Математические модели и метод коллокации в теории слабонаправляющих диэлектрических волноводов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Фролов, Александр Геннадьевич

• Фролов, Александр Геннадьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Фролов, Александр Геннадьевич

Оглавление

Введение

Глава 1. Задачи о собственных волнах слабонаправляющих волноводов в однородной среде, полупространстве и слоистой среде

§1. Постановки задач

§ 2. Локализация собственных значений

§ 3. Интегральные представления собственных функций

§ 4. Дискретность характеристических множеств и зависимость характеристических значений (3 от параметра ш

§ 5. Существование поверхностных волн

Глава 2. Метод коллокации решения спектральных задач для двумерных слабо сингулярных интегральных уравнений

§1. Метод коллокации решения линейных задач

§ 2. Численное решение задач о поверхностных волнах

§3. Метод коллокации решения нелинейных задач

§ 4. Численное решение задач о вытекающих волнах

§ 5. Программный комплекс

Приложение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели и метод коллокации в теории слабонаправляющих диэлектрических волноводов»

Введение

Для оптоэлектроники последние годы характерны изучением и техническим освоением миниатюрных интегральных оптических схем (при изготовлении которых используются нано-материалы [43]) вместо классических электрических [21] и бурным развитием оптических телекоммуникационных технологий передачи данных на большие расстояния [52]. В проектировании и анализе современных оптических волноводных структур важную роль играет математическое моделирование и применение средств вычислительной техники [84]. На этом пути возникают задачи теории диэлектрических (оптических) волноводов [54].

Задачи о собственных волнах диэлектрических волноводов являются задачами поиска частных решений уравнений Максвелла в виде бегущих волн в неограниченных областях, удовлетворяющих условиям сопряжения на границах раздела сред и соответствующим условиям на бесконечности [18], [53]. В диссертации задачи о собственных волнах диэлектрических волноводов, находящихся в однородной среде, полупространстве и плоско-слоистой среде, решаются в скалярном приближении слабонаправляющих волноводов [54]. Несмотря на относительную простоту, это приближение широко используется при математическом моделировании оптических волноводов (см., напр., [9], [18], [30], [35], [36], [54]).

Наиболее полная информация получена о решениях относительно простой задачи о собственных волнах волновода кругового поперечного сечения с постоянным показателем преломления, находящегося в однородной окружающей среде [54]. Хорошо изучены свойства поверхностных собственных волн такого волновода. Собственные функции задачи (амплитуды собственных волн) в этом случае отвечают ко-

нечному числу собственных значений (постоянных распространения), принадлежащих ограниченному интервалу вещественной оси. Отличительными особенностями поверхностных собственных волн являются экспоненциальное убывание на бесконечности их амплитуд и симметричность соответствующего дифференциального оператора.

В работе Б.З. Каценеленбаума [34] на основе анализа характеристического уравнения, полученного методом разделения переменных, было доказано существование другого типа собственных волн цилиндрического диэлектрического волновода кругового поперечного сечения с постоянным вещественным показателем преломления. Они получили название вытекаюших. Вытекающие собственные волны имеют экспоненциально возрастающие на бесконечности амплитуды. При рассмотрении задач о вытекающих собственных волнах возникают несамосопряженные дифференциальные операторы, а соответствующие постоянные распространения являются комплексными.

Важно отметить, что, как было доказано в работе [34], постоянные распространения собственных волн указанных двух типов непрерывно зависят от радиуса волновода, показателей преломления волновода и окружающей среды, частоты электромагнитных колебаний. С их изменением собственные волны могут трансформироваться из одного типа в другой.

Несколько десятилетий значительные усилия исследователей были направлены на построение алгоритмов расчета поверхностных собственных волн. Разработано большое количество методов, приспособленных для областей специальной формы. Так, для расчета диэлектрических волноводов неоднородного заполнения с поперечным сечением, близким к круговому, широкое применение нашли лучевой метод, метод нормальных волн и асимптотические методы [17], [54]. Известно точное решение задачи о собственных волнах однородного диэлектрического волновода эллиптического поперечного сечения,

полученное методом разделения переменных [41].

Для расчета волноводов с произвольным контуром поперечного сечения применялся метод коллокации (в дифференциальной постановке) [80], [81], вариационные методы [5], [9], [10] и различные модификации метода частичных областей [5], [6], [15], [38], [58], [87], [93].

Для решения задач о поверхностных собственных волнах диэлектрических волноводов с неоднородным заполнением применялся метод конечных разностей [1], [22], [50], [51].

В работах [23], [42], [79] для расчета поверхностных собственных волн диэлектрических волноводов с постоянным показателем преломления применялись граничные интегральные уравнения, построенные на основе формулы Грина. Теоретического обоснования этого метода в указанных работах проведено не было.

Основное внимание исследователей прежде всего было направлено на построение алгоритмов, анализ и интерпретацию полученных численных результатов. Важные и сложные вопросы существования решений, сходимости применяемых численных методов либо не рассматривались, либо оставались исследованными недостаточно подробно.

Наибольшего прогресса при численном решении задач о поверхностных собственных волнах линейных изотропных волноводов в однородной окружающей среде, по-видимому, удалось достичь Р.З. Дау-тову и Е.М. Карчевскому на пути применения и обоснования метода точных нелокальных граничный условий [18]. Этот метод оказался чрезвычайно эффективным и при исследовании существования решений указанных задач.

В работах С.И. Соловьева [94], Е.М. Карчевского и С.И. Соловьева [56] предложен другой метод исследования разрешимости этих задач, основанный на специальных вариационных постановках на всей плоскости. Эти постановки позволили применить для анализа методы спектральной теории вполне непрерывных операторов. Благода-

ря работам Р.З Даутова, Е.М. Карчевского [18], С.И. Соловьева [94], Е.М. Карчевского и С.И. Соловьева [56] можно утверждать, что теория разрешимости задач о поверхностных собственных волнах линейных изотропных волноводов в однородной окружающей среде построена с исчерпывающей полнотой.

Однако, многие важные для приложений вопросы, связанные с анизотропией, нелинейностью сред, распространением электромагнитных волн в неоднородных неограниченных областях, вытеканием энергии в окружающую среду остаются еще относительно слабо изученными.

Достаточно эффективные и универсальные алгоритмы решения задач дифракции в бесконечных областях основаны на переходе к интегральным уравнениям [88], [39], [37], [48]. Такой подход позволяет, в частности, точно учесть поведение решений задач дифракции на бесконечности. Он применим для нелинейных и анизотропных сред. Разработке и обоснованию численных методов решения интегральных уравнений теории дифракции посвящено большое количество работ (см., напр., [4], [ИЦ14], [24], [26], [27], [37], [40], [45], [46], [48], [69]).

Применительно к спектральной теории диэлектрических волноводов метод интегральных уравнений значительное развитие получил в работах Ю.Г. Смирнова и его учеников (см. [53] и цитированную там литературу). Для задач о поверхностных собственных волнах нелинейных волноводов получены постановки в виде спектральных задач для нелинейных интегральных операторов. Доказано существование их решений методом сжимающих отображений и обоснованы итерационные методы приближенного1 решения.

В монографии Р.З. Даутова и Е.М. Карчевского [18] методом интегральных уравнений для ряда общих задач о (поверхностных и вытекающих) собственных волнах линейных волноводов, получены результаты о качественных свойствах спектра, разработаны и обоснованы численные алгоритмы решения спектральных задач для волново-

дов с постоянным показателем преломления, основанные на аппроксимации граничных интегральных уравнений методом Галеркина.

В этом контексте необходимо упомянуть и о близких спектральных задачах теории дифракции — задачах о собственных волнах щелевых и полосковых линий. В работах A.C. Ильинского, Ю.Г. Смирнова, Ю.В. Шестопалова, Е.В. Чернокожина (см. [28], [91] и цитированную там литературу) указанные задачи формулируются как задачи поиска характеристических чисел фредгольмовых голоморфных оператор-функций, полученные на основе метода интегральных уравнений. В работах этих авторов анализируются качественные свойства характеристического множества: локализация, дискретность, существование характеристических чисел. Исследования опираются на общую теорию нелинейных спектральных задач, развитую в работах [16], [33]. Предлагаются и исследуются проекционные методы расчета волноведущих структур. При обосновании численных методов используются результаты [2], [3] о проекционных методах решения нелинейных спектральных задач для фредгольмовых операторов.

Решения задач в указанных работах разыскивались в классах функций, удовлетворяющих на бесконечности парциальным условиям излучения. Парциальные условия излучения были введены А.Г. Свешниковым в работе [49]. Применение этих условий в задачах о собственных волнах слабонаправляющих диэлектрических волноводов позволяет разыскивать наряду с поверхностными и вытекающие собственные волны [18], [31], [77], [89].

