Квазиконформные и гармонические экстремали функционалов на гомотопических классах деформаций и вложений римановых поверхностей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Граф, Сергей Юрьевич

• Граф, Сергей Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Граф, Сергей Юрьевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КВАЗИКОНФОРМНЫХ ГАРМОНИЧЕСКИХ ГОМЕОМОРФИЗМОВ

§1. Предварительные сведения

§2. О квазиконформности гармонического продолжения квазисимметрической функции

§3. Свойства квадратичных дифференциалов, ассоциированных с гармоническими квазиконформными автоморфизмами единичного

круга

§4. Квазиконформные экстремали интеграла Дирихле-Дугласа в классах нормированных гармонических автоморфизмов единичного

круга

§5. Теорема покрытия для одного класса гармонических отображений круга в полосу

ГЛАВА 2. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ КВАЗИКОНФОРМНЫЕ ВЛОЖЕНИЯ РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

§6. Квазиконформные экстремали функционала Белинского в гомотопических классах вложений конечных римановых поверхностей

§7. Единственность экстремалей функционала Белинского в гомотопических классах вложений конечных римановых поверхностей

§8. Единственность экстремалей весовой дилатации в гомотопических

классах вложений конечных римановых поверхностей

§9. Квазиконформные экстремали интегральной весовой дилатации в гомотопических классах вложений конечных римановых поверхностей

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

123

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квазиконформные и гармонические экстремали функционалов на гомотопических классах деформаций и вложений римановых поверхностей»

ВВЕДЕНИЕ

Объектом исследования в настоящей диссертации являются локальные и глобальные свойства экстремальных квазиконформных и обобщенных гармонических отображений плоских областей и римановых поверхностей.

Понятие квазиконформного отображения возникло во второй четверти двадцатого века в ходе исследований, проводимых М.А.Лаврентьевым [83], Г.Гретчем [72] и Л.Альфорсом. В 1939 г. О.Тейхмюллер [97] применил теорию экстремальных квазиконформных отображений при изучении восходящей еще к Б.Риману проблемы модулей алгебраических кривых. Идеи, заложенные в работах М.А.Лаврентьева, Г.Гретча и О.Тейхмюл-лера, получили дальнейшее развитие в трудах Л.Альфорса [1] - [4], П.П. Белинского [5], [6], Л.Берса [8] - [10], Л.И.Волковыского [12], [13] и привели к созданию глубокой и разветвленной теории квазиконформных отображений с обширными приложениями в гидродинамике. На сегодняшний день на ее основе сформировалась самостоятельная теория пространств Тейх-мюллера, имеющая перспективные приложения в современной математической и теоретической физике (солитонике, конформной, калибровочной и струнной теории поля).

Не менее важное место в современной математике занимает теория гармонических отображений, возникшая на основе работ Т.Радо [89], Х.Кне-зера [78] (1926 г.), Г.Шоке (1945 г.). Заметную роль в формировании теории гармонических и обобщенных гармонических отображений сыграли такие математики, как Э.Райх [90], К.Штребель [93] - [95], Дж.Элс,

Л.Лемер, С.Бохнер, Ф.Хартман, И.Ниче, Р.Шен, С.Яо [92], Ю.Йост [76], [77], К.Уленбек, П.Дюрен, Г.Шобер, В.Хенгартнер [75], Дж.Клуни, Т. Шейл-Смолл [66].

В развитие теории квазиконформных и гармонических отображений, а также пространств Тейхмюллера большой вклад внесли отечественные математики М.А.Лаврентьев, И.Н.Векуа, Ю.Г.Решетняк, П.П.Белинский, Г.Д.Суворов, Б.В.Шабат, С.Л.Крушкаль, А.Т.Фоменко, В.А.Зо-рич, В.Я.Гутлянский, В.М.Миклюков, И.П.Митюк, Д.В.Прохоров, В.В. Горяйнов, А.Ю. Васильев, М.С.Иоффе (см. работы [5], [6], [33], [38] -[41], [45], [50]).

В настоящее время квазиконформные и гармонические отображения превратились в гибкий мощный инструмент для решения широкого спектра актуальных проблем и задач как комплексного, так и действительного анализа, геометрии, теории клейновых групп, пространств Соболева, комплексно-аналитической динамики, а также задач в различных областях математической и теоретической физики. В частности, теория гармонических отображений находит свое применение в задачах динамики жидких кристаллов и теории минимальных поверхностей. При этом возможности развития теории гармонических и квазиконформных отображений далеко не исчерпаны, о чем свидетельствуют новые интересные результаты и задачи, возникающие в этих областях.

В реферируемой работе сделана попытка выработать общий подход к экстремальным задачам гармонического и квазиконформного анализа, основанный на исследовании свойств квадратичных дифференциалов, ассоциированных с экстремальными элементами. При этом значительная часть результатов продолжает исследования В.Г.Шеретова [32], [52] - [54], [57] - [59] по проблемам минимизации интеграла Дирихле-Дугласа в гомотопических классах квазиконформных гомеоморфизмов римановых поверхностей, граничного поведения гармонических гомеоморфизмов, проблеме существования и единственности в задаче П.П.Белинского. Впервые

исследуются аналогичные проблемы в новых гомотопических классах квазиконформных отображений и вложений системы конечных гиперболических римановых поверхностей в заданную конечную гиперболическую ри-манову поверхность. В частности, решаются задачи о минимизации интеграла Дирихле-Дугласа на классах нормированных квазиконформных гармонических автоморфизмов круга, о минимизации нового функционала интегральной весовой дилатации и задача П.П.Белинского на классах квазиконформных вложений конечных римановых поверхностей. При этом во всех задачах выявляется роль поведения ассоциированных ме-роморфных квадратичных дифференциалов, что является развитием известного принципа Тейхмюллера. Многие доказательства опираются на работы С.Л.Крушкаля [38] - [41], М.С.Иоффе [33], недавние результаты А.А.Голубева [15] - [19].

