Предельные теоремы для гауссовских случайных процессов и их применение в финансовой теории тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат физико-математических наук Иванов, Роман Валерьевич

• Иванов, Роман Валерьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Иванов, Роман Валерьевич

Введение

1. О сходимости дискретизации по времени для гауссов-ских процессов со стационарными приращениями

§1.1 Введение и основные результаты.

§1.2 Доказательства.

§1.3 Доказательства вспомогательных утверждений.

2. Об аппроксимации экстремумов фрактального броуновского движения и функционалов типа цен

§2.1 Введение.

§2.2 Основные результаты и доказательства.

§2.3 Доказательства вспомогательных результатов.

§2.4 О численных расчетах в модели фрактального финансового рынка.

3. Об аппроксимации цен опционов Американского типа

§3.1 Введение.

§3.2 Основные результаты

§3.3 Доказательства.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Предельные теоремы для гауссовских случайных процессов и их применение в финансовой теории»

Асимптотическая теория случайных процессов является одной из главных областей исследования в теории вероятностей и математической статистике как в нынешнем веке, так и в прошедших столетиях. Классические результаты относительно предельных распределений различного рода последовательностей случайных величин (такие, как, например, теорема Муавра-Лапласа, закон больших чисел, теорема Пуассона ) можно найти в любом учебнике по теории вероятностей. Канонические предельные теоремы теории случайных процессов ( Донскера, Прохорова ) обсуждаются, например, в книгах [4], [16]. Классической монографией, включающей в себя многочисленные результаты на указанную тему в контексте семимартингалов и стохастического интеграла Ито является [29]. Остановимся на новейших результатах по этой тематике, во многом стимулировавших написание данной диссертации.

Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение ( СДЕ ) следующего типа: dXt = a(Xt)dWt + b{Xt)dt, ¿>0, X0 = x0l (1) где а(-) и &(•) есть некоторые функции, а Wt есть стандартный ви-неровский процесс. В работах [68], [42] рассматривается возможность численного решения уравнения (1) по схеме Эйлера, то есть изучаются вопросы сходимости решения уравнения dXГ = a{Xl)dWt + b{Xl)dt, (2) где t € [О,Г], tn = [ntyn при И G N и tn = t-T/n при [nt] <£ N. з

Хорошо известно, что при а = 0 скорость сходимости решения (2) к решению уравнения (1) есть 1/п в случае наличия этой сходимости. В случае, когда коэффициент а(-) не исчезает, скорость сходимости есть 1 /л/п, и в вышеописанных работах при допустимых функциях а(-) и &(•) были получены точные предельные процессы для соответствующим образом нормализованной асимптотической ошибки

5? = 8иР|х;|, (з) где

Х? = Хг-Х?.

В случае, когда вместо (1) рассматривается более общее уравнение йХг = !{Х^)йги £ > 0, Хо = яо, (4) где Zt есть некоторый, не обязательно непрерывный, семимартингал, класс допустимых функций /(•), скорости сходимости, а также точные предельные процессы устанавливаются в работах [28], [27]. В предположении непрерывной дифференцируемости функции /(•) в (4) для случая непрерывных семимартингалов Zt в работе [28] обсуждается равномерная сходимость нормализованного процесса ошибки X", то есть распределение функционала л/пв™, в случае, когда Zt есть процесс ограниченной вариации, и слабая сходимость процесса у/пХ? для процесса Zt, являющегося локальным мартингалом, или, в некоторых случаях, просто семимартингал ом. Однако, в случае, когда Zt не является непрерывным, процесс у/пХ" может вообще не сходится к 0 в обычном смысле ( топологии Скорохода ). Поэтому, для разрывных семимартингалов в работе [27] рассматривается так называемая интегральная ошибка для данного семимартингала и устанавливаются точные предельные процессы при нормализации пУп. Процессы вида (3) и (5) обсуждаются и в данной работе.

Для гауссовских случайных процессов, не являющихся семимар-тингалами, вопросы сходимости последовательности дискретизаций и функционалов от нее в различного вида нормах изучаются в работах [2], [35], [36], [58], [62], [63], [64], [65], в том числе и в применении к задачам вычислительной математики. Заметим, что в настоящее время быстро развивается и стохастическое интегральное исчисление для несемимартингалов ( в этом контексте отметим работы [46], [18], в которых определяется потраекторный стохастический интеграл по фрактальному броуновскому движению Вн(¿) при Я 6 (1/2,1), а также [22], [31], [23], в которых стохастический интеграл для процесса Д у(£) определяется с помощью \¥1ск-произведения, в первых двух работах рассматривается случай Н Е (1/2,1), а в последней и любого Н £ (0,1). См. также работы [20], [21] ), в связи с чем в перспективе задача о численном решении уравнений типа (1) должна, несомненно, ставиться и при замене винеровского процесса И^ = .61/2 (£) на произвольное фрактальное броуновское движение Вн(£)> Н £ (0,1). В

5) где Хг - Х[п1у. п диссертации процессы (3) и (5) рассматриваются в том числе и для процесса Хг = Вя(*),#€ (0,1].

Вообще, в настоящее время в литературе большое внимание уделяется процессу фрактального броуновского движения, см., например, работы [17], [50], [51], [52], [53], [75], в первую очередь, возможно, из-за большого количества практических применений ( биология, физика, телекоммуникации, финансовая теория. ). Однако из-за немарковости и несемимартингалыюсти этого процесса, изучение его весьма затруднено. Так, например, для фрактального броуновского движения неизвестно распределение его максимума исключая асимптотический случай и —> оо. В связи с этим, автором доказываются предельные теоремы для вероятностей пересечения уровня типа

Р{ шах ВН(Ь) > и], и > 0 (7) и математических ожиданий вида для некоторых функций /. Данное исследование актуально также в контексте монографий [45], [56], [1] и работ [57], [3], [33], [34], [7], в которых изучаются распределения экстремумов гауссовских случайных процессов, а также работ [61], [62], [63], [58], [35], [36], где обсуждаются вопросы сходимости последовательностей гауссовских случайных процессов.

