Квазистатическое моделирование электромагнитных связей в планарных элементах антенно-фидерного тракта тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Денисенко Дмитрий Викторович

• Денисенко Дмитрий Викторович
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Денисенко Дмитрий Викторович

Введение

Глава 1. Обзор методов математического моделирования СВЧ-устройств

1.1 Разнообразие методов и принципы их построения

1.1.1 Численные методы полного электромагнитного анализа

1.1.2 Методы моделирования планарных СВЧ-устройств

1.1.3 Приближенные модели и границы применимости

1.2 Методы квазистатического анализа планарных СВЧ-устройств

1.2.1 Матричные методы, декомпозиция

1.2.2 Модели с распределенными параметрами

1.2.3 Волноводные модели ПЛП

1.2.4 Достоинства и недостатки квазистатических методов

1.3 Двумерные планарные компоненты и неоднородные элементы

1.3.1 Модель планарного компонента на основе СПЛ

1.3.2 Сегментация и десегментация

1.4 Моделирование внешних ЭМ-полей в двумерных моделях планарных компонентов

1.4.1 Компенсация краевых полей и многопортовые модели

1.4.2 Моделирование электромагнитного излучения в МММ

1.4.3 Планарная модель с сосредоточенными параметрами

1.4.4 Модификации МММ и поправки к волноводным моделям

1.4.5 Достоинства и недостатки МММ и двумерных моделей

1.5 Выводы

Глава 2. Моделирование планарной конструкции произвольной топологии на основе двумерных моделей

2.1 Основные этапы моделирования

2.2 Повышение точности моделирования краевых ЭМ-полей в двумерных моделях планарных компонентов

2.2.1 Ускоренный расчет матриц двумерных моделей на основе сегментации базовыми элементами

2.2.2 Моделирование краевых ЭМ-полей в двумерных моделях

2.2.3 Вычисление погонных емкостей и индуктивностей для планарных сегментов

2.3 Моделирование связанных элементов планарной топологии

2.3.1 Построение матрицы связей

2.3.2 Расчет значений элементов матрицы связей

2.4 Расчет частичных емкостей на основе решения трехмерной электростатической задачи

2.4.1 Расчет частичных емкостей планарных сегментов

2.4.2 Расчет матрицы погонных емкостей

2.4.3 Постановка трехмерной электростатической задачи

2.5 Выводы

Глава 3. Численная реализация разработанных алгоритмов для моделирования устройств на основе МПЛ

3.1 Структура и особенности реализации программного обеспечения

3.1.1 Формирование исходных данных

3.2 Расчет матриц планарных сегментов и составление СЛАУ

3.3 Численное решение трехмерной электростатической задачи

3.3.1 Реализация МГЭ для анализа МПЛ-структур

3.3.2 Обоснование выбора базисных и тестовых функций

3.3.3 Формирование матрицы СЛАУ

3.3.4 Анализ эффективности интегрирования функций с особенностями

3.4 Обработка результатов решения СЛАУ

3.5 Выводы

Глава 4. Численный эксперимент и верификация моделей

4.1 Экспериментальное исследование корректности электродинамических моделей планарных СВЧ-устройств

4.1.1 Разброс параметров изготовленных МПЛ-фильтров

4.1.2 Уточнение электродинамических моделей МПЛ-фильтров

4.1.3 Электромагнитный анализ и измерения лестничного фильтра с учетом паразитной полосы

4.2 Верификация разработанных алгоритмов

4.2.1 Моделирование отрезков МПЛ

4.2.2 Моделирование смещенных отрезков связанных МПЛ

4.3 Верификация алгоритмов на примере полосковых фильтров

4.3.1 Моделирование ППФ с заземленными резонаторами

4.3.2 Моделирование лестничного ППФ

4.4 Анализ сходимости и вычислительных затрат

4.5 Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ПЕРЕЧЕНЬ СОКРАЩЕНИЙ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Приложение А. Алгоритм вывода ФГ уравнения Лапласа для слоистой

диэлектрической среды с выделенной анизотропией

Приложение Б. Оценка эффективности методов сглаживания подынтегральных

функций для различных положений ГЭ

Приложение В. Свидетельства о государственной регистрации программ ЭВМ 162 Приложение Г. Внедрение результатов

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квазистатическое моделирование электромагнитных связей в планарных элементах антенно-фидерного тракта»

Актуальность

Антенно-фидерный тракт является одним из ключевых элементов любой радиоэлектронной системы, эффективность которой во многом определяется качеством входящих в него компонентов. С ростом сложности аппаратуры сверхвысокочастотного (СВЧ) диапазона ужесточаются и требования к электрическим параметрам, надежности, габаритам и весу. Одновременно повышаются требования к срокам и стоимости их разработки, в том числе под давлением рыночных факторов. Таким образом, задача повышения качества изделий при одновременном снижении себестоимости и трудоемкости проектирования приобретает особую актуальность.

Планарные линии передачи (ПЛП) широко используются в СВЧ-устройствах благодаря простоте их изготовления и низкой себестоимости. Они составляют основу сложных гибридных и монолитных интегральных схем, схем на распределенных элементах [8], которые предназначены для работы на частотах от сотен мегагерц до десятков гигагерц. Такие устройства сложны в моделировании и трудоемки в разработке, а достижение оптимальных характеристик требует расчета тысяч вариантов топологии в процессе параметрической оптимизации.

Планарные СВЧ-цепи содержат множество неоднородных элементов с сильными и слабыми связями по электромагнитному (ЭМ) полю, которые могут быть как функциональными, так и паразитными. Примерами могут служить изгибы линий, места соединений или заземлений, скачки ширины, открытые концы линий и просто близкорасположенные друг к другу элементы. С ростом рабочих частот и миниатюризацией схем уменьшаются расстояния между элементами, неоднородных участков становится больше, а их влияние на характеристики устройств становится все более значимым. Высокие требования к электрическим параметрам и тенденция к уменьшению габаритных размеров способствуют появлению все более сложных топологий [141, 83, 38, 92, 118]. Поскольку проектирование устройств высокого качества требует максимальной

точности и достоверности моделирования, по мере развития и усложнения техники СВЧ возникает необходимость в построении более точных моделей.

Необходимость постоянного совершенствования и повышения качества радиоэлектронных устройств в совокупности с быстрым ростом доступных вычислительных ресурсов электронно-вычислительных машин за последние десятилетия способствовали быстрому развитию систем автоматизированного проектирования (САПР), в алгоритмах которых реализовано множество математических методов [136, 56]. В настоящее время без них невозможно представить разработку современных СВЧ-устройств. Они активно применяются в процессе проектирования устройств различной сложности и позволяют существенно сократить время разработки технически сложных устройств, объемы макетирования, быстрее находить новые решения и оптимизировать уже существующие, а также своевременно находить ошибки проектирования. Достаточно подробно история развития отечественных и зарубежных САПР СВЧ изложена в [2]. Особенностью современного подхода к проектированию планарных СВЧ-устройств на основе ПЛП является сочетание приближенных методов со строгими методами ЭМ-анализа, которые позволяют проектировать сложные СВЧ-устройства при минимальном количестве упрощающих допущений.

Методы решения задач дифракции ЭМ-волн в их строгой постановке позволяют с высокой достоверностью моделировать сложные металлодиэлектрические структуры, но требуют чрезмерно больших объемов вычислений. Это делает их малоэффективными в задачах параметрической оптимизации и корректировки характеристик устройств, поскольку требуется анализ сотен и тысяч вариантов топологии. В зависимости от сложности конструкции, время анализа методом конечных элементов (МКЭ) или методом моментов (МоМ) при целевой точности порядка 1% может варьироваться от десятков минут до десятка часов на персональном компьютере.

