Космологические эффекты многомерной нелинейной гравитации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Никулин Валерий Владимирович

• Никулин Валерий Владимирович
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Никулин Валерий Владимирович

Введение

Глава 1. Генерация барионной асимметрии

1.1 Накопление заряда в дополнительном пространстве

1.1.1 Формирование дополнительного пространства

1.1.2 Модель накопления и(1)-заряда

1.2 Высвобождение барионного числа

1.2.1 Многомерная теория с фермионами

1.2.2 Внутренний угловой момент как барионное число

1.2.3 Переход накопленного числа в фермиошюе

1.3 Заключение к Главе

Глава 2. Первичные черные дыры

2.1 Доменные стенки в /(Д)-гравитации

2.1.1 Действие для нелинейной гравитации

2.1.2 Эффективное скалярное поле

2.1.3 Доменные стенки

2.1.4 Инфляционная генерация доменных стенок

2.1.5 Первичные черные дыры

2.2 Формирование скоплений первичных черных дыр

2.2.1 Формирование ПЧД из доменных стенок

2.2.2 Формирование кластеров ПЧД

2.3 Заключение к Главе

Глава 3. Инфляционные ограничения на параметры

дополнительного пространства

3.1 Ограничение на масштаб компактификации

3.2 Ограничение на Э-мерную массу Планка

Стр.

3.3 Перепроизводство массивных мод Кадуцы-Кдейна

3.4 Заключение к Главе

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Публикации по материалам диссертации

Список литературы

Приложение А. КК-разложение фермионного поля

Приложение Б. Соответствие сохраняющихся величин

Введение

Многомерная гравитация один из самых многообещающих подходов в современной фундаментальной физике. Идея компактных дополнительных измерений, изначально появившаяся век назад из желания объединить гравитацию и электромагнетизм [1; 2], оказалось чрезвычайно полезна в попытках приблизиться к «святому Граалю» фундаментальной теоретической физики квантованию гравитации, стала основой таких новых парадигм как теория струн [3] и многомерная супергравитация [4], предложила элегантное решение проблемы иерархии энергетических масштабов [5].

Огромным теоретическим достижением теорий с компактными дополнительными измерения (теорий Калуцы Клейна) является объяснение происхождения симметрий, наблюдаемых в физике элементарных частиц [6; 7]. В этих теориях, симметрии калибровочной теории поля (например, Стандартной модели) являются следствием геометрических свойств компактного дополнительного пространства. Поэтому дополнительные измерения часто изучаются в рамках физики элементарных частиц [8], например в контексте объединения взаимодействий [9; 10], объяснения природы полей Стандартной Модели [11], поиска их проявлений в ускорительных экспериментах [12; 13].

Вопрос о том «Почему группа симметрии Стандартной модели именно такая?» сводится в многомерных теориях к вопросу о свойствах самого компактного пространства и о том, как формировалась его геометрия. В самосогласованных теориях многомерной гравитации формирование дополнительного пространства является результатом спонтанной компактификации стабилизации формы дополнительного пространства на ранних этапах космологической эволюции, что приводит нас к рассмотрению многомерных теорий в контексте их космологических проявлений.

Одной из важнейших теоретических задач подхода, основанного на компактных дополнительных измерениях, является обеспечение их компакти-

фикации и стабилизации [14] в процессе космологи ческой эволюции. Обычно данная задача решается введением дополнительных стабилизирующих скалярных полей [ ] или f (Л)-модификацией гравитации [ ; ]. Последний подход особенно многообещающий, поскольку модель квадратичной f (Л)-гравитации Старобинского [18; 19] наиболее хорошо соответствует наблюдательным ограничениям на параметры космологической инфляции, полученным спутниковой обсерваторией Planck [20]. С теоретической точки зрения также привлекателен тот факт, что в многомерной f (Л)-теории процессы космологической инфляции и компактификации являются проявлением общей гравитационной динамики в различных подпространствах [21].

Возможности многомерной f (Л)-гравитации широко изучаются сегодня [22; 23]. В данной парадигме на единой основе могут быть решены такие космологические проблемы, как происхождение темной материи [24], объяснение современного ускоренного расширения Вселенной и малости космологической константы [25], единое объяснение процесса компактификации и космологической инфляции [21]. Важно продолжать развитие данной парадигмы в направлении объяснения большего числа космологических феноменов, поисков новых наблюдательных проявлений и постановки ограничений на модели многомерной f(Л)-гравитации. В данной работе, на основе вышеуказанной парадигмы, предложено объяснение таких наблюдаемых космологических явлений, как барионная асимметрия и первичные черные дыры.

Сегодня первичное происхождение многих открытых черных дыр (ЧД) горячо обсуждается космологами и астрофизиками [26; 27]. В частности, речь идет об открытых сверхранних квазарах [28; 29], объяснение образования которых из черных дыр звездного происхождения представляется маловозможным. Новую волну интереса к первичным черным дырам (ПЧД), начиная с 2015 года [30 32], вызвало недавнее открытие методами гравитационно-волновой астрономии множества ЧД промежуточных масс 10 ^ 100Мо [ ; ], звездное происхождение которых так же ставится под сомнение.

Активно идут дискуссии о ПЧД как кандидате на объяснение части скрытой массы [34 36]. Развиваются идеи формирования кластеров ПЧД в ранней Вселенной [37 39]. Показано, что такие структуры могли бы объяснить наблюдения ранних квазаров [40], вносить вклад в скрытую массу, вызывать всплески гравитационных волн, быть причиной реионизации и точечных космических источников гамма-излучения. В то же время, существуют ограничения на параметры ПЧД, обусловленные первичными возмущениями [41] на физические условия в разные эпохи ранней Вселенной и дискутируемые моделезависимые ограничения по вкладу ПЧД в скрытую массу [42]. Сегодня важно детально описать и разработать подходящие модели образования ПЧД и их возможных проявлений в космологии и астрофизике.

Наблюдаемая во Вселенной барионная асимметрия ещё одна известная космологическая проблема, имеющая важное значение для физики частиц. Известно, что в Стандартной модели отсутствует механизм существенного нарушения барионного числа. Существование ненулевых барионных/лептонных чисел означает, что они не сохранялись в течение некоторого периода эволюции Вселенной [43]. Похоже что именно космологическая инфляция ответственна за крупномасштабное распределение барионов и барионную асимметрию Вселенной [44; 45]. Тем не менее, барионное число сохраняется с большой точностью в настоящее время, что составляет известную проблему [46].

Общепринятого механизма генерации барионной асимметрии на сегодняшний день нет. Существуют различные подходы к решению этой проблемы и все они так или иначе привлекают новую физику. Например, механизмы типа Аф-флека-Дайна [47] основаны на введении в теорию дополнительного скалярного поля с потенциалом, явно нарушающим барионную симметрию. Подобные подходы являются феноменологическими и основаны на искусственном добавлении в теорию недостающе 14) компонента. Для ответа на вопрос, какой именно из механизмов ответственен за генерацию барионной асимметрии, важно развитие целостных самосогласованных теоретических подходов, которые предсказывали бы дополнительные наблюдательные следствия, позволяющие различать их.

Как будет показано в данной диссертационной работе, вышеперечисленные космологические проблемы могут быть решены в рамках парадигмы многомерной нелинейной гравитации. В целом, изучение космологических проявлений модифицированной гравитации привлекательно сразу по нескольким причинам. Во-первых, ранняя Вселенная является источником энергий, которые вряд ли будут доступны человечеству в обозримом будущем. Особенно интересен в этом контексте инфляционный период ранней Вселенной [18; 48], который является общепризнанной парадигмой, до сих пор проходящей все наблюдательные проверки. Сила ограничений, которые можно получить с помощью космологической инфляции недостижима для современной ускорительной техники, так как её характерный энергетический масштаб находится в районе Н ~ 1013 ГэВ [ ], в сравнении с достигнутым на ускорителях л/б ~ 104 ГэВ. Во-вторых, ранняя Вселенная является, по-видимому, единственным способом изучения гравитационного взаимодействия при высоких энергиях. Для космологической эволюции гравитация является главной движущей силой, и её модификация может привести к драматичному изменению процесса формирования современной Вселенной. В-третьих, космологические проявления многочисленны и весьма разнообразны, могут наблюдаться в самых разных каналах, таких как реликтовое излучение, химический состав Вселенной, первичные гравитационные волны, крупномасштабная структура галактик и многое другое. Эти обстоятельства также способствует постановке сильных космологических ограничений.

Наконец, в космологии содержится большой пласт необъясненных феноменов и отклонений, некоторые из которых были упомянуты выше. Поэтому, в настоящее время, учитывая приостановку успехов в обнаружении «новой физики» на ускорителях частиц, создается особо плодородная почва для космологической проверки разнообразных теоретических гипотез, в особенности относящихся к модифицированной гравитации.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Космологические эффекты многомерной нелинейной гравитации»

Цель работы:

Объяснение наблюдаемых космологических явлений в рамках подхода к описанию ранней Вселенной, основанного на многомерной нелинейной гравитации, и постановка ограничений на её параметры:

— Разработка модели генерации барионной асимметрии на основе явления накопления заряда в дополнительном пространстве.

— Разработка механизма чисто гравитационного образования первичных черных дыр в моделях многомерной /(Д)-гравитации.

— Получение ограничений на компактное дополнительное пространство из данных по космологической инфляции.

