(p,q)-аналитические функции в круге с вырождением на границе и квазиконформные отображения с неограниченными характеристиками тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Терентьева, Юлия Валерьевна

• Терентьева, Юлия Валерьевна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Терентьева, Юлия Валерьевна

Оглавление

Стр

Введение

Глава 1. О суммируемости производных;? - аналитических функций в случае вырождения в конечном множестве граничных точек единичного круга

1.1. Основные определения и обозначения

1.2. р - аналитические функции, осуществляющие топологическое отображение единичного круга на себя

1.2.1. Интегральные представления для р - аналитических функций

1.2.2. Оценка сингулярного интеграла с плотностью, неограниченной в одной граничной точке единичного круга

1.2.3. Суммируемость производных р - аналитических функций

1.3. Выводы

Глава 2. О суммируемости производных р - аналитических функций в случае вырождения на граничной дуге единичного круга

2.1. Оценка сингулярного интеграла с плотностью, неограниченной в точках граничной дуги единичного круга

2.2. р - аналитические функции в случае вырождения на граничной дуге единичного круга

2.2.1. О функциях класса Макенхаупта

2.2.2. Интегральные представления для р - аналитических функций

2.2.3. Слабая сходимость последовательностей взвешенных производных

р - аналитических функций

2.2.4. Существование р - аналитических функций, осуществляющих топологическое отображение единичного круга на себя

2.2.5. Суммируемость производных р - аналитических функций

2.3. Выводы

Глава 3. (р, д) - аналитические функции в случае вырождения на граничной дуге единичного круга

3.1. - аналитические функции, осуществляющие топологическое отображение единичного круга на себя

3.1.1. Интегральные представления для (р, <?) - аналитических функций

3.1.2. Слабая сходимость последовательностей взвешенных производных

(р, </) - аналитических функций

3.1.3. Существование (р,я) - аналитических функций, осуществляющих топологическое отображение единичного круга на себя

3.1.4. Суммируемость производных (р, д) - аналитических функций

3.2. Теорема П. П. Белинского и экстремальные функции класса квазиконформных в среднем отображений

3.3. Выводы

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «(p,q)-аналитические функции в круге с вырождением на границе и квазиконформные отображения с неограниченными характеристиками»

Введение

Актуальность и степень разработанности темы. Первые исследования по квазиконформным отображениям появились около 80 лет назад и принадлежат М. А. Лаврентьеву ([97], [100], [93], [94], [95], [96], [99], [98]) и Г. Гретшу [16]. В настоящее время теория плоских квазиконформных отображений представляет собой хорошо разработанный, но вместе с тем активно развивающийся раздел геометрической теории функции комплексного переменного, имеющий глубокие связи со многими ветвями математики и механики (уравнения в частных производных, дифференциальная геометрия и топология, теория групп, гидродинамика и газовая динамика, теория упругости). С начала 60-х годов активно развивается теория пространственных квазиконформных отображений (см., например, В. М. Миклюков ([105], [106]), А. В. Сычев [133], Ю. Г. Решетняк [125], Б. В. Шабат [142]).

М. А. Лаврентьевым, М. В. Келдышом, И. Н. Векуа, Л. Г. Гудерлеем, С. А. Христиановичем, С. А. Чаплыгиным, и др. была отмечена важность проблемы неклассических уравнений математической физики при решении задач, возникающих в трансзвуковой газовой динамике, в течениях жидкости в открытом канале, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, а также во многих прикладных задачах механики. Поэтому краевые задачи, возникающие при исследовании непрерывности решений вырождающихся эллиптических уравнений и систем, привлекают внимание многих авторов (см., например, О. А. Вихрева [66], И. Б. Давыдкин ([77], [78], [76]), И. Е. Егоров [81], С. Г. Михлин [114], В. Н. Монахов ([116], [115], [118], [117]), С. Л. Соболев [131], С. М. Никольский [119]).

Одно из направлений теории квазиконформных отображений связано с изучением уравнения Бельтрами, являющегося частным случаем эллиптических систем уравнений, подобно тому, как теория конформных отображений связана с решением системы уравнений Коши-Римана.

Впервые уравнение Бельтрами в вещественной форме появилось в работе Бельтрами [2] в 1867/1868 г. в связи с изучением аналитических функций на поверхностях. Аналитическое определение квазиконформного отображения, как гомеоморфного обобщенного решения уравнения Бельтрами, фактически содержалось в работе Морри [28] в 1938 г. вне всякой связи с существовавшей

тогда геометрической теории квазиконформных отображений. Полная эквивалентность этого определения геометрическому определению квазиконформных отображений была установлена много позже (начиная с 1957 г.), благодаря работам L. Bers [3], A. Pfluger [29], О. Lehto [24] и т.д.

При изучении квазиконформных отображений с точки зрения систем уравнений интерес представляют вопросы компактности, существования и единственности. В этом направлении к настоящему времени получены значительные результаты. Среди наиболее известных следует отметить теоремы сходимости Штребеля [45] и Берса - Боярского ([60], [3]), а также теоремы компактности Шиффера [42], Лесина [123] и др. ([24], [64], [87]).

Классический случай уравнения Бельтрами

h = /i (z) U (1)

изучался в 60-х—80-х годах в работах ([51], [54], [60], [24]).

Известно также [51], что если в уравнении Бельтрами (1) функция fi(z) измерима и Ц/иЦ^ < qo < 1, то существует единственное квазиконформное отображение w (z) круга на себя, нормированное, например, соответствием трех пар граничных точек, комплексная характеристика /¿/ fz которого равна /л (z) почти всюду. При этом координатные функции и (z), v (z) принадлежат пространству W1,2 (В\) [60].

Наряду с квазиконформными отображениями в работах отечественных и зарубежных авторов: JI. Альфорса ([52], [51]), Г. Д. Суворова ([111], [132]), П. П. Белинского ([56], [55], [53], [54]), Б. В. Боярского [60], В. А. Зорича [82], В. Я. Гутлянского [74], А. А. Вашарина [62], И. Н. Лесина ([122], [123]), С. Л. Крушкаля ([91], [92], [90]), П. А. Билуты [58], М. О. Перовича [121], В. М. Миклюкова ([111], [107], [110], [109], [108]), В. Э. Гейнемана [72], В. И. Крутикова ([89], [88]), В. И. Рязанова и др. ([127], [128], [130], [129], [34], [35], [37], [36], [38], [39], [40], [41], [33]), Б. Е. Левицкого ([102], [101], [103]), И. П. Митюка и др. [112], Е. А. Щербакова ([143], [144], [145], [146], [147], [148], [149]), М. И. Вишика ([67], Н. Д. Введенской [63], А. П. Михайлова [113], [68]), М. В. Келдыша [85], О. А. Олейника [120], К. Astala [1], G. R. David [10], J. J. Gergen, F. G. Dressel ([13], [14], [15]), F. W Gehring [12], O. Lehto [23], O. Martio ([25], [26], [27]), H. Renelt ([32],

[31]), E. W. Stredulinsky [46], P. Tukia [48], - изучались квазиконформные отображения с неограниченными характеристиками, то есть случай неравномерно эллиптических систем.

По-видимому, первой работой в данном направлении была работа П. П. Белинского о существовании решений уравнения Бельтрами, осуществляющих квазиконформные отображения с неограниченными характеристиками.