Значительно снизить временные затраты возможно путем использования моделей на основе квазистатического приближения, а также различных

аналитических и эмпирических подходов. Однако их простые реализации имеют приемлемую точность только в ограниченном классе задач, из-за чего адекватная декомпозиция устройства доступными квазистатическими моделями не всегда возможна. Первые приближенные математические модели элементов ПЛП появились еще в начале 50-х годов [117, 70, 139]. В настоящее время наибольшее распространение в инженерной практике получил подход, при котором декомпозиция топологии устройства реализуется автономными моделями базовых элементов топологии (многополюсниками). При этом связи по ЭМ-полю между ними не учитываются, но их можно учесть в рамках моделей базовых элементов [9]. Возможности декомпозиции устройства при этом ограничены небольшим набором библиотечных элементов, что усложняет учет всех необходимых составляющих устройства и связей по ЭМ-полю между его элементами. Это, в свою очередь, снижает точность моделей с ростом рабочих частот. Как результат, топологии, полученные путем оптимизации, требуют трудоемких корректировок по результатам натурного эксперимента, особенно при непредсказуемости расчетных ошибок. Разработка новых приближенных моделей и методов для эффективного решения задач многовариантного анализа [84, 40, 135, 71] продолжается. Таким образом, вопрос улучшения соотношения точности и скорости моделирования остается актуальным.

Стоимость проектирования является определяющим фактором в условиях мелкосерийного и среднесерийного производства. Особое значение имеет ограниченная доступность лицензий коммерческих САПР, их высокая стоимость, которая достигает десятков и сотен тысяч долларов, а также отсутствие у большинства разработчиков доступа к суперкомпьютерам. По этим причинам остаются актуальными задачи повышения эффективности программного обеспечения на персональных компьютерах и рабочих станциях. Актуальны и вопросы разработки программного обеспечения для эффективного решения специализированных задач.

Объект исследования - планарные конструкции пассивных СВЧ-устройств сантиметрового диапазона длин волн.

Предмет исследования - методы и способы сокращения вычислительных затрат при численном моделировании планарных СВЧ-устройств.

Цель работы - сократить вычислительные затраты на анализ планарных СВЧ-устройств по сравнению с методами полного ЭМ-анализа и повысить точность моделирования по сравнению с известными приближенными методами.

Для достижения поставленной цели в ходе диссертационного исследования решены следующие научные задачи:

- проведен анализ литературы в области моделирования СВЧ-устройств, определены достоинства и недостатки существующих методов и подходов;

- разработан метод численного анализа планарных конструкций произвольной топологии в квазистатическом приближении с учетом ЭМ-связей между всеми ее элементами;

- разработаны алгоритмы и программное обеспечение для расчета Б-параметров микрополосковых конструкций в СВЧ-диапазоне частот;

- исследованы возможности снижения вычислительных затрат на основных этапах моделирования;

- проведены численные эксперименты, изготовлены макеты устройств и измерены их характеристики, проведено сравнение результатов моделирования и измерений с целью подтверждения их достоверности и точности.

Методы исследований

теоретические - методы математической физики, методы математического и функционального анализа, методы теории электрических цепей, методы линейной алгебры, матричные методы описания устройств СВЧ, методы ЭМ-моделирования, методы электростатического моделирования, методы теории некорректных задач, проекционно-сеточные методы, численные методы;

экспериментальные - метод численного эксперимента, метод физического эксперимента.

Научная новизна

1. Разработан и предложен способ быстрого анализа планарных элементов произвольной формы на основе квазистатического приближения, который отличается повышенной точностью моделирования краевых ЭМ-полей в двумерных моделях при низких вычислительных затратах, что достигается за счет численного решения трехмерной электростатической задачи.

2. Разработаны и предложены алгоритмы численного моделирования распределенных ЭМ-связей в квазистатическом приближении между всеми элементами планарной конструкции.

3. Разработана архитектура программного обеспечения для моделирования СВЧ-цепей микрополоскового типа на основе предложенных алгоритмов, и получены оценки соотношений точности и скорости расчетов S-параметров отрезков микрополосковых линий, связанных линий и фильтров в СВЧ-диапазоне частот.

4. Предложены способы сокращения вычислительных затрат для разработанных алгоритмов на этапах формирования системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Теоретическая значимость заключается в следующем:

- получены новые модели планарных конструкций в квазистатическом приближении на основе двумерных моделей планарных компонентов и электростатического метода граничных элементов, которые обеспечивают более точное прогнозирование параметров работы устройств;

- развит квазистатический подход, в котором объединяются методы электростатического и ЭМ-моделирования, матричные методы описания устройств СВЧ и методы теории цепей, что способствует его расширению на область более высоких частот;

- предложенные алгоритмы позволяют оценивать влияние отдельных участков топологии на характеристику всего устройства, что способствует улучшению понимания особенностей моделируемых конструкций и повышению эффективности разработки новых устройств;

- показаны преимущества использования метода узловых потенциалов при сегментации двумерных моделей и предложено развитие новых алгоритмов на его основе;

- установлена возможность адекватного моделирования планарных СВЧ-устройств с учетом электромагнитных связей между всеми элементами топологии в квазистатическом приближении на основе двумерных моделей планарных компонентов.

Практическая значимость заключается в следующем:

- реализация предложенных алгоритмов в программном обеспечении позволяет рассчитывать характеристики моделей устройств на несколько порядков быстрее методов ЭМ-анализа, при точности моделирования, сравнимой с разбросом характеристик изготавливаемых макетов, что делает их эффективными в задачах многовариантного анализа широкого круга планарных СВЧ-устройств;

- возможность квазистатического анализа планарной конструкции произвольной топологии с учетом ЭМ-связей между всеми ее элементами расширяет инструментарий разработчиков СВЧ-устройств и способствует появлению дополнительных возможностей проектирования;

- предложенные алгоритмы предназначены для реализации в составе программного комплекса САПР СВЧ для моделирования широкого спектра планарных СВЧ-устройств;

- предложены практические рекомендации по улучшению точности и сокращению вычислительных затрат при квазистатическом анализе микрополосковых конструкций за счет усовершенствования алгоритмов формирования системы линейных алгебраических уравнений;

- предложенный подход к сегментации позволяет строить алгоритмы, значительно ускоряющие вычисления параметров многопортовых двумерных планарных моделей, что способствует снижению трудоемкости проектирования.

Достоверность полученных в диссертации результатов и положений подтверждаются сравнением Б-параметров, полученных при помощи разработанного программного обеспечения, с результатами расчетов методами ЭМ-анализа и с экспериментальными данными.

Положения, выносимые на защиту

1. Разработанный способ моделирования краевых ЭМ-полей в двумерных моделях планарных компонентов улучшает их точность и расширяет область применения за счет комбинирования с численным методом граничных элементов; в частности, расхождение с электродинамическими моделями МКЭ по Б-параметрам составило менее 4% на частотах до 16 ГГц при сокращении времени анализа более, чем в 100 раз.

2. Разработанные алгоритмы моделирования ЭМ-связей между двумерными моделями обеспечивают более высокий уровень достоверности квазистатического подхода, чем методы, игнорирующие эти связи; в частности, расхождение с электродинамическими моделями МКЭ по Б-параметрам составило менее 3,7% на частотах до 16 ГГц при сокращении времени анализа более, чем в 100 раз.

3. Разработанные алгоритмы позволяют учитывать распределенные ЭМ-связи между всеми элементами устройства, что обеспечивает возможность адекватного анализа планарных конструкций произвольной топологии в квазистатическом приближении.

4. Предложенный способ сегментации топологии базовыми однотипными сегментами позволяет сократить время анализа двумерных моделей планарных компонентов с большим количеством электрических выводов (более 20) как минимум в 10-100 раз.

Реализация и внедрение результатов исследования

Результаты, полученные в ходе выполнения диссертационного исследования, были использованы в АО «ЦНИРТИ им. академика А.И. Берга» при разработке планарных СВЧ-устройств и их модернизации в условиях серийного производства для улучшения чувствительности, избирательности и других характеристик перспективной радиотехнической аппаратуры различного

назначения: малогабаритной станции помех ОКР «МСП-418К»; ОКР «ПРЕСС»; ОКР «ЦНИРТИ-СП»; изделия «9Б914», «С200А1-1» и «С200А1-3», и др.

