Математическое моделирование конвективной диффузии растворов в пористых грунтовых средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Гальцева Оксана Александровна

• Гальцева Оксана Александровна
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Гальцева Оксана Александровна

штабе пор

2.2 Математическая модель УМ3 подземного выщелачивания на

макроскопическом уровне

3 Разработка вычислительных алгоритмов решения задач кон-

вективной диффузии растворов в пористых грунтовых средах

3.1 Разработка вычислительного алгоритма исследования матема-

тической модели М1

3.2 Разработка вычислительного алгоритма исследования матема-

тической модели М2

3.3 Разработка вычислительного алгоритма исследования матема-

тической модели УМ2

3.4 Разработка вычислительного алгоритма исследования матема-

тической модели М3

3.5 Разработка вычислительного алгоритма исследования матема-

тической модели УМ3

4 Компьютерное моделирование конвективной диффузии раство-

ров в пористых грунтовых средах

4.1 Численное решение математических моделей М1

4.2 Численное решение математических моделей М2

4.3 Численное решение математической модели УМ2

4.4 Численное решение математической модели М3

4.5 Численное решение математической модели УМ3

4.6 Программная реализация вычислительных алгоритмов

Заключение

Литература

Приложение

Приложение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование конвективной диффузии растворов в пористых грунтовых средах»

Введение

На текущий момент математическое моделирование - это один из основных инструментов, используемых для анализа конвективной диффузии примесей в пористых средах, а также оптимизации процессов добычи редкоземельных металлов.

В современном виде наиболее полные модели, описывающие поро-упругую фильтрацию флюидов в деформируемом пласте гранта, были предложены в работах М. Био [1] и К. фон Терцаги [2]. Эти уравнения описывают протекающие совместно процессы деформации упругой среды (твердого каркаса) и течения жидкости в ней. Предлагаемые М. Био и К. фон Терцаги модели являются макроскопическими в том смысле, что вмещающее по-роупругую среду пространство заполнено двухфазной средой, причем одна фаза соответствует непосредственно пористой среде, а вторая — содержащемуся в порах флюиду. Обе фазы присутствуют в каждой точке физического пространства, а распределение фаз в пространстве описывается макроскопическими величинами типа пористости (объемной концентрации заполненных флюидом пустот в среде).

Позже Э. Санчес-Паленсия [3], Р. Барридж и Дж. Келлер [4] вывели уравнения пороупругости, используя методы усреднения и законы механики сплошных сред. Вполне логично, в первую очередь, описать в масштабе пор совместное движение жидкости и твердого каркаса, а затем вывести, с помощью теории усреднения, соответствующие макроскопические уравнения.

Поясним данный подход. Для этого рассмотрим область 0 = 0/ и (е. Поведение каркаса грунта и жидкости описывается следующей системой уравнений [5]:

д

— (рV) + V • (ру ® V -к (а^а(х,у) -р/) +

+ (1 -к)(аха(х,Ий) -р1)) = р(0.1)

д^ + V • (р V) = 0, (0.2)

где 0/ - заполненное порами пространство, (в = 0 \ 0/ - пространство, обозначающее каркас грунта, к - характеристическая функция 0/, V - ско-

рость жидкости, р - плотность среды, ни - вектор перемещения каркаса, а(х,И) - тензор напряжений, / - заданный вектор внешних сил, - коэффициент вязкости, I - единичная матрица, а\ - постоянная Ламе. Равенство (0.1) в Qf содержит систему уравнений Стокса

АО

(Iр

р~(й = ^ а- + Р0 + р 0 =0'

систему уравнений Ламе в Qi

¿И , ч о ^р

= V ■ {а-ха(х,ъи) -рI) + р— + р\ ■ о = 0

и дополняется условием на Г(£)

(^(аха(х,10) -рI) - (а^а(х,И) -р

•п = 0.

где п есть единичный вектор нормали.

Задача (0.1) довольно трудна для численного решения в виду ее сильной нелинейности. Характеристическая функция к принимает значения 0 или 1 в масштабе нескольких микрон, а размер рассматриваемой области -от нескольких метров до сотен метров. Поэтому становится ясным необходимость построения усредненного аналога исходных уравнений. Для этого воспользуемся уже упомянутым в [3, 4] подходом.

Так как важным предположением является наличие упорядоченной микроструктуры (периодической, однородной, квазипериодической и др.), нам необходимо использовать поровое пространство особого вида: Q = Qef и Qes, где Qef = Q П^^, Qes = Q \Q(f, ^ - периодическое повторение е в единичном квадрате 2 (рисунок 1), а Г = д0>^ П дО,\ есть граница «поровое пространство - твердый каркас».

Рисунок 1 - Элементарная ячейка

Если принять во внимание безразмерные переменные

ъъ -> X ъ / Ь

ъ ^ —, х ^ —, / ^ —, Ь ^ -, ь ь д т

и использовать в качестве пробной функцию £(X), то исходная система уравнений будет иметь следующий вид

ат Qe= V • (К ам а(х, —) + (1 - К)аЛ а(х, w) -р i) + Qe f, (0.3)

V • w = 0, (0.4)

= L = JA_ = 2fi =

а = дт*, ах = L р0д, а" = LT р°д, е = = QfK + (1 - К6),

Qs = As/p0, ßf = Р//р0,

ps - плотность твердого каркаса, p0 есть плотность воды, pf - плотность жидкости, I - средний размер пор, т - характерное время процесса, L -характерный размер рассматриваемой области, д - значение силы тяжести.

Существует довольно много частных случаев линеаризации (0.1) -(0.2), представленных, например, в работах [3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14]. В [15, 16] Мейрманов А. М. предлагает классифицировать физические среды и процессы в зависимости от безразмерных критериев, предельные значения которых будут иметь следующий вид

limaT (е) = т0, НшаДе) = р,0, Ншал(б) = А0.

е\0 е\0 е\0

Так как в нашем случае процесс очень медленный (т0 = 0), то в (0.3) можно пренебречь инерционными слагаемыми и использовать уравнение в следующем виде

(дъи \

Ко + (1 - к,о)аХ(7(х, ъъ) -р1) + де/ = 0. (0.5)

При описании конвективной диффузии примеси в пористой среде система уравнений (0.5) дополняется в Qf следующим уравнением [17, 18]

-С -> Т-, Л ^ -ъъ

— + у •Ус = ас Д с, V = — (0.6)

- -

_ л От

для концентрации примеси с(х, £). Здесь коэффициент диффузии ас = —г-.

ь2

Система уравнений (0.5), (0.6) дополняется условием на общей границе Г(£) = П дQf «поровое пространство - твердый каркас» при Ь > 0

c((v • п) -Vn) = ас (V с • п), (0.7)

где Vn есть скорость r(t) в направлении внешней нормали п.

Поле скоростей определяется из задачи со свободной границей (0.1), (0.2), граничное условие на поверхности контактного разрыва будет следующим

V • п = Vn, (0.8)

а условие (0.7) примет вид

V с • п = 0. (0.9)

Таким образом, наиболее подходящим для усреднения аналогом математической модели (0.5), (0.6) будет система уравнений

V^w = 0, (0.10)

(dw \

Ко а^а(х, + (1 - Ко)a\a(x,w) -pl j + gf = 0, (0.11)

de dw „ __

— + — •Ve = ас △ с, (0.12)

- -

где

ам = а^(с), q = Ko(Q¡ + jc) + (1 - Ko)Qs,

динамика зависит от концентрации примеси c(x, t), а граничное условие на r(t) может быть двух видов: 1) если Vn = 0, то

а Л/ с — с ] • п = 0;

í _ dw\ (а^с-с -J

2) условие (0.9).

В работе проводится пространственная и временная дискретизация систем уравнений Стокса и Ламе, а также их усредненных аналогов, записанных в физических переменных. Для этого применяется достаточно универсальный метод проекции, позволяющий проводить численные расчеты с использованием различных граничных условий.

