Математические модели движения неоднородных жидкостей в пористых средах как усреднение периодических структур тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Гальцев, Олег Владимирович

• Гальцев, Олег Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гальцев, Олег Владимирович

Оглавление

Введение

Гдава 1. Состояние вопроса и вспомогательные утверждения

1.1 Состояние вопроса совместного движения жидкостей в поровом пространстве

1.2 Вспомогательные утверждения

Гдава 2. Микро-и макроскопические математические модели фильтрации неоднородных жидкостей

2.1 Математические модели ММ1 и УММ1 совместного движения жидкости и твердого скелета грунта

2.2 Математические модели ММ2 и УММ2 движения жидкости в абсолютно твердом скелете грунта

2.3 Диффузионные математические модели ММЗ и УММЗ совместного движения жидкости и твердого скелета грунта

2.4 Диффузионные математические модели ММ4 и УММ4 совместного движения жидкости и твердого скелета грунта

Гдава 3. Разработка алгоритмов численного решения математических моделей фильтрации неоднородных жидкостей для различных структур порового пространства

3.1 Разработка алгоритмов численного решения математических

моделей ММ1 и УММ1

3.2 Разработка алгоритма численного решения математической

модели ММ2

3.3 Разработка алгоритмов численного решения математических

моделей ММЗ и УММЗ

3.4 Разработка алгоритмов численного решения математических моделей ММ4 и УММ4

Гдава 4. Компьютерное моделирование микро-и макроскопических

математических моделей фильтрации неоднородных жидкостей

4.1 Численное решение модели ММ1

4.2 Численное решение модели УММ1

4.3 Численное решение модели ММ2

4.4 Численное решение модели ММЗ, УММЗ

4.5 Численное решение модели ММ4, УММ4

4.6 Программная реализация разработанных алгоритмов

Заключение

Список использованных источников

Приложение А

Приложение В

Приложение С

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели движения неоднородных жидкостей в пористых средах как усреднение периодических структур»

Введение

Актуальность работы. Проблемы моделирования физических процессов различной природы в различных средах возникают в механике жидкости и газа, в механике твердого тела, электродинамике и многих других областях. При этом общей проблемой является соотношение микро-и макроскопических подходов их описания. Часто требуется построить модель среды, локальные свойства которой резко меняются, поэтому удобнее перейти от микроскопического ее описания к макроскопическому, то есть рассматривать усредненные характеристики такой среды. Во многих случаях рассматриваемые физические процессы в сильно неоднородных средах описываются уравнениями с частными производными, причем сильная неоднородность этих сред приводит к дифференциальным уравнениям с резко изменяющимися коэффициентами. Такие задачи возникают в теории упругости и гидродинамике, в теории гетерогенных сред и композитных материалов, теории фильтрации и других задачах физики и механики. Непосредственное численное решение таких задач, как правило, затруднительно даже на современных ЭВМ. Поэтому возникает вопрос о построении моделей для сильно неоднородных сред, приводящих к более простым дифференциальным уравнениям, которые называются усредненными. Часто такие дифференциальные уравнения имеют постоянные коэффициенты. Усредненные уравнения позволяют определить с большой точностью эффективные ха-

рактеристики первоначальной среды. Это условие обеспечивается основным требованием, которому должны удовлетворять усредненные уравнения - близость решений соответствующих краевых задач для исходных и усредненных уравнений. Математическое описание сильно неоднородных сред часто основано на предположении о наличии у таких сред какой-либо упорядоченной микроструктуры (например, периодической, квазипериодической, случайной однородной и др.).

В настоящей диссертации выводятся усредненные уравнения задачи о нахождении поверхности контактного разрыва при движении двух несжимаемых вязких жидкостей в порах скелета грунта (с периодической структурой) в двух различных случаях, когда скелет является абсолютно твердым телом, и когда он является упругим телом. Разработанные алгоритмы и программа для ЭВМ позволили получить результаты, близкие к решению исходной микроскопической задачи, что указывает и на корректность выведенных усредненных моделей и на адекватность компьютерных вычислений.

Данная тематика также включена: пункт 6 - рациональное природопользование - перечня Приоритетных направлений науки РФ:

пункт 8 - технологии атомной энергетики, ядерного топливного цикла, безопасного обращения с радиоактивными отходами и отработавшим ядерным топливом,

пункт 34 - технологии экологически безопасной разработки месторождений и добычи полезных ископаемых - перечня Критических Технологий РФ.

Все это показывает, что задачи, рассматриваемые в диссертации, весьма актуальны.

Целью работы является совершенствование существующих математических моделей и методов исследования неоднородных жидкостей в пористых средах.

Для достижения поставленной цели были сформулированы и решены следующие задачи.

1. Получить макроскопические математические модели движения вязких несжимаемых жидкостей различной вязкости в пористых упругих средах с помощью метода двухмасштабного асимптотического разложения.

2. Разработать новые вычислительные алгоритмы решения задач, моделирующих процесс движения вязких несжимаемых жидкостей в поро-вом пространстве различной геометрии, как на микроскопическом, так и на макроскопическом уровнях.

3. Вывести разностные схемы и составить программу для решения задач, моделирующих процесс движения вязких несжимаемых жидкостей в пористой упругой среде.

4. Решить начально-краевые задачи, моделирующие процесс диффузионного движения двух несжимаемых жидкостей в пористой упругой среде на микроскопическом уровне.

Объект исследований: математические модели движения неоднородных жидкостей в пористых средах и методы решения соответствующих начально-краевых задач.

Предмет исследований: математические модели движения двух несмешивающихся несжимаемых вязких жидкостей в пористом скелете и численные методы их решения.

Методы исследований. Основными методами исследования являются классические методы математической физики, функционального

анализа и методы вычислений теории уравнений с частными производными, разностные методы. В частности, для построения приближенных решений дифференциальных уравнений использовались метод Галерки-на и теорема Шаудера о неподвижной точке, для доказательства сходимости приближенных решений дифференциальных уравнений к точному решению - метод априорных оценок, методы компактности. При выводе усредненных уравнений использовался метод двухмасштабного асимптотического разложения. В работе использованы численные методы анализа и методология объектно-ориентированного проектирования программных систем. Численное интегрирование проводилось методом прямоугольников, а для построения решения систем уравнений в частных производных использовались такие разностные методы, как метод объема жидкости и метод крупных частиц.