Целью данной работы являются:

(а) получение решения задачи о минимизации интеграла Дирихле-Дугласа на классах квазиконформных обобщенных гармонических автоморфизмов единичного круга, нормированных конечным числом граничных соответствий, и описание характеристических свойств экстремальных элементов.

(б) решение задачи П.П.Белинского о максимизации действительного непрерывного функционала на гомотопических классах квазиконформных вложений системы конечных гиперболических римановых поверхностей в заданную конечную гиперболическую риманову поверхность.

(в) доказательство единственности экстремальных отображений типа Тейхмюллера в гомотопических классах т(г)— и т(ги)— квазиконформных вложений конечных римановых поверхностей.

При получении основных результатов использованы методы геометрической теории функций, прежде всего методы граничной и внутренней

вариации квазиконформного отображения, экстремальных метрик, принцип Дирихле для гармонических функций, принцип аналитического продолжения, теорема об униформизации римановых поверхностей, свойства аналитических квадратичных дифференциалов, метод соответствия траекторий пар аналитических квадратичных дифференциалов, ассоциированных с отображениями типа Тейхмюллера, компактность классов к— квазиконформных отображений.

Все представленные в диссертации результаты, за исключением материала §1 и пункта 0 в §6, носящего обзорный характер, являются новыми. Работа носит теоретический характер. Основными в ней являются следующие результаты:

— получен критерий квазиконформности гармонического отображения единичного круга на выпуклую ограниченную жорданову область, заключающийся в свойстве квазисимметричности граничного гомеоморфизма.

— впервые поставлена и решена задача о минимизации интеграла Дирихле-Дугласа на классах квазиконформных обобщенных гармонических автоморфизмов единичного круга, нормированных конечным числом граничных соответствий.

— исследована роль голоморфных квадратичных дифференциалов, ассоциированных с обобщенными гармоническими автоморфизмами единичного круга в вопросе о возможности аналитического продолжения этих отображений по симметрии через дуги единичной окружности. Доказано, что дуги, через которые подобное продолжение осуществимо, являются траекториями либо ортогональными траекториями соответствующих квадратичных дифференциалов.

— решена задача П.П.Белинского в свободных гомотопических классах квазиконформных вложений системы конечных гиперболических римановых поверхностей в заданную конечную гиперболическую риманову поверхность.

— доказана единственность экстремальных отображений типа Тейх-мюллера в свободных гомотопических классах квазиконформных вложений системы конечных гиперболических римановых поверхностей в заданную конечную гиперболическую риманову поверхность.

— расширен класс экстремальных задач, решениями которых являются отображения или вложения типа Тейхмюллера.

Результаты диссертации могут быть использованы в исследованиях по геометрической теории функций, квазиконформным и гармоническим отображениям, римановым поверхностям, а также в соответствующих прикладных вопросах.

Основные результаты диссертации докладывались на научной конференции, посвященной 25-летию Тверского государственного университета (1996 г., г.Тверь), международной конференции по теории приближений функций, посвященной памяти профессора П.П.Коровкина (июнь 1996 г., г.Калуга), Второй Казанской летней школе-конференции "Алгебра и анализ" (июнь 1997 г., г.Казань), 9-ой Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" (январь 1998 г., г. Саратов). По мере получения они регулярно в 1996-1998 гг. докладывались на научном семинаре кафедры математического анализа ТвГУ (рук. проф. В.Г.Шеретов).

Результаты диссертационных исследований опубликованы в 9 статьях, список которых приведен в конце диссертации.

Работа состоит из введения, двух глав, включающих 9 параграфов, заключения и изложена на 131 странице. Нумерация параграфов сквозная, то есть не зависит от номеров глав. Нумерация формул и теорем идет по параграфам. Список использованной литературы включает 99 наименований.

Результаты первой главы связаны с изучением свойств квазиконформных гармонических в римановой метрике <72(т) \с1ги2\, где сг(и>) —непрерывная, положительная, исключая возможные изолированные нули,

функция в единичном круге Ы такая, что \\и а2(т) ¿шЬ < оо, однолистных автоморфизмов единичного круга Ы и решением на классе На (5) таких автоморфизмов, нормированных в конечном числе точек на единичной окружности, экстремальной задачи о минимизации интеграла Дирихле-Дугласа

ЕЛ/) = II Ш' + Ш2)о>от,Ыу.

и

В §1 вводятся понятия квазиконформного, гармонического в классическом смысле и гармонического в произвольной римановой метрике отображений, формулируются некоторые свойства квазиконформных и гармонических отображений, теорема Радо-Кнезера-Шоке и некоторые другие сведения, необходимые для решения задач первой главы.

В §2 вводится восходящее к Л.Альфорсу понятие р -квазисимметрического гомеоморфизма замкнутой жордановой кривой и рассматриваются классы НР(П) классических гармонических гомеоморфизмов единичного круга Ы с р -квазисимметрическими нормированными в одной точке единичной окружности граничными функциями, отображающими дЫ на границу выпуклой ограниченной жордановой области I), а также их компактные в топологии локально равномерной сходимости в круге Ы подклассы. Доказывается инвариантность классов ' Нр (И) относительно конформных преобразований аргумента специального вида М%ь(г) = Ф^1(аФи(г) + Ь), а > О, Ь Е М, где Фи — некоторое фиксированное конформное отображение единичного круга на верхнюю полуплоскость.

Основным результатом параграфа является

Теорема 2.3. Гармоническое однолистное отображение единичного круга Ы на выпуклую ограниченную жорданову область Б является квазиконформным в том и только том случае, когда его граничный гомеоморфизм является квазисимметрической функцией.

