Корректность начально-краевых задач математических моделей гидравлического удара тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Некрасова, Ирина Викторовна

• Некрасова, Ирина Викторовна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Некрасова, Ирина Викторовна

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава 1. Предварительные сведения

Глава 2. Математические модели гидравлического удара в слабо вязкой жидкости и экстремально упругом скелете

§1. Постановка задачи

§2. Основные результаты

§3. Доказательство теоремы 2.2

§4. Доказательство теоремы 2.3

§5. Доказательство теоремы 2.4

§0. Доказательство теоремы 2.5

Глава 3. Математические модели гидравлического удара в вязкой жидкости и экстремально упругом скелете

§1. Основные результаты

§2. Доказательство теоремы 3.1

§3. Доказательство теоремы 3.2

Глава 4. Математические модели гидравлического .удара в слабо вязкой жидкости и эластичном твердом скелете

§1. Основные результаты

§2. Доказательство теоремы 3.1

§3. Доказательство теоремы 3.2

Глава 5. Математические модели гидравлического удара в вязкой жидкости и эластичном твердом скелете

§1. Основные результаты

§2. Доказательство теоремы 5.1

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Корректность начально-краевых задач математических моделей гидравлического удара»

Введение

Актуальность темы.

В настоящей работе исследуется корректность макроскопических математических моделей распределения ноля давления в пласте вблизи скважины в процессе гидравлического удара. Доказательство корректности указанных моделей основано па строгом усреднении точных уравнений, описывающих на микроскопическом уровне совместное движение твердого скелета грунта и вязкой жидкости, заполняющей поры в грунте.

Как правило, процессы фильтрации являются очень медленными процессами, в которых характерными временами являются месяцы. Общепринятые математические модели фильтрации жидкостей базируются на феноменологическом законе Дарси, определяющим связь между давлением жидкости и се скоростью.

В тоже время есть задачи фильтрации, в которых процессы длятся доли секунд. Например, гидравлический удар в нефтяной скважине. Гидравлическим ударом называется резкое повышение давления в некоторой системе, включающей, например, трубы, трещины и поры, заполненной жидкостью, вызывающее микроразрывы нефтяного пласта.

В настоящее время существуют инженерные модели этого процесса, косвенно связанные с фундаментальными законами механики сплошных сред [1], [2], [3j. В работе Т.Т. Гарипова [4] была предложена модель распространения трещин в пороупругой среде, в которой динамика жидкости описывается уравнением Дарси. Для последнего уравнения. как мы отмечали, характерное время па порядки превышает время описываемого процесса.

Задаче о движении жидкости в пористой среде посвящено большое количество работ российских и зарубежных авторов: М. Био |6]. К. фон Терцаги [7J, Р. Барриджа и Дж. Келлера [5], Э. Санчес-Паленсии, Т. Лови [9]. A.M. Мейрманова [10]-[16], А.Л. Пятницкого, Г.А. Чечкина, A.C. Шамаева [17], Дж. Быокенсна [18], Ж. Лина, М. Бакингема [19], Т. Клопиу, Ж. Ферри, Р. Гилберта, А. Микелича [20], Л. Наоли, Г. Нгуетсенга, Ж. Санчес-Хыоберта [21].

В настоящей диссертации предлагается доказательство корректности новых макроскопических математических моделей гидравлического удара в нефтяном пласте, основанное па точном анализе параметров соответствующей математической модели на микроскопическом уровне (базовая модель), описывающей движение жидкости в порах упругого скелета грунта, с последующим усреднением дифференциальных уравнений микроскопической модели.

Автор следует естественной идее, предложенной Р. Барриджем и Дж. Келлером [5], сначала описать совместное движение упругого скелета и жидкости в порах на микроскопическом уровне, используя классические законы механики сплошных сред, а затем найти соответствующие аппроксимирующие модели с помощью методов теории усреднения. Базовая модель не вызывает сомнений и является общепринятой. Следовательно, все ее строго обоснованные подмодели (в том числе и усредненные уравнения) будут востребованы для будущих практических приложений.

В настоящей работе рассмотрена только небольшая часть всех возможных предельных ситуаций (усредненных уравнений). Очевидно, что нахождение всевозможных корректных математических моделей, асимптотически аппроксимирующих базовую модель, является важной и интересной задачей как с математической так и с практической точек зрения. Вообще говоря, при решении реальных физических задач не предполагается осуществления каких-либо предельных переходов. В то же время решение системы микроскопических уравнений, наиболее точно отражающих рассматриваемый физический процесс практически нереально, поскольку коэффициенты системы осциллируют па масштабе в 10-15 микрон. С другой стороны, в распоряжении исследователя имеются конкретные физические постоянные (плотность среды, вязкость жидкости, упругие постоянные твердого скелета, характерный размер рассматриваемой области Ь. характерное время физического процесса г и т.п.) и естественный малый параметр. Считая безразмерные коэффициенты уравнений функциями данного малого параметра и меняя физические величины в пределах применимости математической модели, можно определить закономерности в поведении безразмерных

коэффициентов. Последние подскажут выбор усредненной модели, близкой к базовой модели. Здесь необходим наиболее полный набор возможных усредненных уравнений, поскольку различные предельные режимы соответствуют различным физическим ситуациям, предугадать которые заранее невозможно.