Апробация результатов

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на 1 0 всероссийских и международных конференциях:

- Международная конференция «Авиация и космонавтика» - 2012, 2013. Москва, МАИ;

- Всероссийская Микроволновая конференция - 2013, 2015, 2016, 2017, 2018. Москва, ИРЭ РАН;

- IV Всероссийская научно-техническая конференция молодых конструкторов и инженеров «Минцевские чтения» - 2016. Москва, ОАО РТИ;

- XIII Всероссийская научно-техническая конференция «Радиолокация и радиосвязь» - 2019. Москва, ИРЭ РАН;

- ХШ Всероссийская научно-техническая конференция «Электроника и микроэлектроника СВЧ» - 2024. Санкт-Петербург, ЛЭТИ.

Публикации

Содержание диссертации отражено в 16 публикациях, из которых 7 статей в рецензируемых журналах из перечня ВАК РФ [13-19] и 7 - в материалах конференций [4, 5, 10-12, 20, 21]. Получено два свидетельства о регистрации программы ЭВМ [30, 31].

Личный вклад автора

Автором предложены способы решения поставленных задач, разработаны и реализованы математические модели и алгоритмы, проведены численные и натурные эксперименты, обработаны и проанализированы данные экспериментов. Все результаты диссертации получены лично автором под научным руководством к.т.н. Радченко В.В.

В работах, опубликованных в соавторстве, вклад автора был определяющим и заключается в следующем:

[14] - проведение измерений, подготовка экспериментальных данных на основе результатов измерений серийно изготавливаемых микрополосковых фильтров, проведение численных экспериментов, обработка и анализ результатов.

[15-19] - разработка математических моделей, разработка и реализация численных алгоритмов, постановка и проведение экспериментальных исследований, обработка и анализ результатов.

В работе [19] экспериментально исследована эффективность применения численного метода электростатики для моделирования электромагнитных связей между двумя планарными резонаторами, которые представлялись двумерными планарными моделями.

В работах [16-18] представлены оценки эффективности разработанных алгоритмов на примерах моделирования одиночных и связанных микрополосковых линий, микрополосковых фильтров. В [18] акцентируется внимание на необходимости сокращения вычислительных затрат при анализе двумерных моделей с большим количеством электрических выводов и предлагается способ ускорения вычислений, который более детально представлен в [15].

Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы.

Объем и структура работы

Диссертация состоит из введения, 4-х глав, заключения, списка обозначений, списка литературы и четырех приложений. Общий объем работы составляет 165 страниц, в том числе 66 рисунков и 6 таблиц. Список используемых источников литературы содержит 144 наименования.

Глава 1. Обзор методов математического моделирования СВЧ-устройств

В настоящее время существует широкий спектр методов математического моделирования, применяемых во всех областях радиотехники, включая проектирование печатных плат, антенн и интегральных схем на различных этапах разработки. Многие из них реализованы в современных САПР для моделирования СВЧ-устройств. В данной главе проводится краткий обзорный анализ основных подходов к численному моделированию СВЧ-устройств. Рассмотрены принципы построения методов, области применимости и особенности.

1.1 Разнообразие методов и принципы их построения

Для моделирования устройства необходимо создать его физическую модель с учетом основных особенностей физических процессов, протекающих в нем. Далее следует математическое описание, на основе которого строится численный алгоритм анализа [6]. Деление моделей по степени соответствия исходной физической задаче весьма условно [29]. В зависимости от поставленной задачи, требуемой универсальности, точности и экономичности, они могут различаться сложностью и методами построения, что позволяет осуществлять различные компромиссы между качеством проектирования, требованиям к вычислительным ресурсам и временными затратами [48].

Наиболее полные математические модели линейных СВЧ-цепей, которые характеризуют процессы распространения и дифракции ЭМ-волн, строятся на электродинамическом уровне на основе решения краевой задачи для системы уравнений Максвелла. Строгие аналитические решения краевых задач известны только для небольшого числа простых частных случаев, в связи с чем на практике преимущественно используются приближения к точному математическому решению [26].

Важнейшим этапом численного решения уравнений математической физики является переход от непрерывных функций к сеточным, которые определены на дискретном множестве узлов. В вычислительной электродинамике известно

множество вариантов дискретизации расчетной области. Различия численных методов в большинстве своем обуславливаются формулировками решаемых уравнений и типом неизвестных физических величин, которые могут быть распределены как по объему области решения, так и на границах. Фундаментально весь спектр формулировок делится на дифференциальные и интегральные (интегро-дифференциальные) [130]. В дифференциальных формулировках решение ищется на основе уравнений ЭМ-поля в дифференциальной форме путем аппроксимации их решений в малых областях разностными, проекционными или вариационными методами. По иным критериям методы можно классифицировать как прямые и непрямые, а также разделить на две группы по областям решения. Методы во временной области являются наиболее общими, но для синусоидальных колебаний в отсутствие нелинейностей уравнения упрощаются, и задача решается в частотной области. В таком случае исходная задача для выбранной частотной точки в основном сводится к составлению и решению СЛАУ на основе пространственной дискретизации, в то время как методы во временной области не всегда сводятся к СЛАУ. Несмотря на то, что основные подходы к решению задач электродинамики могут быть реализованы как во временной, так и в частотной областях, в основном их распространенность и популярность в современных САПР связана со спецификой решаемых задач.

1.1.1 Численные методы полного электромагнитного анализа

В общем случае прямые методы решения краевых задач электродинамики подразумевают собой вычисление компонент ЭМ-поля по всем трем координатам в пространстве. При этом необходима дискретизация всей расчетной области, за счет чего достигается универсальность, платой за которую являются очень высокие требования к вычислительным ресурсам. Среди наиболее популярных прямых методов полного ЭМ-анализа, которые реализованы в различных САПР СВЧ [124] и широко используются в проектировании различных СВЧ-устройств, можно выделить метод конечных элементов (МКЭ, Finite Element Method, FEM)

[88, 140], метод конечных разностей (Finite Difference Method, FDM) [80, 143] во временной области, также имеющие сходство с последним схемно-ориентированный метод матрицы линии передачи (Transmission Line Matrix, TLM) [32, 86] и метод конечного интегрирования (Finite Integration Technique, FIT) [105]. Так же с недавнего времени активно развивается метод конечных объемов (Finite Volume Method, FVM) [68, 78], перекочевавший в электродинамику из динамики жидкостей. Общая особенность прямых методов заключается в необходимости ограничения расчетной области конечным объемом, при этом в процессе решения элементы дискретизации напрямую связаны только с соседними элементами, из-за чего ошибка накапливается с количеством промежуточных узлов, что делает решение задачи особо чувствительным к качеству построения сеток и аппроксимации неизвестных величин [129]. Для моделирования эффекта открытых границ в таких методах необходимо использовать различные поглощающие граничные условия [106].

Непрямые методы базируются на аналитическом решении некоторой ключевой задачи. Наиболее распространен подход с использованием математического аппарата функции Грина (ФГ), который позволяет перейти от уравнений Максвелла к сингулярным интегральным уравнениям (ИУ), формирование которых основывается на аналитическом решении задачи о возбуждении расчетной области элементарным точечным источником. В такой формулировке вместо компонент ЭМ-поля, в качестве неизвестных величин выступает плотность тока или заряда, задача относительно которых сводится к определению их эквивалентного распределения по объемам, или по границам однородных областей, что для ряда актуальных на практике задач позволяет существенно снизить размерность задачи. Такой подход позволяет строить методы, в которых расчетная область может включать в себя неограниченное свободное пространство, а объекты располагаться на больших расстояниях. Их можно найти в литературе под разными названиями, такими, как: метод вторичных источников [35], методы сингулярных или граничных ИУ [98], метод граничных элементов (МГЭ, Boundary Element Method, BEM) [128], или под

таким устоявшимся в электродинамике названием как методы моментов (Method of Moments, MoM) [42]. В процессе решения в МоМ рассчитывается взаимодействие каждого элемента дискретизации с каждым, что делает матрицу СЛАУ полностью заполненной и хорошо обусловленной. Это в свою очередь способствует быстрой сходимости итерационных методов решения СЛАУ. Также к непрямым можно отнести такие методы, как метод прямых (Method of Lines, MoL) [77], в котором дискретизации подвергаются два пространственных измерения из трех, а область решения ограничена, и схемно-ориентированный метод эквивалентной схемы из частичных элементов (Partial Element Equivalent Circuit, PEEC) [144], который имеет сходство с MoM.