Вытекающие собственные волны диэлектрических волноводов играют важную роль в анализе эффектов излучения и преобразования волн, возникающих в задачах о стыковке [86] и изгибе волноводов [97], а также в задачах излучения при анизотропии волноводов [92], [85].

В связи с этим в последнем десятилетии начали разрабатываться универсальные методы, предназначенные для расчета вытекающих волн. Так, в работе [72] для поиска вытекающих волн диэлектриче-

ских волноводов с постоянным показателем преломления применялся метод граничных интегральных уравнений. Интегральные представления решений, основанные на формуле Грина, в сочетании с методом конечных элементов использовались для расчета вытекающих собственных волн неоднородных диэлектрических волноводов в статье [73]. Доказательства сходимости предлагаемых методов в этих работах проведено не было.

Ранее подход, основанный на сочетании метода конечных элементов и интегрального представления решений вне области поперечного сечения волновода с использованием соответствующей функции Грина, применялся в статье [71] для поиска поверхностных собственных волн волноводов в плоско-слоистой среде. Важно отметить, что в этой работе не было проведено исследования сходимости метода, однако, было доказано существование решения задачи и изучены свойства собственных волн.

Известна физическая постановка задачи о поверхностных волнах слабонаправляющего волновода в плоско-слоистой среде (состоящей из двух слоев) в предположении о том, что показатель преломления слоя, в котором находится волновод, сильно отличается в большую сторону от показателя преломления второго слоя [9]. Это предположение приводит к задаче о собственных волнах слабонаправляющего волновода в полупространстве [9].

В работе Е.М. Карчевского и С.И. Соловьева [55] для исследования собственных волн неоднородных слабонаправляющих волноводов, удовлетворяющих парциальным условиям излучения, использовалось двумерное слабо сингулярное интегральное уравнение по области поперечного сечения волновода. В частном случае поверхностных волн соответствующий оператор самосопряженный. Это позволило доказать непустоту его спектра. Доказано, что характеристическое множество общей задачи о (поверхностных и вытекающих) собственных волнах может состоять лишь из изолированных точек соотвеству-

ющей оператор-функции, являющихся ее характеристическими значениями, непрерывно зависящими от неспектральных параметров.

Построенное в [55] уравнение может быть использовано и для численного решения задачи, например, методом коллокации. Это один из наиболее эффективных с точки зрения экономии вычислительных ресурсов методов решения линейных и нелинейных спектральных задач для многомерных интегральных уравнений [96].

Подводя итог, можно утверждать, что наибольшего прогресса в задачах о собственных волнах неоднородных слабонаправляющих волноводов удалось достичь при анализе поверхностных волн волноводов в однородной среде (доказано существование поверхностных волн, изучены их свойства, теоретически обоснован численный метод их поиска [18], [56]). Теоретически обоснованные методы расчета вытекающих волн волноводов, находящихся в однородной среде, могут быть разработаны на основе известной нелинейной спектральной задачи для двумерного слабо сингулярного интегрального уравнения [55]. Численные методы для задачи о поверхностных волнах волновода в плоско-слоистой среде развиты относительно слабо, однако вопросы существования и свойства ее решения хорошо изучены [71]. Для задачи о поверхностных волнах волновода в полупространстве известна лишь физическая постановка [9]. Постановка задачи о вытекающих собственных волнах волновода в полупространстве не известна, но эта задача может быть сформулирована аналогично задачам о собственных волнах щелевых и полосковых линий [28], [91].

Таким образом, проблемы исследования математических моделей спектральной теории слабонаправляющих диэлектрических волноводов являются весьма актуальными. Прежде всего, целью диссертационной работы является получение новой формулировки задачи и исследование в рамках единой математической модели свойств поверхностных и вытекающих собственных волн слабонаправляющего диэлектрического волновода, находящегося в полупространстве. Ак-

туальным является исследование вопросов существования решения этой задачи.

Актуальной является проблема разработки теоретически обоснованных общих методов вычисления собственных волн всех известных типов неоднородных слабонаправляющих диэлектрических волноводов, находящихся в однородной среде, полупространстве и плоскослоистой среде. Актуальной является проблема реализации этих методов в виде комплексов программ, тестирование и анализ эффективности методов.

В настоящей работе сформулирована нелинейная спектральная задача для двумерного слабо сингулярного интегрального уравнения, удобная для теоретического исследования и численного решения общей задачи о (поверхностных и вытекающих) собственных волнах неоднородного слабонаправляющего диэлектрического волновода, находящегося в полупространстве. Установлена эквивалентность этой задачи исходной спектральной задаче для уравнения Гельмгольца. Исследованы вопросы локализации и дискретности спектра.

Задачи о поверхностных волнах слабонаправляющих волноводов в однородной среде, полупространстве и плоско-слоистой среде эквивалентным образом сведены к параметрическим линейным спектральным задачам для интегральных операторов с симметричными, положительными, слабо полярными ядрами. Доказано существование решения задачи о поверхностных волнах волновода в полупространстве, проанализированы его свойства.

Построен и теоретически обоснован метод коллокации численного решения спектральных задач для двумерных слабо сингулярных интегральных уравнений: линейных, эквивалентных задачам о поверхностных волнах слабонаправляющих волноводов в однородной среде, полупространстве и плоско-слоистой среде; и нелинейных, эквивалентных общим спектральным задачам о (поверхностных и вытекающих) собственных волнах слабонаправляющих волноводов в од-

нородной среде и полупространстве.

Создан комплекс программ в системе МаШЬ. Решен ряд конкретных задач теории диэлектрических волноводов, проанализирована скорость сходимости и показана практическая эффективность предлагаемого метода путем сравнения решений с точными решениями и результатами, полученными другими авторами. Рассчитаны поверхностные и вытекающие собственные волны ряда неисследованных ранее волноводов в полупространстве и слоистой среде.

Диссертация состоит из введения двух глав и приложения. В первой главе исследуются спектральные задачи о собственных волнах слабонаправляющих диэлектрических волноводов в однородной среде, полупространстве и плоско-слоистой среде. В §1.1 приводятся постановки этих задач.

Сначала формулируется задача о собственных волнах волновода в однородной среде. Предполагается, что показатель преломления волновода незначительно отличается от показателя преломления окружающей среды настолько, что можно применить приближение слабонаправляющего волновода (см., напр., [9], [54]). В этом приближении исходная задача, сформулированная для системы уравнений Максвелла, сводится (см., напр., [18], с. 29) к скалярной.

Ненулёвая функция и Е 11а называется собственной функцией общей задачи (А) о собственных волнах волновода в однородной среде, отвечающей собственным значениям ш > 0 и /5 £ А, если (см. рис. 1, с. 31):

[Д+ (к2п2 - (32)]и = 0; жеПи^оо, (1)

, _ ди+ ди~~ иГ = и , = х е Г. (2)

Здесь О — ограниченная область на плоскости М2, Г € С1,а — граница О, область Поо = К2 \ О; к2 = ш2£о/10, £0 (/¿0) — электрическая (магнитная) постоянная; п{х) = тг^ > 0 при х € 0ОО) где Поо — постоянный показатель преломления окружающей среды;

функция п{х) > Поо при з; е О, п £ С1 (О) П С(О); £7д — множество функций, непрерывных и непрерывно дифференцируемых в П и дважды непрерывно дифференцируемых в О и Ооо, удовлетворяющих парциальным условиям излучения; Л — риманова поверхность функции 1п %(/?), где х(Р) = л/к2п1о — ^ — функция, аппроксимирующая в приближении слабонаправляющего волновода компоненты Н1 и Н2 комплексной амплитуды собственной волны.

Парциальные условия излучения заключаются в том, что функция и должна быть представима в виде абсолютно и равномерно сходящегося ряда, допускающего почленное дифференцирование до любого порядка:

оо

и = ^ а1Н11) М ехр (И<р), т^Я 0. (3)

1=—оо

Здесь До ~ такое положительное число, что И целиком лежит в круге радиуса Д0; Н^ — функция Ханкеля первого рода порядка I; г, (р — полярные координаты точки х.

Частота электромагнитных колебаний и, постоянная распространения ¡3 и отвечающая им собственная функция и однозначно определяют по явным формулам (см., напр., [18], с. 29) собственную волну, распространяющуюся в волноводе.

При любом фиксированном значении и > 0 функция из класса 17а может, как убывать, так и неограниченно возрастать на бесконечности. Это зависит того, какой области римановой поверхности А принадлежит соответствующая постоянная распространения /3.

Риманова поверхность А состоит из бесконечного числа листов, ее главный («физический») лист обозначается А^ и определяется следующими условиями:

-7г/2<агехО0)<Зтг/2, 1т(Х(/3))>0, ¡3 е . С листом Лг,1-1 соединяется лист Ад2'1, который называется «нефизиче-

ским» и определяется следующим образом:

—7Г/2 < &щх{(3) <37Г/2, 1ш (*(/?))< О, /3 <Е Л<2).

