Гидродинамика в окрестности границы жидкость - пористая среда тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Мосина, Екатерина Владимировна

• Мосина, Екатерина Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мосина, Екатерина Владимировна

Оглавление

Введение

1. Течение в присутствии пористых тел. Аналитический обзор

1.1 Характеристики пористых сред

1.2 Модели фильтрационного и свободного течения жидкости

1.3 Краевые условия на границе жидкость-пористая среда

2. Течение в окрестности границы оребрения

2.1 Плоский канал с бесконечно тонкими ребрами

2.2 Круговой канал с бесконечно тонкими ребрами

2.3 Плоский канал с ребрами конечной толщины

2.4 Гидродинамика перехода на границе оребрения

3. Течение в окрестности границы жидкость — пористая среда

3.1 Плоский канал, частично заполненный модельной волокнистой пористой средой: постановка задачи и метод решения

3.2 Микроскопические гидродинамические поля

3.3 Проницаемость пористой среды

3.4 Гидродинамика в окрестности пористой границы

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гидродинамика в окрестности границы жидкость - пористая среда»

Введение

Задачи совместного течения жидкости в пористой среде и в свободной области широко распространены в природных процессах (растекание и фильтрация воды или нефти по поверхности грунта), в биологических системах (движение воздуха в легких, крови через тромбы), а также находят применение в многочисленных технических приложениях (очистка жидкостей и газов от примесей, разделение суспензий, нефте- и газотранспорт, массо- и теплообмен, каталитические и сорбционные процессы, литейное производство) и энергетике (работа пористых тепловыделяющих элементов).

Для замыкания математических постановок задач о совместном течении свободной жидкости и фильтрационном течении в пористой среде необходимо задание граничных условий на поверхности пористой среды. Выбор подходящих условий частично продиктован математическими особенностями уравнений фильтрационного и свободного течения, но в большей степени соответствием поставленной задачи реальной картине моделируемых процессов. При переходе через границу пористого тела выполнение основных законов сохранения приводит к непрерывности нормальной составляющей скорости и равенства давления внутри пористой среды и нормального напряжения в свободной области. Для задания граничных условий на касательную компоненту скорости и касательное напряжение

могут применяться различные подходы. При использовании фильтрационной модели Дарси для касательной составляющей скорости свободного течения задают граничное условие скольжения (скачка). На поверхности бринкмановской пористой среды могут задаваться, например, условия непрерывности касательной составляющей скорости и касательного напряжения или нормальной производной касательной скорости. Некоторые исследователи вместо непрерывности ставят условие разрыва касательного напряжения на границе пористой среды, пропорционального тангенциальной скорости на границе.

Дифференциальные уравнения фильтрационных течений и краевые условия, задаваемые на границе пористого тела содержат ряд макроскопических параметров, которые зависят от пористости среды, геометрии и топологии порового пространства, физико-химических свойств материала среды, а также типа течения жидкости в свободной области. Эти параметры либо задаются феноменологически, либо определяются из микроскопических гидродинамических решений модельных постановок, наиболее адекватно описывающих течение в реальной проницаемой среде и переход жидкость - пористая среда. Экспериментальные измерения зачастую технически затруднены, а аналитические исследования ограничены, как правило, простыми моделями. Эффективным и часто применяемым способом определения характерных параметров фильтрационных уравнений и граничных условий является сочетание аналитического и численного подхода решения ряда модельных задач об обтекании пористой среды, имеющей регулярную внутреннюю структуру.

Исследование течения жидкости в окрестности границы жидкость-пористая среда, изучение проблемы выбора граничных условий на пори-

стой поверхности, теоретическое и численное определение макроскопических параметров в этих условиях являются весьма актуальными.

Целью работы является исследование гидродинамических характеристик течения в окрестности границы жидкость - пористая среда. Достижение поставленной цели предполагает решение следующих задач:

1. Разработка математических моделей и постановка задач сдвигового и градиентного течения в окрестности границы различных модельных пористых сред. В частности рассмотрение задач обтекания системы ребер и системы стержней, моделирующих пористые среды с различной структурой порового пространства: слоистой и волокнистой, соответственно.

2. Аналитический и численный расчет микроскопических гидродинамических полей в окрестности номинальной границы модельной пористой среды — верхнего края оребрения и внешнего ряда стержней, в широком диапазоне параметров, задающих пористость среды, ее структуру и топологию порового пространства. Усреднение микроскопических полей с целью определения эффективных макроскопических параметров фильтрационных уравнений и граничных условий, задаваемых на границе жидкость-пористая среда.

3. Сопоставление полученных макроскопических характеристик моделей с расчетными и экспериментальными данными других авторов. Выяснение диапазона применимости и подбор наиболее оптимальных значений параметров фильтрационных уравнений и граничных условий.