Р{ тах Вни) > г/}, и > 0,

6)

Е/(ВН(Т) тах Вя(0,0

8)

Вопросы приближенного расчета вероятностей

Р{ max Wt > и], и > О е[о,Я и математические ожидания вида

Ef(WT, max Wt, •) для стандартного винеровского процесса Wt и скорости сходимости аппроксимирующих их выражений рассматриваются также в задачах финансовой математики, а именно, для расчетов цен финансовых инструментов с выплатами, зависящими от траектории цены актива -Русских, барьерных опционов, а также опционов с последействием ( см. монографию [70], а также работы [9], [10], [13], [14], [30] ). Так, используя аппроксимирующие выражения в случае стандартного броуновского движения типа (7) - (8), авторы работ [9] и [10] устанавливают точные коррекционные выражения порядка 0(1/у/т) с погрешностью о(1/у/т) для опционов, зависящих от траектории. В связи с развитием математических моделей финансового рынка, основанных на фрактальном броуновском движении ( см. [23], [31], [54] ), вопросы аппроксимации цен опционов данного вида рассмотрены в диссертации в указанной модели работ [23], [31], [54].

Вообще, задачи приближенного расчета различных финансовых инструментов представлены в литературе достаточно широко в случае опционов Европейского типа, то есть таких, которые предъявляются к исполнению в фиксированный момент окончания действия контарк-та. Работы по этой тематике можно разделить на две группы: те, в которых дискретизация цен активов осуществляется только по временному параметру, и те, где также дискретизируется и пространство элементарных исходов. Из первой группы можно отметить работы по расчету ошибки, возникающей при непрерывной аппроксимации дискретных опционов Европейского типа в модели Блэка и Шоулса и, фактически, связанной с несамофинансируемостью устанавливаемых стратегий в дискретном времени, [77] для опционов с регулярными функциями выплат, [24] с нерегулярными, а также[74] для d рисковых активов, и работы [9], [10], [13], [30], в которых рассматривались опционы, зависящие от траектории, в частности, барьерные опционы и опционы с последействием. Вопросы сходимости финансовых рынков в контексте полных рынков исследуются в работах [15], [25], [14], в монографии [70], а также в работах [55], [76], [11]. Здесь также рассматриваются опционы Европейского типа, а кроме того опционы, зависящие от траектории. Скорость сходимости цен устанавливается порядка т-1/2 или т-1, в зависимости от вида платежной функции, где т - количество точек разбиения интервала [0,Т].

В случае опционов Американского типа, то есть тех, которые могут быть предъявлены в любой момент действия контракта, результатов аппроксимации цен с помощью дискретных моделей известно сравнительно немного. Математически, рассматриваемая задача сводится к нахождению соотношения между функциями цен

V = sup Ef(WT + аг), (9) тетЪ где 9Ло есть множество всех моментов остановки, принимающих значения из множества [0,Т], a WT + at обозначает броуновское движение со сносом, и т/А

V(A)= sup £/(J>), . (10) тетПА) i=i где Л = T/m, есть множество всех моментов остановки, принимающих значения из множества 0, Д,.,Т, a {£i}i=\x.,m есть последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, принимающих два значения. Как известно, решение задачи (10) находится с помощью метода индукции назад, с то время как точное решение (9) на конечном интервале [0,Т] установить не удается ( см., например, монографию [70] и ссылки в ней ). Перечислим все работы по этой тематике.

Во-первых, отметим статью-обозрение [8], немало методов численных расчетов цены (9), однако оценки ошибок аппроксимации известны лишь в редких случаях. В [12] показано, что при расчетах, использующих нормально распределенные границы ошибки есть 0(l/m) при малых т, т. е., фактически, константа, зависящая от т. Для биномиального приближения, аналогичного (10), в работе [43] устанавливаются границы ошибок аппроксимации для стандартного опциона-put ( продавца ) при m —> оо. Обозначим цену стандартного опциона-put через Vq . В общем случае в статье [43] доказывается существование положительных констант с и С, не зависящих от т, таких, что при достаточно больших m а при г < <т2/2 - константы С > 0, не зависящей от т, такой, что для достаточно больших т

Д)<с(^)

4/5

О <У0Р-У0Р

В работе [44] границы ошибок улучшены до 0(\/\о£т/т), но в предположении о том, что выплаты / € С2 и ограничены почти наверное. Доказательства этих утверждений используют весьма громоздкую и трудоемкую технику приближенного решения стохастических дифференциальных уравнений. В диссертации подобная задача рассматривается с использованием иного подхода, продолжающего линию монографий [69], [70], а также работ [72], [73] и [49].

Как уже отмечалось, в первой главе обсуждаются вопросы сходимости дискретизации гауссовских процессов со стационарными приращениями. Определим для процесса Х({) процесс ошибки

Следуя работам [42], [28], [27], автор рассматривает асимптотическое поведение соответствующим образом нормированных функционалов

В случае, когда Х{Ь) есть фрактальное броуновское движение £#(£) при любом фиксированном параметре Я £ (0,1], автором устанавливаются следующие теоремы.

Теорема 1.1 Пусть Х{Ь) - фрактальное броуновское движение £//(£), Н €

Хп{1) = Х{1)-Х{\п1)1п). $"(*)= вир |Л-"(*)| в<г и

0,1]. Тогда для произвольных х и t > О lim P{Sn(t) < n~Hbn(t)+xn-H/bn{t)} = ехрГ-е"*), n—>oo где bn(t) = (2 log n) V2+(2 log n)"1/2 (f log log n + log(c*2§)) +o ((2 log n)~1'2) при n —> oo с константами с = max{l/# — 3, —1} и а = а(Н) < со.

Теорема 1.2 Пусть X (¿) - фрактальное броуновское движение Bn(t), Н £ (0,1]. Тогда процесс nYn(t) слабо сходится к \X{t) с тем же Н при п —оо.

Заметим, что для стандартного броуновского движения предельный процесс в теореме 1.2 совпадает с соответствующим предельным процессом в теореме 1.4 [27], установленным для случая семимартингалов.

Далее, пусть процесс t > 0, - непрерывный гауссовский со стационарными приращениями, Х(0) = 0, EX(t) = 0. Обозначим а\ = max<e[o,i/n]EX2(t). Верно следующее обобщение теоремы 1.1.

Теорема 1.3 Пусть ip{t — s) = E{X(t) — X{s))2, t > s, такова, что ip{h) = haL(h){l + o{l)) при h 4- 0 для некоторого а > 0 и непрерывной функции L(h), такой что L(h) > 0 при h > 0 и 1 при h -» 0 для любого I > 0. Тогда для любых х > 0, t > 0 lim P{Sn{t) < an(bn(t)+x/bn{t))} = ехр{-е~х), n-teo где bn(t) = (2 log n)l'4{2 log n)"1/2 (cj log log n + log(c2i2Cl))+o ((2 log n)"1/2) при 7i —^ oo, с константами C\ = max{2/a — 3, —1} и C2 = C2(a, ¿(0)) < oo.