При доказательстве использовано известное условие Альфорса-Бер-линга квазисимметричности граничной функции квазиконформного автоморфизма верхней полуплоскости, а также равномерная на компактных подклассах класса Нр{В) оценка модуля комплексной характеристики гармонических отображений. Ранее достаточные условия квазиконформности интеграла Пуассона были получены О.Мартио [87] (1969 г.) и В.Г.Шеретовым [52] (1980 г.) в терминах свойств его граничного диффеоморфизма.

Содержание §3 составляют результаты, описывающие свойства голоморфных квадратичных дифференциалов вида (р/(г) ¿г2 = а2 о /(¿г) /2(г) ассоциированных с квазиконформными гармоническими в ри-мановой метрике а2(т)\с11и\2, ст2(и1) с1ис1у < оо, автоморфизмами единичного круга Ы. Норма квадратичного дифференциала <р/(г) ¿г2, определяемая как /с1хс1у, конечна в силу квазиконформности функции /. Точка го = ега называется граничным полюсом порядка у функции (р Е Но1{и), если при х Е Ы и г -Л имеем | х \х — ¿о|_г/- Здесь символом Но1(Ы) обозначен класс функций, голоморфных в круге Ы. Исследуется вопрос существования граничных некасательных предельных значений у функций и при наличии лишь конечного числа граничных полюсов порядков V < 2 доказывается принадлежность этих функций пространству Харди .

Центральным вопросом параграфа является изучение возможности гармонического гомеоморфного продолжения по симметрии относительно дЫ квазиконформного гармонического автоморфизма круга через дуги единичной окружности. Возможность такого продолжения оказывается тесно связанной со свойствами квадратичных дифференциалов гармонических отображений. На расширенной комплексной плоскости рассматривается непрерывная риманова метрика

<т2(и!) \с1и>\2, если и> Е

а2(и)) |сЦ2

|ску|2, если ииеи:=С\и.

Аналитическая дуга на римановой поверхности 91 называется горизонтальной дугой (траекторией дифференциала ipjdz2 ), если вдоль нее выполняется дифференциальное неравенство tpf(z)dz2 >0, и вертикальной дугой (ортогональной траекторией дифференциала ip dz2 ), если вдоль нее имеем ipf(z)dz2 < 0 . Аналогично в терминах граничных локальных параметров вводятся понятия граничных траекторий и граничных ортогональных траекторий на конечной римановой поверхности 91.

Справедлива

Лемма 3.1. Функция /, гармоническая в метрике cr2(w) \dw\2 в единичном круге U, продолжается по симметрии относительно дЫ до гармонического в метрике a2(w) | dw |2 отображения конечной римановой поверхности С\(<9£ДГ), где Г — дуга или объединение дуг единичной окружности тогда и только тогда, когда множество Г представляет собой объединение граничных траекторий и ортогональных траекторий квадратичного дифференциала iff dz2, ассоциированного с функцией /, причем общими концевыми точками граничных траекторий с граничными отрогональными траекториями могут быть лишь граничные нули (р f dz2.

В случае когда функция cf{w), определяющая метрику a2(w) \dw\2, имеет специальный вид, справедлив следующий результат.

Теорема 3.3. Пусть f — гармоническое в метрике \A'(w)dw\2, где A(w) — мебиусов автоморфизм единичного круга, отображение круга U на себя, такое, что гармоническое отображение А о f имеет кусочно-линейную граничную функцию еш°(в\ Тогда f продолжается по симметрии до гармонического в метрике a2(w)\dw\2 отображения римановой поверхности 91 = С\{ега1/ где {au}™=l — множество точек разрыва функции и'0 (в) = duJo(6)/d9.

Граничная функция егш°^ является в этом случае квазисимметрическим гомеоморфизмом. Доказательство теоремы проводится методами геометрической теории функций, использует анализ бесконечно малых и свойства квадратичных дифференциалов гармонических отображений.

В §4 изложены результаты, касающиеся проблемы минимизации интеграла Дирихле-Дугласа Еа(/) на классах На(5) квазиконформных гармонических в метрике а2{и))\(1'ш\2 автоморфизмов единичного круга Ы, продолжимых до автоморфизмов замкнутого единичного круга Ы, и нормированных на единичной окружности конечным числом граничных условий вида /(ег^) = ега", V — 0, п — 1. Дивизор 5 — {егаг/}^1д выбирается таким образом, чтобы класс На(5) не содержал конформного отображения.

Доказывается аналог теоремы о среднем для функций, гармонических в метрике специального вида. Следствием полунепрерывности снизу функционала Есг(/) и компактности относительно локально равномерной сходимости в Ы семейств к -квазиконформных функций является теорема о существовании экстремали интеграла Дирихле-Дугласа (/) в непустых подклассах Н^{5) к -квазиконформных элементов класса

Я, (*)•

Для изучения функционала Ест (/) на всем классе гармонических квазиконформных автоморфизмов круга Ы, нормированных конечным числом граничных условий, оказывается удобным продолжить по симметрии элементы / 6 На(5) до квазиконформных гомеоморфизмов / сферы Римана С, образующих класс На(5). Класс На(6) содержится в классе квазиконформных автоморфизмов С с нормировкой в

конечном числе точек ег2пи/п^ и = 0,п— 1, на единичной окружности. Рассмотрим на сфере Римана С продолженную по симметрии метрику а2(ии)\с1и)\2 и определяемый соответствующим образом интеграл Дирихле-Дугласа Еа. Имеет место

Теорема 4.2. Если в классе Q(S) существует гармоническая относительно метрики a2(w) \dw|2 на римановой поверхности 9Я = С\ функция /о, то /о является единственной экстремалью интеграла Дирихле-Дугласа Ест на классе На (5), а ограничение /о функции /о на единичный круг U является единственной экстремалью интеграла Дирихле-Дугласа Жа на классе На (5).

