Полугруппы голоморфных отображений с заданными неподвижными точками тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Кудрявцева, Ольга Сергеевна

• Кудрявцева, Ольга Сергеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кудрявцева, Ольга Сергеевна

Оглавление

Введение

1 Однопараметрические полугруппы голоморфных отображений и функция Кёнигса

1.1 Итерации голоморфного отображения и неподвижные точки

1.2 Задача дробного итерирования и функция Кёнигса

1.3 Неподвижные точки и вид функции Кёнигса

2 Голоморфные отображения круга в себя с вещественными коэффициентами

2.1 Критерий вложимости в классе голоморфных отображений круга

в себя с вещественными коэффициентами

2.2 Некоторые необходимые условия дробного итерирования

3 Голоморфные отображения круга в себя с инвариантным диаметром и ограниченным искажением

3.1 Критерии вложимости в классе голоморфных отображений круга

в себя с инвариантным диаметром и ограниченным искажением

Заключение

Список условных обозначений

Литература

88

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Полугруппы голоморфных отображений с заданными неподвижными точками»

Введение

Настоящая работа посвящена исследованию полугрупп голоморфных отображений круга в себя относительно операции композиции. Более точно, вопросам вложения голоморфного отображения в однопараметрическую полугруппу. Эта задача естественно возникает в динамике дифференцируемых отображений (см., например, |24]) и изучается в различных постановках. Она имеет как теоретическое, так и прикладное значение в тех областях естествознания, где при описании процессов используется динамика голоморфного отображения. В теории аналитических функций задача вложения впервые появилась как задача дробного итерирования. Она состоит в том, чтобы для заданной функции / найти (в случае существования) семейство функций t ^ О, удовлетворяющее условиям: /°(<г) = г, fl{z) = z и fi+s(z) = fl о fs(z) для всех s ^ 0, t ^ 0.

Задача дробного итерирования имеет длительную и богатую историю. Поскольку итерации отображения можно рассматривать лишь в случае согласованности областей определения и значений, то в изучении задачи дробного итерирования выделяется три случая. Первые исследования относятся к работам Шредера {60] и Кёнигса [51] и касаются локального случая, т. е. когда функция / и её итерации дифференцируемы в комплексном смысле в окрестности (для каждой итерации - своя окрестность) общей неподвижной точки zq, f(zo) = zq. Шрёдер связал задачу дробного итерирования с решением функционального уравнения, а Кёнигс ввёл конструкцию, являющуюся решением этого уравнения, и показал существование дробных итераций f1, t ^ 0, функции / лишь при незначительных на неё ограничениях, а именно: если |/'(zo)| ф 0 и

1/'Ы1 ф 1.

Позже задача дробного итерирования изучалась для целых и мероморф-

нагг. Дальнейшим продвижением в решении задачи вложения стали результаты, установленные в работе Карлипа и МакГрегора [49]. Было показано, что если вероятностная производящая функция мероморфна, то она не будет вложимой, за исключением случая дробпо-лпнейпой функции. Кроме того, в этой работе даны некоторые необходимые условия вложимостп, а также приведены часто встречающиеся на практике классы производящих функций, не являющихся вложимыми. Полное решение задачи вложения процессов Гальтона-Ватсоиа в однородные марковские ветвящиеся процессы получено в 1993 году в работе В. В. Горяйнова [8|, а именно: установлены критерии и простые необходимые условия вложимостп, формулируемые в терминах начальных коэффициентов производящей функции процесса Гальтона-Ватсона.

Отметим теперь связь задачи дробного итерирования с вопросами классической теории вероятностей. Классической задачей теории вероятностей, постановка п решение которой принадлежит П. Л. Чебышеву и его ученикам А. А. Маркову и А. М. Ляпунову, является отыскание условий, при выполнении которых функции распределения сумм независимых случайных величин сходятся к нормальному закону. Позже возник вопрос о том, какие другие законы, помимо нормального, могут быть предельными для сумм независимых случайных величин и при каких условиях, накладываемых на слагаемые, функции распределения сумм будут сходиться к тому или иному закону распределения. Важным обстоятельством в исследовании этого вопроса оказался результат, согласно которому класс предельных законов для сумм независимых случайных величин совпадает с классом безгранично делимых законов (см., например, [4]), описание которых решается в терминах характеристических функций. Кроме того, безграничная делимость закона распределения эквивалентна вложимостп его характеристической функции в однопарамстрическую мультипликативную полугруппу характеристических функций. Описание таких одиопараметриче-ских полугрупп составляет формулу Левн-Хинчшга (см., например, [5], [29]).

В некоммутативной теории вероятностей в связи с изучением аналогов формулы Лсвн-Хинчнна возникает задача вложения инверсированного преобразования Коши вероятностного распределения в однопараметрическую полугруппу относительно операции композиции [44]. Задача вложения итераций

Рассматривая однопараметрическую полугруппу как динамическую систему, естественно возникает понятие инфипитезимальной образующей. Отметим прежде всего, что всякая однопараметрическая полугруппа ¿к-» /1 в ф дифференцируема по £ [34], более того, она бесконечно дифференцируема [9]. Производная

= Hm lM—1 = ф) t=o 1

представляет собой аналитическую в единичном круге Ю> функцию и называется инфипитезимальной образующей однопараметрической полугруппы t fl. Иифииитезимальная образующая вполне характеризует однопараметрическую полугруппу t f1 посредством дифференциального уравнения

jLf\z) = v(f(z))

с начальным условием /*(,г)|г=о —

Впервые вид инфипитезимальной образующей v однопараметрической полугруппы i н> в ф был получен в 1923 году Лёвпером [54] в случае, когда функции /i однопараметрической полугруппы оставляют неподвижным начало координат и сохраняют положительное направление вещественной оси в нуле, т. е. /*(0) = 0 и (/*)'(()) > 0 при t ^ О,

v{z) = —zp{z).