Актуальность исследования. В настоящее время существует огромное количество математических моделей, описывающих конвективную диффузию растворов в пористых средах. Спектр использования таких моделей довольно широк: при добыче нефти и газа; при захоронении опасных для экологии отходов; при исследовании распространения акустических волн в водонасыщенных породах океанического дна; при описании сейсмических явлений. Так, например, описание конвективной диффузии вредных примесей в пористых средах помогает понять масштабы и скорость распространения очага загрязнения. Корректная же и наиболее точная математическая модель подземного выщелачивания делает возможным оптимизировать добычу редкоземельных металлов путем подбора необходимых параметров. Традиционно основное внимание при этом уделяется моделированию фильтрационных процессов, то есть описанию течения многофазного многокомпонентного флюида (жидкости) в деформируемом пористом пласте, учет механического состояния которого в таких задачах осуществляется путем задания зависимости пористости от давления флюида. Однако известен целый ряд ситуаций, анализ которых требует полноценного учета фильтрации жидкости в порах и напряженно-деформированного состояния пласта. В этом случае обычно используется модель пороупругой среды.

При таком подходе требуется описать среду, в которой происходит резкое изменение локальных свойств, приводящее к математическому описанию в виде дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами. Численное решение этих задач довольно затруднительно даже для самых современных высокопроизводительных вычислительных машин. Поэтому удобнее всего рассмотреть усредненные характеристики такой среды, то есть перейти от ее описания в масштабе пор к макроскопическому описанию. Часто такое описание выражается в виде дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. А усредненные уравнения дают возможность определить с высокой точностью эффективные характеристики первоначальной среды.

Диссертация посвящена математическому моделированию конвективной диффузии примеси из водоема в пористый грунт и распространению кислоты и продуктов химической реакции в ходе выщелачивания твердого

материала активными кислотами, переносимыми по порам вязкой несжимаемой жидкостью [19]. Оба процесса, в первую очередь, описываются в масштабе пор, а затем выводятся усредненные аналоги исходных уравнений. Вычислительные алгоритмы и их программная реализация для ЭВМ позволили оценить близость решений разномасштабных описаний, что указывает как на адекватность численных расчетов, так и на корректность выведенных макроскопических уравнений.

Степень научной разработанности проблемы исследования. Уравнения, предложенные М. Био и К. фон Терцаги в [1, 2, 20, 21], легли в основу математического описания механики упругих пористых сред. Позже, ряд авторов [3, 4, 13, 22] предложили использовать подход получения более точных усредненных уравнений пороупругости, основанных на фундаментальных законах механики сплошных сред. В данном методе, в первую очередь, с помощью упомянутых законов (например уравнения Стокса и Ламе) описывается совместное движение жидкости и упругого каркаса в масштабе пор, затем, воспользовавшись механизмами усреднения, находятся соответствующие упрощенные модели. Следует отметить, что уравнение Стокса все еще справедливо в масштабе размера пор (5-15 микрон) [23, 24] и, следовательно, макроскопические аналоги уравнений имеют право на физическую применимость. Математические модели, описывающие диффузию жидкостей хорошо изучены в монографиях [3] и [24]. Однако здесь не рассматриваются задачи совместного определения поля скоростей несущей жидкости и концентрации примеси в ней, где поле скоростей зависит от содержания примеси в жидкости. Похожие модели известны (например, из книг Л.В. Овсянникова [5, 17] и К. Трусделл [18]). Но в них рассматриваются, в различных вариациях, случаи, когда концентрация примеси входит в массовую силу, либо коэффициент вязкости зависит от нее. Только в последнее время появились работы [25, 26, 27], где при распространении примеси в абсолютно твердом пористом грунте, учитывается зависимость вязкости жидкости от концентрации примеси. В работах [15, 28, 29] описываются модели, где от перемещений упругого каркаса грунта и концентрации примеси зависит поле скоростей несущей жидкости.

Наиболее популярные модели и обзор существующих моделей можно

найти в [19, 30, 31]. В нашем описании в масштабе пор мы исходим из общепринятых уравнений механики сплошных сред и химических законов [5]. Рассмотренные нами задачи в некоторой степени являются продолжением исследований вышеупомянутых авторов.

Задача о выщелачивании твердых материалов в указанной нами формулировке является новой. Можно выделить два основных подхода моделирования этого процесса. Первый подход основывается на физических и химических законах. Второй - основывается на подборе коэффициентов, позволяющих приблизить природный процесс к выходным параметрам на насосной скважине. В большинстве опубликованных работ рассматривается первый, теоретический подход.

В развитие математического моделирования подземного выщелачивания внесли вклад такие исследователи, как Г.Н. Глотов, А.В. Канцель, Л.А. Линцер, P.M. Bommer, R.D. Schmidt, M.I. Kabir и др. Большая часть известных математических моделей выщелачивания описываются системой уравнений, состоящей из уравнения неразрывности и закона Дарси, при этом допускается однородность проницаемости пласта в совокупности с построением так называемых лент тока. Различаются все эти модели описанием взаимодействия кислоты и добываемого материала. Так, например, в работе P.M. Bommer [32] исследуется стационарный процесс в однородном пласте грунта, в качестве активного вещества берется пероксид водорода, находится решение уравнения Лапласа, затем решается уравнение баланса для продукта химической реакции. Взяв за основу описанную в [33] модель, предлагается кинетическая модель химической реакции, где коэффициенты определяются экспериментально. Иной подход предложен в статье Л.Н. Кричевец [34], где исследуется более сложное явление переотложения металла на подвижных барьерах. В диссертационной работе А.А. Канцель [35] описан нестационарный процесс выщелачивания урана с использованием законов теории фильтрации. Скорости реакции здесь определяются достаточно просто - высчитывается остаточная площадь поверхности минеральных зерен и разность между насыщенной и текущей концентрацией металла. В работе К.А. Алибаева [36] при описании математической модели берется во внимание изменение пористости грунта и исследуется влияние

времени отработки пласта от расположения скважин (расстояния между ними).

Цель исследования: совершенствование математических моделей и методов исследования конвективной диффузии растворов в пористых грунтовых средах.

Задачи исследования:

1. Вывести макроскопические математические модели конвективной диффузии примеси в пористую грунтовую среду.

2. Вывести математические модели подземного выщелачивания твердых материалов активными кислотами в масштабе пор и на макроскопическом уровне описания среды.

3. Вывести разностные аналоги дифференциальных уравнений и составить компьютерную программу для решения задач конвективной диффузии примеси из водоема в пористую грунтовую среду.

4. Вывести разностные аналоги дифференциальных уравнений и составить компьютерную программу для решения задач выщелачивания твердых материалов активными кислотами.

5. Разработать вычислительные алгоритмы решения задач, моделирующих конвективную диффузию примеси из водоема в пористую грунтовую среду.

6. Разработать вычислительные алгоритмы решения задач, моделирующих процесс подземного выщелачивания твердых материалов активными кислотами.

7. Решить численно начально-краевые задачи конвективной диффузии примеси из водоема в пористую грунтовую среду.

8. Решить численно начально-краевые задачи конвективной диффузии раствора твердого материала, полученного под воздействием активных кислот.

Методы исследования. В работе использовался обширный спектр методов по достижению поставленных задач. Так для получения приближенных решений дифференциальных уравнений в частных производных применялась теорема Шаудера о неподвижной точке и метод Галеркина. Метод априорных оценок применялся при доказательстве сходимости приближен-

ных и точных решений. При получении усредненных уравнений применялся метод двухмасштабного асимптотического разложения. Численное решение исходных и усредненных систем уравнений проводилось с использованием таких методов, как: метод наименьших квадратов (при интегрировании области), метод контрольных объемов, метод крупных частиц, метод частиц в ячейке [37, 38] и метод «интеллектуальной» высококачественной интерполяции [39, 40] на основе быстрого преобразования Фурье.

Научная новизна исследования:

1. Усредненные математические модели конвективной диффузии примеси в пористой грунтовой среде.

2. Математические модели подземного выщелачивания твердых материалов активными кислотами в масштабе пор и на макроскопическом уровне описания среды.

3. Алгоритмы численного решения задачи конвективной диффузии примеси из водоема в пористую грунтовую среду.

4. Алгоритм численного решения задачи конвективной диффузии раствора твердого материала, полученного под воздействием активных кислот.

Теоретическая и практическая значимость исследования. Результаты, полученные в работе, могут быть использованы: при математическом моделировании процессов, описывающих конвективно-диффузионное распространение примесей в пористых средах; при определении набора малых параметров модели и численных методов решения поставленных начально-краевых задач.

Областью исследования является:

1. Разработка математических методов моделирования конвективной диффузии растворов, заполняющих пористую среду.

2. Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования полученных макроскопических математических моделей.

3. Компьютерная реализация эффективных алгоритмов и методов численного решения задач, описывающих конвективную диффузию растворов в пористых средах.

Перечисленное соответствует паспорту специальности 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Получены усредненные математические модели конвективной диффузии примеси из водоема в пористую грунтовую среду.

2. Получены математические модели подземного выщелачивания твердых материалов активными кислотами в масштабе пор и на макроскопическом уровне описания среды.

3. Разработаны алгоритмы численного решения задачи конвективной диффузии примеси из водоема в пористую грунтовую среду.

4. Разработан алгоритм численного решения задачи конвективной диффузии раствора твердого материала, полученного под воздействием активных кислот.

5. Создан комплекс проблемно-ориентированных программ для численного решения задач конвективной диффузии растворов в пористых средах.

Апробация результатов исследования. Наиболее значимые результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Международная конференция «Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел» (г. Белгород, 2011); Воронежская зимняя математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (г. Воронеж, 2011); IV Международная научная конференция «Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования» (г. Воронеж, 2011); III международный Российско-Казахский симпозиум «Уравнения смешанного типа, родственные проблемы анализа и информатики» (п. Терскол, 2014); Международная научно-практическая конференция «Молодёжный форум: технические и математические науки» (г. Воронеж, 2015); Научно-практическая конференция «Тенденции развития высшего образования в новых условиях» (г. Ялта, 2016); X Международная научно- практическая конференция «Фундаментальная наука и технологии - перспективные разработки» (USA, 2016); XII Всероссийская научно-практическая конференция «Математические методы и информационно-технические средства» (г. Краснодар, 2016); Международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы развития науки и современного образова-

ния» (г. Белгород, 2017); Международная научно-практическая конференция «Молодежный форум: прикладная математика. Математическое моделирование систем и механизмов», посвященная 100-летию со дня рождения С.Г. Крейна (г. Воронеж, 2017); II Международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы развития науки и современного образования» (г. Белгород, 2018); II Международная научно-практическая конференция «Молодежный форум: прикладная математика. Математическое моделирование систем и механизмов» (г. Воронеж, 2018); II Международная конференция по математическому моделированию в прикладных науках (г. Белгород, 2019 г.); Международная научная конференция «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (г. Воронеж, 2019).

Публикации. По теме диссертации опубликована 31 печатная работа, в том числе 12 в изданиях, рекомендованных ВАК РФ и 3 из базы данных Scopus, Web of Science. Получено 3 свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ. Из совместных работ в диссертацию включены результаты, полученные лично автором.

Структура диссертации обусловлена поставленными задачами, логикой исследования. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка и приложений.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность исследования; обозначена степень научной разработанности проблемы; сформулированы цель и задачи исследования; описаны основные методы исследования; раскрыты научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы; определены положения, выносимые на защиту; представлены сведения об апробации результатов и публикациях; приведена информация о структуре диссертации.

Первая глава посвящена построению математических моделей М1, М2 и выводу их усредненных аналогов (УМ1, УМ2).

Математическая модель М1 описывает конвективно-диффузионное распространение примеси из водоема в абсолютно твердый пористый грунт,

где область Q° есть водоем и Q - пористая среда, области разделены общей границей 5ю, Q - есть объединение пористой среды и твердого каркаса Qes, имеющих общую границу Ге = дQ(j П дQes.

^ = S1 U S2, где S2 = s\s\ Поведение примеси в Q0 описывается следующей системой уравнения

V- v = 0, (0.13)

V • (a^a(x,v)-р 1) + р(с)е = 0, (0.14)

а в Q - уравнением конвекции-диффузии

дс

— + v •Vc = ac Ас, (0.15)

д

уравнением баланса (0.14) и уравнением (0.13).

Здесь pf есть безразмерная плотность примеси, соотнесенная к плотности воды ро, &(x, v) - тензор напряжений, aм - коэффициент вязкости, p(x, t) - давление, c(x, t) - концентрация примеси, I - единичная матрица, е - единичный вектор силы тяжести, ö - положительная постоянная, р(с) = pf+öc(x, t), ac - коэффициент диффузии, v(x, t) = (v1(x, t), v2(x, t)) -скорость сплошной среды.

На границе S0 = dQ П dQ0 при t > 0 выполняются следующие равенства

lim v(x, t) = lim v(x, t), (0.16)

:Q° г e Q

X —У X X —У X

°

lim (a^a(x,v) —pI) • n(x0) = lim (a^a(x,v) —pI) • n(x0), (0.17)

X —У X ° X —У X °

s e Q° г e Q

где n(x0) есть вектор нормали к границе S0 в x0 G S0.

Задача дополняется граничными условиями на S 1,S2, dQf

(a^a(x,v) —р I) • n = —р 0(x, t)n, x GS1, (0.18)

v(x, t) = 0, x G S2, x G dQf, t > 0, (0.19)

V c(x, t) • n(x) = 0, x G dQf, t> 0, (0.20)

и начальным условием

с(х, 0) = с0(х), х еQf, (0.21)

В теореме 1.1 доказывается существование обобщенного решения задачи (0.13)-(0.21).

В теореме 1.2 доказывается, что предельные функции являются обобщенным решением усредненной системы УМ1, которая состоит из динамических уравнений

V = — В (-—Ур + р(с)е) , (0.22)

Мо V т )

У^ V = 0, (0.23)

где р(с) = (pf + 8 с), и конвективного уравнения диффузии

Эс

т— + V •Ус = ас У^ (В (с)Ус) (0.24)

в области Q у Q0 при Ь > 0. Система дополненяется граничными условиями

у(х, г) = 0, X е Я2, (0.25)

Эс

^ = 0, X еQ, (0.26)

Эп

и начальным условием

с(х, 0) = т с0(х), х е Q, (0.27)

т = (к) г = к(у)(у. иг

В(с) и В есть симметричные и положительно определенные постоянные матрицы, т - пористость, П - единичный вектор нормали.

Предельное давление примеси в области Q0 совпадает при I > 0 с гидростатическим давлением

р(х, г) = р°(г) - pfXз = ро(х, г). (0.28)

Математическая модель М2 конвективной диффузии примеси из водоема в пористый грунт строится в области, описывающей сам водоем Q0 и области, описывающей пористую среду Q с общей границей между ними Я0.

Поведение примеси в Q0 описывается следующей системой уравне-

ний

V- Tf + pf (се)в = 0, Tf = а^а(x,v)-рI, (0.29)

V • w = 0, (0.30)

а совместное движение примеси и упругого каркаса в Q - системой уравнений, состоящей из уравнения неразрывности (0.30) и уравнений

V • (укеа^а(х,И) + (1 — K,e)a\a(x,w) — р I) + р(се)в = 0, (0.31)

3 се

+ v • Vсе = асАс6, (0.32)

3t

3w _,

где v = , р(х, t) - давление в сплошной среде, w(х, t) = (w\(x, t),w2(x, t)) 3

перемещение сплошной среды, с е(х, t) - концентрация примеси, I - единичная матрица, к е(х) - характеристическая функция порового пространства, a(x,v) - симметрическая часть градиента вектора v (тензор напряжений),

р(се) = к(pf + öce(x, t)) + (1 — к)ps,

ö - положительная постоянная, pf - безразмерная плотность примеси, аи -коэффициент вязкости примеси, а\ - постоянная упругости Ламе, соотнесенная к плотности воды, п - единичный вектор внешней нормали, ps -плотность упругого каркаса, ас - коэффициент диффузии. На S0 = 3Q П 3Q0 выполняются следующие условия

lim Tf (х, t) • п(х0)= lim T(x, t) • п(х0), (0.33)

г0

\Q0 г е Q

X —У X X —У X

0

lim w (х, t) = lim w (x, t), (0.34)

г е Я

где П(х0) есть вектор нормали к границе Я0 в х0 е Я0.

Задача дополняется граничным условием на Я1 области и = Q0 и Я0 и Q (которая в свою очередь является частью границы ЭQ0)

Tf (х, г) • п = -р0(х, г)п, (0.35)

граничным условием на Я2 = Я1 при Ь > 0

ъЪ (х, г) = 0 (0.36)

и начальным условием в 0

го(£, 0) = 0, х е 0. (0.37)

В теореме 1.3 доказывается существование обобщенного решения задачи (0.3) - (0.7).