Доказательство данной теоремы в части, касающейся единственности экстремального отображения, опирается на неравенство Рейха-Штре-беля [93] и рассуждения Вэй Ханбая [98], обобщенные на случай конечных римановых поверхностей. Теоремы 3.3 и 4.2 позволяют полностью решить поставленную задачу минимизации интеграла Дирихле-Дугласа для некоторого класса римановых метрик.

Теорема 4.3. Пусть метрика a2(w)\dw\2 имеет вид \A'{w) dw\2, где A(w) — мебиусов автоморфизм единичного круга Ы. Тогда в классе На (5) существует единственная экстремаль fо интеграла Дирихле-Дугласа Ест. Экстремальный элемент /о характеризуется тем свойством, что отображение А о /0 представляет собой гармонический автоморфизм круга Ы с кусочно-линейной граничной функцией соо(0), производная которой может иметь разрывы лишь в точках 2irv/n, v = О, n — 1.

Квазиконформность экстремального элемента /о следует из квазисимметричности его граничной функции. В частном случае, когда A(w) = w, класс На{5) состоит из классических гармонических отображений / , представимых интегралом Пуассона Рш(х) с квазисимметрической плотностью егш(в\ а экстремальное отображение /о обладает кусочно-линейной на [0,27т] граничной функцией coq(9).

Результаты §5 связаны с доказательством теоремы покрытия для класса нормированных гармонических отображений единичного круга U в

полосу О, = {ии Е Сад : |1ш гп\ < 7г/4} и анализом свойств квадратичных дифференциалов, ассоциированных с крайними элементами этого класса.

Глава 2 посвящена решению экстремальных задач в свободных гомотопических классах квазиконформных вложений одной или нескольких конечных римановых поверхностей в другую конечную риманову поверхность. Рассматривается круг вопросов, касающийся существования, единственности и свойств экстремалей некоторых функционалов на классах т(г) - и т(и>) -квазиконформных вложений конечных римановых поверхностей с измеримой неотрицательной весовой функцией т, определяемой как на поверхности-прообразе, так и на образе вкладываемых поверхностей. Отображение / называется т(г) -квазиконформным на ри-мановой поверхности если почти всюду на этой поверхности модуль комплексной характеристики отображения /(г) не превосходит

функции т(г) < 1.

В §6 рассматривается проблема максимизации в непустом свободном гомотопическом классе т(г) -квазиконформных

вложений системы конечных римановых поверхностей ^з в конеч-

ную риманову поверхность ШТ функционала Белинского

где {ги}™=1 —фиксированная система различных точек на а

■••,и!п) —действительная дифференцируемая функция на п-кратном декартовом произведении римановых поверхностей 9Л г всюду отличным от нуля градиентом.

ности, имеющие универсальные накрывающие гиперболического типа;

Тогда в классе £"г({/}; Ц™_1 ^> существует элемент, максимизирующий функционал Белинского В(/).

Теорема 6.1. Пусть

и Ш — конечные римановы поверх-

f £ £т({/}; — невырожденное квазиконформное вложение.

Утверждение следует из компактности класса Ет({/}; \JJLi 9Я) и непрерывности функционала ®(/).

Назовем семейство областей {Д^-}™^ на конечной римановой поверхности Ш допустимым относительно мероморфного квадратичного дифференциала фдли2, если оно получается из Ш проведением конечного числа разрезов вдоль дуг траекторий этого дифференциала.

Определение. Квазиконформное вложение / : []™=1—> Ш называется вложением типа Тейхмюллера, если на Ш существует такой положительный квадратичный дифференциал ф, что

1) {Д^- := -— семейство допустимых областей относительно дифференциала ф;

2) для всякого у , 1 ^ ^ т , гомеоморфизмы / являются отображениями типа Тейхмюллера, с которыми ассоциированы пары положительных голоморфных (мероморфных) квадратичных дифференциалов

щ и фj] ф^ индуцированы дифференциалом ф на Aj , ^ = 1 таких, что

^/М = п-в- на% ] = 1 ,т;

' (ии}

Цf-l{w) = о/-1 («;)| п-в- на А;>

Задача о максимизации функционала В(/) решается вариационным методом на классах т(г) -квазиконформных гомеоморфизмов конечных римановых поверхностей. Затем с использованием метода граничной вариации доказывается

Теорема 6.3. Отличное от конформного квазиконформное вложение /о является экстремалью функционала Белинского ®(/) в классе

£Т(Ш; иГ=1 тогда и только тогда, когда /0 является вложени-

ем типа Тейхмюллера, с которым ассоциировано семейство положительных мероморфных квадратичных дифференциалов {ср3 ¿г2}™=1, определенных на римановых поверхностях и имеющих быть может простые полюсы в точках хъ,..., хп, а также положительный меро-морфный квадратичный дифференциал ф ¿ги2 на поверхности Ш, имеющий быть может простые полюсы в точках /о (^1), /о (^2) 5 • • •; /о (¿п) • При этом квадратичный дифференциал ф ¿ю2 имеет вид

ф(ъи) ¿ъи2 = (соф*^) + фо(1и)) йь)2,

где со — положительная константа, фо ¿ю2 — голоморфный на поверхности Ш квадратичный дифференциал, а

п А/2(ги)

3 = 1 А£Г 3 К >

где Г — действующая в единичном круге разрывная фуксова группа дробно-линейных преобразований такая, что риманова поверхность Ш представляется как орбифолд Ы/Г.

