Пространства мультипликативных автоморфных форм и подмногообразия в пространствах Шоттки и Тейхмюллера тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Сергеева, Ольга Алексеевна
- Специальность ВАК РФ01.01.01
- Количество страниц 147
Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сергеева, Ольга Алексеевна
Введение.
Глава I Двойственность дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности.
§1. Топологические и аналитические свойства группы характеров для компактной римановой поверхности
§2. Общая д-двойственность мероморфных дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности
2.1 Мультипликативные функции, дифференциалы Прима и их дивизоры на римановой поверхности
2.2 Пространства строго двойственных дифференциалов Прима
2.3 Общая строгая д-двойственность дифференциалов
Прима.
Глава II Нормированные пространства мультипликативных автоморфных форм
§1. Нормированные пространства измеримых и голоморфных мультипликативных автоморфных форм
1.1 Мультипликативные автоморфные формы
1.2 Мультипликативные операторы
1.3 Мультипликативные функционалы
1.4 Теорема вложения для пространств мультипликативных голоморфных автоморфных форм
§2. Модифицированные операторы Берса и двойственность мультипликативных голоморфных форм
2.1 Предварительные сведения.
2.2 Модифицированный оператор Берса, обращающий характер формы.
2.3 Модифицированный оператор Берса, ^-двойственно меняющий порядок формы
2.4 Композиция модифицированных операторов Берса
2.5 Модифицированный оператор Берса и общая (д, р)-двойственность голоморфных форм
Глава III Конформные автоморфизмы компактных ри-мановых поверхностей, подмногообразия в пространствах Шоттки и Тейхмюллера
§1. Предварительные сведения
§2. Плоские модели для компактных римановых поверхностей с двупорождёнными группами конформных автоморфизмов
2.1 Структура множества неподвижных точек циклической группы конформных автоморфизмов
2.2 Двупорождённая группа автоморфизмов типа (а,в)
2.3 Двупорождённая группа автоморфизмов типа (б,в)
§3. Подмногообразия в пространстве Шоттки и Тейхмюллера, связанные с двупорождёнными группами конформных автоморфизмов
3.1 Двупорождённая группа конформных автоморфизмов (\¥,М)
3.2 Двупорождённая группа конформных автоморфизмов (Р,М)
Рекомендованный список диссертаций по специальности «Математический анализ», 01.01.01 шифр ВАК
Мультипликативные функции и дифференциалы Прима на компактной римановой поверхности2003 год, доктор физико-математических наук Чуешев, Виктор Васильевич
Дифференциалы Прима на переменной конечной римановой поверхности2014 год, кандидат наук Казанцева, Алена Алексеевна
Дифференциалы прима на переменной компактной римановой поверхности2013 год, кандидат наук Тулина, Марина Ивановна
Квазиконформные и гармонические экстремали функционалов на гомотопических классах деформаций и вложений римановых поверхностей1998 год, кандидат физико-математических наук Граф, Сергей Юрьевич
Топология пространств модулей римановых суперповерхностей и вещественных алгебраических суперкривых1999 год, доктор физико-математических наук Натанзон, Сергей Миронович
Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Пространства мультипликативных автоморфных форм и подмногообразия в пространствах Шоттки и Тейхмюллера»
Данная диссертация посвящена исследованиям нормированных пространств мультипликативных автоморфных форм (дифференциалов Прима) и подмногообразий в пространствах Шоттки и Тейхмюлле-ра для двух классов компактных римановых поверхностей с двупоро-ждёнными группами конформных автоморфизмов.
Классическая теория однозначных мероморфных функций и дифференциалов на компактной римановой поверхности была построена в работах А. Пуанкаре, Ф. Клейна, Л. В. Альфорса, Л. Берса, И. Кра [6, 17, 22]. Теория однозначных измеримых автоморфных форм была развита Л. Берсом, И. Кра в работах [2, 6,17, 22]. Вся эта классическая теория соответствует тривиальному характеру р = 1. В работах Ф. Прима, Г. Роста, П. Аппеля [19] впервые были изучены мультипликативные функции и дифференциалы (дифференциалы Прима) для специальных классов характеров на компактной римановой поверхности. Они нашли многочисленные приложения в теории уравнений математической физики — работы Дж. Фея, С. П. Новикова, И. М. Кричеве-ра, И. А. Тайманова, в теории векторных расслоений над римановыми поверхностями и комплексными многообразиями — Р. Ганнинг, Дж. Кемпф, в аналитической теории чисел — Г. Петерсон, Дж. Фей, Дж. Йоргенсон, X. М. Фаркаш, И. Кра, А. Б. Венков, П. Г. Зограф. Принимая во внимание такую практическую ценность мультипликативных объектов для специальных характеров, Р. Ганнинг [15, 16] начал, а В. В. Чуешев [31, 18, 19] продолжил построение общей теории мероморфных диференциалов Прима для общих характеров на компактной римановой поверхности.
