Квазианалитичность классов Карлемана на континуумах комплексной плоскости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Гайсин, Рашит Ахтярович

• Гайсин, Рашит Ахтярович
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Гайсин, Рашит Ахтярович

Введение ................................................3

1. Обзор результатов и постановка задач ..............3

2. Основные результаты диссертации .................12

Глава I. Теоремы типа Данжуа-Карлемана для жордановых областей ................................25

§ 1. Определения и предварительные факты .........25

§ 2. Критерии квазианалитичности типа Салинаса-Коренблюма для выпуклых областей ...................34

2.1. История вопроса и основные результаты .........34

2.2. Геометрическая интерпретация интегрального условия ....................................................... 42

§ 3. Случай жордановых областей специального вида 50

Глава II. Квазианалитичность классов Карлема-на на квазигладких дугах ...........................56

§ 1. Необходимые сведения и рассматриваемые задачи 56 § 2. Оценка промежуточных производных на квазигладкой дуге ................................................. 60

2.1. Формула Тейлора на спрямляемой дуге ..........60

2.2. Формулы Сохоцкого для кусочно-квазигладкой дуги ..................................................... 64

2.3. Предельные значения производных интеграла типа Коши ....................................................67

2.4. Неравенства для промежуточных производных .. 71 § 3. Теоремы типа Банга ..............................78

3.1. Совпадение классов С00(Мп; 7) и С00(МП; 7) .....79

3.2. Аналог теоремы Банга для класса С00(Мп; 7) .... 82

3.3. Обобщение теоремы Банга в классе дуг ограниченного наклона ............................................ 83

Глава III. Регуляризация последовательностей в

смысле Е. М. Дынькина .............................90

§ 1. Мотивация, терминология и леммы ..............90

§ 2. Критерии существования регулярной миноранты неквазианалитичности ...................................96

Заключение ...........................................105

Литература ...........................................106

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квазианалитичность классов Карлемана на континуумах комплексной плоскости»

Введение

1. Обзор результатов и постановка задач

Обобщением класса вещественно-аналитических функций, как известно, являются квазианалитические классы функций на действительном промежутке (отрезке, интервале — конечном или бесконечном). Квазианалитические классы функций на промежутке стали объектом многочисленных исследований, которые к середине прошлого века приобрели законченный характер и как теория были подытожены в известных монографиях С. Мандельбройта [1], [2].

Однако до сих пор остаются открытыми многие вопросы, связанные с квазианалитичностью классов бесконечно дифференцируемых функций на различных множествах комплексной плоскости.

Кратко остановимся на истории вопроса и сформулируем исследуемые в диссертации задачи.

Пусть {Мп} — положительная последовательность, I — отрезок вещественной оси. Классом С/(Мп) называется множество всех бесконечно дифференцируемых на отрезке I функций /, удовлетворяющих условию

тах |/(п) (х) | < С/М (п > 0).

В общей ситуации в качестве I можно брать любой интервал, полуинтервал (конечный или бесконечный). Отметим,

что при Mn = n! класс С/ (Mn) совпадает с множеством аналитических на / функций.

В 1912 году в [3] Ж. Адамар поставил следующую проблему [2]: «Указать такие условия, которым должны быть подчинены Mn, чтобы всякая бесконечно дифференцируемая функция класса С/ (Mn) на интервале /, обращающаяся в нуль вместе со всеми производными в некоторой точке из /, была тождественно равна нулю». Такой класс называется квазианалитическим. Таким образом, класс С/(Mn) называется квазианалитическим, если для любой функции f Е С/(Mn) из того, что в некоторой точке xo Е /

f (n)(xo) = 0 (n > 0)

следует, что f (x) = 0 на /.

Данная проблема вызвала широкий интерес — появились ряд статей А. Данжуа и Э. Бореля. Так, в [4] А. Данжуа показал, что при Mn = (n ln n ... lnpn)n (lnpn —p-ая итерация логарифма) класс С/(Mn) будет квазианалитическим.