Научная новизна:

1. Впервые показано, что релаксационные процессы метрики дополнительного пространства с топологией «яблока» приводят к избытку барионов. Тем самым построена модель бариосинтеза на основе идеи о существовании дополнительных измерений.

2. Впервые была продемонстрирована возможность возникновения чисто гравитационных топологических дефектов типа «доменная стенка» в теориях многомерной /(Д)-гравитации, приводящих к образованию первичных черных дыр в ранней Вселенной.

3. Впервые была установлена взаимосвязь между массой Кануны-Клейновских мод инфлатона и условиями медленного скатывания в моделях космологической инфляции, что позволило получить сильные ограничения на размер компактного дополнительного пространства и многомерную массу Планка.

Практическая значимость:

Данное исследование демонстрирует широкие возможности подхода, основанного на идеях многомерной нелинейной гравитации, в области теоретической космологии. В работе показывается возникновение сильных ограничений и

новых эффектов при комбинировании данного подхода с имеющимися космологическими моделями, что указывает на важность дальнейших исследований в данной области. Результаты работы могут быть полезны при построении реалистичных космологических моделей, способных в то же время дать предсказания существования новых явлений, с возможностью проверки в недалеком будущем.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Механизм формирования и релаксации компактного дополнительного пространства на основе квадратичной /(Д)-гравитации, естественным следствием которого является возникновение барионной асимметрии в ранней Вселенной.

2. Механизм чисто гравитационного образования первичных черных дыр в ранней Вселенной, на основе многомерной нелинейной гравитации без участия полей материи. Предсказание спектра масс и пространственного распределения внутри кластеров первичных черных дыр, возникающих в ранней Вселенной.

3. Ограничения на размер компактного дополнительного пространства и многомерную массу Планка, полученные из наблюдательных данных по космологической инфляции.

Достоверность:

Достоверность основных научных результатов диссертационной работы обеспечивается их согласованностью с наблюдательными данными по величине барионной асимметрии [49], числу галактик во Вселенной [50] и ограничениями на модели космологической инфляции [20]. Теоретические выкладки следуют стандартному формализму многомерной нелинейной гравитации [22] и согласуются с идеями, развиваемыми другими авторами [51; 52] в данной области.

Личный вклад:

Автором: а) предложен механизм высвобождения накопленного во время инфляции в дополнительном пространстве барионного числа в низкоэнерге-

тичные фермионные моды; б) оценены параметры модели f (Д)-гравитации приводящие к производству ПЧД в ранней Вселенной и не противоречащие наблюдательным данным по космологической инфляции; в) рассчитаны пространственные распределения ПЧД в скоплениях, генерируемых на стадии космологической инфляции; г) рассчитаны ограничения на размер дополнительного пространства, возникающие в следствие нарушения последним условий медленного скатывания. Автор внес определяющий вклад в написание всех основных публикаций и представление докладов по теме исследования.

Апробация работы:

Результаты исследований, положенные в основу диссертации, представлялись и обсуждались на семинарах в МИФИ, а также докладывались на различных российских и международных конференциях и школах:

— The 6th International Conference on Particle Physics and Astrophysics (ICPPA-2022, Moscow, Russia);

— The 5th International Conference on Particle Physics and Astrophysics (ICPPA-2020, Moscow, Russia);

— 23rd Workshop «What Comes Beyond the Standard Models?» (2020, Bled, Slovenia);

22

(2019, Bled, Slovenia);

— The Moscow International School of Physics (MISP-2019, Voronovo, Russia);

— The 4th International Conference on Particle Physics and Astrophysics (ICPPA-2018, Moscow, Russia);

— VII межинститутская молодежная конференция «Физика элементарных частиц и космология 2018» (2018, Moscow, Russia);

3

(ICPPA-2017, Moscow, Russia).

и

Основные публикации по теме диссертации:

Основные результаты по теме диссертации изложены в работах [Al А7], опубликованных в период с 2017 по 2022 гг. в рецензируемых научных изданиях, индексируемых Web of Science и Scopus и имеющих квартили Q1 (2 работы), Q2 (3 работы) и Q3 Q4 (2 работы).

Объем и структура работы:

Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и 2 приложений. Полный объём диссертации составляет 109 страниц, включая 15 рисунков и 1 таблицу. Список литературы содержит 134 наименования.

Глава 1. Генерация барионной асимметрии

Наблюдаемая во Веелешюй барнонная асимметрия одна из самых сложных космологических проблем в настоящее время. Существование ненулевых бар ионных чисел означает, что они не сохранялись в течение некоторого периода эволюции Вселенной [43]. Похоже что именно космологическая инфляция ответственна за крупномасштабное распределение барионов и барионную асимметрию Вселенной [44; 45]. Тем не менее, барионное число выполняется с большой точностью в настоящее время. Следовательно, соответствующая симметрия, отвечающая за сохранение такого числа, должна появляться на постинфляционной стадии Вселенной.

С другой стороны, идея существования компактных дополнительных измерений почти неизбежно приводит к несохранению зарядов и чисел [53 55]. Действительно, в рамках многомерной гравитации наблюдаемые низкоэнергетические симметрии являются следствием изометрий дополнительного пространства [6]. Как обсуждалось в [56], мера симметричных многообразий, зарождающихся при субпланковских энергиях, равна нулю. В самом начале зарождающееся многообразие не имеет никаких векторов Киллинга и изометрий. Следовательно, на данном этапе нет ассоциированных с ними сохраняющихся зарядов. Сохранение заряда появляется значительно позже, ко:да геометрия дополнительного пространства стабилизируется и приобретает соответствующие векторы Киллинга. Следовательно, должен существовать период симметризации дополнительного пространства. Этот период является ключевым в предлагаемой попытке решить проблему барионной асимметрии.

В этой главе показывается, каким образом барионная асимметрия может быть следствием асимметрии компактного дополнительного пространства и генерироваться в многомерных теориях на стадии инфляции. Первый раздел данной главы посвящен демонстрации процесса накопления заряда в возмущениях скалярного поля, запертых в дополнительном пространстве (что

соответствует статье [АЗ] автора). Во втором разделе этот заряд интерпретируется как барионпое число и предлагается способ его перехода от скалярного поля к фермионному (что соответствует статье [А2] автора).

1.1 Накопление заряда в дополнительном пространстве

Известно, что компактные дополнительные измерения в теориях типа Ка-луцы Клейна (КК) могут объяснить происхождение симметрий, наблюдаемых в физике элементарных частиц. Основная идея подхода состоит в том, что группа симметрии калибровочной теории поля рассматривается как следствие геометрических свойств дополнительного пространства, связанных с наличием векторов Киллинга [6]. Тем не менее, этот подход не дает четкого ответа на вопрос: «Почему группа симметрии стандартной модели именно такая?». Этот вопрос просто сводится к вопросу о происхождении самого компактного пространства и его геометрии.

Одной из известных проблем теории Калуцы Клейна является проблема устойчивости компактного дополнительного пространства. Обычно она достигается введением дополнительных стабилизирующих полей [15] или модификацией гравитации [17]. Процесс стабилизации дополнительного пространства, очевидно, должен происходить в очень ранней Вселенной на энергетическом масштабе, сравнимом с масштабом компактификации.

В этом разделе развивается идея симметризации метрики дополнительного пространства и накопления ассоциированного с её симметрией заряда во время инфляционной стадии. Изначально в рассматриваемой модели нет сохраняющихся зарядов. В результате симметризации, в конце инфляции, метрика приобретает вектор (векторы) Киллинга, и заряд начинает асимптотически сохраняться. Конкретное значение сохраняемого заряда обусловлено квантовыми флуктуациями во время инфляции. Эта идея может объяснить появление ба-рионной асимметрии Вселенной.

1.1.1 Формирование дополнительного пространства

Правильное описание того, как могла возникнуть Вселенная, похоже, способна дать только теория квантовой гравитации. Последняя, однако, ещё не построена в последовательном непротиворечивом виде. Распространено представление о так называемой квантовой пене [57], которая непредсказуемо меняет метрику, топологию и размерность пространства на Планковском масштабе. Тем не менее, начиная с некоторой случайной конфигурации ниже Планковского масштаба, возможно исследовать дальнейшую динамику пространства средствами общей теории относительности. Существуют модели, обсуждаемые в работах [58], где три пространственных измерения подвергаются экспоненциальному расширению, в то время как остальные (дополнительные) пространственные измерения стабилизируются. В результате многомерное пространство становится прямым произведением большой четырехмерной инфляционной Вселенной и компактного дополнительного пространства.

Несмотря на то, что процесс рождения дополнительного пространства сегодня остается неясным, у нас нет оснований полагать, что его метрика обладает какой-либо симметрией, поскольку процесс его рождения, по-видимому, является случайным. Однако в результате дальнейшей эволюции дополнительное пространство подвергается стабилизации и симметризации. Глубинные причины неизбежного возникновения симметрии в этом процессе связаны с ростом энтропии в результате стабилизации метрики (установления термодинамического равновесия) [56]. Здесь показывается, как такой процесс стабилизации приводит к образованию ненулевого значения сохраняющегося числа, связанного с симметрией.

Симметрия дополнительного пространства

Любые симметрии приводят к сохранению определенных чисел, в соответствие с теоремой Нётер. Когда речь идет о пространственных симметриях, сохраняющиеся числа могут быть физически интерпретированы как импульс или угловой момент полей вдоль соответствующих пространственных направлений [6; 59].