Классическая строгая двойственность дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности изучалась в работах Э. Риттера и В. В. Чуешева. Э. Риттер доказал теорему Римана-Роха для строго двойственных мероморфных дифференциалов Прима в случае простых полюсов. В. В. Чуешев, используя другие методы, доказал эту теорему для кратных полюсов, но при определенных условиях на порядок дифференциалов и род поверхности.
Главы I и II данной работы посвящены исследованию мультипликативных функциональных пространств для произвольного характера р с введением и последующим изучением характерных для этого случая явлений (общая строгая д-двойственность дифференциалов Прима (д £ Ъ)} индекс двойственной дополнительности, билинейное спаривание Петерсона для двойственных мероморфных и голоморфных дифференциалов Прима, модифицированные операторы Берса).
В главе I вводится общая д-двойственность (строгая д-двойственность) мероморфных дифференциалов Прима для ? Е указываются её алгебраические и аналитические характеристики, связанные с аналитическими уравнениями в многообразии Якоби для компактной римановой поверхности. Получены наиболее общие формы теоремы Римана-Роха для классической и общей д-двойственности мероморфных дифференциалов Прима. Из них, как частные случаи, получаются теоремы о размерностях П. Аппеля, Э. Риттера, Г. Кёнига [19, 15, 16]. Кроме того, приведённые исследования строгой д-двойственности дифференциалов Прима могут быть использованы в теории краевых задач на компактной римановой поверхности, а также при алгебро-геометрическом интегрировании ряда нелинейных уравнений математической физики.
Для полноты изучения в главе I установлены топологические и аналитические свойства группы характеров и её основных подгрупп для компактной римановой поверхности.
В главе II исследованы банаховы пространства измеримых мультипликативных автоморфных форм (дифференциалов Прима) относительно группы, изоморфной фуксовой группе первого рода, унифор-мизирующей компактную риманову поверхность, и их замкнутые подпространства, состоящие из голоморфных дифференциалов Прима.
Вводятся и изучаются мультипликативные операторы и функционалы, действующие на пространствах мультипликативных автоморфных форм. Установлено свойство "самосопряжённости "мультипликативных операторов проектирования измеримых форм на голоморфные относительно билинейного спаривания Петерсона. Введены и исследованы четыре мультипликативных модификации оператора Берса в связи со всеми основными видами двойственности голоморфных мультипликативных форм. Для частного случая построено непрерывное вложение пространства мультипликативных автоморфных форм в пространство однозначных автоморфных форм более высокого порядка. Получены оценки для норм всех рассматриваемых здесь операторов и функционалов, некоторые теоремы вложения, новые формы билинейного спаривания Петерсона, соответствующие мультипликативным пространствам.
Работы, посвящённые изучению пространств Тейхмюллера, Шот-тки и их подпространств, принадлежат JI. В. Альфорсу, JI. Берсу, Р. Рёди, К. Эрлу, В. Г. Шеретову, В. В. Чуешеву. JI. В. Альфорс [6] изучил топологические и аналитические свойства подмногообразия в пространстве Тейхмюллера, состоящего из гиперэллиптических ри-мановых поверхностей. Р. Рёди [1] исследовал компактные римановы поверхности, вложимые в R3 вместе с конформным автоморфизмом. К. Эрл [12] начал изучение относительных пространств Тейхмюллера, связанных с компактными римановыми поверхностями, допускающими группы конформных автоморфизмов. В. Г. Шеретов [7, 8] и В. В. Чуешев [4, 9] изучали подмногообразия в пространстве Тейхмюллера, пространствах групп Шоттки и Кёбе, связанные с циклическими группами конформных и антиконформных автоморфизмов. JI. Берс [2] установил связь между квазиконформными отображениями и уни-' формизацией компактных римановых поверхностей.
