Математические методы анализа фрактальных свойств динамики цен фондовых рынков тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 08.00.13, кандидат экономических наук Марков, Андрей Аркадьевич

• Марков, Андрей Аркадьевич
• кандидат экономических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат экономических наук Марков, Андрей Аркадьевич

Введение.

1. Теоретические аспекты фрактального анализа финансовых временных рядов.

1.1 Гипотеза фрактального рынка.

1.2 Фракталы и их размерность.

1.3 Винеровский процесс и фрактальное броуновское движение.

1.4 Связь показателя Херста # с персистентностью / антиперсистентностью финансовых временных рядов.

1.5 Фрактальное броуновское движение и проблема арбитража.

1.6 Литературный обзор по теме диссертационной работы.

1.7 Критический анализ РМН.

1.8 Научная проблема и замысел ее решения.

2. Прикладные модели анализа динамики ценообразования рисковых активов в предположениях гипотезы фрактального рынка.

2.1 Фрактальная модель ценообразования рыночных активов.

2.2 Обоснование выбора объекта анализа.

2.3 Описание примененного преобразования данных.

2.4 Описание и обоснование примененных методов оценки показателя Херста Н.

2.5 Выявление непериодических циклов в динамике ценообразования фондовых индексов.

2.6 Оценка корреляционной размерности логарифмических доходностей индексов.

2.7 Дискретная аппроксимация модели с ФБД.

2.8 Приближенная оценка стоимости опционов.

2.9 Оценка верхних и нижних границ стоимостей опционов с учетом транзакционных издержек (брокерских комиссий).

2.10 Хеджирование опционной позиции в модели с ФБД.

3. Применение фрактальных моделей к фондовым рынкам.

3.1 Фрактальные характеристики фондовых индексов.

3.2 Оценка стоимости опционов на российском фондовом рынке при помощи модели с ФБД.

3.3 Вычисление границ стоимости опционов для различных значений показателя Херста Н.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические методы анализа фрактальных свойств динамики цен фондовых рынков»

Настоящая диссертационная работа посвящена выявлению и исследованию фрактальных свойств динамики цен на фондовых рынках.

Актуальность проводимого исследования

Начиная с середины XX века нелинейные методы начинают все более широко применяться при анализе динамики ценообразования фондовых рынков.

С научной точки зрения гипотеза фрактального рынка является парадигмой, описывающей взаимодействие участников рынка и ценообразование активов как результат этого взаимодействия. Предпосылки гипотезы фрактального рынка (разнообразие инвестиционных горизонтов участников как основной фактор устойчивости рынка, коррелированность доходностей рисковых активов на непересекающихся временных промежутках, трактовка обвалов и скачков как реакции на снижение рыночной ликвидности) являются существенно более приближенными к реальному положению дел, чем традиционные положения гипотезы эффективного рынка (рациональность участников рынка, мгновенная реакция цен на поступившую информацию, трактовка обвалов и скачков как перехода к новому равновесному состоянию).

С практической точки зрения исследование фрактальных свойств ценообразования активов позволяет получать более точную оценку рыночных рисков. Благодаря этому могут быть получены рекомендации, необходимые для работы как частных, так и институциональных инвесторов. В рамках гипотезы фрактального рынка динамика доходностей рисковых активов описывается процессом фрактального броуновского движения (далее - ФБД).

В то же время существуют объективные препятствия к практическому применению теоретических методов оценки стоимости рисковых активов в рамках гипотезы фрактального рынка. Во-первых, фрактальный рынок допускает арбитраж, что лишает возможности использовать аппарат рискнейтральных вероятностных мер для оценки цен производных финансовых инструментов. Во-вторых, вычисление значений фрактальных характеристик, выступающих в роли параметров моделей с ФБД, зачастую затруднено из-за наличия авторегрессионных зависимостей между элементами исследуемого временного ряда, влияния тренда или присутствия «выбросов» среди элементов ряда.

Актуальность исследования обусловлена высокой практической значимостью и недостаточной проработкой проблемы безарбитражной оценки справедливой стоимости рисковых активов на фрактальном рынке. Указанная проблема особенно актуальна в условиях российского фондового рынка, характеризующегося повышенной волатильностью, что влечет потребность участников рынка в эффективном инструменте адекватной оценки рыночных рисков.

Степень разработанности проблемы

Моделирование динамики ценообразования рискового актива опирается на аппарат теории вероятностей, математической статистики и теории случайных процессов, который восходит в первую очередь к достижениям выдающегося ученого А.Н. Колмогорова, а также П.Л. Чебышева, A.A. Маркова (старшего), A.M. Ляпунова, А.Я. Хинчина, С.Н. Бернштейна, Б.В. Гнеденко, Ю.В. Прохорова, Ю.А. Розанова, И.В. Гирсанова и др.