Таблица 1.1 — Особенности методов полного ЭМ -анализа

Методы Область решения Типовая расчетная сетка Решаемые уравнения Неизвестные величины

Прямые

FDM TLM Ограничена Ортогональная Максвелла (дифф.) Поля во всей расчетной области

FIT Максвелла (интегр.)

FEM Тетраэдральная Гельмгольца

FVM Полигональная Максвелла (консерв.)

Непрямые

MoM Неограниченна Треугольная Тетраэдральная Интегральные Источники в объемах и на поверхностях

PEEC Полигональная

MoL MoM-FFT Ограничена Прямоугольная, регулярная Источники на поверхностях

Основные характерные особенности методов ЭМ-анализа приведены в таблице 1.1. Все они в своей теоретической основе и в зависимости от требуемого

уровня модели и точности, применяются для моделирования произвольных трехмерных металлодиэлектрических конструкций, либо для промежуточных вычислений ЭМ-величин в упрощенных подходах и двумерных задачах. Но ни один из них не является полностью универсальным для всех задач моделирования, поэтому на практике выбор наиболее эффективного метода обусловлен его особенностями и доступностью. Для специализированных задач с

целью сокращения времени анализа разработаны модификации на основе различных приближений [58]. В некоторых случаях вычислительные затраты могут быть сокращены за счет использования симметрии или свойств периодичности анализируемой структуры [112]. Также разные методы могут объединяться в одном программном коде образуя гибридные, что позволяет сочетать их преимущества и существенно расширить класс решаемых задач.

Общая особенность проекционно-сеточных методов заключается в зависимости времени и точности анализа от качества расчетных сеток. Главный недостаток методов полного ЭМ-анализа заключается в чрезмерно высоких требованиях к вычислительным ресурсам.

1.1.2 Методы моделирования планарных СВЧ-устройств

Процесс проектирования конструкции или оптимизации уже имеющейся топологии планарного СВЧ-устройства по заданным частотным характеристикам базируется на двух основных подходах [33]:

а) Ускоренный анализ, для которого применяются упрощенные математические модели и методы

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Денисенко Дмитрий Викторович, 2024 год

- 1 с.

31. Свид. 2024616032 Российская Федерация. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ. Microstrip TEM Solver / Д.В. Денисенко; заявитель и правообладатель Д.В. Денисенко (RU). - №2024614845/69; заявл. 12.03.24; опубл. 15.03.24, Реестр программ для ЭВМ. - 1 с.

32. Сестрорецкий Б. В. Балансные RLC и Rt схемы элементарного объема пространства. // Вопросы радиоэлектроники, сер. «Общие вопросы радиоэлектроники». 1983. Вып. 5. С. 56-85.

33. Сычёв А. Н. Общие подходы к оптимальному проектированию интегральных СВЧ-устройств. Обзор / А. Н. Сычёв // Доклады ТУСУР. - 2010. - № 2(22). -Ч. 1. - С. 76-80.

34. Сычев А. Н. Комбинированный метод частичных емкостей и конформных отображений для анализа многомодовых полосковых структур / А. Н. Сычев - Томск: Томск. Гос. Ун-т систем упр. и радиоэлектроники, 2007. - 137 с.

35. Тозони О. В. Метод вторичных источников в электротехнике. - М.: Энергия, 1975. - 296 с.

36. Фуско В. СВЧ-цепи. Анализ и автоматизированное проектирование. - М.: Радио и связь, 1990. - 288 с.

37. Abaei E., Mehrshahi E., Sadreazami H. Modified desegmentation technique in analysis of arbitrary shaped planar circuit // IEEE Asia-Pacific Conference on Applied Electromagnetics (APACE). 2010. P. 1-4. doi: 10.1109/APACE.2010.5720074.

38. Afzali B., Abbasi H., Shama F., Dehdasht-Heydari R. A microstrip bandpass filter with deep rejection and low insertion loss for application at 2.4 GHz useful wireless frequency // AEU - International Journal of Electronics and Communications. 2021. Vol. 138:153811. doi: 10.1016/j.aeue.2021.153811.

39. Alad R. H., Chakrabarty S. B. Investigation of Different Basis and Testing Functions in Method of Moments for Electrostatic Problems // Progress In Electromagnetics Research B. 2012. Vol. 44. P. 31-52.

40. Awasthi Y. K., Singh H., Verma A. K. Computer-aided design modeling of microstrip step discontinuity on multilayer iso/anisotropic substrates with transient signal analysis // SN Applied Sciences. 2019. Vol. 1. № 7. doi: 10.1007/s42452-019-0807-7.

41. Bahl I. J., Bozzi M.; Garg R. Microstrip Lines and Slotlines, Third Edition. -Artech House, 2013. - 560 p.

42. Bayjja M., Moubadir M., Alsharahi G., Aghoutane M. Modeling a Planar Coupled Microstrip Lines using various Wavelets and Method of Moments // AEM. March 1997. Vol. 8. № 1. P. 51-58.

43. Benalla A., Gupta K. C. Design Procedure for Linear Series-Fed Arrays of Microstrip Patches Covered with a Thick Dielectric Layer. Scientific Report № 100. - Department of Electrical and Computer Engineering University of Colorado Boulder, September 1989. - 292 p.

44. Benalla A., Gupta K. C. Multiport network approach for modeling the mutual coupling effects in microstrip patch antennas and arrays // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 1989. Vol. 37. № 2. P. 148-152. doi: 10.1109/8.18700.

45. Benalla A., Gupta K. C., Chew R. Computer-Aided Design of Microstrip Patch Arrays-A Multiport Network Modeling Approach // Electromagnetics. 1991. Vol. 11. № 1, P. 89-106, doi: 10.1080/02726349108908265

46. Benalla A., Gupta K. C. Faster Computation of Z-Matrices for Rectangular Segments in Planar Microstrip Circuits (Short Paper) // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. Jun 1986. Vol. 34. № 6. P. 733-736. doi: 10.1109/TMTT.1986.1133425.

47. Benalla A., Gupta K. C. Multiport network model and transmission characteristics of two-port rectangular microstrip patch antennas // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 1988. Vol. 36. № 10. P. 1337-1342. doi: 10.1109/8.8618.

48. Bermúdez A., Gómez D., Salgado P. Mathematical models and numerical simulation in electromagnetism. - Cham/Heidelberg/New York/Dordrecht/London: Springer, 2014. - 432 p.

49. Bianco B., Ridella S. Nonconventional Transmission Zeros in Distributed Rectangular Structures // IEEE Trans. MTT-20. 1972. P. 297-303

50. Birwal A. Evaluation and Comparison of Microstrip Effective Relative Permittivity Using MATLAB and Engauge Digitizer // International Journal of Scientific & Engineering Research. 2015. Vol. 6. № 7. P. 625-629.

51. Bogaert I. Iteration-free computation of Gauss-Legendre quadrature nodes and weights // Siam Journal on Scientific Computing. 2014. Vol. 36. №3. P. 10081026.

52. Botha M. M. A family of augmented Duffy transformations for near-singularity cancellation quadrature // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. June 2013. Vol. 61. № 6. P. 3123-3134.

53. Bououden A., Riabi M. L., Saadi A A., Yagoub M. C. E. Quasi-TEM Analysis of Symmetrical Shielded Broadside-Coupled Microstrip Lines // Progress In Electromagnetics Research M. 2021. Vol. 100. P. 213-223, doi: 10.2528/PIERM20112707.