В настоящее время вопросам усреднения многомерных сильно неоднородных сред посвящена большая математическая литература. Теории усреднения дифференциальных операторов посвящена монография В.В. Жикова, С.М. Козлова, O.A. Олейпик [22]. Задачи усреднения уравнений теории упругости с быстро осциллирующими коэффициентами в перфорированных областях с различными краевыми условиями исследованы в монографии O.A. Олейпик, Г.А. Иосифьяна, A.C. Шамаева [23]. Имеется еще целый ряд монографий, посвященных усреднению многомерных сильно неоднородных сред. Это книги В.А. Марченко, Е.Я. Хруслова [24], А. Бенсусапа, Ж.-Л. Лиопса, Д. Папапиколау [25], Ж.-Л. Лиоиса [26], Э. Санчес-Паленсии [8], П.С. Бахвалова, Г.П. Папасепко [27], AJ1. Пятницкого, Г.А. Чечкина, A.C. Шамаева [17).

Вывод усредненных уравнений основан на систематическом применении метода двухмасштабной сходимости, идея которого впервые была введена в 1989 году Г. Нгуетсенгом ¡28], [29]. Понятие двухмасштабной сходимости развивает понятие слабой сходимости. При этом двухмастптабпый предел последовательности функций зависит от двух групп переменных: медленные и быстрые переменные. В дальнейшем эта идея разрабатывалась в работах Г. Аллэира [30], В.В. Жикова [31], A.M. Мсйрманова [10] и других авторов.

Цель работы. Основной целыо работы является доказательство корректности новых макроскопических математических моделей гидравлического удара в нефтяном пласте.

Общая методика исследования. В работе используются классические методы функционального анализа и теории дифференциальных уравнений в частных производных и методы теории усреднения, в первую очередь метод двухмасштабной сходимости Г. Пгуетсенга.

Научная новизна. Результаты, полученные в диссертации, явля-

ются новыми. Среди наиболее важных отметим следующие:

1. Доказано существование обобщенного решения начально-краевой задачи для системы линейных уравнений, описывающей на микроскопическом уровне совместное движение упругого пористого тела и жидкости, заполняющей поры, названной в работе моделью

Mi;

2. Доказана сходимость решений системы уравнений модели Mi, на основе анализа ее параметров, к решениям усредненных систем уравнений при стремлении малого параметра усреднения к нулю;

3. Получены математические модели гидравлического удара, па основе строгого усреднения модели, описывающей физический процесс на микроскопическом уровне:

4. Доказана однозначная разрешимость трех макроскопических математических моделей гидравлического удара в нефтяном пласте.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в пей результаты могут быть использованы в теории усреднения дифференциальных уравнений и математическом моделировании быстротекущих процессов фильтрации в подземных грунтах.

Апробация работы. Основные результаты и содержание работы докладывались и обсуждались па VIII школе молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» (Нальчик-Хабез. 2010). Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения - XXI» (Воронеж, 2010), Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2011, 2013), на Международной конференции «Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел» (Белгород 2011), на семинаре по дифференциальным уравнениям и их приложениям под руководством профессора А.П. Солдатова и профессора A.M. Мейрманова (Белгородский государственный университет, 2012, 2013), а также па Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Белгород 2013).

Публикации. Основные научные результаты, вошедшие в диссертацию. отражены в работах [1] [14] из списка публикаций автора по

теме диссертации. Из них статьи [3], [5|, [6|, [8], [11], [14] опубликованы в рецензируемых научных изданиях. В совместных с научным руководителем A.M. Мейрмановым работах [3], [9], [14] руководителю принадлежат постановка задач, выбор методик исследования и общее руководство работой, а соискателю - реализация указанных методик.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на параграфы, списка литературы, включающего 42 наименования, и изложена на 130 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, дан краткий обзор литературы по вопросам, связанным с темой диссертации, формулируются основные результаты диссертации.

Первая глава содержит предварительные теоретические сведения, необходимые для изложения материала (в частности, метод двухмасштабной сходимости, теоремы вложения, лемму о продолжении, граничные свойства функций, заданных на периодических множествах).

Во второй главе исследуется разрешимость базовой модели. Определяется понятие обобщенного решения задачи. Получены равномерные по параметру е оценки решения. Проводится усреднение точной модели для случая слабо вязкой жидкости и экстремально упругого скелета.

В персом параграфе второй главы ставится задача усреднения точной модели при стремлении малого параметра к нулю.

В предложенной работе изучается линеаризованная модель совместного движения упругого пористого тела и вязкой несжимаемой жидкости. А именно, рассмотрен упругий пористый скелет, занимающий ограниченную область. 11оры полностью насыщены вязкой несжимаемой жидкостью. В пористом скелете имеет место полое включение цилиндрическое отверстие, заполненное той же самой жидкостью, что и поры.

Рассматриваемая область Q лежит в полупространстве {гс3 < 0}. Ее граница S состоит из двух частей: 51 лежит в плоскости {х3 = 0},

остальная часть границы Б'2 — 5'\31 есть гладкая поверхность класса С2, вблизи плоскости {х% = 0} заданная уравнением Ф(х1,х2) = 0.

Область О, есть подобласть С], такая что дополнение О, в есть цилиндр = {х <Е М3| х\ + х\ ^ 82 < 1, (ро(х1,х2) < х3 < 0}.

При этом представляет собой объединение порового пространства твердого скелета и их общей границы Г — Области

£2/ и являются связными непересекающимися множествами. Поверхность Г является липптицевой.

Поскольку задача усреднения практически невыполнима для совершенно произвольной области, обычно вводится упрощающее допущение относительно геометрии области. В данном случае это предположение о периодичности порового пространства.

В качестве параметра усреднения £ модели выступает величина. равная отношению среднего размера пор I к размеру Ь рассматриваемой области: е = I/Ь.