где р - голоморфная в Р функция, удовлетворяющая условию Rep(z) ^ О при z Е Р. Этот результат возник в связи с исследованием известной в теории однолистных функций проблемы коэффициентов, которую в качестве гипотезы высказал Бнбербах [35] в 1916 году, а полное её решение относится к 1984 году и принадлежит Луи де Бранжу [37].

Результат Лёвнера легко распространяется на случай, когда функции однопараметрической полугруппы t^j1 оставляют неподвижной любую другую внутреннюю точку q, т. е. q £ Р. В этом случае инфинитезимальная образующая v однопараметрической полугруппы t^f1 имеет вид

v(z) = {q - z)(l-qz)p(z),

где р - голоморфная в Р функция с неотрицательной вещественной частью. Отметим, что с точки зрения итераций точка q является притягивающей, что

следует из инвариантной формы леммы Шварца (см., например, [3, гл. I, § 1, Лемма 1.2], [6, гл. VIII, § 1, Теорема 2]).

Если / G ф и f(z) ф z, то в силу принципа гиперболической метрики (см., например, [23], [30]) функция / может иметь внутри единичного кругаD не более одной неподвижной точки. С другой стороны, может оказаться, что / Е ф не имеет внутри единичного круга D неподвижной точки. Однако её заменяет некоторая выделенная точка на единичной окружности Т = {z £ С: |z| = 1}. Более точно, классический результат Даижуа и Вольфа ([41], [66], [67], [2, гл. VI, § 43]) утверждает, что если / G ф отлична от дробно-линейного преобразования единичного круга Ю) на себя, то существует единственная точка q, \q\ ^ 1, такая, что последовательность натуральных итераций fn,n = 1,2,..., сходится локально равномерно в Р к q. Кроме того, если |<?| = 1, то существуют угловые пределы

f(q) = lim f(z), / '(</) = Hm f '(*) = lim ^^

z—>q z—>q z->q Z — q

и /fa) =9,0 </'(<?) < 1.

Если q является внутренней точкой, то f(q) = q и |/'(g)| ^ 1. В случае, когда q - граничная точка, т. е. q б Т, она также является неподвижной (в смысле углового предела) притягивающей точкой. В литературе точку q называют точкой Данжуа- Вольфа функции / и она является общей для всех итераций этой функции.

Берксону и Порта в работе [34] удалось получить вид инфинитезималь-ной образующей однопараметрической полугруппы t /( вф в случае, когда функции f1, t ^ 0, не имеют внутренней неподвижной точки, и записать общий вид инфинитезимальных образующих одиопараметрических полугрупп t t-> /г в ф, известный теперь как формула Берксона-Порты, в терминах точки Данжуа-Вольфа q функции /

Ф) = (я- z)(l -qz)p(z), где р - голоморфная в D функция, удовлетворяющая условию Kep(z) ^ 0 при

геР.

Позже получило развитие направление, связанное с вопросом о том, как будет трансформироваться формула Берксона-Порты в случае, когда функ-

ция / G ф, кроме точки Данжуа-Вольфа \q\ ^ 1, имеет дополнительные неподвижные точки ..., ап. Как уже отмечалось, точки ai,..., ап должны располагаться на единичной окружности Т, а условие того, что они являются неподвижными точками понимается в смысле угловых пределов

lirn f(z) = ak, k = l,...,n.

z->ak

Отметим также, что в силу теоремы Жюлиа-Каратеодори (см., например, [30, ch. 1, § 1.4, Theorem. 1.5]) угловые производные /'(a&) ^ 1, к = 1 и

равенство достигается для f(z) = z. Кроме того, если t fl - одпопара-метрическая полугруппа в ф, то функции L ^ 0, имеют общее множество неподвижных точек (см., например, |40], [38]).

Этому направлению исследований в различных постановках посвящены работы В. В. Горяйнова [7], Д. Шойхета [62|, коллектива авторов Ф. Браччи, М. Д. Контрерас, С. Диаз-Мадригал [36], а также М. Д. Коптрерас, С. Диаз-Мадригал, X. Поммеренке [39] и других авторов. Возникающие здесь трудности связаны с граничным поведением аналитических функций. В работе [7] получен аналог формулы Берксона- Порты в случае, когда точка Данжуа Вольфа является граничной. В большинстве остальных работ этого направления изучаются свойства, которыми должна обладать инфинитезимальная образующая при наличии дополнительных неподвижных точек.

В диссертационной работе получен аналог формулы Берксона-Порты для инфинитезимальной образующей однопараметрической полугруппы голоморфных отображений единичного круга в себя в случае, когда точка Данжуа-Вольфа может быть как внутренней, так и граничной, и имеется дополнительная неподвижная точка, в которой элементы однопараметрической полугруппы обладают конечными угловыми производными.

Теорема 1.1 [11]. Для того чтобы голоморфная в Р функция v являлась инфинитезимальной образующей некоторой однопараметрической полугруппы t fl в ф с точкой Данжуа-Вольфа q, q G D, и неподвижной точкой а, а Е Т, в которой функции fl, t > 0, имеют конечные угловые производные, необходимо и достаточно, чтобы она допускала представление в виде

v(z) = a(q — z){ 1 — qz){ 1 — az)h(az),

где а > 0, и

}ь(г) — J ~—(1!л{к)

1 — нг

т

с некоторой вероятностной мерой ¡1 на Т.