В теореме 1.4 доказывается, что предельные функции являются обобщенным решением усредненной системы УМ2, которая состоит из системы уравнений Стокса

У-г = 0, (0.38)

V- (аиа(х,у) -р I) + р1 (с)е = 0 (0.39)

в области Q°, усредненного уравнения момента

V- Т + (т(р] + £с) + (1 — т)р8) е = 0 (0.40)

в области Q, где

Т = —р I + N1 : а(х, V) + N2 : а(х, гг) + / N3(£ — т) : а(х, го(х, т))с1т,

°

и усредненного конвективного уравнения диффузии

m— + B(c)v • Vc = V • (acB(c)Vс), (0.41)

dt

Задача дополняется условием непрерывности нормальных напряжений на границе S0

lim (a^a[x,v(x, t)) — p(x, t) I]• n(x°) = lim T(x, t) • n(x°), (0.42)

\ / X — X °

X —У X

°

з е Я" з е Я

граничным условием Неймана на

[а^сг{х,гп(х, ¿)) — р(х, Ь) • п = —р°(х, £)п, х е Б^, (0.43) условием на границе 51

Т • п = — р °(х, г)п, х е 5-1, (0.44)

граничными условиями Дирихле на 52

г(х, Ь) = 0, х е Я2, (0.45) 17

— = 0, х е 52, (0.46) Зп

и начальными условиями

г(х, 0) = 0, х е Q, (0.47)

с(х, 0) = т с°(х), х е Q, (0.48)

где В(с) есть симметричная матрица, а N, N^1) - тензора четвертого порядка.

Во второй главе строится математическая модель подземного выщелачивания твердых металлов активными кислотами в масштабе пор (модель М3), выводится ее усредненный аналог (модель УМ3).

В масштабе пор поведение примеси в пористой среде Qf (£) описывается системой уравнений Стокса

а^ △ V — Ур = 0. (0.49)

V- V =0, (0.50) уравнением конвекции-диффузии

Зс

+ V -Ус = асАс (0.51)

т

и уравнением переноса для с1, с2,..., сп продуктов химической реакции

Зс■

4 + V • V с, = 0, 1 = 1,...,п, (0.52)

дг

_ V -ИТ ам = ТГдУ°, а = 12,

к(х, £) есть характеристическая функция порового пространства (к = 1 в Qf (£) и к = 0 в Qs(t)), Ь - характерный размер рассматриваемой области, Т - характерное время процесса, д - значение ускорения силы тяжести, рс -плотность активного компонента, И - коэффициент диффузии.

В общем случае сохранения массы закон для концентраций на свободной границе имеет вид

Зс

с(/3 (1 + 7 с) — Уп) + ас — = 0, х е ГВД, (0.53)

с(сг - с0) = 0, г = 1,..,п, х е Г(г), (0.54)

Э

где уп = V • п - это нормальная скорость примеси и —— = Ус • п является

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гальцева Оксана Александровна, 2020 год

Литература

1. Biot, M. Theory of elasticity and consolidation for a porous anisotropic solid / M. Biot // Journal of Applied Physics. - 1955. - V. 26. - P.182-185.

2. Terzaghi, K. Die Berechnung der Durchlassigkeitsziffer des Tones aus dem Verlauf der hydrodynamischen Spannungsercheinungen / K. Terzaghi // Sitzung berichte. Akademie der Wissenschaften, Wien Mathematiesch-Naturwissenschaftliche Klasse. - 1923. - V.132. - P.104-124.

3. Sanchez-Palencia, E. Non-Homogeneous Media and Vibration Theory / E. Sanchez-Palencia // Lecture Notes in Physics, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1980. - V.127. - 400p.

4. Burridge, R. Poroelasticity equations derived from microstructure / R. Burridge, J.B. Keller // J. Acoust. Soc. Am. - 1981. - V.70, №4. -P.1140-1146.

5. Овсянников, Л.В. Введение в механику сплошных сред: Часть 2 / Л.В. Овсянников. - Новосибирск: НГУ, 1977. - 69с.

6. Buchanan, J.L. Transition loss in the farfield for an ocean with a Biot sediment over an elastic substrate / J. L. Buchanan, R. P. Gilbert // ZAMM,

1997. -№77. -P.121-135.

7. Nguetseng, G. Asymptotic analysis for a stiff variational problem arising in mechanics / G. Nguetseng // SIAM J. Math. Anal. - 1990. - V.21. -P.1394-1414.

8. Gilbert, R.P. Acoustic waves in shallow inhomogeneous oceans with a poro-elastic seabed / R.P. Gilbert, J. Z. Lin // ZAMM. - 1997. - №4. - P.1-12.

9. Buckingham, M.J. Seismic wave propagation in rocks and marine sediments: a new theoretical approach / M. J. Buckingham // Underwater Acoustics. -

1998. - V.1. -P.29-300.

10. Clopeau, Th. Homogenizing the acoustic properties of the seabed: Part II / Th. Clopeau, J. L. Ferrin, R. P. Gilbert, A. Mikelic // Mathematical and Computer Modelling. - 2001. - V.33. - P.821-841.

11. Ferrin, J.L. Homogenizing the acoustic properties of a porous matrix containing an incompressible inviscid fluids / J. L. Ferrin, A. MikeliC // Math. Meth. Appl. Sci. - 2003. - V.26. - P.831-859.

12. Mikelic, A. Homogenization of the inviscid incompressible fluid flow trough a 2D porous medium / A. Mikelic , L. Paoli // Proceedings of the AMS. -1999. - V.17.- P.2019-2028.

13. Levy, T. Acoustic phenomena in elastic porous media / T. Levy // Mech. Res. Comm. - 1977. - №4. - P.253-257.

14. Sanchez-Hubert, J. Asymptotic study of the macroscopic behavior of a solidliquid mixture / J. Sanchez-Hubert // Math. Methods Appl. Sci. - 1980. -V.2 - P.1-18.

15. Мейрманов, A.M. Метод двухмасштабной сходимости Нгуетсенга в задачах фильтрации и сейсмо-акустики в упругих пористых средах / A. М. Мейрманов // Сибирский Математический Журнал. - 2007. - №3. -С.645-667.

16. Мейрманов, AM. Вывод уравнений сейсмоакустики и уравнений фильтрации в упругих пористых средах через усреднение периодических структур / A. М.Мейрманов // Труды семинара имени И.Г. Петровского.-М.:Наука, 2008. - С.178-238.

17. Овсянников, Л.В. Введение в механику сплошных сред: Часть 1 / Л.В. Овсянников. - Новосибирск: НГУ, 1976. - 75с.

18. Трусделл, К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред / К. Трусделл. - М.: Мир, 1975 - 592с.

19. Cohen, C.E. From pore scale to wellbore scale: Impact of geometry on wormhole growth in carbonate acidization / D. Ding, M. Quintard, B. Bazin // Chemical Engineering Science. - 2008. - V.63, №12. -P.3088-3099.

20. Biot, M. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid. I. Low-frequency range / M. Biot // Journal of the Acoustical Society of America. - 1955. - V. 28. - P.168-178.

21. Biot, M. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid. II. Higher frequency range / M. Biot // Journal of the Acoustical Society of America. - 1955. - V. 28. - P.179-191.

22. Levy, T. Equations and interface conditions for acoustic phenomena in porous media / T. Levy, E. Sanchez - Palencia // Jour. Math. Anal. Applications. - 1977. - №61. - P.813-834.

23. Bourgeat, A. Filtration law for polymer flow through porous media, Multiscale model simulation / A. Bourgeat, O. Gipouloux, E. Marusfc-Paloka. - 2003. - V. 1, №3. - P.13-157.

24. Jikov, V.V. Homogenization of Differential Operators and Integral Functionals / V.V. Jikov, S.M. Kozlov, O.A. Oleinik. - Springer-Verlag, New York, 1994. - 570p.

25. Гриценко, С.А. О диффузии и медленной конвекции примеси в слабо-сжимаемой вязкой жидкости / С.А. Гриценко // Известия Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. - 2009. - Т.9. -Вып.2. - С.19-24.