54. Chadha R., Gupta K. C. Segmentation method using impedance matrix for analysis of planar microwave circuits // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. Jan. 1981. Vol. MTT-29, P. 71-74.

55. Chang S. S., Huang W. X., Itoh T. Computer Aided Design for Planar Microstrip Circuits Analysis by Boundary-Integral Method // 19th European Microwave Conference. 1989. P. 975-978. doi: 10.1109/EUMA.1989.334093.

56. Changyi Su, Ke. H., Hubing T.: Overview of Electromagnetic Modeling Software // 25th Annual Review of Progress in Applied Computational Electromagnetics. Monterey, California. March 8 - March 12. 2009.

57. Chen T. Capacitive sensors for measuring complex permittivity of planar and cylindrical structures // D.Ph. thesis. 12294. 2012. - 182 p.

58. Chew W. C., Dai Q. I., Liu Q. S., Xia T., Roth T. E., Gan H., Liu A., Chen S. C., Hidayetoglu M., Jiang L. J., Sun S., Hwu W. M. New Trends in Computational

Electromagnetics // Institution of Engineering and Technology. 2020. P. 13-91. doi: 10.1049/SBEW533E_ch2.

59. Civalleri P. P., Ridella S. Impedance and Admittance Matrices of Distributed Three-Layer N-Ports. IEEE Trans. 1971. Vol. 17. № 3. P. 392-398.

60. Costa L., Valtonen M. Implementation of Single and Coupled Microstrip Lines in APLAC. - Helsinki University, Finland, 1997. - 39 p.

61. Dankov P. I. Dielectric anisotropy of modern microwave substrates // Devices to Antenna and Applications, Rijeka, Croatia: InTech. 2010. Vol. 4. P. 75-101. doi: 10.5772/9061.

62. Dankov P. I., Iliev M. T., Levcheva V. P. Bi-axial dielectric anisotropy of crystalline materials and its characterization // Bulgarian Chemical Communications. 2018. Vol. 50. P. 126-134.

63. Dobrowolski J. A. Introduction to Computer Methods for Microwave Circuit Analysis and Design. - Warsaw University of Technology. Artech House, 1991. -427 p.

64. Dobrowolski J. A. Microwave Network Design Using the Scattering Matrix. -Artech House, 2010. - 269 p.

65. Edwards T. C., Steer M. B. Foundations for Microstrip Circuit Design / eds T. C. Edwards and M. B. Steer. - Wiley-IEEE Press, 2016. -688 p. doi: 10.1002/9781118936160

66. Faghand E., Karimian S., Mehrshahi E., Karimian N. Couplinator: A simple computational tool for synthesis of multi-section coupled-line filter based on MPCM-TLM technique. International Journal of Microwave and Wireless Technologies. 2021. Vol. 13. № 9. P. 887-896. doi: 10.1017/S1759078721000167.

67. Frankel S. Quasi-TEM Transmission Line Theory. - Interaction Note 135 Report № FA-197. Sidney Frankel & Associates, 1972. - 79 p.

68. Fumeaux C., Baumann D., Almpanis G., Li E.-P., Vahldieck R. Finite-volume time-domain method for electromagnetic modelling: Strengths, limitations and challenges // Int. J. Microw. Opt. Technol. 2008. Vol. 3. № 3. P. 318-328.

69. Goel A. K. High-Speed VLSI Interconnections, 2nd Edition - Wiley-IEEE Press, 2007. - 432 p.

70. Grieg D. D., Engelmann H. F., Microstrip-A New Transmission Technique for the Klilomegacycle Range // Proceedings of the IRE. - Dec. 1952. - Vol. 40. № 12, -P. 1644-1650. doi: 10.1109/JRPR0C.1952.274144.

71. Gruszczynski S, Wincza K. Extraction of Parallel-Coupled and End-Coupled TEM Resonator Networks from a Coupling Matrix in the Design of Coupled-Resonator Filters // Electronics. 2022. Vol. 11. № .8:1250. doi: 10.3390/electronics11081250.

72. Gupta K. C. Multiport network modeling approach for computer aided design of microstrip patches and arrays // Antennas and Propagation Society International Symposium, Blacksburg. 1987. P. 786-789. doi: 10.1109/APS.1987.1149930.

73. Gupta K. C., Benalla A. Multiport Network Modeling Approach for Cad Of Microstrip Patches // Invited Paper, Electromagnetics. 1989. Vol. 9. № 4. P. 345366. doi: 10.1080/02726348908915243

74. Gupta K. C., Hall P. S. Analysis and Design of Integrated Circuit-Antenna Modules. - Wiley, Technology & Engineering, 2000. - 424 p.

75. Gupta K. C., Parrikar R. P. Multiport network model for CAD of electromagnetically-coupled microstrip patch antennas // IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium. 1996. Vol. 2. P. 1058-1061. doi: 10.1109/APS.1996.549778.

76. Hampe M., Palanisamy V. A., Dickman S. Single summation expression for the impedance of rectangular PCB power-bus structure loaded with multiple lumped elements // IEEE Trans. Electromagn. Compat. Feb. 2007. Vol. 49. № 1. P. 58-67.

77. Helfert S. F. The Method of Lines in the time domain // Adv. Radio Sci. 2013. Vol. 11. P. 15-21. doi: 10.5194/ars-11-15-2013.

78. Hermeline F. A finite volume method for solving Maxwell equations in inhomogeneous media on arbitrary meshes // Comptes Rendus Mathematique, C R MATH. 2004. Vol. 339. № 12. P. 893-898, doi: 10.1016/j.crma.2004.09.027.

79. Herschlein A., Hagen J., Wiesbeck W. Methods for the Evaluation of Regular, Weakly Singular and Strongly Singular Surface Reaction Integrals Arising in Method of Moments // Applied Computational Electromagnetics Society Journal. 2002. Vol. 17. № 1. P. 63-73.

80. Inan U., Marshall R. Numerical Electromagnetics: The FDTD Method. -Cambridge: Cambridge University Press, 2011. -390 p. doi: 10.1017/CB09780511921353

81. Intel Math Kernel Library. [электронный ресурс] URL: https://www.intel.com/content/www/us/en/developer/tools/oneapi/onemkl.html (дата обращения: 01.07.2024).

82. Intel Threading building blocks. [электронный ресурс] URL: https://www.intel.com/content/www/us/en/developer/tools/oneapi/onetbb.html (дата обращения: 01.07.2024).

83. Iqbal A., Smida A., Waly M. I., Mallat N. K. Highly-tunable and wide stopband microstrip bandpass filters // Int J RF Microw Comput Aided Eng. 2021. Vol. 31. № 5. doi: 10.1002/mmce.22610.

84. Jaldi M., Alighanbari A. Circuit Model for Curved Coupled Microstrip Line AMC Structure Based on Quasi-Static Analysis // International Journal of Electronics and Communications. 2020. Vol. 124. doi: 10.1016/j.aeue.2020.153355.

85. Jiménez A. D. 2-D Electromagnetic Simulation of Passive Microstrip Circuits (1st ed.). - CRC Press., 2009. - 296 p. doi: 10.1201/9781315218618.

86. Jin H., Vahldieck R. The frequency-domain TLM method - A new concept // IEEE Trans. Microwave Theory and Tech. Dec. 1992. Vol. 40. P. 2207-2218.

87. Jin J. Theory and Computation of Electromagnetic Field, 2nd Edition. - Wiley-IEEE Press, 2015. - 752 p.

88. Jin J. M. The Finite Element Method in Electromagnetics, Third Edition. - New Jersey: Wiley, 2014. - 876 p.

89. Khajehnasiri A., Safavi-Naeini S. Generalized 2-D Multiport Model for Planar Circuits with Slots in Ground Plane // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 2007. Vol. 55. № 5. P. 1283-1292. doi: 10.1109/TAP.2007.895536.

90. Khayat M. A. Wilton D. R. Numerical evaluation of singular and near-singular potential integrals // IEEE Trans. Antennas Propagat. October 2005. Vol. 53. № 10. P. 3180-3190.