Одним из важных достижений в этой области является теорема существования и единственности для уравнения Бельтрами, доказанная Г. Давидом в 1988 году. Г. Давид в работе [10] рассматривал ACL вложения / : D —> С с комплексной характеристикой /х (z), удовлетворяющей экспоненциальному условию:

\{z е D С С : \ц (z)I > 1 - е}\ < се~^£,Уе <= (0; е0], (2)

для некоторого £о € (0; 1], с > 0, d > 0. Одним из результатов этой работы является тот факт, что если функция ¡л - измерима в С и удовлетворяет условию (2), то уравнение Бельтрами имеет гомеоморфное решение : С —> С, оставляющее неподвижными 0, 1 и оо. Кроме того, отображение е W^c для любого s < 2. Он также доказал, что если / — другое гомеоморфное решение уравнения Бельтрами и / 6 И^1 (С), то f = h о //хдля некоторого конформного отображения h.

Изучение свойств компактности для гомеоморфизмов Давида было начато П. Тукиа [48].

Б. В. Боярским, помимо доказательства существования [60] решения уравнения Бельтрами с двумя комплексными характеристиками,

h = n(z)fx + v(z)Tz, (3)

с ограниченной характеристикой К (z),

1 + И*)| + Иг)|

u" 1-и*)|-К*)|'

для случая, когда |/i (z) | + |г> (z)| < 1 почти всюду, было показано [59], что производные К - квазиконформных отображений обладают улучшенными свойствами интегрируемости. Недавно (2008 г.), Б. В. Боярским [4] доказано су-

ществование гомеоморфного решения / {z) уравнения (3), принадлежащего пространству Wjfc, s€ [1,2).

В работах Г. Д. Суворова, И. С. Овчинникова, В. М. Миклюкова и их учеников (В. И. Крутикова, А. П. Михайлова и других) используется принцип длины и площади, основанный на теории нелинейных функциональных пространств. Результатом их исследований были оценки равностепенной непрерывности семейств квазиконформных отображений с неограниченными характеристиками.

В. Н. Монаховым (1961 г.) впервые методами квазиконформных отображений были доказаны теоремы существования решения задач нелинейной фильтрации жидкости со свободными границами.

Учеником И. И. Данилюка А. Игликовым (1968 г.) в работе [83] было изучено уравнение Бельтрами с вырождением во внутренней точке круга и показано, что решение этого уравнения указывает на зависимость от скорости вырождения характеристики отображения: при «малых» скоростях вырождения единичный круг ßi = {2GC:|2;|<l} отображается частным решением на себя, при «больших» же скоростях вырождения круг В\ с выколотым началом координат отображается на кольцо Ст\ = {а;€С:г<|а;|<1}.

Е. А. Щербаковым в работах ([143], [144], [145], [146], [147]) изучались квазиконформные отображения, осуществляемые решениями нелинейных уравнений Бельтрами с различными случаями вырождения. Им был разработан метод доказательства существования таких отображений, основанный на теории краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений. В нашей диссертации, на основе связи квазиконформных отображений и теории краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений были получены оценки интегральных свойств производных квазиконформных отображений, вплоть до второго порядка.

О. Lehto [22] (1968 г.) рассматривал вырождающееся уравнение Бельтрами в случае, когда множество вырождения

S, := [z е С : lim \\К {z)\\L<x{BM) = оо}

имеет нулевую меру и показал, что в C\S/t существует ACL гомеоморфизм / : (С —У С, удовлетворяющий уравнению Бельтрами (1) почти всюду. В работах

([22], [23]) он рассматривал случай, когда ¡i — локально ограничено в €\Е для некоторого компактного множества Е С D,m2 (Е) = 0. Для точек z G С, г > 0, О. Lehto определил функцию ф)Х (z, г),

, ч 1 f2n ll-e-2ie{i(z + reie)l2

ф fz г) :=— / ^-^-^-dQ.

} 2тг70 1 — |/х (z + гег0)|

Используя результаты Рейха и Вальчака [30], он показал в [22], что если для всех z € D, 0 < г\ < г2,

j / л Г dr

I (п, г2, г) := / ——-- оо,

когда г\ —> 0 или оо, то существует гомеоморфизм / : С —> С, такой, что для каждой относительно компактной области U в С\Е сужение f\v есть решение уравнения Бельтрами.

И. Н. Песин в работе [123] (1969 г.) установил существование ц - гомеоморфизма / (z) в круге D С С, когда

[ еКР^ < оо, (4)

J D

для некоторого р > 1. Он также показал, что при этом условии / £ U2Wlfc(D)uf-'eWt2c(D).

В. М. Миклюковым и Г. Д. Суворовым [111] (1972 г.) было доказано существование fi - гомеоморфизма / : D —» С, для которого К (z) < К0 + Q (z), для некоторой положительной константы Ко, Q (z) € Wq'2, при этом /_1 G wioc (/ (D))• Недавно (2003 г.) О. Мартио и В. М. Миклюков [25] обобщили этот результат на случай, когда К (2) мажорируется Q (z) G (D).

Г. Н. Положим (1973 г.) в работе [124] изучалась общая теория р и (р, q) -аналитических функций, а также проведены исследования по построению интегральных представлений р - аналитических функций от z = х + iy с весом р = хк (к = const > 0). Основное внимание Г. Н. Положий уделяет вопросам приложения развиваемой им общей теории в механике сплошных сред. В диссертации автора рассматривается класс р - и (p,q) - аналитических функций, для которого получены теоремы существования и интегральные свойства производных решений. При этом весовые функции оцениваются степенями расстояний до граничного множества единичного круга.

В работе П. П. Белинского [54] и его учеников (1974 г.) изучались квазиконформные в среднем отображения колец. Им были получены экстремальные функции для отображений колец и установлены модули равностепенной непрерывности квазиконформных отображений в среднем. В данной диссертации показано, что в классе квазиконформных в среднем отображений колец нет отображений кроме К - квазиконформных, которые экстремально всякое подкольцо из С г 1 переводят на подкольцо из Ср\.

С. К. Водопьяновым и др. [71] была показана схема получения интегральных представлений функции и (z) через значение Lu линейного дифференциального оператора L. Метод работает в том случае, когда существует дифференциальный оператор М, представляющий собой систему Коши, определяющую однозначно решение уравнения Lu = 0. В работе [69] С. К. Водопьянов обобщает критерий Винера регулярности решения задачи Дирихле для широкого класса уравнений субэллиптического типа общей природы. Так же [70] получены необходимые и достаточные условия на гомеоморфизмы ip : Q -> Q' евклидовых областей в пространстве Rn, п > 2, гарантирующие принадлежность обратного отображения классу Соболева.

Проблема существования для вырождающегося уравнения Бельтрами, в котором характеристика К (z) £ L°°, в настоящее время активно исследуется ([1], [4], [5], [6], [11], [18], [26], [35], [44], [50]). Для многих вырождающихся уравнений Бельтрами недавно доказано существование гомеоморфизма из например ([17], [18], [19], [27]).

В работе У. Сребро и Э. Якубова [43] (1997 г.) изучается случай вырождения внутри области, для которого показано, что решение уравнения Бельтрами / (z) принадлежит W^. В нашей работе рассматривается случай вырождения на граничной дуге единичного круга, при этом для решений нелинейного уравнения Бельтрами строятся шкалы весовых пространств С. Л. Соболева.

В работе В. И. Рязанова, У. Сребро и Э. Якубова [130] (1997 г.), а так же В. Я. Гутлянского, О. Мартио, Т. Sugawa, М. Vourinen [18] (2005 г.) также были получены результаты по существованию, единственности и свойствам ACL гомеоморфных решений для вырождающегося уравнения Бельтрами (1).

