations / L. Rogobete, C. Henkel // Physical Review A - Atomic, Molecular, and Optical Physics. — 2004. -Vol. 70. - № 6. - P. 063815/10.

82. Scheuer, J. InGaAsP Annular Bragg Lasers: Theory, Applications, and Modal Properties / J. Scheuer, W.M.J. Green, G.A. DeRose, A. Ya.riv // IEEE Journal on Selected Topics in Quantum Electronics. — 2005. -Vol. 11. - № 2. - P. 476-484.

83. Schwefel, H.G.L. Dramatic shape sensitivity of directional emission patterns from similarly deformed cylindrical polymer lasers / H.G.L. Schwefel, N.B. Rex, H.E. Tiireci, R.K. Chang, A. Douglas Stone, T. Ben-Messaoucl, J. Zyss // Journal of the Optical Society of America, B: Optical Physics. -2004. - Vol. 21. - № 5. - P. 923-934.

84. Schwefel, H.G.L. Progress in asymmetric resonant cavities: using shape as a design parameter in dielectric microcavity lasers / H.G.L. Schwefel, H.E. Tiireci, A. Douglas Stone, R.K. Chang; edited by K. Vahala. — Optical Microca.vities, — World Scientific, Singapore, 2004. — P. 415-496.

85. Seeley, R.T. Integral equations depending analytically on a parameter / R.T. Seeley // Neclerl. Akacl. Wetensch. Proc. Ser. A 65. - 1962. - Inclag. Math. 24. - P. 434-442.

86. Shekhter, R.I. Subwavelength terahertz spin-flip laser based on a magnetic point-contact array / R.I. Shekhter, A.M. Kadigrobov, M. Jonson, E.I. Smotrova, A.I. Nosich, V. Korenivski // Optics Letters. — 2011. Vol. 36. - № 12. - P. 2381-2383.

87. Shinohara, S. Ray-wave correspondence in limagon-shapecl semiconductor microcavities / S. Shinohara, M. Hentschel, J. Wiersig, T. Sasaki, T. Harayama // Physical Review A - Atomic, Molecular, and Optical Physics. - 2009. - Vol. 80. - № 3. - P. 031801/4.

88. Smotrova, E.I. Mathematical study of the two-dimensional lasing problem for the whispering-gallery modes in a circular dielectric microcavity / E.I. Smotrova, A.I. Nosich // Optical and Quantum Electronics. — 2004. -Vol. 36. - № 1. - P. 213-221.

89. Smotrova, E.I. Cold-cavity thresholds of microdisks with uniform and nonuniform gain: qua,si-3-D modeling with accurate 2-D analysis / E.I. Smotrova, A.I. Nosich, T.M. Benson, P. Sewell // IEEE Journal on Selected Topics in Quantum Electronics. - 2005. - Vol. 11. - № 5. - P. 1135-1142.

90. Smotrova, E.I. Optical coupling of whispering gallery modes in two identical microdisks and its effect on the lasing spectra and thresholds / E.I. Smotrova, A.I. Nosich, T. Benson, P. Sewell // IEEE Journal on Selected Topics in Quantum Electronics. - 2006. - Vol. 12. - № 1. - P. 78-85.

91. Smotrova, E.I. Threshold reduction in a cyclic photonic molecule laser composed of identical microdisks with whispering gallery modes / E.I. Smotrova, A.I. Nosich, T.M. Benson, P. Sewell // Optics Letters. - 2006. -Vol. 31. - № 7. - P. 921-923.

92. Smotrova, E.I. Ultralow lasing thresholds of the 7r-type supermocles incyclic photonic molecules composed of sub-micron disks with monopole and clipole modes / E.I. Smotrova, A.I. Nosich, T.M. Benson, P. Sewell // IEEE Photonics Technology Letters. - 2006. - Vol. 18. - № 19. - P. 19931995.

93. Smotrova, E.I. Lasing frequencies and thresholds of the clipole-type supermocles in an active microdisk concentrically coupleclwith a passive microring / E.I. Smotrova, T.M. Benson, P. Sewell, J. Ctyroky, A.I. Nosich // Journal of the Optical Society of America, A: Optics and Image Science, and Vision. - 2008. - Vol. 25. - № 11. - P. 2884-2892.