то

Им была высказана гипотеза, что условие У} = то до-

V Mn

n=1

статочно для квазианалитичности класса. В 1923 г. Т. Кар-леман полностью решил проблему Адамара, указав необходимые и достаточные условия квазианалитичности (полное доказательство см. в [5]).

Теорема (Данжуа-Карлеман) [5]. Класс С/ (Mn) ква-зианалитичен тогда и только тогда, когда

то 1 _ / i\n

V —¡= = то, Mn = min Mi ) < Mn.

^ Vk>n M

n=1

Позже А. Островским (1930), С. Мандельбройтом (1942) и независимо Т. Бангом (1946) в различных терминах были получены эквивалентные условия квазианалитичности класса С1 (Мп) (см., н-р, в [2]).

Обычно под теоремой Данжуа-Карлемана принято понимать теорему об эквивалентных условиях (Карлемана, Островского, Мандельбройта-Банга) квазианалитичности класса С1 (Мп) (см. в [2]).

Классическая проблема квазианалитичности в дальнейшем обобщалась в разных направлениях. В работах М. М. Джрбашяна и его учеников разработана теория а-квазианалитичности, которая при а = 0 совпадает с обычной квазианалитичностью (см., н-р, [6]).

Дальнейшее развитие теории функций, а именно комплексного анализа, естественно привело к новой и актуальной задаче — проблеме квазианалитичности на произвольных континуумах комплексной плоскости. Особый интерес представляют вопросы аналитической квазианалитичности — квазианалитичности классов Карлемана в замыканиях областей, а также аналогичные задачи для дуг 7. Последнее, например, вызвано тем, что проблема квазианалитичности класса С7(Мп) в специальном случае теснейшим образом связана с проблемой полноты соответствующей системы экспонент {еЛп^} в пространстве С(7) непрерывных на 7 функций [7]-[9].

Пусть С — некоторая область в С. Через Н(С, Мп) обозначим класс функций /, аналитических в области С и удо-

влетворяющих оценкам

|/(п)(г)| < с/А^Мп, г Е £ (п > 0).

Предполагается, что область £ обладает тем свойством, что все производные /(п) (п > 0) функции / Е Н(£, Мп) непрерывно продолжаются до границы В этом случае класс Н(£, Мп) называется квазианалитическим в точке ¿о Е если из того, что / Е Н(£,Мп), /(п)(го) = 0 (п > 0) следует, что / = 0.

Сделаем краткий обзор результатов, связанных с проблемой квазианалитичности класса Н(£,Мп), и сформулируем задачу, которая здесь будет обсуждаться.

Как известно, задача о квазианалитичности класса Н(Д7, Мп) для угла

п

Д7 = {г : |ащ г| < —, 0 < |г| < то} (1 < 7 < то)

2Т

впервые была поставлена и решена Р. Салинасом в 1955 г. [10]: класс Н(Д7, Мп) является квазианалитическим в точке г = 0 тогда и только тогда, когда выполняется условие1

с»

1п Т (г)

-— аг = +то,

r1+ 1+Y 1

где T(r) = sup M — функция следа последовательности

{Mn}.

n>о " "

ХВ 1966 г. этот результат был доказан Б. И. Коренблюмом и для значений 7, 1 < 7 < 1 (см. в: Коренблюм Б. И. Условия нетривиальности некоторых классов функций, аналитических в угле и проблемы квазианалитичности // Доклады АН СССР. 1966. Т. 166. № 5. С. 1046-1049).

Отметим, что теорема Островского формально является предельным случаем теоремы Р. Салинаса (при 7 ^ то).

Задача о квазианалитичности класса Н(К, Мп), где К — круг, в свое время была решена Б. И. Коренблюмом [11]. Им доказано следующее утверждение: класс Н(К, Мп) ква-зианалитичен в граничной точке тогда и только тогда, когда

то

1п Т (г)

то

1п Т(г)

■¿г = +ТО).

3

г 2

Условие, необходимое и достаточное для квазианалитичности класса H(Б, Мп) в граничной точке произвольной выпуклой ограниченной области Б, установлено Р. С. Юл-мухаметовым в [12]. Приведем этот результат.