Уже в первых исследованиях задачи дробного итерирования была обнаружена её связь с функциональными уравнениями Шрёдера Ф (/(;?)) — 7Ф(г) и Абеля Ф (/(^)) = ^(¿О + 1- Здесь / € ф, 7 6 С. В связи с этим изучались способы решения этих функциональных уравнений, а также свойства решений, гарантирующие существование дробных итераций. Этой тематике посвящены работы многих авторов, обширная библиография по ней имеется в монографиях Кучмы [52], Кучмы, Чижевского и Гера [53]. Коувен [40, р. 92], наряду с другими авторами, выделял вопрос о необходимости получения "разумных" критериев существования дробных итераций функции / € ф. Ответом на него стали результаты совместной работы М. Элина, В. В. Горяйнова, С. Рейха, Д. Шой-хета [43|, в которой в терминах свойств решений функциональных уравнений Шрёдера и Абеля установлены критерии, обеспечивающие вложение функции / € ф в одноиараметрическую полугруппу в ф. Связь между наличием дополнительной неподвижной точки у элементов однопараметрической полугруппы и свойствами решений функциональных уравнений изучалась в работе коллектива авторов М. Контрерас, С. Диаз-Мадригал, X. Поммеренке [38]. При этом, вопрос получения явного вида решений, соответствующих вложимым отображениям, оставался нерешённым.

Пусть функция / € ф отлична от дробно-линейного преобразования единичного круга О на себя и имеет внутреннюю точку Данжуа-Вольфа д Е Р. Если /'(<7) ^ 0, то (см., например, [2, гл. VI, §44|) существует предел

\ г /ЯМ - д

£ [г) — 11т я ,

п-> оо (/'(оО)

который представляет собой непостоянную аналитическую в единичном круге Ю) функцию, удовлетворяющую условиям ^(д) = 0, = 1. Эта функция является решением функционального уравнения Шрёдера

П№) = Ая№)

и называется функцией Кёнигса.

Если I /ь - одноиараметрическая полугруппа в ф с точкой Данжуа -Вольфа д € О, то можно определить функцию Кёнигса ¥

которая будет общей для всех /К I > 0. При этом ¥ однолистна в Р и удовлетворяет функциональному уравнению Шрёдера

^(ГИ) = (/')'((/) ад,

т. е. функцию Кёнигса ¥ можно использовать для получения дробных итераций функции / посредством функционального уравнения Шрёдера.

В случае граничной точки Данжуа-Вольфа д € Т нет полного аналога определения функции Кёнигса как предела некоторой нормированной последовательности итераций. Однако, с каждой одпопараметрической полугруппой Ы /' в ф с точкой Данжуа-Вольфа д € Т можно однозначно ассоциировать функцию ¥, определяемую посредством равенств ^(0) = 0, ¥'{г) — 1/ь(г), где V - инфинитезимальная образующая одпопараметрической полугруппы £ ь-» /г. Функция ¥, называемая функцией Кёнигса одпопараметрической полугруппы £(->■/* в случае граничной точки Данжуа-Вольфа, удовлетворяет функциональному уравнению Абеля

р (Л*)) = П*) +

£ ^ 0, и также может быть использована для получения дробных итераций.

В диссертационной работе получено интегральное представление классов функций Кёнигса, которые соответствуют вложимым голоморфным отображениям единичного круга Ю> в себя с заданной внутренней и граничной точкой Данжуа - Вольфа, соответственно.

Теорема 1.2 [11]. Для того чтобы голоморфная в О функция ¥ являлась функцией Кёнигса некоторой одпопараметрической полугруппы в ф с точкой Данжуа - Вольфа д 6 О, необходимо и достаточно, чтобы она допускала

представление в виде

ехр < (1 + сг2) j 1п I Т

т )

с некоторым сг = егв, —тг/2 < в < 7г/2; и вероятностной мерой /1 на Т. При

этом, под степенной функцией и логарифмом понимаются ветви, которые принимают значения 1 и 0, соответственно, при г = д.

Теорема 1.3 [11]. Для того чтобы голоморфная в Ю) функция ^ являлась функцией Кёнигса некоторой однопараметрической полугруппы е ф с точкой Данжуа - Вольфа д Е Т, необходимо и достаточно, чтобы она допускала представление в виде

с некоторыми ¡3 Е М, Ах ^ О, Л2 ^ 0 и вероятностной мерой р на Т\{д}. При этом, под логарифмом понимается ветвь, обралцающаяся в нуль при 2 = 0.

Выделено описание функций Кёнигса, отвечающих однопараметрическим полугруппам голоморфных отображений единичного круга Р в себя, в случае, когда кроме точки Данжуа-Вольфа имеется ещё одна неподвижная точка.

Теорема 1.4 [11]. Для того чтобы голоморфная в Ю) функция Е являлась функцией Кёнигса некоторой однопараметрической полугруппы £ > е с точкой Даноюуа - Вольфа д Е О и неподвижной точкой а Е Т, в которой функции £ > 0, имеют конечные угловые производные, необходимо и достаточно, чтобы она допускала представление в виде

1 — дг ) 1 — Ке{кд}

дг \

с некоторыми а — егв, —7г/2 < в < 7г/2, А1 > О, Л2 ^ О, А1 + Л2 = 1, и вероятностной мерой ¡1 па Т. При этом, под степенными функциями и логарифмом понимаются ветви, которые принимают значения 1 и О, соответственно, при г = д.