Для фиксированного £ > 0 совместное движение твердого скелета и жидкости, заполняющей поры, в области {1? и безразмерных переменных описывается системой

У-к/ = 0, (0.1)

дГ~

-V.jp, (0.2)

Р - гЧ®^ Ь(1- х£)алВ(х. и/) - ;г Е. (0.

В области движение жидкости описывается системой Стокса, состоящей из уравнения неразрывности (0.1) и уравнения баланса

импульса

(0.4)

ро = -/][. (0.5)

На общей границе Б0 = дО, П <9Г2°, а также на границе Г" «твердый скелет - норовое пространство» выполнены условия непрерывности

перемещении и нормальных напряжении

lim w(x.t) — lim w(x.t), (0.6)

x — г" г —•

х е fin х е П

lim Р°{x,t) ■ п{х°) = lim Р(ж, t) ■ п(ж°), (0.7)

a- fe S2° а' € <г

где п(х°) вектор нормали к соответствующей границе в точке ж0. На части S1 границы S задано нормальное напряжение

(СР°(®, о + (1 - СЖ*> 0) • ез - -ро(®, Оез, (0.8)

ГДР- Ро(^Д) ^сть импульс, определяющий гидравлический удар. На оставшейся части внешней границы S2 выполняется условие

ws(x,t)^ 0 при / > 0. (0.9)

Задача замыкаеггся однородными начальными условиями

dw£

w£(x. 0) - 0, 0) = 0. же Q. (0.10)

Здесь

6е = XPi + (1 - Г)А,

Здесь ws(x,t) - вектор перемещения сплошной среды, p£(x,t) - давление в сплошной среде. Р(ж.w) симметрическая часть градиента вектора w (тензор напряжений), 11 единичная матрица, р/ и p.s средние безразмерные плотности жидкой и твердой фаз (отнесенные к плотности воды р$) соответственно. Характеристическая функция норового пространства определяется равенством

хЧх) =

где Хо{х) р(;ть характеристическая функция области а

(х\ _ ( о, x е cil, x\l) I 1. Ж е Щ.

Точную модель (0.1) - (0.10) будем называть далее моделью Mi. Пусть безразмерные параметры 6¿¡L и á\ зависят от малого параметра задачи е и существуют конечные или бесконечные пределы:

Oi i Oi\

limáis) = /io, limare) = Ло, lini -у — /¿i, lim — = Ai.

Целыо настоящей ¡заботы является нахождение всевозможных предельных режимов (усредненных уравнений) и соответствующих начальных и краевых условий.

Обычным образом определяется обобщенное решение задачи. Определение 0.1. Пара функции {иг, р£} называется обобщенным решением задач,и (0.1) - (0.10), если

1) w£ ew™ (QT), £ L2(Qt), p* £ L2(Qt)-

2) почти всюду в области Qt выполнен to уравнение неразрывности (0.1) it начальное условие (0.10) для, функции ш€;

Я) функции w' и р5 удовлетворяют интегралы 1,ом/у тоэюдеству

( " ~дЕ°ЪГ' Ж + (°р0 4 (1 _ С)1Р): Ю)(,х'^)dxdt =

-I V • (<рро) dxdl (0.11)

Jqt

для всех функций ip £ W2 (Qt)- £ L2(Qt), таких что

(У 6

ip(x,t) = 0 на границе S2r и <р(х,Т) — 0, х £ Q.

Вывод усредненных уравнений базируется па следующей теореме. Теорема 0.1. При всех £ > 0 на произвольном, интервале времени (0, X) существует единственное обобщеи/ное решение {we,p£} задачи, (0.1) - (0.10) -ti, справедлива оценка

max J ((^f I2 + |;/|2 + a„(e + (1 -

«л(1 - 0(1 - r")|D(*, ^ С„ф2, (0.12)

где постоянная, Cq не зависит от малого параметра, е.

В параграфах §2 - §5 второй главы получены модели гидравлического удара в слабо вязкой жидкости и экстремально упругом скелете при условии //о = Ао = 0 и различных значениях и Х\.

А именно, в параграфах §2 и §3 проводится усреднение точной модели для следующих двух случаев:

//i = Ai — со. (0.14)

0 ^ ßU Ai < сю. (0.15)

Теорема 2.2. Пусть выполнено условие (0.Ц) и функции {р6, Vе} являются обобщенным решением, зада/ч,и, (0.1) - (0J0). Тогда из последовательности параметров {г > 0} mooicuo выделить подпоследовательность, такую что при е - > 0 последовательность {р ~} сходится слабо в £г(0г) к решению р(х, I) G WI'Q(Qt) следующей смешанной краевой задачи для строго эллиптического уравнения:

V- (-Цу7;

\р{х)

р (х, i) =p0(x,i), х £ S1, L > 0, (0.17)

V/j (х, t) ■ п(х) - 0, х в S2., / > 0, (0.18)

где п(х) - вектор норм,ал/а к поверхности, S2 в точ/ке х,

р{х) = (с(ж) + (1 - C(*))™)¿?/ I о - С(®))(1 - m)ß8.