§7 посвящен проблеме единственности экстремального вложения в задаче о максимизации функционала Белинского В(/). Доказательство основного результата опирается на метод экстремальных метрик и проводится по восходящей еще к О.Тейхмюллеру схеме, применявшейся Л.Бер-сом [8], М.С.Иоффе [33] и др. В ходе доказательства используется-локаль-ное представление отображений типа Тейхмюллера.

Теорема 7.1. Пусть /о,/х —экстремали функционала Белинского В(/) в классе Тогда вложение И = /1 о/^-1, И :

У"11 /0(9^7) 23Т, является конформным.

М.С.Иоффе [33] доказал, что, за исключением нескольких случаев, семейства {Д^}™^ , допустимые относительно мероморфного квадратичного дифференциала, обладают свойством конформной жесткости. Это означает, что в свободном гомотопическом классе квазиконформных вложений семейства областей в конечную риманову поверхность Ш не существует конформного вложения отличного от тождественного. Эти результаты позволяют сделать вывод о единственности экстремали функционала В(/) за исключением нескольких указанных случаев.

В §8 получены результаты, аналогичные теореме 7.1 и касающиеся единственности в гомотопических классах r(z) - и t(w) -квазиконформных вложений конечных римановых поверхностей экстремалей следующих функционалов весовой дилатации:

m

1). TT(f) = inf{i : \fif(z)\ ^ tr(z) п.в. на (J

3 = 1

где fif — коэффициент Бельтрами квазиконформного вложения / системы конечных римановых поверхностей j = l,m, в конечную риманову поверхность 97Т , а 0 ^ r(z) ^ /с < 1 — измеримая весовая функция;

m

2). Тт(/) = inf{* : \Vf-i(w)\ < tr(w) п.в. на (J /(*,■)}>

3 = 1

где fif-1 — коэффициент Бельтрами отображения, обратного к квазиконформному вложению / системы конечных римановых поверхностей 9^-, j = 1,771, в конечную риманову поверхность 97Т , 0 ^ r(w) ^ к < 1 — измеримая весовая функция на 97Î.

Доказанные результаты гарантируют единственность экстремального вложения /о в случаях, когда семейства {/о5 допустимые относительно мероморфного квадратичного дифференциала на поверхности 971, обладают свойством конформной жесткости.

Теорема 8.2. Пусть /о,/1 —экстремали функционала Тт(/) в гомотопическом классе Ет ({/}-, 1 > т М -квазиконформных вложений системы конечных римановых поверхностей в конечную риманову поверхность Ш. Тогда вложение /г = /1 ° /о~1, И : /о(^) —»• ЭДТ, является конформным.

В §9 обсуждается задача о минимизации на классе Ек({/}; [)™=1 971) к -квазиконформных вложений системы конечных римановых поверхностей {9^}^ в конечную риманову поверхность Ш функционала интегральной весовой дилатации

где /Х/-1 — комплексная характеристика отображения, обратного к /, а <72(ги)|с£ги|2 — непрерывная и, исключая возможные изолированные нули, положительная риманова метрика на 971.

Теорема 9.2. Пусть 9^-, ] = 1 , га, я 971 —конечные римановы поверхности гиперболического типа, я класс 971) не со-

держит конформных вложений. Тогда отображение с минимальной интегральной весовой дилатацией является вложением типа Тейхмюллера.

Доказательство сводится к рассмотрению некоторого функционала весовой дилатации Тт(/) на классе т(ги) — квазиконформных вложений конечных римановых поверхностей.

Анализируется связь функционалов интегральной весовой дилатации, интеграла Дирихле-Дугласа и коэффициента квазиконформности квазиконформных вложений конечных римановых поверхностей.

В заключении представлены основные выводы диссертации.

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Граф, Сергей Юрьевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Теории гармонических и квазиконформных отображений, ставшие к настоящему времени уже классическими разделами теории функций, тем не менее сохраняют большой потенциал для своего дальнейшего развития и приложений. Начало многочисленным исследованиям, предметом которых являются гармонические и квазиконформные отображения, было положено в первой трети двадцатого века и связано с такими известными задачами как классическая проблема модулей алгебраических кривых и проблема Плато. Результатом развития этих направлений стало создание глубокой и важной для современных приложений в теоретической физике теории пространств Тейхмюллера и теории минимальных поверхностей. Долгое время предметом внимания многих специалистов по теории функций являлась задача о экстремальных квазиконформных отображениях и вложениях плоских областей и римановых поверхностей. В результате среди квазиконформных отображений выделился класс отображений Тейхмюллера, которые, как и конформные, можно рассматривать как гармонические в метриках голоморфных квадратичных дифференциалов отображения с постоянным модулем комплексной характеристики, и естественным образом обобщающий его класс отображений типа Тейхмюллера.

Однако многие как уже известные, так и новые задачи, возникающие в этих областях, еще ожидают своего решения. Существенную сложность представляет комбинирование методов гармонического и квазиконформного анализа, что связано с нелинейностью решаемых задач и " жесткостью" гармонических квазиконформных отображений. Эти сложности требуют разработки новых или удачного сочетания и адаптации уже имеющихся методов.

В диссертации получен ряд законченных качественных результатов о существовании, единственности и структуре экстремалей интегралов Дирихле-Дуг ласа, весовой и интегральной весовой дилатаций, функционалов Белинского на гомотопических классах квазиконформных гомеоморфизмов и вложений конечных римановых поверхностей.

Существенным продвижением является получение критерия квазиконформности интеграла Пуассона для круга Ы с гомеоморфной плотностью, отображающей дЫ на границу выпуклой ограниченной жордановой области. Вопрос о точной количественной оценке сверху для коэффициента квазиконформности д = ц(р) остается открытым и требует привлечения новых методов.