26. Гриценко, С.А. О задаче нелинейной диффузии в слабосжимаемой вязкой жидкости / С.А. Гриценко // Исследования по дифференциальным уравнениям и математическому моделированию. Владикавказ: ВНЦ РАН и РСО-А., 2009. - С.31-42.

27. Гриценко, С.А. Усреднение в задачах нелинейной диффузии / С.А. Гриценко // Сибирские электронные математические известия. - 2010. -Т.7. - С.52-64.

28. Мейрманов, А.М. О разрешимости задачи диффузии-конвекции в поро-упругой среде на микроскопическом уровне / А. М. Мейрманов, Р. Н. Зимин, О. В. Гальцева, О. А. Гальцев // Научные ведомости БелГУ. -2012. -№11. -С.3-47.

29. Зимин, Р.Н. Корректная разрешимость задачи о нелинейной диффузии в несжимаемой пороупругой среде на микроскопическом уровне / А.М. Мейрманов, Р.Н. Зимин, О.В. Гальцев, О.А. Гальцева // Научные ведо-

мости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. - 2012. - Т.26, №5. - С.114-126.

30. Kalia, N. Effect of medium heterogeneities on reactive dissolution of carbonates / N. Kalia, V. Balakotaiah // Chemical Engineering Science. -

2009. - V.64, №2. - P.376-390.

31. Panga, M.K.R., Ziauddin,M., Balakotaiah,V. Two-scale continuum model for simulation of wormholes incarbonate acidization / M.K.R. Panga, M. Ziauddin, V. Balakotaiah // American Institute of Chemical Engineers Journal. - 2005. - V.51, №12. - P.3231-3248.

32. Воmmer, Р.М. Mathematical modeling of in-situ uranium leaching / Р.М. Воmmer, R.S. Schechter // Society of petroleum engineers journal. - 1979. -V.19, №7. - P.393-400.

33. Schmidt, R.D. Geochemical kinetics model for in-situ leach mining / R.D. Schmidt, S.E. Follin, K.A. Peterson, E.V. Level // Society of petroleum engineers journal. - 1981. - №198. - P.132.

34. Кричевец, Л.Н. Математические модели и программы для гидрогеологических и геотехнологических расчетов на ЭВМ / Л.Н. Кричевец // Москва: МГРИ, 1987. - 62c.

35. Канцель, А.А. Математическое моделирование динамики процесса подземного выщелачивания в неоднородном рудоносном слое / А.А. Канцель // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, М.: МГУ, 2010.

36. Алибаева, К.А. Численное исследование путей повышения выработки месторождения при добыче минералов методом подземного выщелачивания / К.А. Алибаева // Диссертация на соискание ученой степени доктора философии (Ph.D), Алматы: Казахский национальный университет им. аль-Фараби, 2013.

37. Toselli, A. Domain Decomposition Methods - Algorithms and Theory / A. Toselli, O.B. Widlund // Springer Series in Computational Mathematics. -

2010. - V.34. - 450p.

38. Белоцерковский, O.M. Численное решение некоторых задач газовой динамики / Ф.Д. Попов, Л.И. Толстых, В.Н. Фомин, А.С. Холодов // ЖВМ и МФ. - 1970. - Т.10, №2. - С.401-416.

39. Lisitsa, V. Finite-difference algorithm with local time-space grid refinement for simulation of waves / V. Lisitsa, G. Reshetova, V. Tcheverda // Computational geosciences. - 2012. - V.16. - P.39-54.

40. Kostin, V. Simulation of Seismic Waves Propagation in Multiscale Media: Impact of Cavernous/Fractured Reservoirs / V.Kostin, V.Lisitsa, G.Reshetova, V.Tcheverda // Lecture Notes in Computer Sciences, Applied Parallel and Scientific Computing. Springer. - 2012. Part 1. - P.54-64.

41. Мейрманов, А.М. Математические модели диффузии в пороупругих средах / А.М. Мейрманов, Р.Н. Зимин, О.В. Гальцев, О.А. Гальцева // Научные ведомости БелГУ, Серия «Математика. Физика». - 2012. -№17(136). - Вып.28. - С.77-90.

42. Гальцева, О.А. Численное моделирование диффузии примеси из водоема в пористый грунт / О.А. Гальцева // Материалы Воронежской зимней математической школы «Современные методы теории функций и смежные проблемы». - г. Воронеж:ВГУ, 2011. - С.60-61.

43. Гальцева, О.А. Сравнение двух моделей диффузии примеси в водоеме с пористым грунтом / О.А. Гальцева // Материалы IV Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования». - г. Воронеж, 2011. -С.69-70.

44. Гальцева, О.А. Численное моделирование диффузии примеси в поро-вом пространстве различной геометрии / О.А. Гальцева // Материалы Международной конференции «Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел». - Белгород: НИУ «БелГУ», 2011. - 140 с.

45. Гальцев, О.В. О численном моделировании процесса вытеснения нефти водой / О.В. Гальцев, О.А. Гальцева // Международная научно-

практическая конференция «Молодёжный форум: технические и математические науки». - г.Воронеж, 2015 г. - №8. - С.218-219.

46. Гальцева, О.А. Усреднение задачи диффузии примеси из водоема в абсолютно твердый пористый грунт / О.А. Гальцева // Математическая физика и компьютерное моделирование. - 2017. - Т.20. - №6. - С.5-15.

47. Гальцева, О.А. Микроскопическое описание процесса диффузии примеси из водоема в упругий пористый грунт / О.А. Гальцева // Научные ведомости БелГУ. Серия: Математика. Физика. - 2017. - №20(269). -Вып.48. - С.151-162.

48. Meirmanov, A.M. The global-in-time existence of a classical solution for some free boundary problem / A.M Meirmanov, O.V. Galtsev, O.A. Galtseva // Siberian Mathematical Journal. - 2019. - V.60. - №2. -P.325-333.

49. Meirmanov, A.M. On the Global-in-Time Existence of a Generalized Solution to a Free-Boundary Problem / A.M. Meirmanov, O.A. Galtseva, V.E. Seldemirov // Math. Notes. - 2020. - V.107. - P.274-283.

50. Kirk, W. A. Handbook of Metric Fixed Point Theory / W. A. Kirk, B. Sims. -Kluwer Academic, London, 2001. - 174p.

51. Adams, R.E. Sobolev spaces / R.E. Adams. - New York: Academic Press, 1975. - 268p.

52. Ладыженская, О.А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева. -М.:Наука, 1967. - 736c.

53. Ladyzhenskaya, O.A. The mathematical Theory of Viscous Incompressible Flow / O.A. Ladyzhenskaya. - Gordon and Breach, New York, 1969. - 184p.

54. Ladyzhenskaya, O.A. The Boundary-Value Problems of Mathematical / O.A. Ladyzhenskaya. - Physics. Springer, New York, 1985. - 322p.

55. Acerbi, E. An extension theorem from connected sets and homogenization in general periodic domains / E. Acerbi, V. Chiado Piat, G. Dal Maso, D. Percivale // Nonlinear Analisys. - 1992. - V.18. - P.481-496.

56. Amaziane, B. Homogenization of a convection-diffusion equation in perforated domains with a weak adsorption / B. Amaziane, M. Goncharenko, L. Pankratov // Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Physik. - 2007. -P.592-611.

57. Meirmanov, A.M. Some compactness result for periodic structures and its application to the homogenization of a diffusion-convection equation / A. M. Meirmanov , R. Zimin // Electronic Journal of Differential Equations. -2011. -№115 -P.1-11.

58. Lions, J.L. Quelques méthodes de resolution des problèmes aux limites non linéaire / J. L. Lions. - Dunod, Gauthier-Villars, Paris, 1969. - 554p.

59. Conca, C. On the application of the homogenization theory to a class of problems arising in fluid mechanics / C. Conca // Math. Pures et Appl. -1985. - V.64. -P.31-75.

60. Nguetseng, G. A general convergence result for a functional related to the theory of homogenization / G. Nguetseng // SIAM J. Math. Anal. - 1989. -V.20. - P.608-623.

61. Гальцева, О.А. Двумерная задача подземного выщелачивания / О.А. Гальцева, О.В Гальцев // Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика. - 2019. - №1(44). - С.100-104.