Научную новизну работы составляет следующее.

1. Макроскопические модели движения вязких несжимаемых жидкостей различной вязкости в поровом пространстве, полученные методом двухмасштабного асимптотического разложения.

2. Алгоритм численного решения задачи фильтрации двух несмешиваю щихся несжимаемых жидкостей в абсолютно твердом скелете.

3. Алгоритм численного решения задач совместного движения жидкостей и упругого скелета.

4. Устойчивые разностные схемы для численного решения как микроскопических, так и макроскопических уравнений движения вязких несжимаемых жидкостей в поровом пространстве.

5. Доказательство разрешимости диффузионных моделей фильтрации жидкостей в поровом пространстве.

Практическая значимость работы определяется тем, что использование полученных в ней результатов позволит правильно выбирать соответствующие макроскопические математические модели движения неоднородных жидкостей в упругих пористых средах и численные методы их решения.

Область исследования. Содержание диссертации соответствует паспорту специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» по следующим областям исследований:

п.1. Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений.

п.2. Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей.

п.4. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.

Положения выносимые на защиту.

1. Микроскопические математические модели движения вязких несжимаемых жидкостей различной вязкости в поровом пространстве.

2. Алгоритм численного решения задач совместного движения вязких несжимаемых жидкостей на микроскопическом уровне.

3. Макроскопические математические модели движения вязких несжимаемых жидкостей различной вязкости в поровом пространстве.

4. Алгоритм численного решения задач совместного движения вязких несжимаемых жидкостей на макроскопическом уровне.

5. Комплекс проблемно-ориентированных программ моделирования процесса вязкоупругой фильтрации.

Достоверность выводов обусловлена корректностью математических преобразований при выводе усредненных уравнений совместного движения жидкости и упругого тела, подтверждается совпадением результатов вычислительных экспериментов и отсутствием противоречий с уже существующими результатами численного моделирования двухфазных течений.

Личный вклад соискателя. Все изложенные в диссертации результаты исследований получены либо соискателем лично, либо при его непосредственном участии.

Апробация результатов диссертационного исследования. Наиболее значимые результаты диссертации докладывались на VIII школе молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики», которая проводилась в рамках Российско-Болгарского симпозиума, 2010, г. Нальчик; Воронежской весенней математической школе «Современные методы теории краевых задач», 2010, г.Воронеж; международной конференции, посвященной 110-ой годовщине со дня рождения И.Г. Петровского, 2011, г. Москва; международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, 2010, г. Суздаль; всероссийской конференции «Нелинейные волны: теория и новые приложения», 2011. г. Новосибирск; международной конференции «Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел», 2011, г. Белгород.

Публикации. По теме диссертационного исследования опубликовано 13 печатных работ (из них 7 в журналах из списка ВАК РФ), а также получено 1 Свидетельство Роспатента РФ о государственной регистрации

программы для ЭВМ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из четырех глав, разбитых на параграфы, списка литературы и приложений. Объем диссертации составляет 160 страниц, библиография - 103 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация состоит из введения, четырех глав и приложения.

Во введении изложены актуальность темы, цель работы, методы исследования, научная новизна, публикации по теме диссертации и личный вклад автора в совместные работы, апробация работы, значимость, структура и содержание работы.

Глава 1. Состояние вопроса и вспомогательные утверждения.

В данной главе содержатся предварительные теоретические сведения и приведен краткий обзор используемой литературы.

Уравнения пороупругости, полученные К. фон Терцаги [103] и М. Био [51] долгое время являлись общепринятыми и служили основой для решения практических задач пороупругости. Эти уравнения учитывают перемещение не только жидкости в порах, но и твердого скелета. Предлагаемые К. фон Терцаги и М. Био модели называют феноменологическими: в них постулируются свойства смеси твердой и жидкой компонент. Позже, ряд авторов (Р. Барридж и Дж. Келлер [56], Э. Санчес-Паленсия [97]) предложили вывод уравнений пороупругости на основе основных законов механики сплошных сред и методов усреднения. Это было вполне естественно, сначала описать совместное движение упругого скелета и жидкости в порах на микроскопическом уровне, используя классические законы механики сплошных сред, а затем найти соответствующие аппроксимирующие модели с помощью теории усреднения (усредненные уравнения).

Так, совместное движение в области описывалось ими базовой математической моделью, которая содержала динамические уравнения Стокса для жидкости в поровом пространстве, динамические уравнения Ламе для твердой компоненты и условие непрерывности нормальных напряжений на общей границе «поровое пространство - твердый скелет». Все уравнения понимаются в смысле теории распределения (как соответствующие интегральные тождества).

Приведенная выше задача является сильно нелинейной и содержит еще одну неизвестную величину - общую границу «поровое пространство - твердый скелет». Главным постулатом здесь является то, что твердая и жидкая компоненты не смешиваются. Таким образом, неизвестная (свободная) граница является поверхностью контактного разрыва, которая определяется из задачи Коши для характеристической функции порового пространства.

Для упрощения данной системы естественной была идея линеаризации исходной системы.

Различные частные случаи линеаризации рассматривались многими авторами: Дж. Бьюкенен - Р. Гильберт - Ж. Лин, М. Бакингем, Р. Бар-ридж - Дж. Келлер, Т. Клопиу - Ж. Ферри - Р. Гилберт - А. Мике-лич - Л. Паоли, Т. Леви, Г. Нгуетсенг, Ж. Санчес-Хьюберт, Э. Санчес-Паленсия.

Для описания совместного движения двух неоднородных жидкостей в упругом скелете динамическая система уравнений дополняется уравнением переноса для плотности р£(х, t) смеси жидкой и твердой компонент.

Разработанный алгоритм численного решения такой задачи основан на методе SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations [100]) в переменных скорость-давление [36] (физические переменные).

Постановка задачи в физических переменных позволяет сравнительно легко распространить методы расчета плоских течений на трехмерный случай, а сам подход к решению помогает справиться с тем, что уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости содержит лишь составляющие скорости и поэтому нет прямой связи с давлением.

Глава 2. Микро-и макроскопические математические модели фильтрации неоднородных жидкостей.