Теорема 2.3. Пусть выполнен,о условие (0.15) и, функции {р~, vE\ являются обобщенным решением задачи (0.1) - (0.10). Тогда из последовательности параметров {е > 0} м,о:жпо выделить подпоследовательность, такую что последовательность {р ~} сходится слабо в L<2{Qt), при £ стремящемся к нулю, к решению p(x,t) G W^ÍQt) смешанной краевой за,дачи, состоящей, из краевого условия (0.17) на части S1 границы S, краевого условия,

(J В(x,t r)-Vp{x.r)dT) • п(х) = 0 (0.19)

0, х е Q, 1> 0,

(0.16)

на оставшейся части Б2 и усредненного уравнения

V ■ в(ж,г - т) • Чр{х,т)(1т) - о, хеС],г> о. (0.20)

Матрица Ш(х,Ь) определена решениям,и периодических начально-краевых задач, на ячейке У.

В параграфах §4 и §5 второй главы полумены усредненные модели для случаев:

= сю, 0 < Ах < ос, (0.21)

Ах = оо, 0 ^ //1 < оо. (0.22)

В этой ситуации оценки на градиент перемещения различны в жидкой и твердой фазах, что не позволяет непосредственно использовать более сильные оценки. Чтобы сохранить лучшие свойства решения мы продолжаем поле перемещений из выбранной компоненты (жидкой или твердой) на всю область с сохранением оценки на норму градиента.

А именно, пусть С}у — и

и5 = Е('«г) ,

где

Щ : \VXQy) >

есть оператор продолжения из С^- па С^. так что

и£ = >ш£ в <2ух(0,'Г),

и

/ |и£\2дх ^ Со / \те\2дх

[ Щх,ие)\2(1х ^ Со [ \Щх,ц]£)\2(1х (0.13)

(более подробно о таком продолжении см. [заботу С. Сопса [32]).

Теорема 2.4. Пусть выполнено услосте (0.21) и шу — Ед; (иг). Тогда существует подпоследовательность от малого параметра (г > 0}. такая, что последовательности {;/}. {(1 - £)(1 —

Х£)дгп£/д^, {Огиу/с)/} и {д2ту/д12} сходятся при £ —> О слабо в Ь2{(Эт) и Ь2{От) к функциям, р е дгп^/дЬ, ди)Г/д1

и д^ш^дЬ1 соответственно. Предельные функции удовлетворяют, в области (}т систем,е усредненных уравнений, состоящей из ура вне1 шя н еразры, в пост,и,

V • V = О, (0.23)

где

( , , , /Л дгиг ди>(*\

" = в; I У т¥т + (1 " с)(т"аг +

закона сохранения им,пульса

diu f I

(1-0(mßf~dr + ß'-ft-+ J Vp(®,r)dr) = 0, (0.24)

для, о/сидкой компоненты, и соотношения

(1 - С) (-5Г ür) =

/t o2

®i(oo. Ai; / — r) ■ (Vp(x,r)-\- dr) (0.25)

для 'твердой компоненты, при Х\ > 0 или, усредненного закона сохранения количества движения твердой компоненты, в виде

=Щоо.О;1.)0я^ I ((l-m)I-B2(oo,0;£))(-Vp) (0.26)

в случае Ai = 0.

Уравнения (0.23) - (0.26) дополняются однородными начальными условиям, и

™(л)(ж,0) - wf(x, 0) - 0. (0.27)

для перемещений о/сидкой и твердой компонент, гра,ничными условиями

p{x,t) = p{)(x,t), xeS1, t> 0, (0.28)

v{x,t) ■ п(х) = 0, х е t > 0, (0.29)

для скорости v u, давления, р.

Теорема 2.5. Пусть выполнено условие (0.22) и -ш; = Е^(кг). Тогда существует подпоследовательность, выделенная из последовательности параметров {г > 0}, такая что последовательности {//}7 {Х£дгп'/д1}, {(1 - Одт^/д!) и {(1 - С)д2иоЦд12} сходятся при £ —> 0 слабо в Ь2(С^т) и, Ь2{(}т) '>«<' (функциям р Е дги^/дЬ, дгиь/дЬ и д2 гПц/дЬ соответственно. Предельные функции удовлетворяют в области С^т системе усредненных уравнений, состоящей из уравнения неразрывности

V ■ V — 0, (0.30)

где

у = V? ®,т г/г+ 1 - С)(-«— + 1-т Г),

закона сохранения, импульса

Л </#;(/) я,,, г*

(1-С)(^/-Ж- + (1 + ^ Ур(а:,г)</т) =0, (0.31)

для, твердой компоненты, и соотношения

/ Г* д2ш \

(1-0(у ,оо^-т)-(Чр(х,т) I (0.32)

(9./?,л лсидкой компоненты при > 0 или усредпеттого закона сохранения количества двио/сеп/ия, окуидкой, компоненты, в виде

д2ги^] д2'ш

"= В2(0, со; + (ш1 ~ ®2(0, сю; 1))(-Чр) (0.33)

е случае =0.

Уравнения (0.30) - (0.33) дополняются однородными начальным,и, условиям,и (0.27) для, перемещений ги^ и жидкой, и, твердой компонент, и граничными условиями, (0.28) и (0.29) для давления р и скорости V.

В третьей глаие проводится усреднение модели Mi для случая вязкой жидкости и сильно эластичного твердого скелета: О < ¡iQ <00, Ао = 0.