Предположим, что такое число, связанное с дополнительной пространственной симметрией, имеет ненулевое значение до начала инфляционного периода. Если на этом этапе симметрия метрики дополнительного пространства не нарушается, суммарное число продолжает сохраняться, но его плотность быстро разбавляется в ходе инфляционного расширения пространства. Однако, если симметризация и стабилизация метрики продолжаются в течение инфляционного периода, то число может генерироваться в этом процессе и может иметь ненулевое значение после окончания инфляции. Окончательная релаксация метрики дополнительного пространства приводит к возникновению симметрии и, следовательно, к дальнейшему сохранению накопленного числа.

Пусть векторное поле Киллинга £,а(х) характеризует симметрию дополнительного пространства. В этом случае производная Ли от его метрики вдоль векторного поля Киллинга Ь^д^тп = 0 и метрика дополнительного пространства д(]„тп остаётся инвариантной при инфинитезимальных преобразованиях хт ^ хт + Е,т(х). Согласно теореме Нётер (см. технические детали в Приложении А и работе [6]), существует сохраняющийся ток, связанный с такой инвариантностью даЗа = 0. Этот ток для любого физического поля х определяется выражением

ЯГ (х) ,

3а = 1ЬдьХ - (х)

(1.1)

где Ьт — лагранжиан материи. Соответствующий заряд

(1.2)

имеет смысл углового момента в дополнительном пространстве. Пока метрика не приобретет стабильную симметричную конфигурацию, этот заряд не сохраняется, и можно вычислить его накопление во времени. Для расчета величины накопленного числа необходимо смоделировать эволюцию метрики и скалярного поля в процессе стабилизации.

Динамика дополнительного пространства

Как уже обсуждалось выше, для обеспечения спонтанной компакти-фикации и стабилизации дополнительного пространства, многообещающим подходом является модифицированная /(Д)-гравитация. Параметры четырехмерной / (Д)-гравитации ограничены множеством современных наблюдений (см., например, [ ]). Однако параметры многомерных версий/(Д)-гравитации могут варьироваться в широких пределах, поскольку ее связь с наблюдательными данными не является прямой.

Сначала определим стационарную конфигурацию дополнительного пространства в /(Д)-модели. Действие берется в форме

Б = J (1°гу/Щ [/(Я) + ] , /(Я) = аЯ2 + Я + с. (1.3)

Здесь Б = ^+4, то — многомерная масса Планка, аЬт — лагранжиан материи. Заряд накапливается полями во время стабилизации. Исследуем простейший случай массивного скалярного поля:

Ьт = 1 СммдмХдмХ - V(х), V(х) = 1 ш2х2. (1.4)

Рассмотрим римаиово многообразие с метрикой

¿82 = СммЛгм<гм = д^ШхЧх^ + д<1,тп(х)у)(1ут(1уп . (1.5)

Здесь М4, К — многообразия с метриками д^у(х) и д^,,тп(х,у) соответственно. Четырехмерное пространство М4 и ^-мерное компактное пространство К

будем называть основным пространством и дополнительным пространством соответственно. Метрика имеет сигнатуру ( • - - - ...), греческие индексы V = 0,1,2,3 относятся к четырехмерным координатам. Латинские индексы пробегают т,п = 4,...,(! + 3 и относятся к дополнительному пространству. В данной главе используются соглашения для тензора кривизны ЯдВС = дсГ% - двГ% + Г%сГ^А - Г^ви для тензора Риччи Ямы = RмAN■ Также используются единицы Н = с =1.

Поведение во времени метрического тензора Смм(х,у) определяется классическими уравнениями движения и изменяется при изменении начальных условий. Как было показано в [56], диссипация энергии в основное пространство М4 приводит к уменьшению энтропии многообразия К. Это объясняет появление в классических уравнениях для метрики дополнительного пространства д<1,тп(х,у) члена трения, стабилизирующего её. Наконец, инфляционный процесс сильно сглаживает неоднородность пространства, так что

(х,у) ->

Ш (1.6)

в настоящую эпоху. Зависимость внешней метрики от времени обсуждалась в рамках космологии Калуцы-Клейна и гравитации Эйнштейна [61]. Если гравитационный лагранжиан содержит нелинейные по скаляру Риччи члены, то метрика может иметь асимптотически стационарные состояния [17; 56]

(^,У) ^ 9а,тп(у). (1.7)

Для дополнительной информации см. [15; 62].

Для упрощения задачи предположим, что — метрика пространства де Ситтера во время космологической инфляции

д^ = <Иад1 - е2т, - е2Ш, - е2Ш), (1.8)

где Н — параметр Хаббла. Такая четырехмерная метрика вызвана инфлатон-ным полем, динамика которого здесь не рассматривается.

Для нахождения стационарных конфигураций метрики воспользуемся уравнениями Эйнштейна для f (Д)-гравитации:

RmN f' — 1 f (R)9d,MN + V M VN f' — 9d,MN □f' = —Tmn . (1-9) 2 mjj 2

Здесь □ обозначает оператор Д'Аламбера

□ = дм(Gmn ). (1.10)

Здесь предполагается, что уравнения Эйнштейна, связанные с динамикой четырехмерного пространства, выполняются при задании четырехмерной метрики д^у в виде ( ).

Тензор энергии-импульса Tmn определяется следующим образом

„ dL

ni , s-ч т /1 1 1\

TMN = —2 QQMN + ^MN Lm. (1.11)

Трехмерная динамика инфляционной Вселенной известна и быстро приводит к однородной Вселенной, поэтому будем считать, что скалярное поле постоянно в трехмерном пространстве и меняется только в дополнительном пространстве. Для скалярного поля х имеем:

□dX = -Пх) , (1.12)

где □d — оператор Д'Аламбера для дополнительного пространства.

В конце процесса стабилизации, релаксацию дополнительного пространства можно рассматривать как затухание малых возмущений метрики на фоне стацио! i ар ной кон ф и гу р аци и.

Дальнейшая стратегия такова. Найдем метрику и поле стационарной конфигурации дополнительного пространства, решив систему уравнений (1.9) и (1.12). Затем изучим временную эволюцию малых флуктуаций вблизи стационарной конфигурации путем решения линеаризованной системы уравнений. Эта информация позволит нам рассчитать накопление заряда (1.2) во времени.

1.1.2 Модель накопления и(1)-заряда

Современные модели дополнительных измерений, в частности основанные на дополнительных измерениях Калуцы-Клейна, весьма разнообразны [63; 64]. В качестве примера рассмотрим компактное двумерное дополнительное пространство с топологией яблока [65], сформированное на заключительной стадии стабилизации. Стационарность этой конфигурации была показана в работах [66; 67]. Кроме того, оно обладает осевой симметрией, которую можно интерпретировать (в эффективной четырехмерной теории) как и(1)-симметрию с соответствующим сохраняющимся числом. В отличие от простейшего случая и(1)-симметрии одномерного кольцевого дополнительного пространства (см., например, в [68]), наше двумерное дополнительное пространство с топологией яблока может потерять свою и(1)-симметрию из-за возмущений метрики, вызванных внутренней гравитационной динамикой.

Стационарная метрика дополнительного пространства

Метрика предложенного выше двумерного дополнительного пространства с топологией сферы (1.6) имеет вид

92,тп

-г2е2р(*,е,ф) 0

0 _г2^2в(г,е,ф) е

(1.13)

Во-первых, найдем стационарную аксиально-симметричную конфигурацию для |3(*,е,ф) = (е) и для скалярного поля х(^,е,ф) = ^(е). Тогда метрика будет иметь вектор Киллинга вдоль координаты ф (вращательная симметрия), так что будет иметься соответствующее сохраняющееся число. Подобная метрика обсуждается в [66].

Система трех уравнений для трех неизвестных функций Д(е), Р (е) х(е)

может быть получена из уравнений Эйнштейна (1.9):

2

22

e-"r2(3(aR2 + с + R) - 6H2(2aR + 1) - 3кт2х2) - 8а(ctg еЯ0 + Ree) +4(2аЯ + l)ß0 ctg 9+ + 4(2аЯ + 1) ßee + 4(2аЯ + l) + кх0 = 0 ,

2ß-2( 12Н2 - R) - 2(ße ctg0 + ßee - 1) =0 ,

Г7

e2ßm2r2x - Xe ctg e + Xee = 0 , (1.14)

где к = 1/m\ — обратная 6-мерная масса Планка. Второе уравнение следует из определения скаляра Риччи.

Для численных расчетов нужны конкретные значения параметров и дополнительные условия. Возьмём следующие параметры моделиг = 2, Н = 0.03, а = -1, с = -1, т = 1, к = 1 (все величины взяты в единицах многомерной

массы Планка т6) и самосогласованные граничные уеловия в точке e = 0:

2

ß (0) = 0 , Д(0) = ^ , х(0) = 0.1,

ße (0) = Äe(0) = Xe(0) = 0. (1.15)

Решение системы (1.14) с выбранными значениями параметров и граничными условиями (1.15) показано на рисунке 1.1.

Малые возмущения над стационарной метрикой

В качестве следующих) шага рассмотрим малые возмущения статической метрики, скаляра Риччи и скалярного поля в следующей форме:

р(*,е,ф) = р*(е) + бр(*,е,ф) бр(*,е,ф) << р*(0),

R(t,Q,ф) = Д*(0) + 8R(t,е,ф) 8R(t,е,ф) < я*(0), (1.16)

х(*,е,Ф) = х*(е) + бх(^,е,ф) бх(*,е,ф) < х*(е).