Теорема 1.5 [11]. Для того чтобы голоморфная в Р функция I*1 являлась функцией Кёиигса некоторой однопараметрической полугруппы I Н>- в ф с точкой Данжуа- Вольфа д 6 Т и неподвиоюной точкой й 6 Т, е которой функции £ > О, имеют конечные угловые производные, необходимо и достаточно, чтобы она допускала представление в виде

с некоторыми ¡3 € К, Ах > О, Л2 ^ О, Аз ^ О и вероятностной мерой ц па Т \ {д}. При этом, под логарифмами понимаются ветви, обращающиеся в нуль при 2 = 0.

Итерации голоморфного отображения описывают динамику того или иного процесса, поэтому часто требуется, чтобы они обладали теми же свойствами, что и исходная функция, т. е. чтобы элементы однопараметрической полугруппы принадлежали некоторой подполугруппе полугруппы ф. В связи с этим уточним определения 1.1 и 1.2. Пусть £ - некоторая подполугруппа полугруп-

Под однопараметрической полугруппой в £ понимается непрерывный гомоморфизм Ь действующий из полугруппы М+ в полугруппу £.

Будем говорить, что функция / € £ вложима в однопарамегприческую по-

В диссертационной работе в терминах функции Кёнигса установлен критерий существования дробных итераций в классе голоморфных отображений единичного круга О в себя с вещественными тейлоровскими коэффициентами. Более точно, пусть фг[0] - совокупность голоморфных отображений /: О —Р,

пы ф.

лугруппу в £, если существует такая однопараметрическая полугруппа I /1 в £, что У1 = /.

удовлетворяющих следующим условиям: /(0) = 0 и производные 0) G M, п = 1,2,.... Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 2.1 [17]. Пусть / G фг[0]. Тогда, если f влоэюима в однопарамет-рическую полугруппу в фг[0]> то её функция Кёнигса F имеет вид

F{z) = г ехр { / ln ^ _ ^ + dfi(x) > (1)

-1,1]

с некоторой вероятностной мерой ¡1 на [—1,1]. При этом, под логарифмом понимается ветвь, принимающая значение 0 при z = 0.

Обратно, всякая функция F вида (1) однолистна в D, отображает D на звёздную относительно начала координат область и является функцией Кёнигса для функций f(z) = F"1 (/3F(z)), 0 < /3 < 1. При этом, функции f принадлежат фг[0] и вложимы в одгюпараметрическую полугруппу в фг[0].

Найдены некоторые необходимые условия существования дробных итераций голоморфных отображений единичного круга Р в себя с вещественными тейлоровскими коэффициентами. Эти условия сформулированы в терминах оценок их начальных коэффициентов, что делает их наглядными и легко проверяемыми.

Теорема 2.3 [17]. Пусть f(z) — c\z 4- C2Z2 + С323 + ■ ■ ■ G фг[0] и влоэюима в однопараметрическую полугруппу в [0]. Тогда

0 <ci < 1,

ici - Cl (1 - с?) <сз < 2c;-^cl + с\ (1 - 4) .

Дано описание однопараметрических полугрупп в классе 'D, который представляет собой совокупность функций / G ф, оставляющих инвариантным вещественный диаметр, монотонно возрастающих на вещественном диаметре и имеющих на нём ограниченное искажение. Более точно, - совокупность голоморфных отображений / : |i-yD, удовлетворяющих условиям:

(1) 1т¡(х) = 0 при х е (-1,1), Нт /(х) = ±1;

(2) /'(ж) > 0 при х е (-1,1) и вир /'(ж) < оо.

В решении задачи вложимоети в классе Э выделяется несколько случаев в зависимости от наличия или отсутствия внутренней неподвижной точки функции / 6 Э. Если / Е имеет внутреннюю неподвижную точку, то эта точка может лежать только на вещественном диаметре. Если же / £ £) и /(х) ф х для всех х 6 (—1,1), то выражение f(x) — х сохраняет знак.

Теорема 3.1 [21]. Пусть / £ 2) и /(д) = д при некотором д € (—1,1). Тогда, если / вложима в однопараметрическую полугруппу в , то её функция Кёнигса F имеет вид

с некоторыми 71 > 0, 72 > 0, 73 ^ 0, 71+72+73 ~ 1 и вероятностной м,ерой ¡1 на [—1,1]. При этом, под степенными функциями и логарифмом понимаются ветви, принимающие значения 1 и 0, соответственно, при г = д.

Обратно, всякая функция Р вида (2) однолистна в В, отображает О на звёздную относительно начала координат область и является функцией Кёнигса для функций /(г) = Р"1 (/3 , 0 < ¡3 < 1. При этом, функции / принадлежат Ю, /(д) = д и вложимы в однопараметрическую полугруппу

Теорема 3.2. Пусть / 6 Э и /(х) > х для всех х £ (—1,1). Тогда, если / вложима в однопараметрическую полугруппу в 2), то её функция Кёнигса Р имеет, вид

е£>.

Р(г) = Х\ 1п + + А3

/

1п

1 — 2хг + х2 ¿¡¿{х)

(3)

1 -г

(1 -г)2 1 - х

1Д)

с некоторыми > О, Л2 ^ О, Аз ^ 0 и вероятностной мерой /л на [—1,1). При этом, под логарифмами понимаются ветви, принимающие значение О при г = О.

Обратно, всякая функция Р вида (3) од)юлистиа в О, отображает В на область, которая с каждой точкой и) 6 Р(Щ содержит и весь луч {и) + £:

и является функцией Кёнигса для функций /(г) — Р^1 (Р(г) + 1). При этом, функции / принадлеэюат 1), /(ж) > х для всех х £ (—1,1) и вложимы в однопараметрическую полугруппу в £).