В главе рассматриваются четыре математические модели (ММ1 -ММ4, УММ1 - УММ4). описывающие движение жидкостей в поро-вом пространстве как на микроскопическом, так и на макроскопическом уровнях.

В области О, математическая модель ММ1 совместного движения двух несмешивающихся несжимаемых жидкостей на микроскопическом уровне в упругом скелете имеет вид

П1П£

V • (хЗДХж, + (1 - <ше)~

р£1) + // I*1 = 0, ж е О, £ > 0, (0.0.1)

V • ги£ = 0, хеПА>0, (0.0.2) до£ ди)£

+ ^ = хеп,г>0, (о.о.з)

Х£ги£(ж, 0) = 0 при х е П, (0.0.4)

ги£(х, ¿) = 0 при х е 5 = дП, £ > 0, (0.0.5)

/ рЫх = о, г > о, (о.о.б)

Х£р£(х, 0) = Ро(х), X е п, (0.0.7)

где и)£{х. £) = (ги^ж, £), и>2£(ж, £)) - вектор перемещения сплошной среды, р£{хЛ) - давление в сплошной среде, О(гс.ги)— симметрическая часть

градиента вектора w (тензор напряжений), I—единичная матрица, Xеix) - характеристическая функция порового пространства,

р£ = x£pf + (i-x£)ps,

Но - безразмерная вязкость жидкости, Aq - безразмерная постоянная Ламэ.

В Теореме 2.1.2 доказывается, что предельные функции являются решением усредненной системы УММ1, которая в области Оу состоит из уравнения неразрывности

V • w = 0, (0.0.8)

усредненных уравнений момента импульса

V-P + pF = 0, (0.0.9)

где

dw ft

Р = Oil : Щх, —-) + 0I2 : D(x, w) + / 0l3(t - r) : B{x, w(x, r))dr -pi, vt Jo

и усредненного уравнения переноса с) dw

+ ■ Vp = о, р = mpf + (1 - m)ps. (0.0.10)

Система уравнений (0.0.8)—(0.0.10), дополненная граничными и начальными условиями, есть не что иное, как усредненная модель Маскета УММ1 совместного движения жидкости и порового пространства.

Математическая модель ММ2 движения жидкости в абсолютно твердом скелете на микроскопическом уровне в области Í7 при t > 0 имеет вид

V • (а^Щх, Vе) - р£1) + p)F = 0, хеЩЛЕ (0,Т), (0.0.11)

V • v£ = 0, ж G ЩЛ £ (0,Т), (0.0.12)

+ \/р} = 0,хеЩле{0,т), (0.0.13)

рЦх, 0) = /40)(ж), ж е Щ. (0.0.14)

На общей границе «твердый скелет - поровое пространство» выполняются условия

у£(х, ¿) = О, X £ 5 и Г£, г > 0, (0.0.15)

где $ = сЮ.

Система (0.0.11)—(0.0.15) дополняется условием нормировки

/ р£(х,Ь)(1х = 0, ¿>0. (0.0.16)

ММ2 - частный случай модели ММ1, где перемещения упругого скелета не учитываются. Усредненная математическая модель УММ2 в области О, при £ Е (0, Т) состоит из уравнения неразрывности

У"У = 0, (0.0.17)

закона Дарси

V = -!в(Я (-—Х7р + рлЛ (0.0.18) ¿¿1 \ тп )

и усредненного уравнения переноса

т^- + У - = 0, (0.0.19)

1/6

где В^) - симметричная положительно определенная матрица.

Математическая модель ММЗ описывает диффузионное распространение жидкостей в грунте. В области рассматривается следующая система дифференциальных уравнений диз £

\7-(х£/^оЩх,—) + (1-х£)\оЩх.™£)-рЧ)+р£Г = 0, ¿>0 (0.0.20)

У-ги£ = 0, хеП, ¿>0, (0.0.21)

¥ = хеЩ, t> 0, (0.0.22)

дополненная следующими начальными и граничными условиями

w£{x,t) = 0 при ж G S = dCl, t> 0, (0.0.23)

до£ dw£

Dq-^— - р£ —— • п = 0 при х G Г£. t > 0, (0.0.24)

on ot

Xew£(x,0) = 0 при ж G il, (0.0.25)

р£(х, 0) = ро(ж), при xen£f, (0.0.26)

и условием нормировки

[p£dx = 0, t> 0, (0.0.27)

JQ

где Dq — коэффициент диффузии.

В Теореме 2.2.1 доказывается существование хотя бы одного обобщенного решения задачи (0.0.20) - (0.0.27).

Усредненная математическая модель УММЗ в области Qt описывается следующей системой уравнений, которая состоит из усредненного уравнения неразрывности

V • w = 0, (0.0.28)

усредненных уравнений баланса

V • Р + pF = 0, (0.0.29)

где

dw fb

Р = -pi + grtj ; )+grt2 : D(a;,ii;) + / W3{t - т) : ©(ж, w(x, т))йт,

ut J о

и усредненного конвективного уравнения диффузии

rrS^ = V • (D0B^Vp) - V • (pB^v) . (0.0.30)

где - симметричная положительно определенная матрица.

В области il математическая модель ММ4 движения жидкости и

упругого несжимаемого скелета на микроскопическом уровне имеет вид

дw£

dw£

V • (х^оЩх, —) + (1 - Г )А0Ю>(£, w£) - рЧ) + р£ F = 0, (0.0.31)

V • we = 0, х £ П, t > 0, (0.0.32)

% + Чг 'vpe = DoAp£'ж 6 Q£f-'t > (ао'33)

Система (0.0.31)—(0.0.33) дополняется начальными условиями

w£(x,0) = 0, ж еЩ, (0.0.34)

р£(х, 0) = р0(х) при х G Щ, (0.0.35) граничными условиями

w£{x, t) = 0,xe S = дП, (0.0.36)

= 0 при х G 5. t > 0 (0.0.37)

on

и условием нормировки

/ р£ dx = 0. (0.0.38)

Jn

В Теореме 2.3.1 доказывается существование хотя бы одного обобщенного решения задачи (0.0.31) - (0.0.38).