91. Khayat M. A., Wilton D. R., Fink P. W. An improved transformation and optimized sampling scheme for the numerical evaluation of singular and near-singular potentials // IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters. 2008. Vol. 7. P. 377-380.

92. Kim S-J., Lee M-Q. Three-line microstrip directional coupler with high directivity // Microwave and Optical Technology Letters. 2022. Vol. 64. № 2. P. 213-217. doi: 10.1002/mop.33070.

93. Kompa G., Mehran R. Planar waveguide model for calculating microstrip components // Electronics Letters. 1975. Vol. 11. № 19. P. 459-460. doi: 10.1049/el:19750352.

94. Larsson J. Electromagnetics from a quasistatic perspective // American Journal of Physics. 2007. Vol. 75. № 3. P. 230-239. doi: 10.1119/1.2397095.

95. Lee S. H., Benalla A., Gupta K. C. Faster computation of Z-matrices for triangular segments in planar circuits // International Journal of Microwave and Millimeter-wave Computer-aided Engineering. 1992. P. 98-107.

96. Lee S. K., Ooi S. F., Lim E. G., Korolkiewicz E., Sambell A., Efficient Coupling Impedance Formulas for the Right-angled Isosceles Triangular Patch for Use in Segmentation Analysis // European Microwave Conference. 2006. P. 241-244. doi: 10.1109/EUMC.2006.281282.

97. Lim E. G., Korolkiewicz E., Scott S., Aljibouri B., Gao S. -C. Efficient impedance coupling formulas for rectangular segment in planar microstrip circuits // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. Aug. 2003. Vol. 51. № 8. P. 21372140. doi: 10.1109/TAP.2003.814741.

98. Liu Q. S., Sun S., Chew W. C. A Potential-Based Integral Equation Method for Low-Frequency Electromagnetic Problems // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 2018. Vol. 66. № 3. P. 1413-1426. doi: 10.1109/TAP.2018.2794388.

99. Liu, Ping & Li, Zheng-fan. Efficient Computation of Z-parameter for the Rectangular Planar Circuit Analysis // Piers Online. 2005. Vol. 1. P. 611-614. doi: 10.2529/PIERS050104011634.

100. Mandache L., Topan D. New treatment of the multiple mutually coupled inductors to improve the modified nodal analysis in harmonic regime // Proc. 51st Internationales Wissenschaftliches Kolloquium. Sep. 2006 [online] Available: https://www.db-thueringen.de/receive/dbt_mods_00012391

101. Markov N. S., Linkov A. M. An effective method to find Green's functions for layered media // Mater.Phys.Mech.(MPM). 2017. Vol. 32. № 2. P. 133-143.

102. Mesa F. L., Cano G., Medina F. On the quasi-TEM and full-wave approaches applied to coplanar multistrip on lossy dielectric layered media // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 1992. Vol. 40. № 3. P. 524531. doi: 10.1109/22.121728.

103. Mongia R., Bahl I., Bhartia P., RF and Microwave Coupled-Line. Circuits, 2nd edition. - Norwood, MA: Artech House, 2007. - 544 p.

104. Morgan M. A. Principles of RF and Microwave Design. - New York: Artech House, 2020. - 718 p.

105. Munteanu I., Weiland T. RF & Microwave Simulation with the Finite Integration Technique - From Component to System Design / Ciuprina, G., Ioan, D. (eds) // Scientific Computing in Electrical Engineering. Mathematics in Industry. 2007. Vol. 11. doi: 10.1007/978-3-540-71980-9_26.

106. Nataf F. Absorbing boundary conditions and perfectly matched layers in wave propagation problems // Radon Series on Computational and Applied Mathematics. 2013. Vol. 11. doi: 10.1515/9783110282283.219.

107. Okoshi T. Planar Circuits For Microwaves and Lightwaves. Springer Series in Electronics and Photonics, 18, 2012. - 202 p.

108. Okoshi T., Miyoshi T. The Planar Circuit - An Approach to Microwave Integrated Circuitry // IEEE Trans. 1972. Vol. 20. P. 245-252.

109. Okoshi T., Uehara Y., Takeuchi T. The Segmentation Method - An Approach to the Analysis of Microwave Planar Circuits (Short Papers) // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. Oct. 1976. Vol. 24. № 10. P. 662-668. doi: 10.1109/TMTT.1976.1128934.

110. Oliner A. A. Equivalent Circuits for Discontinuities in Balanced Strip Transmission Line // IRE Transactions on Microwave Theory and Techniques. March 1955. Vol. 3. № 2. P. 134-143. doi: 10.1109/TMTT.1955.1124924.

111. Orloff N. D. How to extract distributed circuit parameters from the scattering parameters of a transmission line // 90th ARFTG Microwave Measurement Symposium (ARFTG). 2017. P. 1-5. doi: 10.1109/ARFTG.2017.8255872.

112. Paramonov V. V., Denisenko D. V. The method for high order modes parameters estimations in periodical structures // Вопросы атомной науки и техники. 2012. Vol. 4. P. 83-87, 2012

113. Prothe A., Gupta K. C., Modeling and Sensitivity Analysis of Parasitic Coupling in Microstrip Circuits. MIMICAD Technical Report № 10. - Electromagnetics Laboratory/The MIMICAD Research Center, August 1991. - 118 p.

114. Raghavan S. Microwave Integrated Circuit Components Design through MATLAB®. 1st ed. - CRC Press, 2019. - 195 p.

115. Rautio J, C. A Space-Mapped Model of Thick, Tightly Coupled Conductors for Planar Electromagnetic Analysis // IEEE Microwave Magazine. September 2004. Vol. 5. № 3. P. 62-72.

116. Reveyrand T. Multiport conversions between S, Z, Y, h, ABCD, and T parameters // International Workshop on Integrated Nonlinear Microwave and Millimetre-wave Circuits (INMMIC). 2018. P. 1-3. doi: 10.1109/INMMIC.2018.8430023.

117. Richards P. I. Resistor-Transmission-Line Circuits // Proceedings of the IRE. 1948. Vol. 36. № 2. P. 217-220. doi: 10.1109/JRPR0C.1948.233274.

118. Roshani S, Yahya S., Roshani S, Rostami M. Design and Fabrication of a Compact Branch-Line Coupler Using Resonators with Wide Harmonics Suppression Band // Electronics. 2022. Vol. 11. № 5:793. doi: 10.3390/electronics11050793.

119. Ruehli A. E., Antonini G., Jiang L. Capacitance Computations. In Circuit Oriented Electromagnetic Modeling Using the PEEC Techniques. - Wiley-IEEE Press, 2017. - 464 p. doi: 10.1002/9781119078388.ch4.

120. Sabban A., Gupta K. C. A planar-lumped model for coupled microstrip lines and discontinuities // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 1992. Vol. 40. № 9. P. 245-252. doi: 10.1109/22.120096.

121. Sabban A., Gupta K. C. Evaluation of Parasitic Coupling Among Microstrip Line Discontinuities Using a Multiport Network Modeling Approach // 23rd European Microwave Conference. (Madrid, Spain, September 6-10). Madrid. 1993. P. 656658. doi: 10.1109/EUMA.1993.336660.

122. Sabban A., Gupta K. C. Multiport Network Model for Evaluating Radiation Loss and Coupling Among Discontinuities in Microstrip Circuits. MIMICAD Technical Report № 6. - Electromagnetics Laboratory/The MIMICAD Research Center, January 1991. - 283 p.

123. Sadiku M. N., Musa S. M. Comparison of Dispersion Formulas for Microstrip Lines // IEEE SoutheastCon. Proceedings. 2004. P. 378-382. doi: 10.1109/SEC0N.2004.1287946.

124. Sankaran K. Recent Trends in Computational Electromagnetics for Defence Applications // Defence Science Journal. 2019. Vol. 69. № 1. P. 65-73. doi: 10.14429/dsj.69.13275.

125. Scott K. J. Electrostatic Potential Green's Functions for Multi-. Layered Dielectric Media // Philips J. Research. 1990. Vol. 45. P. 293-324.

