Линейный и квадратичный оптический отклик периодических квантовых ям тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.21, кандидат физико-математических наук Авраменко, Владимир Григорьевич

• Авраменко, Владимир Григорьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Авраменко, Владимир Григорьевич

Введение

Глава I

Обзор методов расчета оптического отклика периодических квантовых ям

1. Отклик квантовой ямы на заданное поле иакачки.

1.1. Эффекты размерного квантования.

1.2. Тензоры нелокальной проводимости.

2. Распространение оптического излучения в слоистых средах.

2.1. Метод матриц распространения.

2.2. Интегральное уравнение для локального поля.

3. Феноменологическое описание нелокального оптического отклика.

3.1. Параметризация линейного отклика.

3.2. Параметризация квадратичного отклика.

Глава II

Квантовомеханический расчет линейной и квадратичной нелокальной проводимости квантовой ямы

1. Постановка задачи и описание используемых приближений.

1.1. Решаемые задачи.

1.2. Используемые приближения.

2. Эффекты размерного квантования в сверхтопких полупроводниковых квантовых ямах.

2.1. Приграиичпое возмущение потенциала.

2.2. Непрямозонный закон дисперсии.

2.3. Сравнение микроскопических моделей.

3. Тензор линейной нелокальной проводимости.

3.1. Общие свойства тензоров проводимости.

3.2. Впутризонпые электронные переходы.

3.3. Межзонпые электронные переходы.

4. Тензор квадратичной нелокальной проводимости.

4.1. Виутризонные электронные переходы.

4.2. Межзонные электронные переходы.

Глава III

Матричный метод описания распространения оптического излучения в периодических квантовых ямах с квадратичной нелинейностью

1. Постановка задачи н описание используемых приближений.

1.1. Решаемые задачи.

1.2. Используемые приближения.

2. Распространение поля на частоте излучения накачки.

2.1. Квантовая яма в эффективном поле окружения.

2.2. Обобщенная матрица распространения.

2.3. Сравнение с другими методами.

3. Распространение поля на частоте второй гармоники.

3.1. Обобщенный вектор нелинейных источников.

3.2. Квадратичный отклик периодических квантовых ям.

4. Генерация оптической второй гармоники периодическими квантовыми ямами — БЮг.

4.1. Характеристика образцов и методов их исследования.

4.2. Результаты аппроксимации и их обсуждение.

Глава IV

Феноменологическое описание оптического отклика периодических квантовых ям

1. Постановка задачи и описание используемых приближений.

1.1. Решаемые задачи.

1.2. Используемые приближения.

2. Параметризация обобщенной матрицы распространения.

2.1. Разложение обобщенной матрицы распространения.

2.2. в-поляризованное излучение накачки.

2.3. р-поляризованное излучение накачки.

3. Феноменологическое описание линейного оптического отклика периодических квантовых ям.

3.1. Параметризация линейного отклика.

3.2. Определение параметров по спектрам коэффициента линейного отражения.

3.3. Численные оценки параметров.

4. Параметризация обобщенного вектора нелинейных источников

4.1. Разложение обобщенного вектора нелинейных источников

4.2. Геометрия отклика ¿(т) — р{оиЬ).

4.3. Геометрия отклика тгхей(т) — ¿(ог^).

4.4. Геометрия отклика р(гп) — р(оЫ).

5. Феноменологическое описание квадратичного нелинейно-оптического отклика периодических квантовых им.

5.1. Параметризация квадратичного отклика.

5.2. Определение параметров по спектрам коэффициента нелинейного отражении.

5.3. Численные оценки параметров.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Линейный и квадратичный оптический отклик периодических квантовых ям»

Диссертационная работа посвящена теоретическому исследованию взаимодействия лазерного излучения с периодическими квантовыми ямами (ПКЯ) — слоистыми наноструктурами (сверхрешетками), в которых квантовые ямы разделены барьерными слоями из материала с широкой запрещенной зоной, что позволяет пренебречь перекрытием волновых функций электронов в соседпнх квантовых ямах. В работе изучается как линейный, так и квадратичный оптический отклик этих структур.