М. А. Бракалова и Y. A. Jenkins [7] (1998 г.) модифицировали условие И. Н. Лесина (4) и доказали для измеримых функций ¡1 в С, Ц/хЦ^ < 1,

существование ц - гомеоморфизма / : С —> С, нормированного условиями / (0) = 0, / (1) = 1 при выполнении следующих условий:

-^-Т- }dA< Фв

для любого ограниченного множества В С D, где является константой, зависящей от В и

[ -—\-rdA = О (Я2), Я —>• оо.

J{\z\<R}DD 1 - Щ

Они также показали, что при этом f £ ^U ^ W^ (С).

В работе [21] (2001 г.) Т. Иванец и Г. Мартин изучали более широкий класс функций ß с характеристикой К (z), удовлетворяющей экспоненциально и субэкспоненциально условиям интегрируемости. Они показали, что если существует число ро > 1, такое, что \ß(z)\ < и € LP (D)

для р > ро, то уравнение Бельтрами имеет принципиальное решение h G

* + Kl (с).

В работе [17] (2001 г.) В. Я. Гутлянского, О. Мартио, М. Вуоринена и Т. Шугавы получены условия существования в пространстве W^ // - гомеоморфизма, в которых участвуют \\(л\\ и arg /л.

В главе 6 книги В. Я. Гутлянского и В. И. Рязанова [75] (2011 г.) исследуются проблемы локального поведения квазиконформных отображений на плоскости и связанные с ним вопросы граничного соответствия. При этом особое внимание уделено случаю, когда комплексные характеристики квазиконформных отображений являются аппроксимативно непрерывными функциями. Здесь приводятся явные решения уравнения Бельтрами для случаев, когда комплексная характеристика fi является измеримой произвольной функцией, но зависит только от одной вещественной переменной х = Rez или у = Imz, либо И или arg/i. Для этих решений в работе [75] получены интегральные представления, подынтегральная плотность которых зависит от функции^ (z). В данной диссертации же получены интегральные представления для решений и их производных вплоть до второго порядка для вырождающегося уравнения Бельтрами второго типа. При этом подынтегральная плотность зависит от производных координатных функций этих решений.

В монографии К. Asíala [1] (2009 г.) исследуются свойства общих квазиконформных отображений плоскости на себя с интегрируемой характеристикой. Там, в частности, показано, что обобщенные производные первого порядка локально интегрируемы в С, кроме того существует конечное множество, вне которого первые производные локально интегрируемы с квадратом.

В книге В. Я. Гутлянского и др. [19] (2012 г.) изучаются вопросы существования, единственности и ограниченности решений системы:

аих + fiuy = vy /Зих + 7 иу = -vx

В этой книге, в частности, показано, что каждое гомеоморфное ACL решение / (z) уравнения (1) с локально интегрируемой в области D с С характеристикой К (z), принадлежит пространству (D). Более того, если К M е Цос (D), р е [1, оо], то fe W¡¿ (D), * = r¿=1.

Уравнение Бельтрами второго рода [19]:

fz = V (z) fz,

которое является частным случаем уравнения (3), имеет приложения во многих задачах математической физики [92], а также играет значительную роль в теории гармонических отображений на плоскости ([8], [30]).

В книге [19] (2012 г.) В. Я. Гутлянским и др. показано, что если /:£)—> С есть ACL гомеоморфное решение уравнения (3), для которого К (z) G W^C(D), то fe Wll (D). Более того, если К (z) е W¡fc (D), р е [1, оо], то f е Wjfc (D), s = Также, в работе [20] из принадлежности / (z) классу W¡;1 (D) и K(z)e Ljoc (D), If (z) ¿ 0, следует, что Г1 e W¡¿ (/ (D)).

В вышеуказанных работах определена зависимость локального поведения производных первого порядка решения от локального поведения производных первого порядка характеристик решения.

Нами же были изучены свойства интегрируемости производных определенного класса общих квазиконформных отображений, являющихся решениями вырождающихся эллиптических систем в дополнительном предположении, что производные весовых функций обладают некоторыми свойствами интегрируемости. При этом в диссертации автора произведены не локальные (rao-

бальные) оценки поведения производных второго порядка, а получено семейство весовых функциональных пространств С. Л. Соболева для производных первого порядка. Существенную роль при этом играют интегральные представления для производных второго порядка, носящие, хотя и известный вид, но являющиеся при этом нетривиальными из-за того, что априори неизвестна интегрируемость плотностей сингулярных интегральных операторов, участвующих в таких интегральных представлениях.

В данной работе рассматривается область с просто устроенной границей. Проблемы, возникающие в вырожденном случае в связи со сложным устройством границы, обсуждаются в работе В. М. Миклюкова [109].

Несмотря на обилие научных исследований в области общих квазиконформных отображений, многие принципиальные вопросы по сию пору остаются неразрешенными. Это определяет актуальность данной работы.

Предметом исследования являются квазиконформные с неограниченными характеристиками отображения ги (г) = и (г) + гу (г) круга В\ на себя, являющиеся решениями системы (5).

Объектом исследования являются вырождающиеся на граничном множестве Го эллиптические системы вида:

Р = Р М ,9 = Я (г), (5)

-дих+риу = —ух,

решения которых называют (р, д) - аналитическими функциями. Относительно функций р(г), д {г) предполагаем выполненным следующее:

Условие 2). Пусть функции р, д : В\ —» К, непрерывно дифференцируемы на множестве В^Го, неотрицательны на нем и в окрестности Го удовлетворяют условиям:

счсИв^ (г, Го) <р(г) < агейв*4* (г, Г0),

Мг^а_1 Го) < \Ур(г)\ < М«^"-1 (г,Г0), схсйв*20 (г, Г0) <д{г)< сй<й$*2а (г, Г0),

(г, Го) < \Чд (г)\ < й2е^2""1 (г, Г0),

О < а < 1, 0 < ах < а2, 0 < Ьх < 62, 0 < С\ < с2, О < < с/2.

Целью исследования является получение интегральных представлений для решений вырождающихся эллиптических систем (5), аналогичных интегральным представлениям И. Н. Векуа и I. 5. Оещеп, Е в. Огезве! и дополнительных интегральных свойств производных решений этих систем.

Методы исследования. Основные результаты диссертации получены с помощью интегральных представлений И. Н. Векуа [65] и I. I. Оег§еп, К в. ЭгеББе! [15], «весовой» теоремы вложения [46], критерия Винера [46] регулярности граничной точки при исследовании краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений, теории сингулярных интегральных операторов и других методов теории функций комплексного переменного.

Достоверность полученных в диссертации результатов обусловлена тем, что применяются проверенные, точные и строго обоснованные методы исследования; основные результаты диссертации доказаны и опубликованы.

Научная новизна.

1. Доказано существование квазиконформных отображений, для которых имеют место интегральные представления, аналогичные интегральным представлениям И. Н. Векуа и Д. I. Ое^еп, К в. БгеББе!.

2. Обобщен результат И. Н. Векуа о поведении интегралов типа 1а/з на случай сингулярных интегралов с плотностью, неограниченной в граничной точке 2д или на граничной дуге Го круга В\.

3. Указаны семейства функциональных пространств С. Л. Соболева, которым принадлежат решения вырождающихся эллиптических систем, осуществляющих топологические отображения круга В\ на себя.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные результаты имеют теоретическое значение, заполняя определенный пробел в теории вырождающихся эллиптических систем, и могут быть использованы для получения новых результатов в этом разделе теории функций комплексного переменного.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Доказаны теоремы существования и единственности решений вырождающихся эллиптических систем, осуществляющих топологиче-

ские отображения и обладающих интегральными представлениями типа И. Н. Векуа и J. J. Gergen, F. G. Dressel.

2. Получены интегральные представления для производных решений вырождающихся эллиптических систем, осуществляющих топологические отображения единичного круга В\ на себя, вплоть до второго порядка включительно.

3. Доказаны теоремы о поведении сингулярных интегралов с весовой функцией, неограниченной в граничной точке и на граничной дуге Го круга В\.

4. Получены семейства функциональных пространств С. JI. Соболева, которым принадлежат решения вырождающихся эллиптических систем, осуществляющих топологические отображения круга В\ на себя.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были доложены на Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Перспектива-2009» (г. Нальчик, КабБГУ, 2009 г.); студенческих научных конференциях факультета математики и компьютерных наук ФГБОУ ВПО «КубГУ» (г. Краснодар, 2009 г., 2012 г.); на научных семинарах кафедры прикладной математики ФГБОУ ВПО «КубГТУ» (г. Краснодар, 2009- 2012 гг.); на VIII Международной научно-практической интернет-конференции «Проблемы и перспективы развития науки в начале третьего тысячелетия в странах СНГ», (г. Переяславль-Хмельницкий, 26-28 февраля 2013 г.); на 4-й международной конференции «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования» (г. Москва, РУДН, 25-29 марта 2013 г.); на научном семинаре «Геометрический анализ и вычислительная геометрия» (г. Волгоград, ВолГУ, 13 мая 2013 г.), на научном семинаре «Геометрическая теория функций» (г. Новосибирск, Институт математики им. С. JI. Соболева СО РАН, 21 мая 2013 г.) В целом работа доложена на расширенном заседании кафедры теории функций при факультете математики и компьютерных наук ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет».

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 работ ([139], [135], [134], [136], [138], [137], [140], [47]). Работы ([139], [140], [47]) изданы в соавторстве с Е. А. Щербаковым. Работы [138], [136], [139] опубликованы

в журнале из действующего перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание учёной степени доктора и кандидата наук.

Личный вклад соискателя.

В совместной работе [139] Е. А. Щербакову принадлежит постановка задачи, идея решения и лемма о поведении сингулярного интеграла с подынтегральной плотностью, неограниченной в одной граничной точке круга В\. Реализация идеи решения принадлежит Ю. В. Терентьевой. Работы ([47], [140]) носят совместный характер.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы (150 наименований). Диссертация изложена на 120 станицах машинописного текста (106 страниц основного текста и 14 страниц литературы).

Я искренне признательна моему научному руководителю — доктору физико - математических наук, Евгению Александровичу Щербакову за многолетнее сотрудничество, поддержку, терпение, постановку задач, постоянное внимание к работе, полезные советы и конструктивную критику.

Глава 1 •

О суммируемости производных р - аналитических функций в случае вырождения в конечном множестве граничных точек единичного круга

1.1. Основные определения и обозначения

Во всей работе будут использоваться определения и утверждения, введенные ниже.

Обозначим через Го конечное множество точек на границе Г = дВ\ единичного круга В\. В дальнейшем мы будем уточнять, какое именно граничное множество имеется ввиду.

Через П обозначим ограниченную область в С. Измеримой функцией [73] на П мы называем класс эквивалентных измеримых функций, отличающихся друг от друга только на подмножестве нулевой меры.

Определение 1 [73]. Пространство Ьр {Вг), 1 < р < со, - классическое банахово пространство [86], состоящих из измеримых на В\ функций ги (г), р - я степень которых интегрируема в круге В\. Норма в пространстве ЬР{В\) определяется равенством:

МКд == МКли, = ([ НРЛх<1у.

Определение 2 [51]. Будем говорить, что функция ги (г) есть обобщенное решение системы (5) в круге В\, если ги (х) локально суммируема в нём и существуют обобщенные производные г^ и шг класса Ьр (В{), 1 < р < оо, удовлетворяющие системе (5) почти всюду в В\. Определение 3 [51]. Топологическое отображение

ги : О. ги (0.),

сохраняющее ориентацию, называется К - квазиконформным в области П, если его характеристика

К(А,= Ы + К1

-

в области О. С С ограничена константой К е М.

Переходя к комплексным переменным, запишем систему (5) в следующем виде:

■Ш-2 = У (г) (1.1)

где

^ (г) .= 1 - Р2 (г) - д2 (2) + 21д (г) дЦг) + (1+р(г))2 Уравнение (1.1) называют уравнением Бельтрами второго рода [19].

Так как в уравнении (1.1) модуль комплексной характеристики г; {г) имеет вид:

ЯПЩТщ 1 У(1+г>М) +<?2М

и функции р (г), д {г) удовлетворяют условию Б, то характеристика К (г),

у/( 1 + р (г))2 + дЦг) + ^(1-р (г))' + # (*)

К (г) = у -у (1.3)

д/(1 + р (г))2 + (*) - 1/(1 - р (г))2 + ф (г)

отображения ги (г) не является ограниченной в точках множества вырождения Г0. Поэтому отображения т (г), удовлетворяющие системе (5), не являются К - квазиконформными ни для какой константы К е М. Такие отображения назовем общими квазиконформными отображениями, а соответствующую им систему (5) - вырождающейся. Система (5) в таком случае не является равномерно эллиптической [73].

Определение 4 [112]. Отображение гл(г) называется квазиконформным в среднем в области О С С, если его характеристика К (г) интегрируема с квадратом в области

Нас будет интересовать множество весовых функций, принадлежащих, так называемому, классу Макенхаупта А2 (С).

Определение 5 [104]. Пусть константа С > 1. Говорят, что неотрицательная измеримая функция и (г) в С принадлежит классу Макенхаупта А2 (С), если для любого круга Г2 С С имеет место неравенство

здесь — площадь круга Будем говорить также, что функция и (г) принадлежит классу Макенхаупта А2 (П), П С С, если она допускает продолжение в С функцией, принадлежащей классу А2 (С).

Такие классы функций играют важную роль в теории интегральных и дифференциальных уравнений.

В дальнейшем в наших построениях большую роль будут играть весовые пространства С. Л. Соболева \¥1'р (си, П), 1 < р < оо.

Определение 6 [150]. Весовое пространство С. Л. Соболева \¥1,р(со, П), 1 < р < оо, есть пространство локально суммируемых функций ги (г) в 17, имеющих обобщенные производные % и и конечную норму, определенную равенством:

1Н1и^(и,,п) 1ми +и>

здесь " норма в пространстве (П), определённая следующим обра-

зом:

ЫРьр{и,,п) ='■ Л НР ийхйу. (1.4)

Определение 7 [126]. Последовательность измеримых функций {/п}, определенных на некотором множестве И, сходится слабо к функции / в Ьр (Г2), 1 < р < оо, если для всех функций д из сопряженного пространства Ьд (П) выполняется условие:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Терентьева, Юлия Валерьевна, 2013 год

Литература

1. Astala, К. Elliptic partial differential equations and quasiconformal mappings in the plane / K. Astala, G. Iwaniec, T. Martin. — Princeton University press, 2009. - 696 pp.

2. Beltrami, E. Delle variable complesse sorpa una superficie qualunge / E. Beltrami II Ann. Math. Рига Appl— 1867/1868. - no. 1(2).— Pp. 329366.

3. Bers, L. On a theorem of mori and the definition of quasiconformality / L. Bers I I Trans. Amer. Math. Soc. - 1957. - no. 84. - Pp. 78-84.

4. Bojarski, B. General beltrami equations and BMO / B. Bojarski, V. Gutlyanski, V. Ryazanov // Ukrainian Math. Bull.— 2008.— Vol. 5, no. 3. —Pp. 305-326.

5. Bojarski, B. On the beltrami equations with two characteristics / B. Bojarski, V. Gutlyanski, V. Ryazanov // Compl. Variab. and Elliptic Equat. — 2009. — Vol. 54, no. 10.- Pp. 935-950.

6. Bojarski, B. On integral conditions for the general beltrami equations / B. Bojarski, V. Gutlyanski, V. Ryazanov // Compl. Anal, and Oper. Theory. — 2011.- Vol. 5, no. 3.- Pp. 835-845.

7. Brakalova, M. A. On solutions of the beltrami equation / M. A. Brakalova, J. A. Yenkins // Y. Anal. Math. — 1998. - no. 76. - Pp. 67-92.

8. Bshouty, D. Univalent harmonic mappings in the plane / D. Bshouty, W. Hengartner I I Handbook of complex analysis: geometric function theory, Elsevier, Amsterdam. — 2005. — no. 2. — Pp. 479-506.

9. Coifman R. R.and Fefferman, C. Weighted norm inequalities for maximal functions and singular integrals / C. Coifman, R. R.and Fefferman // Stud. Math. (PRL) (РЖМат 1975Б 4Б63).- 1974.- Vol. 15, no. 3,- Pp. 241250.

10. David, G. R. Solutions de equation de beltrami avec Ц/гЦ^ = 1 / G. R. David II Ann. Acad. Sci. Fenn. - Ser. Al. Math. - 1988. — no. 13(1). -Pp. 25-70.

11. Dybov, J. The dirichlet problem for the beltrami equation / J. Dybov // Proceeding of Inst. Appl. Math. Mech. Of NAS of Ukraine.— 2009.— no. 18.-Pp. 62-70.

12. Gehring, F. W. On the differentiability of functions of a complex variable / F. W. Gehring, O. Lehto II Ann. Acad. Sei. Fenn. — Ser. AI. Math. — 1959. — no. 272.-Pp. 1009-1019.

13. Gergen, J. J. Mappings for p-regular mappings / J. J. Gergen, F. G. Dressel // Duke Math. Journ.— 1951. — Vol. 18, no. 1.

14. Gergen, J. J. Uniqueness for ^-regular mappings / J. J. Gergen, F. G. Dressel I I Duke Math. Journ.— 1952.- Vol. 19, no. 3.— Pp. 435444.

15. Gergen, J. J. Mapping for elliptic equations / J. J. Gergen, F. G. Dressel // Trans. Amer. Math. Soc. - 1954.- no. 77.- Pp. 151-178.

16. Grotzsch, H. Uber die Verzerrung bei schlichten nichtkonformen abbildungen und über eine damit zusammenhangende erweiterung des picardschen satzes / H. Grotzsch // Ber. Verh. Suchs Akad. Wiss. Leipzig.— 1928.— no. 80. - Pp. 503-507.

17. Gutlyanski, V. On the degenerate Beltrami equation / V. Gutlyanski, T. Martio, O. Sugawa, M. Vuorinen. — Reports of the Departament of Mathematics, Preprint 282, Univerity of Helsinki, 2001. — 32 pp.

18. Gutlyanski, V. On the degenerate beltrami equation / V. Gutlyanski, T. Martio, O. Sugawa, M. Vuorinen I I Trans. Amer. Math. Soc. — 2005. — Vol. 357, no. 3.- Pp. 875-900.

19. Gutlyanski, V. The Beltrami equation / V. Gutlyanski, V. Ryazanov, V. Srebro, E. Yakubov. - Springer, 2012.-301 pp.

20. Hencl, S. Regularity of the inverse of a planar sobolev homeomorphisms / S. Hencl, P. Koskela II Arch. Ration Mech. Anal. - 2006. — Vol. 180, no. 1. -Pp. 75-95.

21. Iwaniec, T. Geometrical Function Theory and Nonlinear Analysis / T. Iwaniec, G. Martin.— Clarendon Press: Oxford Univ. Press, 2001.— 552 pp.

22. Lehto, O. Homeomorphisms with a prescribed dilatation / O. Lehto //Lecture Notes in Math. - 1968. - no. 118. - Pp. 58-73.

23. Lehto, O. Remarks on generalized beltrami equations and conformal mappings / O. Lehto // Proceedings of the Romanian-Finnish Seminar on Teichmuller Spaces and Quasiconformal Mappings (Brasov 1969). Publ. House of the Acad, of the Socialist Republic of Romania, Bucharest.— 1971.-Pp. 203-214.

24. Lehto, O. Quasiconformal mappings in the plane / O. Lehto, K. Virtenen. — Berlin etc.: Springer, 1973. — 258 pp.

25. Martio, O. On existence and uniqueness of degenerate beltrami equation / O. Martio, V. M. Miklyukov // Reports of the Dept. of Math., University of Helsinki, Preprint 347. - 2003. - Pp. 1-12.

26. Martio, O. Some remarks on existence problem for degenerate elliptic system / O. Martio, V. M. Miklyukov, M. Vuorinen // Proc. Amer. Math. Soc. — 2005.-no. 133.-Pp. 1451-1458.

27. Moduli in Modern Mapping Theory / O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov. — Springer Monographs in Mathematics. — New York: Springer, 2009.-367 pp.

28. Morrey, C. On the solutions of quasilinear elliptic partial differential equations / C. Morrey // Trans. ASmer. Math. Soc. — 1938. — no. 43. - Pp. 126166.

29. Pfluger, A. Uber die aquivalenz geometrischen und der analytischen definition quasiconformer abbildungen / A. Pfluger II Comment. Math. Helv. — 1959. - no. 33. - Pp. 23-33.

30. Reich, E. On the behavior of quasiconformal mappings at a point / E. Reich, H. Walczak // Trans. Amer. Math. Soc. — 1965. — Pp. 338-351.

31. Renelt, H. Quasikonforme abbildungen und elliptische systeme erster Ordnung in der ebene / H. Renelt // Teubner Texte Math.— 1982.— no. 46.— P. 140.

32. Renelt, H. Elliptic Systems Quasiconformal Mappings / H. Renelt. — Pure Applied Mathematics a Wiley-Interscience Seria, 1989. — 156 pp.

33. Ryazanov, V. BMO-quasiconformal mappings / V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov // Reports Dept. Math. Univ. Helsinki.— 1997.— no. 155.— Pp. 1-22.

34. Ryazanov, V. Plane mappings with dilatation dominated by functions of bounded mean oscillation / V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov ii Sib. Adv. Math. — 2001. — Vol. 11, no. 2.- Pp. 94-130.

35. Ryazanov, V. Degenerate beltrami equation and radial 0-homeomorphisms / V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov // Reports in Math, of the Helsinki Univ. - 2003. - no. 369. - Pp. 1-34.

36. Ryazanov, V. Beltrami equation and FMO functions / V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov // Contemp. Math. - 2005. — no. 382. — Pp. 357-364.

37. Ryazanov, V. On ring solutions of beltrami equation / V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov // J. Anal. Math. - 2005. - no. 96. - Pp. 117-150.

38. Ryazanov, V. Finite mean oscillation and the beltrami equation / V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov ii Israel J. Math. - 2006. - no. 153. - Pp. 247-266.

39. Ryazanov, V. On the theory of the beltrami equation / V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov // Ukrain. Math. J. - 2006. - Vol. 58, no. 11. - Pp. 1571-1583.

40. Ryazanov, V. The beltrami equation and ring homeomorphisms / V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov // Ukrain. Math. Bull. — 2007. — Vol. 4, no. l.-Pp. 79-115.

41. Ryazanov, V. BMO - quasiconformal mappings / V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov // J. Anal. Math. - 2011. - no. 83. - Pp. 1-20.

42. Schiffer, M. A variational method forgeneral families of quasiconformal mappings / M. Schiffer, G. Schober // Y. analyse math. — 1978. — no. 34. — Pp. 240-264.

43. Srebro, U. ¡i -homeomorphisms / U. Srebro, E. Yakubov // Contemporary Math.- 1997.-no. 211.-Pp. 473-479.

44. Srebro, U. The beltrami equation / U. Srebro, E. Yakubov // In. Handbook of Complex Analysis, Geometry Function Theory. Elsevier, Amsterdam — 2005. - no. 2. - Pp. 555-597.

45. Strebel, K. Ein konvergenzsatz fur folgen quasiconformal abbildungen / K. Strebel // Comment. Math. Helv. - 1969. - Vol. 44, no. 4. - Pp. 469-475.

46. Stredulinsky, E. W. Lachtes Notes in Mathematics Springer / E. W. Stredulinsky.— Weighted inequalition and Degenerate Elliptic partial Differential Equations, 1984.— 142 pp.

47. Terentieva, Y. V. On the integral properties of the derivatives of the solutions of the boundary degenerate (p, q) analytic systems representing topological mapping of the unit disk / Y. V. Terentieva, E. A. Shcherbakov // Нелинейные граничные задачи Донецк. — 2012. — Vol. 21. — Pp. 153-164.

48. Tukia, P. Compactness properties oi p - homeomorphisms / P. Tukia II Ann. Acad. Sci. Fenn. - Ser. Al. Math. - 1991. - Vol. 16, no. 1. - Pp. 47-69.

49. Vaisala, J. On quasiconformal mappings in space / J. Vaisala // Ann. Acad. Sci. Fenn. - Ser. Al. Math. - 1961. - no. 298. - P. 36.

50. Yakubov, E. H. On solutions of beltrami equation with degeneration / E. H. Yakubov II Soviet Math. Dokl.- 1978.- Vol. 19, no. 6.- Pp. 15151516.

51. Альфорс, Л. Лекции по квазиконформным отображениям / Л. Альфорс. — М.: Мир, 1969.— 133 с.

52. Альфорс, Л. Пространства римановых поверхностей и квазиконформные отображения / Л. Альфорс, Л. Берс.— М.: Иностр. Лит., 1961. — 177 с.

53. Белинский, П. П. Решение экстремальных задач теории квазиконформных отображений вариационным методом / П. П. Белинский // Сиб. матем. журнал. — I960. — Т. 1, № 3.— С. 303-330.

54. Белинский, П. П. Общие свойства квазиконформных отображений / П. П. Белинский. — Новосибирск: Наука, 1974.— 100 с.

55. Белинский, П. П. Метрические свойства К - квазиконформных отображению! / П. П. Белинский, И. Н. Песин //Матем. сборник,— 1956.— Т. 40, №82.-С. 281-294.

56. Белиснкий, П. П. Теорема существования и единственности квазиконформных отображений / П. П. Белиснкий // Успехи математических наук.- 1951.-№У1, 2(42).

57. Бесов, О. В. Интегральные представления функций и теоремы вложения / О. В. Бесов, В. П. Ильин, С. М. Никольский. — М.: Наука, 1975. — 480 с.

58. Билута, П. А. Некоторые экстремальные задачи для отображений, квазиконформных в среднем / П. А. Билута // Сиб. матем. журнал.— 1965.- Т. 6, № 4.- С. 717-726.

59. Боярский, Б. В. Гомеоморфные решения систем Бельтрами / Б. В. Боярский II ДАН СССР. - 1955. - Т. 102, № 4. - С. 661-664.

60. Боярский, Б. В. Обобщенные решения системы дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа с разрывными коэффициентами / Б. В. Боярский И Машем, сборник. — 1957. — Т. 43, № 4. — С. 451-503.

61. Вашарин, А. А. Граничные свойства функций класса И^Ч^) и их приложение к решению одной краевой задачи математической физики / А. А. Вашарин // Изв. АН СССР. Сер. Математика. — 1959. — № 23. — С. 421-454.

62. Вашарин, А. А. Некоторые краевые задачи для эллиптических уравнений с сильным вырождением на границе / А. А. Вашарин, П. И. Лизоркин // ДАН СССР. — 1961. — Т. 137, №5.-С. 1015-1019.

63. Введенская, Н. Д. Об одной краевой задаче для уравнений эллиптического типа, вырождающихся на границе области / Н. Д. Введенская // ДАН СССР. - 1953. - Т. ХС1. - С. 711-714.

64. Векуа, И. Н. Общее представление функций двух независимых переменных, допускающих производные в смысле С. Л. Соболева и проблема примитивных / И. Н. Векуа IIДАН СССР.- 1953.- Т. 89, № 5.-С. 773-775.

65. Векуа, И. Н. Обобщенные аналитические функции / И. Н. Векуа. — М.: Наука, 1988.-512 с.

66. Вихрева, О. А. Краевая задача для вырождающегося эллиптического уравнения / О. А. Вихрева И Сборник трудов IIРеспубликанской научно-практической конференции "Информационные технологии в науке, образовании и экономике". Якутск:ЯГУ. — 2003. — С. 113-118.

67. Вишик, М. И. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области / М. И. Вишик II Мат. Сборник. — 1954. — Т. 35, №3.- С. 513-568.

68. Вишик, М. И. Об одном классе вырождающихся эллиптических уравнений высших порядков / М. И. Вишик, В. В. Грушин //Мат. Сборник. — 1969.-Т. 79, № 1.-С. 3-36.

69. Водопьянов, С. К. Весовые пространтсва Соболева и граничное поведение решений вырождающихся гипоэллиптических уравнений / С. К. Водопьянов // Сиб. мат. журнал. — 1995. — Т. 36, № 2. — С. 278300.

70. Водопьянов, С. К. О регулярности отображений, обратных к соболевским / С. К. Водопьянов II Мат. сборник.— 2012.— Т. 203, № 10.— С. 3-32.

71. Водопьянов, С. К. О гомеоморфных свойствах функций с первыми обобщенными производными / С. К. Водопьянов, В. М. Голыптейн, Ю. Г. Решетняк // Успехи мат. наук. - 1979. - Т. 34, № 1(205). - С. 1765.

72. Гейнеман, В. Э. — Экстремальные задачи для квазиконформных и квазиконформных в среднем отображении. — канд., 01.01.01, Новосибирск, 1984.

73. Гилбарг, Д. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка / Д. Гилбарг, Н. Трудингер. — М.: Наука, 1989.-463 с.

74. Гутлянский, В. Я. К теории локального поведения квазиконформных отображений / В. Я. Гутлянский, В. И. Рязанов // Изв. РАН. Сер. Матем.- 1995.- Т. 59, № 3.- С. 31-58.

75. Гутлянский, В. Я. Геометрическая и топологическая теория функций и отображений / В. Я. Гутлянский, В. И. Рязанов // Киев: Наукова Думка, серия «Задачи и методы: математика, механика, кибернетика».-2011.-Ш 5.-С. 428.

76. Давыдкин, И. Б. Квазиконформные отображения в гидродинамике и их численная реализация / И. Б. Давыдкин. — Горно-Алтайск, 2006. — 115 с.

77. Давыдкин, И. Б. Неоднолистные квазиконформные отображения со свободной границей / И. Б. Давыдкин, В. Н. Монахов IIДинамика сплошной среды, Сб. науч. тр.; Сиб. отд. РАН, Ин-т гидродинамики. — 2002,— № 120.-С. 26-32.