В области стохастической финансовой математики центральное место занимают фундаментальные труды А.Н. Ширяева, а также работы Г. Фёлмера, А. Шида, Т. Андерсена, Т. Боллерслева, В.И. Аркина, И.В. Евстигнеева, Э.Л. Пресмана, А. Д. Сластникова, Ю.М. Кабанова, Д.О. Крамкова, A.B. Мельникова, К. Болл, О. Барндорф-Нильсена, Т. Бьорка, У. Брока, Д. Хсие, К. Чоу, М. Докоронья, Ф. Делбаена, У. Шахермайера, Д. Даффи, М. Эмери, Дж. Харрисона, Т. Хо, С. Ли, О. Васичека и др.

Применение теории случайных процессов для аппроксимации динамики цен на фондовых рынках началось с работ Л. Башелье. В дальнейшем его результаты были дополнены и развиты в прикладных работах Г. Марковича, Р. Мертона, П. Самуэльсона, У. Шарпа, а также теоретических трудах М. Осборна, Э. Фама и др.

Аппарат оценки стоимости производных финансовых инструментов развит такими учеными, как Блэк, М. Шоулз, Дж. Кокс, Р. Росс, М. Рубинштейн, Дж. Халл, С. Рачев, Дж. Константинидис, С. Перракис.

Использование фрактальной геометрии в анализе фондовых рынков обязано своим рождением Б. Мандельброту, применившим результаты Г. Херста в финансовой сфере, а также Э. Петерсу, чьи работы активно использовались автором при написании диссертации. Помимо этих авторов, в области фрактального анализа финансовых временных рядов автор опирался на результаты М.М. Дубовикова, Н.В. Старченко, С.Е. Теплова, Л.В. Клочихина, Д.А. Филатова, В.Н. Якимкина, В.Н. Костюка, Дж. Браун, Р. Клегга и ряда других ученых, проводивших фрактальный анализ национальных фондовых рынков своих стран: А. Ло, Т. Миллс, Т. Люкс, В. Чоу, М. Пэн, Р. Сакано, И. Лобато, Н. Савин, У. Уиллинджер, М. Такку, В. Теверовский, С. Чен, Г. Нэт, Дж. Кавальканте, А. Ассаф, Е. Панас, Ю. Тольви, С. Садик, П. Сильвапулль, Д. Кажуэйро, Б. Табак, Г. О, К. Ум, С. Ким.

Аппарат эконофизики и нелинейной динамики развит в работах В.И. Арнольда, П. Берже, И. Помо, К. Видаля, Г. Шустера, А.Ю. Лоскутова, А.С. Михайлова, М.Ю. Романовского, Ю.М. Романовского, Р. Мантеня, X. Стенли, Д. Сорнетта и др.

Свойства фрактального броуновского движения исследованы в работах Т. Соттинена, Э. Валкейла, П. Гуасони, Б. Оксендаля, Й. Ху, Р. Эллиотта, Дж. Ван дер Хойка, П. Чередито, Л. Роджерса, Ю. Мишуры, Ш. Ростека и др.

Однако на сегодняшний день подходы к практическому применению гипотезы фрактального рынка являются недостаточно проработанными.

Научное сообщество знает, как выявить и вычислить фрактальные характеристики рыночных инструментов, но только приближается к получению точных оценок справедливых цен этих инструментов. Сложности обусловлены как минимум двумя причинами:

• арбитраж во фрактальных моделях ценообразования рисковых активов;

• трудности экономической интерпретации ряда математических результатов (таких, например, как исключение арбитража путем модификации интеграла в представлении ФБД).

Естественно, что две перечисленные проблемы автоматически порождают третью - многие из разработанных теоретических подходов к анализу фрактального рынка пока что так и остаются теорией, не нашедшей достаточного применения в практической инвестиционной деятельности. Однако быстрое развитие рынка России в сочетании с посткризисным переосмыслением отношения к риску во всем финансовом мире требует скорейшего внедрения более совершенных методов анализа рыночной конъюнктуры.

Необходимость совершенствования подходов к использованию гипотезы фрактального рынка при оценке справедливой стоимости рисковых активов на фондовых рынках обуславливает актуальность темы исследования, предопределяя ее структуру, цель и задачи.

Цель и задачи исследования

Цель исследования - решение научной проблемы совершенствования подходов к вычислению безарбитражных оценок справедливых цен рисковых активов на фрактальном рынке.