Актуальность такого исследования обусловлена, в первую очередь, необходимостью разработки теоретических методов и моделей для объяснения экспериментальных результатов, полученных за последнее десятилетие в ходе исследований генерации оптической второй гармоники в ПКЯ, в частности, в ПКЯ-структурах — ЭЮг- Технология изготовления последних позволяет получать структуры с несколькими десятками периодов и сверхтонкими квантовыми ямами (слоями аморфного кремния), парциальная толщина которых достигает субнапометровых значений — при сохранении однородности структуры вдоль слоев. Нелинейно-оптические методы, основанные на использовании генерации второй гармоники, обладают высокой чувствительностью к наличию в исследуемых объектах границ раздела и других неоднородностей с характерными пространственными масштабами, лежащими в ианометровом и субнапометровом диапазонах. Для исследования ПКЯ-структур со сверхтопкими квантовыми ямами были успешно использованы такие высокоэффективные методы, как спектроскопия и интерферометрическая спектроскопия генерации второй гармоники. В рамках существующих теоретических моделей адекватная интерпретация получепных экспериментальных данных либо затруднена, либо невозможна вообще в силу, по крайней мере, двух обстоятельств. Во-первых, в субнапометровом диапазоне толщин размерный эффект в резонансном квадратичном отклике ПКЯ, наблюдаемый в эксперименте, обнаруживает существенное отличие от теоретического результата, получаемого в рамках простейшей микроскопической модели (которая, в то же время, вполне удовлетворительно описывает соответствующий размерный эффект в ианометровом диапазоне толщин). Во-вторых, при расчете электромагнитного поля, распространяющегося в ПКЯ-структуре на частотах накачки и второй гармоники, требуется корректный учет существенной нелокальности оптического отклика квантовых ям в направлении, перпендикулярном границам раздела. Отмеченные обстоятельства делают актуальным рассмотрение соответственно микроскопического аспекта проблемы (квантовомеханический расчет линейной и квадратичной нелокальной проводимости сверхтонкой квантовой ямы) и ее макроскопического аспекта (электродинамический расчет распространения излучения в слоистой среде с сильной иелокалыюстыо в направлении, перпендикулярном к слоям). Наконец, в контексте интерпретации экспериментальных данных актуальным является и феноменологический аспект — определение набора параметров, которые характеризуют отклик системы на макроскопическом уровне, могут быть найдены из количественного анализа экспериментальных зависимостей и сохраняют свой физический смысл (в качестве феноменологических параметров) и за пределами применимости использованных микроскопических моделей.

Таким образом, являясь целью диссертационной работы, теоретическое изучение генерации второй гармоники при распространении света в периодических квантовых ямах состоит в рассмотрении следующих вопросов: квантовомеханическая задача о расчете резонансного вклада в тензоры линейной и квадратичной нелокальной проводимости при учете дополнительных физических факторов, влияющих на размерное квантование поперечного движения электронов в сверхтонких квантовых ямах; электродинамическая задача о распространении излучения на частотах накачки и второй гармоники в слоистой среде с существенной нелокаль-постыо линейного и квадратичного отклика слоев в направлении, перпендикулярном границам раздела. параметризация квадратичного отклика ПКЯ-структуры — определение совокупности эффективных параметров, которые могут быть найдены из количественного анализа экспериментальных данных и которые сохраняют свой физический смысл в качестве феноменологических характеристик отклика и вне рамок использованных микроскопических моделей.

Апробация результатов работы

Основные результаты диссертационной работы отражены в публикациях в специализированных ведущих научных журналах: "Вестник МГУ. Серия 3. Физика. Астрономия", "Applied Physics В", "Journal of Optical Society of America B", "Physical Review В", и докладывались па международных конференциях: "Nonlinear Optics at Interfaces" (Наймегеп, Голландия, 2001), "International Conference on Coherent and Nonlinear Optics" (Санкт-Петербург, 2005), "Week of Docto-rial Students" (Прага, Чехия, 2005), а также семинарах кафедры квантовой электропики физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. По материалам диссертации опубликовано 8 печатных работ (6 статей [16,21,69,73,74,75] и 2 тезиса доклада).

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, трех приложений и списка цитируемой литературы. Объем работы составляет 124 страницы, включая 17 рисунков. Список цитируемой литературы содержит 83 наименования, включая 6 авторских публикаций.