Теорема 3.3. Пусть / € Т> и ¡{х) < х для всех х £ (—1,1). Тогда, если / вложим,а в однопараметрическую полугруппу в £), то её функция Кёнигса Р имеет вид

Г(г) = А1 1пт— - Л2 2 + Аз / 1п 2 4

1 + г (1 + г)А J (1 + г)г 1 + х

(-1Д1

с некоторыми Ах > О, А2 ^ О, А3 ^ 0 и вероятностной мерой ¡1 на (—1,1]. При этом, под логарифмами понимаются ветви, принимающие значение О при 2 = 0.

Обратно, всякая функция Р вида (4) однолистна в О, огпобраоюает О на область, которая с каждой точкой т £ Р(Щ содерэюит и весь луч {и) + I ^ 0}; и является функцией Кёнигса для функций /(2) = Р~1 (^(2) + 1). При этом, функции / принадлежат 1), /(х) < х для всех х £ (—1,1) и вложимы в однопараметрическую полугруппу в £).

В основе диссертационного исследования лежат методы комплексного анализа, динамики голоморфного отображения, геометрической теории функций комплексного переменного.

Основные результаты диссертационного исследования опубликованы в работах [10], [11], [13]-[22], [47]. Публикации [10], [11], [47] выполнены в соавторстве с научным руководителем, где В. В. Горяйиову принадлежит постановка задач и основные методы их решения. Статьи |11] и [22] опубликованы в изданиях, входящих в утверждённый ВАК перечень ведущих рецензируемых изданий.

Полученные результаты докладывались и обсуждались на международных и российских конференциях: 7-й молодёжной научной школе-конференции "Ло-

бачовские чтения - 2008" (Казань, 2008 г.), International Conference "Analytic methods of mechanics and complex analysis" dedicated to N. A. Kilchevskii and V. A. Zmorovich on the occasion of their birthday centenary (Киев, 2009 г.), 15-fi Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения", посвящённой 125-летию со дня рождения В. В. Голубева и 100-летию СГУ (Саратов, 2010 г.), 9-й молодёжной научной школе-конференции "Лобачевские чтения - 2010" (Казань, 2010 г.), 10-й международной Казанской летней научной школе-конференции "Теория функций, её приложения и смежные вопросы" (Казань, 2011 г.), 16-й Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 2012 г.), 20-й международной конференции "Математика. Экономика. Образование." (Ростов-на-Дону, 2012 г.), 6-й Петрозаводской международной конференции "Комплексный анализ и приложения" (Петрозаводск, 2012 г.), Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2013 г.), а также на научных конференциях молодых исследователей Волгоградской области (Волгоград, 2008 г., 2010 г.) и конференциях профессорско-преподавательского состава Волгоградского государственного университета (2008-2013 гг.).

Некоторые из результатов диссертационного исследования были получены в ходе работы по гранту РФФИ № 12-01-00434-а.

Диссертация содержит 95 страниц и состоит из введения, трёх глав, заключения, списка условных обозначений и библиографического списка, содержащего 67 наименований. В работе используется подчинённая нумерация. При этом нумерация параграфов, определений, лемм, теорем и формул подчинена нумерации глав, нумерация следствий - нумерации соответствующих теорем.

В первой главе решается задача инфинитезималыюго описания, а также описания посредством функциональных уравнений одпопараметрических полугрупп голоморфных отображений единичного круга в себя с заданными неподвижными точками. Более точно: получены аналог формулы Берксона-Порты инфинитезимальной образующей однопараметрической полугруппы в случае двух неподвижных точек и параметрическое представление классов функций Кёнигса в случае одной и двух неподвижных точек отображений однопарамет-

ричсской полугруппы. Результаты этой главы являются центральными результатами диссертационного исследования. Они выявляют структуру полугрупп голоморфных отображений единичного круга в себя с заданными неподвижными точками и позволяют решать широкий круг задач, связанных с динамикой гол ом орф ного отображен и я.

Во второй главе относительно задачи дробного итерирования исследуется класс голоморфных отображений единичного круга в себя с вещественными тейлоровскими коэффициентами. В терминах функции Кёнигса даётся описание однопараметричсских полугрупп в этом классе. Приводятся некоторые необходимые условия существования дробных итераций функций изучаемого класса на основе оценок их начальных коэффициентов, что делает эти условия легко проверяемыми. Решается вопрос отыскания экстремальных функций в задаче об оценке третьего коэффициента функций, допускающих дробное итерирование в изучаемом классе. Приводятся соответствующие иллюстрации.

В третьей главе дано описание одиопараметрических полугрупп в классе голоморфных отображений единичного круга в себя с инвариантным диаметром и ограниченным искажением. Решение даётся в терминах функции Кёнигса.

Все результаты диссертационной работы являются новыми. Перечислим основные положения, выносимые на защиту.

1. Получен аналог формулы Берксона-Порты для инфинитезималыюй образующей однопараметрической полугруппы голоморфных отображений единичного круга в себя с двумя неподвижными точками.

2. Получено параметрическое представление класса функций Кёнигса, отвечающих голоморфным отображениям единичного круга в себя, допускающим вложение в однопараметрическую полугруппу дробных итераций.

3. Выделено описание функций Кёнигса для вложимых голоморфных отображений единичного круга в себя с двумя неподвижными точками.

4. Установлен критерий существования дробных итераций в классе голоморф-пых отображений единичного круга в себя с вещественными тейлоровскими коэффициентами.