Доказательства теорем 1.1 и 1.3 во многом опираются на результаты работы [36]. Доказательство теоремы 1.2 в основном использует свойства процесса фрактального броуновского движения.

Во второй главе устанавливаются оценки скорости сходимости дискретной аппроксимации процесса максимума фрактального броуновского движения Вн(£), Н £ (0,1].

Для процесса фрактального броуновского движения Вн(¿) с произвольным фиксированным параметром Хёрста Н Е (0,1], £ < 0, обозначим

М = max BH(t) и

М' = min BH(t), е[о,П где 0 < Т < оо.

Для некоторого m £ N положим h = T/m. Определим процессы дискретного максимума и минимума как

Мщ — max Вн (t) khe[o,T] и где к = 0,1,.,-.

Теорема 2.1 Для любого 0 < и < оо log^ m

Р{М > и} - Р {Mm >и}<Стн при всех достаточно больших т для некоторой константы С > 0. Соответственно, для любого —оо < и < 0

Р{М' <и}-Р{М'т<и}< тп при всех достаточно больших т для некоторой константы С' > 0.

Кроме того, рассмотрены различные функционалы от процесса максимума.

Теорема 2.2 Пусть функция /(•) £ С^оо)) и E[f'(M)]2 < оо. Тогда

Ef(M)-Ef(Mm)\<Cl^¡£ при всех достаточно больших т для некоторой константы С > 0.

Соответственно, пусть функция /(•) £ С1((—оо,0]) и E[f'(M)]2 < оо. Тогда E¡(M')-ES(M'm)\<C'X^ til при всех достаточно больших т для некоторой константы С' > 0.

Доказательства теорем 2.1-2.2 используют традиционную технику, применяемую для гауссовских процессов ( см. [56] ), а также свойства фрактального броуновского движения.

Далее, полученные результаты применяются к вопросу о соотношении между ценами дискретных и непрерывных финансовых инструментов. Нами рассматриваются опционы Европейского типа, зависящие от траектории, в модели финансового рынка с фрактальным броуновским движением. Обсуждается расширенная модель Блэка и

Шоулса, в которой безрисковый и рисковый активы задаются, соответственно, уравнениями dRt = rRtdt, Ro = 1 (11) и dSt = fiStdt + a St o dBH(t), SQ> 0, 0 <t<T (12) для любого фиксированного Я € (0,1). Базирующаяся на Wick-произведении, эта модель безарбитражная ( см. [31] теорема 5.4, [23] часть 7 ), решение уравнения (12) есть St = , и цена квадратично-интегрируемого по риск-нейтральной мере Р платежного обязательства /

V = e~rTÉ[f], см. также [54] теоремы 4.7, 4.9 ), где мера Р такая, что процесс ^t + Bu{t) является фрактальным броуновским движением £#(£) относительно нее, аналогично стандартному случаю ( см. [31] часть 5, [23] часть 7 ).

Далее, определим функции выплат для различных типов опционов. Для барьерных опционов, мы имеем для ти := inf{¿ > 0 : St = и} и для произвольной функции /(Sr) выплаты

7{ги<Г} И fI{Tu>T] для нок-ин ( knock-in ) - и нок-аут an ( knock-out up ) ( и > So ) или - даун ( down ) ( и < Sq ) барьерных опционов, соответственно. В частности, стандартные барьерные опционы покупателя ( call ) и продавца ( put ) с ценой покупки К имеют / = (St — К)+ и / =

К — Бт)+. Для опционов с последействием функции выплат имеют форму для опционов покупателя и продавца, где

М = шах 1ой <6[0,Г1 и М' = пип 1ое

В частности, стандартные опционы с последействием покупателя и продавца имеют функции выплат / = (5оем — 5т) и / = — 5оем'). Наконец, мы обсуждаем Русский опцион покупателя и продавца для функций выплат (Зоем — К)+ и (К — 5оем')+, соответственно.

Положим к := Т/т. В дискретном случае, мы имеем в определениях выплат ги := т{{кк, к = 1,2. : 5м > и} ( для опционов ап; для опционов даун ти := т{{кН, к = 1,2. : < и} ) и Мт := тахАЛб[0|Г11об[5*л/'5о], М'т := ттАле[о,Г1 ^[б^л/бо].

Представляются следующие результаты.

Теорема 2.3 На рынке (11)-(12), Я £ (0,1), обозначим через Ут(и) цену дискретно наблюдаемого нок-ин или нок-аут, даун или ап, колл или пут опциона с барьером и. Пусть У(и) - цена соответствующего опциона в случае непрерывного мониторинга. Тогда

Ут{и) = У{и) +0 (т~н{\ozrn)1'2) при т —У со.

Теорема 2.4 На рынке (11)-(12), Я £ (0,1), обозначим через V цену непрерывно наблюдаемого опциона с последействием покупателя или продавца с функцией выплат /(М) 6 С1, Ё/'(М)2 < оо, в частности, стандартного опциона с последействием покупателя или продавца, или Русского опциона с функцией выплат (SoeM — К)+ и (К — 5оем')+ в случаях опциона покупателя и продавца, соответственно. Пусть Vm -цена соответствующего дискретно наблюдаемого опциона. Тогда мы имеем

Vm = V + 0 (т~н (log т)1^ при m —> со.

Заметим, что в случае Н = 1/2 с помощью принципа отражения (см. [71] Гл 1 §10 ) может быть получен более точный результат 0(1/у/т) и коррекционный терм для цены в случае платежных функций стан-дарных опционов ( см [9], [10] ). Однако в общем случае Н € (0,1) мы вынуждены использовать иную технику.

Третья глава диссертации посвящена решению задачи об аппроксимации цен стандартных опционов Американского типа в модели Блэка и Шоулса ценами соответствующих опционов в дискретной биномиальной модели Кокса-Росса-Рубинштейна. Предполагается, что эволюция цен безрискового и рискового активов В = (Bt)t>о и S = (St)t>о подчиняется уравнениям модели Блэка и Шоулса ( [5], [47], т. е. dBt = rBtdt, г > 0, (13) dSt = St(rdt + adWt), а > 0.

В условиях данной модели мы обсуждаем хеджирование опционов Американского типа, т. е. таких, которые могут быть предъявлены в любой момент действия контракта. Пусть выплаты по контракту определяются набором функций / = {/* = e~Xtg(St)}t>o, где А > 0 и

1б

7(5*) = (5* — К)+ или (К — в случаях опционов покупателя и продавца, соответственно.