/

/

/

- ßst(0)

--Rst (0)

---Xst (0)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

в

Рисунок 1.1 — Слева: зависимость стационарного параметра метрики ßst, скаляра Риччи Äst и скалярного поля Xst от азимутального угла 6 в дополнительном пространстве. Справа: изображение формы двумерного дополнительного пространства, определяемого метрикой (1.13).

Для изучения динамики малых возмущений, линеаризуем систему уравнений, аналогичную полученной в предыдущем пункте, но по всем переменным:

е2ßr2(3bR(4aH2 - 2aR - 1) + 8а6Яфф cosec2 6-

8abR(ß6 ctg 6 + ß66 - 1) - 12aHR6ßt + 2(36xKm2x-36ß (R(-4aH2 + aR + 1) + с - 2H2 - кт2x2) + + 4(2аЯ + 1)6ßtt + 18aH6Rt - 4a6Rtt + 6#6ßt)) +

+ 8a6R6 ctg 6 - 46ß06 - 4(2aR + 1) 6ß^ cosec2 6- 4(2аЯ + 1)6ß0 ctg6 + 8a(6Ä00 - Ä6ß00) + 2к6хеХе = 0

e2ßf2

6ß(24#2 - 2R) +4(3Я6ßt + 6ßtt) -- ^6ß6 ctg 6 + 6ßw cosec2 6 + 6ß6^ =0 ,

2ß 2 2

e rr m

;(26ßx + 6x) +3Я 6xt + 6xtt

Л

- 6x6 ctg 6 - 6Хфф cosec 6 - 6x66 = 0 .

(1.17)

Для упрощения решений разложим их в следующем виде:

бр(*,е,ф) = Е бвп(^,е)81п(пф),

п

бд(^,е,ф) = Е bRn(t,e) 81п(пф), (1.18)

п

&х(*,е,ф) = Е &Xn(t,e) sm(^).

п

В этом случае система уравнений (1.17) может быть решена отдельно для каждой моды. Поскольку рассматриваются конечные стадии процесса релаксации дополнительного пространства, нас не интересуют высокоэнергетичные моды, которые первыми рассеивают свою энергию. Рассмотрим модуп = 2. Выберем простейшие начальные и граничные условия, чтобы продемонстрировать, как осцилляции скаляра Риччи влияют на динамику поля.

бр(0,е) = 6Pí(0,e) = бве(t,0) = 6Pe(í,rc) = 0,

6х(0,е) = 6х^(0,е) = 6хе(*,0) = 6хе(*,п) = 0, (1.19)

бл(о,е) = 0.1 sin2 е, бд(0,е) = 5Яе(Щ = б^М) = 0.

Результат расчетов представлен на рисунке 1.2. Видно постепенное затухание всех колебаний. Затухание, аналогичное показанному на рисунке 1.2,

е

возмущений и стабилизации до стационарной конфигурации.

Накопление заряда

Согласно разделу 1.1.1, число, определяемое формулой (1.2), должно сохраняться из-за U(1)-симметрии. Однако нас интересует, каким образом число Q может быть сначала накоплено, а затем сохранено. Процесс первоначального накопления Q происходит через возмущение симметричного состояния метрики. Возмущения метрики и скалярного поля 6в, 6R, 6х связаны между собой линейной системой уравнений (1.17). Решения, полученные в предыдущем пункте, позволяют вычислить Q. Нас интересует трехмерная плотность

0.10

0.05

0.00

-0.05

-60 (t, п/4)

--6R (t, п/4)

- - 6x (t, n/4)

0 10 20 30 40

t

Рисунок 1.2 — Эволюция во времени возмущений параметра метрикискаляра Риччи 6R и скалярного поля 6х для угла 6 = п/4. Возмущение представляет собой моду стоячей волны п = 2 по коордипате ф.

числа в сопутствующем объеме. Формула (1.2) определяет суммарное число во всем пространстве, поэтому чтобы получить его плотность, нужно выделать выражение под интегралом по трехмерному пространству. После подстановки решений для метрического и скалярного поля получаем плотность

= /rf^A» Sin6 ,шф = (i,o)

= J 506х(^,6,ф)^6х(*,6,ф) г2е2(М6)+6РМ,ф)) Sin 6 d6dy.

Возмущенные решения системы уравнений (1.17) далее используются для численного расчета зависимости Q(t) от времени. В качестве возмущения возьмем суперпозицию бегущей волны с п = 2:

(Т1П \

t + — ,6) С08(2ф), (1.21)

(пп \ t + — ,6) С08(2ф) .

Таким образом, бегущая волна в метрике порождает бегущую волну в скалярном поле Х- Это, в свою очередь приводит к несохранению числа Q — его величина колеблется во времени (Рис. 1.3).

1

Рисунок 1.3 — Временная эволюция ассоциированного с симметрией числа Q во время релаксации метрики дополнительного пространства.

Конец инфляции характеризуется относительно резким переходом, связанным с нарушением условий медленного скатывания. После такого перехода происходит симметризация метрики (флуктуации метрики дополнительного пространства быстро затухают при Н < 1/0? а поля переходят в быстро осциллирующий режим и начинается стадия рехитинга.

Рассмотренная стационарная метрика приобретет осевую симметрию в(£,б,ф) = |3^(9), поэтому возмущение скалярного поля 6х будет являться теперь решением уравнения движения (1.12). Начнет работать теорема Нётер и число (1.20) далее будет сохраняться. Это нетрудно понять, учитывая, что физический смысл величины Q(t) — внутренний угловой момент вдоль осевой координаты ф.

Флуктуации поля (бегущие волны), сгенерированные в дополнительном пространстве, теперь заключены там навсегда, так как теперь сохраняется внутренний момент Накопленное к тому времени число Q(t) останется неизменным и в дальнейшем. Вселенная входит в стадию горячего Большого Взрыва с ненулевым начальным значением этого числа и всеми вытекающими из этого последствиями.

Оценим значение плотности заряда (1.20) из результата численной симуляции 1.3. В единицах многомерной массы Планка ^ ~ 10-3 [т|]. Основываясь на выбранном ( ) (в единицах т§) значении параметра Хаббла по отношению к известному [20] из наблюдений, Н = 0.03 [та] = 1013 [ГэВ], получим ~ 1015 ГэВ в предложенной модели. Отсюда плотность заряда (момента в дополнительном пространстве) Q ~ 10-3(1015)3 ГэВ3 = 1084

-3

фляциоипой эпохи. В следующем разделе это значение будет использовано для получения барионного числа.

Описанный в данном разделе механизм накопления сохраняющихся чисел может быть использован для объяснения явления барионной асимметрии [69;

]. Известно, что барионное число связано с глобальной и(1)-симметрией. Последняя в рассмотренной модели реализована как осевая симметрия двумерного компактного дополнительного пространства (с метрикой (1.13)). Однако требуется дополнительный механизм для переноса барионного заряда из скалярного поля в спинорное [71]. Этот механизм обсуждается в следующем разделе.

1.2 Высвобождение барионного числа

Механизм, предложенный в предыдущем разделе, существенно отличается от механизма Аффлека-Дайна [47], в котором скалярное поле с потенциалом, нарушающим барионное число, вводится в Лагранжиан вручную.

Как было показано в предыдущем разделе, [53] сама динамика метрики дополнительного пространства при высоких энергиях приводит к неизбежному накоплению заряда, который будет далее сохраняться при низких энергиях. Скалярные поля могут накапливать значительное количество этого заряда, что являться причиной наблюдаемой барионной асимметрии Вселенной.

Тем не менее эта асимметрия должна обнаруживаться в фермионах, а не в скалярном поле. В данном разделе разрабатывается механизм перехода заряда от скалярного поля к фермионам. В предложенном подходе заряд связан

с внутренним моментом импульса, который имеется как у скалярного, так и у фермионного поля. Частицы скалярного поля распадаются на фермионы и, как следствие, внутренний момент импульса переходит из скалярного поля в фермионы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Никулин Валерий Владимирович, 2023 год

Список литературы

1. Kaluza T. Zum Unitâtsproblem der Physik // Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Math. Phys.) 1921. Vol. 1921. P. 966 972. arXiv: 1803.08616 [physics.hist-ph],

2. Klein 0. The atomicity of electricity as a quantum theory law // Nature. 1926. Vol. 118, no. 2971. P. 516 516. DOI: 10.1038/118516a0.

3. Dienes K. R. String theory and the path to unification: A Review of recent developments // Phys. Rept. 1997. Vol. 287, no. 6. P. 447 525. arXiv: hep-th/9602045.

4. Nahm W. Supersymmetries and their Representations // The World in Eleven Dimensions: Supergravity, Supermembranes and M-theory. Vol. 135. 1978. P. 149. DOI: 10.1016/0550-3213(78)90218-3.

5. Randall L., Sundrum R. Large mass hierarchy from a small extra dimension // Phys. Rev. Lett. 1999. Oct. Vol. 83. P. 3370 3373. arXiv: hep-ph/9905221.

6. Blagojevic M., Hehl F. W.. eds. Gravitation and Gauge Symmetries. Institute of Physics Publishing, Bristol, 2002. 522 p.