Предельные функции являются решением усредненной системы уравнений в области Qt-, состоящей из уравнения неразрывности

V • w = 0, (0.0.39)

усредненных уравнений баланса

V • Р + pF = 0, (0.0.40)

где

dw fl

Р = + ^ ; Щх,! )+çn2 ; B{x,w)+ / 9t3(i-r) : B(x,w{x,T))dT,

ut J 0

16

и усредненного конвективного уравнения диффузии

+ • Vр = Ч ■ (Д)В {р)Чр). (0.0.41)

С/6

Полученную систему усредненных уравнений назовем моделью УММ4.

Глава 3. Разработка алгоритмов численного решения математических моделей фильтрации неоднородных жидкостей для различных структур порового пространства.

Глава посвящена разработке алгоритмов численного решения моделей ММ1, ММ2, УММ1, УММЗ и УММ4, когда более тяжелая жидкость, находящаяся сверху более легкой жидкости, вытесняет ее вверх под действием силы тяжести.

Основные сложности при численном решении системы уравнений Сток-са связаны с нахождением поля давления. А наличие стратификации дополнительно требует расчета поля плотности. В разработанном алгоритме в некоторый момент времени ¿п = пт, где г - величина шага по времени, п - число шагов, известно поле скоростей V = дги/дЬ, давление р и плотность р. Тогда чтобы найти неизвестные функции, процесс вычисления можно представить в следующем виде:

Этап 1. Решается система уравнений Ламэ с граничными и начальными условиями для перемещения ио8. На первом шаге по времени находим промежуточное значение ъо3. В данном случае условие несжимаемости не удовлетворяется, поэтому сначала будем искать поправки к полю перемещения и давления, затем корректируем окончательные значения перемещения и давления.

Этап 2. Используя найденные значения перемещения и давления, находим нормальные напряжения на границе «поровое пространство -твердый скелет».

Этап 3. Так как на общей границе между упругим скелетом и жидкостью выполняется условие непрерывности перемещений и нормальных напряжений, то решаем систему уравнений Стокса в поровом пространстве, учитывая граничное условие на общей границе, затем используя найденные значения перемещения и давления, находим нормальные напряжения на границе «поровое пространство - твердый скелет».

Этап 4. Используя уже известное значение скорости жидкости, находим значение плотности на следующем временном слое, решая численно транспортное уравнение.

Этап 5. На этом текущий цикл заканчивается. На последующих временных слоях алгоритм нахождения неизвестных будет иметь вид: в упругом скелете решаем уравнение Ламэ с граничным условием, найденным на Этапе 3, и условием Дирихле на границе области.

Описанный алгоритм справедлив в случае совместного движения жидкостей и упругого скелета на микроскопическом уровне, для фильтрации жидкостей в абсолютно твердом скелете алгоритм заметно упрощается в виду отсутствия упругой составляющей твердого тела. Для усредненных моделей алгоритм нахождения неизвестных тот же, за исключением полного отсутствия необходимости учитывать поведение упругого скелета.

Глава 4. Компьютерное моделирование микро-и макроскопических математических моделей фильтрации неоднородных жидкостей.

В данной главе рассматриваются особенности дискретизации как уравнений Стокса и Ламэ, так и полученных усредненных уравнений вязко-упругой фильтрации, записанных в физических переменных, на прямоугольной равномерной сетке с шахматным расположением узлов. Производится разработка программной системы решения задач вязкоупругой

фильтрации в поровом пространстве.

На рисунке 0.1 представлены результаты численного усреднения моделей ММ1 и ММ2 для первой геометрии порового пространства.

¿=50

£=860

¿=2631

¿=3012

¿=4873

Рисунок 0.1 Несвязные капилляры: абсолютно твердый скелет (сверху), упругий скелет

(снизу).

Численное решение ММ2 (абсолютно твердый скелет) в одном капилляре показало совпадение с результатами. На рисунке 0.2 можно увидеть гладкую свободную границу в капилляре в различные моменты времени.

I

«=0.003 «=0.255 4=0.525 «=1.035

Рисунок 0.2 Поверхность контактного разрыва в различные моменты времени.

Очевидно, что для первой структуры достаточно определить решение системы уравнений в отдельно взятом капилляре (расчет неустойчивости Рэлея-Тейлора). Затем увеличивая количество капилляров (е \ 0) мы численно определяем предельное (е = 0) решение соответствующей усредненной модели У ММ 2 (задачи Маскета).

Для второй геометрии порового пространства вычисления проводятся во всей области определения решения, что существенно увеличивает сложность вычислительного алгоритма.

Аналогичным образом проводится численное усреднение модели ММ1.

На рисунке 0.3 приведены сравнительные результаты для второй геометрии порового пространства.

ч . . .

¿=50

¿=860

¿=2631

¿=3012

¿=4873

Рисунок 0.3 Несвязный скелет: абсолютно твердый скелет (сверху), упругий скелет

(снизу).

При численном решении модели УММ1 мы ограничились второй геометрией порового пространства (несвязные элементы упругого скелета).

На рисунке 0.4 представлены сравнительные результаты численного моделирования задачи ММ1 и УММ1.

й^а-к&шЕь;

¿=50

¿=860

¿=4873

¿=2631 ¿=3012

Рисунок 0.4 Сравнение результатов численного решения модели УММ1 (снизу) и модели

ММ1 (сверху).

НЖНШЩэ;::;:! »:••■!•:•;

|| II I II |-.Г| ||:| IIЛ I I

птл: ¡г

п:в ЗШкЯ:

На основе численного решения этих задач можно сделать вывод, что движение жидкостей в упругом скелете (как на микроскопическом уровне, так и на макроскопическом уровне) происходит при наличии свободной границы. Решение системы вязкоупругой фильтрации - классическое и обладает гладкой и устойчивой свободной границей.

В тоже самое время решение задачи Маскета в лучшем случае будет только обобщенным с переходной фазой вместо свободной границы.

На рисунке 0.5 представлены результаты численного решения моделей УММЗ и УММ4.

<=100 <=400 <=600 <=800 <=1100

Рисунок 0.5 Сравнительные результаты численного моделирования диффузионных моделей УММЗ (сверху) и УММ4 (снизу).

На основе численного решения этих задач можно сделать вывод, что движение жидкостей в упругом скелете (как на микроскопическом уровне, так и на макроскопическом уровне) происходит при наличии свободной границы. Решение системы вязкоупругой фильтрации - классическое и обладает гладкой и устойчивой свободной границей.

В тоже самое время решение задачи Маскета в лучшем случае будет только обобщенным с переходной фазой вместо свободной границы.