126. Sener G. Multiport Analysis by PadE Approximation // Progress In Electromagnetics Research. 2012. Vol. 125. P. 203-218.

127. Sharma P. C., Gupta K. C. Desegmentation method for analysis of two-dimensional microwave circuits // IEEE Trans. Microw. Theory Tech. Oct. 1981. Vol. 29. P. 1094-1098.

128. Sharma S., Triverio P. A. Single-Layer Dual-Mesh Boundary Element Method for Multiscale Electromagnetic Modeling of Penetrable Objects in Layered Media // IEEE Journal on Multiscale and Multiphysics Computational Techniques. 2021. Vol. 6. P. 158-170. doi: 10.1109/JMMCT.2021.3122427.

129. Sheng X. -Q., Song W. Essentials of Computational Electromagnetics - Hoboken NJ USA: Wiley, 2012. - 279 p. doi: 10.1002/9780470829646.

130. Solin P., Dolezel I., Karban P., Ulrych B. Integral Methods in Low-Frequency Electromagnetics. Integral Methods in Low-Frequency Electromagnetics. - John Wiley & Sons, 2009. - 388 p. doi: 10.1002/9780470502730.

131. Steer M. Fundamentals of Microwave and RF Design, Third Edition. - NC State University, 2019. -244 p. doi: 10.5149/9781469656892_Steer.

132. Steer M. Microwave and RF Design: Networks, Volume 3. - NC State University, 2019. -258 p. doi: 10.5149/9781469656953_Steer.

133. Steer M. Microwave and RF Design: Transmission Lines, Volume 2. - NC State University, 2019. -302 p. doi: 10.5149/9781469656939_Steer.

134. Stumpf M., Leone M. Efficient 2-D Integral Equation Approach for the Analysis of Power Bus Structures with Arbitrary Shape // IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility. Feb. 2009. Vol. 51. № 1. P. 38-45. doi: 10.1109/TEMC.2008.2009223.

135. Surovtsev R. S., Nosov A. V., Gazizov T. R. Analytical models and conditions for optimal protective meander lines // Electrica. 2022. Vol. 22. № 2. P. 295-300 doi: 10.54614/electrica.2022.21106.

136. Swanson D. G., Wolfgang Jr., Hoefer J. R. Microwave circuit modeling using electromagnetic field simulation. - Artech House, Inc. 2003. - 469 p.

137. Torabian A., Chow Y. L. A simple 2-D/3-D method for fast analysis of patch resonators with high accuracy // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 2001. Vol. 49. № 3. P. 470-474. doi: 10.1109/8.918623.

138. Touchstone File Format Specification Version 2.0. [электронный ресурс] URL: http://www.ibis.org/touchstone_ver2.0/touchstone_ver2_0.pdf (дата обращения: 01.07.2024).

139. Verma A. K. Introduction to Modern Planar Transmission Lines: Physical, Analytical, and Circuit Models Approach. 1st Edition. - Wiley-IEEE Press, Hoboken NJ, 2021. - 944 p.

140. Volakis J. L., Chattejee A., Kempel L. C. Finite Element Method for Electromagnetics: Antennas. Microwave Circuits, and Scattering Applications. -Piscataway, NJ: Wiley IEEE Press Series on Electromagnetic Wave Theory, 1998. -368 p.

141. Wang C. H, Shi X. M. Miniaturized tri-notched wideband bandpass filter with ultrawide upper stopband suppression // Scientific Reports. 2021. Vol. 11. № 1:13004. doi: 10.1038/s41598-021 -92394-7.

142. Wolff I., Kompa G., Mehran R. Calculation method for microstrip discontinuities and T junctions // Electronics Letters. 1972. Vol. 8. P. 177-179.

143. Yang H., Mittra R. FDTD Modeling of Metamaterials: Theory and Applications. -Norwood: Artech House, 2008. - 395 p.

144. Yeung L. K., & Wu K. -L. PEEC Modeling of Radiation Problems for Microstrip Structures // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 2013. Vol. 61. № 7. P. 3648-3655. doi: 10.1109/TAP.2013.2254691.

Приложение А. Алгоритм вывода ФГ уравнения Лапласа для слоистой диэлектрической среды с выделенной анизотропией

Пусть точечный заряд находится в точке О с координатами (0, 0, го), тогда запишем уравнение Пуассона для точечного источника:

д и д и д и ( ч ( ч , ч х дх2 у ду2 2 дг2 у / у ' у 0/

С учетом радиальной симметрии перепишем как

/ л2 л2 \

д и д и

■ + ■

дх2 ду

+ дди = -8{ х )8{ у )^о)

дг2

где ^х = ^у = £р £г=£р / £2 .

Запишем преобразование Фурье по двум координатам:

и

ои ои

(кх, ку )= I I и (X, у ) 6

—1кхх—гкуу

dxdy.

тогда обратное к нему:

1 да да

и(ху) = 4-2 | | и(кх,ку)еКх+1куУ^ку

4П

Применяем преобразований Фурье (А.3) по х и у к (А.2):

да да / Л2 л2 Л

д и д и

II

■ + ■

дх2 ду2

—гкхх—гкуу

да да

dxdy + | |

д и — 1к„х—

1кхх—1куу

д2 2

dxdy ■■

2 — 2о)

ои ои

I х)3(у)е"lkxX—lkУydxdy,

(А.1)

(А.2)

(А.3)

(А.4)

(А.5)

ои ои

Поскольку (х)3(у)е" 1к%х~1куУ'dxdy = 1, то

да да /О

II

дг2

да да / -л2

III

д и „—1кхх—1куу

д 2и д 2и ^ ■ + ■

dxdy = ■

ои ои

д2II

—1кхх—1куу т т

ие х у ахау

д2и

дх2 ду2

—1кхх—1куу

дг2 дг2 '

dxdy = —(кх2 + ку2)й.

(А.6)

(А.7)

В итоге получаем следующее уравнение:

—да —да

—да —да

—да —да

—да —да

—да —да

—да —да

—да —да

—оо —ОО

д^т"гДкх + ку )а----• (А.8)

Пусть к2 - (кх2 + ку2), тогда

д 4 г к Й -~3( 2 - 20 ) —у гтк и - ,

д2 Г2 где правая часть не нулевая только в плоскости 2 - 20.

Чтобы найти выражение для потенциала, применим обратное преобразование Фурье к образу:

(А.9)

1 то то

1(•У'Z) = 4П ÍÍ1 (kx,ky,z)eKx+lkyydkxdky . (А.10)

—то —то

Перейдем в цилиндрическую систему координат: x = pcos (в), y = psin (в). kx = k cos (a), ky = k sin (a), тогда

u (p, z ) = П П У (k, z) elkpcos(e) cos(a)+lkpsin(e) sin(a)kdkde,

(А.11)

но

•2 ж ___„ía\„„„í„\, „„:„/" а^„:„/'„^ í*2 ж

|^МаУ^в)- |^^ (кр) , (А12)

таким образом находим, что

и (Р,2)- Пи (к,2)о (кРРШ. (А.13)

Решение уравнения (А.9) будем искать в виде:

Й,(к,2)-А+еГ + Л-^2. (А.14)

Запишем граничные условия на границе раздела диэлектриков: г2+Е2,+1 - г2 гЕ2, - , где -8(х)8(у). Применяя к ним преобразование Фурье по х и у, получим, что

то то то то

| \(Г2,г+1Е2,г+1 -Г2,гЕ2,г ) ^^- | |8( Х)8( У ) ^^ ^У (^5)

—то —то —то —то

~ да и так как Е ---, то

д2

дй

1+1

'г ,1+1

дг

г ,1

дй1 дг

8,

(А.16)

и1+1 = и,

где 8 = 1 при наличии заряда и 8 = 0 при его отсутствии.