7. Witten E. Search for a realistic Kaluza-Klein theory // Nuclear Physics B. 1981. Vol. 186, no. 3. P. 412 428. DOI: 10.1016/0550-3213(81) 90021-3.

8. Feruglio F. Extra dimensions in particle physics // The European Physical Journal C. 2004. Feb. Vol. 33, SI. sll4 sl28. DOI: 10.1140/ epjcd/s2004-03-1699-8.

9. Dienes K. R., Dudas E., GhergheUa T. Grand unification at intermediate mass scales through extra dimensions // Nucl. Phys. B. 1999. Jan. Vol. 537, no. 1 3. P. 47 108. arXiv: hep-ph/9806292.

10. Hall L., Nomura Y. Gauge unification in higher dimensions // Physical Review D. 2001. Vol. 64, no. 5. P. 055003. arXiv: hep-ph/0103125.

11. Grobov A. V., Rubin S. G. Higgs-Like Field and Extra Dimensions // International Journal of Theoretical Physics. 2013. July. Vol. 52, no. 12.

P. 4283 4292. DOI: 10.1007/sl0773-013-1742-9.

12. Hewett J., Spiropulu M. Particle Physics Probes Of Extra Spacetime Dimensions // Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 2002. Vol. 52, no. 1.

P. 397 424. arXiv: hep-ph/0205106.

13. Deutschmann N., Flacke T., Kim J. S. Current LHC constraints on minimal universal extra dimensions // Physics Letters B. 2017. Aug. Vol. 771. P. 515 520. arXiv: 1702.00410 [hep-ph],

14. Witten E. Instability of the Kaluza-Klein vacuum // Nucl. Phys. B. 1982. Vol. 195, no. 3. P. 481 492. DOI: 10.1016/0550-3213(82) 90007-4.

15. Carroll S. M. et al. Classical stabilization of homogeneous extra dimensions // Phys. Rev. D. 2002. July. Vol. 66, no. 2. P. 024036. arXiv: hep-th/0110149.

16. Rador T. Acceleration of the Universe via f(R) gravities and the stability of extra dimensions // Physical Review D. 2007. Mar. Vol. 75, no. 6. DOI: 10.1103/physrevd.75.064033.

17. Bronnikov K. A., Rubin S. G. Self-stabilization of extra dimensions // Phys. Rev. D. 2006. Vol. 73, no. 12. P. 124019. arXiv: gr-qc/0510107.

18. Starobinsky A. A. A New Type of Isotropic Cosmological Models Without Singularity // Phys. Lett. 1980. Vol. B91. P. 99 102. DOI: 10.1016/0370-2693(80)90670-X.

19. Vilenkin A. Classical and quantum cosmology of the Starobinsky inflationary model // Phys. Rev. D. 1985. Vol. 32, no. 10. P. 2511. DOI: 10.1103/PhysRevD.32.2511.

20. Akrami Y. et al. Planck 2018 results. X. Constraints on inflation // Astron. Astrophys. 2020. Vol. 641. A10. arXiv: 1807.06211 [astro-ph.CO].

21. Fabris J. C., Popov A. A., Rubin S. G. Multidimensional gravity with higher derivatives and inflation // Phys. Lett. B. 2020. Vol. 806.

P. 135458. arXiv: 1911.03695 [gr-qc].

22. De Felice A., Tsujikawa S. f(R)-Theories // Living Rev. Relat. — 2010. — June. Vol. 13, no. 1. P. 3. arXiv: 1002.4928 [gr-qc],

23. Capozziello S., de Laurentis M. Extended Theories of Gravity // Phys. Rep. 2011. Dec. Vol. 509, no. 4. P. 167 321. arXiv: 1108.6266 [gr-qc],

24. Capozziello S., De Laurentis M. The Dark Matter problem from f( R) gravity viewpoint // Annalen der Physik. 2012. Oct. Vol. 524.

P. 545 578. DOI: 10.1002/andp.201200109.

25. Bronnikov K. A., Konoplich R. V., Rubin S. G. The diversity of universes created by pure gravity // Classical Quant. Grav. 2007. Mar. Vol. 24, no. 5. P. 1261 1277. arXiv: gr-qc/0610003.

26. Carr B., Kuhnel F. Primordial black holes as dark matter candidates // SciPost Phys. Lect. Notes. 2022. Vol.48. P. 1. arXiv: 2110.02821 [astro-ph.CO],

27. Luca V. D. et al. Primordial black holes confront LIGO/Virgo data: current situation // Journal of Cosmology and Astroparticle Physics. 2020. June. Vol. 2020, no. 06. P. 044 044. DOI: 10.1088/1475-7516/ 2020/06/044.

28. Falomo R. et al. Low-redshift quasars in the Sloan Digital Sky Survey Stripe 82. The host galaxies // Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 2014. Mar. Vol. 440, no. 1. P. 476 493. arXiv: 1402.4300 [astro-ph.GA].

29. Dokuchaev V. I., Eroshenko Y. N., Rubin S. G. Origin of supermassive black holes. 2007. Sept. arXiv: 0709.0070 [astro-ph].

30. Sasaki M. et al. Primordial Black Hole Scenario for the Gravitational-Wave Event GW150914 // Phys. Rev. Lett. 2016. Vol. 117, no. 6.

P. 061101. arXiv: 1603.08338.

31. Clesse S., Garcia-Bellido J. The clustering of massive Primordial Black Holes as Dark Matter: Measuring their mass distribution with advanced LIGO // Phys. Dark Univ. 2017. Vol. 15. P. 142 147. arXiv: 1603.05234.

32. Blinnikov S. et al. Solving puzzles of GW150914 by primordial black holes // J. Cosmol. Astropart. Phys. 2016. Vol. 11. P. 036. arXiv: 1611.00541 [astro-ph. HE],

33. The LIGO Scientific Collaboration T. V. C. Search for intermediate mass black hole binaries in the first and second observing runs of the Advanced LIGO and Virgo network//Physical Review D. 2019. Sept. Vol.100, no. 6. DOI: 10.1103/physrevd. 100.064064.

34. Bird S. et al. Did LIGO Detect Dark Matter? // Phys. Rev. Lett. 2016. Vol. 116, no. 20. P. 201301. arXiv: 1603.00464.

35. Clesse S., Garcia-Bellido J. Seven hints for primordial black hole dark matter // Phys. Dark Univ. 2018. Vol. 22. P. 137 146. arXiv: 1711.10458.

36. Belotsky K. M. et al. Signatures of primordial black hole dark matter // Mod. Phys. Lett. A. 2014. Dec. Vol. 29, no. 37. P. 1440005. arXiv: 1410.0203.

37. Calcino J., Garcia-Bellido J., Davis T. M. Updating the MACHO fraction of the Milky Way dark halo with improved mass models // Mon. Not. R. Astron. Soc. 2018. arXiv: 1803.09205.

38. GarcAa-Bellido J., Clesse S. Constraints from microlensing experiments on clustered primordial black holes // Phys. Dark Univ. 2018. Vol. 19.

P. 144 148. arXiv: 1710.04694.

39. Clesse S., Garcia-Bellido J. Massive primordial black holes from hybrid inflation as dark matter and the seeds of galaxies // Phys. Rev. D. 2015. Vol. 92, no. 2. P. 023524. arXiv: 1501.07565.

40. Dokuchaev V. I., Eroshenko Y. N., Rubin S. G. Quasars formation around clusters of primordial black holes // Grav. & Cosm. 2005. June. Vol. 11. P. 99 104. arXiv: astro-ph/0412418.

41. Josan A. S., Green A. M., Malik K. A. Generalized constraints on the curvature perturbation from primordial black holes // Phys. Rev. D. 2009. Vol. 79, issue 10. P. 103520. DOI: 10.1103/PhysRevD.79.103520.

42. Carr B., Kuhnel F. Primordial black holes as dark matter: recent developments // Ann. Rev. Nucl. Part. Sri. 2020. Vol. 70. P. 355 394. arXiv: 2006.02838 [astro-ph.CO].

43. Dolgov A. D. et al. A cosmological model of the baryon island // Sov. Phys. JETP. 1988. Aug. Vol. 94. P. 1 14.

44. Yokoyama J., Suto Y. Baryon isocurvature scenario in inflationary cosmology: A particle physics model and its astrophysical implications // Astrophys. J. 1991. Vol. 379. P. 427 439. DOI: 10.1086/170519.

45. Khlopov M. Y.. Rubin S. G. Cosmological Pattern of Microphysics in the Inflationary Universe. Springer, 2004. 263 p. DOI: 10.1007/978-14020-2650-8.

46. Sakharov A. D. Violation of CP Invariance, C asymmetry, and baryon asymmetry of the universe // Pisma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1967. Vol. 5.

P. 32 35. DOI: 10.1070/PU1991v034n05ABEH002497.

47. Affleck I., Dine M. A new mechanism for baryogenesis // Nucl. Phys. B. 1985. Vol. 249, no. 2. P. 361 380. DOI: 10.1016/0550-3213(85) 90021-5.

48. Linde A. D. Particle Physics and Inflationary Cosmology. Vol. 5. Harwood Academic Publishers, Switzerland, 1990. 362 p. arXiv: hep-th/0503203.

49. Fields B. D. et al. Big-bang nucleosynthesis after Planck // Journal of Cosmology and Astroparticle Physics. 2020. Mar. No. 3. P. 010. arXiv: 1912.01132 [astro-ph.CO].