В диссертационной работе решаются следующие задачи: 1) оценка значений фрактальных характеристик фондовых индексов (показатель Херста, корреляционная размерность, размерность вложения и др.); 2) выявление циклов в динамике цен на рынках; 3) на основе (1) и (2) моделирование динамики ценообразования рисковых активов на основе фрактального броуновского движения; 4) оценка справедливой стоимости производных инструментов на фрактальном рынке с пропорциональными транзакционными издержками; 5) сравнение результатов расчетов с помощью моделей из (3)-(4)с актуальными данными по торгам и их тестирование в динамике.

Объект исследования - фондовые рынки (на примере рынков России и США). Предмет исследования - фрактальные свойства фондовых рынков (фрактальная размерность и показатель Херста фондовых индексов, циклы в динамике ценообразования на рынках, персистентность/антиперсистентность, корреляционная размерность, размерность вложения) и их влияние на оценку справедливой стоимости торгующихся рисковых активов.

Методологические и теоретические основы исследования

Теоретическая и методологическая основа исследования -теоретические и методологические положения, содержащиеся в трудах российских и зарубежных авторов в таких областях науки, как теория вероятностей и математическая статистика, теория случайных процессов, стохастическая финансовая математика, фрактальная геометрия, нелинейная динамика. Важнейшую роль при написании работы сыграли работы (преимущественно зарубежные) в области исследования свойств фрактального броуновского движения и его финансовых приложений. Программно-технический комплекс фрактального анализа финансовых временных рядов и оценки справедливой стоимости рисковых активов реализован с использованием компьютерных программ MathCad Professional и Microsoft Excel. Содержание диссертационного исследования соответствует специальности 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики.

Информационная база исследования

В числе информационных источников диссертации использованы:

•научные источники в виде данных из монографий, а также работ российских и зарубежных авторов в области теории вероятностей и математической статистики, теории случайных процессов, стохастической финансовой математики, инвестиций и рынка ценных бумаг опубликованных в монографиях, периодической печати, в виде препринтов, научных докладов, материалов конференций и семинаров;

•статистические источники в виде итогов торгов на фондовых площадках, свободно доступных через сеть Internet.

Научная новизна исследования

Научная новизна диссертации заключается в уточнении количественных характеристик фрактальных свойств динамики цен фондовых рынков и получении безарбитражных оценок справедливой стоимости рисковых активов на фрактальном рынке с пропорциональными транзакционными издержками. Новыми являются следующие научные результаты.

1. Получены уточненные оценки фрактальных характеристик (показатель Херста, корреляционная размерность, размерность вложения, длительность персистентных циклов) фондовых индексов в рамках предположений гипотезы фрактального рынка.

2. С помощью реализованных и впервые примененных в условиях российского рынка методов, основанных на модели с ФБД, получены оценки справедливой стоимости рисковых активов и фьючерсных опционов на эти активы.

3. На основе сопоставления результатов расчетов с реальными торговыми котировками показано, что указанные методы применимы как минимум на российском фондовом рынке.

4. Показано, что результаты расчетов на основе моделей из (2) существенно меняются даже при незначительных изменениях ключевого параметра - показателя Херста, что свидетельствует о чувствительности моделей и наглядно демонстрирует роль учета фрактальности в повышении точности оценки рыночных рисков.При написании диссертации автор видел одну из задач в том, чтобы на основе «сырых» теоретических моделей, построенных исследователями-математиками, получить работоспособный математически корректный инструмент оценки стоимости рисковых активов, имеющий: а) более реалистичные предпосылки по сравнению с существующими методами; б) ясную экономическую интерпретацию; в) потенциал практического применения в реальной инвестиционной деятельности. Данный инструмент дает возможность приблизиться к устранению проблемы вакуума практических методов применения столь привлекательной и реалистичной парадигмы, как гипотеза фрактального рынка.

Теоретическая и практическая значимость исследования

Теоретическая значимость научных результатов заключается в том, что основные выводы и положения диссертации развивают теоретико-методологическую базу анализа динамики цен на фондовых рынках, адаптируя ее к российским условиям.

Практическая значимость результатов состоит в получении участниками фондового рынка инструмента для более точной (в сравнении с оценками на основе предположений гипотезы эффективного рынка) оценки рисков в процессе инвестиционной деятельности.

Результаты исследования также могут быть использованы в процессе преподавания аналитических дисциплин студентам экономических специальностей.

