Математическая модель расширяющегося жидкого слоя тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Ермолаева, Надежда Николаевна

• Ермолаева, Надежда Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ермолаева, Надежда Николаевна

1. Актуальность темы.

2. Цель работы.

3. Положения, выносимые на защиту.

4. Научная новизна.

5. Теоретическая и практическая значимость.

6. Структура и объем работы.

Обозначения.

Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА РАСШИРЕНИЯ ЖИДКОГО СФЕРИЧЕСКОГО СЛОЯ В УСЛОВИЯХ НЕВЕСОМОСТИ.

1.1. Физическая модель одного из вариантов создания космического зеркала за бортом космической станции

1.2. Математическая модель процесса расширения жидкого сферического слоя в условиях невесомости

Глава 2. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ.

2.1 Вывод дифференциального уравнения, описывающего закон изменения внутреннего радиуса Д(£).

2.2. Прямая и обратная задачи динамики расширения жидкого слоя

2.3. Расчет полей скорости и давления в жидком слое

2.4. Анализ дифференциального уравнения, описывающего закон изменения Д(£)

2.5. Методы решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение прямой задачи в начале процесса расширения жидкого сферического слоя

2.5.1. Двухстадийная А-устойчивая схема Розенброка-Ваннера

2.5.2. Двухстадийная £1-устойчивая схема Розенброка-Ваннера

2.5.3. Двухстадийная 7Л-усгойчивая схема Розенброка.

2.5.4. Двухстадийная А-устойчивая схема Розенброка.

2.5.5. Одностадийная Ш-устойчивая схема Розенброка

2.5.6. Комплексная одностадийная £2-устойчивая схема Розенброка-Ваннера

2.5.7. Комплексная одностадийная £2-устойчивая схема Розенброка

2.5.8. Комплексная одностадийная £2-устойчивая схема Новикова

2.5.9. Неявная двухстадийная схема

2.5.10. А-устойчивая схема типа предиктор - корректор

2.6. Модифицированная явная схема

2.7. Выводы из проведенных расчетов прямой задачи в начале процесса

Глава 3. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ СФЕРИЧЕСКОГО СЛОЯ.

3.1. Решение прямой задачи на конечной стадии процесса расширения

3.2. Выбор момента перехода к асимптотическому решению

3.3. Полный расчет обыкновенного дифференциального уравнения, описывающего закон изменения Д(£)

Глава 4. ТЕПЛОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В РАСШИРЯЮЩЕМСЯ СФЕРИЧЕСКОМ СЛОЕ.

4.1. Математическая модель остывания сферического слоя жидкости

4.2. Численное решение тепловой задачи в эйлеровых координатах для подвижной изменяющейся сетки.

4.3. Решение тепловой задачи на интервале (¿*,£&]. Уравнение, моделирующее поведение средней по слою температуры.

4.4. Приближенное аналитическое решение ряда вариантов математической модели тепловых процессов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическая модель расширяющегося жидкого слоя»

Увеличивающиеся темпы роста энергопотребления приводят к необходимости развития альтернативной энергетики. В этой связи все большее внимание привлекают новые возобновляемые источники энергии

1]. Особое место среди них занимает солнечная энергия, тепловой поток которой на границе с атмосферой достигает 5,7- 1024 Дж в год. Мировое потребление энергии, по некоторым оценкам [2] составляет

0,01 процента от потока солнечной энергии, которую Земля получает от Солнца. Однако на поверхности Земли из-за поглощения атмосферой поток солнечной радиации ослаблен и зависит от облачности, времени суток и года. Поэтому крупномасштабное применение солнечной энергии на Земле затруднено. В космосе же, этот поток весьма стабилен, и встает вопрос об использовании солнечной энергии, улавливаемой с помощью космических зеркал непосредственно в космосе (работы B.C. Авдуевского, С.Д. Гришина, JI.B. Лескова [3], [4]; Р.Б. Ахмедова [5]; Г.П. Щелкунова [6]; В.А. Грилихеса [7]; М. Нагатомо, С. Сасаки, И. Наруо, В.А. Ванке [8]; П.Г. Полетавкина [9] и другие работы).

Роль космических зеркал в энергетике космоса трудно переоценить

2]. Например, космические зеркала, выведенные на достаточно высокую орбиту могут осветить отраженным солнечным светом большие районы на ночной стороне Земли. Так можно создать уличное ночное освещение в крупных городах, на которое сейчас расходуется огромное количество электроэнергии [10, И]. Освещение, создаваемое спутниками - зеркалами, может быть полезно и в сельском хозяйстве, а также б при проведении спасательных и строительных работ.