Положим 5о = х. Тогда по определению ценой опциона Американского типа на интервале [0,Т] называется ( [70], гл. 6, §5а-5с )

У(х,Т) = У(х,Т,/) = тЦу : Зтг: = у,Х? > /гУт £ ЯЛ?}, где ЯЯд1 есть множество всех моментов остановки со значениями в [0, Т]. Отметим, что в случае опциона на бесконечном временном интервале ( Т = оо ) рассматриваются в том числе и моменты остановки, принимающие значение со с ненулевой вероятностью. Множество всех таких моментов, согласно сложившейся терминологии, будет обозначаться как 9Ло°. Т. о., цена опциона Американского типа на бесконечном временном интервале будет определяться как

У(х) = У(х,/) = Ы{у : Зтг : ХЦ = у, > /Т1{т < оо} Уг £ Щ^}.

Как известно, в задаче о нахождении цены У(х) опциона на бесконечном временном интервале существует оптимальный момент г* £ ШТд0, имеющий вид т* = М{г:Зг=х*} ( мы предполагаем т{{Щ = оо ), где х* = т^ж : У(х) = д(х)}, и при этом ( см. [73] и [70], гл. 8, § 2а-2Ь )

У(х) = В0Е^-1{т* < оо}, £>т* т. е. задача имеет явное решение. В случае конечного временного интервала, однако, подобный результат оказывается уже невозможным в силу резкого усложнения собственно задачи об оптимальной остановке ( см. подробнее [70], гл. 8, §3а ).

В случае дискретного времени мы рассматриваем биномиальную Д-модель Кокса-Росса-Рубинштейна ( см., например, [70], гл. 6, §3(1 ), полагая

ВпА ~ В(п-1)Д = гЛБ(п!)Д, д - 5(„1)д = (еае« - 1)5(„1)д, где = 1,2,. - н. о. р. с. в., такие, что Р{е„ = л/2} = Р? Р{е£ = -л/Е} = 1 - V с р = ^г^тг, т. е. исходная мера - мар-тингальная. Мы полагаем также /пд = (1 + АД)~"б7(5пд), А > 0, и = {т{и>) : т = 0, Д,., [Г/Д]Д}. Цены опционов на конечном и бесконечном интервалах обозначаются как У(х,Т,А) и У(х, Д), соответственно. Отметим, что в случае дискретного времени в задаче о нахождении цены У(х, Д) также существует оптимальный момент т 6 Ш?о°(Д), который есть т = т^А;: 5&Д > х}, где х = т{{х : У(х, Д) = д{х)} см. подробнее [72], [70], гл. 6, §5а-5Ь и [49] ). Сформулируем следующую теорему. 2

Теорема 3.1 Пусть в модели Блэка и Шоулса г < у. Тогда существуют такие положительные константы С и с, зависящие только от параметров модели, что при Т > С log Л 1 для всех достаточно малых

Д >0

V(x,T)-V(x,T,A)\ < с А.

Отметим, что в существующих приближениях для цены Американского опциона на конечном временном интервале, а именно для стандартного опциона продавца в случае Л = 0 ( связь стоимости стандартных опционов-put Европейского и Американского типа, см. [70], гл. 8, §3d и ссылки в нем ), размер погрешности также зависит от Т, возрастая в данном случае при росте Т. У нас, вообще говоря, присутствует зависимость константы с от Т, а именно, при росте Т константа с = с(Т) убывает, оставаясь при этом больше некоторой константы со, не зависящей от Т.

Взглянем на результат теоремы 3.1 с несколько иной точки зрения. Предположим, что наш интервал [0,Т] на m частей с шагом Д, то есть Д = Тогда теорема говорит о том, что существуют константы С, с, Со, такие, что при m, < СТесТ CQm~l для достаточно больших т. Эта оценка соответствует оценке для опционов Европейского типа. 2

Теорема 3.2 Пусть в модели Блэка и Шоулса г = Тогда для некоторых положительных констант С и с, зависящих только от параметров модели, при Т > СА~1 для всех достаточно малых Д > 0

V(x,T)-V(x,T,A)\<cA*.

Очевидно, что во втором случае мы имеем сходимость существенно более низкого порядка. Это объясняется различными методиками осуществления доказательств, учитывающими структуру оптимального момента остановки г* на бесконечном временном интервале, который при г > у является конечным, и мы имеем

У(х) = В0Е^V см. [70], гл. 8, §2а-2Ь, и [71], гл. 8, § 9 ). При этом, в случае г > у

О-2 удается установить лучшую, чем при г = у, сходимость.

Теорема 3.3 Пусть в модели Блэка и Шоулса г > у. Тогда для некоторых положительных констант С и с, зависящих только от параметров модели, при Т > СД-1 для всех достаточно малых Л > 0

У(х,Т)-У{х,Т, Л)|<сЛ.

Доказательства теорем 3.1-3.3 основаны на использовании разложения

У(х, Т) - У(х, Т, Л) = [У(х, Т) - У(х)} +[У(х) - У(х, Л)] + [У(х, Л) - У{х, Г, Л)] и оценивания по модулю каждого из членов суммы в правой части равенства.

Структура диссертации следующая. Первая глава состоит из трех частей: первая часть является введением, кроме того, в ней сформулированы основные результаты главы; во второй части основные результаты главы доказываются; в третьей части доказываются вспомогательные утверждения. Вторая глава состоит из четырех частей: первая часть является введением, во второй формулируются и доказываются основные результаты главы, в третьей доказываются вспомогательные утверждения и четвертая посвящена численным расчетам в модели фрактального финансового рынка. Третья глава состоит из следующих трех частей: введения, основных результатов, доказательств. В конце приведен полный список использованной литературы.

Заключение диссертации по теме «Теория вероятностей и математическая статистика», Иванов, Роман Валерьевич

§3.2 Основные результаты

Предполагается, что эволюция цен безрискового и рискового активов В = (Д)*>о и 5 = (5<)<>о подчиняется уравнениям модели Блэка и Шоулса ( [5], [47] ), т. е. с1В% = гВг<И, г > 0, (80) + о" > о.

В условиях данной модели мы обсуждаем хеджирование опционов Американского типа, т. е. таких, которые могут быть предъявлены в любой момент действия контракта. Пусть выплаты по контракту определяются набором функций / = {/< = еА<<7(£<)}<>0) гДе А > 0 и р(5<) = — К)+ или (К — в случаях опционов покупателя и продавца, соответственно.