В главе III построены плоские (конформные) модели для двух классов компактных римановых поверхностей с двупорождёнными группами конформных автоморфизмов. Приводится алгебраическое и геометрическое описание EST-rpyuu, униформизирующих компактные римановы поверхности с такими двупорождёнными группами конформных автоморфизмов. Найдены топологическая и аналитическая структуры подмногообразий в пространствах Шоттки и Тейхмюллера, отвечающих таким компактным римановым поверхностям. Предложен метод введения явных координат на множестве римановых поверхностей с двупорождёнными группами конформных автоморфизмов через независимые модули для униформизирующих ЕБТ-груии.
Опишем основные результаты данной диссертации с кратким указанием необходимых начальных сведений.
Пусть В - ограниченное открытое множество в С, конформно эквивалентное единичному кругу; С - отмеченная конечнопорождённая разрывная группа конформных преобразований множества В на себя такая, что В/й = Р - отмеченная компактная риманова поверхность.
Будем обозначать через Нот(С, С*) группу всех характеров (одномерных представлений) р из (2 в С* = С\{0} с естественной операцией умножения.
Определение 1. Измеримой (мероморфиой, голоморфной) мультипликативной автоморфной формой порядка д с характером р на Р (или д-дифференциалом Прима) называется однозначная измеримая (мероморфная, голоморфная). функция ф на В с условием ф(Аг)А'(г)1 = р(А)ф{г) для любого А ев, г £ В,В/в = Р.
Мультипликативная автоморфная форма / нулевого порядка с характером р на В называется мультипликативной функцией для р. Если /1 - мультипликативная функция для р\ без нулей и полюсов на В, то характер р\ называется несущественным ([19, 17]), а сама такая функция /1 называется мультипликативной единицей для р\.
В главе I вводится новое понятие
Определение 2. Два мероморфных дифференциала Прима: ф\ - порядка I с характером р\ и Ф2 ~ порядка т с характером р2 на F называются д-двойственными, если р\ • р2 = 1 и I + т = д € т. е. Ф1Ф2 ~ однозначный д-дифференциал на Р.
Определение 3. Два мероморфных дифференциала Прима: ф\ - порядка I с характером р\ и Ф2 - порядка т с характером Р2 па
Р называются строго д-двойственными, если они д-двойственны и (<М > {Ф2) > для некоторого дивизора Б на Р, т. е. Ф1Ф2 -голоморфный однозначный д-дифференциал па F.
Получена общая форма теоремы Римана - Роха для строгой классической двойственности дифференциалов Прима (д = 1), в которой вводится индекс двойственной дополнительности сц, устанавливающий связь между размерностями строго двойственных пространств:
Теорема 1. (I; 2.2.1) (Римана - Роха для классической строгой двойственности дифференциалов Прима). На компактной римаиовой поверхности Р рода д > 1 верно равенство где I £ Ъ, = я + (д — 1) (2/ — 1); или, равносильно, существует + к линейно независимых 1-дифференциалов Прима для р с полюсами (¿1,., причём к - число строго двойственных им линейно независимых (1 — 1)-дифференциалов Прима для которые равны нулю в точках С} 1,., (55.
Если I > 1, то можно рассматривать как сумму й + гр^(1). Из этой теоремы получена таблица 1 для строгой классической двойственности, в которой как частные случаи содержатся известные теоремы о размерностях двойственных пространств П. Аппеля, Э. Риттера и Г. Кёнига [19, 15, 16].
Далее рассмотрена строгая д-двойственность. Доказаны
Теорема 2.(7; 2.3.1) Пусть Р - компактная риманова поверхность рода д > 1, д 6 т - натуральное число или нуль, I = д — т; (¿1,., С$(2д-2)т ~ произвольный набор из (2д — 2)т (с учетом кратности) точек на Р. Тогда если комплексная размерность векторного пространства ^((^х. Сд(2д-2)т) равна к, где к моэ/сет прир нимать два значения - либо 0, либо 1, то размерность в, строго д-двойствепного пространства 0,1р 2) ) равна
О, если <7 < О, 1 если Я — О?
С1,з + если <7 = 1, с/15, если д > 1 для д >2 и (I — к для д = 1.
Теорема 3. (I; 2.3.2) (Римана-Роха для строгой д-двойственности дифференциалов Прима). Пусть Р - компактная риманова поверхность рода ^>2;/ + т = д,
0; при t < О,
1, если 1=1 = при £ = О, 0, если / = О а, если 1 = 1 , при £ = 1, д — 1, если 7 = 0
I (0 - 1)(2г - 1) (> Зр - 3 > 9); при £ > 1.
Тогда
1) если г = т - р, I = . Я(29-2)Р), то П,т(Я 1 • • • Я(2д-2)р) = ¿V, гр,1 (дь.^2д2)р) = ¿я-г!