5. Дано описание однопарамстрических полугрупп голоморфных отображений единичного круга в себя с инвариантным диаметром, на котором отображения имеют ограниченное искажение.

Автор искренне благодарна своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору Виктору Владимировичу Горяйнову за постановку интересных задач и постоянную поддержку в их исследовании.

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Кудрявцева, Ольга Сергеевна

Заключение

В диссертационной работе установлен безусловный критерий для инфи-нитезимальной образующей однопараметрической полугруппы голоморфных отображений единичного круга в себя в случае, когда точка Данжуа- Вольфа может быть как внутренней, так и граничной, и имеется дополнительная неподвижная точка, в которой элементы однопараметрической полугруппы обладают конечными угловыми производными.

Получено интегральное представление классов функций Кёнигса, которые соответствуют вложимым отображениям единичного круга в себя с заданной внутренней и граничной точкой Данжуа-Вольфа, соответственно. А также выделены те функции Кёнигса, которые отвечают вложимым отображениям с двумя неподвижными точками.

Найдены условия существования дробных итераций в классе голоморфных отображений единичного круга в себя с вещественными тейлоровскими коэффициентами.

Дано описание однопараметрических полугрупп голоморфных отображений единичного круга в себя с инвариантным диаметром, на котором отображения имеют ограниченное искажение.

Вид инфинитезимальных образующих полугрупп конформных отображений с выделенными граничными свойствами открывает возможности дальнейшего развития параметрического метода теории однолистных функций. Полученные результаты и разработанные методы могут быть использованы при решении различных задач в тех областях естествознания, где описание процессов происходит посредством комплексной динамики.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кудрявцева, Ольга Сергеевна, 2013 год

Литература

[1] Авхадиев, Ф. Г. Основные результаты в достаточных условиях однолистности аналитических функций / Ф. Г. Авхадиев, Л. А. Аксентьев // Успехи матем. наук. - 1975. - Т. 30, № 4 (184). - С. 3-60.

[2] Валирон, Ж. Аналитические функции / Ж. Валирон. - М. : ГИТТЛ, 1957. -235 с.

[3] Гариетгп, Дж. Ограниченные аналитические функции / Дж. Гарнетт. -М. : Мир, 1984. - 469 с.

|4] Гнеденко, Б. В. Курс теории вероятностей / Б. В. Гнеденко. - М. : Наука, 1988. - 448 с.

[5] Гнеденко, Б. В. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин / Б. В. Гнеденко, А. Н. Колмогоров. - М. : ГИТТЛ, 1949. -264 с.

[6] Голузин, Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного / Г. М. Голузин. - М. : Наука, 1966. - 628 с.

[7] Горяйнов, В. В. Дробные итерации аналитических в единичном круге функций с заданными неподвижными точками / В. В. Горяйнов // Матем. сб. - 1991. - Т. 182, № 9. - С. 1281-1299.

[8] Горяйнов, В. В. Дробное итерирование вероятностных производящих функций и вложение дискретных ветвящихся процессов в непрерывные / В. В. Горяйнов // Матем. сб. - 1993. - Т. 184, № 5. - С. 55-72.

[9] Горяйнов, В. В. Однопараметрические полугруппы аналитических функций и композиционный аналог безграничной делимости / В. В. Горяйнов // Труды ИПММ HAH Украины. - 2000. - Т. 5. - С. 44-57.

[10] Горяйпов, В. В. Аналог формулы Берксона-Порты в случае двух неподвижных точек / В. В. Горяйнов, О. С. Кудрявцева // Современные проблемы теории функций и их приложения : Материалы 15-й Саратовской зимней школы, иосвящённой 125-летию со дня рождения В. В. Голубева и 100-летию СГУ. - Саратов : Издательство Саратовского университета, 2010. -С. 58-59.

[11] Горяйпов, В. В. Одноиараметрические полугруппы аналитических функций, неподвижные точки и функция Кёнигса / В. В. Горяйнов, О. С. Кудрявцева // Матем. сб. - 2011. - № 7. - С. 43-74.

[12] Горяйнов, В. В. Полугруппы аналитических функций в анализе и приложениях / В. В. Горяйнов // Успехи матем. наук. - 2012. - Т. 67, № 6 (408). -С. 5-52.

[13] Кудрявцева, О. С. Однопараметрические полугруппы голоморфных отображений единичного круга в себя с двумя неподвижными точками / О. С. Кудрявцева // Труды Математического центра имени Н. И. Лобачевского : Материалы Седьмой молодёжной научной школы-конференции "Лобачевские чтения - 2008". - Казань : Издательство Казанского государственного университета, 2008. - Т. 37. - С. 108-110.

[14] Кудрявцева, О. С. Интегральное представление класса функций, связанных с дробным итерированием голоморфных отображений единичного круга в себя, сохраняющих начало координат / О. С. Кудрявцева // Труды Математического центра имени Н. И. Лобачевского : Материалы Девятой молодёжной научной школы-конференции "Лобачевские чтения - 2010". - Казань : Издательство Казанского математического общества, 2010. - Т. 40. -С. 197-200.

[15] Кудрявцева, О. С. К вопросу о дробном итерировании голоморфных отображений единичного круга в себя, сохраняющих начало координат / О. С. Кудрявцева // XV региональная конференция молодых исследователей Волгоградской области. Вып. 4. Физика и математика : Тезисы докла-

дов. - Волгоград : Издательство Волгоградского государственного университета, 2011. - С. 74-76.