Численно было показано, что решение диффузионных моделей УММЗ и УММ4 при стремлении коэффициента диффузии Д) стремится к решению модели УММ1 (рисунок 0.6).

£>о=0

£>о=0.5

£>о=1.5 £>0=2

Рисунок 0.6 Результаты численного решения модели УММЗ при £>о -*" 0.

Отметим, что симметричная и строго положительно определенная матрица В^ будет диагональной в случае определенной симметрии по-рового пространства. Нетрудно видеть, что в этом случае в силу уравнения неразрывности (2.4.18), уравнения диффузии в УММЗ и УММ4 совпадают.

В силу выбранного нами метода решения задачи исследуемая область течения покрывается равномерной по Х\ и Х2 сеткой ячеек

= гЛь /11 > 0; г = 0,1,..., ЛГц х?+1/2) = ¿/»2, /*2>0; у = 0,1,..., N2]

2

где ¡12 - размер сетки, N1, N2 - количество ячеек сетки, соответственно, в направлении х\ и х2 (точка с координатами {1,3) совпадает с центром ячейки). Здесь, как и в исходном методе расщепления, будем использовать «шахматную» сетку. Это дает возможность четко интерпре-

тировать каждую ячейку, как элемент объема, который характеризуется рассчитываемыми давлением и плотностью в его центре.

Конечно-разностные аналоги пространственных переменных для соответствующих производных, входящих в исходную систему уравнений, центрируются в соответствии с выбранным шаблоном.

Более полные выражения конечно-разностных аналогов соответствующих слагаемых двухмерных и трехмерных уравнений движения приведены, например, у О.М. Белоцерковского. Используемая конечно - разностная схема аппроксимирует рассматриваемые уравнения с первым порядком точности по времени и со вторым порядком точности по пространственным переменным 0(Дт, к2) и можно показать, что она устойчива. Подставим конечно-разностные формулы в исходную систему уравнений движения. Тогда после простых преобразований получим их дискретные аналоги для х\ и Х2 направлений соответственно.

Критерием окончания решения служит условие, когда максимальная относительная разность между значениями искомых переменных на предыдущем и следующем временном шаге не превышает заданную величину ошибки а

max

уП+1 _ уп

уП+1

< а.

На завершающем шаге (когда используется дискретная модель среды) следует проводить дополнительные (промежуточные) расчеты плотности, что сглаживает колебания и повышает точность вычислений. Комбинируя различные этапы, получаем ряд разностных схем, которые и составляют метод крупных частиц и метод объема жидкости в ячейке. При численном решении моделей ММ1 - ММ2, УММ1 целесообразно использовать метод объема жидкости в ячейке (Volume of Fluid метод), так как его реализация обеспечивает более точное отслеживание грани-

цы раздела фаз. Метод крупных частиц используется при моделировании задач УММЗ-УММ4. Такой выбор обусловлен простотой отслеживания частиц каждой из жидкостей. Выбранные методы могут быть интерпретированы с различных точек зрения: метод расщепления, смешанный метод Эйлера-Лагранжа, вычисление в локальных лагранжевых координатах с масштабированием на предыдущей сетке, различные обозначения закона сохранения для жидкого элемента (большой частицы), Эйлерова разностная схема.

В диссертации рассматриваются задачи совместного движения жидкостей в упругом поровом пространстве для двумерного случая, но разработанные алгоритмы и выведенные разностные схемы могут быть легко усовершенствованы для решения трехмерных моделей. При выводе метода нахождения неизвестных функций не маловажную роль сыграло и желание создать унифицированный алгоритм решения описанных ниже моделей.

В Заключении кратко сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

В трех Приложениях приведены: описание основных классов и структур данных, реализованных в пакете прикладных программ, с фрагментами программной реализации на языке С++, описываются особенности программной реализации алгоритмов расчета уравнений на языке С++, результаты численных расчетов.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Гальцев, Олег Владимирович

Основные результаты работы заключаются в следующем.

1. Выведены новые микроскопические математические модели движения вязких несжимаемых жидкости различной вязкости в поровом пространстве.

2. Разработан алгоритм численного решения задач совместного движения вязких несжимаемых жидкостей на микроскопическом уровне.

3. Выведены новые макроскопические математические модели движения вязких несжимаемых жидкостей различной вязкости в поровом пространстве.

4. Разработан алгоритм численного решения задач совместного движения вязких несжимаемых жидкостей на макроскопическом уровне.

5. С использованием наиболее эффективных численных методов отслеживания поведения свободной границы раздела жидкостей разработана программная реализация созданных алгоритмов.

6. Доказана разрешимость диффузионных моделей фильтрации жидкостей в поровом пространстве.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гальцев, Олег Владимирович, 2013 год

Список использованных источников

1. Андерсон Д. Вычислительная гидромеханика и теплообмен [Текст] / Д. Андерсон, Дж. Таннехилл, Р. Плетчер. - М.: Мир, 1990. - 384 с.

2. Бахвалов Н.С. Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композиционных материалов [Текст] / Н. С. Бахвалов, Г. П. Панасенко. - М.: Наука, 1984. - 352 с.

3. Беленьких С. 3. Теория турбулентного перемешивания [Текст] / С. 3. Беленьких, Е. С. Фрадкин // Тр. ФИАН СССР. - 1965. - №29. -С.207-238.

4. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред [Текст] / О.М. Белоцерковский. - М.:Физматлит, 1994. - 448 с.

5. Белоцерковский О. М. Нестационарный метод «крупных частиц» для газодинамических расчетов [Текст] / О. М. Белоцерковский, Ю. М. Давыдов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1971. - №1. - С. 182 - 207

6. Белоцерковский О. М. Метод расщепления в применении к решению задач динамики вязкой несжимаемой жидкости [Текст] / О. М. Белоцерковский , В. А. Гущин. В. В. Щенников // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1975. - №1. - С. 197-Ц207

7. Биркгоф Г. Неустойчивость Гельмгольца и Тейлора [Текст] / Г. Бирк-гоф //В кн.: Гидродинамическая неустойчивость. - М.: Мир, 1964. -С. 68-94.

8. Галагер Р. Метод конечных элементов. Основы [Текст] / Р. Галагер. -М.: Мир, 1984. - 428 с.