2) если г = 1-р,1 = ¿^(<21. Я{2д-2)р), то Пт (оТЩ^)
1 • • • Я{2д-2)р) =
Условие 1=1, например, когда г = I — р, означает, что выполняется равенство ср(Я\. Я(2д-2)р) — + Ф(р) в многообразии Якоби для компактной римановой поверхности Р рода д > 2.
Доказательство этих теорем использует тонкую технику работы с дивизорами на компактной римановой поверхности, многообразия Якоби, теорему Абеля для характеров. Оказывается, что размерности двойственных пространств зависят от того будет ли выполнено некоторое аналитическое равенство в многообразии Якоби.
При введении и изучении мультипликативных объектов, рассмотренных в главе II, существенную роль играет разложение Фарка-ша - Кра [17] р = poPi любого характера р на нормированный ро {\ро{А)\ = 1 для любого А е G) и несущественный р\ характеры.
Пусть Л = Хв задаёт метрику Пуанкаре на D по правилу: для конформного отображения / : А —> D XD(f(z))\f'(z)\ = Ад(2), z £ А, где Ад[z] = izjjp, z Е А, - плотность метрики Пуанкаре в единичном круге А. Пусть /1 - единица для несущественного характера р\ в разложении Фаркаша-Кра для р.
В первом параграфе главы II введены:
• норма в пространстве £q(D, G, р) р-интегрируемых мультипликативных автоморфных форм ф порядка q > 2 для характера р ф(г) '
D/G
Mz) dz Л dz\ i) для любого конечного вещественного числа р > 1;
• норма в пространстве О, р) ограниченных мультипликативных форм
IA,oo,, = sup<A(2:) « zeD l
ФМ
ЛМ
2)
• билинейное спаривание Петерсона
Ф, = Ц Л Л (3)
2?/С? для ф е Д с,р) Ифе Д О, р), где ± + ± = 1.
Обозначаем через С?, р) замкнутое подпространство в р), состоящее из голоморфных форм. Рассмотрим на Б х И мультипликативную функцию двух переменных: КЪР1М^С) = 0/1ЙШzeD.Ce и, которая обобщает на мультипликативный случай кернфункцию Бергмана. В лемме 1.2.1 (главы И) доказывается важная вспомогательная интегральная оценка с участием функции и её воспроизводящее свойство.
Доказаны теоремы:
Теорема 4. (II; 1.2.1) Для целого # > 2 оператор
РФ)(х) = Л ^^-К^г, ОМСЖ А ¿С и является ограниченным линейным отобраоюением пространства (7, р) в А^И, (7, р), 1 < р < оо, с нормой < сд. Если р = р\ € Ьд, то /Зч - проекция пространства (7, р{) на С, р\), т. е. для любого € (2, р{) верно равенство /Зд(р = ср.
Теорема 5. (II; 1.2.2) Для целого д > 2 оператор
РрЩ*) = Л С) ГШ А ¿С, является ограниченным отображением пространства /^(-0, р) б таким что <-Р\\чп,к,с,Р- < Сдп1М1£р,<г)Р/ гдер = пк < оо или р — оо = к, и верно равенство рМ<р, = Р^п)ф)яп,с,рп (4) для всех V 6 ££(Д <?,р), ф е (Уд{р, в,р),где± + ± = 1.
Если дополнительно рд — 1; А) ~ нормированный характер для р, то на подпространстве голоморфных форм оператор действует как степенная функция:
ЗМф = фп для любойф е в, р).
Теорема 6. (И; 1.3.1) Пусть 1<р<оои~ + -р — 1. Тогда билинейное спаривание Петерсона задаёт антилинейный топологический изоморфизм между А^(D, G, р\) и пространством, сопряснсённым к A^(D,G,pi), где р\ - несущественный характер. Кроме того, если ф £ G, pi) и линейный функционал I на Av(D,G,p\) соответствуют друг другу при этом изоморфизме, то верно неравенство cq IWkp',G,Pl < W < \\Ф\\ q,p',G,pi j (5) где ||/|| - норма линейного функционала I, a cq = ЦЕ^
Теорема 7. (II; 1-4-I) Для любого t > где 1 < р < оо и любого р € Hom(G, С*) имеет место непрерывное вложение A^(A,G, р)
В доказательстве этих теорем использованы теорема Фубини-Тонелли; ряд интегральных оценок, в частности неравенство Гёльдера для специальных мер; свойства инвариантности плотности метрики Пуанкаре и свойства мультипликативной автоморфности рассматриваемых форм.