В задачах о собственных волнах слабонаправляющих волноводов принято различать поверхностные и вытекающие собственные волны (см., напр., [18], с. 26). Вещественным (5 £ К^, \Р\ > ^поо5 отвечают поверхностные волны (символом М^ обозначена вещественная ось листа Ад1-1). Для поверхностных волн 11е(х) = 0, а 1ш(х) = а > О, следовательно, амплитуда и любой поверхностной волны экспоненциально убывает на бесконечности:

и = ехр (—от) О (| , а > 0, г —> оо. (4)

Известно [7], что все производные такой функции также удовлетворяют парциальным условиям излучения (3), и, как следствие, условию (4).

Постоянные распространения (3 вытекающих волн принадлежат множеству Ад2'1 \ М.^ (символом обозначена вещественная ось листа Ад2'*). Амплитуды и вытекающих собственных волн экспоненциально возрастают на бесконечности потому, что для них 1ш(х) < 0.

Задаче (А) удовлетворяют амплитуды, и поверхностных, и вытекающих собственных волн. Наряду с общей задачей (А) в диссертации особое внимание уделяется ее частному случаю — задаче о поверхностных волнах. В §1.1 дается соответствующее определение. Символом ив обозначается множество вещественных функций непрерывных и непрерывно дифференцируемых в О и дважды непрерывно дифференцируемых в О и Ооо, удовлетворяющих условию (4). Ненулевая функция иеив называется собственной функцией задачи (В) о поверхностных собственных волнах слабонаправляющего волновода в однородной среде, отвечающей собственным значениям и > 0 и (3 > кпоо, если выполнены условия (1) и (2).

Затем формулируется общая задача о собственных волнах слабонаправляющего волновода, находящегося в полупространстве. По-

становка этой задачи возникает при поиске собственных волн волновода, находящегося в плоско-слоистой среде, состоящей из двух полупространств. Причем, следуя [9], предполагается, что показатель преломления волновода слабо отличается от показателя преломления Поо = const того полупространства, в котором он целиком находится, а Поо в свою очередь намного больше положительного постоянного показателя преломления второго полупространства.

Ненулевая функция и £ Uc, называется собственной функцией общей задачи (С) о собственных волнах слабонаправляющего волновода в полупространстве, отвечающей собственным значениям и > О и [3 £ Л, если (см. рис. 3, с. 39):

[А + (к2п2 — ¡32)] и = 0, seílUOoo; (5)

, _ ди+ ди~ и+ = и , = ser; (6)

и = 0, х2 = 0. (7)

Здесь Поо — {х £ М2 : х\ £ R, х2 > 0} \ П; Uc — множество функций, непрерывных и непрерывно дифференцируемых вОи Поо, дважды непрерывно дифференцируемых вПи Поо, удовлетворяющих парциальным условиям излучения вида

00

u=Y, aiHí1] М sin (1<р), Г > До, х2 > 0. (8)

1 = — 00

Множество вещественных функций, удовлетворяющих тем же свойствам гладкости, но на бесконечности, имеющих асимптотику (4), обозначается символом Uо-

Общей задаче (С) удовлетворяют амплитуды, и поверхностных, и вытекающих собственных волн волновода в полупространстве.

Ненулевая функция и £ Up называется собственной функцией задачи (D) о поверхностных собственных волнах слабонаправляющего волновода в полупространстве, отвечающей собственным значениям и > 0, (3 > кпоо, если выполнены условия (5)-(7).

В конце параграфа, следуя [71], формулируется задача (Е) о поверхностных волнах слабонаправляющего волновода в плоскослоистой среде. Ненулевая функция и eUe, называется собственной функцией этой задачи, отвечающей собственным значениям ш > О и (3 > кп0о, если (см. рис. 4, с. 41):

[А + (к2п2 — /?2)] « = 0, xe^UOoo; (9)

, ди+ ди~

и =и ' = W хег' (10)

диди~

и+ = и~, -— = -—, х2 = 0. (11)

ОХ2 ОХ2

Здесь Qoo = {ж G М2 : х\ е М, ^2 ^ 0} \ Q; i/^ — множество вещественных, непрерывных и непрерывно дифференцируемых в Q и Ооо, дважды непрерывно дифференцируемых в ft и Qoo функций, удовлетворяющих условию

|ii| ^ с ехр (—аг), с, а > 0, г > Ro. (12)

Предполагается, что область Q целиком лежит в нижней полуплоскости; показатель преломления п(х) = Поо = const при х £ fioo, х2 < 0, кроме того, п(х) = щ = const при х G ж2 > 0, где п^ > щ > 0.

В §1.2 исследуется локализация спектра поставленных задач. Сначала формулируется известное [55] утверждение о том, что при фиксированном ш > 0 на главном листе Ад1-* поверхности Л собственные значения (3 общей задачи (А) о собственных волнах волновода в однородной среде могут принадлежать лишь множеству

G = 1/3 € ^поо < \Р\ < кп+ >, п+ = тахп(х).

^ J xefi

Таким образом, при любой частоте и > 0 у общей задачи (А) о собственных волнах слабонаправляющего волновода в однородной среде на физическом листе Aglj не может находиться никаких иных собственных значений (3, кроме постоянных распространения поверхностных волн. Кроме того, если поверхностные волны существуют,

то их постоянные распространения обязательно принадлежат множеству О. Эти утверждения обобщают известные результаты (см., напр., [54]) о локализации спектра собственных волн слабонаправляющего диэлектрического волновода кругового сечения с постоянным показателем преломления, полученные на основе элементарного анализа характеристического уравнения метода разделения переменных.

Далее доказывается теорема 1.1 о том, что и в общей задаче (С) о собственных волнах слабонаправляющего волновода в полупространстве при фиксированном ш > 0 на главном листе Л^ поверхности Л собственные значения (3 могут принадлежать лишь множеству Доказательство основано на применении формул Грина.

Относительно локализации собственных значений задачи (Е) о поверхностных волнах волновода в слоистой среде известен [71] следующий результат: для любой частоты и> > 0 собственные значения (3 задачи (Е) должны удовлетворять условию (3 < кп+.

В §1.3 строятся интегральные представления собственных функций. Сначала формулируется известное [55] утверждение о том, что если и — собственная функция общей задачи (А) о собственных волнах слабонаправляющего волновода в однородной среде, отвечающая собственным значениям ш > 0, (3 Е Л, то

и(х) = J °а (ж, у) д2(у)и{у)йу, ж е М2, (13)

п

где С а (х, у) = {х \х — у\) — фундаментальное решение уравнение Гельмгольца, функция д2(у) — к2(п2(у) — п^).

Далее доказывается лемма 1.1 о том, что любая собственная функция общей задачи (С) о собственных волнах волновода в полупространстве, отвечающая собственным значениям и > 0, (3 € А, представляется в виде (13), где вместо фундаментального решения используется известная (см., напр., [28]) функция Грина задачи Дирихле для полуплоскости Сс{х,у). Доказательство основано на третьей формуле Грина.

Аналогично доказывается лемма 1.2 о том, что любая собственная функция задачи (Е1), отвечающая собственным значениям со > О, и ¡3 > кпоо, представляется в виде (13), где вместо фундаментального решения используется известная (см., напр., [71]) функция Грина задачи сопряжения (Те (ж, у). Из этого интегрального представления следует, в частности, что первые производные собственной функции экспоненциально убывают на бесконечности, а именно, удовлетворяют условию (12).

С уменьшением частоты электромагнитных колебаний ш постоянные распространения (3 волновода кругового перечного сечения с постоянным показателем преломления, находящегося в однородной окружающей среде, могут перемещаться с физического листа рима-новой поверхности Л на нефизический (см. с. 38). Другими словами, поверхностные собственные волны могут трансформироваться в вытекающие.

Такой же эффект наблюдается при расчете дисперсионных кривых различных волноводов, находящихся как в однородной среде, так и в полупространстве. Об этом подробно говорится в параграфе, посвященном описанию численных экспериментов. Поэтому для приложений важно теоретически изучить функции (3 = (3{ш). Это делается в §1.4 с привлечением методов спектральной теории оператор-функций.

В §1.4 методами спектральной теории фредгольмовых голоморфных оператор-функций изучается задача (С). При I £ О равенство вида (13) представляет собой интегральное уравнение, которое трактуется как уравнение

V = Х(ш)Тс(ш,13)у

(14)

в пространстве .£/2(О). Здесь

v = рщ р2(х) = —^ > О,

К~Поо

Л = к2 (п% - т4) > 0. (16)

где ядро Кс = Gc{x, у)р(х)р(у) — слабо полярно.