Заключение диссертации по теме «Лазерная физика», Авраменко, Владимир Григорьевич

Основные результаты Главы IV можно сформулировать следующим образом:

1. С точностью до членов, квадратичных по тангенциальной компоненте волнового вектора, включительно, величины, которые определяют распространение излучения в ПКЯ-структурах с квадратичной нелинейностью (обобщенная матрица распространения и вектор нелинейного отклика), выражены через набор эффективных параметров, которые связывают моменты поляризации внутри отдельной КЯ с компонентами локального поля на ее границах. Показано, что значения этих параметров могут быть найдены из угловых зависимостей коэффициентов линейного и квадратичного отражения от ПКЯ-структур.

2. Эффективные параметры рассчитаны с использованием найденных в резонансном приближении тензоров линейной и квадратичной проводимости квантовых ям. Для различных комбинаций поляризации излучения накачки и второй гармоники выделены группы параметров, определяющих отклик ПКЯ-структуры в наибольшей степени. Показано, что линейный отклик ПКЯ-структуры на ¿-поляризованное излучение имеет нерезонансный характер, а резонансный отклик на р-поляризоваипое излучение определяется одним (комплексным) параметром. Квадратичный отклик

ПКЯ-структуры в геометрии р(т)—р(оиЬ) определяется двумя (комплексными) параметрами, а в геометриях ¿(гп) — р(оиЬ) и т1хе<1(т) — з(оиЬ) -одним (комплексным) параметром.

3. Показано, что в мультиполыюм разложении тензоров проводимости по степеням компоненты волнового вектора, тангенциальной к границам раздела, члены первого порядка вносят вклад лишь в резонансный квадратичный отклик, отсутствуя в резонансной составляющей линейного отклика.

Заключение

1. Предложены две микроскопические модели, которые раздельно учитывают факторы, влияющие па зависимость ширины запрещенной зоны в полупроводниковых слоях от их толщины и, как следствие, на размерный эффект в оптическом отклике ПКЯ: (а) возмущение кристаллического потенциала вблизи границ раздела и (б) непрямозонный характер закона дисперсии для электронных состояний в объеме полупроводника. Показано, что обе модели способны удовлетворительно описать размерный эффект, наблюдавшийся в экспериментах по генерации второй гармоники ПКЯ-структурамн — ЭЮг в субнанометровом диапазоне толщин слоев кремния.

2. В резонансном приближении рассчитаны тензоры линейной и квадратичной нелокальной проводимости квантовых ям для двух случаев: (а) когда резонансная пара размерно-квантованных уровней электронной энергии лежит в зоне проводимости и (б) когда уровни из резонансной пары лежат в валентной зоне и зоне проводимости. Показано, что в мультиполь-пом разложении тензоров проводимости по степеням компоненты волнового вектора, тангенциальной к границам раздела, члены первого порядка вносят вклад лишь в резонансный квадратичный отклик, отсутствуя в резонансной составляющей линейного отклика.

3. Метод матриц распространения оптического излучения в слоистой среде обобщен па случай слоев с существенно нелокальным откликом в направлении, перпендикулярном границам раздела. Показано, что вычисление компонент обобщенных матриц распространения сводится к решению интегрального уравнения для локального поля внутри отдельного нелокального слоя; для квантовых ям с факторизуемым тензором линейной нелокальной проводимости интегральное уравнение, в свою очередь, сводится к алгебраическому. В рамках предложенного формализма описано распространение излучения на частотах накачки и второй гармоники в ПКЯ с произвольным числом слоев.

4. В рамках формализма обобщенных матриц распространения и с использованием найденных в резонансном приближении тензоров линейной и квадратичной проводимости квантовых ям рассчитаны спектры интенсивности излучения второй гармоники, генерируемого ПКЯ-структурой 81 —БЮг, для различных (субнанометровых) значений толщины слоев кремния. Показано, что при уменьшении толщины квантовой ямы с 1 им до 0.25 им квантово-размерный сдвиг резонансной частоты в спектре квадратичного отклика ПКЯ (в энергетических единицах - порядка 0.1 эВ) существенно превышает сдвнг, обусловленный электромагнитным взаимодействием между квантовыми ямами в структуре (порядка 0.01 эВ). Рассчитанные спектральные зависимости находятся в согласии с экспериментальными данными.