62. Гальцева, О.А. Одномерная задача подземного выщелачивания / О.А. Гальцева, О.В Гальцев // Актуальные проблемы развития науки и современного образования: сборник научных статей II Международной научно-практической конференции. 10 апреля 2018 г. Белгород: ИД «Белгород» НИУ «БелГУ», 2018. - С.14-17.

63. Гальцева, О.А. Обобщенное решение задачи подземного выщелачивания / О.А. Гальцева, О.В. Гальцев // Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика. Сборник научных трудов по материалам заочной международной научно-практической конференции. - 2017. - Т.5. - №10(36). - С.121-125.

64. Гальцева, О.А. Микроскопическое описание процесса подземного выщелачивания / О.А. Гальцева, О.В. Гальцев // Материалы X между-

народной научно-практической конференции «Фундаментальная наука и технологии -перспективные разработки». - North Charleston, USA. -2016. - Т.2. - C.139-142.

65. Гальцев, О.В. Компьютерное моделирование процесса очистки приза-бойной зоны нефтяных скважин / О.В. Гальцев, О.А. Гальцева, Д.О. Шкуропат // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сборник трудов Международной научной конференции, Воронеж, 11-13 ноября 2019 г. - Воронеж: Издательство «Научно - исследовательские публикации», 2020. - С. 179-181.

66. Hung, K.M. A Mechanistic Model of Wormhole Growth in Carbonate Matrix Acidizing and Acid Fracturing / K.M. Hung, A.D. Hill, K. Sepehrnoori // Journal of Petroleum Technology. - 1989. - №41(1). - С.59-66.

67. Cohen, C.E. From pore scale to wellbore scale: Impact of geometry on wormhole growth in carbonate acidization / C.E. Cohen, D. Ding, M. Quintard, B. Bazin // Chemical Engineering Science. - 2008. - V.63. -P.3088-3099.

68. Chen, J.S. Interaction of reactive fronts during transport in a homogeneous porous medium with initial small non-uniformity / J.S. Chen, C.W. Liu // Journal of Contaminant Hydrology. - 2004. - 72(1-4) - P.47-66.

69. Ghommen, M. Carbonate Acidizing: model development and analysis of wormhole formation / M. Ghommen, S. Dyer, W. Zhao // Shlumberger, J. Model. Simul. - 2014. - P.63-71.

70. Kalia, N. Effect of medium heterogeneities on reactive dissolution of carbonates / N. Kalia, V. Balakotaiah // Chemical Engineering Science. -2009. - V.64. - P.376-390.

71. Maheshwari, P. Simulation and Analysis of Carbonate Acidization with Gelled and Emulsified Acids / P. Maheshwari, J.E. Maxey, V. Balakotaiah // Abu Dhabi International Petroleum Exhibition and Conference. - 2014.

72. Maheshwari, P. Comparison of Carbonate HCl Acidizing Experiments with 3D Simulations / P. Maheshwari, V. Balakotaiah // SPE Production & Operations. - 2013. - 28(04). - P.402-413.

73. Panga, M.K. Two-scale continuum model for simulation of wormholes incarbonate acidization / M.K. Panga, M. Ziauddin, V. Balakotaiah // A.I.Ch.E.Journal. - 2005. - V.51 - P.3231-3248.

74. Ratnakar, R. Carbonate Matrix Acidizing with Gelled Acids: An Experiment-Based Modeling Study / R. Ratnakar, N. Kalia, V. Balakotaiah // SPE International Production and Operations Conference & Exhibition. - 2012.

75. Golfier, F. A discussion on Darcy-scale modeling of porous media dissolution in homogeneous and heterogeneous systems / F. Golfier, B. Bazin, D. Lasseux, R. Lenormand, M. Quintard // Developments in Water Science. - 2002. - P.615-622.

76. Malvern, L.E. Introduction to Mechanics of a Continuum Medium / L.E. Malvern // Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1969. - 713p.

77. Brady, P.V. Surface-controlled dissolution and growth of minerals / P.V. Brady, W.A. House // Physics and chemistry of mineral surfaces. - 1996. -P.226-298.

78. Kenneth, W.W. Chemistry / W.W. Kenneth, E.D. Raymond, M.P. Larry, G.G. Stanley. - Belmont, CA: Brooks, 2014. - 298p.

79. Whitham, G.B. Linear and nonlinear waves / G.B. Whitham. Wiley-Interscience; Reprint edition, 1999 - 658p.

80. Гальцева, О.А. О новом подходе к математическому описанию взаимодействия жидкости и упругого грунта / О.А. Гальцева, О.В. Гальцев // Научные ведомости БелГУ, Серия «Математика. Физика». - 2016. -№13(234). - Вып.43. - С.144-151.

81. Гальцева, О.А. Численное решение задачи совместного движения двух несмешивающихся несжимаемых жидкостей в пористой среде на микроскопическом уровне / О.А. Гальцева, О.В. Гальцев // Научные ведомости БелГУ, Серия «Математика. Физика». - 2014. - №25(196). -Вып.37. - С.75-96.

82. Гальцев, О.В. Математическое моделирование процесса подземного выщелачивания на макроскопическом уровне / О.В. Гальцев, О.А. Гальце-

ва // Научные ведомости БелГУ. Серия: Математика. Физика. -2018. -Т.50. - №4. - С. 478-486.

83. Гальцева, О.А. Математическое моделирование флюидопотоков в нефтяных резервуарах / О.А. Гальцева, О.В. Гальцев // Тенденции развития высшего образования в новых условиях: Материалы научно-практической конференции. - г.Ялта: РИО ГПА, 2016 - C.30-31.

84. Galtseva, O.A. Diffusion and convection in porous media [Text] / О.А. Galtseva, A.M. Meirmanov // Актуальные проблемы развития науки и современного образования: сборник научных статей II Международной научно-практической конференции. 10 апреля 2018 г. / под общ. ред. Л.В. Красовской. - Белгород: ИД «Белгород» НИУ «БелГУ», 2018. -С.17-20.

85. Rich, М. A method for Eulerian fluid dynamics / М. Rich. // Los Alamos Scientific Lab., Rept. N LAMS-2826, Los Alamos, 1963. - 96p.

86. Jentry, R.A. An Eulerian differencing method for unsteady compressible flow problems / R.A. Jentry, R.E. Martin, B.J. Daly // Comput. Phys. -1966. - V.l, №1. - P.87-118.

87. Владимирова, Н.Н. Численные расчеты симметричного обтекания пластинки плоским потоком вязкой несжимаемой жидкости / Н.Н. Владимирова, Б.Г. Кузнецов, Н.Н. Яненко // Некоторые вопросы вычисл. и прикл. матем. Новосибирск: Наука, 1966. - C.186-192.

88. Chorin, A.J. A numerical method for solving incompressible viscous flow problems / A.J. Chorin // J. Comput Phys. - 1967. - V.2, №1. - P.12-26.

89. Самарский, А А. Введение в теорию разностных схем. / А А. Самарский. - М.: Наука, 1971. - 553c.

90. Яненко, Н.Н. О слабой аппроксимации систем дифференциальных уравнений / Н.Н. Яненко // Сибирский математический журнал. - 1964. - Т.5, №6. -С.1431-1434.

91. Белоцерковский, О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред / О.М. Белоцерковский. - М.:Физматлит, 1994. - 448c.

92. Белоцерковский, О.М. Метод расщепления в применении к решению задач динамики вязкой несжимаемой жидкости / О.М. Белоцерковский,

B.А. Гущин, В.В. Щенников // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1975. - №1. - С.197-207

93. Гущин, В.А. Пространственное обтекание трехмерных тел потоком вязкой жидкости / В.А. Гущин // ЖВМ и МФ. - 1976 - Т.16, №2 -

C.529-534.

94. Гальцева, О.А. Особенности решения математических моделей взамо-действия жидкости и деформируемых твердых тел / О.А. Гальцева, О.В. Гальцев // Научные ведомости БелГУ Серия: Математика. Физика. -

2017. - N 13(262). - Вып.47. - С.99-111.

95. Galtsev, О.У Numerical solution of rare metal leaching problem / O.V. Galtsev, O.A. Galtseva, V.A. Belenko, A.V. Mamatov, A.N. Nemtsev, V.V. Mishunin // International Journal of Engineering and Technology (UAE). -

2018. - Vol.7. - №4. - Spec. Is. 36. - P.5-9.