Во втором параграфе главы II полагаем, что С - квазиокружность в С, D\ = IntC, L>2 = ExtC; X(z)\dz\ - метрика Пуанкаре в D\ U Д2; G - квазифуксова группа дробно-линейных преобразований С с неподвижной кривой С; константа kq = 42(^1)27Г для целого q > 2.
Определение 4. [22] Измеримая на С функция p,q(z), 2 < q 6 N; называется обобщённым коэффициентом Белътрами для разрывной группы Г дробно-линейных преобразований С с множеством разрывности и предельным множеством А(Г) = С \ П(Г), если М |л(г)= 0, p(Az)A'(z)1~qA'(z) = p(z), для любых А е Г, z G П(Г) и почти всюду на С ц(г)\ < K\(zf-\ где К = const. (6)
Здесь введены и исследованы четыре модифицированных оператора Берса, а именно: оператор В^от, обращающий характер формы:
Bhc°m<p)(z) = 1 [[ Л(С)2"-!МС) -dC Adl ze D2; (7) -Di
• оператор g-двойственно меняющий порядок формы:
BSMM = 5 // (^5£/1((cV(C)dC л " e (8) A где fiqi+q2 - фиксированный обобщённый коэффициент Бельтрами класса C^Di) для q = q\ +
• операторы и связанные с общей (q, р)-двойственностью.
Рассмотрены новые формы билинейного спаривания Петерсона в связи с двойственностью голоморфных дифференциалов Прима. Из них наибольший интерес представляет симметричное билинейное спаривание вида
91,92,AG = J J Ni+q2{zMz)iP(z)^dz A dz, (9)
D/G определённое как для (q, р)-двойственных голоморфных форм, так и для строго (д, /^-двойственных мероморфных форм. Доказаны теоремы
Теорема 8. (II; 2.2.1) Для характера р € Нот(G,C*) оператор ghom является антилинейным непрерывным отображением между пространствами р-двойствениых форм: В^т : A^(Di,G,р) —» Apq(D2, G, р £ М, 1 < р < оо, q > 2, с нормой \\В%>т\\ < kq. Кроме того, для любых ip £ AVJD\,G, р) и ф £ A^(D2,G,-), с - + -7 = 1
Р Р Р верно: в^Ф) = U В^Ф) .
V 'q,LD2,G \ ° / q,p,D\,G
Теорема 9. (II; 2.3.1) Для характера р е Нош(С, С*) оператор является ограниченным линейным отображением из Л^Д-Ох, (2, р) в А?2(02,в,р), р е К, 1 < р < оо, Я! > 2, д2 > 2, с нормой \\В°СГ(1\\ < КкЯ2 (где К - константа из неравенства (4) для д = дх+дгЛ и удовлетворяет условию "самосопряжённости "относительно билинейного спаривания (9), а именно: для любых голоморфных (р 6 Л^Д-О^С, р) иф £ - л- ^ = I, верно равенство
Теорема 10. (II; 2.4-1) Антилииейный оператор В^ о В^т осуществляет непрерывное влоэ/сение А1аД-Ох, (7, р) с-> Л^ДД^ С, (д, р)-двойственных пространств голоморфных форм, дх > 2, > 2, и справедлива оценка \\В^ о В^от|| < КкЧ1кЧ2, где К - это константа из (4) для д = дх + Кроме того, для любых голоморфных <р £ А?ДД, <3,р) и ф £ ма Д. + 1 = 1 вермо раеекство
Теорема 11.(Общая (д, /?) - двойственность) (II; 2.5.1) Для характера р £ Нош(С, С*) и целых > 2, д2 > 2 операторы Берса: = £ /У л(с)"291^1(—Ш^СА(10) г € 1)2, для случая N Э дг — дг > 2 и в2с<р)& = г- [Г-Л(с) л ¿с; (и) г € £>2; для случая N Э дх — дг > 2, где рЯ2-Я1 ~ фиксированный обобщённый коэффициент Бельтрами класса С1 (Их) для целого дг — дх > 2 ('дх — дг > 2,), являются антилинейными непрерывными отобраэюениями из пространства А^Д^х, С,/?) б "(д, р)-двойственное"пространство У^ДДг? с нормами \\В^,\\ < К\кЧ2,
В2С\\ < К2кЯ2 соответственно, где К\ (К2) - константа из неравенства (4) для д = — Я1 (я. = Я1 ~ 0.2)
В главе III будем рассматривать тройки (Р; И7, М) и (Р; Р, М) вида (а, в) и (б, в) соответственно, где Р - компактная риманова поверхность рода /г, к > 2, Р, М - конформные автоморфизмы на Р со свойствами а) И7 - произвольного конечного порядка Ы, N > 2, не имеющий неподвижных точек на Р; б) Р - произвольного конечного порядка N1, N1 > 2, с двумя неподвижными точками на Р; в) М - порядка 2 с 2к, к > 2, неподвижными точками на Р и выполняются условия совместимости автоморфизмов на Р в парах типа (а, в) и (б, в), а именно:
- IVМ — М\¥, к > АГ, существует тбМ, такое что к = А^т (для пары (а, в));
- две неподвижные точки на Р для М являются также неподвижными точками для Р, N1 = 21, I е N (для пары (б, в)).