5. С точностью до членов, квадратичных по тангенциальной компоненте волнового вектора, включительно, величины, которые определяют распространение излучения в ПКЯ-структурах с квадратичной нелинейностью (обобщенная матрица распространения и обобщенный вектор нелинейных источников), выражены через набор эффективных параметров, которые связывают нулевой и первый моменты поляризации внутри квантовой ямы с компонентами локального поля па ее границах. Показано, что значения этих параметров могут быть найдены из зависимостей от угла падения коэффициентов линейного и квадратичного отражепня от ПКЯ-структур.

В заключение я хотел бы поблагодарить моего научного руководителя Никулина A.A. за эффективную координацию моей научной деятельности и неоценимую помощь в подготовке материалов для написания диссертационной работы. Я хотел бы также поблагодарить весь состав лаборатории Нелинейной оптики наноструктур и фотонных кристаллов за многочисленные научные дискуссии, существенно способствовавшие написанию работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Авраменко, Владимир Григорьевич, 2007 год

1. Херман М. Полупроводниковые сверхрешетки. — М.: Мир, 1989. — 238 с.

2. Акципетров О. А., Головкина В. Н., Заяц А. В., Мишина Е. Д., Мурзи-на Т. В., Никулин А. А., Рубцов А. Н., Федянин А. А. Генерация анизотропной второй оптической гармоники в Si: ЭЮг-сверхрешетках // ДАН. — 1995.-т. 340.-с. 171-174.

3. Aktsipetrov О. A., Fedyanin A. A. Dc-elcctric-field-induced second-harmonic generation in Si Si02 multiple quantum wells // Thin Solid Films. — 1997. — v. 294. - pp. 235-237.

4. Savkin V. V., Fedyanin A. A., Pudonin F. A., Rubtsov A. N., Aktsipetrov 0. A. Oscillatoric bias dependence of dc-clcctric field induced second harmonic generation from Si — Si02 multiple quantum wells // Thin Solid Films. — 1998. — v. 336.-pp. 350-353.

5. Liu A. Local-field effect on the linear optical intersubband absorption in multiple quantum wells 11 Phys. Rev. B. — 1994. — v. 50.- pp. 8569-8576.

6. Chen X., Keller 0. Photon drag in single and multiple two-level quantum wells // Phys. Rev. B. 1997. - v. 55. - pp. 15706-15719.

7. Киттель Ч. Квантовая теория твердых тел. — М.: Наука, 1967. — 492 с.

8. Keller О., Liu A. Local-field calculation of the optical diamagnetic response of a metallic quantum well 11 Phys. Rev. B. 1994. - v. 49. - pp. 2072-2085.

9. Келдыш JI. В. О влиянии ультразвука на электронный спектр кристалла // ФТТ. 1962. - т. 4. - с. 2265-2267.

10. Chang L. L., Esaki L., Howard W. E., Ludeke R. The growth of GaAs-GaAlAs superlattice //J. Vacuum Sci.Technol.— 1973.— v. 10.— pp. 11-16.

11. Dingle R., Wiegmann W., Henry С. H. Quantum states of confined carriers in very thin alxgai-xas-g&as-alxgai-xas heterostructures // Phys. Rev. Lett. — 1974. v. 33. - pp. 827-830.

12. Плотников А. Ф., Пудонин Ф. А., Стопачинский В. Б. Сверхтонкие гете-роструктуры Si/Si02 // Письма в ЖЭТФ. 1987. - т. 4G. - с. 443-446.

13. Акципетров О. А., Заяц А. В., Мишина Е. Д., Рубцов А. Н., Федянин А. А. Генерация резонансной второй гармоники в периодических квантовых ямах Si/Si02. // ЖЭТФ. — 1996. — т. 109.-с. 1240-1248.

14. Бродски М. Аморфные полупроводники, — М.: Мир, 1982. —420 с.

15. Feng Z.-C. Semiconductor Interfaces and Microstructures. — World Scientific Publishing, Singapore, 1992. 320 pp.

16. Давыдов А. С. Квантовая механика. — M.: ГИФМЛ, 1963. — 748 с.