Теорема 3.1. Пусть {w£,p£} - слабое решение задачи (0.1) -(0.10),

Ai — 00,

и vj = Ещ(д'ш£/dt). Тогда

1) существует, подпоследовательность, выделенная из последовательности, параметров {е > 0}, такая, что последовательность {v£f} сходится слабо в Hy'^Qr) к функци/и, v¡, последовательности {dw£/dt} и {р£} сходятся, слабо в L'¿(Qt) и ^'¿(Qt) к функциям V = dwfdt = Vf и р соответственно;

2) предельные функции, v¡- up есть решение систем,ы усредненных уравнений в области, Qt, состоящей, из уравнения, неразрывности

V-Vf-0. (0.34)

3 а к о н а, с о х/ра н е ? ¿ и.я, им, п у л, ь са

= V • Щ, (0.35)

Ц = tMiim^Vf) + (1 - с) 9*0 : ®(x,vf)) -pl,

совместно с краевыми и начальным условиями,

Ц ■ ез = -po(x,t)e-¿, X es\ te (0 ,Т), (0.3G)

vf(x, t) = 0, ж G S2, t e (0. T), (0.37)

v f(x. 0) = 0, x e Q: (0.38)

3) задача (0.34) ~~ (0.38) имеет, единствен,uoe решение.

В (0.35) постоянный тензор четвертого ранга Otg симметричен и строго положительно определен.

Теорема 3.2. Пусть {ггг, р£} - слабое решение задачи (0.1) -(0.10),

0 ^ Al < сю.

и v£f =EQ}(dw£/dt). Тогда

1) существует подпоследовательность, выделенная из последовательности параметров {£" > 0}7 такая, что последовательность

{vy} сходится слабо в W12()(Qt) к функции Vf, последовательности <9гт, dv£

{~дГ}> « {Plh < - 0 - 0(1 - Xs) Р= = (1 0(1 - г>е,

dv f dv^ , \

сходятся слабо в L2(Qt) и L'>(Qt) к функциям , ^ , , р и ps соответственно;

2) предельные функции Vf, v^K р и ps есть решение систем,ы усредненных уравнений в области Qt, состоящей, из уравнения неразрывности

V • ((С -I (1 - Qm)v f + v^) = 0, (0.39)

закона сохранения импульса

0f(C + m(i -C))-^- \-e»(i- 0—Qf- =

V- (/^(CD^W/) + (0.40)

для о/сидкой компоненты, соотношения

f*t 1 Q

(l-o / B<8>(oo,Ai;*-r). (---Vp„(x,t) + Qs^-(x,T))dT =

J о I1 m) C,T

(1-0(^(,S)-(1 -m)vf) (0.41)

для твердой компоненты среды, при Ах > 0 или усредненного закона сохранения, количества двио/сеи/ия твердой компоненты, в виде

(0.42)

в случае Лх — 0.

Уравнения (0.39) - (0.^2) дополняются краевыми и начальп'ым

условиям/и (0.36) - (0.38) для жидкой компоненты и краевым, условием,

-п = 0, ж С 52, I С (О,Т) (0.43)

для, твердой компоненты,. В (0.40) постоянный тензор четвертого ранга, симметричен и строго полоо/сительно определен.

В четвертой главе получены усредненные уравнения модели гидравлического удара в слабо вязкой жидкости и эластичном упругом скелете:

0 < Ло < оо, /¿о = 0. Теорема 4.1. Пусть {г/г, р£} - слабое решен,ие задачи (0.1) - (0.10),

М1 = оо,

и ии^ = Тогда

1) существует подпоследовательность, выделенная из последовательности параметров {г > 0}7 такая, 'что последовательность {ии^} сходится слабо в к функции 1ин, последовательности [Оиг/с)1} и {р£} сходятся, слабо в Ь2{С)г) и ^2{Ят) к функциям, у = ди)!д1 ир соответственно и,

(1-О(»-^) = 0;

2) предельные фгункции V, ир есть решение системы, усредненных уравнений в области С}г, состоящей из уравнения неразрывности

V • V 0, (0.44)

закона сохранения импульса,

с)п (~) II)

0/С-^ + Ю-С)-^^. П, (0.45)

совместно с краевыми и начальным условиями

Р* • с3 - -р0(х^)е3, х Е 51, 1е (0,Т), (0.46)

ws(x,t) = 0, X e S2., t £ (0,T), (0.47)

0) = (1 - с)wa(x, 0) = (1 - o) = 0, ® G Q; (0.48)

задача (0.44) _ (0-48) имеет единственное решение. В уравнении (0.45)

Q = rriQf -Ь (1 —

постоянный тензор четвертого ранга, симметричен и строго положи/телън,о определен.

Теорема 4.2. Пусть {w£,p£} - слабое решение задачи (0.1) -(0.10),

0 ^ pi < оо,

и w£ — Eí2« (w£). Тогда

1 ) существует подпоследовательность, выделенная из последовательности параметров {<£ > 0}, такая, ч/то последовательность {г/;;} сходится слабо в N^^iQi1) к фуик/и;ии, wH. последовательности {w£f}, {р£} и {p£f}, где

WJ - (С I- (1 - Ox£)w£, P£f = (1 - ОхУ,

сходятся, слабо в L-¿{Qt) и L')(Qt) к функциям, р и mpf

соответственно, и, (Çp + (1 - С)P.f) £ W^iQr)-

2) предельные функции ги^ up¡ есть ранение системы усредненных уравнении, в области, Qj-. состоящей из уравнения неразрывности

V • (ги(/) + (1 - m)(l - Qws) - 0, (0.49)

закона сохранения импульса

d2w^ s,d2wH

V • (Ло(1 - O^ï •• - (Ср + (1 ~ С)Pf)l) (0.50)

для твердой компоненты, соотношения,

- J* B^(/ib оо: / - г) • {Vpf(x. г) + Qf{ 1 - r))dr =

о-с К-щ--т-от) (°-51)

для жидкой компоненты среды. Совместно с краевыми и начальным, условиям/и (0.^6) - (0.^8) для, 'твердой компоненты и краевым и нач альными у ел овиями

113

(/) п = 0, ж е 51'2, г € (0,Т) (0.52)

гпи){х,0) = = 0, хед (0.53)

для, жидкой компоненты и краевым, условием,

Ро ' ез = " Р о (х,1)е-л, х 6 51, ¿е (О, Г). (0.54)

В (0.50) постоянный тензор четвертого ранга сммметри,ч,еи и строго положительно определен.