Например, в проектах БОЕ МАЭА [12 - 14] космические зеркала предполагается использовать как составную часть космической электростанции. Эти зеркала будут фокусировать солнечные лучи на группах фо-тогальванических элементов (солнечных батареях) [15]. Энергия, преобразованная в высокочастотное радиоизлучение, будет направляться на приемную станцию, расположенную на Земле. ,

Отраженный луч может быть направлен почти в любую точку полушария, поэтому применение космических зеркал может также улучшить работу и земных солнечных электростанций, освещая их по ночам. В этом случае появляется возможность отказаться от строительства дорогостоящих теплоаккумуляторов, запасающих энергию на ночь.

Космические зеркала могут использоваться при проведении различных работ в космосе, например, для плавки и резки металлов.

Одним из серьезных аргументов в пользу увеличения использования солнечной энергии является сохранение экологического равновесия на планете. "Если бы все человечество потребляло на душу населения столько энергии, сколько расходуется в развитых странах, то планета оказалась бы вблизи порога, за которым начнутся необратимые воздействия на климат планеты ("тепловое загрязнение Земли")" [3]. Положение становится еще более серьезным, если учесть продолжающееся увеличение населения Земли и высокие темпы роста энергопотребления. В развивающихся странах дело обстоит еще хуже, а именно в качестве источников энергии там используются дрова и древесный уголь, и в некоторых районах вырубка лесов для этих целей уже превысила их самовоспроизведение.

Поэтому большие надежды сегодня возлагают на альтернативные и возобновляемые источники энергии [16]. Перспективы очевидны: такая энергия доступна круглосуточно, ее источник практически вечен, и кроме того, она не наносит вред окружающей среде.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью диссертационной работы являлось математическое моделирование процесса расширения жидкого слоя в условиях невесомости, создание эффективных алгоритмов, позволяющих рассчитать этот процесс в режиме реального времени, и создание комплекса прикладных программ, реализующих эти алгоритмы.

Построение и исследование математической модели расширения жидкого сферического слоя в условиях невесомости было начато еще в 90-х годах в Санкт-Петербургском Государственном университете под руководством Б.В. Филиппова совместно с сотрудниками Государственного Оптического института им. С.И. Вавилова. Далее, в 1998 году, работа над этой темой была продолжена на кафедре вычислительных методов механики деформируемого тела факультета прикладной математики -процессов управления СПбГУ [17]. Настоящая работа продолжает эти исследования.

1. Математическая модель неизотермического расширения слоя ньютоновской вязкой жидкости в условиях невесомости.

2. Математическая модель изменения внутреннего радиуса сферического слоя жидкости и предложенная модифицированная явная схема численного решения жесткого неавтономного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка, описывающего его поведение.

3. Алгоритм численного решения уравнения конвективной теплопроводности в изменяющемся слое жидкости. Дифференциальное уравнение, моделирующее поведение средней температуры в слое и его приближенное аналитическое решение для ряда вариантов граничных условий.

4. Комплекс программ расчета изменения радиуса слоя, а также полей скорости, давления и температуры в слое. Практические рекомендации по выбору материала жидкого слоя и условий проведения процессса расширения, полученные на основе расчетов по созданному комплексу программ.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА

Результаты, изложенные в оригинальной части диссертационной работы и перечисленные в п. 1-4 положений, выносимых на защиту, являются новыми.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ

Предложен эффективный алгоритм решения жесткого неавтономного нелинейного дифференциального уравнения; найдено аналитическое выражение полей скорости и давления в жидком слое через его внутренний радиус; получено асимптотическое решение сингулярно возмущенного дифференциального уравнения, моделирующего процесс расширения, и приближенное аналитическое решение диффернциалыюго уравнения, моделирующего поведение средней по слою температуры.

На основе проведенных исследований сформулированы практические рекомендации по выбору материала и условий проведения процесса расширения.

Процесс расширения сферического слоя жидкости лежит в основе одного из методов создания космических зеркал, поэтому проводимые исследования имеют большое прикладное значение при создании новых экологически чистых технологий использования солнечной энергии.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и содер

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Ермолаева, Надежда Николаевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В рамках принятых допущений создана математическая модель сферически симметричного расширения слоя жидкости в условиях невесомости. Предложен алгоритм решения системы уравнений модели на всем интервале процесса расширения. Создан комплекс программ, позволивший расчитать поведение внутреннего радиуса, полей скорости, давления и температуры жидкого расширяющегося слоя.