Положим £о = х. Тогда по определению ценой опциона Американского типа на интервале [0,Т] называется ( [70], гл. 6, §5а-5с )

У(х,Т) = У(я,Т,/) = тЦу : Этг: X? = > /гУт 6 Ш^}, где 9Ло есть множество всех моментов остановки со значениями в [0,Т]. Отметим, что в случае опциона на бесконечном временном интервале ( Т = оо ) рассматриваются в том числе и моменты остановки, принимающие значение оо с ненулевой вероятностью. Множество всех таких моментов, согласно сложившейся терминологии, будет обозначаться как 971о°. Т. о., цена опциона Американского типа на бесконечном временном интервале будет определяться как

У(х) = У(х,/) = т£{у : Зтг: ХЦ = у, Х*т > /г1{т < оо} Уг 6 £Ю§°}.

Как известно, в задаче о нахождении цены У(х) опциона на бесконечном временном интервале существует оптимальный момент т* 6 имеющий вид т* = \пЩ : = ж*} ( мы предполагаем т£{0} = оо ), где х* = т£{ж : У(х) = &(х)}, и при этом ( см. [73] и [70], гл. 8, §2а-2Ь )

У(х) = В0Е^1{т* < оо}, т. е. задача имеет явное решение. В случае конечного временного интервала, однако, подобный результат оказывается уже невозможным в силу резкого усложнения собственно задачи об оптимальной остановке ( см. подробнее [70], гл. 8, §3а ).

В данной работе предлагается аппроксимация цены опциона Американского типа на конечном интервале ценой соответствующего опциона в дискретном времени, которая, в свою очередь, может быть установлена, как обычно и делается на практике, методом обратной индукции ( см. [70], гл. 6, §2а). В случае дискретного времени мы рассматриваем биномиальную Л-модель Кокса-Росса-Рубинштейна ( см., например, [70], гл. 6, §3d ), полагая

ЯпД - В(п- 1)Д = гАВ?п1)а,

SnA ~ S(n- 1)Д = (е<Т£п ~ где £%,п = 1,2,. - н. о. р. с. в., такие, что P{s% = у/Ж} = р, р{£п = -VZ} = 1-р с р = Т. е. исходная мера - мартингальная. Мы полагаем также /„д = (1 + АД)~п#(5пд), Л > 0, и = {t(lo) : г = 0, Л,., [Т/Д]Д}. Цены опционов на конечном и бесконечном интервалах обозначаются как У(ж,Т, Л) и V(x, Л), соответственно. Отметим, что в случае дискретного времени в задаче о нахождении цены V(x, Д) также существует оптимальный момент т G Ш?о°(Д), который есть т = inf{к : S£A > х}, где х = infjz: V(x, Д) = д{х)} см. подробнее [72], [70], гл. 6, §5а-5Ь и [49] ). Сформулируем следующую теорему. 2

Теорема 3.1 Пусть в модели Блжа и Шоулса г < Тогда существуют такие положительные константы Cue, зависящие только от параметров модели, что при Т > Clog Д-1 для всех достаточно малых Д > 0

V(x,T) -V(x,T,A)\ < с А.

Отметим, что в существующих приближениях для цены Американского опциона на конечном временном интервале, а именно для стандартного опциона продавца в случае Л = 0 ( связь стоимости стандартных опционов-ри1 Европейского и Американского типа, см. [70], гл. 8, §3(1 и ссылки в нем ), размер погрешности также зависит от Г, возрастая в данном случае при росте Т. У нас, вообще говоря, присутствует зависимость константы с от Г, а именно, при росте Т константа с = с(Т) убывает, оставаясь при этом больше некоторой константы со ( она определяется из (81), см. следующую часть ), не зависящей от

Взглянем на результат теоремы 3.1 с несколько иной точки зрения. Предположим, что наш интервал [0,Т] на га частей с шагом Д, то есть Л = Тогда теорема говорит о том, что существуют константы С, с, для достаточно больших га. Эта оценка соответствует оценке для опционов Европейского типа. торых положительных констант С и с, зависящих только от параметров модели, при Т > СД-1 для всех достаточно малых Д > 0

Очевидно, что во втором случае мы имеем сходимость существенно более низкого порядка. Это объясняется различными методиками осуществления доказательств, учитывающими структуру оптимального момента остановки т* на бесконечном временном интервале, кото

Т. со, такие, что при га < СТесТ 2

Теорема 3.2 Пусть в модели Влэка-Шоулса г = Тогда для неко

У(х,Т) — У(х,Т, Д)| < сД^. рый при г > y является конечным, и мы имеем

V(x) = jDt* см. [70], гл. 8, §2a-2b и [71], гл. 8, §9 ). При этом, в случае г > у удается установить лучшую, чем при г = у, сходимость.

Теорема 3.3 Пусть в модели Влэка-Шоулса г > у. Тогда для некоторых положительных констант Cue, зависящих только от параметров модели, при Т > СД-1 для всех достаточно малых Л > 0

V(x,T) — V(x,T, Д)| < сЛ.

Вначале мы докажем вспомогательную лемму о связи между ценами опционов в дискретном и непрерывном времени на бесконечном временном интервале, которая справедлива при любых соотношениях между г и а, затем последовательно утверждения теорем 3.1, 3.2 и 3.3.

§3.3 Доказательства

Мы рассматриваем только случай опциона-са11, а именно g(St) = (St — К)+. Доказательства для опциона-put проводятся аналогично.

Лемма 3.1 Пусть шаг дискретной модели Кокса-Росса-Рубинштейна есть Д > 0. Тогда для некоторой константы с > 0 при всех достаточно малых Д > 0

У(я)-У(я,Д)|<сД. (81)

Доказательство леммы 3.1. Обозначим = е0"^. Согласно (23)-(26) §5Ь, гл. 6 [70], функция V(x, Д) должна удовлетворять уравнению

У{х,А) =

А) + (1 -р)У(х/#А), А], Х<х, где граничная точка х 6 Е = {1,е±<г"^,.} также неизвестна, и частные решения (82) ищутся в виде С(х,А) = х7д. Из (82) следует, что 7д должна удовлетворять уравнению

1=(ГТ^Г+М)И1' + (1-,,)ЛГ'1- (83)

Решая это уравнение относительно , можно заключить ( см. (31)-(34) §5, гл. 6 [70] ), что искомая функция

1д(х). х > х,

84)

С£7л, X < X, где константы сих подлежат определению.