Пусть Б — выпуклая, ограниченная область комплексной плоскости, лежащая в левой полуплоскости и 0 Е дБ. В этом случае опорная функция К(_= Д(^) =

тахКе(Ае^) области Б неотрицательна и обращается в АеБ

нуль на некотором отрезке (—п < < 0 < <

2). Пусть это — наибольший отрезок, на котором Л,(^>) = 0. Положим

А+(^) = V^ _ | Ь + I ] , < ^ < 2

А_(^) = _ ^ | Д + I ] , _П < ^ <

то

1п Т(г)

-¿г = +00.

Через V(г) обозначим функцию, обратную к функции

/ X \

( ) I Г (2п - А-1 (у) + А=1(у))^у

VIIх) = ехр -- -, / ч-1 /

1( ) ] (-п + А-1(у) - А-1(у))у

Vх1 /

где х > х1 > 0, х — мало, а А-1 — функции, обратные к А±.

Теорема [12]. Если К (о±) = 0, то класс Н(Л, Мп) является квазианалитическим в точке г = 0 тогда и только тогда, когда

с»

1п Т (г)

V (г)г 1

В терминах функции Т(г) и более простых геометрических

характериситик выпуклой, но не обязательно ограниченной области Л критерий квазианалитичности класса Н(Л, Мп) доказан в [13].

В последние годы в ряде работ было получено описание классов Карлемана для ограниченных односвязных областей со спрямляемой жордановой границей (см. [14]-[16]). Однако установленные в них критерии квазианалитичности не сформулированы явно в терминах последовательности {Мп}.

В связи с этим возникает задача: для каких областей достаточно общего вида (необязательно ограниченных, выпуклых и односвязных) существует критерий квазианалитичности, который явно зависит только от заданной последовательности {Мп}, а точнее: при каких условиях верна теорема типа Данжуа-Карлемана? Выяснение этого вопроса —

одна из основных задач, рассматриваемых в настоящей диссертации. Актуальность постановки проблемы квазианалитичности именно в таком виде не только для областей, но и для дуг (вообще для континуумов из С) вызвана, прежде всего, приложениями теории квазианалитических функций.

Так, в работах А. Бёрлинга [17], Дж. Бреннана [18], В. Мацаева и М. Содина [19] и других исследованиях обнаружена тесная связь квазианалитичности с задачами аналитического продолжения и аппроксимации полиномами в различных весовых пространствах. В [20] А. А. Гончар исследовал задачи, связанные с понятием квазианалитического продолжения через жорданову дугу. Полученные в данной работе результаты применимы к исследованию особенностей и единственности представления функций рядами вида

£

Ап

п

Вопросам квазианалитической продолжаемости или непродолжаемости функций, представляемых рядами Дирихле или рядами экспонент посвящены работы А. Ф. Леонтьева [21]-[23]. В [24] А. И. Павловым приведен пример функции, которая квазианалитически продолжается через прямую голоморфизма на всюду плотном множестве.

Применяя метод, основанный на решении одной экстремальной задачи в неквазианалитическом классе Карлема-на С/(Мп), А. М. Гайсину удалось получить точную оценку роста ряда Дирихле с вещественными коэффициентами на положительном луче [25].

Как было уже сказано, особую актуальность вопросы квазианалитичности (неквазианалитичности) классов Кар-лемана приобретают в связи с задачами аппроксимации системами экспонент на тех или иных континуумах (например, на дугах) комплексной плоскости. Так, в [26] А. Ф. Леонтьевым была доказана теорема:

Пусть 7: у = /(х) — непрерывная кривая, составленная из конечного числа гладких дуг У = Л(х), причем (х)| < 1. Если

то 1

0 <Ак |то, Ак+1 - Ак > К > 0, V — = то,

к=1 Ак

то система {еА^г} полна на 7 в метрике С(7).