В диссертационной работе исследованы гидродинамические особенности границы пористых сред, имеющих различную структуру и топологию порового пространства: слоистой, моделируемой системой ребер, и волокнистой, моделируемой системой стержней. Впервые микромоде-

лирование течения в окрестности границы проведено в широком диапазоне параметров, характеризующих локальную геометрию пористой среды и ее номинальной границы. Получены аппроксимирующие зависимости для макровеличин в фильтрационных уравнениях Дарси и Бринкмана (проницаемость, эффективная вязкость), граничных условиях скольжения Саффмана, Биверса-Джозефа (скорость и длина скольжения, коэффициент скольжения) и граничных условиях непрерывности скорости и касательного напряжения для таких модельных сред. Показано, что для умеренно концентрированных пористых сред, имеющих различную структуру порового пространства (слоистую и волокнистую), но схожую локальную геометрию границы, эффективные параметры краевых условий приближенно равны.

Практическая значимость диссертационной работы состоит в том, что проведенное микромоделирование течения жидкости в окрестности границы модельной пористой среды открывает возможности детального и систематического изучения влияния структуры пористой поверхности на ее гидродинамические свойства и способствует более адекватному физическому описанию межфазного перехода жидкость - пористая среда. Полученные граничные условия могут быть использованы при замыкании макроскопических математических постановок различных прикладных задач, возникающих в технических, химических, биологических и иных системах. Фильтрационные модели течения в оребренных круговых и плоских каналах подходят, например, для расчетов тепло- и массообменных устройств и дают довольно точные оценки гидравлических характеристик таких устройств, а также приближенные усредненные профили скорости.

Полученная в работе макромодель обтекания системы волокон адек-

ватно описывает поверхностную гидродинамику фильтров из натуральных и синтетических волокон. Использование в макромодели найденных аппроксимирующих формул для параметров граничных условий позволяет получить довольно точные оценки необходимых гидравлических характеристик потока, а также приближенные усредненные профили скорости.

Научные результаты диссертационной работы для границы модельной пористой среды могут быть обобщены на пористые поверхности, имеющие более сложную локальную структуру порового пространства, а также на другие типы течений (обтекание проницаемых тел неограниченным потоком, растекание жидких пленок по пористому слою и др.).

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Аналитические и численные решения для стоксова течения вязкой несжимаемой жидкости в плоских каналах с поперечными ребрами, как бесконечно тонкими, так и конечной толщины, с различными вариантами их расположения на стенках канала, и моделирующими простейшую слоистую пористую среду. Математические аппроксимации для длины скольжения вдоль края оребрения в граничном условии Саффмана.

2. Аналитические решения для ламинарного течения вязкой несжимаемой жидкости в плоских и круговых каналах с продольными бесконечно тонкими ребрами. Фильтрационное приближение, моделирующее течение в такой слоистой пористой среде. Приближенные формулы для проницаемости и эффективной вязкости в фильтрационном уравнении Бринк-мана в межреберном пространстве и граничном условии для касательного напряжения на краю оребрения.

3. Математическая модель и численный алгоритм расчета течения вязкой несжимаемой жидкости в плоском канале, частично занятом систе-

мой поперечно расположенных стержней квадратного сечения, моделирующих волокнистую пористую среду. Детальные численные гидродинамические поля для сдвигового и градиентного течения при различных регулярных укладках стержней. Аппроксимирующие зависимости для проницаемости такой среды и коэффициента скольжения в условии Биверса-Джозефа, задаваемом на границе жидкость - пористая среда.

4. Обобщающие гидродинамические характеристики приграничного слоя пористой среды. Инвариантность этих характеристик и локальное подобие картин сдвигового и градиентного течения в окрестности пористой границы для сред с различной структурой и топологией порового пространства (слоистой и волокнистой). Оценки для глубины проникновения внешнего свободного течения в пористую среду в зависимости от пористости среды.

Основные результаты и выводы, полученные в диссертации, опубликованы в 11 печатных работах, из них работы в научных изданиях из Перечня ВАК РФ [25, 26, 27, 29], тезисы докладов на российских и международных конференциях [22, 24, 28, 30], в сборниках трудов и других изданиях [21, 23, 31], а также получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ [32].

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Мосина, Екатерина Владимировна

Заключение

Сформулируем основные результаты и выводы, полученные в работе.

1. В приближении Стокса построены математические модели и получены полуаналитические и численные решения задач о течении вязкой жидкости в оребренном канале и канале, частично заполненном упорядоченной системой квадратных стержней, моделирующих пористые среды с принципиально разными топологиями порового пространства — слоистую и волокнистую, соответственно. Исследованы локальные особенности течения между ребрами и стержнями, а также в окрестности края ребер и верхнего ряда стержней. Проведено сравнение продольного и поперечного, сдвигового и градиентного течений в оребренном канале и в канале со стержнями.