50. Conselice C. J. et al. The evolution of galaxy number density at z< 8 and its implications // Astrophys. J. 2016. Vol. 830, no. 2. P. 83. DOI: 10.3847/0004-637x/830/2/83.

51. Bronnikov K. A., Rubin S. G. Local regions with expanding extra dimensions // Physics. 2021. Vol. 3, no. 3. P. 781 789. arXiv: 2107.13893 [gr-qc],

52. Gogberashvili M., Midodashvili P., Singleton D. Fermion generations from "apple-shaped" extra dimensions // Journal of High Energy Physics. 2007. Aug. Vol. 2007, no. 08. P. 033 033. arXiv: 0706.0676 [hep-th].

53. Rubin S. G., Troisi A. Formation of conserved charges and deformed extra space // Int. J. Mod. Phys. D. 2018. Vol. 27, no. 06. P. 1841007. DOI: 10.1142/S0218271818410079.

54. Shaposh.nikov M., Tinyakov P. Extra dimensions as an alternative to Higgs mechanism? // Physics Letters B. 2001. Vol. 515, no. 3/4.

P. 442 446. arXiv: hep-th/0102161 [hep-th],

55. Dvali G., Randjbar-Daemi S., Tabbash. R. Origin of spontaneous symmetry breaking in theories with large extra dimensions // Physical Review D. 2002. Vol. 65, no. 6. P. 064021. arXiv: hep-ph/0102307 [hep-th].

56. Kirillov A. A., Korotkevich A. A., Rubin S. G. Emergence of symmetries // Physics Letters B. 2012. Dec. Vol. 718. P. 237 240. arXiv: 1205.1108 [gr-qc],

57. Wheeler J. .4. Geons // Phys. Rev. 1955. Vol. 97, no. 2. P. 511 536. DOI: 10.1103/PhysRev.97.511.

58. Popov A. A., Rubin S. G. Evolution of sub-spaces at high and low energies // Eur. Phys. J. 2019. Vol. C79, no. 11. P. 892. arXiv: 1907.05759 [gr-qc].

59. Cianfrani F., Marrocco A., Montani G. Gauge theories as a geometrical issue of a Kaluza Klein framework // International Journal of Modern Physics D. 2005. Vol. 14, no. 07. P. 1195 1231. arXiv: gr-qc/0508126.

60. Berry C. P. L., Gair J. R. Linearized f(R)-Gravity: Gravitational Radiation and Solar System Tests // Phys. Rev. D. 2011. Vol. 83, no. 10.

P. 104022. arXiv: 1104.0819 [gr-qc],

61. Abbott R. B., Barr S. M., Ellis S. D. Kaluza-Klein Cosmologies and Inflation // Phys. Rev. D. 1984. Vol. D30. P. 720. DOI: 10.1103/PhysRevD.30.720.

62. Nasri S. et al. Radion stabilization in compact hyperbolic extra dimensions // Phys. Rev. D. 2002. Vol. 66, no. 4. P. 045029. arXiv: hep-th/0201063.

63. Overduin J. M., Wesson P. S. Kaluza-klein gravity // Physics Reports. 1997. Vol. 283, no. 5/6. P. 303 378. arXiv: gr-qc/9805018 [gr-qc].

64. Krasnov K.. Percacci R. Gravity and unification: a review // Classical and Quantum Gravity. 2018. Vol. 35, no. 14. P. 143001. arXiv: 1712.03061 [hep-th],

65. Gani V. A., Dmit/riev A. E., Rubin S. G. Two-dimensional manifold with point-like defects // Physics Procedia. 2015. Vol. 74. P. 32 35. arXiv: 1511.01869 [gr-qc].

66. Bronnikov K. A. et al. Inhomogeneous compact extra dimensions // Journal of Cosmology and Astroparticle Physics. 2017. Oct. Vol. 10.

P. 001. arXiv: 1707.00302 [gr-qc],

67. Rubin S. G. Cosmology and Matter-Induced Branes // Symmetry. 2020. Vol. 12, no. 1. P. 45. arXiv: gr-qc/1911.13228.

68. Sarkar U. Particle and Astroparticle physics. CRC Press, 2007.

69. Khlopov M. Y. Composite Dark Matter from 4-th Generation // Pisma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 2006. Vol. 83. P. 3 6. arXiv: astro-ph/0511796.

70. Dolgov A. D., Kawasaki M., Kevlishvili N. Inhomogeneous baryogenesis, cosmic antimatter, and dark matter // Nucl. Phys. B. 2009. Vol. 807.

P. 229 250. arXiv: 0806.2986 [hep-ph],

71. Dolgov A., Silk J. Baryon isocurvature fluctuations at small scales and bary-onic dark matter // Phys. Rev. D. 1993. Vol. 47. P. 4244 4255. DOI: 10.1103/PhysRevD.47.4244.

72. Bronnikov K. A., Popov A. A., Rubin S. G. Inhomogeneous compact extra dimensions and de Sitter cosmology // Eur. Phys. J. C. 2020. Oct. Vol. 80, no. 10. P. 970. arXiv: 2004.03277 [gr-qc],

73. Rubin S. G. Inhomogeneous extra space as a tool for the top-down approach // Adv.High Energy Phys. 2018 (2018) 2767410. 2018. Sept. Vol. 2018. P. 2767410 2767418. arXiv: 1609.07361 [gr-qc],

74. Gani V. A., Dmitriev A. E.. Rubin S. G. Deformed compact extra space as dark matter candidate // Int. J. Mod. Phys. 2015. Vol. D24.

P. 1545001. arXiv: 1411.4828 [gr-qc],

75. Banerjee R. Gauge theories on sphere and Killing vectors // Annals of Physics. 2004. Vol. 311, no. 1. P. 245 264. arXiv: hep-th/0307296 [hep-th].

76. Neronov A. Fermion masses and quantum numbers from extra dimensions // Physical Review D. 2002. Vol. 65, no. 4. P. 044004. arXiv: gr-qc/0106092 [gr-qc].

77. Zeldovich Y. B., Novikov I. D. The Hypothesis of Cores Retarded during Expansion and the Hot Cosmological Model // Sov. Astron. J. 1967. Feb. Vol. 10. P. 602 603.

78. Hawking S. Gravitationally collapsed objects of very low mass // Mon. Not. R. Astron. Soc. 1971. Vol. 152. P. 75. DOI: 10.1093/mnras/ 152.1.75.

79. Carr B. J., Hawking S. W. Black holes in the early Universe // Mon. Not. R. Astron. Soc. 1974. Vol. 168. P. 399 415. DOI: 10.1093/ mnras/168.2.399.

80. Chapline G. F. Cosmological effects of primordial black holes // Nature. 1975. Vol. 253, no. 5489. P. 251 252. DOI: 10.1038/253251a0.

81. Carr B. J. The primordial black hole mass spectrum // Astrophys. J. 1975. Vol. 201. P. 1 19. DOI: 10.1086/153853.

82. Khlopov M. Y., Polnarev A. G. Primordial black holes as a cosmological test of grand unification // Phys. Lett. B. 1980. Vol. 97. P. 383 387. DOI: 10.1016/0370-2693(80)90624-3.

83. ZabotAn N. A., Naselskii P. D., Polnarev A. G. High-Amplitude Peaks of Density Disturbances and the Formation of Primordial Black-Holes in the Dust like Universe // Sov. Astronomy. 1987. Vol. 31. P. 353.

84. Kalash.nikov 0. K., Khlopov M. Y. On the possibility of a test of the cosmology of asymptotically free SU(5) theory // Phys. Lett. B. 1983. Vol. 127. P. 407 412. DOI: 10.1016/0370-2693(83)90281-2.

85. Kadnikov A. F., Maslyankin V. I., Khlopov M. Y. Modeling of the evolution of quasistellar systems of particles and antiparticles in the early universe // Astrophysics. 1989. Vol. 31. P. 523 531. DOI: 10.1007/ BF01004401.

86. Dolgov A. D. Massive and supermassive black holes in the contemporary and early Universe and problems in cosmology and astrophysics // Phys. Usp. 2018. Vol. 61. P. 115. arXiv: 1705.06859.

87. Berezin V. A., Kuzmin V. A., Tkachev I. I. Thin-wall vacuum domain evolution // Phys. Lett. B. 1983. Vol. 120. P. 91 96. DOI: 10.1016/0370-2693(83)90630-5.

88. Konoplich R. V. et al. Formation of black holes in first-order phase transitions as a cosmological test of symmetry-breaking mechanisms // Phys. of Atom. Nucl. 1999. Sept. Vol. 62. P. 1593 1600. arXiv: hep-ph/9807343.

89. Rubin S. G., Khlopov M. Y., Sakh.arov A. S. Primordial Black Holes from Non-Equilibrium Second Order Phase Transition // Grav. Cosmol. S. 2000. June. Vol. 6. P. 51 58. arXiv: hep-ph/0005271.

90. Rubin S. G., Sakh.arov A. S., Khlopov M. Y. The formation of primary galactic nuclei during phase transitions in the early universe // J. Exp. Theor. Phys. 2001. Vol. 92, no. 6. P. 921 929. arXiv: hep-ph/0106187.

91. Khlopov M. Y., Rubin S. G., Sakh.arov A. S. Strong primordial inhomo-geneities and galaxy formation // Grav. & Cosm. 2002. Vol. 8.