Доказывается теорема 1.2 об эквивалентности задач (С) и (14). Она состоит в том, что если и £ Uq является собственной функцией задачи (С), отвечающей некоторым собственным значениям ш > О и ß Е Л, то v = ри принадлежит пространству и дает нетри-

виальное решение уравнения (14) при тех же самых значениях параметров со и ß. С другой стороны, если при некоторых значениях ш и ß уравнение (14) имеет нетривиальное решение v £ то и = v/p

удовлетворяет равенству (13), принадлежит множеству Uc и является собственной функцией задачи (С), отвечающей тем же самым значениям си и ß.

Доказательство теоремы 1.2 опирается на известные свойства интегральных операторов со слабо полярными ядрами [8]. В ходе доказательства существенным образом используются требования гладкости контура Г и функции п в области О.

Далее вводится оператор-функция параметра ß:

C{u,ß) = I-\{u)Tc{uj:ß), (17)

где и) > 0 — фиксированный параметр, / — единичный оператор в L2^). Доказывается, что при ß £ Л оператор С(ш, ß) фредгольмов.

Основным результатом параграфа 1.4 является теорема 1.3. Она состоит в следующем. Регулярное множество оператор-функции C(üJ,ß) не пусто, а именно, Aq1^ \ G С р(С). Характеристическое множество оператор-функции C(u,ß) может состоять лишь из изолированных точек, являющихся характеристическими значениями оператор-функции C(uj,ß). Каждое характеристическое значение ß оператор-функции C(cü,ß) непрерывно зависит от параметра а; > 0. Кроме того, с изменением и > 0 характеристические значе-

ния оператор-функции С(си,(3) могут появляться и исчезать только на границе поверхности Л, т. е. в точках (3 = ±кпоо и на бесконечности.

Доказательство теоремы 1.3 основано на применении классических результатов теории фредгольмовых голоморфных оператор-функций, а именно, теоремы [16] об изолированности характеристических значений фредгольмовой голоморфной оператор-функции А(ш, ¡3) при наличии в области ее голоморфности хотя бы одной регулярной точки, и теоремы [95] о поведении характеристических значений (3 такой оператор-функции в зависимости от изменения вещественного параметра и в случае, если оператор-функция А([3,ш) является непрерывной функцией параметров (3 и ал

Теорема 1.3 обобщает известные результаты (см., напр., [54]) о зависимости постоянных распространения собственных волн слабонаправляющего диэлектрического волновода кругового сечения, находящегося в однородной среде, от частоты электромагнитных колебаний, полученные в результате анализа характеристического уравнения метода разделения переменных.

Изложение материала в этом параграфе начинается с формулировки известного [55] утверждения об эквивалентности общей задачи (Л) о собственных волнах слабонаправляющего волновода в однородной среде и аналогичной (14) задачи вида

у = \(и)ТА(и;,Р)у. (18)

Далее формулируется аналогичное теореме 1.3 известное [18] утверждение о свойствах решения задачи (18).

В §1.5 исследуются вопросы существования поверхностных волн волноводов в однородной среде, полупространстве и слоистой среде. Известно (см. [18], с. 168), что при любом ш > 0 у задачи (В) о поверхностных собственных волнах слабонаправляющего волновода в однородной среде существует конечное число собственных значе-

ний /3 £ (&Поо,&п+). Точно такой же результат известен [71] и для задачи (Е) о поверхностных волнах слабонаправляющего волновода в плоско-слоистой среде. Аналогичных результатов для задачи (В) о поверхностных волнах слабонаправляющего волновода в полупространстве не известно.

В §1.5 используется новый метод доказательства существования поверхностных волн слабонаправляющих волноводов. Он основан на сочетании трех эквивалентных формулировок для каждой из трех задач ((В), (В) и {Е)): исходной классической постановки (/), формулировки в виде спектральной задачи для интегрального оператора с симметричным слабо полярным ядром (II), вариационной формулировки задачи на всей плоскости или полуплоскости (III). Интегральные операторы с указанными свойствами являются самосопряженными и вполне непрерывными. Для доказательства положительной определенности этих операторов применяется формулировка (III) и эквивалентность постановок (/)-(///) для каждой задачи.

Такой подход конструктивен. Задачи (В), (В) и (Е) сводятся к параметрическим линейным спектральным задачам для вполне непрерывных, самосопряженных, положительно определенных интегральных операторов в ограниченной области поперечного сечения волновода. Во второй главе предлагаются и исследуются конечномерные аппроксимации указанных операторов.

Параграф 1.5 начинается с изучения задачи (В) о поверхностных собственных волнах слабонаправляющего волновода в однородной среде. Собственные функции и отвечают собственным значениям со > 0 и ¡3 > кпоо. В этом случае вещественная часть числа х равна нулю, а мнимая часть положительна: х — ¿с, где

а = ^(32 - к2г4 > 0. (19)

Доказывается, что при выполнении этого условия ядро интегрального оператора Та (а;, а) является не только слабо полярным, но так-

же симметричным и положительным. Этот оператор рассматривается как оператор Тв(<т), зависящий от параметра а, а задача (18) при фиксированных а > 0 — как линейная спектральная задача определения характеристических чисел Л и собственных функций v оператора Тв{<7):

v = ХТВ (a) v. (20)

Отметим, что введенные параметры имеют отчетливый физический смысл (см., напр., [54], [58]). Функция р2 называется «профилем волновода» (часто обозначается Р). Это основная характеристика среды, в которой распространяются собственные волны. Параметр в физической литературе обычно обозначается V. Он называется «обобщенным параметром частоты». Чем больше V, тем больше поверхностных собственных волн может распространяться в волноводе. Параметр о (часто обозначается kt) — «поперечное волновое число» — характеристика скорости затухания поверхностной волны на бесконечности. Чем меньше сг, тем меньше эта скорость (см. (4)).

Формулируется теорема 1.4 об эквивалентности задачи (В) и задачи (20). Эта теорема с учетом сделанных в §1.5 предположений, фактически, является частным случаем известного [55] утверждения об эквивалентности задачи (А) и задачи (18).

Затем доказывается теорема 1.5 о существовании решений задачи (20), а именно о том, что для любого а > 0 оператор Х#(<т) является вполне непрерывным, самосопряженным и положительно определенным, и для этого оператора справедливы следующие утверждения.

1. Существует счетное множество положительных характеристических чисел A¿(cr), г = 1,2,..., конечной кратности с единственной точкой накопления на бесконечности.

2. Система собственных функций может быть выбрана ор-тонормированной: (vk,vi) = где через (•, •) обозначено скалярное произведение в £2(0).

3. Минимальное характеристическое число А^сг) простое (кратность равна единице), соответствующая собственная функция У\(х) не меняет знака в области О.

4. А^а) —► 0 при а ->■ 0.

Доказательство проводится описанным выше методом и опирается на классические результаты теории интегральных операторов с симметричными полярными ядрами (см., напр., [8]), а также теории вполне непрерывных операторов (см., напр., [47]).

Отметим, что утверждения 1 и 2 могут быть получены на основе результатов Р.З. Даутова и Е.М. Карчевского [18]. В этой монографии существование решений задачи о поверхностных волнах слабонаправляющего волновода в однородной среде доказано методом точных нелокальных граничных условий. В силу эквивалентности рассматриваемых задач эти утверждения, по-существу, являются следствиями теоремы 7.32 [18]. Тем не менее, в диссертации приводится их доказательство на основе вариационной постановки задачи на всей плоскости. Такой подход используется и при исследовании разрешимости задач о поверхностных волнах волноводов в полупространстве и слоистой среде, для которых точные нелокальные граничные условия не известны.

Утверждение 3 есть следствие теоремы Ентча для интегральных операторов с полярными, симметричными, положительными ядрами. Утверждение 4 известно [55]. Минимальное характеристическое число Ах = А^сг) и отвечающая ему собственная функция при фиксированном о > 0 определяют собственную волну, которая в теории волноводов носит название основной. Таким образом, третье и четвертое утверждения можно сформулировать так: у волновода, находящегося в однородной среде, при любой частоте ш > 0 существует ровно одна основная волна.

Теорема 1.5 обобщает результаты [54] о существовании и свойствах поверхностных собственных волн слабонаправляющего диэлек-

трического волновода кругового сечения с постоянным показателем преломления, находящегося в однородной среде, полученные методом разделения переменных.

Далее исследуется существование решений задачи (И) о поверхностных волнах слабонаправляющего волновода в полупространстве. Доказывается, что при и > 0 и ¡3 > кп^ она сводится к решению задачи вида

у = \Ти(а)у, (21)

где ядро интегрального оператора Тр выражается через функцию Грина для полуплоскости и является слабо полярным, симметричным и положительным. Формулируется теорема 1.6 об эквивалентности этой задачи исходной задаче (I)), если параметры а и Л связаны с ш и /3 равенствами (16) и (19). Эта теорема является частным случаем теоремы 1.2.