Анализ гидродинамической части задачи позволил сделать важные для практики выводы по выбору допустимых материалов жидкого слоя и условий проведения процесса расширения. В работе исследованы тепловые процессы в расширяющемся жидком сферическом слое. Решение тепловой задачи разделено на две части. Для первой части предложен алгоритм численного решения тепловой задачи в подвижной и изменяющейся области. Для второй части найдено обыкновенное дифференциальное уравнение, моделирующее поведение средней (по слою) температуры. Приведено аналитическое решение этого уравнения для одного из вариантов граничных условий, представляющего практический интерес.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ермолаева, Надежда Николаевна, 2011 год

1. Бушуев В.В., Троицкий A.A. Энергетика 2050. - М.: ИАЦ Энергия,2007. 72 с.

2. Лесков Л. В., Банке В. А., Лукьянов A.B. Космические энергосистемы.- М.: Машиностроение, 1990. 144 с.

3. Лесков Л.В., Авдуевский B.C. и др. Энергетика и космос. //Ж. "Земля и Вселенная". 1981, - №6. - С. 2 - 7.

4. Лесков Л.В., Гришин С.Д. Перспективы космической индустриибудущего. Сб. " К. Э. Циолковский и научное прогнозирование. ТрудыI

5. XII-XIII чтений К.Э. Циолковского". М., 1982. - С. 64 - 70.

6. Ахмедов Р.Б. и др. Солнечные электрические станции // Итоги науки и техники: серия "Гелиотехника". Т. 2. М.: ВИНИТИ, 1986. -146 с.

7. Щелкунов Г.П. Солнечная энергетика, глобальные проекты Электроника: НТВ, 2002, №6. С. 36-39.

8. Грилихес В.А. Солнечные космические энергостанции. Л.: Наука, 1986. - 182 с.

9. Нагатомо М., Сасаки С., Наруо Й., Банке В.А. Работы Института космических исследований Японии области космической энергетики. -Успехи физических наук, Июнь 1994, т. 164. №6. С. 631 641.

10. Полетавкин П.Г. Космическая энергетика. М.: Наука, 1981. 152с.

11. Семенов В.Ф., Сизенцов Г.А., Сотников Б.И., Сытин О.Г. Система орбитального освещения приполярных городов.// Известия РАН. Серия: Энергетика. 2006 г. №1. С. 21-30.

12. Коротеев A.C., Семенов В.Ф., Акимов В.H., Кувшинова Е.Ю.,

13. Оглоблина И. С. Космическая система энергосбережения Земли: эффективность, проблемы создания и применения. Известия РАН. Серия: Энергетика. 2009 г. №4. С. 3-20.

14. Glaser P.E. Power from the Sun:its future. Science. 1968, vol. 168, Nov., p. 857 - 886.

15. Satellite Power System (SPS) Concept Development end Evalution Program Plan< July 1977 August 1980 / Doe/ ЕТо034.^е6гшггг/1978.

16. Банке В.A., Jlecoma C.K., Банников A.B., Саввин В.Л. СКЭК просится на орбиту Энергия: экономика, техника, экология (1), 9(1986).

17. Банке В.А., Лопухин В.М., Саввин В.Л. Проблемы солнечных космических электростанций УФН, 1977, т. 123, вып. 4. С. 633-655.

18. Коротеев A.C., Семенов В.Ф., Семенов Ю.П., Сизенцов Г.А., Синявский В.В., Сотников Б.И. Космическая техника и космонавтика в решении экологических проблем мировой энергетики XXI ве-ка"Известия РАН, серия: Энергетика. №1 2006 г. С. 142-155.

19. Баранов А.Б., Курбатова Г.И. Динамика сферического слоя жидкости в условиях невесомости // Физическая механика. 1998. Вып. 7.- С. 113-125.

20. Сайт Консорциума "Космическая Регата"Электронный ресурс. Режим доступа: http://www.src.space.ru, свободный. Загл. с экрана.

21. Лукьянов A.B. Пленочные отражатели в космосе. М.: МГУ. 1977.- 70 с. '

22. Лесков Л.В., Гришин С.Д. Индустриализация космоса, проблемы и перспективы. М., наука. 1987. - 352 с.

23. Петровский Г. Т., Воронов Г.Д. Оптическая технология в космосе.

24. Ленинград, Машиностроение, Ленинградское отделение. 1984. - 158 с.

25. Зигель Р., Хауэлл Дж. Теплообмен излучением. Москва: Мир. -1975. 934 с.

26. Спэрроу Э. М., Сэсс Р. Д. Теплообмен излучением. Л.: Энергия.- 1971. 294 с.