Устремим в (83) Л -> 0. Используя разложение Тейлора, мы получаем, что 7д удовлетворяет уравнению

7272 + (2г - (72)7д - 2(г + Л) + О(А) = 0 (85) при Л —> 0. Уравнение (85) имеет единственное положительное решение

ЧННЙ-Й'^-^ и, полагая у = 70, мы получаем так называемое "непрерывное" решение задачи д(х), х > х*,

У(х)

86)

X < X*. где х 7 с* = -П7-1

7-1)

7-г -- ^ и х* может и не принадлежать Е ( см. [70], гл. 6, §5Ь, (36)-(39) ). Заметим, что в нашей модели V(х) совпадает с ценой V (х), определяемой формулами [70], гл. 8, §2а. Согласно [70], гл. 6, §5Ь, (40)-(43), параметры решения У(:г, Л) есть с = тт(с1,с2), где с2 = (^] и

77 Д 5

X = 5 если с = С1, если с = ¿2 при любых Л > 0.

Из (86) и (88) следует, что

88) тах|У(я)-У(я,Д)| х£Е

Доказательство теоремы 3.1. Пусть т* - оптимальный момент остановки для задачи в непрерывном времени на бесконечном временном интервале ( см. [70], гл. 8, §2а ), т. е.

У{х) = Ее~(г+Х^д{8т>)1{т* < оо}. 68

Заметим, что т* = inf{£ > 0 :St = x*} = inf{i > 0 : + - |) * = а*}, где а* = Аналогично, для оптимального момента г в Д дискретной модели с бесконечным временным горизонтом имеем к f = inf{fcA > а}, г=1 где а = log

Далее, мы имеем

Ее~{Х+г)т* g(ST*)I{r* < Г}, и, следовательно, получаем, что

V{x) - V(x,T) < Ee~^Ttg(ST*)I{T < т* < оо] и аналогично для Л - дискретной модели

V(x, Л) - V(x,Т, Л) < Е[( 1 + АД)(1 + гД)]-^(5?)/{Г < f < оо}.

Отсюда и из леммы 3.1 очевидным образом получаем

V(x,T)-V(x,T,A)\ (89) сД + С\ тах{Р{Т < т* < оо}, Р{Т <т< оо}}.

Оценим вначале Р{Т < т < оо}. Здесь мы используем метод [49], т. 3. Итак, обозначим ф(1,А) =\ogEel£*.

Мы имеем ф(1, Д) = \og{pe1^ + (1 - р)е~и при Л —> 0, и поэтому существует такое Iq > 0, что ф(1о, Л) < 0. Заметим, что процесс к exp {k^sf ~кф(10, Д)} i=i является положительным мартингалом с математическим ожиданием, равным 1, поэтому мы можем определить новую вероятностную меру РХ(А) на множествах А £ ,.), полагая для каждого к > 0 и множества A G (?{£%) к

РХ(А) = EXI{A) ехр{/0 4 ~ А)} i=i преобразование Эшера ). Отсюда мы получаем т/А]

ЕХ1{Т < т < оо} ехр{/ Y, £i ~ А)} г=1 оо к £ Ех1{т = кА}ехр{10^4~кф(к,А)} к=[Т/А]+1 г= 1 оо £ = кА> = P'V < f <

Г/Д]+1

Т. к. £i ^ мы получаем, что р{т < т < оо} <е-1о-ае[т/аж10а)р{т < f < оо} (91) с(х)е~сТ в силу (90) для всех достаточно малых Л > 0 и положительных констант с(х) и с.

Далее, рассмотрим Р{Т < т* < оо}. Фиксируем п 6 N и определим последовательность н. о. р. с. в. таких, что ef" ~ N ^ — yJ и рассмотрим задачу об оптимальной остановке для последовательности Sn = (Sk2-")k=i,2,-i гДе = хе"^^6' , и набора функций /" = (/¿2-")fc=i,2,., где /и-„ = е~Хк2~п g(Sk2-»). Определим оператор Qn,

Qn(g(x)) = max{g(x),e~/?2'nFxg(S2-n)}.

Тогда функция цены для этой задачи есть UrriN-iooQn {в{х)) ( см- [69], гл. 2 ), и оптимальный момент остановки т2-п принадлежит Ш?о°(2~"). Согласно результатам [69], гл. 3,

V(x) = lim lim Q%(g(x)), n-> oo N->oo и т2-п —ь т* P - п. н., а, следовательно, и по распределению. Для т2 мы можем установить, следуя процедуре, аналогичной той, которая применялась для получения (91), что

Р{Т < т2-п < оо} < с,(х)е~с*т для некоторых положительных констант с* (я) и с* для всех достаточно больших п. Устремляя п —>■ оо, мы получаем, что

Р{Т < г* < оо} < с*(х)е~с*т. (92)

Из (89), (91) и (92) следует, что

-V{x,T,A)\ < с А + с\е~СгТ для всех достаточно малых А > 0 с некоторыми положительными константами с, ci, С2, зависящими только от параметров модели, откуда следует утверждение теоремы. □

Доказательство теоремы 3.2 Аналогично (89), имеем

У(х,Т)-У(х,Т,Ь)\ (93) сД + С\ тах{Р{Т < т* < оо}, Р{Т < т < оо}} при всех достаточно малых Д > 0.

В данном случае ( г = у ) оптимальный для задачи в непрерывном времени момент т* является конечным, и поэтому Р{Т < т* < оо} = Р{т* > Т}. Поскольку ~4 2 б о ( г' reг а

Д — ^)+0(Д3)>0 2 при Д -> 0, когда г = у, то и оптимальный момент в Д-дискретной модели т также конечен. Итак, нам необходимо оценить тах{Р{т* >Т},Р{т>Т}}. (94)

Мы имеем в обозначениях доказательства предыдущей теоремы

Р{т* >Т} = Р{тахИ^ < а*} (95)

1 - 2Р{У/т > а*} = кт с vf' и к

P{f >Т} = Р{ тах У ef < а]

1 J lk<[T/A}¿-f г J г=1 к

Р{ тах < а} = Р, к<[Т/ A]f где р = Р{гf = у/Е} = У нас Р = 1 - 2ef > й}. Всилу неравенства Берри-Эссеена ( см., например, [71], гл. 3, §11 ), для любого У

Т/А] л

Г Т[т/,

ХуДт/ЩЕ-''}

Положим у = -7===. Мы имеем у/[т/ А]А

Р{Щ > у} у/рЩ

Г/А] 1

WЩ в силу чего, учитывая (93), (94), (95) и факт, что а = а* + О (Л) при Л —> 0, легко получить, что

У(х,Т) - У(х,Т, Д)| < сЛ + -4= + С2 для всех достаточно малых Л > 0 с некоторыми положительными константами с, С1, с2, зависящими только от параметров модели, откуда следует утверждение теоремы. □

Доказательство теоремы 3.3 Аналогично предыдущей теореме, мы имеем

У(х,Т)-У(х,Т,А)\ <сА + С\ тах{Р{г* > Г}, Р{т > Г}}. при всех достаточно малых Д > 0. Т. к.