78. Давыдкин, И. Б. Задачи со свободными границами для нелинейных моделей фильтрации жидкости в неоднородных пористых средах /

И. Б. Давыдкин, В. Н. Монахов // Прик. мех. и тех. физ. — 2003. — Т. 44, №6.-С. 76-84.

79. Дынъкин, Е. М. Весовые оценки сингулярных интегралов и их приложения / Е. М. Дынькин, Б. П. Осиленкер ИМ. ВИНИТИ. Итоги науки и техн. Сер. мат. анализ, — 1983. — № 21.— С. 42-129.

80. Евграфов, М. А. Аналитические функции / М. А. Евграфов. — М.: Наука, 1968.-471 с.

81. Егоров, И. Е. О краевых задачах для вырождающегося эллиптического уравнения / И. Е. Егоров, Н. А. Тихонов // Математические заметки ЯГУ. - 2002. - Т. 9, № 1. - С. 33-43.

82. Зорич, В. А. Квазиконформные отображения и асимптотическая геометрия многообразий / В. А. Зорич И УМН. - 2002. - Т. 57, № 3(345). -С. 3-28.

83. Игликов, А. Об одной неравномерно эллиптической системе первого порядка / А. Игликов И Мат. физика. — 1968. — № 5. — С. 76.

84. Иосида, К. Функциональный анализ / К. Иосида. — М.: Мир, 1967.— 624 с.

85. Келдыш, М. В. О некоторых случаях вырождения уравнения эллиптического типа на границе области / М. В. Келдыш И ДАН СССР. — 1957. — Т. 77, №2.-С. 181-183.

86. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. — М.: Наука, 1976. — 543 с.

87. Копылов, А. П. Устойчивость в С-норме классов отображений /

A. П. Копылов. — Новосибирск: Наука, 1990.

88. Кругликов, В. И. О существовании и единственности отображений, квазиконформных в среднем / В. И. Кругликов И Метрические вопросы теории функций и отображений. Киев: Наук. Думка. — 1973. — С. 123147.

89. Кругликов, В. И. О некоторых классах плоских топологических отображений с обобщенными производными / В. И. Кругликов,

B. М. Миклюков // Метрические вопросы теории функций и отображений.- Киев: Наук. Думка. — 1973. — С. 102-122.

90. Крушкаль, С. Л. Об отображениях, квазиконформных в среднем / С. Л. Крушкаль II Докл. АН СССР.- 1961.- Т. 157, № 3.- С. 517519.

91. Крушкаль, С. Л. Квазиконформные отображения и римановы поверхности / С. JI. Крушкаль. — Новосибирск: Наука, 1975.— 196 с.

92. Крушкаль, С. Л. Квазиконформные отображения — новые методы и приложения / С. Л. Крушкаль, Р. Кюнау.— Новосибирск: Наука, 1984.— 162 с.

93. Лаврентьев, М. A. Sur une classe de representations continues / M. А. Лаврентьев //Матем. сборник. — 1935. — Vol. 42, no. 4. — Pp. 407423.

94. Лаврентьев, M. А. О некоторых граничных задачах в теории однолистных функций / М. А. Лаврентьев // Матем. сборник.— 1936.— Т. 1, №43.-С. 815-846.

95. Лаврентьев, М. А. О некоторых свойствах однолистных функций с приложениями к теории струй / М. А. Лаврентьев // Матем. сборник. — 1938. - Т. 4, № 46. - С. 391-458.

96. Лаврентьев, М. А. Квазиконформные отображения и их производные системы / М. А. Лаврентьев II ДАН СССР.- 1946.- Т. 52, № 4.-С. 287-289.

97. Лаврентьев, М. А. Основная теорема теории квазиконформных отображений плоских областей / М. А. Лаврентьев // Изв. АН СССР. Сер. Математика. - 1948. - Т. 12, № 6. — С. 513-554.

98. Лаврентьев, М. А. Вариационный метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического типа / М. А. Лаврентьев. — М.: Изд-во АН СССР, 1962.- 136 с.

99. Лаврентьев, М. А. Геометрические свойства решений нелинейных систем уравнений с частными производными / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат II ДАН СССР. - 1957. - Т. 112, № 5.

100. Лаврентьев, М. А. Проблемы гидродинамики и их математические модели / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. — М.: Наука, 1977. — 407 с.

101. Левицкий, Б. Е. Геометрические свойства некоторых классов квазиконформных в среднем отображений / Б. Е. Левицкий // ВИНИТИ. — 1984.-№5404-84.

102. Левицкий, Б. Е. Некоторые оценки искажений в общих классах квазиконформных отображений / Б. Е. Левицкий // Комплексы, методы в матем. физике. Донецк. — 1984.— С. 157.

103. Левицкий, Б. Е. Теорема покрытия для квазиконформных в среднем отображений / Б. Е. Левицкий // Изв. вузов.— Серия Математика. — 1986.-№ 10.-С. 85-87.

104. Малаксиано, Н. А. О точных вложениях классов Геринга в классы Макенхаупта / Н. А. Малаксиано // Математические заметки.— 2001. - Т. 70, № 5. - С. 742-750.

105. Миклюков, В. М. Об устранимых особенностях квазиконформных отображений в пространстве / В. М. Миклюков НДокл. АН СССР. — 1969. — Т. 188, №3.-С. 525-527.

106. Миклюков, В. М. К теории квазиконформных отображений в пространстве: физико-математические науки / ИПММ АН УССР.— Донецк, 1970.-С. 97.

107. Миклюков, В. М. Об искажении емкости при квазиконформных в среднем отображениях / В. М. Миклюков // Материалы итог. науч. конф. по матем. и мех., секц. мат. — Томск: 1972.— С. 45-53.

108. Миклюков, В. М. К проблеме существования и единственности решений вырождающейся системы Бельтрами / В. М. Миклюков // Материалы V Петрозаводской международной конференции «Комплексный анализ и его приложения». — 2010. — С. 24-25.

109. Миклюков, В. М. Функции весовых классов Соболева, анизотропные метрики и вырождающиеся квазиконформные отображения / В. М. Миклюков. — Волгоград: Изд-во ВолГУ, 2010. — 305 с.

110. Миклюков, В. М. О некоторых классах топологических отображений с неограниченными характеристиками / В. М. Миклюков, В. И. Крутиков // Метр, вопросы теории функций и отображений. — 1973.-№4.-С. 102-104.

111. Миклюков, В. М. О существовании и единственности квазиконформных отображений с неограниченными характеристиками / В. М. Миклюков, Г. Д. Суворов // Сб. Исследование по теории функций комплексного переменного и ее приложениям. - Киев. — 1972.— С. 45-53.

112. Митюк, И. П. Плоские квазиконформные отображения / И. П. Митюк,

B. Г. Шеретов, Е. А. Щербаков.— Краснодар: Изд-во КубГУ, 1979.— 84 с.

113. Михайлов, А. П. О проблеме отображений, являющихся решением эллиптических систем, вырождающихся на границе / А. П. Михайлов // Сибирс. мат. журнал. — 1983.— Т. 24, № 3.— С. 119-127.

114. Михлин, С. Г. Вырождающиеся эллиптические уравнения /

C. Г. Михлин // Вестник ЛГУ, серия Матем., мех. и астр.— 1954.— Т. 3, № 8). — С. 19-48.

115. Монахов, В. Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений / В. Н. Монахов.— Новосибирск: Наука, 1977.-420 с.

116. Монахов, В. Н. Фильтрация жидкости со свободной границей в неидеальных пористых средах / В. Н. Монахов // Проблемы математики и механики, СО Новосибирск: Наука. — 1983.— С. 138-149.