94. Smotrova, E.I. Optical fields of the lowest modes in a uniformly active thin sub-wavelength spiral microca.vity / E.I. Smotrova, T.M. Benson, J. Ctyroky, R. Saulea.u, A.I. Nosich // Optics Letters. - 2009. - Vol. 34. -№ 24. - P. 3773-3775.

95. Smotrova, E.I. Electromagnetic fields and emission thresholds of standalone and coupled two-dimensional dielectric resonators with active regions : а.втореф. дис. ... канд.физ.-мат.: 01.04.03 /Smotrova, Elena Ivanovna. -Kharkov, Ukraine, 2010. — 16 c.

96. Smotrova, E.I. Optical theorem helps understand thresholds of la.sing in microca.vities with active regions / E.I. Smotrova, V.O. Byelobrov, T.M. Benson, J. Ctyroky, R. Sauleau, A.I. Nosich // IEEE Journal of Quantum Electronics. - 2010. - Vol. 47. - № 1. - P. 20-30.

97. Smotrova, E.I. Spectra, thresholds, and modal fields of a kite-shaped microca.vity laser / E.I. Smotrova, V. Tsvirkun, I. Gozhyk, C. Lafargue, C. Ulysse, M. Lebental, A.I. Nosich // Journal of the Optical Society of America B: Optical Physics. - 2013. - Vol. 30. - № 6. - P. 1732-1742.

98. Smotrova, E.I. Optical coupling of an active microdisk to a passive one: Effect on the la.sing thresholds of the whispering-gallery supermocles / E.I. Smotrova, A.I. Nosich // Optics Letters. - 2013. - Vol. 38. - № 12. -P. 2059-2061.

99. Solov'ev, S.I. Eigenvibra.tions of a beam with elastically attached load / Solov'ev S.I. // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2016. — Vol. 37. -№ 5. - P. 597-609.

100. Spiriclonov, A.O. Spectra, thresholds, and modal fields of a circular microca.vity laser transforming into a. square / A.O. Spiriclonov, E.M. Ka.rchevskii, A.I. Nosich // International Conference on Transparent Optical Networks. - 2015. - Art. № 7193654. - 4 p.

101. Spiriclonov, A.O. Analytical regulariza.tion of a. generalized eigenwa.ve problem for weakly guiding step-index optical fibers by Muller boundary integral equations / A.O. Spiriclonov, E.M. Ka.rchevskii, A.I. Nosich //

Proceedings of the International Conference Days on Diffraction. — 2015. -Art. № 7354886. - P. 327-332.

102. Spiriclonov, A.O. Symmetry accounting helps solve the Lasing Eigenvalue Problems for optical microcavities / A.O. Spiriclonov, E.M. Karchevskii // International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory. - 2016. - Art. № 7544043. - P. 240-243.

103. Spiriclonov, A.O. Field patterns of whispering-gallery and bow-tie modes of elliptic microcavity lasers with circular active regions / A.O. Spiriclonov, E.M. Karchevskii // International Conference on Transparent Optical Networks. - 2016. - Art. № 7550639. - 4 p.

104. Spiriclonov, A.O. Mathematical and numerical analysis of the spectral characteristics of dielectric microcavities with active regions / A.O. Spiriclonov, E.M. Karchevskii // Proceedings of the International Conference Days on Diffraction. - 2016. - Art. № 7756880. - P. 390395.

105. Spiriclonov, A.O. Symmetry accounting in the integral-equation analysis of lasing eigenvalue problems for two-dimensional optical microcavities / A.O. Spiriclonov, E.M. Karchevskii, A.I. Nosich // Journal of the Optical Society of America B. - 2017. - Vol. 34. - № 7. - P. 1435-1443.

106. Steinbach, O. A boundary element method for the Dirichlet eigenvalue problem of the Laplace operator / O. Steinbach, G. Unger // Numerische Mathematik. - 2009. - Vol. 113. - № 2. - P. 281-298.

107. Steinbach, O. Convergence analysis of a Galerkin boundary element method for the Dirichlet Laplacian eigenvalue problem / O. Steinbach, G. Unger // SIAM Journal on Numerical Analysis. — 2012. — Vol. 50. -№ 2. - P. 710-728.

108. Steinbach, O. Combined boundary integral equations for acoustic scattering-resonance problems / O. Steinbach, G. Unger // Mathematical Methods in the Applied Sciences. - 2017. - Vol. 40. - № 5. - P. 1516-1530.