Данная теорема основана на замечательной «теореме о стирании особенностей» (см. в [26]), доказательство которой сводится к обоснованию квазианалитичности класса Карлемана С7(МП), где 7 — кусочно-гладкая кривая, а

гп / г2

М = г>р Ш, М (г) = П ^ + А П

П=1 4 П

Отметим, что приведенный результат А. Ф. Леонтьевым ранее был доказан для аналитических дуг в [27]. В [28] Я. Кореваром показано, что для полноты системы на кусочно-гладкой кривой 7 достаточно лишь условия

то1

Е— = то. Ак

к=1 к

Используя те же соображения квазианалитичности класса С7(М^), а именно теорему Банга (см. гл. II, § 3), Я. Zeinstra

(ученик Я. Коревара) перенес результат из [28] на случай кривых ограниченного наклона (см. [29]).

А. Ф. Леонтьевым для кусочно-гладких дуг 7 показано [26], что условия Карлемана, Островского, Мандельбройта и Банга достаточны для того, чтобы класс С7(Мп) (Мп > 0 — любые) был квазианалитическим.

В настоящей работе ставится цель — в классе дуг ограниченного наклона получить обобщение и усиление указанных выше рузультатов Банга и А. Ф. Леонтьева.

До сих пор в литературе в должной мере не изучались вопросы регуляризации для общих множеств, отличных от отрезка (не было теории, согласно которой каждый класс Карлемана совпадал бы с регуляризованным классом). Поэтому представляется важным исследование не только так называемых регулярных классов Карлемана (см. в [30]) на произвольных континуумах (например, на дугах, замыканиях жордановых областей специального вида), но и регу-ляризованных «в смысле Е. М. Дынькина» классов Карлемана. Это позволило бы получить новые критерии для более общих классов Карлемана в терминах билогарифми-ческого условия Н. Левинсона. Поэтому ставится также задача ввести понятие регуляризованных классов Карлемана в смысле Е. М. Дынькина и в различных терминах получить критерии существования нетривиальных классов Карлемана на континуумах комплексной плоскости.

2. Основные результаты диссертации

В Главе I доказан критерий квазианалитичности в граничной точке жордановой области (необязательно выпуклой и односвязной), если вблизи рассматриваемой точки область в некотором смысле близка к углу или сравнима с ним. Полученные в данной главе результаты являются обобщением известной теоремы Данжуа-Карлемана для отрезка [0,1] на комплексный случай. Для регулярных классов Карлемана теоремы допускают переформулировку и в терминах билогарифмического условия Левинсона.

В § 1 приведены необходимые факты (результаты Р. Са-линаса, Б. И. Коренблюма, Р. С. Юлмухаметова, а также теорема Юлмухаметова-Трунова) и основные понятия: квазиконформная область (квазикруг), равномерная область, регулярный класс Карлемана. Как известно, жорданова область является квазикругом тогда и только тогда, когда она — равномерная область [31]. Здесь вводится также понятие слабо равномерной области. При этом любая выпуклая область оказывается слабо равномерной.

Пусть Б — жорданова область в С, {Мп}ТО=0 — последовательность положительных чисел. Через Н(Б, Мп) обозначим класс функций /, аналитических в Б и удовлетворяющих условиям:

яир

/(п)(х) < с/АпМп (п > 0).

В § 1 показано, что если область Б слабо равномерна, а / Е Н(Б,Мп), то все производные /(п) (п > 0) продолжа-

ются до непрерывных в D функций. Доказан также следующий аналог теоремы Данжуа-Карлемана для угла

п

Д7 = {z : | arg z| < —, 0 < |z| < то} (1 < y < то).

Теорема 1.1. Для того, чтобы класс H(Д7,МП) был квазианалитическим в точке z = 0, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось любое из эквивалентных условий:

то

1) f n 7 dr = то, где T(r) = sup {n (критерий

1 r1+T+Y n>0 Mn

Р.Салинаса);

TO ' x

2) Е =«>;

п=0 4 П+1 У

то 1

3) £ = то, где вп = т£ Мк.

п=0 вп

Здесь {МП} — последовательность, полученная из {Мп} путем выпуклой регуляризации посредством логарифмов [1], [2].