[16] Кудрявцева, О. С. Функция Кёнигса и необходимые условия дробного итерирования аналитических функций с вещественными коэффициентами / О. С. Кудрявцева // Труды Математического центра имени II. И. Лобачевского : Материалы Десятой международной Казанской летней научной школы-конференции "Теория функций, её приложения и смежные вопросы". - Казань : Издательство Казанского математического общества, Издательство Казанского государственного университета, 2011. - Т. 43. - С. 217219.

[17| Кудрявцева, О. С. Дробное итерирование аналитических в единичном круге функций с вещественными коэффициентами / О. С. Кудрявцева // Вестник Волгоградского государственного университета. Сер. 1. Математика. Физика. - 2011. - № 2 (15). - С. 50-62.

[18] Кудрявцева, О. С. Дробное итерирование аналитических функций с вещественными коэффициентами и неподвижными точками / О. С. Кудрявцева // Современные проблемы теории функций и их приложения : Материалы 16-й Саратовской зимней школы. - Саратов : ООО "Издательство "Научная книга", 2012. - С. 103-104.

[19| Кудрявцева, О. С. Дробное итерирование аналитических в единичном круге функций, оставляющих инвариантным вещественный диаметр / О. С. Кудрявцева // XX Международная конференция "Математика. Экономика. Образование". VII международный симпозиум "Ряды Фурье и их приложения". VI Междисциплинарный семинар "Фундаментальные проблемы информационных и коммуникационных технологий" : Тезисы докладов. - Ростов-па-Дону : Издательство СКНЦ ВШ ЮФУ, 2012. - С. 109-110.

[20] Кудрявцева, О. С. Однопараметрические полугруппы голоморфных отображений единичного круга в себя, обладающих свойством симметрии / О. С. Кудрявцева // Комплексный анализ и приложения : Материалы VI

Петрозаводской международной конференции. - Петрозаводск : Издательство Петрозаводского государственного университета, 2012. - С. 44-47.

[21] Кудрявцева, О. С. Критерии вложимости в классе голоморфных отображений круга в себя с инвариантным диаметром / О. С. Кудрявцева // Современные методы теории функций и смежные проблемы : Материалы Воронежской зимней математической школы. - Воронеж : Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета, 2013. - С. 129-131.

[22] Кудрявцева, О. С. Функция Кёпигса и дробное итерирование аналитических в единичном круге функций с вещественными коэффициентами и неподвижными точками / О. С. Кудрявцева // Известия Саратовского государственного университета. Новая серия. Сер. Математика. Механика. Информатика. - 2013. - Т. 13, вып. 1, ч. 2. - С. 67-71.

[23] Неванлиииа, Р. Однозначные аналитические функции / Р. Неванлинна. -М.-Л. : ГИТТЛ, 1941. - 388 с.

[24] Нитецки, 3. Введение в дифференциальную динамику / 3. Нитецки. - М. : Мир, 1975. - 304 с.

[25] Рудин, У. Функциональный анализ / У. Рудин. - М. : Мир, 1975. - 445 с.

[26] Севастьянов, Б. А. Ветвящиеся процессы / Б. А. Севастьянов. - М. : Наука, 1971.- 436 с.

[27] Фелпс, Р. Лекции о теоремах Шоке / Р. Фелпс. - М. : Мир, 1968. - 112 с.

[28] Харрис, Т. Теория ветвящихся случайных процессов / Т. Харрис. - М. : Мир, 1966. - 356 с.

[29] Ширяев, А. Н. Вероятность / А. Н. Ширяев. - М. : Наука, 1980. - 574 с.

[30] Ahlfors, L. V. Conformal Invariants: Topics in Geometric Function Theory / L. V. Ahlfors. - New York : McGraw-Hill Book Company, 1973. 157-p.

[31] Athreya, К. B. Branching Processes / К. B. Athreya, P. E. Ney. - Berlin, Heidelberg, New York : Springer-Verlag, 1972. - 288 p.

[32] Baker, I. N. Fractional iteration near a fixpoint of multiplier 1 / I. N. Baker // J. Australian Math. Soc. - 1964. - V. 4, № 2. - P. 143-148.

[33] Baker, I. N. On the iteration of analytic functions in a halfplane, II / I. N. Baker, Ch. Pommerenke //J. London Math. Soc. (2). - 1979. - V. 20. - P. 255-258.

[34] Berkson, E. Semigroups of analytic functions and composition operators / E. Berkson, H. Porta // Michigan Math. J. - 1978. - V. 25, № 1. - P. 101-115.

[35] Bieberbach, L. Uber die koeffizienten derjenigen potenzreihen, welche eine schlichte abbildung des einheitskreises vermitteln / L. Bieberbach // S. B. preuss. Akad. Wiss. - 1916. - V. 138. - P. 940-955.

[36] Bracci, F. Aleksandrov-Clark measures and semigroups of analytic functions in the unit disc / F. Bracci, M. D. Contreras, S. Diaz-Madrigal // Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. - 2008. - V. 33. - P. 231-240.

[37] Branges, L. A proof of the Bieberbach conjecture / L. Branges. - Leningrad : LOMI preprints no. E-5-84, 1984. - 21 p.

[38] Contreras, M. D. Fixed points and boundary behaviour of the Koenigs function / M. D. Contreras, S. Diaz-Madrigal, Ch. Pommerenke // Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. - 2004. - V. 29, № 2. - P. 471-488.

[39] Contreras, M. D. On boundary critical points for semigroups of analytic functions / M. D. Contreras, S. Diaz-Madrigal, Ch. Pommerenke // Math. Scand. - 2006. - V. 98. - P. 125-142.