Сопоставление с имеющимися в литературе аналитическими, экспериментальными и численными исследованиями показало хорошее соответствие полученных решений, в том числе для частных и предельных случаев.

2. Для макроскопического описания течения жидкости в плоском канале с поперечными ребрами, рассматриваемыми в качестве континуальной модели слоистой пористой среды, использована модель Стокса -Саффмана с граничным условием скольжения Саффмана, устанавливающим прямую пропорциональную зависимость тангенциальной составляющей скорости и ее нормальной производной. Показано, что коэффициент пропорциональности, так называемая длина скольжения, существенно зависит только от локальной геометрии оребрения, для бесконечно тонких ребер определяемой только расстоянием между ними, а для ребер конечной толщины еще и пористостью, и не зависит от типа течения в канале (сдвигового или градиентного), конфигурации канала (с одной или двумя симметрично или шахматно оребренными стенками), а также высоты ребер. Приведена аппроксимирующая зависимость длины скольжения от расстояния между ребрами и пористости в широком диапазоне параметров задачи.

Установлено, что соответствующая макроскопическая постановка Стокса-Саффмана является гидравлически подобной постановке задачи о течении в оребренном канале в смысле приближенного равенства расхода жидкости сквозь весь канал и коэффициента сопротивления, а также приближенного совпадения профилей скорости.

3. Для макроскопического описания течения жидкости в плоском и круговом канале с продольно оребренными стенками использована модель Стокса-Бринкмана с граничным условием непрерывности касательной составляющей скорости и касательного напряжения. Система параллельных ребер рассмотрена в качестве модели бринкмановской пористой среды с однородной проницаемостью, зависящей только от локальной геометрии порового пространства, определяемой расстоянием между ребрами, в то время как система ребер, расположенных на внутренней стенке кругового канала, моделирует неоднородный пористый слой с проницаемостью, зависящей как от распределения ребер по поверхности, так и от их высоты. Эффективная вязкость системы ребер, примыкающих к стенке канала, зависит только от локальной геометрии порового пространства.

Показано, что такая фильтрационная модель Стокса-Бринкмана гидравлически подобна течению в продольно оребренных каналах.

4. Для макроскопического описания течения жидкости в плоском канале, частично занятом системой стержней, моделирующей волокнистую пористую среду, использована модель Стокса-Дарси с граничным условием скольжения Биверса-Джозефа, допускающим разрыв тангенциальной составляющей скорости, пропорциональный ее нормальной производной.

Обнаружено, что для вычисления проницаемости системы стержней могут быть использованы известные в литературе аналитические и эмпирические выражения, но требуются некоторые корректирующие множители, учитывающие форму поперечного сечения стержней. Коэффициент скольжения, фигурирующий в граничном условии Биверса-Джозефа, для сдвигового течения зависит только от объемного содержания твердых включений (стержней) в пористой среде, в отличие от случая градиентного течения, когда необходимо учитывать влияние микроструктуры пористой среды.

5. Внутри пористой среды существует тонкий пограничный слой, в котором скорость на поверхности среды резко уменьшается до значения фильтрационной скорости внутри среды. Геометрия и топология порового пространства этого погранслоя оказывает существенное воздействие на гидродинамические характеристики границы жидкость - пористая среда и определяет вид зависимости макроскопических параметров краевых условий, задаваемых на этой границе.

Показано, что течения в окрестности оребрения и в окрестности границы системы стержней подобны в смысле равенства длин скольжения в случае объемной концентрации включений больше 0.1, и внутренняя структура и топология пористой среды, слоистой или волокнистой, не оказывает заметного влияния на гидродинамические характеристики поверхности пористой среды.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мосина, Екатерина Владимировна, 2012 год

Литература

1. Андерсон Д., Таннехил Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен: В 2-х т. Т. 2. М.: Мир, 1990. 392 с.

2. Аравин В.И., Нумеров С.Н. Теория движения жидкостей и газов в недеформируемой пористой среде. М.: ГИТТЛ, 1953. 616 с.

3. Бабкин В.А. Исследование относительных движений вязкой жидкости и пористой среды с использованием уравнения Бринкмана // Изв. РАН. МЖГ. 2002. № 4. С. 90-97.

4. Басниев К.С., Кочина И.Н., Максимов В.М. Подземная гидромеханика: Учебник для вузов. М.: Недра, 1993. 416 с.

5. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы: Учеб. пособие. М.: Наука, 1987. 600 с.

6. Бошенятов Б.В., Чернышев И.В. К вопросу об эффективной вязкости микропузырьковой среды / Молекулярная газодинамика и механика неоднородных сред. М.: Наука, 1990. С. 179-183.