117. Монахов, В. Н. О сходимости численного метода непрерывности задач гидродинамики со свободными границами / В. Н. Монахов IIДинамика сплошной среды: Сб. науч. тр. Ин-т гидродинамики СО РАН. — 2000. — № 116.-С. 55-61.

118. Монахов, В. Н. Об одном вариационном методе решения задач гидродинамики со свободными границами / В. Н. Монахов // Сиб. Мат. Журнал. — 2000. — Т. 41, № 5.- С. 1106-1121.

119. Никольский, С. М. Вариационные проблемы для уравнений эллиптического типа с вырождением на границе / С. М. Никольский // Труды МИАН. - 1979. - № 150. - С. 212-238.

120. Олейник, О. А. Об уравнениях эллиптического типа, вырождающихся на границе области / О. А. Олейник II ДАН СССР. - 1952. - Т. ЬХХХУИ, №6.-С. 885-888.

121. Перович, М. О глобальном гомеоморфизме отображений, квазиконформных в среднем / М. Перович IIДокл. АН СССР.— 1976.— Т. 230, №4.-С. 781-784.

122. Песин, И. Н. К теории общих q- квазиконформных отображений / И. Н. Песин II ДАН СССР. - 1955. - Т. 102, № 2. - С. 223-224.

123. Песин, И. Н. Отображения, квазиконформные в среднем / И. Н. Песин // ДАН СССР. - 1969. - Т. 167, № 4. - С. 740-783.

124. Положий, Г. Н. Теория и применение р — аналитических и (р, q) — аналитических функций / Г. Н. Положий. — Киев: Наукова Думка, 1973. — 424 с.

125. Решетняк, Ю. Г. Пространтсвенные отображения с ограниченным искажением / Ю. Г. Решетняк. — Новосибирск: Наука, 1982.— 285 с.

126. Рисс, Ф. Лекции по функциональному анализу / Ф. Рисс, Б. М. Сёкефальви Надь. — М.: Мир, 1979. — 589 с.

127. Рязанов, В. И. О квазиконформных отображениях с ограничениями по мере / В. И. Рязанов // Укр. мат. журнал.— 1993.— Т. 45, № 7.— С. 1009-1019.

128. Рязанов, В. И. Об отображениях, квазиконформных в среднем / В. И. Рязанов // Сиб. матем. журнал. - 1996. - Т. 37, № 2. - С. 378-388.

129. Рязанов, В. И. Равностепенная непрерывность квазиконформных в среднем отображений / В. И. Рязанов, Е. А. Севостьянов // Сиб. матем. журнал. — 2011. — Т. 52, № 3. — С. 665-679.

130. Рязанов, В. И. К теории ВМО-квазирегулярных отображений / В. И. Рязанов, У. Сребро, Э. Якубов II Доклады АН России. — 1999. — Т. 369, № 1.-С. 13-15.

131. Соболев, С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / С. Л. Соболев. — М.: Наука, 1988.— 333 с.

132. Суворов, Г. Д. Семейства плоских топологических отображений / Г. Д. Суворов. - Новосибирск: СО АН СССР, 1965. — 266 с.

133. Сычев, А. В. Пространственные квазиконформные отображения / А. В. Сычев. - Новосибирск: НГУ, 1975. - 98 с.

134. Терентъева, Ю. В. Теорема Белинского и экстремальные функции для класса квазиконформных в среднем отображений / Ю. В. Терентьева // Материалы международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Перспектива 2009», Нальчик. Сер. Физика. Математика. — 2009. — № 8.—С. 111-115.

135. Терентъева, Ю. В. Теорема искажения и экстремальные функции для класса общих квазиконформных отображений / Ю. В. Терентьева // Вестник студенческого научного общества, Краснодар.— 2009.— № 11.-С. 117-123.

136. Терентъева, Ю. В. Исследование свойств интегрируемости производных решения сопряженного (нелинейного) уравнения Бельтрами в случае вырождения на граничной дуге / Ю. В. Терентьева IIВестник РУДН. Серия Математика. Информатика. Физика. — 2013. — № 1. — С. 5-18.

137. Терентъева, Ю. В. Квазиконформные отображения с неограниченными характеристиками и вырождающиеся эллиптические системы / Ю. В. Терентьева // Материалы VIII Международной научно-практической интернет-конференции «Проблемы и перспективы развития науки в начале третьего тысячелетия в странах СНГ». — Переяслав-Хмельницкий: 2013.-26-28 февраля. — С. 87-90.

138. Терентъева, Ю. В. О свойствах сингулярного интеграла с неограниченной весовой плотностью / Ю. В. Терентьева // Изв. ВУЗов, СевероКавказский регион Серия: Естественные науки. — 2013. — № 1. — С. 2325.

139. Терентъева, Ю. В. Исследование свойств интегрируемости производных решения сопряженного (нелинейного) уравнения Бельтрами в случае вырождения в граничных точках / Ю. В. Терентьева, Е. А. Щербаков // Экологический вестник научных центров ЧЭС.— 2012. -№3.- С. 78-84.

140. Терентъева, Ю. В. О суммируемости обобщенных решений (р, q)-аналитических систем, осуществляющих топологическое отображение единичного круга на себя, в случае вырождения на граничной дуге / Ю. В. Терентьева, Е. А. Щербаков // Материалы 4-й международной конференции «Функциональные пространства. Дифференциальные

í

операторы. Общая топология. Проблемы математического образования». — Москва: 2013.-25-29 марта. - С. 358-359.

141. Хатсон, В. Приложения функционального оператора и теории операторов / В. Хатсон, Д. Пим. - М.: Мир, 1983. — 432 с.

142. Шабат, Б. В. К теории квазиконформных отображений в пространстве / Б. В. Шабат II Докл. АН ССС. - 1960. - Т. 132, № 5. _ с. 1465-1468.

143. Щербаков, Е. А. Гомеоморфные решения вырождающихся эллиптических систем / Е. А. Щербаков // Математическая физика, функциональный анализ, Труды ФТИНТ АНУССР. - 1969.-№ 1.-С. 100-115.

144. Щербаков, Е. А. Гомеоморфные решения вырождающихся эллиптических систем / Е. А. Щербаков // Математическая физика. — Киев: Наукова Думка. - 1969. - № 8. - С. 187-190.

145. Щербаков, Е. А. Об отображениях, осуществляемых решениями вырождающихся эллиптических систем / Е. А. Щербаков // Украинский математический журнал. — 1970. — № 6. — С. 848-857.

146. Щербаков, Е. А. Об отображениях, осуществляемых решениями вырождающихся эллиптических систем: физико-математические науки / 01.01.01.-Донецк, 1972.-С. 89.

147. Щербаков, Е. А. Гомеоморфные решения одной вырождающейся эллиптической системы / Е. А. Щербаков // Известия ВУЗов. Математика. — 1976.- Т. 10, № 173.- С. 93-96.

148. Щербаков, Е. А. Об отображениях с неограниченными характеристиками со свободной дугой вырождения / Е. А. Щербаков // Динамика сплошной среды. — 1985. — № 72.— С. 140-151.

149. Щербаков, Е. А. Электростатическая функция Грина для уравнения Трикоми и гомеоморфные решения ассоциированной с ней вырождающейся эллиптической системы / Е. А. Щербаков // Изв. ВУЗов. Математика. — 1991. — № 6. — С. 60-66.

150. Эванс, Л. К. Теория меры и тонкие свойства функций / Л. К. Эванс, Р. Ф. Гариепи. — Пер. с англ. Новосибирск: «Научная книга», 2002.— 215 с.

t