13 пятой главе проводится усреднение модели М1 для случая вязкой жидкости и эластичного твердого скелета:

0 < Л0, до < оо-

Теорема 5.1. Пусть {кг, ре] есть слабое решение задачи (0.1) (0.10). Тогда

д-ш£ °

1) последовательности {кг} и { ^ } сходятся, слабо в IV2 (Г2-/-)

к функциям, ии и, V соответствен,}!,о, последовательности { ^^ } и

д^ии

{р5} сходятся, слабо в Ь2{()т) и ¿^(фу) к функциям 2 ир соответственно;

2) предельные функции т. V и р есть решение системы усредненных уравнений в области С)т • состоя/щей из уравнения, неразрывности,

V • к; - 0, (0.55)

и усредненного уравнения, баланса импульса

д(х)^ + Х7р = V- Р, (0.50)

Р = с Мо ВО, V) + (1 - С) (^1 : Щх, г?)+

т2 : ги) + / - г) : Р(.т, г<;(ж, т))йт,

Л

совместно с краевым и начальным, условиям,и

Р-е3 = -;роез, же (0.57)

■ш(ж, ¿) = 0, же (0.58)

ги(ж, 0) = г? (ж, 0) = 0, же С?; (0.59)

^ задами, (0.55) - (0.59) имеет единственное решение.

Полученные в работе усредненные модели свободны от быстро осциллирующих коэффициентов, что делает их пригодными для численных расчетов.

Глава 1

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Список обозначений

Приведем ряд обозначений, используемых в диссертационной работе.

Если а и Ь два вектора, то матрица а 0 Ъ определяется как

для произвольного вектора с;

Если В и С две матрицы, то В <3 С есть тензор четвертого ранга такой, что его свертка с произвольной матрицей А дается формулой

нуля элемент, равный единице, стоит па пересечении г-той строки и ./-того столбца;

где (е1;е2,ез) - ортопормированный базис.

К" - евклидово пространство размерности п. х = (х1,...,хп) ~ точка Я".

область из /?/', ЗГ2 = 5 — граница области О,, п единичный вектор нормали к 5, направленной вне О,.

Пусть и = (и1,....ип). V = (и1,....ип) £ Я". Через и ■ V обозначим скалярное произведение в Я":

(а ® Ь) • с = а(Ь • с)

(В0С) : Л = В(С : А). См. Овсянников ([33, с.16])

Через обозначим матрицу, у которой единственный отличный от

Iй = \{11] + Г) = 1{ег ® е:1 -I- с, ® а),

п

Если и(х) = (щ(х),..., ип(х)) - достаточно гладкая вектор-функция, х 6 Я'1, то тензор второго ранга Vи определяется соотношением

ди ди-.

В частности

т п 0 0

' О Х/Ох,

1=1 ,у = 1 ■> ■>

\\7и\2 = Vг¿ : Уп.

Для скалярных (функций и(х),у(х)

^ „ „ „ ди ду

\7и:Чу = V?! -\7у=} . ,

ахп охп

J = l J 3

Опишем основные (функциональные пространства, используемые в работе.

Ья(0.) (1 ^ д ^ со) — пространство вещественных функций и, определенных в О, и таких, что (1х < со, если д < со, и

существенно ограниченных по лебеговой мере, если д — со. Норма в ЬЦ{И) задается равенством

\\и\\ч,{1 = \и{х)\Чс1х^ ,

если 1 ^ д < со,

\Н\ь^(И) = еззБир\и{х)\. п

\¥1(1(С1) — банахово пространство, состоящее из всех элементов из Ь(/(С1). имеющих обобщенные производные всех видов до порядка I включительно, суммируемых по со степенью д. Норма в опре-

деляется равенством

«С = ¿<м>$-

7=0 22

(Л

Символ означает любую производную и(х) по х порядка у, а Х^)

означает суммирование по всевозможным производным и порядка о I

\¥— подпространство пространсл'ва плотным множест-

вом в котором является совокупность всех бесконечно дифференцируемых, финитных в £2 функций.

10,т цилиндр х (О, Т) в пространстве Я"+1:

пт = {(ж, 0 е яп+1\х е о, г е (о.Г)}.

ЬСЬг{Ъ1т) — банахово пространство, состоящее из всех измеримых на Пт функций с конечной нормой

причем ^ 1 и г ^ 1. Ьп({1т) = Ьч д(£1т), и в частности,

/ у/2

1М|2,пг — ( [пт \и\2 ^хсИ I — норма и в пространстве 1,2 (Фг) •

\\Г2А)(£1т) — гильбертово пространство со скалярным произведением

(и, = / • V?;) с1х (II.