7. Воюцкий С.С. Курс коллоидной химии. М.: Химия, 1976. 512 с.

8. Головин A.M., Лопатин В.А. Течение вязкой жидкости сквозь решетку цилиндров с двойной периодичностью // ПМТФ. 1968. Т. 9. № 2. С. 99-105.

9. Грег С., Синг К. Адсорбция, удельная поверхность, пористость. М.: Мир, 1970. 306 с.

10. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Физматлит, 1960. 664 с.

11. Дмитриев М.Н., Дмитриев Н.М. К определению фильтрационного числа Рейнольдса и характерного линейного размера для идеальных и фиктивных пористых сред // Изв. РАН. МЖГ. 2005. № 4. С. 97-104.

12. Жданов В.Г. Определение эффективных свойств бринкмановской среды, образованной твердыми сферическими частицами // Коллоидный журнал. 1998. Т. 60. № 1. С. 5-8.

13. Жданов В.Г., Старов В.М. Определение эффективной вязкости концентрированных суспензий // Коллоидный журнал. 1998. Т. 60. № 6. С. 771-774.

14. Квашнин А.Г. Об одной ячеечной модели суспензии сферических частиц // Изв. АН СССР. МЖГ. 1979. № 4. С. 154-157.

15. Кирш A.A., Фукс H.A. Исследования в области волокнистых аэрозольных фильтров // Коллоидный журнал. 1967. Т. 29. № 5. С. 682686.

16. Кирш В.А. Гидродинамическое сопротивление трехмерных модельных волокнистых фильтров // Коллоидный журнал. 2006. Т. 68. № 3. С. 293-298.

17. Лейбензон Л.С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде. М.-Л.: Гостехиздат, 1947. 245 с.

18. Леонтьев Н.Е. Основы теории фильтрации: Учеб. пособие. М.: Изд-во Центра прикл. иссл. при мех.-матем. фак-те МГУ, 2009. 88 с.

19. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003. 840 с.

20. Маскет М. Течение однородных жидкостей в пористой среде. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004. 628 с.

21. Мосина Е.В., Чернышев И.В. Медленное течение в плоском канале с поперечными ребрами // Вестник ВолГУ. Сер. 1. Математика. Физика. 2006. Вып. 10. С. 81-85.

22. Мосина Е.В. Медленное сдвиговое течение над оребренной плоскостью // Тез. XI Per. Конф. молод, исслед. Волгоградской обл. Вып. 4. Физика и математика. Волгоград: Изд-во ВолГУ, 2007. С. 85-87.

23. Мосина Е.В. Сдвиговое течение в канале, частично заполненном модельной пористой средой // Труды Матем. центра им. И.И. Лобачевского. 2007. Т. 36. С. 156-158.

24. Мосина Е.В. Течение на границе жидкость - модельная пористая среда // Тез. XVIII сесс. Междунар. шк. по моделям механики сплошной среды. Саратов: Изд-во СГУ, 2007. С. 78-79.

25. Мосина Е.В., Чернышев И.В. Условие скольжения на поверхности модельной волокнистой пористой среды // Письма в ЖТФ. 2009. Т. 35. Вып. 5. С. 103-110.

26. Мосина Е.В. Численное исследование течения на границе жидкость-пористая среда // ТОХТ. 2010. Т. 44. Вып. 5. С. 536-542.

27. Мосина Е.В., Чернышев И.В. Течение жидкости в окрестности пористой границы // Вестник Нижегород. ун-та им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 4(3). С. 999-1001.

28. Мосина Е.В. Течение жидкости в окрестности пористой границы // Современные методы механики. X Всеросс. съезд по фунд. проблемам теор. и приклад, механики. Вторая Всеросс. шк. молодых ученых-механиков. Тез. докл. — Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 2011. С. 111.

29. Мосина Е.В., Чернышев И.В. Фильтрационная модель продольного течения в цилиндрическом оребренном канале // ПМТФ. 2012. Т. 53. № 3. С. 48-55.

30. Мосина Е.В. Моделирование гидродинамики в канале, частично занятом пористой средой // Тез. XII Междунар. конф. молодых ученых «Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики». - Новосибирск: Изд-во ИТ СО РАН, 2012. С. 82.

31. Мосина Е.В. Условие скольжения на границе оребрения и поверхности волокнистой пористой среды // Труды Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. 2012. Т. 45. С. 148-150.

32. Мосина Е.В. Гидродинамические поля поперечного обтекания системы квадратных стержней, частично заполняющих плоский канал // Свид-во о гос. per. программы для ЭВМ № 2013612336. Зарег. в Реестре программ для ЭВМ РФ 21.02.2013 г.

33. Москалев П.В., Шитов В.В. Математическое моделирование пористых структур М.: Физматлит, 2007. 120 с.