9. Гальцев О. В., Мейрманов А. М. Численное усреднение в задаче Рэлея-Тейлора при фильтрации двух несмешивающихся несжимаемых жидкостей [Текст] / О. В. Гальцев, А. М. Мейрманов // Математическое моделирование. -2011. -№23. -С.ЗЗЦ-43.

10. Гладков С. А., Фролов Г.В. Программирование в Microsoft Windows [Текст] / С. А. Гладков, Г. В. Фролов. - В 2-х ч. - М.:«ДИАЛОГ-МИФИ», 1986. - 345 с.

11. Гущин В. А. Метод расщепления для решения задач динамики неоднородной вязкой несжимаемой жидкости [Текст] / В. А. Гущин // Журнал Вычислительной Математики И математической физики. - 1981. -№4.Ц С. 1003-1017.

12. Зенкевич О. Определение относительных проницаемостей двухфазного потока [Текст] / О. Зенкевич. - М.: Мир, 1986. - 318 с.

13. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике [Текст] / О. Зенкевич. - М.: Мир, 1975. - 544 с.

14. Зиновьев Н. П. Определение относительных проницаемостей двухфазного потока / Н. П. Зиновьев // Исследования по подземной гидромеханике. - Казань: КГУ, 1987. - Вып. 9. - С. 65-72.

15. Жиков В. В. Усреденние дифференциальных операторов [Текст] / В. В. Жиков , С. М. Козлов, О. А. Олейник. - М.:Наука, 1993. - 464 с.

16. Иногамов Н. А. Турбулентная зона неустойчивости Рэлея-Тейлора [Текст] / Н. А. Иногамов. - Черноголовка: Институт теоретич. физ. им. Л.Д.Ландау АН СССР, 1978.

17. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа [Текст] / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. - М.:Наука, 1972. -496 с.

18. Коннор Дж. Метод конечных элементов в механике жидкости [Текст] / Дж. Коннор - Л.: Судостроение, 1979. - 264 с.

19. Коновалов А. Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости [Текст] / А. Н. Коновалов. - Новосибирск: Наука. Сиб. Отд., 1988. - 166 с.

20. Коробов К. Я. Изучение фильтрации жидкостей различной вязкости при малых градиентах [Текст] / К. Я. Коробов // Тр. УНИ. - Уфа: Башкнигоиздат, 1975, вып. 8 с.84-90.

21. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики [Текст] / O.A. Ладыженская. - М.:Наука, 1973. - 408 с.

22. Ладыженская O.A. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа [Текст] / О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева. - М.:Наука, 1967. - 736 с.

23. Лионе Ж. Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач [Текст] / Ж. Л. Лионе. - М.: Мир, 1972. - 587 с.

24. Лионе Ж. Л. Неоднородные граничные задачи и их приложения [Текст] / Ж. Л. Лионе, Е. Мадженес. - М.: Мир, 1971. - 372 с.

25. Лойцанский Л. Г. Механика жидкости и газа [Текст] / Л. Г. Лойцан-ский. - М.: Наука, 1973. - 848 с.

26. Марченко В. А. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей [Текст] / В. А. Марченко, Е. Я. Хруслов. - Наукова думка, 1974. -280 с.

27. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики [Текст] / Г. И. Марчук. - М.: Наука, 1977. - 456 с.

28. Мейрманов А. М. Метод двухмасштабной сходимости Нгуетсенга в задачах фильтрации и сейсмо-акустики в упругих пористых средах [Текст] / А. М. Мейрманов // Сибирский Математический Журнал-2007. - №3,- С. 645-667.

29. Мейрманов А. М. Вывод уравнений сейсмоакустики и уравнений фильтрации в упругих пористых средах через усреднение периодических структур [Текст] / А. М.Мейрманов // Труды семинара имени И.Г. Петровского,- М.:Наука, 2008. - С. 178-238.

30. Мейрманов А. М. О разрешимости задачи диффузии-конвекции в по-роупругой среде на микроскопическом уровне [Текст] / А. М. Мейрманов, Р. Н. Зимин, О. В. Гальцева, О. А. Гальцев // Научные ведомости БелГУ,- 2012,- №11.-С.38-47.

31. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике [Текст] / С. Г. Михлин. - М.: Гостехиздат, 1957. - 476 с.

32. Овсянников Л.В. Введение в механику сплошных сред [Текст]: Часть 2 / Л. В. Овсянников. - Новосибирск: НГУ, 1977. - 69 с.

33. Овсянников Л.В. Введение в механику сплошных сред [Текст]: Часть 1 / Л. В. Овсянников. - Новосибирск: НГУ, 1976. - 75 с.

34. Олейник O.A. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред [Текст]/0. А. Олейник , Г.А. Иосифьян. A.C. Шамаев. -М.: изд-во МГУ, 1990. - 311 с.

35. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости [Текст] / С. Патанкар. - М.: Энергоатомиздат, 1984. -152 с.

36. Пейре Р. Вычислительные методы в задачах механики жидкости [Текст] / Р. Пейре, Т. Д. Тейлор. - Л.: Гидрометеоиздат, 1986. - 352с.

37. Прата С. Язык программирования С. Лекции и упражнения [Текст] / С. Прата. - 5-е изд.- М.: Издательский дом «Вильяме», 2006. - 960с.

38. Пятницкий А. Л. Усреднение. Методы и приложения [Текст]: Том 3 / А. Л. Пятницкий , Г. А. Чечкин, А. С. Шамаев. - Новосибирск, Тамара Рожковская, Белая серия в математике и физике, 2007. - Т.З.

39. Рисс Ф. Лекции по функциональному анализу [Текст] / Ф. Рисс, Б. Секефальви-Надь. - М.:Мир, 1979. - 588 с.

40. Саттер Г. Решение сложных задач на С++ [Текст] / Г. Саттер. - М.: Издательский дом «Вильяме», 2003. - 400 с.

41. Треногин В. А. Функциональный анализ [Текст] / В. А. Треногин. -М.:Наука,1980. - 496 с.

42. Федоренко Ю. Алгоритмы и программы на С++ Builder [Текст] / Ю. Федоренко. - ДМК Пресс, 2010. - 544 с.

43. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей [Текст] / К. Флетчер. - М.: Мир, - 504с.