Центральной идеей всех выполненных в диссертации исследований является демонстрация ключевой роли, которую играют мероморфные квадратичные дифференциалы в широком классе задач гармонического и квазиконформного анализа. Свойства квадратичных дифференциалов оказываются определяющими во многих экстремальных задачах. В этом плане заслуживают внимания следующие результаты:

1. Расширение класса экстремальных задач, решения которых связаны с отображениями типа Тейхмюллера, обладающими парами голоморфных или мероморфных квадратичных дифференциалов.

2. Выявление роли граничного поведения голоморфных квадратичных дифференциалов обобщенных гармонических автоморфизмов единичного круга в вопросе о возможности аналитического продолжения этих отображений.

3. Решение задачи о минимизации интеграла Дирихле-Дугласа на классе нормированных квазиконформных обобщенных гармонических автоморфизмов единичного круга, а также решение новой экстремальной задачи Белинского на классах квазиконформных вложений конечных ри-мановых поверхностей.

4. Доказательство единственности экстремальных отображений типа Тейхмюллера в классах г (г)— и г (к;)— квазиконформных вложений конечных римановых поверхностей.

5. Выявление связи между функционалами весовой дилатации, интегральной весовой дилатации и интегралом Дирихле-Дугласа.

Представляет интерес распространение результатов о вложениях конечных римановых поверхностей на римановы поверхности с узлами и открытые римановы поверхности, а также построение вариационной теории гармонических квазиконформных деформаций и вложений.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Владимиру Георгиевичу Шеретову, а также всем участникам руководимого им семинара по теории квазиконформных отображений в Тверском государственном университете за постоянное внимание и поддержку в ходе выполнения работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Граф, Сергей Юрьевич, 1998 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абикоф У. Вещественно аналитическая теория пространств Тейхмюллера. М.: Мир, 1985.

2. Альфорс Л. Комплексно-аналитическая структура в пространстве замкнутых римановых поверхностей./ Альфорс Л., Берс Л. Пространства римановых поверхностей и квазиконформные отображения. М.: ИЛ, 1961. С.51 - 79.

3. Альфорс Л. О квазиконформных отображениях./ Альфорс Л., Берс Л. Пространства римановых поверхностей и квазиконформные отображения. М.: ИЛ, 1961. С.104 - 172.

4. Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям. М., 1969.

5. Белинский П.П. Решение экстремальных задач теории квазиконформных отображений вариационным методом// Сиб. мат. ж. 1960. Т.1, N 3. С.303 - 330.

6. Белинский П.П. Общие свойства квазиконформных отображений. Новосибирск: Наука, 1974.

7. Белый В.И., Миклюков В.М. Некоторые свойства конформных и квазиконформных отображений и прямые теоремы конструктивной теории функций// Изв. АН СССР. Сер. мат. 1974. Т.38, N 6. С.1343 -1361.

8. Берс Л. Квазиконформные отображения и теорема Тейхмюллера/ Альфорс Л., Берс Л. Пространства римановых поверхностей и квазиконформные отображения. М.: ИЛ, 1961. С.9 - 50.

9. Берс Л. Пространства римановых поверхностей./ Альфорс Л., Берс Л. Пространства римановых поверхностей и квазиконформные отображения. М.: ИЛ, 1961. С.80 - 90.

10. Берс JI. Пространства римановых поверхностей как ограниченные области/ Альфорс JI., Берс J1. Пространства римановых поверхностей и квазиконформные отображения. М.: ИЛ, 1961. С.97 - 98.

11. Билута П.А. О решении экстремальных задач для одного класса квазиконформных отображений// Сиб. мат. ж. 1969. Т.10, N 4. С.734 -743.

12. Волковыский Л.И. Квазиконформные отображения. Львов, 1954.

13. Волковыский Л.И. О конформных модулях и квазиконформных отображениях/ Некоторые проблемы математики и механики. Новосибирск: 1961, С. 65 - 68.

14. Волынец И.А. Некоторые экстремальные задачи для квазиконформных отображений // Метрич.вопросы теории функций и отображений. Киев, 1974. Вып. 5. С. 26 - 39.

15. Голубев A.A., Шеретов В.Г. Квазиконформные экстремали интеграла энергии// Матем. заметки. 1994. Т.55, N 6. С.50 - 58.

16. Голубев A.A., Шеретов В.Г. О парах квадратичных дифференциалов, ассоциированных с экстремальными квазиконформными отображениями/ Тез. докл. межд. конференц., посвящ. 100-летию Н.Г.Чеботарева. Казань, 1994. С.47 - 48.

17. Голубев A.A. Квазиконформные вложения конечных римановых поверхностей с минимальной весовой дилатацией/ Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 1996. С.31 - 39.

18. Голубев A.A. Квазиконформные вложения конечных римановых поверхностей, минимизирующие интеграл энергии/ Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 1996. С. 40 - 44.

19. Голубев A.A. Об одной экстремальной задаче на классе квазиконформных вложений конечных римановых поверхностей/ Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 1998. С. 28 -31.

20. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Паука. 1966.

21. Граф С.Ю. Экстремали дилатации и интеграла Дирихле в классах конечно нормированных гармонических автоморфизмов единичного круга// Ученые записки ТвГУ. Тверь, 1996. Т.1. С. 15 - 16.

22. Граф С.Ю. Экстремальные задачи на классах гармонических автоморфизмов круга/ Межд. конференц. по теории приближений функций, посвягц. памяти проф. П.П.Коровкина. Тез. докл. Калуга, 1996. Т.1. С. 79 - 81.

23. Граф С.Ю. Теорема покрытия для одного класса гармонических отображений круга в полосу/ Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 1996. С. 53 - 59.

24. Граф С.Ю. О квазиконформности гармонического продолжения квазисимметрической функции/ Тез. докл. 9-ой Саратовской зимней школы "Современные проблемы теории функций и их приложения". Саратов, 1997. С. 49.

25. Граф С.Ю. Квазиконформные экстремали интеграла Дирихле-Дугласа на классах гармонических автоморфизмов круга, нормированных конечным числом граничных условий/ Тез. докл. 9-ой Саратовской зимней школы "Современные проблемы теории функций и их приложения". Саратов, 1997. С. 50.

26. Граф С.Ю. О квазиконформности гармонического продолжения квазисимметрической функции/ Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 1998. Т. 1. С. 40 - 45.

27. Граф С.Ю. Квазиконформные экстремали интеграла Дирихле-Дугласа на классах гармонических автоморфизмов круга, нормированных конечным числом граничных условий/ Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 1998. Т. 1. С. 46 - 56.

28. Граф С.Ю. Экстремали функционала Белинского на классах квазиконформных вложений римановых поверхностей/ Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 1998. Т.1. С. 57 -70.

29. Граф С.Ю. Экстремали интегральной весовой дилатации на классах квазиконформных вложений римановых поверхностей/ Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 1999. В печати.

30. Гутлянский В.Я. О методе вариаций для однолистных аналитических функций с квазиконформным продолжением// Сиб. мат. журн. 1980. Т.21, N 2, С.61 - 78.

31. Дженкинс Дж. Однолистные функции и конформные отображения. М.: ИЛ, 1962.

32. Думкин В.В., Шеретов В.Г. Единственность экстремалей функционала Белинского в классах гомеоморфизмов с ограниченной весовой дилатацией // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 1998. Т.1. С.105 - 115.

33. Иоффе М.С. Экстремальные квазиконформные вложения римановых поверхностей// Сиб. мат. ж. 1975. Т.16, N 3. С.520 - 537.

34. Кафиев Ю.Н. Аномалии и теория струн. Новосибирск: Наука, 1991.

35. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. 1989.

36. Кругликов В.И., Миклюков В.М. Теоремы устойчивости для отображений класса ВЬ/ Метр. вопр. теории функций и отображений. Киев: Наукова Думка, 1971. Вып. 3. С.55 - 70.

37. Кругликов В.И., Миклюков В.М. О некоторых классах плоских отображений с обобщёнными производными/ Метр. вопр. теории функций и отображений. Киев: Наукова Думка, 1973. Вып. 4. С.102 - 122.

38. Крушкаль С.Л. К теории экстремальных задач для квазиконформных отображений замкнутых римановых поверхностей// Докл. АН СССР. 1966. Т.171, N 4.

39. Крушкаль С.Л. К теореме Тейхмюллера об экстремальных ква-. зиконформных отображениями// Сиб. мат. ж. 1967. Т.8, N2. С.313 -332.

40. Крушкаль С.Л. Квазиконформные отображения и римановы поверхности. Новосибирск: Наука. 1975.

41. Крушкаль С.Л., Кюнау Р. Квазиконформные отображения — новые методы и приложения. Новосибирск: Наука, 1984.

42. Кудрявцев Л.Д. О свойствах гармонических отображений плоских областей// Мат. сборник. 1955. Т.36(78), N 2. С.201 - 208.

43. Кусис П. Введение в теорию пространств Нр. М.: Мир, 1984.

44. Неванлинна Р. Униформизация. М.: ИЛ, 1955.

45. Решетняк Ю.Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1982.

46. Рязанов В.И. О теоремах сходимости и компактности для соболевских гомеоморфизмов: Препринт 93.07/ ИПММ АН Украины. Донецк, 1993.

47. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: ИЛ, 1954.

48. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1962.

49. Спрингер Дж. Введение в теорию римановых поверхностей. М.: ИЛ, 1960.

50. Суворов Г.Д. Обобщенный "принцип длины и площади" в теории отображений. Киев: Наукова Думка, 1985.

51. Шеретов В.Г. Об экстремальных квазиконформных отображениях с ограничением на характеристику// Докл. АН СССР. 1968. Т.179, N 5. С.1060 - 1063.

52. Шеретов В.Г. Экстремальные квазиконформные отображения с заданным граничным гомеоморфизмом //Метрические вопросы теории функций. К.: Наукова Думка, 1980. С. 140-146.

53. Шеретов В.Г. Единственность экстремальных квазиконформных отображенй типа Тейхмюллера// Матем. заметки. 1974. Т.16, N 2. С.213 - 220.

54. Шеретов В.Г. Функционалы типа Дирихле и гармонические квазиконформные отображения// Докл. АН СССР. 1973. Т. 209, N 4. С.808 - 810.

55. Шеретов В.Г. Об экстремальных квазиконформных отображениях с заданным граничным соответствием// Сиб. матем. ж. 1978. Т. 19, N 4. С.942 - 952.

56. Шеретов В.Г. К теории экстремальных квазиконформных отображений// Мат. сб. 1978. Т. 107, N 1. С.146 - 158.

57. Шеретов В.Г. Обобщенный интеграл Дирихле и слабогармонические отображения// Динамика сплошной среды. 1986. N 76. С. 157 -165.

58. Шеретов В.Г. Критерии экстремальности в одной задаче для квазиконформных отображений// Мат. заметки. 1986. Т. 39, N 1. С.14 - 23.

59. Шеретов В.Г. Квазиконформные экстремали гладких функционалов и интеграла энергии на римановых поверхностях// Сиб. мат. журн. 1988. Т.29, N 3. С.163 - 174.

60. Шиффер М., Спенсер Д.К. Функционалы на конечных римановых поверхностях. М.: ИЛ, 1957.