Подмножества в пространстве Тейхмюллера ТГд, соответствующие тройкам (Р1; И7", М) и (Р; Р, М), будем обозначать через М^2к и М~2к соответственно, где Н обозначает род фактор-поверхности Р/ < ИГ,М > (Р/ < Р,М >) по действию соответствующей двупорождён-ной группы на Р. Через ^ и обозначаем множество точек в пространстве фо- модулей .РЗТ-групп [10], соответствующих отмеченным ЕБТ-группам типа а = (д', й'), (д' + б' = Н), униформизирующим компактные римановы поверхности вида (а, в) и (б, в) соответственно. Доказаны теоремы:
Теорема 12.(111; 2.2.1) Для любой тройки (Р; \¥, М) вида (а, в) и набора (д, 5) - натуральных чисел таких, что М(2(д+з)+т) — к — 1,
- существует отмеченная ЕвТ-группа (3 с фундаментальной областью Н, центрально симметричной по М^М^г) = — г, и "симметричной"по И7!, У/\(г) — ах, а £ С, > I;
- грг]ппа С, имеющая алгебраическое представление в виде
С = < И^; Ть .,Т9,Т2д] иъ Уъ., иа, Уа,и2з, У2з; Ат\ Т12,., 725)дг; С/12, ^12, и2а^, ^12, Ап,лг: [£/,-, V,-] = = 1,3 = 1,., п = 2,., ЛГ >, с дополнительными внешними соотношениями, связанными с действием дробно-линейных автоморфизмов М\ и
Т9+р = М1ТрМ1,Р=1,.,д, из+д = М^.Мь - М^Мь д - 1,в, Тгп = и,п =
Ъп = ШГ'У^-^,^ = и г = = 1,г = 1,., 771,72 = 2, униформизирует Р в инвариантной компоненте И = и Т(Н);
ТеС
- действие автоморфизмов У/ и М на Г конформно эквивалентно действию конформных автоморфизмов и М\ на Н/С, индуцированных 6 МдЬС соответственно.
Теорема 13.(111; 2.3.1) Для любой тройки (Р; Р, М) вида (бв) и набора (д, й) - натуральных чисел таких, что 1[2{д + + га] = к,
- существует отмеченная ЕвТ-группа О с фундаментальной областью Н, "симметричной"по М\, М\(х) = —г, и по Р\, ЛИ = ^ехр(^);
- группа С с алгебраическим представлением в виде
G — Am, Ti, T2g, £Д, Vi, i/2s, V2s, Au, Am\,
Tl2, T2gJ, U12, V12, ., U2s,l, V2s,l ■ [Uj, Vj] = 1, [Ujn, Vjn] — l,j = 1,25, n = 2,I, У где образующие удовлетворяют внешним соотношениям, связанным с действием дробно-линейных автоморфизмов М\ и Р\,
Tg+P = MlTpM1,p=l,.,g, Us+q = MrUgMu = M\VqMi, q = 1,5, rn -pn-lrp p-fa-l) tt -pn-lrj p-(n-l) ■мп — ri -1г-Г1 j ujn — rl 1 — р?г-1т/. p-(n-l) ^ pn-1 л p-(n-l) i ~ l,.,2g,j = l,.,2s,e = 1,., m, n = 2,I, униформизирует F в инвариантной компоненте D — (J T(H);
T&G
- действие автоморфизмов P и M на F конформно эквивалентно действию конформных автоморфизмов Р\,М\ на H/G, индуцированных Pi, Mi £ МдЬС соответственно.