44. Харлоу Ф. X. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики [Текст] / Ф. X. Харлоу // Вычислительные методы в гидродинамике. - 1967. - С. 316-342.

45. Acerbi E. An extension theorem from connected sets and homogenization in general periodic domains [Текст] / E. Acerbi, V. Chiado Piat, G. Dal Maso, D. Percivale // Nonlinear Analisys. - 1992. - V.18. - pp. 481-496.

46. Adams R. E. Sobolev spaces [Текст] / R.E. Adams. - New York: Academic Press, 1975. - 268 p.

47. Allaire G, Capdeboscq Y. Homogenization of a spectral problem in neutronic multigroup diffusion [Текст] / G. Allaire, Y. Capdeboscq // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. - 2000. - pp. 91- 117.

48. Amaziane В., Goncharenko M., Pankratov L. Homogenization of a convection-diffusion equation in perforated domains with a weak adsorption [Текст] / В. Amaziane, M. Goncharenko, L. Pankratov // Z. angew. Math. Phys. - 2007. - pp. 592- 611.

49. Ammeraal L. Computer Graphics for the IBM PC [Текст] / L. Ammeraal. - John Wiley-Sons,1986. - 114 p.

50. Antontsev S. A Free Boundary Problem for Stokes Equations: Classical Solutions [Текст] / S. Antontsev, A. Meirmanov, V. Yurinsky // Interfaces and Free Boundaries. - 2000. - V. 2. - pp. 413-424.

51. Biot M. Theory of elasticity and consolidation for a porous anisotropic solid [Текст] / M. Biot // Journal of Applied Physics. - 1955. - V. 26. -pp. 182- 185.

52. Biot M. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid. I. Low-frequency range [Текст] / M. Biot // Journal of the Acoustical Society of America. - 1955. - V. 28. - pp. 168- 178.

53. Biot M. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid. II. Higher frequency range [Текст] / M. Biot // Journal of the Acoustical Society of America. - 1955. - V. 28. - pp. 179- 191.

54. Buchanan J.L. Transition loss in the farfield for an ocean with a Biot sediment over an elastic substrate [Текст] / J. L. Buchanan, R. P. Gilbert // ZAMM, 1997. - №77. pp. 121- 135.

55. Buckingham M. J. Seismic wave propagation in rocks and marine sediments: a new theoretical approach [Текст] / M. J. Buckingham // Underwater Acoustics. - 1998. - V. 1. - pp. 299- 300.

56. Burridge R. Poroelasticity equations derived from microstructure / R. Burridge, J. B. Keller //J. Acoust. Soc. Am. - 1981. - V.70 №4. - pp. 1140- 1146.

57. Bensoussan A. Asymptotic Analysis for Periodic Structure [Текст]/А. Bensoussan, J. L. Lions. - Amsterdam: North Holland, 1978. - 168 p.

58. Bourgeat A. Mathematical Modelling and Numerical Simulation of a Non-Newtonian Viscous Flow through a Thin Filter [Текст] / A. Bourgeat, O. Gipouloux, E. Marusic-Paloka // SIAM J. Appl. Math. - 2001.-V. 62, №. 2 pp. 597- 626.

59. Bourgeat A. Filtration law for polymer flow through porous media, Multiscale model, simul [Текст] / A. Bourgeat, O. Gipouloux, E. Maruszc-Paloka. - 2003. - V. 1, №. 3. - pp. 132- 157.

60. Bourgeat A. Averaging a transport equation with small diffusion and oscillating velocity [Текст] / A. Bourgeat, M. Jurak, A. L. Piatnitski // Math. Meth. Appl. Sci. - 2003. - V. 26. - pp. 95- 117.

61. Bourgeat A. A homogenized model of an underground waste repository including a disturbed zone, Multiscale model, simul [Текст] / A. Bourgeat, E. Marusic-Paloka. - 2005. - V. 3, №. 4. - pp. 918- 939.

62. Bourgeat A. Study of the double porosity model versus the fissures thikness [Текст] / A. Bourgeat, L. Pankratov, M. Panfilov // Asymptotic Analysis. - 2004. - V. 38. - pp. 129- 141.

63. Booth R. J. S. Asymptotics for the Muskat problem [Текст] / R. J. S. Booth //J. Eng. Math. - 2011. - №69. - pp. 155-168.

64. Birkhoff G. Los Alamos Scientific Lab [Текст] / G. Birkhoff // Rept. №LA-1982. Los Alamos. - 1955.

65. Chan R. K.-C. A Numerical Model for Water Waves [Текст] / R. K.-C. Chan , R. L. Street. - Stanford University, Department of Civil Engineering, report 135, 1970.

66. Chan R. K.-C., Street R. L. A Computer Study of Finite Amplitude Water Waves [Текст] / R. K.-C. Chan, R. L. Street //J. Comput. Phys. -1970. - 68 p.

67. Chorin A.J. Numerical solution of Navier-Stokes equations [Текст] / A.J. Chorin // Mathematics of Computations. - 1991. №22. - 745-762

68. Chung T. J. Computational fluid dynamics [Текст] / Т. J. Chung . -University of Alabama in Huntsville, 2002. - 1012 p.

69. Clopeau Th. Homogenizing the acoustic properties of the seabed: Part II [Текст] / Th. Clopeau, J. L. Ferrin, R. P. Gilbert, A. Mikelic // Mathematical and Computer Modelling. - 2001. - V.33. - pp. 821- 841.

70. Conca C. On the application of the homogenization theory to a class of problems arising in fluid mechanics [Текст] / С. Conca // Math. Pures et Appl. -1985. - V.64. - pp. 31 - 75.

71. Daly B. J. Numerical study of two fluid Raylaigh-Taylor instability [Текст] / В. J. Daly // Phys. Fluids. - 1967. - №2. - pp. 297-307.

72. Escher J. Modelling and Analysis of the Muskat Problem for Thin Fluid Layers [Текст] / J. Escher, A. Matioc, B. Matioc //J. Math. Fluid Mech. - 2011.

73. Fahuai Yi Global classical solution of Muskat free boundary problem [Текст] / Fahuai Yi //J. Math. Anal. Appl. - 2003. - V.288 - pp. 442461.