96. Гальцева, О.А. Математическое моделирование конвективно-диффузионного распространения неоднородных жидкостей в периодических структурах / О.А. Гальцева // Актуальные проблемы развития науки и современного образования: сборник материалов Международной научно-практической конференции. 10 апреля 2017 г./ отв. ред. Л.В. Красовская, И.Б. Костина. Белгород: ИД «Белгород» НИУ «БелГУ». - 2017. - С.23-26.

97. Мейрманов, А.М. Несколько задач со свободной границей, возникающих в механике горных пород / А.М. Мейрманов, О.В. Гальцев, О.А. Гальцева // Современная математика. Фундаментальные направления. -Т.64.-№1(2018).-С.98-130.

98. Гальцева, О.А. Математическое и численное моделирование жидкостно-структурного взаимодействия на микроскопическом уровне / О.А. Галь-цева, О.В. Гальцев // Методы и информационно-технические средства: материалы XII Всерос. науч.-практ. конф., 17 июня 2016 г. / ред-кол. И.Н. Старостенко (отв. ред.), Е.В. Михайленко, А.А. Хромых, М.В. Шарпан. - Краснодар: Краснодар. ун-т МВД России. - 2016. - С.60-63.

99. Harlow, F.H. Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow of fluid with free surface / F.H. Harlow, J.E. Welch // Physics of fluids. - 1965. - 8(12). - P.2182-2189.

Приложение 1 Структуры данных и основные классы комплекса проблемно-ориентированных программ

Комплекс проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительных экспериментов по нахождению решения задач диффузии-конвекции жидкостей в пористых средах разработан на языке программирования С++ с применением объектно-ориентированной методологии (ООП).

Следуя этой методологии, узел расчетной сетки рассматривается как объект с соответствующими ему поведением и характеристиками:

struct Knot{

float U1, U2, U3; float V1, V2, V3, P, Rho; PhisicBorder ePhisic ; ArrangeBorder Arrange ;

}

где ePhisic - признак узла; Rho - плотность; P - давление; U1, U2,

U3 есть значения компоненты скорости по х на t — 1, ¿-ом и t + 1 шаге по

времени соответственно; V1, V2, V3 есть значения компоненты скорости по

у на t — 1, t-ом и t + 1 шаге по времени соответственно; Arrange - признак

геометрического расположения узла.

Для описания граничного условия введены следующие признаки:

enum PhisicBorder { BORDER_FREE; BORDER_HARD; BORDER_OUTPUT; CENTER_POINT; SYMMETRY; UNDEFINED;

}

где BORDER_FREE - свободная граница, BORDER_HARD - жесткая граница (выполняется условие непротекания), BORDER_OUTPUT - граница симметрии, CENTER_POINT - узел располагается внутри расчетной области модели, SYMMETRY - ось симметрии, UNDEFINED - узел располагается за пределами расчетной области.

Для определения геометрического расположения узла введены следующие признаки:

enum ArrangeBorder { BORDER_LEFT ; BORDER_RIGHT ; BORDER_TOP ; BORDER_BOTTOM ; BORDER_FRONT ; BORDER_NO.

}

где BORDER_LEFT - узел принадлежит левой границе, BORDER_RIGHT

- узел принадлежит правой границе, BORDER_TOP - узел принадлежит верхней границе, BORDER_BOTTOM - узел принадлежит нижней границе, BORDER_FRONT - узел располагается на фронтальной границе, BORDER_NO

- узел не лежит на границе.

Так как количество узлов может варьироваться от нескольких сотен до нескольких тысяч, а их количество всегда известно, в комплексе программ для организации двухмерного массива используется выделение динамического одномерного массива M * N. Рассмотрим два фрагмента кода:

1. for (j = 0; j <=M; j++) {

idx = j *(N+1); for (i = 0; i <=N; i++) { U1 [idx + i] = ......

}

2. for (j = 0; j <=M; j++) {

for (i = 0; i <=N; i++) { U1[i,j] = ......

В 1-м фрагменте за счет предварительного вычисления части ссылки

экономится M * (N — 1) операций умножения.

Основные математические и физические постоянные занесены в следующую структуру:

struct Param { double h; double Tt ; double Eps;

int ASave; double Lmbd; double t ; in t L; double RoF; double Nu; double g ; double RoS; double C;

};

где Tt - время расчета, h - шаг по пространству, Eps есть погрешность вычислений, t - шаг по времени, ASavе - периодичность автоматической записи результатов, Nu - вязкость жидкости, L - характерный размер области, RoS - плотность упругого скелета, RoF - плотность жидкости, д

- ускорение свободного падения, Lmbd - коэффициент упругости Ламе, С

- Концентрация жидкости.

Основной класс, описывающий конвекцию диффузию, на языке С++ имеет следующую структуру:

class CMod2D { public:

int N, //количество узлов по x M; //количество узлов по y DWORD N1; //величина, используемая для

//ускорения расчетов и равная N+1 Knot huge *Knts; // массив, содержащий информацию

// об узлах сетки CDrawLst *lstBorder;// перечень границ Param Params; //константы

CMod2D(CDrawLst *alstBorder) { Init(alstBorder); } ~CMod2D() { Destroyer(); } void Init(CDrawLst *alstBorder); void Organiser(); void Destroyer(); void Set();

void SetLine(CDrawElem *DrawElem); void SetCircle(CDrawElem *DrawElem); void SetNotch(CDrawElem *DrawElem); void ShowArrange(HDC hDC, double SclShow);

void ShowPhisic(HDC hDC, double SclShow); void ShowEqLine(HDC hDC, EWShow ews,double MaxVal, double deltaF, double SclShow, int CurrentPersent); void BShowWave(); // начало отрисовки поля скоростей void EShowWave(); // конец отрисовки поля скоростей

Для быстрого создания и изменения геометрии рассматриваемой области в комплексе программ реализован редактор, набор инструментов которого состоит из отрезка, окружности и дуги. Система классов редактора представлена на рисунке П1.

Рисунок П1. - Структура классов создания чертежных инструментов.

Для сохранения «нарисованных» границ используется структура данных, элементом которой может быть объект-наследник абстрактного класса СЕ1ешеП (см. Рисунок П2).

Рисунок П2. - Классы создания геометрических элементов.

Диалоговые окна задания параметров, начальных и граничных условий организованы на базе классов, представленных на рисунке П3.

Рисунок П3. - Классы создания окон.

На рисунке П4 в виде иерархии представлена структура классов создания подчиненных окон.

Рисунок П4. - Структура классов создания подчиненных окон.

Приложение 2 Программная реализация алгоритмов численного решения рассматриваемых задач

Для организации расчетов введены следующие переменные:

idx6 = jNl+(i+1.0); idx4 = jNl+(i-1.0); idx2 = (j-1.0)*Nl+i; idx8 = (j+1.0)*Nl+i; idx6_2 = jN1+(i+2.0); idx3 = (i+1.0)+(j-1.0)*N1; idx9 = (i+1.0)+(j+1.0)*N1; idx7 = (i-1.0)+(j+1.0)*N1; idx8_2 = i+(j+2.0)*N1;

Алгоритм организации компьютерных расчета состоит из пяти этапов: 1) Создается цикл, пока условие Vmax < ерs или Umax < ерs не будет выполнено:

max

уП+1 _ уП уП+1

< а.