34. Пористые проницаемые материалы: Справ, изд. / Под ред. Белова C.B. М.: Металлургия, 1987. 335 с.

35. Ромм Е.С. Структурные модели порового пространства горных пород. JL: Недра, 1985. 240 с.

36. Слободов Е.Б., Чепура И.В. К вопросу о ячеечной модели двухфазных сред // ТОХТ. 1982. Т. 16. № 3. С. 331-335.

37. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2-х т. Т. 2. М.: Мир, 1991. 552 с.

38. Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рей-нольдса. М.: Мир, 1976. 631 с.

39. Черняков A.JI., Кирш A.A. Сила сопротивления трехмерной решетки, образованной цилиндрическими волокнами // Коллоидный журнал. 1997. Т. 59. № 5. С. 698-708.

40. Чураев Н.В. Физико-химия процессов массопереноса в пористых телах. М.: Химия, 1990. 272 с.

41. Шейдеггер А.Э. Физика течения жидкостей через пористые среды. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2008. 250 с.

42. Школьников Е.И., Ковтунов С.Н., Волков В.В. Уточнение выражений для проницаемости пористого слоя при вязком течении газов и жидкостей под действием перепада давления // Коллоидный журнал. 1996. Т. 58. № 4. С. 553-559.

43. Щелкачев В.Н., Лапук Б.Б. Подземная гидравлика. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 736 с.

44. Agelinchaab M., Tachie M.F., Ruth D.W. Velocity measurement of flow through a model three-dimensional porous medium // Phys. Fluids. 2006. V. 18. P. 017105-1-017105-11.

45. Alazmi B., Vafai K. Analysis of variants within the porous media transport models // J. Heat Transfer. 2000. V. 122. P. 303-326.

46. Alazmi B., Vafai K. Analysis of fluid flow and heat transfer interfacial conditions between a porous medium and a fluid layer // Int. J. Heat Mass Transfer. 2001. V. 44. P. 1735-1749.

47. Auriault J.-L. On the domain of validity of Brinkman's equation // Transp. Porous Med. 2009. V. 79. P. 215-223.

48. Bai H.X., Yu P., Winoto S.H., Low H.T. Boundary conditions at the interface between fluid layer and fibrous medium // Int. J. Numer. Meth. Fluids. 2009. V. 60. P. 809-825.

49. Bars M.L., Worster M.G. Interfacial conditions between a pure fluid and a porous medium: implications for binary alloy solidification // J. Fluid Mech. 2006. V. 550. P. 149-173.

50. Bayta§ A.C., Erdem D., Acar H., Çetiner O., Ba§ci H. Analytical determination or the permeability for slow flow past periodic arrays of cylinders with different cross sections // J. Porous Med. 2012. V. 15. P. 1009-1018.

51. Beavers G.S., Joseph D.D. Boundary conditions at a naturally permeable wall // J. Fluid Mech. 1967. V. 30. Part 1. P. 197-207.

52. Beavers G.S., Sparrow E.M., Magnuson R.A. Experiments on coupled parallel flows in a channel and a bounding porous medium // J. Basic Eng. 1970. V. 92. P. 843-848.

53. Beavers G.S., Sparrow E.M., Masha B.A. Boundary condition at a porous surface wich bounds a fluid flow // AIChE J. 1974. V. 20. P. 596-597.

54. Brinkman H.C. A calculation of the viscous force exerted by a flowing fluid on a dense swarm of particles // Appl. Sci. Res. 1947. Ser. A. V. 1. P. 27-34.

55. Carotenuto C., Minale M. Shear flow over a porous layer: Velocity in the real proximity of the interface via rheological tests // Phys. Fluids. 2011. V. 23. P. 063101-1-063101-11.

56. Chandesris M., Jamet D. Boundary conditions at a planar fluid-porous interface for a Poiseuille flow // Int. J. Heat Mass Transfer. 2006. V. 49. P. 2137-2150.

57. Chandesris M., Jamet D. Boundary conditions at a fluid-porous interface: An a priori estimation of the stress jump coefficients // Int. J. Heat Mass Transfer. 2007. V. 50. P. 3422-3436.

58. Chandesris M., Jamet D. On the intrinsic nature of jump coefficients at the interface between a porous medium and a free fluid region // Int. J. Heat Mass Transfer. 2009. V. 52. P. 289-300.

59. Churaev N.V., Sobolev V.D., Somov A.N. Slippage of liquids over lyophobic solid surfaces // J. Colloid Interface Sci. 1984. V. 97. P. 574-581.

60. Clague D.S., Phillips R.J. A numerical calculation of the hydraulic permeability of three-dimensional disordered fibrous media // Phys. Fluids. 1997. V. 9. P. 1562-1572.