74. Ferrin J. L. Homogenizing the acoustic properties of a porous matrix containing an incompressible inviscid fluids [Текст] / J. L. Ferrin, A. Mikelic // Math. Meth. Appl. Sei. - 2003,- V. 26. - pp. 831- 859.

75. Gilbert R.P. Acoustic waves in shallow inhomogeneous oceans with a poro-elastic seabed [Текст] / R.P. Gilbert , J. Z. Lin // ZAMM. - 1997. -№4. - pp. 1- 12.

76. Henk Kaarle Versteeg An introduction to computational fluid dynamics: the finite volume method [Текст] / Pearson Education, 2007. - 503 c.

77. Hergon G. Synthese D'Image: Algorithmes élémentaires [Текст] / G.Hergon . - BORDAS, Paris. - 1985.

78. Hornung U. Homogenization and porous media [Текст] / U. Hornung. -New York: Springer-Verlag, 1997.

79. Harlow F. H. Numerical calculation of time-dependent viscouse incompressible flow of fluid with free surface [Текст] / F. H. Harlow, J. E. Welch // Phys. Fluids. - 1965. - №12. - pp. 2182-2189.

80. Hornung U., Jäger W. Diffusion, convection, absorbtion and reaction of chemicals in porous media [Текст] / U. Hornung, W. Jäger //J. Differential Equations. - 1991. - V. 92, №2. pp. 199- 225.

81. Jikov V. V. Homogenization of Differential Operators and Integral Functional [Текст] / V. V. Jikov, S. M. Kozlov, 0. A. Oleinik. - SpringerVerlag, New York, 1994.

82. Ladyzhenskaya O.A. The mathematical Theory of Viscous Incompressible Flow [Текст] / O.A. Ladyzhenskaya. - Gordon and Breach, New York, 1969.

83. Levy T. Acoustic phenomena in elastic porous media [Текст] / Т. Levy // Mech. Res. Comm. - 1977. - №4. - pp. 253- 257.

84. Levy T. Equations and interface conditions for acoustic phenomena in porous media [Текст] / Т. Levy, E. Sanchez - Palencia // Jour. Math. Anal. Applications. -1977. - №61. - pp. 813- 834.

85. Lewis D.G. The instability of liquid surface when accelerated in a direction perpendicular to their plans [Текст] / D. G. Lewis. - 1950. -№1068. - pp. 81-96.

86. Lions J.L. Some methods in the Mathematical Analysis of Systems and Theire Control [Текст] / J. L. Lions. - Beijing, China: Science Press: New York: Cordon and Breach, 1981.

87. Lord R. Theory of sound [Текст] / Lord Rayleigh. - N.Y.:Dover Publications Inc., 1984.

88. Maruszc-Paloka E. Homogenization of a nonlinear convection-diffusion equation with rapidly oscilating coefficients and strong convection [Текст] / E. Maruszc-Paloka, A. Piatnitski //J. London Math. Soc. - 2005. - V.72, №2 - pp. 371- 409.

89. Meirmanov A. The Muskat Problem for a Viscoelastic Filtration [Текст] / A. Meirmanov // Interfaces and Free Boundaries. - 2011. - v. 13. - pp. 463-484.

90. Meirmanov A.M. Some compactness result for periodic structures and its application to the homogenization of a diffusion-convection equation [Текст] / A. M. Meirmanov , R. Zimin // Electronic Journal of Differential Equations. - 2011. - №115 - pp. 1-11.

91. Mikelic A. Homogenization of the inviscid incompressible fluid flow trough a 2D porous medium / A. Mikelic , L. Paoli // Proceedings of the AMS. - 1999. - V.17. - pp. 2019- 2028.

92. Nguetseng G. A general convergence result for a functional related to the theory of homogenization [Текст] / G. Nguetseng // SIAM J. Math. Anal. - 1989. - 20. - pp.608-623.

93. Nguetseng G. Asymptotic analysis for a stiff variational problem arising in mechanics [Текст] / G. Nguetseng // SIAM J. Math. Anal. - 1990. -21. - pp. 1394-1414.

94. Nichols B. D. Improved Free-Surface Boundary Conditions for Numerical Incompressible Flow Calculations [Текст] / В. D. Nichols , C. W. Hirt. -J. Comput. Phys., 1971. - 434 p.

95. Patancar S. V. Calculation Procedure for Heat, Mass, and Momentum Transfer in Threedimensional Parabolic Flows [Текст] / S. V. Patancar, P. V. Spolding // International journal Heat and Mass Transfer. - 1972. - 15. Ц- pp. 1787Ц-1806.

96. Radkevich E. On the spectrum of the pencil in the Verigin-Muskat problem [Текст] / E. Radkevich // Sbornik: Mathematics. - 1995. - V.80, №1. - pp. 33- 74.

97. Sanchez-Palencia E. Non-Homogeneous Media and Vibration Theory [Текст] / E. Sanchez-Palencia. - Lecture Notes in Physics, V. 129, Springer, Berlin, 1980.

98. Sanchez-Hubert J. Asymptotic study of the macroscopic behavior of a solid-liquid mixture [Текст] / J. Sanchez-Hubert // Math. Methods Appl. Sei. - 1980. - 2 - pp. 1- 18.

99. Siegel M. Global existence, singular solutions, and ill-posedness for the Muskat problem [Текст] / M. Siegel, R. E. Caflish, S. Howison // Comm. on Pure and Appl. Math.. -2004. - V. LVII. - pp. 1- 38.

100. Shterev K. S. A parallel algorithm with improved performance of Finite Volume Method (SIMPLE-TS) [Текст] / К. S. Shterev, K. Stefan, I. Emanouil // LSSC-11. - 2011.

101. Stroustrup B. The С++ Programming Language. AT Bell Laboratories [Текст] / В. Stroustrup // Addison-Wesley Publishing Company. - 1986.

102. Taylor G. The instability of liquid surface when accelerated in a direction perpendicular to their plans [Текст] / G. Taylor. - 1950. - Ser. A, №1065. - pp. 192-196

103. Terzaghi K. Die Berechnung der Durchlassigkeitsziffer des Tones aus dem Verlauf der hydrodynamischen Spannungsercheinungen [Текст] / К. Terzaghi // Sitzung berichte. Akademie der Wissenschaften, Wien Mathematiesch-Naturwissenschaftliche Klasse. - 1923. - 132, №IIa. - pp. 104 - 124.