Апробация результатов исследования

Основные результаты исследования были изложены и обсуждены в рамках следующих мероприятий: «круглый стол» по теме «Российский финансовый рынок: проблемы повышения конкурентоспособности и роли в инновационном развитии экономики», проведенный под научным руководством д.э.н., проф. JI.H. Красавиной (Финакадемия, 2007 г.); «круглый стол» для аспирантов по теме «Российский финансовый рынок и его роль в инновационном развитии экономики», проведенный под научным руководством д.э.н., проф. JI.H. Красавиной (Финакадемия, 2008 г.); «круглый стол» для аспирантов по теме «Финансовые аспекты инновационного развития экономики России», проведенный под научным руководством д.э.н., проф. JI.H. Красавиной (Финакадемия, 2009 г.); «круглый стол» для аспирантов по теме «Мировой финансово-экономический кризис и перспективы инновационного развития экономики России: финансовый, кредитный, валютный аспекты», проведенный под научным руководством д.э.н., проф. Л.Н. Красавиной (Финакадемия, 2010 г.); Пятая международная конференция по прикладной математике и численным методам (Технический университет г. Пловдив, Болгария, 12-18 августа 2008 г.); Seminar on Actual Methods of Financial Risk Management - Российско-австрийский Семинар по актуальным методам финансового риск-менеджмента (Финакадемия, 13-18 сентября 2009 г.); Первый Российский экономический конгресс (РЭК-2009) Новой экономической ассоциации (НЭА) и Секции экономики Отделения общественных наук РАН (МГУ им. М.В. Ломоносова, 7-12 декабря 2009 г.).

Результаты исследования нашли практическое применение в ООО «Менеджмент-консалтинг». В работе Аналитического отдела этой организации используется методология оценки справедливой стоимости опционов на фрактальном рынке, а также описанная в исследовании дискретная модель ценообразования базисных и производных финансовых инструментов.

Материалы исследования используются кафедрой «Математика» ФГОУ ВПО «Финансовая академия при Правительстве Российской Федерации» в преподавании учебной дисциплины «Стохастическая финансовая математика». Внедрение результатов исследования в указанных организациях подтверждено соответствующими документами.

Работа выполнена в рамках направления исследования НИР кафедры «Математика» ФГОУ ВПО «Финансовая академия при Правительстве Российской Федерации» по теме «Развитие математических инструментов исследования финансово-экономических процессов» в соответствии с Комплексной темой «Пути развития финансово-экономического сектора России».

Публикации

По теме диссертации опубликовано 5 печатных работ (в том числе 3 - в изданиях, определенных ВАК) общим объемом 2,2 п.л. (авторский объем - 2,0 п.л.).

Структура диссертационной работы.

Структура диссертации обусловлена целью, задачами и логикой исследования. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы и приложения. Первая глава посвящена основным сведениям в области фрактального анализа фондовых рынков, литературному обзору по теме диссертации, постановке научной проблемы и замыслу ее решения. Во второй главе представлена модель оценки рисковых активов и производных инструментов в рамках гипотезы фрактального рынка. Представлены и проанализированы примененные методы оценки фрактальных характеристик рисковых активов. В третьей главе показаны

Заключение диссертации по теме «Математические и инструментальные методы экономики», Марков, Андрей Аркадьевич

Заключение

Проведенное исследование подтвердило обоснованность предположений гипотезы фрактального рынка.

Фрактальные характеристики фондовых рынков

Ценообразование основных индексов указанных рынков подчинено процессу черного шума, то есть ФБД с показателем Херста Н> 0,5. При этом персистентность индексов меняется в зависимости от длины инвестиционного горизонта. Подобная неоднородность позволяет выделить непериодические циклы. Всем анализируемым индексам присущ как минимум один цикл, в случае индекса Standard & Poors 500 имеем два цикла. Индекс ММВБ, а также индексы Dow Jones Industrial Average и NASDAQ проявляют антиперсистентность на длительных инвестиционных горизонтах. Индексы РТС и Standard & Poors 500 характеризуются, наоборот, усилением персистентных свойств по мере увеличения временного интервала. Из всех рассмотренных индексов лишь индекс РТС на некоторых горизонтах демонстрирует признаки детерминированного хаоса, что видно из наличия конечной корреляционной размерности аттрактора. Остальные индексы характеризуются стохастической динамикой ценообразования вне зависимости от интервала времени.

Модель ценообразования рисковых активов на фрактальном рынке

Дискретная модель, основанная на процессе ФБД, вполне удовлетворительно описала динамику ценообразования анализируемых биржевых инструментов.

Несмотря на то, что интервалы между границами достаточно длинные, на рынке присутствуют инвесторы, выставляющие котировку на покупку и продажу, не попадающие в указанные интервалы. Такие цены bid и ask далеки от справедливого уровня. Вместе с тем, цены совершаемых сделок в основном попадают в указанные интервалы.