Доказывается теорема 1.7 о существовании собственных волн волновода в полупространстве, а именно, о том, что для любого а > О оператор ТЬ(ст) является вполне непрерывным, самосопряженным и положительно определенным, и для этого оператора справедливы все утверждения, в точности повторяющие утверждения 1-3 теоремы 1.5. Четвертое утверждение формулируется следующим образом: существует такое положительное число с, что А^сг) —> с > 0 при сг 0. Доказательство теоремы 1.7 проводится аналогично доказательству теоремы 1.5.

Утверждение 4 этой теоремы устанавливает, что у слабонаправляющего волновода в полупространстве при достаточно малых ш не существует поверхностных собственных волн. В этом заключается принципиальное отличие спектральных характеристик волновода в полупространстве от волновода в однородной окружающей среде, у которого при любой частоте и > 0 существует, по крайней мере одна поверхностная собственная волна (основная).

Завершается §1.5 исследованием существования решений зада-

чи (Е) о поверхностных волнах слабонаправляющего волновода в слоистой среде. Доказывается, что при си > 0, (3 > кп^ > кщ интегральный оператор Те вида (15), где вместо фундаментального решения уравнения Гельмгольца используется функция Грина задачи сопряжения, имеет слабо полярное, вещественное и симметричное ядро. Ставится задача: найти значения а > О, А > 0 и ненулевые функции V £ 1/2(О), удовлетворяющие равенству

Формулируется теорема 1.8 об эквивалентности задачи (22) и исходной задачи (Е), если параметры а и А связаны с си и [3 равенствами (16) и (19). Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1.2. Далее фиксируется а > 0 и наряду с задачей (22) рассматривается следующая:

Ясно, что если при некотором А > 0 существует значение 7 = А и ненулевая функция V £ ¿2(0), удовлетворяющие равенству (23), то тройка сг, А, V есть решение задачи (22).

Доказывается теорема 1.9 о существовании решений задачи (23), а именно о том, что при а > О, А > 0 оператор Те (сг, А) является вполне непрерывным, самосопряженным и положительно определенным, и для этого оператора справедливы следующие утверждения.

1. Существует счетное множество положительных характеристических чисел 7г(сг, А), ¿ = 1,2,..., конечной кратности с единственной точкой накопления на бесконечности.

2. Система собственных функций {г>г} может быть выбрана орто-нормированной: (г'ь^г) —

Далее вводятся в рассмотрение функции 7^ = 7г(А) параметра А > 0, г = 1, 2,..., где 7г(А) — характеристические числа оператора Те (с, А), а > 0 — фиксированный параметр. Приводятся результаты расчетов конкретных волноводов в слоистой среде, полученные в

V = \ТЕ(ст, А)у.

(22)

V = 7ТЕ (а, А) V.

(23)

диссертации методом коллокации, показывающие, что графики этих функций пересекают прямую 7 = А.

Спектральные задачи о собственных волнах слабонаправляющих волноводов в однородной среде, полупространстве и слоистой среде сведены в первой главе к линейным (20), (21), (22), а также к нелинейным (14), (18), задачам поиска характеристических чисел двумерных слабо сингулярных интегральных операторов. Одним из эффективных численных методов решения подобных задач является метод коллокации [53], [96].

Во второй главе на основе метода коллокации с триангуляцией области интегрирования и кусочно-постоянной аппроксимацией собственных функций строятся приближения указанных задач. Для вычисления поверхностных и вытекающих собственных волн формулируются, соответственно, линейные и нелинейные алгебраические спектральные задачи. Исследуется сходимость метода, в частности, доказывается, что метод коллокации решения линейных задач имеет второй порядок точности при вычислении простых характеристических чисел.

§2.1 посвящен численному решению задач (20), (21) и (22). Строится правильная регулярная триангуляция 0/г области О (/?, — максимальный размер треугольника), вершины многоугольника принадлежат Г. Вводится сетка состоящая из центров масс элементов триангуляции ГХ^ (их число обозначается ТУ).

При фиксированных значениях параметров, от которых зависят интегральные операторы, приближенное решение задач (20), (21) и (22) разыскивается в виде кусочно-постоянной функции

где = 1, если х <Е lPj,h(x) = 0, если х Значе-

N

(24)

ния и^ь = иъ,(Лз,1г) определяются из уравнений

= / г = 1,..., N. (25)

Множество всех характеристических чисел оператора Т обозначается через вр(Т). Приближением по методу коллокации к числу А <е вр(Т) называется число \ = 1//л/г,, где ¡1% есть некоторое характеристическое число матрицы X\ с вещественными элементами

Множество всех таких чисел \ обозначается через 8р(Г/1).

Доказывается теорема 2.10, которая заключается в следующем. Пусть оператор Т определяется правой частью равенства (20) или (21) при фиксированном а > 0, либо равенства (22) при фиксированных А > 0 и о > 0. Тогда справедливы следующие утверждения.

1. Если Ао е вр(Т), то существует такое семейство А^ е ер (IX), что Ад —» Ао при К —» 0.

2. Если семейство А^ е вр(Т^) такое, что А^ —» Ао > 0 при Ъ —» 0, то А0 е 8р(Т).

3. Если показатель преломления п е С2(О), а характеристическое число Ао е ер(Т) простое, то существует такое Н > 0, что

Доказательство теоремы основывается на общих результатах теории дискретной сходимости проекционных методов решения линейных спектральных задач для многомерных интегральных операторов с полярными ядрами [96]. Доказательство довольно объемно и частично носит реферативный характер, поэтому в основной части диссертации приводится его схема, а подробное изложение вынесено в приложение.

|ад - а0| ^ сд2, к е (0, к).

В §2.2 описываются численные эксперименты решения линейных спектральных задач. Задача (25) сводится к обобщенной алгебраической задаче на собственные значения для симметричных вещественных матриц. Приводятся расчетные формулы для вычисления интегралов матричных элементов метода коллокации. Особое внимание уделяется вычислению диагональных элементов, имеющим логарифмическую особенность при совпадении аргументов; она выделяется аналитически.

Приводятся результаты численных экспериментов решения ряда конкретных задач спектральной теории диэлектрических волноводов. Полученные результаты сравниваются с известными точными решениями и решениями, полученными другими авторами, и оценивается реальная скорость сходимости метода в зависимости от Н. Во всех экспериментах демонстрируется второй порядок точности метода. Рассчитываются поверхностные волны ряда неисследованных ранее волноводов в полупространстве и слоистой среде.

§2.3 посвящен решению методом коллокации нелинейных спектральных задач (14) и (18). Пусть частота со > О фиксирована. Тогда общие задачи о собственных волнах слабонаправляющих волноводов в однородной среде и полупространстве имеют вид

где А — соответствующая фредгольмова, голоморфная по (3 £ А оператор-функция. Оператор Т аппроксимируется точно также, как описано в первом параграфе второй главы. Приближением по методу коллокации к решению задачи (26) называется решение нелинейной алгебраической спектральной задачи

Ан(и;,/3)ин = О,

где Аь(и},Р) — матрица с элементами, нелинейно зависящими от ¡3:

А(ш, Р)и = {I - Х(ш)Т(ш, (3))и = О,

(26)

Характеристическое множество оператор-функции А(ш,(3) обозначается символом сг(А). Через сг(Аь) обозначается множество характеристических чисел Рь Е Л матрицы Аь(и>,/3).

Доказывается теорема 2.11, которая заключается в следующем. Пусть частота си > 0 фиксирована; оператор-функция Т(и>,(3) параметра 0 £ Л определена равенством вида (15) с ядром, выражающимся через соответствующую функцию Грина; пусть А(ш, ¡3) — соответствующая оператор-функция параметра (3 £ Л определенная равенством (26). Тогда справедливы следующие утверждения.

1. Если (Зо <Е а(Л), то существует такое семейство /3/,. £ сг(Лд), что (Зь —> 0о при к —» 0.

2. Если семейство £ сг(Л^) такое, что 0ь —> 0О £ Л при к —> 0, то Д) £ сг(А).

3. Пусть семейство ^ е Л и семейство ид нормированных векторов такие, что £ сг(Л^), = 0 и 0к 0О, ин -»• при Л, 0. Тогда /?о £ сг(Л) и /?0)«о = 0, ||«о||£2(п) = 1-

Здесь через Е^ обозначено пространство сеточных функций со значениями в точках коллокации и максимум-нормой, р^ — соответствующий проектор.

Доказательство этой теоремы опирается на общие результаты [3] о проекционных методах решения нелинейных спектральных задач для фредгольмовых операторов.