и ну

о 1.0

10

IV2 (^т) подпространство И^' (Г2^). состоящее из тех его элементов, которые обращаются в нуль на боковой поверхности цилиндра 12г. 1 1

\¥2' (От) ~ гильбертово пространство со скалярным произведением . . [ , диди ,

¿7

О 1Д

W2 (Пгг) — подпространство И/21'1(^т)-, состоящее из тех его элементов, которые обращаются в нуль на боковой поверхности цилиндра Qт-

Пусть f(x.i) - функция, определенная в цилиндре Пт- В общем случае, если X — банахово пространство, то обозначим

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Некрасова, Ирина Викторовна, 2014 год

Список литературы

[1] Adachi J.I., Detou,may E., Peirce A.P. Analysis of the classical pseudo-3D model for hydraulic fracture with equilibrium height growth across stress barriers// Int. J. of Rock Mechanics and Mining Sciences. - 2010. - V. 47, P. 625 - 630.

[2] Kovalyshen Y., Detournay E. A Reexamination of the Classical PKN-Model of Hydraulic Fracture// Transp. Porous Med. - 2010. - V. 81, P. 317 - 339.

[3| Liany Weiguoab, Zhao Yangshenga A mathematical model for solid liquid and mass transfer coupling and numerical simulation for hydraulic fracture in rock salt// Progress in Natural Science 2005. - V. 15, Issue 8, P. 742 - 748.

[4] Гарипов Т. Т. Моделирование процесса гидроразрыва пласта в пороупругой среде// - Мат. Моделирование. - 2006. - т. 18, No. 6, С. 53 -69.

[5] Burridge R. and Keller J.В. Poroelasticity equations derived from microstructure// Journal of Acoustic Society of America. - V. 70, No. 4, (1981) C. 1140 - 1146.

[6] Biot M. Theory of elasticity and consolidation for a porous anisotropic solid // Journal of Applied Physics. - 1955. - V. 26. - P. 182-185.

[7] Terzaghi, K. Die Berechnung der Durchlassigkeitsziffer des Tones aus dem Verlauf der hydrodynamischen Spannnrigsercheinun-gen// Sitzung berichte. Akadcmie der Wissenschaften, Wien Mathcmatiesch-Naturwissenschaftliche Klasse, - 1923. - V. 132. - № Ha. - P. 104-124.

[8] Санчее-Паленсил Э. Неоднородные среды и теория вибраций. -М.: Мир, 1984. - 471 с.

[9] Levy Т. Fluids in porous media and suspensions. In Homogenization Techniques for Composite Media, Lecture Notes In Physics. - Springer. - 1987. - Berlin. - 272 p.

[10] Мейрманов А. М. Метод двухмасштабной сходимости Нгуетсенга в задачах фильтрации и сейсмоакустики в упругих пористых средах// Сибирский математический журнал. - 2007. - Т. 48, № 3. - С. 64-67.

[11] Мейрманов А. М. Закон Дарси в неизотермических пористых средах// Сибирские Электронные Математические Известия. -2007. - Т. 4. - С. 141-154. - http://semr.math.nsc.ru.

[12] Мейрманов А. М. Уравнения неизотермической фильтрации быстропротекающих процессов в упругих пористых средах// Прикладная математика и техническая физика. - 2008. - Т. 49, № 4. - С. 113-129.

[13] Мейрманов А. М. Определение акустических и фильтрационных характеристик термоупругих пористых сред: уравнения термо-пороупругости Био// Математический сборник. - 2008. - Т. 199, № 3. - С. 202-225.

[14] Мейрманов А. М. Неизотермическая фильтрация и сейсмо-акустика в пористых грунтах: уравнения термовязкоупругости и уравнения Ламэ// Труды Математического Института им. В. А. Стеклова. - 2008. - Т. 261. - С. 210-219.

[15] Мейрманов А. М. Вывод уравнений сейсмоакустики и уравнений фильтрации в упругих пористых средах через усреднение периодических структур// Труды семинара им. И. Г. Петровского. Вып. 27. - М.: Изд-во МГУ, 2008. - С. 178-238.

[16] Мейрманов А. М. Применение многомасштабной сходимости для описания фильтрации жидкости в трещиновато-пористых средах// Научные ведомости БелГУ. Серия Математика, Физика. - 2008. - № 13 (53), Выпуск 15. - С. 73-78.

[17] Пятницкий А. Л., Чечкин Г. А., Ша.маев А. С. Усреднение. Методы и приложения. - Новосибирск: Тамара Рожковская, Белая серия в математике и физике, 2007. - Т.З. - 264 с.

[18] Buchanan J.L., Gilbert R.P. Transition loss in the farfield for an ocean with a Biot sediment over an elastic substrate. ZAMM. - 1997. - V.77.

- P. 121-135.

Buckingham M.J. Seismic wave propagation in rocks and marine sediments: a new theoretical approach, in: A. Alippi, G.B. Cannelli (Eds.)

- Underwater Acoustics. - 1998. - Vol. I. - CNR-IDAC. - Rome.

Clopeau Th., Ferrin J. L., Gilbert R. P., Mikelic A. Homogenizing the acoustic properties of the seabed// Part II, Mathematical and Computer Modelling. - 2001. - V.33. - P. 821 841.

Sanchez-Hubert J. Asymptotic study of the macroscopic behavior of a solid-liquid mixture// Math. Methods Appl. Sci. - 1980. - V. 2. - P. 1-18.

Жаков В. В., Козлов С. М., Олейиик О. А. Усреднение дифференциальных операторов. - М.: Паука, 1993. - 464 с.

Олейник О. А., Иосифьян Г. А., Шамаев А. С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. - М.: Изд-во МГУ, 1990. - 311 с.

Марченхо В. А.. Хруслов Е. Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей. - Киев: Наукова думка, 1974. - 279 с.

Bensoussan A., Lions J.-L., Papanicolau G. Asymptotic Analysis for Periodic Structure. - Amsterdam: North Holland, 1978. - 700 c.