Рис. А.1 Плоскослоистая структура с зарядом внутри слоя Рассмотрим плоскослоистую структуру из трех слоев и ограниченную экраном, как это показано на рис. А.1. Для каждой области запишем уравнения для потенциалов:

й1 ( к, г ) = у

й2 ( к, г ) = В и, (к, г) = С

+ Л" е

+ в-е (А.17)

+ с ~ е

а также для их производных

& (Л

дй2 ( к, г )

ди1 (к, г) _ ПТы А + Жкг —

дг

^'к (В

^^М = ПГк (С дг ЧТ3

+ „\1£Т кг Т>—„ЫеП кг -

В ~е

+е>1 Ет к — с~е * ткг

(А.18)

Используя граничные условия (А.16), составляем систему уравнений:

Й (к, — И) - 0, (к, Н)- 0, 1 (к,0)- Й2 (к,0) , ( к, 2о )-Й3 ( к, 2о ) 5

и

и

и,

дй1 (к ,0)- дй2 (к ,0) д2 22 д2 дии 3 ( к2 ,z0 ) — е дии 2 ( к2 ,z0 ) -—1

дz д7

(А.19)

Таким образом, задача сводится к поиску неизвестных коэффициентов А, В, С. Подставляя (А. 17) и (А. 18) в (А.19), найдем, что А"-— А+е~2^кк ,

С" - —С+екН , А+ + А~ - В+ + В", В+е^2 ^ + В~е"^2 к2° - С+е^т3 Ь° + С"ек2°, или

Учитывая, что Г23 - Г22 - Г20 и Гт3 - ГТ2 - ГТ0 , получаем

В+е^л/гТТк20 + В - - С+е2^20 + С", а также А+ — А") - £2 0>/ГТ( В + — В") и

(С+е^°к20

— С - е~^к20) — (В+е^0 — В -е~^к20) ---1

Г2 0\ к

В итоге получаем систему уравнений: А+(1 — е~2^кИ)-В ++ В -,

В + е2<ЕТ0 к20 + В~ - С+ ( ГТ0 к20 — к ^ кН

Г2 Л ГТ

1 А+| 1 + е

Г2 0^ ГТ

= В+—В"

В+е

2. т к20

—В-—С+е

+ I „ X Т0 0

2. 1ет„ к20 2„ ¡ет кН

+ е

Гт0 к20

Г2 0у[Гт~0к

(А.20)

(А.21)

(А.22)

(А.23)

Складываем (А.20) и (А.22):

+

А+(1 — е-2^км + 21У т1 А+[ 1 + ^л/ГГТкМ-

Г2 0\/

А (1 + е

- 2 В+

откуда

е

В += Л4

—2./в7кк / I —2^кк

ег0X1 — в20Л£т, е + е ^ 1

Г1 Г1

2в^Лв,

г 0 V Г

В += Лн

г 0V Г

0\1в Г £21\1в Г

Обозначим а =-^^-^^, тогда:

в, ^ ^Г0 + в^ Вт

+ +,1 -ае~ЧSВ |(В2 ^ ВГ0

В+= Л+±-.—-:--, В"

2в^/в

^)

= Л+

—2. [ЁГкк

а — 6 " II ^0л/ВГ0 +В21

В)

г 0 V Г

2В2 0^

Выражаем С + из (А.21) и (А.23):

В+е 2ГГ0 к20 + В - В+е^Ет кг0 — В'

вг0 кг0

еУВТ кг0 — еУВт кН еУВт кг0 + еУВГ0 кН

2л вГп кг0 2 вт кН

В,0л/Вт к( ^+ ^

В + Г0 0 ^ ^0 + В - Г0 0 + В + Г0 0 ^ь Г0™' + В ~ Г

2. вГ„Ь0 „+ 2. вГ„ кг0 2./вГ„кН т->— 2Л вГ„кН

2. вГ„к10 2. вГ„к1,

= В+ ^ ^ Г0 0 — В"е V ^ 0__^_Г0 0

л]вГ0 кг0

2. вГ„к10 е 2.1вГ„к10

в2 0у[вт'0к

Лв кг0 2Л в кН 2л Iв Г кг0 2л /вГ„кН 2л 1вГп кН е4 е У

—В+е ^ Г0 0е ^ + В""Г0 +

В 0^

,--,--,--л/вг0 кг0 вг0 кН \вг0 кг0 2ч]вг0 кг0

2В-е2вь0+2В+^в* =е 0 ^ 0 — ^ 0 ^ 0

В 0

е ^вг0 кг0 е ^вт кН _ Лвг0 кг0

В - + в+е ^0кН = --е-е-

2в2 0^в0к

Л+

^>/вГГк (2 Н—г0) — евь0

к (в2 0+в21^ ) Приведем степень к -Н:

Л+ =

а — е + е *в0кН — ае-2к (в—вН)

л ' У

е~^1вг0 кг0 — е^вг0 кг0 е~Чвг0 кН

к (в2 0^0 +в&)(

—2. вГ0 кН —2АвГ кк —2. вГ0 кН —2к./вГ1 к

ае v Г0 — е у Г1 е v Г0 +1 — ае 4 Г1

Затем избавимся от экспонент в знаменателе:

А+ -■

( е-у1ГГТк20 — еу1ГГк20 е-2^ГГкН)

к (Г2 0^0 + Г2^Л/ГГТ )(1 — ае

-2кГИ

кк» ^

а — е

е"^ г кМ-^ +1

1 — ае"2 к^к

1 то

Из разложения в ряд Тейлора получим, что-- ^(—1)" хп, тогда

Х + 1 п-0

Х + 1 п-0

Е(—1)

п —2^ еХ0 пкН

а — е

п

^кН (а — е е" "") +1 - (1 — ае-2^) (А.24)

1 — ае v 1

Таким образом, преобразуем коэффициенты к следующему виду:

е~4£Т0 к20 — еАГ к20 е~ЧГТ0 кН ) то ( а — е~2ЧГ И

то е-2КПкН

л+ - \_V ( лп е-2гГ0пкН А_

А —-тп-1) е 7-, (А.25)

к(г0у1 Г +г2^гт,) п-0 (1 — ае"2к^к) ' '

е-Г к20 ( 1 — е2Ч£Т0 20 е~2ЧГ Н ) то ( а — е~2ЧГ И

то е2^пкН

В+ -_V_/ V( 1 )пе2^^ \_!_

- йг-г е (Ю^Г^ ■ (А26)

е-у1ГГк20 (1 — е2кГ0 20 е~2 курТН ) то (а — е2кКИ

В" -_V_"Х(—1)п е~ пкН

п+1

¿г4' ¡^^ '(А.27)

С +- с-2КкН ВУ^2" + В

1 — е2Чг, 20 е-2 Ну (А.28)

С__ ВГт0 к20 + В

1 — е2 Ч£т0 20 е~2 Ч£т0Н) (А.29)

Далее воспользуемся известными формулами для биномиальных коэффициентов:

п

1

п

(а + х)п - Уап—т хт ■ п! ч и (а + х)—п - V(—1)' а"п—/ х7 (,п +1 ч 1)!, |х| < а V ; т-0 т!( п — т ; & ' (п — 1)!/! 11

Таким образом, получим следующие разложения:

(1 — ае"2кГк Г - £ о/е"2к'Гк (п + ' — 1)! I1 ае ) (п — 1)!/! ,

(1 — ае"2кГк)—(^-уае"2к/Гк (п^1)!, V ' £0 п!/! '

(а—е _2 к^к )п - у (—1)т а—т е -2 ктуКк п! \ т!( п — т)!'

-2 к^ку

а е ( —1)т ап—т+/ (п + ' — 1)!п е-2к(/+т)^к

-2^/гт, М" т-Т ' т!/!(п — т)!

п

_'?/> /о й к

1 — ае

Положим / - £ — т, тогда

ап—2т+* (п + £ — т — 1)!п 2Ь^к

■1) —т-\—т-г~е ,

/ —I /„ —\1/„ —\1

а е"2Чт

пто

--УУ(- ^ -

1 — ае~2Чг^\п т-0£т т!( * — т)!(п — т)!

и

—2 к.1ет, к ' п

а — е I то тш(*,п)