Таким образом, показана практическая применимость модели (2.7.1) по крайней мере на российском рынке опционов. Проведены расчеты, продемонстрировавшие чувствительность модели к изменению значений фрактальных характеристик рынка.

Практические рекомендации на основе проведенного исследования

Описанный в настоящей работе подход к оценке справедливой стоимости активов в рамках гипотезы фрактального рынка может быть использован при планировании инвестиционной деятельности на рынке ценных бумаг и является развитием традиционных методов, опирающихся на гипотезу эффективного рынка.

Список литературы диссертационного исследования кандидат экономических наук Марков, Андрей Аркадьевич, 2010 год

1. Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Едиториал УРСС, 2004. 128с.

2. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности. М.: Мир, 1991. 367 с.

3. Божокин C.B., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. М.Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 128 с.

4. Васильев К.Г. Экономико-математическое моделирование финансовых пузырей на фондовом рынке: Автореф. дис. канд. экон. наук: 08.00.13. СПб, 2006. 23 с.

5. Дубовиков М.М., Крянев A.B., Старченко Н.В. Локальный фрактальный анализ временных рядов // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Прикладная и компьютерная математика. 2004. Т.З. №1. С. 30-44.

6. Дубовиков М.М., Старченко Н.В. Индекс вариации и его приложение к анализу фрактальных структур // Александр Гордон. Научный альманах. 2003. №1. С. 5-32.

7. Ильин И.В. Модели и методы анализа динамических процессов в нелинейных экономических системах: Автореф. дис. докт. экон. наук.: 08.00.13. СПб., 2004. 31 с.

8. Корникова Н.В. Оценка динамики показателей стабильности и прогнозируемости рынка ценных бумаг : Автореф. дис. канд. экон. наук : 08.00.13. СПб., 2006. 20 с.

9. Костюк В.Н. Нестационарные экономические процессы. М.: УРСС, 2004. 240 с.

10. Костюк В.Н. Управление риском и теория фракталов // Труды Института системного анализа Российской академии наук. 2008. Т. 31. С. 6476.

11. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. М.: Техносфера, 2006. 488 с.

12. Лашкарев А.Н. Математическое моделирование динамики финансовых временных рядов с эффектом памяти: Автореф. дис. канд. экон. наук: 08.00.13. Ижевск, 2005. 23 с.

13. Лоскутов А.Ю., Михайлов A.C. Основы теории сложных систем. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2007. 612 с.

14. Мандельброт Б. Фракталы, случай и финансы. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004. 256 с.

15. Мандельброт Б., Хадсон Р.Л. (Не)послушные рынки: фрактальная революция в финансах. М.: Вильяме, 2006. 400 с.

16. Марков A.A. Некоторые фрактальные свойства фондовых индексов // Сегодня и завтра российской экономики. 2009. №30. С. 103-112.

17. Марков A.A. Оценка границ стоимости опционов на фрактальном рынке // Вестник экономической интеграции. 2009. №8 (18). С. 49-57.

18. Марков A.A. Оценка рисковых активов на фрактальном рынке // Финансы и кредит. 2009. №48 (384). С. 88-93.

19. Марков A.A. Оценка рисковых активов на фрактальном рынке // Российский экономический конгресс. Сборник докладов участников Электронный ресурс. / Новая экономическая ассоциация. М.: ИЭ РАН, 2009. CD-ROM. Загл. с этикетки диска.

20. Марков A.A. Фрактальная размерность российских и некоторых зарубежных фондовых индексов // Математические методы анализа финансовых временных рядов: Сборник научных статей / Под ред. В.Б. Гисина и А.Б. Шаповала. М.: Финакадемия, 2008. С. 49-61.

21. Мерфи Д. Технический анализ фьючерсных рынков: теория и практика. М.: Евро, 2008. 592 с.

22. Петере Э. Фрактальный анализ финансовых рынков: применение теории хаоса в инвестициях и экономике. М.: Интернет-трейдинг, 2004. 304 с.

23. Петере Э. Хаос и порядок на рынках капитала. М.: Мир, 2000. 336с.

24. Рюэль Д. Случайность и хаос. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 191 с.

25. Сорнетте Д. Как предсказывать крахи финансовых рынков: критические события в комплексных финансовых системах. М.: Интернет-трейдинг, 2008. 400 с.

26. Старченко H.B. Локальный фрактальный анализ в физических приложениях. // Препринт № 006-2005, МИФИ. 2005.

27. Теплов С.Е. /^-анализ американского фондового, российского фондового и валютного рынков // Сб. статей «Финансовый сектор в экономике». М.: МФПА, 2007.

28. Теплов С.Е., Клочихин Л.В. .К/З'-анализ фондового рынка NASDAQ II Математико-статистический анализ социально-экономических процессов: Межвузовский сборник научных трудов. Выпуск 4. М.: МГУЭСИ, 2007.

29. Тренин Ю.Б. Методы теории детерминированного хаоса в исследовании нерегулярной динамики финансовых рынков: Автореф. дис. канд. экон. наук: 08.00.13. Пермь, 2005. 21 с.

30. Узденов Р.Х. Математические и инструментальные . методы анализа и прогнозирования экономических временных рядов с памятью: Автореф. дис. канд. экон. наук: 08.00.13. Кисловодск, 2004. 26 с.

31. Урицкая О.Ю. Прогнозирование экономических кризисов на основе фрактального анализа динамики валютных курсов: Автореф. дис. канд. экон. наук: 08.00.13. СПб., 2004. 18 с.

32. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991. 254 с.

33. Федоренко A.C. Экономико-математические методы анализа и прогнозирования дйнамики показателей рынка фьючерсных контрактов: Авторёф. дис. канд. экон. наук: 08.00.13. СПб, 2006. 23 с.

34. Фельдман А.Б. Производные финансовые и товарные инструменты. М.: Экономика, 2008. 468 с.

35. Фельмер Г., Шид А. Введение в стохастические финансы. Дискретное время / Пер. с англ. М.: МЦНМО, 2008. 496 с.

36. Филатов Д.А. Прогнозирование финансовых крахов на основе моделирования степенного ускорения роста цены актива // Эконометрическое моделирование: модели и методы-2007; Материалы международной научно-практической конференции. 2007. С. 242-248.

37. Фощан Г.И. Нелинейные динамические модели и нейросетевые методы прогнозирования динамики финансовых рынков: Автореф. дис. канд. экон. наук: 08.00.13. Краснодар, 2005. 24 с.

38. Халл Дж.К. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты. М.: ООО «И.Д. Вильяме», 2007. 1056 с.

39. Шарп У., Александер Г., Бэйли Дж. Инвестиции. М.: Инфра-М, 2004. 1028 с.

40. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты. Модели. М.: ФАЗИС, 2004. 489 с.

41. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Том 2. Теория. М.: ФАЗИС, 2004. 543 с.

42. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 528 с.

43. Энциклопедия финансового риск-менеджмента / Под ред. Лобанова A.A. и Чугунова A.B. М.: Альпина Бизнес Букс, 2009. 932 с.

44. Якимкин В.Н. Финансовый дилинг. Технический анализ. М.: ИКФ Омега-Л, 2006. 479 с.

45. Якимкин В.Н. Фундаментальный анализ. М.: ИКФ Омега-Л, 2008. 640 с.

46. Янгишиева А.М. Моделирование экономических рисков методами нелинейной динамики: На материалах Карачаево-Черкесской Республики: Автореф. дис. канд. экон. наук : 08.00.13. Ставрополь, 2005. 24 с.

47. Ané Т., Ureche-Rangau L. Does trading volume really explain stock returns volatility? // Journal of International Financial Markets, Institutions and Money. 2008. Vol. 18(3). Pp. 216-235.

48. Bachelier L. Théorie de la spéculation // Annales scientifiques de l'E.N.S. 1900. 3-е série. Tome 17. Pp. 21-86.

49. Bender C., Sottinen T., Valkeila E. Arbitrage with fractional Brownian motion? // Theory of Stochastic Processes 13 (29). 2006. Vol. 12 (28). №3-4. Pp. 23-34.

50. Bouchaud J.P., Soraette D., Walter D., Aguilar J.P. Taming Large Events: Optimal Portfolio Theory for Strongly Fluctuating Assets // International Journal of Theoretical and Applied Finance. 1998. 1. Pp. 25-41.

51. Breban R., Nusse H.E. Computing fractal dimension in supertransient systems directly, fast and reliable. // URL: www.iop.org/EJ/abstract/0295-5075/76/6/1036.

52. Brodu N. Real-time update of multi-fractal analysis on dynamic time series using incremental discrete wavelet transforms. // URL: http://arxiv.org/abs/nlin.CD/0511041.

53. Brown J., Oxley L., Rea W., Reale M. The Empirical Properties of Some Popular Estimators of Long Memory Processes // Working Papers in Economics 08/13, University of Canterbury, Department of Economics. 2008.

54. Cajueiro D.O., Tabak B.M. Possible causes of long-range dependence in the Brazilian stock market // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2005. Volume 345. Issues 3-4. Pp. 635-645.

55. Cavalcante J., Assaf A. Long Range Dependence in the Returns and Volatility of the Brazilian Stock Market. Rio de Janeiro, 2002.

56. Chen S.-H. Lecture 7: Rescale Range Analysis and the Hurst Exponent // Financial Economics (I), Department of Economics; National Chengchi University. 2000.

57. Cheridito P. Mixed fractional Brownian motion // Bernoulli. 2001. 7. Pp. 913-934.

58. Cheridito P. Regularizing fractional Brownian motion with a view towards stock price modeling // Eidgenoss Technische Hochschule Zurich, Swiss Federal Institute of Technology, Ph. D. Thesis. 2001.

59. Chow K.V., Pan M.-S., Sakano R. On the long-term or short-term dependence in stock prices: Evidence from international stock markets // Review of Quantitative Finance and Accounting. 1996. Volume 6. №2. Pp. 181-194.

60. Clegg R.G. A Practical Guide to Measuring the Hurst Parameter // International Journal of Simulation: Systems, Science & Technology. 2006. Vol. 7. # 2. Pp 3-14.

61. Constantinides G.M., Perrakis S. Stochastic dominance bounds on derivatives prices in a multiperiod economy with proportional transaction costs // Journal of Economic Dynamics & Control. 2002. 26. Pp. 1323-1352.

62. Dubovikov M.M, Starchenko N.S., Dubovikov M.S. Dimension of the minimal cover and fractal analysis of time series // Physica A. 2004. № 339. Pp. 591-608.

63. Elliott R.J., Van Der Hoek J. A General Fractional White Noise Theory and Applications to Finance // Mathematical Finance. 2003. 13(2). Pp. 301-330.

64. Gisin V.B., Markov A.A., Vinukov I.A. Estimation of extreme values of returns using the Zipf-Mandelbrot law // International Journal of Pure and Applied Mathematics. 2009. Volume 50. №2. Pp. 245-250.

65. Gisin V.B., Markov A.A., Vinukov I.A. Estimation of extreme values of returns using the law of Zipf-Mandelbrot // Fifth International Conference of Applied Mathematics and Computing. Plovdiv, 2008. Abstracts, Volume 2. P. 180.

66. Greene M.T., Fielitz B.D. Long-term dependence in common stock returns // Journal of Financial Economics. 1977. Volume 4. Issue 3. Pp. 339-349.

67. Guasoni P. No arbitrage under transaction costs, with fractional Brownian motion and beyond // Mathematical Finance. 2006. Vol. 16. Issue 3. Pp. 569-582.1246.

68. Guasoni P., R'asonyi M., Schachermayer W. Consistent Price Systems and Face-Lifting Pricing under Transaction Costs // Annals of Applied Probability. 2008. Vol. 18. # 2. Pp. 491-520.

69. Guasoni P., Schachermayer W. Necessary Conditions for the Existence of Utility Maximizing Strategies under Transaction Costs // Statistics and Decisions. 2004. Vol. 22. # 2. Pp. 153-170.

70. Hu Y., Oksendal B. Fractional White Noise Calculus and Applications to Finance // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2003. Vol. 6(1). Pp. 1-32.

71. Hurst H.E. The Long-Term Storage Capacity of Reservoirs // Transactions of the American Society of Civil Engineers. 1951. 116

72. Lobato I.N., Savin N.E. Real and Spurious Long-Memory Properties of Stock-Market Data// Journal of Business & Economic Statistics. 1998. Vol. 16, No. 3. Pp. 261-268.

73. Lo A.W. Long-term memory in stock market prices // Econometrica. 1991. Vol. 59. No. 5. Pp. 1279-1313.

74. Lux T. Long-term stochastic dependence in financial prices: evidence from the German stock market // Applied Economics Letters. 1996. Vol. 3. No 11. l.Pp. 701-706.

75. Mandelbrot B. A Fractal Walk Down Wall Street // Scientific American. 1999. February. Pp.70-73.

76. Mandelbrot B. Fractals and Chaos: The Mandelbrot Set and Beyond. New York: Springer Verlag, 2004.

77. Mandelbrot B.B. Fractals and Scaling in Finance. New York: Springer New York, 1997.

78. Mandelbrot B.B. Statistical methodology for non-periodic cycles: from the covariance to R/S analysis // Annals of Economic and Social Measurement. 1972. 1. Pp.259-290.