61. Dagan G. The Generalization of Darcy's law for nonuniform flows // Water Res. Res. 1979. V. 15. P. 1-7.

62. Davis A.M.J. Periodic blocking in parallel shear or channel flow at low Reynolds numbers // Phys. Fluids. 1993. V. 5. P. 800-809.

63. Davis A.M.J., James D.F. The slip velocity at the edge of a porous medium: effects of interior resistance and interface curvature // Transp. Porous Med. 2003. V. 53. P. 175-196.

64. Do K.H., Min J.Y., Kim S.J. Thermal optimization of an internally finned tube using analytical solutions based on a porous medium approach // ASME J. Heat Transfer. 2007. V. 129. P. 1408-1416.

65. Drummond J.E., Tahir M.I. Laminar viscous flow through regular arrays of parallel solid cylinders//Int. J. Multiphase Flow. 1984. V. 10. P. 515-540.

66. Durlofsky L., Brady J.F. Analisys of the Brinkman equation as a nidel for flow in porous media // Phys. Fluids. 1987. V. 30. P. 3329-3341.

67. Ehrhardt M. An introduction to fluid-porous interface coupling / Preprint BUW-AMNA-OPAP 10/15. 2010. 10 p.

68. Fabbri G. Heat transfer optimization in internally finned tubes under laminar flow conditions // Int. J. Heat Mass Transfer. 1998. V. 41. P. 12431253.

69. Fatt I. The network model of porous media I I Trans. AIME. 1956. V. 207. P. 160-181.

70. Givler R.C., Altobelli S.A. A determination of the effective viscosity for the Brinkman-Forchheimer flow model // J. Fluid Mech. 1994. V. 258. P. 355-370.

71. Goharzadeh F., Khalili A., Jorgensen B.B. Transition layer thickness at a fluid-porous interface//Phys. Fluids. 2005. V. 17. P. 057102-1057102-10.

72. Goyeau B., Lhuillier D., Gobin D., Velarde M.G. Momentum transport at a fluid-porous interface // Int. J. Heat Mass Transfer. 2003. V. 46. P. 4071-4081.

73. Gupte S.K., Advani S.G. Flow near the permeable boundary of a porous medium: An experimental investigation using LDA // Exper. Fluids. 1997. V. 22. P. 408-422.

74. Happel J. Vicsous flow in multiparticle systems: slow motion of fluids relativ to beds of spherical particles // AIChE J. 1958. V. 4. P. 197-328.

75. Happel J. Vicsous flow relative to arrays of cylinders // AIChE J. 1959. V. 5. P. 174-177.

76. Hasimoto H. On the periodic fundamental solutions of the Stokes equation and their application to viscous flow past a cubic array of spheres // J. Fluid Mech. 1959. V. 5. P. 317-328.

77. Higdon J.J.L., Ford G.D. Permeability of three-dimensional models of fibrous porous media // J. Fluid Mech. 1996. V. 308. P. 341-361.

78. Hill A.A., Straughan B. Poiseuille flow in a fluid overlying a porous medium // J. Fluid Mech. 2008. V. 603. P. 137-149.

79. Hill A.A., Straughan B. Poiseuille flow in a a fluid overlying a highly porous material // Adv. Water Res. 2009. V. 32. P. 1609-1614.

80. Hu M.H., Chang Y.P. Optimization of finned tubes for heat transfer in laminar flow // ASME J. Heat Transfer. 1973. V. 95. P. 332-338.

81. Huang H., Ayoub J. Applicability of the Forchheimer equation for non-Darcy flow in porous media // SPE J. 2008. V. 13. P. 112-122.

82. Izquierdo S., Valdes J.R., Martinez M., Accolti M., Woudberg S., Asinari P., Miana M., Du Plessis J.P. Porous-layer model for laminar liquid flow in rough microchannels // Microfluid Nanofluid. 2010. V. 9. P. 1063-1075.

83. Jackson G.W., James D.F. The permeability of fibrous porous media // Can. J. Chem. Eng. 1986. V. 64. P. 364-374.

84. James D.F., Davis A.M.J. Flow at the interface of a model fibrous porous medium // J. Fluid Mech. 2001. V. 426. P. 47-72.

85. Jeong J.-T. Slip boundary condition on an idealized porous wall // Phys. Fluids. 2001. V. 13. P. 1884-1889.

86. Jones I.P. Low Reynolds number flow past a porous spherical shell // Proc. Camb. Phil. Soc. 1973. V. 73. P. 231-238.

87. Kamrin K., Bazant M.Z., Stone H.A. Effective slip boundary conditions for arbitrary periodic surfaces: the surface mobility tensor // J. Fluid Mech. 2010. V. 658. P. 409-437.