Р{т > Г} = Р < тах Уе}<а

Р< К

--Р

96)

97)

И 1 [ К] ГТ1

1=1 I I 1=1

ЕЙ1 е} - (Ь -1) д [£] + О(Л) а -(*-;) д [£] + о(д) д Ш А И при Л —> 0, а то, поскольк; Р

99) с некоторыми положительными константами с\ и с2, применяя неравенство Берри-Эссеена к правым частям (97) и (98) и учитывая, что а = а* + О(Д) при А —У 0, мы получаем, что для всех достаточно малых Л с некоторыми положительными константами с, с2, сз, зависящим только от параметров модели откуда следует утверждение нашей теоремы. □

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю профессору В. И. Питербаргу за постановку задач глав 1 и 2 и многочисленные ценные обсуждения, а также члену-корреспонденту РАН профессору А. Н. Ширяеву за важные советы по написанию главы 3.

У(х,Т) - У(х,Т,А) | < сА + —е~С2Т +

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Иванов, Роман Валерьевич, 2006 год

1. Adler, R. J. An 1.troduction to Continuity, Extrema, and Related Topics for General Gaussian Processes// v. 12 of Lecture NotesMonograph Series, Institute of Mathematical Statistics, 1990.

2. Berman, S. M. The maximum of a Gaussian process with nonconstant variance// Ann. Inst. H. Poincare Probab. Statist., 21 (1985), 383-391.

3. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер// Наука, Москва, 1977.

4. F. Black, М. Scholes The pricing of options and corporate liabilities// Journal of Political Economy, 81 (1973), 3, 637-659.

5. Blackwell D. On optimal systems// Annals of Mathematical Statistics 25 (1954), 394-397.

6. Br'acker, H. U. High boundary excursions of locally stationary Gaussian processes// Ph. D. thesis, University of Bern, 1993.

7. M. Broadie, J. Detemple American option valuation: new bounds, approximations, and a comparison of existing methods// Review of Financial Studies, 9 (1995), 1211-1250.

8. Broadie, M., Glasserman, P. and Kou, S. A continuity correction for discrete barrier options// Mathematical Finance, 7 (1997), 325-348.

9. Broadie, M., Glasserman, P., Kou, S. Connecting discrete and continuous path-dependent options// Finance and Stochastics, 3 (1999), 55-82.

10. R. Carbone Binomial approximation of Brownian motion and its maximum// Statistics and Probability Letters 69 (2004), 271-285.

11. A. P. Carverhill, N. Webber American options: theory and numerical analysis// in Options: Recent Advances in Theory and Practice, Manchester University Press, 1990.

12. Chance, D. M. The pricing and hedging of limited exercise caps and spreads// Journal of Financial Researches, 17 (1994), 561-584.

13. Cheuk, Т., Vorst, T. Currency lookback options and the observation frequency: A binomial approach// Journal of International Money Finance 16 (1997), 173-187.

14. J. Cox, S. Ross, M. Rubinstein Option Pricing: a Simplified Approach// Journal of Financial Economics 7 (1979), 229-263.

15. Гихман И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов// Наука, Москва 1971.

16. Gripenberg, G. and Norros, I. On the prediction of fractional Brownian motion, Journal of Applied Probability, 33 (1996), 400-410.

17. W. Dai, C. Heyde Ito formula with respect to fractional motion and its application// Journal of Applied Mathematical Stochastic Analysis 9 (1996), 439-448.

18. Darling D. A., Liggett T., Taylor H. M. Optimal stopping for partial sums// Annals of Mathematical Statistics 43 (1972), 1363-1368.

19. A. Dasgupta Fractional Brownian motion: Its properties and applications to stochastic integration// Ph. D. thesis, Department of Statistics, University of North Carolina at Chapel Hill, 1997.

20. L. Decreusefond, A. S. Ustiinel Stochastic analysis of the fractional Brownian motion// Potential Analysis 10 (1998), 177-214.

21. Duncan, T. E., Hu, Y and Pasik-Duncan, B. Stochastic calculus for fractional Brownian motion I. Theory// Siam J. Contr. Optim., 38 (2000), 582-612.

22. Elliot, R. and van der Hoek, J. A general fractional white noise theory and applications to finance// Mathematical Finance, 13 (2003), 301330.

23. Gobet, E. and Temam, E. Discrete time hedging errors for options with irregular payoffs// Finance and Stochastics 5 (2003), 357-367.

24. H. He Optimal consumption-portfolio policies: a convergence from discrete to continuous time models// Journal of Economic Theory, 55 (1990), 340-363.

25. Цирельсон, Б. С. Плотность распределения максимума гауссовско-го процесса// Теория вероятностей и ее применения, 20 (1975), 865-873.

26. Jacod, J., Jakubowski, A. and Memin, J. On asymptotic errors in discretization of processes// Annals of Probability, 31 (2003), 2, 592608.

27. Jacod, J., Protter, P. Asymptotic error distributions for the Euler method for stochastic differential equations// Annals of Probability, 26 (1998), 1, 267-307.

28. Жакод Ж., Ширяев A. H. Предельные теоремы для случайных процессов// Москва, Физматлит, 1994.

29. Heynen, R. С., Kat, Н. М. Lookback options with discrete and partial monitoring of the underlying price// Applied Mathematical Finance, 2 (1995), 273-284.

30. Hu, Y., and 0ksendal, B. Fractional white noise calculus and application to finance// Infinitely Dimensional Anal. Quantum Probability Related Topics, 6 (2003), 1-32.

31. Hiisler, J. Asymptotic approximation of crossing probabilities of random sequences// Z. Wahrsch. Verw. Gebiete, 63 (1983), 257-270.

32. Hiisler, J. Extreme values and high boundary crossings for locally stationary Gaussian processes// Annals of Probability, 18 (1990), 1141-1158.

33. Hiisler, J. A note on extreme values of locally stationary Gaussian processes// J. Statist. Plann. Inference, 45 (1995), 203-213.

34. Husler, J. Extremes of Gaussian processes, on results of Piterbarg and Seleznjev// Statistics and Probability Letters, 44 (1999), 251-258.