27. Ермолаева H. Н.Расчет полей скорости и давления в слое ньютоновской вязкой жидкости//Процессы управления и устойчивость: Труды 39-й международной научной конференции аспирантов и студентов.- СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос.ун-та. 2008. - С. 122-127.

28. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М.: Изд-во МФТИ. 1994. - 528 с.

29. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука. 1977. - 656с.

30. Калиткин H.H. Численные методы решения жестких систем// Матем. моделирование. 1995. Т.7. №5. - С. 8 - 11.

31. Dahlquist G. A special stability problem for linear multistep methods //BIT. 1963. N 3. - P. 27-43.

32. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука. 1979. - 209 с.

33. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально алгебраические задачи. М.: Мир. - 1999. - 685 с.

34. Новиков Е.А. Явные методы для жестких систем. Новосибирск: Наука. 1997. - 197 с.

35. Алъшин А.Б., Альшина Е.А., Калиткин Н.Н., Корягина А.Б. Схемы Розенброка с комплексными коэффициентами для жестких и дифференциально алгебраических систем.// Ж. вычисл. матем. и ма-тем. физ., 46:8 (2006), 1392-1414.

36. Федоренко Р.П. Жесткие системы обыкновенных дифференциальных уравнений и их численное интегрирование// Вычисл. процессы и системы. М.: Наука. 1991. Вып.8. - С. 328-380.

37. Скворцов Л.М. Простые явные методы численного решения жестких обыкновенных дифференциальных уравнений// Вычислительные методы и программирование. 2008, т. 9, №2, - с. 154-162.

38. Gear C.W., Kevrekidis I.G. Projective methods for stiff differential equations: problem with gaps in their eigenvalue spectrum // SIAM J. Sci. Comput. 2003. V. 24. №4. P. 1091-1106.

39. Калиткин H.H., Панченко С.Л. Оптимальные схемы для жестких неавтономных систем // Математическое моделирование. 1999. Т. 11, т. - С. 52-81.

40. Ермолаева H. H., Курбатова Г. И. Математическая модель расширяющегося жидкого слоя//Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2009. Вып.3. С. 29-38.

41. Курбатова Г. И. О методах решения одной жесткой системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления.2008. Вып. 4. - С. 27-38.

42. Ермолаева H. Н. Наилучшая схема для одной жесткой неавтономной системы //Процессы управления и устойчивость: Труды 40-й международной научной конференции аспирантов и студентов. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос.ун-та, 2009. - С. 166-172.

43. Баранов А.Б., Курбатова Г.И. Численное решение уравнения динамики сферического слоя вязкой жидкости // Физическая механика. 1998. Вып. 7. - С. 105-113.

44. Рычков А.Д. Математическое моделирование газодинамических процессов в каналах и соплах. Новосибирск. 1988. - 219 с.

45. Панчеиков А.Н. Асимптотические методы в экстремальных задачах механики. Новосибирск. 1982. - 231 с.

46. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержаиемалые параметры при производных// Матем. сборник. 1952. Вып. 31, №3. - С. 575-586.

47. Васильева А.Б.Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми параметрами при старших производных//Журн. вычисл. математики и матем. физики. 1963. -Т. 3, т. С. 611-642.

48. Старков В. Н. Управление процессом остывания сферического слоя вязкой жидкости// Математические методы теории управления. Деп. ВИНИТИ №8070 от 18.12.84. Л., 1984. С. 120 128.

49. Карташов Э. М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М.: Высшая школа. 1985. - 480 с.

50. Полянин А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: Физматлит. 2001. - 576 с.1. Digits:=30;к:= 84.380625125;

51. Ass:=2*kapas*txA2/(rro*rxA3); # безразмерный комплекс

52. App :=davlenx*txA2/(rro*rxA2) ; # безразмерный комплексmju:=1000; # коэффициент динамич. вязкости

53. Amm:=4*mju*tx/ (rro*rxA2) ; # безразмерный комплекс

54. Рп:=0.147; ‘ # противодавлениеmml:=rrkk-l ;mm2:=evalf(3/Tkon);vc:=2.147;внутренний радиус оболочки

55. Обратная задача для метода предиктор-корректор (давление обеспечивающее, заданное изменение радиуса):1. P:=proc(tl)1. Phi:=phi(R(tl)) :evalf(((1-Phi)*ddR(tl)+(l

56. Phi)A2*dR(tl)A2*(3+2*Phi+PhiA2)/(2*R(tl))+&nm*(1

57. Phi) *dR(tl) * (PhiA2+Phi+l) / (R(tl) A2)+Ass* (1+Phi) / (R(tl) A2)) *R(tl) / App+Pn) : ’end proc: