Экстремальные задачи на классах гармонических отображений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Эйланголи, Окандзе Руфин

• Эйланголи, Окандзе Руфин
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Эйланголи, Окандзе Руфин

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В ЛИНЕЙНО- И АФФИННО-ИНВАРИАНТНЫХ СЕМЕЙСТВАХ ГАРМОНИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ

§1. Предварительные сведения.

§2. Оценки модуля производной Шварца для гармонических отображений

§3. Оценка радиуса звездности однолистных гармонических отображений

§4. Оценки кривизны образа окружности при гармонических отображениях

§5. Аналог уравнения Лёвнера для подчиненных гармонических отображений

ГЛАВА 2. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В СЕМЕЙСТВАХ ЛОКАЛЬНО-КВАЗИКОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ.

§6. Общие свойства квазиконформных и локально-квазиконформных отображений .:.

§7. Оценка искажения модуля двусвязных областей.

§8. Оценка искажения приведенного модуля.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Экстремальные задачи на классах гармонических отображений»

Актуальность проблемы. Историческая справка. Объектом исследования в настоящей диссертационной работе являются экстремальные свойства гармонических и локально-квазиконформных отображений в плоскости комплексного переменного.

Основы теории гармонических отображений были заложены в начале XX века в работах Т. Радо [68], X. Кнезера [57] (1926 г.) и Г. Шоке [40] (1945 г.). Повышение интереса к классам однолистных гармонических функций произошло после известной работы Дж. Клуни и Т. Шейл-Смолла [43] (1984 г.), и обусловлено, во-первых, родством задач теории гармонических отображений с классической проблематикой конформных отображений, а, во-вторых, существенными отличиями и своеобразием свойств гармонических функций и используемых для их анализа методов. Отдельным фактором, стимулиру-. ющим развитие теории гармонических отображений, следует считать успешное доказательство Л. де Бранжем [38] в 1984 г. известной гипотезы Л. Бибер-баха об оценке коэффициентов нормированных однолистных конформных отображений. В дальнейшем проблематике однолистных гармонических отображений был посвящен ряд работ Т. Шсйл-Смолла [72], Дж. Бшути [39], У. Хенгартнера [53], П. Дюрена [45], Ю. Йоста [54, 55], Э. Шауброк [71], М. Дорфа, а также российских математиков, таких как В.В. Старков [73, 74], В.Г. Шеретов [33], Д.В. Прохоров, С.Ю. Граф [10 - 14]. Следует отметить, что ряд классических проблем теории гармонических отображений (таких как оценка коэффициентов, теорема существования и единственности гармонического отображения с заданной дилатацией) на сегодняшний день остаются нерешенными.

В настоящее время гармонические отображения превратились в важный инструмент для решения широкого спектра задач как комплексного, так и действительного анализа, геометрии, комплексно-аналитической и теоретической физики. Теория гармонических отображений также применяется в задачах динамики жидких кристаллов и теории минимальных поверхностей. По сей день развитие теории гармонических отображений активно продолжается, о чем свидетельствуют новые интересные результаты и задачи, возникающие в этой области [45].

В настоящей диссертационной работе сделана попытка обобщить некоторые классические результаты геометрической теории функций на классы однолистных и локально-однолистных гармонических и локально-квазиконформных отображений. При этом многие результаты представляют собой продолжение исследований С.Ю. Графа [11, 14] в теории линейно- и аффин-но-инвариантных семейств гармонических отображений.

Цель работы: а) развитие теории линейно- и аффинно-инвариантных семейств локально-однолистных гармонических отображений единичного круга, включающее в себя получение оценок радиусов кругов однолистности, звездообраз-ности гармонических отображений, доказательство оценок кривизны образов окружностей при гармонических отображениях; б) развитие и адаптация методов модулей и экстремальных длин к классам локально-квазиконформных и гармонических отображений.

Методика исследования. При получении основных результатов данной диссертационной работы использовались вариационные методы (в частности, методы теории линейно- и аффинно-инвариантных семейств локально-однолистных аналитических и гармонических функций), метод параметрических продолжений, а также методы экстремальных длин и модулей.

Многие доказательства опираются на результаты П. Дюрена [45, 46], Дж. Клуни [43], Т. Шейл-Смолла [72] и С.Ю. Графа. ■

Научная новизна и достоверность. Все представленные в диссертации результаты являются новыми, за исключением материалов §1 и §6, носящих обзорный характер, и некоторых вспомогательных фактов, авторство которых отражено в ссылках. Все научные результаты, включенные в состав диссертации, сопровождены убедительными доказательствами и являются достоверными.

Работа носит теоретический характер.

Основными в ней являются следующие результаты:

- оценка модуля производной Шварца аналитической составляющей гармонического отображения, принадлежащего произвольному линейно- и аф-финно-инвариантному семейству;

- оценка модуля производной Шварца гармонического отображения специального вида, принадлежащего произвольному линейно- и аффинно-инва-риантному семейству;

- оценка радиуса звездности однолистного гармонического отображения, при над л ежащего произвольному линейно- и аффинно-инвариантному семейству;

- оценка кривизны образа окружности при локально-однолистном гармоническом отображении, принадлежащем произвольному линейно- и аффинно-инвариантному семейству;

- уточнение и специализация оценок искажения модулей и приведенных модулей многосвязных областей при локально-квазиконформных отображениях.

Результаты диссертации представляют интерес для развития теории линейно- и аффинно-инвариантных семейств гармонических отображений и тесно связаны с некоторыми классическими проблемами и гипотезами теории гармонических отображений, такими как проблема коэффициентов, проблема круга однолистности, проблема оценки Гауссовой кривизны минимальных поверхностей. Результаты диссертации применены в исследованиях по геометрической теории функций и квазиконформным отображениям.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на 14-ой международной Саратовской зимней школе, посвященной памяти академика П.Л. Ульянова (февраль 2008 г., Саратов), на девятой международной Казанской летней школе-конференции по теории функций (июль 2009 г., Казань), на 5-ой Петрозаводской международной конференции по комплексному анализу (июль 2010 г., Петрозаводск) и на семинарах кафедры математического анализа Тверского государственного университета.

Публикации. Результаты диссертационных исследований опубликованы и с достаточной полнотой отражены в 8 статьях, список которых приведен в конце диссертации, из них 3 опубликованы в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ для кандидатских диссертаций.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, влю-чающих 8 параграфов, заключения и изложена на 100 страницах. Нумерация параграфов сквозная, то есть не зависит от номеров глав. Список литературы включает 76 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Эйланголи, Окандзе Руфин

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Теория гармонических функций и отображений, ставшая к настоящему времени уже классическим разделом теории функций, тем не менее сохраняет большой потенциал для своего дальнейшего развития и приложений. Начало многочисленным исследованниям, предметом которых являются гармонические отображения, было положено в первый трети двадцатого века и связано с такими известными задачами, как классическая задача Дирихле, задача Плато. Несмотря на активность специалистов по теории функций комплексного переменного, многие, как уже известные, так и новые задачи, возникающие в классах гармонических отображений, ещё ожидают своего решения Существенную сложность решения этих задач представляет комбинирование методов конформного и гармонического анализа. Поэтому требуется разработка новых или удачное сочетание и адаптация уже имеющихся методов, чтобы преодолеть эти трудности.

В диссертации предпринята попытка применения некоторых классических методов геометрической теории функций к теории гармонических и локально-квазиконформных отображений.' В диссертации получен ряд законченных новых результатов, имеющих теоретическую ценность для развития теории гармонических отображений и локально-квазиконформных отображений, в частности для теории линейно- и аффинно-инвариантных семейств гармонических отображений. Наиболее важными среди них являются:

1) оценка модуля производной Шварца аналитической составляющей гармонического отображения, принадлежащего произвольному линейно- и аф-финно-инвариаптному семейству С]

2) оценка модуля производной Шварца для гармонических отображений специального вида, принадлежащих произвольному линейно- и аффинно-инвариантному семейству £;

3) доказательство оценки радиуса однолистности для голоморфной составляющей части гармонического отображения в классах локально однолистных гармонических отображений

4) доказательство оценки радиуса звездности для однолистных гармонических отображений, принадлежащих линейно- и аффинно-инвариантному семейству С;

5) получение оценок кривизны образа окружности при локально-однолистных гармонических отображениях, принадлежащих классу

6) уточнение оценок искажения модуля кругового кольца и приведенного модуля многосвязных областей при локально-квазиконформных отображениях;

7) получение радиуса круга покрытия и конформного радиуса образа единичного круга для локально-квазиконформных отображений.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю кандидату физико-математических наук, доценту, Сергею Юрьевичу Графу за постоянное внимание, полезные советы и поддержку в ходе выполнения работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Эйланголи, Окандзе Руфин, 2010 год

1. Александров И. А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. М., 1976. 158 с.

2. Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображеничм. М., 1969. 133 с.

3. Белинский П.П. Решение экстремальных задач теории квазиконформных отображений вариационным методом// Сиб. мат. жур., 1960. Т. 1, № 3. С. 303 330.

4. Белинский П.П. Общие свойства квазиконформных отображений. Новосибирск: Наука, 1974.

5. Билута П. А. О решении экстремальных задач для одного класса квазиконформных отображений// Сиб. мат. жур., 1969. Т. 10, К2 4. С. 734 -743.

6. Белый В.И., Миклюков В.М. Некоторые свойства конформных и квазиконформных отображений и прямые теоремы конструктивной теории функций// Изв. АН СССР. Сер. мат., 1974. Т. 38, № 6. С. 1343-1361.

7. Волковыский Л.И. Квазиконформные отображения. Львов, 1954. 154 с.

8. Волковыский Л.И. О конформных модулях и квазиконформных отображениях // Некоторые проблемы математики и механики. Новосибирск, 1961. С. 65 68.

9. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М., 1966. 628 с.

10. Граф. С.Ю. Теорема покрытия для одного класса гарлюнических отображений круга в полосу // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 1996. С. 53 59.

11. Граф С.Ю. Точная оценка якобиана в линейно- и аффинно-инвариант-ных семействах гармонических отображений // Труды Петрозаводского гос. ун-та. Сер. Математика. 2007. Вып. 14. С. 31 38.

12. Граф С. Ю. Теоремы искажения в линейно- и аффинно-инвариантных семействах гармонических отображений// Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2008. С. 43 56.

13. Граф С. Ю. Об оценке шварциана в линейно- и аффинно-инвариантных семействах гармонических отображений // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2009. С. 22 33.

14. Граф С.Ю. Теоремы искажения в семействах гармонических отображений// Сборник трудов HAH "Украины. Киев, 2010. Т. 7, № 2. С. 218 226.

15. Граф. С.Ю., Эйланголи O.P. Конформные отображения, не принимающие некоторых значений// Вестник ТвГУ. Серия: прикладная математика. №35(95). Тверь, 2008. С. 137- 146.

16. Граф С.Ю., Эйланголи O.P. Об искажений модулей двусвязных областей при квазиконформным отображении // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2009. С. 14 20.

17. Граф С.Ю., Эйланголи O.P. Дифференциальные неравенства в линейно- и аффинно-инвариантных семействах гармонических отображений // Известия вузов. Математика. Казань, 2010, №10, С. 69 72.

18. Граф С.Ю., Эйланголи O.P. Оценки кривизны линий уровня в линейно-и аффинно-инвариантных семействах гармонических отображений // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2010. С. 29 36.

19. Граф С.Ю., Эйланголи O.P. Об оценке производной Шварца для гармонических отображений// Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2010. С. 37- 45.

20. Гутлянский В.Я. О методе вариаций для однолистных аналитических функций с квазиконформным продолжением// Сиб. мат. жур., 1980. Т. 21, № 2, С. 61 78.

21. Дженкинс Дж. Однолистные функции и конформные отображения. М., 1962. 262 с.

22. Дубинин В.Н. Симметризация в теории функций'комплексного переменного// Успехи мат. наук, 1994, Т. 49, № 1. С. 3-76.

23. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М., 1989. 624 с.

24. Корицкий Г.В. О кривизне линий уровня и их ортогональных траекторий при конформных отображениях// Ма.тем. сб., 1955, № 37. С. 103 116.

25. Кудрявцев Л.Д. О свойствах гармонических отображений плоских областей// Мат. сборник, 1955. Т. 36(78), № 2. С. 201 208.

26. Кузьмина Г.В. Методы геометрической теории функций. /// Алгебра и анализ, 1997. Т. 9, №3. С. 41 103.

27. Лебедев H.A. Принцип площадей в теории однолистных функций. М., Наука, 1975.

28. Милин И.М. Однолистные функции и ортонормированные системы. М., Наука, 1971.

29. Мирошниченко Я.С. Об одной задаче теории однолистных функций// Учен. зап. Донецкого пед. ин-та, 1951, Na 1. С. 63 75.

30. Митюк И.П., Шеретов В.Г., Щербаков Е.А. Плоские квазиконформные отображения. Краснодар: Кубанск. гос. ун-т, 1979. 84 с.

31. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Новосибирс: Наука. Сиб. отд-ние, 1962.

32. Хейман В.К. Многолистные функции. М.: ИЛ, 1960.

33. Шеретов В.Г. Классическая и квазиконформная теория римановых поверхностей. М.; Ижевск, 2007. 296 с.

34. Эйланголи O.P. Аналог уравнения Лёвнера для подчинённых гармонических отображений // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2008. С. 73 77.

35. Эйланголи O.P. Об искажении приведенного модуля// Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2009. С. 47 52.

36. Эйланголи O.P. Об оценке радиуса звездности в классах гармонических отображений// Вестник ТвГУ. Серия: прикладная математика. №14. Тверь, 2010. С. 133 140.

37. Ahlfors L. Conformai invariants: topics in geometric functions theopy. N.Y., Mc-Graw-Hill Company, 1973.

38. Branges L. A proof of the Bieberbach conjecture// LOMI preprintes, E 5, 1984. S. 1 - 21.I

39. Bshouty D., Hengartner W. Univalent Harmonic mappings in the plane // Ann. Univ. Mariae Curie-Skladowska, 1994. Sect. A, V. XLVIII (3). P. 12-42.

40. Choquet G. Sur une type de representation analytique généralisant la representation conforme et definie au moyen de fonction harmonique // Bull. Sei. Math., 1945. T. 69, N 2. P. 156 165.

41. Chuaqui M., Düren P., Osgood B. The Schwarzian derivative for harmonie mappings// J. analyse Math. 91(2003). P. 329 351.

42. Chuaqui M., Düren P., Osgood B. Univalence criteria for lifts of harmonie mappings to minimals surfaces. J. Geom. analysis, to appear.

43. Clunie J., Sheil-Small T. Harmonie univalent functions// Ann. Acad. Sei. Fenn., A.I. Math., 1984. V. 9. P. 3 25.

44. David G. Solution de l'équation de Beltrami avec H^H^ = 1 // Ann. Acad. Sei. Fenn., 1988. V.13. P. 25 70.

45. Düren P. Harmonie mappings in the plane. Cambridge, 2004. 214 p.

46. Düren P. Univalent functions. Springer Verlag, New York, 1983. 382 p.

47. Fehlmann R. Ueber extremale quasikonforme Abbildungen// Comment. Math. Helv., 1981. V. 56, N. 3. P. 558 580.

48. Friedrichs K.O. The identity of weak and strong extensions of differential operators// Trans. Amer. Math. Soc., 1944. N. 55. 132 151.

49. Gardiner F.P. Teichmuller theory and quadratic differentials. N.Y.: Wiley, 1987.

50. Grotzsch H. Uber die Verzerrung bei schlichten nichtkonformen Abbildungen und über damit zusammenhangende Erweiterung des Picardschen Satzes // Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Math.-Naturwiss. Kl. 1928. Bd. 80, S. 503 -507.

51. Hamilton R.S. Extremal quasiconformal mappings with prescribed boundary values// Trans. Amer. Math. Soc., 1969. V. 138. P. 399 406.

52. Hardt R., Kinderlehrer D., Lin. F.H. Existence et régularité des configurations statiques des cristaux liquides// C. r. Acad. Sei., 1985. Ser. A. 301, N. 11. P. 577 579.

53. Hengartner W., Schober G. Univalent harmonie functions// Trans. Amer. Math. Soc., 1987. V. 299, N. 1. P. 1 31.

54. Jost J. Harmonie maps between surfaces. Lect. Notes Math., 1984. N. 1026. 133 p.

55. Jost J., Schoen R. On the existence of harmonie diffeomorphisms between surfaces// Invent. Math., 1982. V. 66. P. 353 -359.

56. Kayumov I.R., Starkov V.V. Estimates for logarithmic coefficients of locally univalent functions// XVIth Rolf Nevanlinna Colloquium. Berlin; N. Y., 1996. P. 239 245.

57. Kneser H. Losung der Aufgabe 4-1 // Jahresber. Deutsch. Math. Ver., 1926. Bd.35. S. 123 124.

58. Krzyz J.G. Coefficient problem for bounded nonvanishing functions // Ann. Polon. Math., 1967 1968. V. 20. P. 314.

59. Lavrentiev M.A. Sur une classe de representation continues// Mat. Sb. 1935. V.42. P. 407 434.

60. Lehto 0. Univalent functions and Teichmuller spaces. Springer Verlag, Berlin; N. Y., 1987.

61. Lehto O., Virtanen K. Quasiconformal mappings in the plane. Springer Verlag, Berlin; N. Y., 1973.

62. Lehto O., Virtanen K. Quasikonforme Abbildungen. Springer Verlag, Berlin; N. Y., 1965.

63. Martio O. On quasiconformal harmonic maps // Ann. Acad. Sei. Fenn. Ser. AI Mathematica, 1969. N. 425. P. 1 -10.

64. Minser Ch. Harmonic maps as models for physical theories // Phys. Rev. D., 1978. V. 18, N. 12. P. 4510 4524.

65. Nehari Z. The Schwarzian derivative and schlicht functions// Bull. Amer. Math. Soc., 1959. V.55. P. 545 551.

66. Pommerenke Ch. Linear-invariante Familien analytischer Functionen. /// Math. Ann., 1964, Hf. 155. P. 108 154.

67. Prokhorov D.V. Even coefficient estimstes for bounded univalent functions // Ann. Polon. Math. 1993. V. 58, N. 3. P. 267 273.

68. Rado T. Aufgabe 41 // Jahresber. Deutsch. Math. Ver. 1926. Bd.35. S.49.

69. Schaeffer A.C., Spencer D.C. The coefficient regions of schlicht function// Amer. Math. Soc. Colloquim Publication. V. 35. N.Y., 1950.

70. Schoen R., Yau S.T. On univalent harmonic mappings// Invent. Math., 1978. V. 44. P. 265 278.

71. Shaubroeck L.E. Subordination of planar harmonic functions// Complex Variables, 2000. V. 41. P. 163-178.

72. Sheil-Small T. Constants for planar harmonic mappings// J. London Math. Soc. 1990. V. 42. P. 237 248.

73. Sobczak-Knec M., Starkov V.V., Szynal J. Old and new order of linear invariant family of harmonic mappings and the bound for Jacobian// Ann. Acad. Sci. Fenn., to appear.

74. Starkov V.V. Harmonic locally quasiconformal mappings // Ann. Univ. Ma-riae Curie-Sklodowska. Lublin, 1995, V. XLIX, 14, Sectio A. P. 184 197.

75. Tammi O. Extremal Problems for Bounded univalent Functions. Lect. Notes Math., 1978. N. 646.

76. Vasil'ev A. Moduli of families of curves for conformal and quasiconformal mappings. Springer Verlag, Berlin; N. Y., 2002. 211 p.