61. Ahlfors L. Conformai invariants: topics in geometric functions theory. N.Y., Mc-Graw-Hill Company. 1973.

62. Bers L. On moduli of Riemann surfaces. Zürich: ETH, 1964.

63. Carleson L., Gamelin T. Complex dynamics. N.Y.: Springer-Verlag, 1993.

64. Chaos and Fractals. The mathematics behind the computer graphics/ Proc. Syrap. Appl. Math. 1988. V.39. P.l - 148.

65. Choquest G. Sur une type de representation analytique generalizant la representation conforme et definie au moyen de function harmonique// Bull. Sei. Math. 1945. T.69, N 2. P.156 - 165.

66. Clunie J., Sheil-Small T. Harmonie univalent functions //Ann. Acad. Sei. Fenn. Ser AI — Mathematica, 1984. Vol. 9. P. 3 - 25.

67. David G. Solutions de Veqution de Beltrami avec ||/i||oo — 1 // Ann. Acad. Sei. Fenn. 1988. V.13. P.25 - 70.

68. Fehlmann R. Ueber extremale quasikonforme Abbildungen// Comment. Math. Helv. 1981. V.56, N 3. P.558 - 580.

69. Forger M. Instantons in non-linear a -models, gauge theories and general relativity. Lect. Notes in Phys. 1981. N 139. P. 110 - 134.

70. Friedrichs K.O. The identity of weak and strong extensions of differential operators// Trans. Amer. Math. Soc. 1944. N 55. P.132 - 151.

71. Gardiner F.P. Teichmüller theory and quadratic differentials. N.Y.: Wiley, 1987.

72. Grötzsch H. Uber die Verzerrung bei schlichten nichtkonformen Abbildungen und über damit zusammenhängende Erweiterung des Picardschen Satzes// Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Math.-Naturwiss. Kl. 1928. Bd. 80, S. 503 - 507.

73. Hamilton R.S. Extremal quasiconformal mappings with prescribed boundary values// Trans. Amer. Math. Soc. 1969. V.138. P.399 - 406.

74. Hardt R., Kinderlehrer D., Lin F.H. Existence et régularité des configurations statique des cristaux liquids// C. r. Acad. Sei. 1985. Ser. A. 301, N 11. P.577 - 579.

75. Hengartner W., Schober G. Univalent harmonie functions// Trans. Amer. Math. Soc. 1987. V. 299, N 1. P. 1 - 31.

76. Jost J. Harmonie maps between surfases. Lect. Notes Math. 1984. N 1026. P.133.

77. Jost J., Schoen R. On the existence of harmonic diffeomorphisms between surfaces// Invent. Math. 1982. V.66. P.353 - 359.

78. Kneser H. Lösung der Aufgabe J^l/ / Jahresber. Deutsch. Math. Ver. 1926. Bd.35. S.123 - 124.

79. Krushkal S.L. Univalent functions and holomorphic motions// J. Anal. Math. 1995. V.66. P.l - 23.

80. Kühnau R. Möglichst konforme Spiegelung an einem Jordanbogen auf der Zahlenkugel/ Complex Analysis. Basel: Bir khäuser-Verlag, 1988. P.139 - 156.

81. Kühnau R. Möglichst konforme Spiegelung an einem Jordankurve// Jber. d. Dt. Math.-Verein. 1988. Bd.90. P.90 - 109.

82. Kühnau R. Möglichst konforme Spiegelung an einem Jordanbogen auf der Zahlenebene// Ann. Acad. Sei. Fenn. Ser. AI Mathematica. 1989. V.14. P.357 - 367.

83. Lavrentiev M.A. Sur une classe de representation continues// Mat. Sb. 1935. V.42. P.407 - 434.

84. Lehto 0. Univalent functions and Teichmüller spaces. N.Y. etc.: Springer-Verlag, 1987.

85. Lehto 0., Virtanen K. Quasiconformal mappings in the plane. Berlin etc.: Springer-Verlag, 1973.

86. Lehto 0., Virtanen K. Quasikonforme Abbildungen. Berlin etc.: Springer-Verlag, 1965.

87. Martio 0. On quasiconformal harmonic maps //Ann. Acad. Sei. Fenn. Ser AI — Mathematica, 1969. N 425. P. 1-10.

88. Misner Ch. Harmonic maps as models for physical theories// Phys. Rev. D. 1978. V.18, N 12. P.4510 - 4524.

89. Rado T. Aufgabe 41// Jahresber. Deutsch. Math. Ver. 1926. Bd.35. S.49.

90. Reich E., Strebel K. Extremal quasiconformal mappings with given boundary values/ Contributions to Analysis. N.Y., 1974. P.375 - 390.

91. Schaeffer A.C., Spencer D.C. The coefficient regions of schlicht function/ Amer. Math. Soc. Colloquim Publication. V. 35. N. Y., 1950.

92. Schoen R., Yau S.T. On univalent harmonic mappings// Invent. Math. 1978. V.44. P.265 - 278.

93. Strebel K. Quadratic differentials. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Berlin etc.: Springer, 1984.

94. Strebel K. Extremal quasiconformal mappings// Result in Math. 1986. V.10. P.168 -210.

95. Strebel K. On quasiconformal mappings of open Riemann surfaces // Comment. Math. Helv. 1978. V.53, N.3. pp. 301-321.

96. Teichmüller O. Extremale quasikonforme Abbildungen und quadratische Differentiale/ Abh. Preuss. Akad. Wiss. Math.-Naturw. Kl. 1940. N 22. P.3 - 197.

97. Teichmüller 0. Collected papers. Berlin etc.: Springer-Verlag, 1982.

98. Wey Hanbai. On the uniqueness problem of harmonic quasiconformal mappings// Proc. Amer. Math. Soc. 1996. V. 124, N 3. P.2337 - 2341.

99. Wood J.C. Singularities of harmonic maps and applications of the Gauss-Bonnet formula// Amer. J. Math. 1977. V.99, N 6. P. 1329 - 1344.