88. Kim S.J., Yoo J.W., Jang S.P. Thermal optimization of a circular-sectored finned tube using a porous medium approach // ASME J. Heat Transfer. 2002. V. 124. P. 1026-1033.

89. Koplik J., Levine H., Zee A. Viscosity renormalization in the Brinkman equation // Phys. Fluids. 1983. V. 26. P. 2864-2870.

90. Kuznetsov A.V. Influence of the stress jump condition at the porous-medium/clear-fluid interface on a flow at a porous wall // Int. Comm Heat Mass Transfer. 1997. V. 24. P. 401-410.

91. Kuznetsov A.V. Analitical investigation of Couette flow in a composite channel partially filled with a porous medium and with a clear fluid //Int. J. Heat Mass Transfer. 1998. V. 41. P. 2556-2560.

92. Kuwabara S. The forces experienced by randomly distributed parallel circular cylinders or spheres in a viscous flow at small Reynolds number // J. Phys. Soc. Japan. 1959. V. 14. P. 527-532.

93. Larson R.E., Higdon J.J.L. Microscopic flow near the surface of two-dimensional porous media. Part 1: Axial flow // J. Fluid Mech. 1986. V. 166. P. 449-472.

94. Larson R.E., Higdon J.J.L. Microscopic flow near the surface of two-dimensional porous media. Part 2: Transverse flow // J. Fluid Mech. 1987. V. 178. P. 119-136.

95. Lin M., Tian L., Wang Q.W. Laminar heat transfer characteristics of internally finned tube with sinusoidal wavy fin // J. Heat Mass Transfer. 2011. V. 47. P. 641-653.

96. Lundgren T.S. Slow flow through stationary random beds and suspensions of spheres // J. Fluid Mech. 1972. V. 51. P. 273-299.

97. Martys N., Bentz D.P., Garboczi E.J. Computer simulation study of the effective viscosity in Brinkman's equation // Phys. Fluids. 1994. V. 6. P. 1434-1439.

98. Mattern K.J., Deen W.M. «Mixing rules» for estimating the hydraulic permeability of fiber mixures // AIChE J. 2008. V. 54. P. 32-41.

99. Moffatt H.K. Viscous and resistive eddies near a sharp corner // J. Fluid Mech. 1964. V. 18. P. 1-18.

100. Neale G., Nader W. Practical significance of Brinkman's extension of Darcy's law: coupled parallel flows within a channel and a bounding porous medium // Can. J. Chem. Eng. 1974. V. 52. P. 475-478.

101. Ng Ch.-O., Wang C.Y. Stokes shear flow over a grating: Implications for superhydrophobic slip // Phys. Fluids. 2009. V. 21. P. 013602-1-013602-12.

102. Niavarani A., Priezjev N.V. The effective slip length and vortex formation in laminar flow over a rough surface // Phys. Fluids. 2009. V. 21. P. 052105-1-052105-10.

103. Nield D.A., Bejan A. Convection in porous media. 3rd edn. 2006. Springer, New York. 640 p.

104. Nield D.A. The Beavers-Joseph boundary condition and related matters: A historical and critical note//Transp. Porous Med. 2009. V. 78. P. 537-540.

105. Ochoa-Tapia J.A., Whitaker S. Momentum transfer at the boundary between a porous medium and a homogeneous fluid — I. Theoretical development // Int. J. Heat Mass Transfer 1995. V. 38. P. 2635-2646.

106. Ochoa-Tapia J.A., Whitaker S. Momentum transfer at the boundary between a porous medium and a homogeneous fluid — II. Comparison with experiment // Int. J. Heat Mass Transfer 1995. V. 38. P. 2647-2655.

107. Pozrikidis C. Boundary element grid optimization for Stokes flow with corner singularities // J. Fluids Eng. 2002. V. 124. P. 22-28.

108. Rahli O., Tadrist L., Miscevic M. Experimental analisys of fibrous porous media permeability // AIChE J. 1996. V. 42. P. 3547-3549.

109. Richardson S.A. A model for the boundary condition of a porous material. Part 2 // J. Fluid Mech. 1971. V. 49. P. 327-336.

110. Rustum I.M., Soliman H.M. Experimental investigation of laminar mixed convection in tubes with longitudinal internal fins // ASME J. Heat Transfer. 1988. V. 110. P. 366-372.

111. Sadiq T.A.K., Advani S.G., Parnas S.R. Experimental investigation of transverse flow through aligned cylinders // Int. J. Multiphase Flow. 1995. V. 21. P. 755-774.

112. Saffman P.G. On the boundary condition at the surface of a porous medium // Stud. App. Math. 1971. V. 50. P. 93-101.

113. Sahraoui M., Kaviany M. Slip and no-slip velocity boundary conditions at the interface of porous, plain media // Int. J. Heat Mass Transfer. 1992. V. 35. P. 927-943.