В §2.4 описываются численные эксперименты поиска методом коллокации вытекающих собственных волн волноводов, находящихся в однородной среде и полупространстве. Для решения нелинейных конечномерных спектральных задач применяется метод обратных итераций с невязкой [90]. Приводятся результаты расчета дисперсионных кривых и линий уровня вытекающих собственных волн однородных и неоднородных волноводов различных сечений. Исследуется сходимость метода коллокации в зависимости от Н путем сравнения решений, полученных при разных /г, с известными точными решениями

и решениями, полученными на больших сетках. Эксперименты показывают, что метод имеет второй порядок точности. Приводятся результаты численных экспериментов поиска вытекающих собственных волн ряда неисследованных ранее волноводов в полупространстве.

В §2.5 описывается комплекс программ на языке МаНаЬ, в которых реализованы предложенные методы и алгоритмы. Программы позволяют строить дисперсионные кривые и находить амплитуды поверхностных и вытекающих собственных волн слабонаправляющих волноводов, находящихся в однородной среде, полупространстве и слоистой среде. Работоспособность программ иллюстрируется в широком диапазоне значений физических и расчетных параметров.

В приложении приводится подробное доказательство теоремы 2.10.

Основные результаты диссертации.

1. Сформулирована нелинейная спектральная задача для фред-гольмовой голоморфной оператор-функции, содержащей двумерный слабо сингулярный интегральный оператор, эквивалентная общей задаче о (поверхностных и вытекающих) собственных волнах слабонаправляющего волновода в полупространстве. Доказано, что для всех значений частоты электромагнитных колебаний характеристическое множество может состоять лишь из изолированных точек, являющихся характеристическими значениями. Установлено, что характеристические значения непрерывно зависят от частоты и могут появляться и исчезать лишь на границе области голоморфности оператор-функции.

2. Сформулированы параметрические задачи на собственные значения для интегральных операторов с симметричными, слабо полярными ядрами, эквивалентные задачам о поверхностных собственных волнах волноводов в однородной среде, полупространстве и плоскослоистой среде. Доказано, что для всех допустимых значений параметров у задачи о поверхностных волнах волновода в полупространстве существует счетное множество решений.

3. Разработан метод коллокации численного решения спектральных задач для двумерных слабо сингулярных интегральных уравнений: линейных, эквивалентных задачам о поверхностных волнах слабонаправляющих волноводов в однородной среде, полупространстве и плоско-слоистой среде; и нелинейных, эквивалентных общим задачам о (поверхностных и вытекающих) собственных волнах слабонаправляющих волноводов в однородной среде и полупространстве. Доказана сходимость метода коллокации решения линейных и нелинейных задач.

4. Метод коллокации реализован в виде комплекса программ на языке МаШЬ. Показана практическая эффективность предлагаемого метода. Численными экспериментами подтвержден теоретический результат о том, что метод имеет второй порядок скорости сходимости при вычислении простых характеристических чисел линейных задач; продемонстрировано, что метод имеет такую же скорость сходимости и при решении нелинейных задач.

Результаты диссертации докладывались на Международных научных конференциях ММЕТ (Киев, 2010 г.), «Дни дифракции» (Санкт-Петербург, 2011 г.), молодежных научных школах-конференциях «Лобачевские чтения» (Казань, 2010 и 2011 гг.), Всероссийской молодежной научно-инновационной школе «Математика и математическое моделирование» (Саров, 2010 г.), Международном семинаре «Супервычисления и математическое моделирование» (Саров, 2009 г.), на семинаре «Математическое моделирование и математическая физика» кафедры прикладной математики КФУ (руководитель — Н.Б. Плещинский), на итоговых конференциях КФУ 2011 и 2012 гг., на итоговых научно-образовательных конференциях студентов КФУ 2009, 2010 и 2011 гг. и опубликованы в [59]—[68], [74]-[76].

В совместных работах [59], [65], [66], [74]—[76] результаты принадлежат авторам в равной мере.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Фролов, Александр Геннадьевич, 2012 год

Литература

1. Боголюбов, А.Н. Расчет оптических волноводов методом конечных разностей [Текст] / А.Н. Боголюбов, И.В. Митина, А.Г. Свешников / / Математические модели прикладной электродинамики. - М.: Изд-во МГУ, 1984. - С. 136-155.

2. Вайникко, Г.М. О сходимости приближенных методов решения линейных и нелинейных операторных уравнений [Текст] / Г.М. Вайникко, О.О. Карма //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1974. - Т. 14. - № 4. - С. 828-837.

3. Вайникко, Г.М. О быстроте сходимости приближенных методов в проблеме собственных значений с нелинейным вхождением параметра [Текст] / Г.М. Вайникко, 0.0. Карма // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1974. - Т. 14. - № 6. - С. 1393-1408.

4. Васильев, E.H. Возбуждение тел вращения [Текст] / E.H. Васильев — М.: Радио и связь, 1987. — 272 с.

5. Васильев, E.H. Численные методы в задачах расчета диэлектрических волноводов, диэлектрических резонаторов и устройств на их основе [Текст] / E.H. Васильев, В.В. Солодухов // Моск. энерг. ин-т. Научн. тр. - 1983. - № 19. - С. 68-78.

6. Веселов, Г.И. Алгоритм расчета собственных волн открытого диэлектрического волновода произвольного сечения [Текст] / Г.И. Веселов, Г.Г. Воронин, Н.И. Платонов // Микроэлектронные радиотехнические устройства и техника СВЧ: сб. науч. тр. по проблемам микроэлектроники. — М.: МИЭТ, 1980. — С. 53-67.

7. Векуа, И.Н. О метагармонических функциях [Текст] / И.Н. Ве-куа // Труды Тбилисского Матем. ин-та. — 1943. — Т. 12. — С. 105-174.

8. Владимиров, B.C. Уравнения математической физики [Текст] /

B.C. Владимиров. — М.: Наука, 1976. — 527 с.

9. Войтович, H.H. Собственные волны диэлектрических волноводов сложного сечения [Текст] / H.H. Войтович, Б.З. Каценеленба-ум, А.Н. Сивов, А.Д. Шатров // Радиотехника и электроника. — 1979. - Т. 24. - № 7. - С. 1245-1263.

10. Войтович, H.H. Расчет диэлектрических волноводов сложного профиля методом наименьших квадратов [Текст] / H.H. Войтович // Радиотехника и электроника. — 1979. —- Т. 24. —- № 5. —

C. 1058-1060.

11. Вычислительные методы в электродинамике [Текст] / Под ред. Р. Миттры. — М.: Мир, 1977. - 485 с.

12. Габдулхаев, Б.Г. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений первого рода [Текст] / Б.Г. Габдулхаев. — Казань: Изд-во КГУ, 1994. - 288 с.

13. Габдулхаев, Б.Г. Численный анализ сингулярных интегральных уравнений. Избранные главы [Текст] / Б.Г. Габдулхаев. — Казань: Изд-во КГУ, 1995. - 231 с.

14. Галишникова, Т.Н. Численные методы в задачах дифракции [Текст] / Т.Н. Галишникова, A.C. Ильинский. — М.: Изд-во МГУ, 1987. - 208 с.

15. Гончаренко, A.M. Основы теории оптических волноводов [Текст] / A.M. Гончаренко, В.А. Карпенко. — Минск: Наука и техника, 1983. - 237 с.

16. Гохберг, И.Ц. Основные положения о дефектных числах, корневых числах и индексах линейных операторов [Текст] / И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн // Успехи матем. наук. — 1957. — Т. 12. — Вып. 2. - С. 44-118.

17. Дианов, Е.М. Волоконная оптика: проблемы и перспективы [Текст] / Е.М. Дианов // Вести. АН СССР. - 1989. - № 10. -С. 41-51.

18. Даутов, Р.З. Метод интегральных уравнений и точные нелокальные граничные условия в теории диэлектрических волноводов [Текст] / Р.З. Даутов, Е.М. Карчевский. — Казань: Казан, гос. ун-т, 2009. - 271 с.

19. Даутов, Р.З. Программирование МКЭ в МАТЬАВ. Учебное пособие [Текст] / Р.З. Даутов. — Казань: Казан, гос. ун-т, 2010. — 71 с.

20. Даутов, Р.З. Введение в теорию метода конечных элементов [Текст] / Р.З. Даутов, М.М. Карчевский. — Казань: Казан, гос. ун-т, 2004. - 239 с.

21. Ермаков, О.Н. Прикладная оптоэлектроника [Текст] / О.Н. Ермаков. — М.: Техносфера, 2004. — 416 с.

22. Завадский, В.Ю. Моделирование волновых процессов [Текст] / В.Ю. Завадский. - М.: Наука, 1991. — 248 с.