Геометрические характеристики группы G (описание её фундаментальной области), униформизирующей поверхность F в своей инвариантной компоненте с такими автоморфизмами, дают её алгебраические характеристики. Соотношения для G из теорем 2.2.1, 2.3.1 главы III вместе со стандартными соотношениями в отмеченной EST-группе G дают полный набор алгебраически независимых соотношений для G.
Теорема 14. (III; 3.1.1)
1) Множество М^2к является замкнутым комплексно-аналитическим подмногообразием в Тh комплексной размерности 3h — 3 + 2т, ('т = jj), состоящим из счётного числа изолированных попарно гомеоморфных компонент;
2) Множество Q| является замкнутым комплексно-аналитическим многообразием комплексной размерности 3h — 3 + 2т, состоящим из счётного числа изолированных попарно гомеоморфных компонент.
Теорема 15. (III; 3.1.2) Многообразие Q-^ является комплексно аналитическим подмногообразием комплексной размерности 3h — 3 + 2т в области Qa С C3h~3, где а = (N(2g + т) + 1,2Ns) ,h = \а\.
Теорема 16.(111; 3.2.1)
1) Мноо/сество является замкнутым комплексно - аналитическим подмногообразием в Тд комплексной размерности 3h + 2т — 1 = 3h — 3 + (2m + 2), т = состоящим из счётного числа изолированных попарно гомеоморфных компонент;
2) Множество Q~k = Ф£7(М~ ) С Qa является замкну
1} J. тым комплексно - аналитическим подмногообразием комплексной размерности 3h + 2т — 1, состоящим из счётного числа изолированных попарно гомеоморфных компонент.
В доказательстве этих теорем использованы теория пространств Тейхмюллера, теория плоских квазиконформных отображений, алгебро-топологическое описание Эрла для относительных пространств Тейхмюллера, а также плоские модели компактных ри-мановых поверхностей с автоморфизмами. Кроме того, с помощью полученных в главе III теорем 2.2.1, 2.3.1 удаётся явно выписать глобальные координаты в пространстве EST-vpyuu, униформизирующих такие поверхности.
Похожие диссертационные работы по специальности «Математический анализ», 01.01.01 шифр ВАК
Голоморфные отображения римановых поверхностей и их дискретные аналоги2013 год, кандидат наук Медных, Илья Александрович
Слоения, несвободные подгруппы в группах Ли и бильярды2012 год, доктор физико-математических наук Глуцюк, Алексей Антонович
Геометрия гиперкомплексных многообразий2014 год, кандидат наук Солдатенков, Андрей Олегович
Римановы риччи-полусимметрические многообразия и их изометрические погружения в пространства кривизны1998 год, доктор физико-математических наук Мирзоян, Ваня Александрович
Нормальные формы и однородность вещественных подмногообразий комплексных пространств2002 год, доктор физико-математических наук Лобода, Александр Васильевич
Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сергеева, Ольга Алексеевна, 2006 год
1. Riiedy R. Symmetric embedding of Riemann surfaces. In: Discontinuous groups and Riemann surfaces// Ann. of Math. Studies.- 1974, N 79. - P. 409 - 418.
2. Bers L. Uniformization by Beltrami equations// Comm. pure appl. math. - 1961. - V. 14. - P. 215 - 228.
3. Чуешев В. В. Пространства Шоттки типа {д, s,m)// Сибирский математ. журн. - 1979. - Т. 20, N 3. - 632 - 640.
4. Чуешев В. В. Плоские модели для компактных римановых по- верхностей с циклическими группами конформных автоморфиз-мов: сб. тр. КемГУ. Кемерово. - 1991. - 8-13.
5. Maskit В. On the classification of kleinian groups: I - Koebe groups// Acta Math. 135:3-4 (1975). - P. 249 - 271.
6. Альфорс Л., Вере Л. Пространства римановых поверхностей и квазиконформные отображения. М.: ИЛ. - 1961.
7. Шеретов В. Г. О нодмногообразиях в пространстве Тейхмюлле- ра// Ученые записки Пермского госун-та. - 1969. 218. - 90-98.
8. Шеретов В. Г. Лекции по римаповым поверхностям. - Тверь: ТвГУ. - 2005.
9. Чуешев В. В. Конформные автоморфизмы компактных рима- новых поверхностей и группы Кёбе//Сибирский математ. журп. -23, N 6 (1982). - 196-197. - ДЕП ВИНИТИ 1120-82, 21.
