Математические модели диффузии примесей в абсолютно твердых пористых средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Гриценко, Светлана Александровна

• Гриценко, Светлана Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гриценко, Светлана Александровна

Обозначения

Введение

Глава 1. Предварительные сведения'.

Глава 2. Корректность математических моделей диффузии на микроскопическом уровне

§1. Математическая модель М1 — движение вязкой жидкости в отсутствие объемной вязкости

§2. Математическая модель М2 — движение вязкой жидкости с ненулевой объемной вязкостью.

§3. Математическая модель МЗ с малой диффузией и конвекцией в твердом скелете.

Глава 3. Усреднение математической модели МЗ

§4. Постановка задачи.

§5. Основные результаты.

§6. Доказательство теоремы 4.

§7. Доказательство теоремы 5.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели диффузии примесей в абсолютно твердых пористых средах»

В настоящей диссертации методами теории дифференциальных уравнений исследуются математические задачи, описывающие на микроскопическом уровне диффузию и медленную конвекцию примесей в вязкой слабосжимаемой жидкости, заполняющей поры в абсолютно твердом скелете грунта, и их асимптотические пределы (усредненные уравнения).

Актуальность темы.

Тема исследований подпадает под пункт 6: рациональное природопользование перечня "Приоритетных направлений науки РФ"и пункты а) 8: технологии атомной энергетики, ядерного топливного цикла, безопасного обращения с радиоактивными отходами и отработавшим ядерным топливом, б) 16: технология оценки ресурсов и прогнозирования состояния литосферы и биосферы, в) 21: технологии снижения риска и уменьшения последствий природных и техногенных катастроф.

Методика исследований. Основными методами исследования являются классические методы функционального анализа и теории уравнений в частных производных, в частности, методы теории линейных и квазилинейных параболических уравнений (см. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. [1]). Кроме того, используются методы исследования нелинейных уравнений, такие как метод компактности (см. Лионе Ж.-Л. [2]). Для вывода усредненных уравнений используется метод двухмасштабной сходимости Нгуетсенга (см. ^ш^вег^ С. [3], [4]).

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. В числе наиболее важных следует отметить следующие.

1. Теорема 1 — о существовании обобщенного решения начально-краевой задачи для системы из нелинейных уравнений Стокса с нулевой объемной вязкостью и конвективного уравнения диффузии, названной в работе моделью М1;

2. Теорема 2 — о существовании обобщенного решения начально-краевой задачи для системы из нелинейных уравнений Стокса с ненулевой объемной вязкостью и конвективного уравнения диффузии, названной в работе моделью М2;

3. Теорема 3 — о существовании обобщенного решения начально-краевой задачи для системы из нелинейных уравнений Стокса с ненулевой объемной вязкостью и конвективного уравнения диффузии с малой диффузией в твердом скелете, названной в работе моделью МЗ;

4. Теорема 4 — о сходимости решений модели МЗ к усредненной системе уравнений, описывающей на макроскопическом уровне диффузию и медленную конвекцию примесей в вязкой слабосжимаемой жидкости, заполняющей поры в абсолютно твердом скелете грунта.

5. Теорема 5 — о предельном переходе при стремлении к нулю малого параметра, характеризующего диффузию в твердом скелете.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в теории нелинейных начально-краевых задач, в теории усреднения дифференциальных уравнений, а также при математическом моделировании процессов диффузии примесей в подземных грунтах.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на:

- международной конференции «Nonlinear Partial Differential Equation», г. Ялта, 2007 г.;

- Российско-Абхазском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики», Нальчик-Эльбрус, 2009 г.;

- VII международной конференции по дифференциальным уравнениям, численным методам их решения и математическому моделированию, Волгодонск, 2009 г.;

- Международном Российско-Китайском симпозиуме «Комплексный анализ и его приложения», Москва-Белгород, 2009 г.;

- Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения - XXI», Воронеж, 2010 г.;

- Международном Российско-Болгарском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики», Нальчик-Хабез, 2010 г.;

- семинаре по дифференциальным уравнениям и их приложениям под руководством профессора Солдатова А.П. и профессора Мейрманова A.M., Белгородский государственный университет, 2010 г.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1] -[10] из списка публикаций автора;по теме диссертации. Из них статьи [2], [10] опубликованы в издании, рекомендованном ВАК для публикации основных результатов кандидатской диссертации. В совместных работах [1], [5] результаты принадлежат авторам в равной мере.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из списка обозначений, введения, трех глав, списка литературы из 61 наименования и изложена на 113 страницах.