79. Mantegna R.N., Stanley H.E. Scaling behavior in the dynamics of an economic index//Nature. 1995. 376. Pp. 46-49.

80. Mantegna R.N., Stanley H.E. Turbulence and financial markets // Nature. 1996. № 383. Pp. 587-588.

81. Markowitz H.M. Foundations of Portfolio Theory // Nobel Lecture. December7, 1990. URL: http://nobelprize.org/nobel prizes/economics/laureates/1990/markowitz-lecture.pdf

82. Merton R.C. Applications of Option-Pricing Theory: Twenty Five Years Later // Nobel Lecture. December 9, 1997. URL: http://nobelprize.org/nobelprizes/economics/laureates/1997/merton-lecture.pdf

83. Mills T.C. Is there long-term memory in UK stock returns? // Applied Financial Economics. 1993.Vol. 3. Issue 4. Pp. 303-306.

84. Mishura Y.S. Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion and Related Processes. Berlin: Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2008.

85. Nath G. Long Memory and Indian Stock Market-An Empirical Evidence // UTIICM Conference Paper. 2001.

86. Oh G.-J., Um C.-J., Kim S.-W. Long-term Memory and Volatility Clustering in Daily and High-frequency Price Changes // Arxiv preprint physics/0601174. 2006.

87. Panas E. Estimating fractal dimension using stable distributions and exploring long memory through ARFIMA models in Athens Stock Exchange // Applied Financial Economics. 2001. Vol. 11. No 4. Pp. 395-402.

88. Peters E.E. Chaos and order in the capital markets. New York: Wiley New York, 1991.

89. Roberts A. Use the information dimension, not the Hausdorff. // URL: http://arxiv.org/abs/nlin.PS/0512014.

90. Rogers L.C.G. Arbitrage with Fractional Brownian Motion // Mathematical Finance. 1997. 7(1). Pp. 95-105.

91. Rostek S. Option Pricing in Fractional Brownian Markets. Berlin: Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2009.

92. Sadique S., Silvapulle P. Long-term memory in stock market returns: international evidence // International Journal of Finance & Economics. 2001. Vol. 6. Issue 1. Pp. 59-67.

93. Scholes M.S. Derivatives In a Dynamic Environment // Nobel Lecture, December 9, 1997. URL: http://nobelprize.org/nobel prizes/economics/laureates/1997/scholes-lecture.pdf

94. Sottinen T. Fractional Brownian motion, random walks and binary market models //Finance & Stochastics. 2001. 5. Pp. 343-355.

95. Sottinen T., Valkeila E. Fractional Brownian motion as a model in finance. // University of Helsinki, Department of Mathematics, Preprint 302. 2001.

96. Sottinen T., Valkeila E. On arbitrage and replication in the fractional Black-Scholes pricing model. // Statistics & Decisions. 2003. #21. Pp. 137-151.

97. Tolvi J. Long Memory and outliers in stock market returns // Applied Financial Economics. 2003. Vol. 13. No. 7. Pp. 495-502.

98. Tolvi J. Long Memory in a Small Stock Market // Economics Bulletin. 2003. Vol. 7. No. 3. Pp. 1-13.

99. Willinger W., Taqqu M.S., Teverovsky V. Stock market prices and long-range dependence // Finance and Stochastics. 1999. Vol. 3, No 1. Pp. 1-13.

100. Zhao Y., Ziemba W. On Leland's Option Hedging Strategy with Transaction Costs. // Sauder School of Business Working Paper. 2004.

101. Фьючерсы и опционы RTS Forts доска опционов. // Сайт Биржи РТС. URL: http://www.rts.ru/ru/forts/optionsdesk.aspx?sby=0&isin=RTS-3.09&sid= 1 &bSubmit=%CF%EE%EA%E0%E7%E0%F2%FC+%2F+%CE%E 1 % ED%EE%E2%E8%F2%FC

102. Экспорт/Архив РТС Классический. Индекс РТС. Экспорт данных daily. // Сайт Информационного агентства РосБизнесКонсалтинг. URL: http://export.rbc.ru/expdocs/free.rts. 1 .shtml?RTSI

103. Экспорт/Архив ФБ ММВБ Акции. Индекс ММВБ. Экспорт данных daily. // Сайт Информационного агентства РосБизнесКонсалтинг. URL: http://export.rbc.rU/expdocs/free.micex.0.shtml7MICEXINDEXCF

104. Dow Jones Industrial AVerage In (ADJI): Historical Prices. // URL: http://finance.yahoo.com/q/hp?s=%5EDJI

105. NASDAQ Composite (AIXIC): Historical Prices. // URL: http://finance.yahoo.com/q/hp?s=%5EIXIC

106. S&P 500 Index, RTH (AGSPC): Historical Prices. // URL: http://finance.yahoo.com/q/hp?s=%5EGSPCвыплатами