17. Lockwood D. J., Lu Z. H., Baribeau J.-M. Quantum confined luminescence in Si/Si02 superlattices 11 Phys. Rev. Lett. 1996. - v. 76.- pp. 539-541.

18. Zayats A., Keller O., Golonzka O., Repeyev Y., Vinogradov E. Optical transitions and nonlinearities in amorphous Si/Si02 quantum structure // Proc. of SPIE. v. 2139. - 1994. - pp. 309-320.

19. Dolgova Т. V., Avramenko V. G., Nikulin A. A., Marowsky G., Pudonin F. А., Fedyanin A. A., Aktsipetrov О. A. Second-harmonic spectroscopy of electronic structure of Si/Si02 multiple quantum well // Appl. Phys. B. — 2002. — v. 74. — pp. 671-675.

20. Пекар С. И. Метод эффективной массы электрона в металле // ЖЭТФ.— 1946.-т. 16.-е. 933-936.

21. Ihm J., Lam Р. К., Cohen M. L. Electronic structure of the 001] inas-gasb superlattice // Phys. Rev. B. 1979.- v. 20.-pp. 4120-4125.

22. Мененков П. Исследование электронного спектра Si/Si02 квантовых ям в модели одномерного потенциала: Дипломная работа // МГУ,Физический факультет, Кафедра Квантовой Радиофизики. — 1998.

23. Hohenberg P., Kohn W. Inhomogeneous electron gas // Phys. Rev. — 1964. — v. 136.-pp. B864-B871.

24. Kohn W., Sham L. J. Self-consistent equations including exchange and correlation effects // Phys. Rev. 1965. - v. 140.- pp. A1133-A1138.

25. Kohn W. Nobel lecture: Electronic structure of matter—wave functions and density functional 11 Rev. Mod. Phys. 1999. - v. 71.-pp. 1253-1266.

26. Stott M. J., Zaremba E. Linear-response theory within the density-functional formalism: Application to atomic polarizabilities // Phys. Rev. A. — 1980. — v. 21.-pp. 12-23.

27. Runge E., Gross E. K. JJ. Density-functional theory for time-dependent systems // Phys. Rev. Lett. — 1984. — v. 52.- pp. 997-1000.

28. Weber M. G., Liebsch A. Theory of second-harmonic generation by metal over-layers // Phys. Rev. В.- 1987.- v. 36.-pp. 6411-6414.

29. Weber M., Liebsch A. Density-functional approach to second-harmonic generation at metal surfaces // Phys. Rev. B. — 1987. — v. 35. — pp. 7411-7416.

30. Liebsch A. Second-harmonic generation at simple metal surfaces // Phys. Rev. Lett. 1988. - v. 61. - pp. 1233-1236.

31. Lang N. D., Kohn W. Theory of metal surfaces: Charge density and surface energy 11 Phys. Rev. В.- 1970.-v. 1.- pp. 4555-4568.

32. Shulte F. K. A theory of thin metal films: electron density, potentials and work function 11 Surf. Sci. 1976. - v. 55. - pp. 427-444.

33. Brack M. The physics of simple metal clusters: self-consistent jellium model and semiclassical approaches // Rev. Mod. Phys. — 1993. —v. 65. —pp. 677-732.

34. Stroucken Т., Knorr A., Thomas P., Koch S. W. Coherent dynamics of ra-diatively coupled quantum-well excitons // Phys. Rev. B. — 1996. — v. 53. — pp. 2026-2033.

35. Feibelman P. J. Surface electromagnetic fields // Prog. Surf. Sci.— 1982.— v. 12. pp. 287-407.

36. Келдыш Л. В., Ильинский Ю. А. Взаимодействие электромагнитного излучения с веществом. — М.: МГУ, 1989. — 304 с.

37. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Курс теоретической физики. T.III. Квантовая механика (перелятивистская теория). — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.— 797 с.

38. Keller О. Random-phase-approximation study of the response function describing optical second-harmonic generation from a metal selvedge // Phys. Rev. B. 1986. - v. 33. - pp. 990-1009.

39. Liu A., Keller O. Local-field study of the optical second-harmonic generation in a symmetric quantum-well structure // Phys. Rev. B. — 1994. — v. 49. — pp. 13616-13623.

40. Борн M., Вольф E. Основы оптики. — M.: Наука, 1973. — 720 с.