Lions J.-L. Some methods in the Mathematical Analysis of Systems and Theire Control// Beijing, China: Science Press: New York: Cordon and Breach. - 1981.

Бахвалов H. С. Паиасеико Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композиционных материалов. - М.: Наука, 1984. - 352 с.

[28] Nguetseny G. A general convergence result for a functional related to the theory of homogenization// SIAM J. Math. Anal. - 1989. - V. 20.

- P. 608-623.

[29 [30

131

[32

[33 [34 [35 [36

[37

[38

[39

Lukkassen D., Nguetseng G., Wall P. Two-scale convergence// Int. J. Pure and Appl. Math. - 2002. - V.2. - N1. - P. 35-86

Allaire G. Homogenization and two-scale convergence// SIAM J. Math. Anal. - 1992. - V. 23. - P. 1482-1518.

Жаков В. В. Об одном расширении и применении метода двухмасштабной сходимости// Матсм. сб. - 2000. - Т. 191, № 7.

- С. 31-72.

Сопса С. On the application of the homogenization theory to a class of problems arising in fluid mechanics. - J. math, purcs et appl. - 1985.

- 64. P.31-75.

Овсянников Л. В. Введение в механику сплошных сред. Ч. 1. -Новосибирск: НГУ, 1976. - 72 с.

Ладыо/сенская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. - М.: Наука, 1970. - 288 с.

Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. -М.: Наука, 1973. - 408 с.

Ладыжхнская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. - М.: Наука, 1967. - 736 с.

Meirmanov A. A description of seismic acoustic wave propagation in porous media via homogenization // SIAM J. Math. Anal. - 2008. -40;3 - P.1272-1289.

Meirmanov A. Derivation of equations of seismic and acoustic wave propagation and equations of filtration via homogenization of periodic structures // Journal of Mathematical Sciences. - 2009. - 163;2 -P.lll-172.

Колмогоров A. H., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1972. - 496 с.

[40] Треногии В. А. Функциональный анализ. - М.: Наука, 1980. - 496 с.

[41] Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. - М.: Наука, 1976. - 391 с.

[42] Овсянников Л. В. Введение в механику сплошных сред, Ч. II. -Новосибирск: НГУ, 1976. - 70 с.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Некрасова И.В. Об одной модели гидравлического удара в теории фильтрации жидкости// Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения - XXI». - Воронеж: ВГУ. - 2010. - С. 158-159.

2. Некрасова И.В. Моделирование быстропротекающих процессов при фильтрации несжимаемых жидкостей//Материалы VIII школы молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики». - Нальчик-Хабез: КБНЦ РАН.

- 2010. - С. 74-76.

3. Гриценко С.А., Некрасова И.В. О методе фиктивных областей для периодической начально-краевой задачи для уравнений Стокса// Научные ведомости БелГУ. Серия Математика. Физика. - 2010. -№17(88). - Выпуск 20. - С. 29 - 37.

4. Некрасова И.В. Математические модели гидравлического удара в пористой среде// материалы Воронежской зимней математической школы «Современные методы теории функций и смежные проблемы».

Воронеж: ВГУ. - 2011. - С. 239 - 240.

5. Некрасова И.В. Моделирование быстропротекающих процессов фильтрации несжимаемой жидкости через усреднение периодических структур: односкоростной континуум// Научные ведомости БелГУ. Серия Математика. Физика. - 2011. - №23(94). - Выпуск 21. - С.75

- 88.

6. Некрасова И.В. Моделирование быстропротекающих процессов фильтрации несжимаемой жидкости через усреднение периодических структур: двухскоростной континуум// Научные ведомости БелГУ.

Серия Математика. Физика. - 2011. - №5(100). - Выпуск 22. - С.75

- 87.

7. Некрасова И.В. Две модели гидравлического удара в нефтяном пласте// Материалы Международной конференции «Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел». Белгород. НИУ «БелГУ», 2011. - С. 87.

8. Некрасова И.В. Некоторые модели гидравлического удара в нефтяном пласте// Сибирский журнал индустриальной математики.

- июль-сентябрь, 2011. - Т. XIV. - №3(47). - С. 79 - 86.

9. Мейрманов A.M., Некрасова И.В. Математические модели гидравлического удара в слабо вязкой жидкости// Математическое моделирование. - 2012. - Т. 24. - №5. - С. 112 - 130.

10. Некрасова И. В. Математические модели гидравлического удара в вязкой жидкости// Сибирские электронные математические известия. - 2012. Т. 9. - С. 274 - 293. -http://scrnr.math.nsc.nl/v9/p227-246.pdf.

11. Некрасова H.B. О корректности математических моделей гидравлического удара в слабо вязкой жидкости и пороупругом скелете// Научные ведомости БелГУ. Серия Математика. Физика. -2012. - №5 (124). - Выпуск 26. - С. 129-146.

12. Некрасова И.В. Математическая модель гидравлического удара в вязкой жидкости и эластичном твердом скелете// материалы Воронежской зимней математической школы «Современные методы теории функций и смежные проблемы». - Воронеж: ВГУ. - 2013. -

13. Некрасова И.В. Математическая модель гидравлического удара в пласте вблизи скважины// Материалы Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения». Белгород. - НИУ «БелГУ», 2013. - С. 137.

14. Meirmanov A.M., Nekrasova I.V. Mathematical models of a hydraulic shock// Journal of Mathematical Analysis and Applications. -Volume 408. - Issue 1. - 2013. - P. 76-90.

C. 161.