114. Sangani M. S., Acrivos A. Slow flow past periodic arrays of cylinders with application to heat transfer // Int. J. Multiphase Flow. 1982. V. 8. P. 193-206.

115. Sangani M. S., Acrivos A. Slow flow past periodic arrays of spheres // Int. J. Multiphase Flow. 1982. V. 8. P. 343-360.

116. Shams M., Currie I.G., James D.F. The flow field near the edge of a model porous medium // Experiments in Fluids. 2003. V. 35. P. 193-198.

117. Shou D., Fan J., Ding F. Hydraulic permeability of fibrous porous media // Int. J. Heat Mass Trans. 2011. V. 54. P. 4009-4018.

118. Slichter C.S. Theoretical investigations of the motion of ground waters // 19-th Am. Rep. U. S. Geol. Survey. 1899. V. 2. P. 295-384.

119. Sochi T. Slip at fluid-solid interface // Polymer Reviews. 2011. V. 51. P. 309-340.

120. Soliman H.M., Feingold A. Analysis of fully developed laminar flow in longitudinal internally finned tubes // Chem. Eng. J. 1977. V. 14. P. 119-128.

121. Sparrow E., Loeffler A.L. Longitudinal laminar flow between cylinders arranged in regular array // AIChE J. 1959. V. 5. P. 325-330.

122. Spielman L., Goren S.L. Model for predicting pressure drop and filtration efficiency in fibrous media // Environ. Sci. Technol. 1968. V. 2. P. 279-287.

123. Suga K., Nishio Y. Three dimensional microscopic flow simulation across the interface of a porous wall and clear fluid by the lattice Boltzmann method // Open Transp. Phenom. J. 2009. V. 1. P. 35-44.

124. Tachie M.F., James D.F., Currie I.G. Velocity measurements of a shear flow penetrating a porous medium // J. Fluid Mech. 2003. V. 493. P. 319-343.

125. Tahir M.A., Tafreshi H.V. Influence of fiber orientation on the transverse permeability of porous media // Phys. Fluids. 2009. V. 21. P. 083604-1083604-5.

126. Tamayol A., Bahrami M. Transverse permeability of fibrous porous media // Phys. Review. 2011. V. 83(E). P. 046314-1-046314-9.

127. Taylor G.I. A model for the boundary condition of a porous material. Part 1 // J. Fluid Mech. 1971. V. 49. P. 319-326.

128. Vafai K., Kim S. J. Fluid mechanics of the interface region between a porous medium and a fluid layer — an exact solution // Int. J. Heat Fluid Flow. 1990. V. 1. P. 254-256.

129. Valdes-Parada F.J., Ochoa-Tapia J.A., Alvarez-Ramirez J. On the effective viscosity for the Darcy-Brinkman equation // Physica. Ser. A. 2007. V. 385. P. 69-79.

130. Valdes-Parada F.J., Alvarez-Ramirez J., Goyeau B., Ochoa-Tapia J.A. Computation of jump coefficients for momentum transfer between a porous medium and a fluid using a closed generalized transfer equation // Transp. Porous Med. 2009. V. 78. P. 439-457.

131. Vinogradova O.I. Slippage of water over hydrophobic surfaces // Int. J. Miner. Process. 1999. V. 56. P. 31-60.

132. Wang C.Y. The Stokes drag due to the sliding of a smooth plate over a finned plate // Phys. Fluids. 1994. V. 6. P. 2248-2252.

133. Wang C.Y. Flow and heat transfer between plates with longitudinal fins I I Applied Scientific Research. 1995. V. 54. P. 23-38.

134. Wang C.Y. Stokes flow through an array of rectangular fibers // Int. J. Multiphase Flow. 1996. V. 22. P. 185-194.

135. Wang C.Y. Stokes flow through a transversely finned channel // ASME J. Fluids Eng. 1997. V. 119. P. 110-114.

136. Wang C.Y. Stokes flow through a staggered array of rectangular cylinders and the junction resistance // ZAMP. 1999. V. 50. P. 982-998.

137. Wang C.Y. Flow over a surface with parallel grooves // Phys. Fluids. 2003. V. 15. P. 1114-1121.

138. Watkinson A.P., Millet D.L., Kubanek G.R. Heat transfer and pressure drop of internally finned tubes in laminar oil flow // ASME Paper. 1975. Preprint No. 75-HT-41. P. 1-9.

139. Whitaker S. The Forchheimer equation: A theoretical development // Transp. Porous Med. 1996. V. 25 P. 27-61.

140. Zong W.H., Currie I.G., James D.F. Creeping flow through a model fibrous porous medium // Exp. in Fluids. 2006. V. 40. P. 119-126.