P. 57 65. arXiv: astro-ph/0202505.

92. Dokuchaev V. I. et al. Mechanism for the suppression of intermediate-mass black holes // Sov. Astron. Lett. 2010. Nov. Vol. 36, no. 11.

P. 773 779. arXiv: astro-ph.CO/lOlO.5325 [astro-ph.CO].

93. Gani V. A., Kirillov A. A., Rubin S. G. Transitions between topologically non-trivial configurations // J. Phys. Conf. Ser. 2017. Vol. 934.

P. 012046. arXiv: 1711.07700 [hep-th],

94. Gani V. A., Kirillov A. A., Rubin S. G. Classical transitions with the topological number changing in the early Universe // J. Cosmol. Astropart. Phys. 2018. Vol.4. P. 042. arXiv: 1704.03688 [hep-th].

95. Lyakhova Y.. Popov A. A., Rubin S. G. Classical evolution of subspaces // The European Physical Journal C. 2018. Vol. 78, no. 9. P. 1 13. arXiv: 1807.06235 [gr-qc],

96. Capozziello S., Martin-Moruno P., Rubano C. Physical non-equivalence of the Jordan and Einstein frames // Phys. Lett. B. 2010. Vol. 689, no. 4. P. 117 121. arXiv: 1003.5394 [gr-qc],

97. Vilenkin A., Shellard E. P. S. Cosmic strings and other topological defects. Cambridge University Press, 1994.

98. Domenech G., Sasaki M. Conformal frame dependence of inflation // Journal of Cosmology and Astroparticle Physics. 2015. Apr. Vol. 2015, no. 04. P. 022 022. DOI: 10.1088/1475-7516/2015/04/022.

99. Lazarides G. Inflationary cosmology //. T. 592 / под ред. S. Cotsakis, E. Papantonopoulos. 2002. C. 351 391. arXiv: hep-ph/0111328.

100. Carr B. et al. Primordial Black Hole Formation During Slow Reheating After Inflation // Phys. Rev. D. 2018. Vol. 97, no. 12. P. 123535. arXiv: 1804.08639 [astro-ph.CO].

101. Hailey C. J. et al. A density cusp of quiescent X-ray binaries in the central par-sec of the Galaxy // Nature. 2018. Vol. 556, no. 7699. P. 70 73. DOI: 10.1038/nature25029.

102. Khlopov M. Y. et al. Phase Transitions as a Source of Black Holes // Grav. Cosmol. 2000. Vol. 6, no. 3. P. 153 156. arXiv: hep-ph/9912422.

103. Starobinsky A. A. Relict gravitation radiation spectrum and initial state of the universe // JETP lett. 1979. Vol. 30, no. 682 685. P. 131 132.

104. Linde A. Scalar field fluctuations in the expanding universe and the new inflationary universe scenario // Phys. Lett. B. 1982. Vol. 116, no. 5. P. 335 339. DOI: 10.1016/0370-2693(82)90293-3.

105. Vilenkin A., Ford L. H. Gravitational effects upon cosmological phase transitions // Phys. Rev. D. 1982. Vol. 26, no. 6. P. 1231. DOI: 10.1103/PhysRevD.26.1231.

106. Starobinsky A. A. Dynamics of phase transition in the new inflationary universe scenario and generation of perturbations // Phys. Lett. B. 1982. Vol. 117, no. 3/4. P. 175 178. DOI: 10.1016/0370-2693(82)90541-X.

107. Hardwick R. J. et al. The stochastic spectator // J. Cosmol. Astropart. Phys. 2017. Vol. 10. P. 018. arXiv: 1701.06473.

108. Deng H., Vilenkin A. Primordial black hole formation by vacuum bubbles // J. Cosmol. Astropart. Phys. 2017. Vol. 12. P. 044. arXiv: 1710.02865 [gr-qc],

109. Deng H., Garriga J., Vilenkin A. Primordial black hole and wormhole formation by domain walls // J. Cosmol. Astropart. Phys. 2017. Vol. 4.

P. 050. arXiv: 1612.03753 [gr-qc],

110. Bernal A., Guzman F. S. Scalar field dark matter: Nonspherical collapse and late-time behavior // Phys. Rev. D. 2006. Vol. 74, no. 6.

P. 063504. arXiv: astro-ph/0608523.

111. Bantilan H. et al. Nonspherically Symmetric Collapse in Asymptotically AdS Spacetimes // Phys. Rev. Lett. 2017. Vol. 119, no. 19. P. 191103. arXiv: 1706.04199 [hep-th],

112. Garriga J., Vilenkin A., Zhang J. Black holes and the multiverse // J. Cosmol. Astropart. Phys. 2016. Feb. Vol. 2, no. 02. P. 064. arXiv: 1512.01819 [hep-th].

113. Adams F. C. et al. Natural inflation: Particle physics models, power-law spectra for large-scale structure, and constraints from the Cosmic Background Explorer // Phys. Rev. D. 1993. Vol. 47. P. 426 455. arXiv: hep-ph/9207245.

114. Dolgov A. et al. Baryogenesis during reheating in natural inflation and comments on spontaneous baryogenesis // Phys. Rev. D. 1997. Nov. Vol. 56. P. 6155 6165. arXiv: hep-ph/9610405.

115. Rajaraman R. Solitons And Instantons. An Introduction To Solitons And Instantons In Quantum Field Theory. North-Holland Publishing Company, 1982.

116. Yokoyama J. Chaotic new inflation and formation of primordial black holes // Phys. Rev. D. 1998. Vol. 58, no. 8. P. 083510. arXiv: astro-ph/9802357.

117. Jiang L. et al. The Final SDSS High-Redshift Quasar Sample of 52 Quasars at z>5.7 // Astrophys. J. — 2016. — Vol. 833, no. 2. — P. 222. — arXiv: 1610.05369 [astro-ph.GA].

118. Bolokhov S. V., Bronnikov K. A., Rubin S. G. Extra dimensions as a source of the electroweak model // Phys. Rev. D. 2011. Aug. Vol. 84, no. 4. P. 044015. arXiv: 1011.2828 [hep-ph],

119. Rubakov V. A. Large and infinite extra dimensions: An Introduction // Phys. Usp. 2001. Vol. 44, no. 9. P. 871 893. arXiv: hep-ph/0104152.

120. Ganguly N., Datta A. Exploring non minimal Universal Extra Dimensional Model at the LHC // ArXiv e-prints. 2018. Aug. arXiv: 1808.08801 [hep-ph].

121. Martin J., Ringeval C., Vennin V. Encyclopaedia inflationaris // Physics of the Dark Universe. 2014. Vol. 5. P. 75 235. arXiv: 1303.3787.

122. Damour T., Mukhanov V. F. Inflation without slow roll // Physical review letters. 1998. Vol. 80, no. 16. P. 3440. arXiv: gr-qc/9712061.

123. Linde A. Fast-roll inflation // Journal of High Energy Physics. 2001. Vol. 2001, no. 11. P. 052. arXiv: hep-th/0110195.

124. Freund P. G. 0., Rubin M. A. Dynamics of dimensional reduction // Physics Letters B. 1980. Dec. Vol. 97. P. 233 235. DOI: 10.1016/ 0370-2693(80)90590-0.

125. Giinther U., Moniz P., Zh.uk A. Nonlinear multidimensional cosmological models with form fields: Stabilization of extra dimensions and the cosmological constant problem // Phys. Rev. D. 2003. Aug. Vol. 68, no. 4. P. 044010. arXiv: hep-th/0303023.

126. Saidov T., Zhuk A. A nonlinear multidimensional gravitational model R + R-1 with form fields and stabilized extra dimensions // Astronomical and Astrophysical Transactions. 2006. Oct. Vol. 25. P. 447 453. DOI: 10.1080/10556790601119509.

127. Bolokh.ov S. V., Bronnikov K. A. On Cosmology in Nonlinear Multidimensional Gravity with Multiple Factor Spaces // Gravitation and Cosmology. 2018. Apr. Vol.24. P. 154 160. arXiv: 1803.04904 [gr-qc].

128. Rubin S. G. Interpenetrating subspaces as a funnel to extra space // Physics Letters B. 2016. Aug. Vol. 759. P. 622 625. arXiv: 1603. 03880 [gr-qc],

129. Riotto A. Inflation and the theory of cosmological perturbations. 2002. arXiv: hep-ph/0210162.

130. Servant G., Tail T. M. P. Is the lightest Kaluza-Klein particle a viable dark matter candidate? // Nucl. Phys. B. 2003. Feb. Vol. 650.

P. 391 419. arXiv: hep-ph/0206071.

131. Cheng H.-C., Feng J. L.. Matchev K. T. Kaluza-Klein dark matter // Physical review letters. 2002. Vol. 89, no. 21. P. 211301. arXiv: hep-ph/0207125.

132. Abrikosov Jr A. A. Fermion states on the sphere S2 // International Journal of Modern Physics A. 2002. Vol. 17, 06n07. P. 885 889. arXiv: hep-th/0111084 [hep-th],

133. Camporesi R., Higuchi A. On the eigenfunctions of the Dirac operator on spheres and real hyperbolic spaces // Journal of Geometry and Physics. 1996. Vol. 20, no. 1. P. 1 18. arXiv: gr-qc/9505009 [gr-qc],

134. KokaAo A., Saito T. A solvable model for fermion masses on a warped 6D world with the extra 2D sphere // International Journal of Modern Physics A. 2015. Vol. 30, no. 09. P. 1550041. arXiv: 1409.4517 [hep-th].