41. Belhune D. S. Optical harmonic generation and mixing in multilayer media: analysis using optical transfer matrix techniques // J. Opt. Soc. Am. B. — 1989.-v. 6.-pp. 910-916.

42. Keller O. Sheet-model description of the linear optical response of quantum wells // J. Opt. Soc. Am. В.- 1995.- v. 12.- pp. 987-996.

43. Денисов В. И. Введение в электродинамику сплошных сред. — М.: МГУ, 1989. 166 с.

44. Joannopoulos J. D., Meade R. D., Winn J. N. Photonic crystals: molding the flow of light. — Princeton University Press, Princeton, 1995.— 156 pp.

45. Bethune D. S. Optical harmonic generation and mixing in multilayer media: extension of optical transfer matrix approach to include anisotropic materials // J. Opt. Soc. Am. B. 1991. - v. 8. - pp. 367-373.

46. Enoch S., Akhouayri H. Second-harmonic generation in multilayered devices: theoretical tools 11 J. Opt. Soc. Am. В.- 1998,- v. 15.-pp. 1030-1041.

47. Khorasani S., Mehrany K. Differential transfer-matrix method for solution of one-dimensional linear nonhomogeneous optical structures // J. Opt. Soc. Am. B. 2003. - v. 37. - pp. 91-97.

48. Mehrany K., Rashidian B. Polynomial expansion for extraction of electromagnetic eigenmodes in layered structures // J. Opt. Soc. Am. B. — 2003. — v. 20. — pp. 2434-2441.

49. Eghlidi M. //., Mehrany K., Rashidian B. Modified differential-transfer-matrix method for solution of one-dimensional linear inhoiiiogeneous optical structures // J. Opt. Soc. Am. B.— 2005.-v. 22.-pp. 1521-1528.

50. Eghlidi M. H., Mehrany K., Rashidian B. Improved differential-transfer-matrix method for inhomogeneous one-dimensional photonic crystals // J. Opt. Soc. Am. B. 200G. - v. 23. - pp. 1451-1459.

51. Feibelman P. J. Microscopic calculation of electromagnetic fields in refraction at a jellium-vacuum interface // Phys. Rev. B. — 1975.— v. 12.— pp. 1319-1336.

52. Bagchi A. Transverse dielectric response of a semi-infinite metal: Surface effect // Phys. Rev. B.- 1977.-v. 15.-pp. 3060-3077.

53. Bagchi A., Barrera R. G., Rajagopal A. K. Perturbative approach to the calculation of the electric field near a metal surface // Phys. Rev. B. — 1979. — v. 20. pp. 4824-4838.

54. Keller 0. Screened electromagnetic propagators in nonlocal metal optics // Phys. Rev. B. 1986. - v. 34. - pp. 3883-3899.

55. Keller O. Propagator study of the selvedge field in linear and nonlinear nonlocal jellium optics // Phys. Rev. B.- 1988.- v. 38,- pp. 8041-8060.

56. Keller 0. Tensor-product structure of a new electromagnetic propagator for nonlocal surface optics of metals // Phys. Rev. B. —1988. — v. 37. — pp. 1058810607.

57. Keller O. Photon drag in a single-level metallic quantum well // Phys. Rev. B. 1993. - v. 48. - pp. 4786-4798.

58. Khurgin J. Second-order intersubband nonlinear-optical susceptibilities of asymmetric quantum-well structures // J. Opt. Soc. Am. B. — 1989. — v. 6. — pp. 1673-1682.

59. Keller 0. Optical response of a quantum-well sheet: internal electrodynamics // J. Opt. Soc. Am. B.- 1995.-v. 12.-pp. 997-1005.

60. Keller O., Liu A., Zayats A. Characterization of the linear optical properties of multiple quantum well structure in the sheet-model approximation // Opt. Commun.- 1994.- v. 110.- pp. 604-610.

61. Rudnick J., Stern E. A. Second-harmonic radiation from metal surfaces // Phys. Rev. B. 1971. - v. 4. - pp. 4274-4290.

62. Corvi M., Schaich IV. L. Hydrodynamic-model calculation of second-harmonic generation at a metal surface // Phys. Rev. B. — 1986. — v. 33. — pp. 36883695.