23. Захаров, Е.В. Метод расчета собственных волн диэлектрических волноводов произвольного сечения [Текст] / Е.В. Захаров, Х.Д. Икрамов, А.Н. Сивов // Вычислительные методы и программирование. — М.: Изд-во МГУ, 1980. - Вып. 32. - С. 71-85.

24. Захаров, Е.В. Численный анализ дифракции радиоволн [Текст] / Е.В. Захаров, Ю.В. Пименов. — М.: Радио и связь, 1982. — 184 с.

25. Ильинский, A.C. Математические модели электродинамики [Текст] / A.C. Ильинский, В.В. Кравцов, А.Г. Свешников. — М.: Высшая школа, 1991. — 224 с.

26. Ильинский, A.C. Развитие методов Тихонова в прикладной электродинамике [Текст] / A.C. Ильинский, А.Г. Свешников // Вестн. МГУ. Выч. математика и кибернетика. — 1986. — Вып. 3. — С. 2842.

27. Ильинский, A.C. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах (Псевдодифференциальные операторы в задачах дифракции) [Текст] / A.C. Ильинский, Ю.Г. Смирнов. — М.: ИПРЖР, 1996. - 176 с.

28. Ильинский, A.C. Применение методов спектральной теории в задачах распространения волн-[Текст] /A.C. Ильинский, Ю.В. Ше-стопалов. — М.: Изд-во МГУ, 1989. — 184 с.

29. Канторович, J1.B. Функциональный анализ [Текст] / JI.B. Канторович, Г.П. Акилов — М.: Наука, 1984. — 752 с.

30. Карчевский, Е.М. Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов: Учебное пособие [Текст] /Е.М. Карчевский. — Казань: Казан, гос. ун-т, 2008. — 140 с.

31. Карчевский, Е.М. Собственные моды диэлектрических волноводов с размытой границей [Текст] /Е.М. Карчевский, А.И. Носич, С.И. Соловьев // Задачи дифракции и сопряжение электромагнитных полей в волноводных структурах: труды Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. — Казань: НИММ им. Н.Г. Чеботарева, 2000. - С. 79-114.

32. Карчевский, М.М. Уравнения математической физики. Дополнительные главы: учебное пособие [Текст] /М.М. Карчевский, М.Ф. Павлова. — Казань: Казан, гос. ун.-т, 2007. — 212 с.

33. Като, Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като. — М.: Мир, 1972. - 740 с.

34. Каценеленбаум, Б.З. Симметричное и несимметричное возбуждение бесконечного диэлектрического цилиндра [Текст] / Б.З. Каценеленбаум // Журнал технической физики. — 1949. — Т. 19. — № 10. - С. 1168-1181.

35. Клеев, А.И. Численные методы расчета диэлектрических волноводов (волоконных световодов). Частные методы (обзор) [Текст] / А.И. Клеев, А.Б. Маненков, А.Г. Рожнев // Радиотехн. и электроника. - 1993. - Т. 38. - № 5. - С. 769-788.

36. Клеев, А.И. Численные методы расчета диэлектрических волноводов (волоконных световодов). Универсальные методики (обзор) [Текст] / А.И. Клеев, А.Б. Маненков, А.Г. Рожнев // Радиотехн. и электроника. - 1993. - Т. 38. - № И. - С. 1938-1968.

37. Колтон, Д. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния [Текст]/ Д. Колтон, Р. Кресс. — М.: Мир, 1987. — 312 с.

38. Кузнецов, В.А. Дисперсионные характеристики прямоугольного диэлектрического волновода [Текст] / В.А. Кузнецов, A.M. Jle-рер // Радиотехника и электроника. — 1982. — Т. 27. — № 4. — С. 651-657.

39. Купрадзе, В.Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения [Текст] / В.Д. Купрадзе. — M.-JL: Гостехиздат, 1950. - 280 с.

40. Лифанов, И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент в математической физике, аэродинамике, теории упругости и дифракции волн [Текст] / И.К. Лифанов. — М.: ТОО «Янус», 1995. - 519 с.

41. Любимов, Л.А. Диэлектрический волновод эллиптического сечения [Текст] / Л.А. Любимов, Г.И. Веселов, H.A. Бей // Радиотехника и электроника. - 1961. — Т. 51. — Вып. И. — С. 1871-1880.

42. Малов, A.B. Расчет собственных волн диэлектрических волноводов произвольного поперечного сечения методом интегральных уравнений [Текст] / A.B. Малов, В.В. Солодухов, A.A. Чурилин // Антенны. — М.: Радио и связь, 1984. — Вып. 31. — С. 189-195.

43. Мартинес-Дуарт, Дж.М. Нанотехнологии для микро- и оптоэлек-троники [Текст] / Дж.М. Мартинес-Дуарт, Р.Дж. Мартин-Палма, Ф. Агулло-Руеда. — М.: Техносфера, 2007. — 368 с.

44. Никифоров, А.Ф. Основы теории специальных функций [Текст] / А.Ф. Никифоров, В.Б. Уваров. — М.: Наука, 1974. - 303 с.

45. Панасюк, В.В. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции [Текст] / В.В. Панасюк, М.П. Саврук, З.Т. Назарчук. — Киев: Наук, думка, 1984. — 344 с.

46. Пресдорф, 3. Линейные интегральные уравнения [Текст] / 3. Пресдорф // Итоги науки и техники. Совр. проблемы математики. Фундаментальн. направления. — М.: ВИНИТИ АН СССР, 1988. - Т. 27. - С. 5-130.

47. Рисс, Ф. Лекции по функциональному анализу [Текст] / Ф. Рисс, Б. Секефальви-Надь. — М.: Мир, 1979. — 587 с.

48. Самохин, А.Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии [Текст] / А.Б. Самохин. — М.: Радио связь, 1998. - 160 с.

49. Свешников, А.Г. Принцип предельного поглощения для волновода [Текст] / А.Г. Свешников // Докл. АН СССР. - 1951. - Т. 80. -№ 3. - С. 345-347.

50. Свешников, А.Г. Применение метода конечных разностей к расчету световодов [Текст] / А.Г. Свешников, А.Н. Боголюбов // Вычисл. математика и прграммирование. — 1978. — Вып. 28. — С. 104-117.

51. Свешников, А.Г. Расчет плоского волновода-трансформатора конечно-разностным методом [Текст] / А.Г. Свешников, А.Н. Боголюбов // Вычисл. математика и прграммирование. — 1978. — Вып. 28. - С. 118-133.

52. Семенов, А.Б. Волоконно-оптиеские подсистемы современных СКС [Текст] / A.B. Семенов. — М.: Академия АйТи, ДМК Пресс, 2007. - 632 с.

53. Смирнов, Ю.Г. Математические методы исследования задач электродинамики [Текст] / Ю. Г. Смирнов. — Пенза: Информационно-издательский центр ПГУ, 2009. — 268 с.

54. Снайдер, А. Теория оптических волноводов [Текст] / А. Снайдер, Дж. Лав. — М.: Радио и связь, 1987. — 656 с.

55. Соловьев, С.И. Исследование спектральной задачи для оператора Гельмгольца на плоскости [Текст] / Е.М. Карчевский, С.И. Соловьев // Дифференц. уравнения. - 2000. - Т. 36. — № 4. — С. 563565.

56. Соловьев, С.И. Существование собственных значений спектральной задачи теории диэлектрических волноводов [Текст]/ Е.М. Карчевский, С.И. Соловьев // Известия вузов. Математика. — 2003. - № 3. - С. 78-80.

57. Стейн, И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций [Текст] / И. Стейн. — М.: Мир, 1973. — 342 с.

58. Унгер, Х.-Г. Планарные и волоконные оптические волноводы [Текст] / Х.-Г. Унгер. - М.: Мир, 1980. - 656 с.

59. Фролов, А.Г. Математическая модель диэлектрического волновода [Текст] / Е.М. Карчевский, Э.Р. Миниахметов, А.Г. Фролов // Супервычисления и математическое моделирование, XI международный семинар, 5-9 апреля 2009 г.: тезисы. — Саров: ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2009. - С. 75-76.

60. Фролов, А.Г. Задача о собственных волнах оптического волновода [Текст] / А.Г. Фролов // Итоговая научно-образовательная конференция студентов Казанского государственного университета

2009 года: сборник тезисов. — Казань: Казан, гос. ун-т, 2009. — С. 92-93.

61. Фролов, А.Г. Собственные волны градиентного волновода [Текст] / А.Г. Фролов // Итоговая научно-образовательная конференция студентов Казанского государственного университета

2010 года: сборник тезисов. — Казань: Казан, гос. ун-т, 2010. — С. 99-100.

62. Фролов, А.Г. Метод коллокации для решения спектральных задач теории диэлектрических волноводов [Текст] / А.Г. Фролов // Итоговая научно-образовательная конференция студентов Казанского университета 2011 года: сборник тезисов. — Казань: Казан, ун-т, 2011. - С. 104-105.