Приложение А

КК-разложение фермионного поля

Запишем 6-мерное уравнение Дирака:

^вАГ^УвФ = 0 , Н.с. — 0 .

(А.1)

Здесь Ф - восьмикомионентный спинор, а плоские гамма-матрицы выбраны в виде

Л/ П П _1 П П

(А.2)

Для пространства, которое является прямым произведением М4 х X можно выбрать координаты таким образом что индексы 4-мерной и многомерной части метрики и тетрады разделяются:

Yv 0 0 —1 0 г

Г V — , Г 0 — , Г ф —

0 —Yv 1 0 0

^ту — 0

Щ1 — Л,/ — 0.

(А.з)

Это сильно упрощает форму символов Кристоффеля и спиновую связность

ра _ ра. _ г>

Г 'ту Г тп 0 ,

ра _ ра

Г Г ту

/V — ^с

ту

^^ат V — ^^ат. П — 0

'ат п

(А.4)

Таким образом, уравнение Дирака полностью разделяется:

ШвА ГАУ в Ф — гЬЦ Гц УvФ + ^т Гт УпФ — 0.

(А.5)

Второй член в (А.5) действует как массовый оператор эффективных 4-мерных полей. Теперь разложим 6-мерное фермионное поле по полной ортогональной системе функций дополнительных координат Ф(х,у) — YlФj(x)Yj(0,ф):

У^^ЦГцууф зЪз + ^ у^тГ ^п i л>^т^паъГ Г Г I ф 3=1 з=1 4

Ж Гт<9п + ^т ШпаъГтГ5ГЧ Ъ Ф, — 0 . (А.6)

Полная система функций {У^} — это собственные функции оператора, заключенного в скобки в (А.6). Эти собственные функции соответствуют состояниям с определенной массой [7]. Можно показать, что произведение Г^ГмГ^ имеет диагональную структуру для 4-мерных индексов и антидиагональную для индексов дополнительного пространства:

Таблица 1 Блочная структура гамма-матриц и их произведений для 4 • 2 измерений

м Г м АМЖ Г ^Г ^ Г ^

4 х 4 0 4 х 4 0

а ар,V

0 4 х 4 0 4 х 4

0 4 х 4 0 4 х 4

т ат п

4 х 4 0 4 х 4 0

Таким образом, происходит разделение верхних и нижних 4-компонент спинора Ф^ (ж) = {ф^ (х),^ (ж)}. При этом второе слагаемое в ( ) играет роль массового члена, смешивающего 4-спипоры ф^(х),^(ж):

0

0

ф, + 0 м,

Л: Щ 0

= 0, -у^Ьеге

(

К- Г™з + -Ка~ ш Г™Гаг° 1 у =

¿КтоГ ип + 4шпйЪГ Г Г I =

о Щ

Щ 0

^.

(А. 7)

Нас интересует поиск безмассовых мод с ненулевым угловым моментом. Существует теорема [ ; ] о том, что на сфере Б2 не существует нулевых фермионных мод. Тем не менее существуют способы нарушить эту теорему, используя экзотическую геометрию (например, используя особые граничные условия [134]). Здесь кратко суммируется подход, основанный на метрике дополнительного пространства с избытком угла [52]. Чтобы найти безмассовые моды Уд, нужно решить уравнение ( ) с нулевой правой частью:

^hl Г *дп + 4h- ш^Г - Гй Г ^ Ус = 0 . (А.8)

Чтобы получить аналитическое решение приведенного выше уравнения, необходимо разложить Уо(6,ф) по полной ортогональной системе функций вдоль полярной координаты Y0(6,ф) = ^ ег1 фY0l(6). В итоге, для яблочной метрики (1.29) получаем два уравнения на (6) (из верхнего (-) и нижнего (+) блоков гамма матриц соответственно):

Y0- ((bsin 6 + 1)(вб sin6 + cos 6) - 21 /b) + 2 sin 6 Y0-' = 0 ,

Y0+ ((b sin 6 + 1)(Pe sin 6 + cos 6) + 21 /b) + 2 sin 6 Y+' = 0 . (A.9)

Аналитическое решение (A.9) методом разделения переменных даёт:

Y ± = с е-1 /ое Pe' (bsin e'+i)de'

tg±l/b(6/2) . л/sin 6

Рассмотрим недеформированную метрику в = 0 с избытком угла Ь. Тогда оказывается, что скалярный квадрат собственной функции для безмассовых мод lo конечен лишь при определённых I:

(Yo|Yo) =J |Yo|26sin6(16(1ф =

/2 1

(|Y+12 + IY-|2) 2nbsin6d6 < ro , for - 1 < — < 1. (A.11)

Здесь видно, что при 6=1, существует только одна безмассовая мода I = 0 (что интуитивно понятно). Если же пространство обладает избытком угла, например b = 3, возникает расщепление и уже 3 моды I = -1,0,1 конечны и могут давать вклад.

Если же метрика дополнительного пространства деформирована в = 0, то в условии ( ) возникает коэффициент С [в], являющийся функцией геометрии дополнительного пространства:

2

-1 < С[в]у < 1. (А.12)

Из этого следует, что можно добиться эффекта расщепления даже не вводя глобального параметра геометрии &= 1, используя только коэффициент С [в]-

Приложение Б

Соответствие сохраняющихся величин

Покажем, что геометрическая симметрия многомерного поля, выглядят с точки зрения 4-мерного наблюдателя как некоторая внутренняя симметрия полей эффективного 4-мерного лагранжиана. Это проявляется в соответствии токов, сохраняющихся благодаря данным симметриям.

Геометрическая симметрия — это инвариантность метрики относительно инфинитезимальных преобразований координат: Х'А = Хд + ) £«5 где Е,гл (Х) — векторные толя Киллинга и е ^ 0. Теорема Нётер приводит к общей формуле для токов, сохраняющихся благодаря геометрической симметрии (далее называемых «геометрическими токами»):

ВС

^ = - 1+С , у*еге Тг = фА . (Б.1)

о (^лф)

Например, подставляя трансляционные векторы Кил линга для пространства Мин конского получим тензор энергии-импульса, а подставляя вращательные получим тензор углового момента.

В случае внутренней (изотопической) симметрии, лагранжиан инвариантен относительно инфинитезимальных преобразований поля: ф^ = фп + (ti)тФт е\ где — генераторы группы внутренней симметрии, фп — по-

левой мультиплет, преобразующийся по представлению этой группы, ег ^ 0. Общая формула для токов, сохраняющихся благодаря этой симметрии (далее именуемых «зарядовыми токами»):

ВГ

Например, подставляя генераторы для группы 811(3) и триплетов кварков, можно получить цветные заряженные токи.

Цель этого приложения состоит ь том, чтобы связать (Б.2) и (Б.1). Из теоремы Нётер следует, что ток ( ) удовлетворяет условию V aJA = 0. Проинтегрируем его по дополнительному пространству и разделим его 4-мерную часть и часть связанную с доп. измерением:

0 = У VW\ddy = J (Vaja + VaJT) у/Щ &У =

= Va (У Jfv^V) + J да (jf vTM) ddy = VaJ?, (Б.З)

где сделано переименование f j?^/\k\ddy = j?. Таким образ ом, j? представляет собой 4-мерный сохраняющийся ток, поскольку V= 0. Здесь используется предположение, что многомерное пространство M = М4 х К является прямым произведением 4-мерного пространства М4 с метрикой gaр и компактного дополнительного пространства К с метрикой каь. Следовательно,

Рассмотрим только ту часть симметрий (и, соответственно, векторов Киллинга), которая соответствует дополнительным измерениям E,f = (0, Ef). Согласно (Б.1), напишем:

3? = i J*VW\ddy = i =

д (д?ф)

дС С дС

дЩ^^"VWl d"y = J Щдф) Y„f,Ymr<VW\ d"y =

д(дКфп) \J ddv)-r д(даф„)

дС>)У *у)фт=& • (б-4)

где (U)™ = f YnTYm\/\kk\ ddу, и используется соотношение для эффективного 4-мерного лагранжиана

д Цх, у)

5 (д?фпУп)

д (д?фтУт)

упуп ^¿у

д(дафтУт) У '' д Цх,у ) д (дафтУт)

д (дафтУт) д (д?фп)

УплДЦ^У

д £(х,у)

] д (д?фп) д (/ А

д

4

УП д(дафп)

У

-*- Г)

(Б.5)

д (д?фп)

где в (Б.5) использовано свойство полноты системы собственных функций:

Уп(у)Уп(у) _ Ь(у - у).

Таким образом, для 4-мерного наблюдателя, геометрические токи полей многомерного лагранжиана, текущие в дополнительном пространстве, выглядят как зарядовые токи полей эффективного 4-мерного лагранжиана:

_ 0,

д

зА _ - 1ААс

д (дАф)

Тг _ ^А _(о#)

А

(Б.6)

> V«.?? _ 0,

д

■а _ д(, )п фт

31 _ д(0афп) г)тф ,

(* г)! _ [ УпТУтуДЩ^У

(Б.7)

Поэтому сохраняются соответствующие эффективные 4-мерные числа в сопутствующем объеме:

Яг _ _ сошt.

(Б.!