10. Чуешев В. В. Пространства компактных римановых новерхно- стей и групп Кёбе// Сибирский математ. журн. - 22, N 5 (1981).- 190-205.И. Чуешев В. В. Геометрическая теория функций па компактнойримаповой поверхности. -Кемерово: КемГУ. - 2005. - 401 с.144
11. Earle J. On the moduli of closed Riemann surfaces with symmetries, Advances in the theory of Riemann surfaces, Princeton.Proc. of the 1969 Stony Brook Conference// Ann. of Math. Studies.- 66. - 1971. - C. 119-130.
12. Earle C. J., Eells J, The diffeomorphism group of a compact Riemann surface //Bull. Amer. Math. Soc. - 1967, 73. - P. 557-559.
13. Earle С J., Eells J. A fibre bundle description of Teichmuller theory //J. Diff. Geom. - 1969, 3. - P. 19-43.
14. Gunning R. C. Riemann surfaces and generalized theta functions //Ergeb. Math. - Berlin. - 1976, 91.
15. Gunning R. С On the period classes of Prym differentials. I // J. Reine Angew. Math. - 1980, 319. - P. 153 - 171.
16. Farkas H.M., Kra I. Riemann surfaces. Berlin: Springer. - Ed. 2. - 71. - 1992 (Grad Texts in Math.).
17. Чуешев В. В. Гармонические и голоморфные дифференциалы Прима на комнактной римановой поверхности // Сибирский ма-темат. журн. - 1999. - Т. 40, N 2. - 465 -475.
18. Чуешев В. В. Мультипликативные функции и дифференциалы Прима на неременной компактной римановой новерхности. - Ч. 2.Кемерово: КемРУ. - 2003.
19. Зверович Э. И. Краевые задачи теории аналитических функ- ций// Успехи математ. наук. - 26, N 1 (1971). - 113-179.
20. Родин Ю. Л. Структура общего решения краевой задачи Рима- на для голоморфной вектор-функции на комнактной римановойноверхности: сб. "Вонросы метрической теории отображений и еёприменение". - Киев: Наукова думка. - 1978, - 109-120.
21. Кра И. Автоморфные формы и клейновы группы. М.: Мир. - 1975.145
22. Соболев Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Новосибирск, СО АН СССР. - 1962.
23. Даирбеков Н. Введение в пространства Соболева. Новоси- бирск: НГУ. - 1999.
24. Earle J. А reproducing formula for integrable automorphic forms // Amer. J. Math. - 88(1966). - P. 867-870.
25. Bers L. A non-standard integral equation with applications to quasiconformal mappings // Acta mathematica. - V. 116, 1966. -P. 115-134.
26. Ганнинг P., Росси X. Аналитические функции многих ком- плексных неременных. М.: Мир. - 1969.
27. Шабат Б. В. Введение в комплекспый анализ. - Ч. 2. М.: Наука. - 1985.Работы автора по теме диссертации
28. Койнова (Сергеева) О. А. Топологические и аналитические свойства грунны характеров для компактной римановой новерх-ности// Материалы XXXVIII Между нар. науч. студ. конф. "Сту-дент и науч.-техн. прогресс". - Матем-ка. - Новосибирск, 2000. -С. 40-41.
29. Койнова (Сергеева) О. А., Чуешев В. В. Нлоские модели для компактных римановых новерхностей с двунорождёнными груп-146пами конформных автоморфизмов// Вестник НГУ. - 2002, - Т. 2,выи. 3. - 11-27.
30. Сергеева О. А. Подмногообразия в пространстве Шоттки и двунорождённые грунны конформных автоморфизмов// ВестникНГУ. - 2005. - Т. V, вын. 2. - 59-77.
31. Сергеева О. А. д-Двойственность дифференциалов Прима на компактных римановых поверхностях// Вестник НГУ. - 2005, -Т. V, вып. 3. - 71-88.
32. Сергеева О. А. Пространства мультипликативных автоморфных форм// Материалы XLIII междунар. науч. студ. конф. "Студенти научно-технич. нрогресс". - Матем-ка. - Новосибирск, 2005. -С. 83-84.
33. Сергеева О. А. Банаховы пространства мультипликативных ав- томорфных форм// Вестник НГУ. - 2005. - Т. V, вып. 4. - 45-63.
34. Сергеева О. А. Модифицированные онераторы Верса и об- щая двойственность в пространствах голоморфных дифференци-алов Прима// Материалы IV Всеснбирского конгресса женщин-математиков, посвященного В.Ковалевской. - Красноярск, 2006.- 152-154.147
Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.