63. Schwartz C., Schaich W. L. Hydrodynamic models of surface plasmons // Phys. Rev. В. — 1982.— v. 26.-pp. 7008-7011.

64. Chelikowsky J. R., Cohen M. L. Electronic structure of silicon // Phys. Rev. B. 1974. - v. 10. - pp. 5095-5107.

65. Queeney К. Т., Weldon M. K., Chang J. P., Chabal Y. J., Gurevich А. В., Sapjeta J., Opila R. L. Infrared spectroscopic analysis of the Si/Si02 interface structure of thermally oxidized silicon //J. Appl. Phys. — 2000. — v. 87. — pp. 1322-1330.

66. Chelikowsky J. R., Cohen M. L. Nonlocal pseudopotential calculations for the electronic structure of eleven diamond and zinc-blende semiconductors // Phys. Rev. B. 1976. - v. 14. - pp. 556-582.

67. Avramenko V. G., Nikulin A. A. Si/Si02 multiple quantum wells: Electronic and optical properties 11 WDS'05 Proceedings of Contributed Papers, Part III. 2005. - pp. 489-494.

68. TO. Келдыш Jl. В. Кулоновское взаимодействие в тонких пленках полупроводников и полуметаллов // Письма в ЖЭТФ. — 1979. — т. 29. — с. 716-719.

69. Келдыш JI. В. Поляритоны в тонких полупроводниковых пленках // Письма в ЖЭТФ. 1979. - т. 30. - с. 244-248.

70. Аидрюшин Е. Ф., Силин А. П. Экситоиы в тонких полупровдииковых пленках // Вестник МГУ, Физика твердого тела. — 1980.— т. 22.— с. 26762680.

71. Avramenko V. G., Nikulin A. A. Method of calculation of non-linear optical response of multiple quantum wells // Proc. of SPIE. — v. 6259. — 2006. — p. 625906.

72. Avramenko V. G. Generalized optical transfer-matrix technique: application to the nonlinear response of multiple quantum wells // J. Opt. Soc. Am. В.— 2006.-v. 23.-pp. 1872-1881.

73. Авраменко В. Г., Никулин А. А. Матричное описание распространения оптического излучения в многослойных структурах с нелокальным откликом // Вестник МГУ. Серия 3. Физика. Астрономия. — 2006. — с. 78-79.

74. Sanyal М. К., Hazra S., Basu J. К., Datta A. Extraction of density profile for near perfect multilayers // Phys. Rev. B. 1998. - v. 58. - pp. R4258-R4261.

75. Bushuev V. A., Lomov A. A., Sutyrin A. G. Extraction of density profile for near perfect multilayers // Crystallogr. Rep. — 2002. — v. 47. — pp. 683-690.

76. Cowley R. A., Ryan T. W. X-ray scattering studies of thin films and surfaces: thermal oxides on silicon // J. Phys. D: Appl. Phys. — 1987. — v. 20. — pp. 6168.

77. Dura J. A., Richter C. A., Majkrzak C. F., Nguyen N. V. Neutron reflectome-try, x-ray reflectometry, and spectroscopic ellipsometry characterization of thin Si02 on si // Appl. Phys. Lett.- 1998.- v. 73.- pp. 2131-2133.

78. Бломберген H. Нелинейная оптика. — M.: Мир, 1966. — 424 с.

79. Dolgova Т. V., FedyaninA. A., Aktsipetrov О. A., Marowsky G. Optical second-harmonic interferometric spectroscopy of Si(lll) — SiOi interface in the vicinity of E2 critical points // Phys. Rev. В.- 2002.- v. 66.- p. 033305.

80. Aspnes D. E., Studna A. A. Dielectric functions and optical parameters of Si,Ge, GaP, GaAs, GaSb, InP, InAs, and InSb from 1.5 to 6.0 eV // Phys. Rev. B. 1983. - v. 27. - pp. 985-1009.

81. Gusev D. G., Soboleva I. V., Martemyanov M. G., Dolgova Т. V., Fedyanin A. A., Aktsipetrov 0. A. Enhanced second-harmonic generation in coupled microcavities based on all-silicon photonic crystals // Phys, Rev. B. — 2003.-v. 68.-p. 233303.