2) Осуществляется обход по всем узлам сетки:

for (j = 0; j <=M; j++) { jN1 = j *N1; for (i = 0; i <=N; i++) { idx5 = j N1 + i;

3) Определяется краевое условие для узла с индексом idх5: switch (L[ idx5 ]. ePhisic ) {

4) Рассчитываются внутренние узлы

case IT _CENTER_POINT:

i6 = jN1+(i + 1.0);

i4 = jN1 +(i — 1.0);

i2 = (j — 1.0)*N1+i ;

i8 = (j +1.0)*N1+i ;

i66 = jN1 +(i +2.0);

i3 = (i + 1.0) + (j — 1.0) * N1;

i9 = (i + 1.0) + (j+1.0) * N1;

i7 = (i — 1.0) + (j +1.0) * N1;

iSS = i +(j +2.О) * N1; a = (О.S * (L[idx6].U + L[idxS].U) * 0.5 * (L[idx4].U + L[idxS].U) - 0.S * (L[idx6_2].U + L[idx6].U) * 0.S * (L[idx6].U + L[idxS ].U))/h; b = (0.S * (0.S * (L[idx6].U + L[idxS].U) - 0.S *

(L[idx3].U + L[idx2].U)) * 0.S * (0.S * (L[idxS].V + L[idx2].V) + 0.S * (L[idx6].V + L[idx3].V)) -0.S * (0.S * (L[idx9].U + L[ idxS ] .U) - 0.S * (L[idx6].U + L[idxS].U)) * 0.S * (0.S * (L[idxS].V + L[ idxS ]. V) + 0.S * (L[idx9].V + L[ idx6 ]. V) ))/h ; c = Nu/0.S * (L[idx6].C1 + L[ idxS ]. C1 ) * ((0.S *

(L[idx6_2].U + L[idx6].U) - 2 * 0.S * (L[idx6].U + L[ idxS ] .U) + 0.S * (L[idx4].U + L[ idxS ] .U) )/h * h + (0.S * (L[idx9].U + L[ idxS ] .U) - 2 * 0.S * (L[idx6].U + L[idxS].U) + 0.S * (L[idx3].U + L[ idx2 ] . U) ) / h* h ) ; L[ idxS ] .U = ((a + b + c) * t + 0.S * (L[idx6].U +

L[ idxS ] .U)) * 2 - L[idx6].U; e = (0.S * (0.S * (L[idx7].U + L[idxS].U) - 0.S * (L[idx4].U + L[idxS].U))*0.S*(0.S* (L[idxS].V +L[idxS].V) + 0.S * (L[idx7].V + L[idx4].U)) - 0.S * (0.S * (L[idx9].U + L[idxS].U) - 0.S * (L[idx6].U + L[ idxS ] .U)) * 0.S * (0.S * (L[idxS].V + L[idxS].V) + 0.S * (L[idx9].V + L[ idx6 ] . V ) ) ) / h ; f = (0.S * (L[ idxS ]. V + L[ idxS ]. V) * 0.S * (L[idx2].V + L[ idxS ]. V) - 0.S * (L[idxS_2].V + L[idxS].V) * 0.S * (L[ idxS ]. V + L[idxS].V))/h ; g = Nu/0.S *(L[idxS].C1 + L[ idxS ]. C1 ) * ((0.S*

(L[idx9].V + L[idx6].V) - 2 * 0.S * (L[idxS].V + L[ idxS ]. V) + 0.S * (L[idx7].V + L[ idx4 ]. V) ) / h * h + (0.S * (L[idxS_2].V + L[ idxS ]. V) - 2 * 0.S * (L[idxS].V + L[ idxS ]. V) + 0.S * (L[idx2].V + L[ idxS ]. V) ) / h* h); L[ idxS ]. V = ((e + f + g) * t + 0.S * (L[idxS].V +

L[idxS ].V))*2 - L[idxS ] .V; L[ idxS ]. K2 = L[ idxS ]. C1 - t * ((0.S * (L[idx6].C1

+L[ idxS ]. C1 ) * 0.S * (L[idx6].U + L[idxS].U) - 0.S * (L[idx4].C1 + L[ idxS ]. C1 ) * 0.S * (L[idx4].U + L[idxS ].U))/h - t*((0.S*(L[idxS].C1 + L[idxS]. C1 )*0.S*(L[idxS ].V + L[idxS].V) -

0.5 * (L[idx2].C1 + L[idx5].C1) * 0.5 * (L[idx2].V + L[idx5 ]. V) ) / h ) ) ;

L[ idx5 ]. Ksi = ((2 * L[ idx6 ]. Ksi /( h * h * (L[idx6].K2 + L[idx5].K2)) - (L[idx6].U - L[idx4].U)/2 * h * t — (L[ idx8 ] .V - L[idx2 ] .V)/2 * h * t -2 * L[ idx4 ]. Ksi / ( h * h * (L[idx4].K2 + L[ idx5 ]. K2)) + 2 * L[ idx8 ]. Ksi / ( h * h * (L[idx8].K2 + L[idx5].K2)) -2 * L[ idx2 ]. Ksi / ( h * h * (L[idx2].K2 + L[idx5].K2)) * h * (L[idx6].K2 + L[idx5].K2) * (L[idx4].K2 + L[idx5].K2)*(L[idx8].K2+L[idx5].K2)* (L[idx2].K2 + L[idx5 ].K2))/(h*(0.5* (L[idx4].K2+L[idx5].K2)* 0.5 *(L[idx8].K2 + L[idx5].K2)* 0.5 *(L[idx2].K2+L[idx5].K2) + 0.5 *(L[idx6].K2 +L[idx5].K2)*0.5 *(L[idx8].K2 +L[idx5].K2) * 0.5 * (L[idx2].K2 + L[idx5].K2)+ 0.5 *(L[idx6].K2+L[idx5].K2)* 0.5 *(L[idx4].K2 +L[idx5].K2) * 0.5 * (L[idx2].K2 + L[idx5].K2) + 0.5*(L[idx6].K2+L[idx5].K2)*0.5 *(L[idx4 ] .K2 +L[idx5].K2) * 0.5 * (L[idx8].K2 + L[ idx5 ]. K2 ) ) ) ;

r = 0.5 * (L[idx6].K2 + L[idx5].K2) * 0.5 *

(L[idx4].K2+L[idx5].K2)* 0.5 *(L[idx8].K2 + L[idx5].K2) * 0.5 * (L[idx2].K2 + L[idx5].K2) * (2 * L[idx6 ]. Ksi / (L[idx6 ]. K2 + L[idx5].K2)+ 2 * L[idx4 ]. Ksi/(L[idx4 ]. K2 + L[idx5].K2)+ 2 * L[idx8 ]. Ksi/(L[idx8 ]. K2 + L[idx5].K2)+ 2 * L[idx2 ]. Ksi/(L[idx2 ]. K2 + L[idx5].K2)-h*(L[idx6].U-L[idx4].U+ L[idx8 ] .V -L[idx2 ].V)/2* t);

s = 0.5 * ((L[idx4].K2 + L[idx5].K2) *

(L[idx8].K2 +L[idx5].K2) * (L[idx2].K2 + L[idx5 ].K2)+L[idx6].K2 + L[idx5].K2)* (L[idx8].K2 +L[idx5].K2) * (L[idx2].K2 + L[idx5].K2) +(L[idx6].K2 + L[idx5].K2) * (L[idx4].K2 +L[idx5].K2) * (L[idx2].K2 + L[idx5].K2) +(L[idx6].K2 + L[idx5].K2) * (L[idx4].K2 +L[idx5].K2)*(L[idx8].K2+ L[idx5 ]. K2 ) ) ;

L[ idx5 ]. Ksi = r / s ;

L[idx5].U = 2 * (0.5 * (L[idx6].U + L[idx5].U) -2 * t * (L[idx6 ]. Ksi -L[idx5 ]. Ksi )/(h * (L[idx6 ] .K2

+ L[idx5 ].K2))) - L[idx6].U; L[ idx5 ]. V = 2 * (0.5 * (L[idx8].V+ L[idx5].V)-

2 * t * (L[idx8 ]. Ksi -L[idx5 ].Ksi)/(h * (L[idx8 ].K2 + L[idx5 ].K2))) - L[idx8].V; L[idx5].K2 = L[idx5].C1 - t * ((L[idx6].C1 + L[idx5 ].C1) * (L[idx6 ].U + 2 * L[idx5 ].U -L[idx4].U)/4 * h - (L[idx8].C1 + L[idx5].C1) * (L[idx8].V + 2*L[idx5].V - L[idx2 ] .V)/4*h);

5) Рассчитываются значения искомых функций на границах

case IT_BORDER_HARD:

switch (L[ idx5 ]. eArrange ) { case BORDER_LEFT: i6 = jN1 +( i +1 ) ; L[idx5 ]. Psi = L[idx6 ]. Psi ; break ;

case BORDER_RIGHT: i4 = jN1 +(i - 1); L[idx5 ]. Psi = L[idx4 ]. Psi ; break ;

case BORDER_TOP:

i2 = (j -1)*N1+i ; L[idx5 ]. Psi = L[idx2 ]. Psi ; break ;

case BORDER_BOTTOM:

i8 = (j +1)*N1+i ;

L[idx5 ]. Psi = L[idx8 ]. Psi ;

}

break ;