[40] Cowen, C. C. Iteration and the solution of functional equations for functions analytic in the unit disk / C. C. Cowen // Trans. Arner. Math. Soc. - 1981. -V. 265, № 1. - P. 69-95.

[41] Denjoy, A. Sur l'itération des fonctions analytiques / A. Denjoy // C. R. Acad. Sci. - 1926. - V. 182. - P. 255-257.

[42] Duren, P. L. Univalent functions / P. L. Duren. - New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo : Springer-Verlag, 1983. - 383 p.

[43] Elin, M. Fractional iteration and functional equations for functions analytic in the unit disk / M. Elin, V. Goryainov, S. Reich, D. Shoikhet // Computational Methods and Function Theory. - 2002. - V. 2, № 2. - P. 353-366.

[44] Franz, U. Markov structure of monotone Levy processes / U. Franz, N. Muraki // Infinite Dimensional Harmonic Analysis III : Proceedings of the Third German-Japanese Symposium. - University of Tübingen, Germany, 2005. - P. 37-57.

[45] Garabedian, P. R. A proof of the Bieberbach conjecture for the fourh coefficient / P. R. Garabedian, M. Schiffer // Journ. Rational Mech. Anal. -1955. - V. 4, № 3. - P. 427-465.

[46] Goryainov, V. V. Embedding iterates of analytic functions into continuous semigroups / V. V. Goryainov // International conference "Kolmogorov and contemporary mathematics" in commemoration of the centennial of A. N. Kolmogorov (25.IV. 1903 - 20.X.1987) : Abstracts. - Moscow : Russian Academy of Sciences, Moscow State University, 2003. - P. 170-171.

[47] Goryainov, V. Semigroups of holomorphic mappings of the unit disk, with two fixed points / V. Goryainov, O. Kudryavtseva // International Conference "Analytic methods of mechanics and complex analysis" dedicated to N. A. Kilchevskii and V. A. Zmorovich on the occasion of their birthday centenary : Abstracts. - Kiev : Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009. - P. 22-23.

[48] Harris, T. E. Some mathematical models for branching processes / T. E. Harris // Proceedings of the Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability. - University of California Press, Berkeley and Los Angeles, 1951. - P. 305-328.

[49] Karlin, S. Embeddability of discrete time simple branching processes into continuous time processes / S. Karlin, J. McGregor // Trans. Airier. Math. Soc. - 1968. - V. 132, № 1. - P. 115-136.

|50] Karlin, S. Embedding iterates of analytic functions with two fixed points into continuous groups / S. Karlin, J. McGregor // Trans. Amer. Math. Soc. -1968. - V. 132, № 1. - P. 137-145.

[51] Königs, G. Recherches sur les intégrales des certaines equations fonctionelles / G. Königs // Ann. Ecole Norm. Sup. - 1884. - V. 1(3). - P. 3-41.

[52] Kuczma, M. Functional equations in a single variable / M. Kuczma. -Warszawa : PWN - Polish Scientific Publishers, 1968. - 385 p.

[53] Kuczma, M. Iterative functional equations / M. Kuczma, B. Choczewski, R. Ger. - Cambridge : Cambridge University Press, 1990. - 552 p.

[54] Löwner, K. Untersuchungen über schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises I / K. Löwner // Math. Ann. - 1923. - V. 89. - P. 103-121.

[55] Pommerenke, Ch. Univalent functions / Ch. Pommerenke. - Göttingen : Vandenhoeck and Ruprecht, 1975. - 376 p.

[56] Pommerenke, Ch. On the iteration of analytic functions in a halfplane, I / Ch. Pommerenke //J. London Math. Soc. (2). - 1979. - V. 19. - P. 439-447.

[57] Prokhorov, D. V. Reachable set methods in extremal problems for univalent; functions / D. V. Prokhorov. - Saratov : Saratov Univ., 1993. - 228 p.

[58] Rohde, S. Basic properties of SLE / S. Rohge, O. Schramm // Ann. Math. -2005. - V. 161, № 2. - P. 879-920.

[59] Schober, G. Univalent functions - selected topics / G. Schober. - Berlin, Heidelberg, New York : Springer-Verlag, 1975. - 200 p.

[60] SchrÖeder, E. Über itierte Funktionen / E. Schnieder // Math. Ann. - 1871. -V. 3. - P. 296-322.

[61] Shapiro, J. H. Composition Operators and Classical Function Theory / J. H. Shapiro. - New York : Springer-Verlag, 1993. - 223 p.

[62] Shoikhet, D. Representations of holomorphic generators and distortion theorems for spirallike functions with respect to a boundary point / D. Shoikhet // Int. J. Pure Appl. Math. - 2003. - V. 5. - P. 335-361.

[63] Siskakis, A. G. Semigroups of composition operators on spaces of analytic functions, a review / A. G. Siskakis // Contemporary Math. - 1998. - V. 213. -P. 229-252.

[64] Tammi, 0. Extremum Problems for Bounded Univalent Functions / O. Tammi. - Berlin, Heidelberg, New York : Springer-Verlag, 1978. - 313 p.

[65] Tammi, 0. Extremum Problems for Bounded Univalent Functions IT / O. Tammi. - Berlin, Heidelberg, New York : Springer-Verlag, 1982. - 166 p.

[66] Wolff, J. Sur l'itération des fonctions holomorphes dans une région, et dont les valeurs appartiennent a cette région / J. Wolff // C. R. Acad. Sei. - 1926. -V. 182. - P. 42-43.

[67] Wolff, J. Sur l'itération des fonctions bornées / J. Wolff // C. R. Acad. Sei. -1926. - V. 182. - P. 200-201.