109. Steinberg, S. Meromorphic families of compact operators / S. Steinberg // Archive for Rational Mechanics and Analysis. — 1968. — Vol. 31. — № 5. -R 372-379.

110. Ta.flove, A., Computational Electrodynamics the Finite-Difference TimeDomain Method / A. Taflove, S.C. Hagness; Third Edition, — Artech House, London, 2005. — 1006 p.

111. Türeci, H.E. Modes of wave-chaotic dielectric resonators / H.E. Türeci, H.G.L. Schwefel, P. Jacquocl, A. Douglas Stone // Progress in Optics. -

2005. - Vol. 47. - P. 75-137.

112. Vainikko, G. Multidimensional Weakly Singular Integral Equations / G.Vainikko. — Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1993. — 168 p.

113. Wencllancl, W. Bemerkungen tiber die Freclholmschen Sa.tze / W. Wencllancl; in: Methoclen u. Verfahren cl. Mathematischen Physik B.l. Verlag Mannheim 3, 1970. - P. 141-176.

114. Wiersig, J. Boundary element method for resonancesin dielectric microcavities / J. Wiersig // Journal of Optics A: Pure and Applied Optics. - 2003. - Vol. 5. - № 1. - P. 53-60.

115. Wiersig, J. Hexagonal dielectric resonators and microcrystal lasers / J. Wiersig // Physical Review A - Atomic, Molecular, and Optical Physics. -2003. - Vol. 67. - P. 023807/12.

116. Wiersig, J. Formation of long-lived, scarlike modes near avoided resonance crossings in optical microcavities / J. Wiersig // Physical Review Letters. -

2006. - Vol. 97. - № 25. - P. 253901/4.

117. Wiersig, J. Asymmetric scattering and nonorthogonal mode patterns in optical microspirals / J. Wiersig, S.W. Kim, M. Hentschel // Physical Review A - Atomic, Molecular, and Optical Physics. — 2008. — Vol. 73. -№ 5, P. 053809/8.

118. Yang, Y.-D. Mode characteristics and directional emission for square microcavity lasers / Y.-D. Yang, Y.-Z. Huang // Journal of Physics D: Applied Physics. - 2016. - Vol. 49. - № 25. - P. 253001/18.

119. Zolotukhina, A.S. Comparison of the lasing modes of a microdisk and a microring / A.S. Zolotukhina, A.O. Spiriclonov, E.M. Karchevskii, A.I. Nosich // International Conference on Transparent Optical Networks. -

2015. - Art. №7193655. - 4 p.

120. Zolotukhina, A.S. Lasing modes of a microdisk with a ring gain area and of an active microring / A.S. Zolotukhina, A.O. Spiriclonov, E.M. Karchevskii, A.I. Nosich // Optical and Quantum Electronics. — 2015. — Vol. 47. -№ 12. - P. 3883-3891.

121. Zolotukhina, A.S. Application of the optical theorem to the analysis of lasing thresholds in microlasers with ring-like active regions / A.S. Zolotukhina, A.O. Spiriclonov, E.M. Karchevskii // International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory.

2016. - Art. № 7544071. - P. 157-160.

122. Zolotukhina, A.S. Comparison of mode thresholds in microdisk and microring lasers with uniform and non-uniform gain profiles / A.S. Zolotukhina, A.O. Spiriclonov, E.M. Karchevskii // International Conference on Transparent Optical Networks. — 2016. — Art. № 7550649. -4 p.

123. Zolotukhina, A.S. Electromagnetic analysis of optimal pumping of a microdisk laser with a ring electrode / A.S. Zolotukhina, A.O. Spiriclonov, E.M. Karchevskii, A.I. Nosich // Applied Physics B: Lasers and Optics. -

2017. - Vol. 123. - № 1. - Art. № 32. - 6 p.

124. Zou C.-L., Schwefel H.G.L., Sun F.-W., Han Z.-F., Guo G.-C. Quick root searching method for resonances of dielectric optical microca.vities with the boundary element method / C.-L. Zou, H.G.L. Schwefel, F.-W. Sun, Z.-F. Han, G.-C. Guo // Optics Express. - 2011. - Vol. 19. - № 17. - P. 1566915678.