63. Фролов, А.Г. Собственные волны градиентного диэлектрического волновода [Текст] / А.Г. Фролов // Труды Математического центра имени Н.И.Лобачевского: Материалы Девятой молодёжной научной школы-конференции «Лобачевские чтения - 2010»; Казань, 1-6 октября 2010 г. — Казань: Казан, мат. о-во, 2010. — Т.40. - С. 353-357.

64. Фролов, А.Г. Метод коллокации поиска постоянных распространения слабонаправляющего диэлектрическго волновода

[Текст] / А.Г. Фролов // Труды Математического центра имени Н.И.Лобачевского: Материалы Десятой молодёжной научной школы-конференции «Лобачевские чтения - 2011»; Казань, 1-5 ноября 2011 г. — Казань: Казан, мат. о-во, 2011. — Т.44. — С. 324327.

65. Фролов, А.Г. Численное решение задачи о распространении электромагнитных волн в слабонаправляющих волноводах [Текст] / Е.М. Карчевский, А.Г. Фролов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. — 2011. — №1(17). — С. 47-57.

66. Фролов, А.Г. Собственные волны слабонаправляющего волновода в полупространстве [Текст] / Е.М. Карчевский, А.Г. Фролов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. — 2012. — №1(21). — С. 22-30.

67. Фролов, А.Г. Метод коллокации для спектральных задач теории диэлектрических волноводов [Текст] / А. Г. Фролов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. — 2012. — №2(22). — С. 3-15.

68. Фролов, А.Г. Метод коллокации для поиска собственных волн диэлектрического волновода [Текст] / А.Г. Фролов // Исследования по прикладной математике и информатике. — Казань: Изд-во Казан. федерал, ун-та, 2011. — Вып. 27. — С. 171-178.

69. Шестопалов, В.П. Матричные уравнения типа свертки в теории дифракции [Текст] / В.П. Шестопалов, A.A. Кириленко, С.А.. Ма-салов. — Киев: Наук, думка, 1984. — 296 с.

70. Янке, Е. Специальные функции [Текст] / Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш. - М.: Наука, 1968. - 344 с.

71. Bonnet-Ben Dhia, A.S. Computation of the modes of dielectric waveguides by finite elements coupled with an integral representation [Текст] / A.S. Bonnet-Ben Dhia, N. Gmati // Numerical Methods in Engineering. - 1992. - P. 73-77.

72. Boriskina, S.V. Highly Efficient Full-Vectorial Integral Equation Solution for the Bound, Leaky, and Complex Modes of Dielectric Waveguides [Текст] / S.V. Boriskina, T.M. Benson, P. Sewell, A.I. Nosich // IEEE Journal of Selected Topics in Quantum Electronics. - 2002. - V. 8. - N 6. - P. 1225-1232.

73. Eliseev, M.V. Analysis of Leaky Modes by a Modified Finite-Element Method [Текст] / M.V. Eliseev, A.B. Manenkov, A.G. Rozhnev // Journal of Communications Technology and Electronics. — 2006. — V. 51. - N 12. - P. 1329-1337.

74. Frolov, A. Natural modes of weakly guiding optical fiber [Электронный ресурс] / A. Frolov, E. Karchevskiy // International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory, Kyiv, Ukraine, 6-8 September 2010. — Proceedings, Kyiv, Ukraine, 2010. — 1 электрон. опт. диск (CD-ROM). - IEEE Catalog Number: CFP10761-CDR . - ISBN: 978-1-4244-8860-5.

75. Frolov A. Generalized modes of optical fiber [Текст] / Frolov, A. Generalized modes of optical fiber / A. Frolov, E. Karchevskiy // Proceedings of the International Conference Days on Diffraction' 2011. Saint Petersburg, May 30 - June 3, 2011. - IEEE, 2011. — IEEE Catalog No.: CFP11489-PRT. - P. 67-71.

76. Frolov, A. Generalized modes of optical fiber [Текст] / A. Frolov, E. Karchevskiy // Days on Diffraction' 2011. Int. Conf. Saint Petersburg, May 30 - June 3, 2011: Abstracts. Universitas Petropolitava. — P. 3536.

77. Kartchevski, E.M. Mathematical analysis of the generalized natural modes of an inhomogeneous optical fiber [Текст] / E.M. Kartchevski, A.I. Nosich, G.W. Hanson // SIAM J. Appl. Math. - 2005. - V. 65. -№ 6. - P. 2033-2048.

78. Lehoucq, R.B. Deflation Techniques for an Implicitly Re-Started Arnoldi Iteration [Текст] / R.B. Lehoucq, D.C. Sorensen // SIAM J. Matrix Analysis and Applications, Vol. 17, 1996, pp. 789-821.

79. Eyges, L. Modes of dielectric waveguides of arbitrary cross sectional shape [Текст] / L. Eyges, P. Gianino, P. Wintersteiner //J. Opt. Soc. Am. - 1979. - V. 69. - № 9. - P. 1226-1235.

80. James, J.R. Point-matched solutions for propagating modes on arbitrarily-shaped dielectric rods [Текст] / J.R. James, I.N.L. Gallet // Radio and Electron. Eng. - 1972. - V. 42. - P. 103-113.

81. James, J.R. Modal analisis of triangular-cored glass-fibre waveguide [Текст] / J.R. James, I.N.L. Gallett // IEE Proc. - 1973. - V. 120. - № 11. - P. 1362-1370.

82. Keuster, E.F. Fundamental mode propagation on dielectric fibres of arbitrary cross-section [Текст] / E.F. Keuster, R.C. Pate // IEE PROC-H. 1980. - V. 126. - № 1. - P. 41-47.

83. Kress, R. Linear Integral Equations [Текст] / R. Kress. — New York: Springer-Verlag, 1999. — 365 p.

84. Lifante, G. Integrated photonics: fundamentals [Текст] / G. Lifante. — John Wiley and Sons, 2003. - 184 p.

85. Lu, M. Anisotropic dielectric waveguides [Текст] / M. Lu, M.M. Fejer //J. Opt. Soc. Am. A. - Feb. 1993. - V. 10. - № 2. - P 246261.

86. Miller, C.M. Optical Fiber Splices and Connectors: Theory and Methods [Текст] / C.M. Miller. - Marcel Dekker, 1986. - 378 p.

87. Mittra, R. Analisic of open dielectric waveguides using mode-matching technique and variational metods [Текст] / R. Mittra, V. Jamnejad, Y. Hou // IEEE Trans, on MTT. - 1980. - V. 28. -№ 1. - R 36-43.

88. Muller, C. Grundproblems der Mathematischen Theorie Elektromagnetischer Schwingungen [Текст] / С. Muller. — Berlin: Springer, 1957. - 345 p.

89. Nosich, A.I. Radiation conditions, limiting absorption principle, and general relations in open waveguide scattering [Текст] / A.I. Nosich // J. Electromag. Waves Applicat. - 1994. - V. 8. - № 3. - P. 329-353.

90. Neumaier, A. Residual inverse iteration for the nonlinear eigenvalue problem [Текст] / A. Neumaier // SIAM J. Numer. Anal. — 1985. — V. 22. - № 5. - P. 914-923.

91. Shestopalov, Yu.V. Logarithmic Integral Equations in Electromagnetics [Текст] / Yu.V. Shestopalov, Yu.G. Smirnov, E.V. Cher-nokozhin. - VSP, 2000. - 117 p.

92. Snyder, A.W. Anisotropic fibers with nonaligned optical (stress) axes [Текст] / A.W. Snyder, A. Ankiewicz //J. Opt. Soc. Am. A. — June 1986. - V. 3. - № 6. - P. 856-863.

93. Solbach, K. The electromagnetic fields and the phase constants of dielectric image lines [Текст] / К. Solbach, I. Wolff // IEEE Trans, on MTT. - 1978. - V. 26. - № 4. - P. 266-274.

94. Solov^v, S.I. Existence of the guided modes of an optical fiber [Текст] / S.I. Solov'öv. - Preprint SFB393/03-02 - Chemnitz: Technische Universität Chemnitz, 2003. — 21 p.

95. Steinberg, S. Meromorphic families of compact operators [Текст] / S. Steinberg // Arch. Rat. Mech. Anal. - 1968. - V. 31. - № 5. -P. 372-379.

96. Vainikko, G. Multidimensional weakly singular integral equations [Текст] / G. Vainikko. - Springer, 1993. - p. 159.

97. Wilczewski, F. Bending loss of leaky modes in optical fibers with arbitrary index profiles [Текст] / F. Wilczewski // Optics Letters. — July 1994. - V. 19. - № 14. - P. 1031-1033.