35. Husler, J., Piterbarg, V., Seleznjev, 0. On convergence of the uniform norms for Gaussian processes and linear approximation problems// Annals of Applied Probability, 13 (2003), 4, 1615-1653.

36. Иванов P. В. О дискретной аппроксимации опционов Американского типа// Успехи математических наук, т. 61 (2006), вып. 1, с. 179-180.

37. Иванов Р. В. Дискретная аппроксимация опционов Американского типа на конечном временном интервале// Литовский математический сборник, т. 45 (2005), вып. 4, с. 525-536.

38. Иванов Р. В. О дискретной аппроксимации некоторых гауссовских процессов// Вестник МГУ, Серия 1, Математика. Механика (2005), вып. 6, с. 54-55.

39. Иванов Р. В. Об асимптотических ошибках в дискретизации процессов: фрактальное броуновское движение, рукопись// депонирована в ВИНИТИ РАН ном. 1079-В2005, (2005), 12 с.

40. Kurtz, Т. G. and Protter, P. Wong-Zakai corrections random evolutions and numerical schemes for SDEs// Stochastic Analysis 331346, Academic Press, New-York, 1991.

41. D. Lamberton Error estimates for the binomial approximation of American put options// Annals of Applied Probabability, 8 (1998), 206-233.

42. D. Lamberton Brownian optimal stopping and random walks// Appl. Math. Optim., 45 (2002), 283-324.

43. Leadbetter, M. R., Lindgren, G. and Rootzén, H. Extremes and Related Properties of Random Sequences and Processes// Springer, New-York, 1983.

44. S. J. Lin Stochastic analysis of fractional Brownian motions// Stochastics and Stochastics Reports 55 (1995), 121-140.

45. R. C. Merton Theory of rational pricing// Bell Journal of Economic Management Sciences 4 (1973), 141-183.

46. Mordecki E. Optimal stopping and perpetual options for Levy processes// Finance and Stochastics, 6 (2002), 473-493.

47. Новиков А. А., Ширяев A. H. Об одном эффективном случае решения задачи об оптимальной остановке для случайных блужданий// Teopbz вероятностей и ее применения, 49 (2004), 2, 373-382.

48. Norros, I. Busy Periods of Fraction Brownian Storage: A Large Deviations Approach// Advances in Performance Analysis, 2 (1999), 1-20.

49. Norros, I., Manenrsalo, P. and Wang, J. Simulation of Fractional Brownian Motion with Conditional Random Displacement// Advances in Performance Analysis, 2 (1999), 77-101.

50. Norros, I., Valkeila, E., Virtamo, J. On elementary approach to a Girsanov formula and other analytical results on fractional Brownian motion// Bernoulli 5 (1999), 571-578.

51. Novikov, A. and Valkeila, E. On some maximal inequalities for fractional Brownian motions// Statistics and Probability Letters 44 (1999), 47-54.54. 0ksendal, B. Fractional Brownian motion in finance// Preprint, 2003.

52. Pedersen, J. Convergence of strategies: an approach using Clark-Haussmann's formula// Finance and Stochastics 3 (1999), 323-344.

53. Piterbarg, V. Asymptotic methods in the theory of Gaussian processes and fields// AMS, MMONO 148, Providence, Rhode Island, 1996.

54. Piterbarg, V. I. and Prisyazhn'uk, V. Asymptotic behaviour of the probability of a large excursion of a non-stationary Gaussian process// Theory of Probability and Mathematical Statistics 18 (1978), 121-133.

55. Piterbarg, V. and Seleznjev, O. Linear interpolation of random processes and extremes of a sequence of Gaussian non-stationaryprocesses// Technical Report 1994:446, Center Stochastics Process, North Carolina University, Chapel Hill, 1994.

56. Прохоров Ю. В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей// Теория вероятностей и ее применения 1 (1956), 2, 177-238.

57. Rootzen Н. Limit distributions for the error in approximations of stochastic integrals// Annals of Probabability 8 (1980), 2, 241-551.

58. Seleznjev, O. Limit theorems for maxima and crossings of a sequence of Gaussian processes and approximation of random processes// Journal of Applied Probability 28 (1991), 17-32.

59. Seleznjev, 0. Limit theorems for maxima and crossings of sequence of nonstationary Gaussian processes and interploation of random processes// Report 1993:8 (1993), Department of Mathematical Statistics, Lund University, Sweden.

60. Seleznjev, O. Large deviations in the piecewise linear approximation of Gaussian processes with stationary increments// Advances in Applied Probability, 28 (1996), 481-499.

61. Seleznjev, 0. Spline approximation of random processes and design problems// Journal of Statist. Plann. Inference 84 (2000), 249-262.

62. Shiryaev, A. N. On arbitrage and replication for fractal models// in A. N. Shiryaev and A. Sulem ( eds ): Workshop on Mathematical Finance, INRIA, Paris, 1998.

63. Shiryaev, A. N., and Valkeila, E. Stochastic analysis of fractional Brownian motion with applications// Working paper, 2004.

64. Talay, D. Simulation of stochastic differential systems// Probabilistic Methods in Applied Physics, Lecture Notes in Physics 451 (1995), 63106, Springer, New-York.

65. Ширяев A. H. Статистический последовательный анализ// Изд.2: Наука, Москва, 1976.

66. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики// ФАЗИС, Москва, 1998.

67. Ширяев А. Н. Вероятность// Изд.З: МЦНМО, Москва, 2004.

68. А. Н. Ширяев, Ю. М. Кабанов, Д. О. Крамков, А. В. Мельников К теории расчетов опционов Европейского и Американского типов. 1. Дискретное время// Теория вероятностей и ее применения 39 (1994), 1, 21-79.

69. А. Н. Ширяев, Ю. М. Кабанов, Д. О. Крамков, А. В. Мельников К теории расчетов опционов Европейского и Американского типов. 2. Непрерывное время// Теория вероятностей и ее применения 39 (1994), 1, 80-129.

70. Temam, Е. Analysis of error with Malliavin calculus: application to finance// Mathematical Finance 13 (2003), 201-214.

71. Valkeila, E. On some properties of geometric fractional Brownian motions// Department of Mathematics, University of Helsinki, Preprint 224, 1999, 12 pages.

72. J. B. Walsh The rate of convergence of the binomial tree scheme// Finance and Stochastics, 2003, 7, 337-361.

73. R. Zhang Couverture Approchée des Options Européennes// Ph. D. thesis, Ecole Nationale des Ponts et Chaussées, http://cermics.enpc.fr/theses/99/zhang-ruotao.ps.gz, 1999.