Предположим, что последовательность {Мп}ТО=о регулярна (определение см. в § 1). В этом случае соответствующий

класс Карлемана называется регулярным. Оказывается, ес-

7

ли класс Карлемана Н(Д7, 7) является регулярным, то предыдущая теорема может быть записана в терминах би-логарифмического интеграла. Справедлива

Теорема 1.2 [32]. Пусть последовательность {Мп} (п > 0) положительных чисел Мп такова, что

измененная последовательность {МП}, МП = Мп1+7 (1 < 7 < то) является регулярной. Тогда класс Н(Д7, Мп) квазианалитичен в точке г = 0 тогда и только тогда, когда

где

/ЬЬ Мг)аг =

п!

я* (г) = яир-^—, 1 < 7 < то.

7

п>0 М!+7 гп

В § 2 получен аналог теорем Салинаса-Коренблюма для выпуклых областей, граничные точки которых удовлетворяют некоторому интегральному условию.

Доказана следующая

Теорема 1.3. Пусть Б — выпуклая, но необязательно ограниченная область, г0 Е дБ, а

Т (г) = яир

гп

п>0 Мп

— функция следа последовательности {Мп}. Через в(г0, в) обозначим величину угла между касательными к границе Б, проведенными в точках, удаленных от точки г0 на длину дуги границы, равной в. Предположим, что в точке г0 выполняется условие

£

[ - в(г0,жЬ ^ п

яир -аж < то, (1

в 7 ж

где па = limß(z0,s) (0 < а < 1), 0 < £ < £0. Тогда класс

H(D, Mn) квазианалитичен в точке z0 тогда и только тогда, когда

"7

ОО

ln T (Г) dr = +oo. (C-K

a+2

r a+1

Отметим, что условие (I) будет выполнено, если, например, при § ^ 0

па - в(¿0,*) = О (з7) (7> 0)

или

па - в(го,8) = О( у^) (7> 1).

Показано, что для угла Д7 (1 < 7 < то) и круга К = :

+ Я| < Я} интегральное условие (I) выполнено в любой граничной точке. При а = 1 условие (С-К) совпадает с критерием Салинаса для Д7. Таким образом, теорема 1.3 обобщает теорему Салинаса для угла Д7 (1 < 7 < то) и Коренблюма — для круга К (или для полуплоскости Дх).

В § 3 аналогичные вопросы рассматриваются для более общих жордановых областей. Для этого, следуя [33], вводятся в рассмотрение области специального вида — двуугольники Ка (пересечение внешностей или внутренностей двух кругов одинакового радиуса р > 0, окружности которых проходят через начало координат и пересекаются под углом раствора па (0 < а < 1). При этом под К1 понимается либо внешность, либо внутренность окружности, проходящей через точку О). Показано (это вытекает из леммы 1.1), что для выпуклого двуугольника Ка интегральное

условие (1) выполнено всюду на границе. В силу теоремы 1.3 критерий квазианалитичности для этого двуугольника совпадает с критерием (С-К).

Основным в § 3 является следующий результат (см. теорему 1.4).

Пусть С — жорданова область, то Е С. Предположим, что граница С = дС состоит из конечного числа кусочно-гладких простых замкнутых кривых, каждая из которых состоит из конечного числа гладких дуг с непрерывной кривизной, образующих в точках стыка внешние углы вп (1 < в < 2). Тогда все внутренние (относительно С) углы отличны от 0 и п. Пусть па (г) (0 < а (г) < 1) — внутренний угол между односторонними касательными к С в точке г, а = т£ а (г). По предположению, а > 0. Пусть,

геС

далее, — выпуклый двуугольник, образованный пере-

сечением внутренностей, а К"2*(г) — двуугольник, образованный пересечением внешностей двух кругов одинакового, но достаточно малого радиуса, окружности которых проходят через точку г.

Если последовательность {Мп} регулярна, то все три класса Н(С,Мп), Н(Кха(г),Мп), Н(К2а(г),Мп) квазианали-тичны в точке г Е С тогда и только тогда, когда выполнено условие (С-К):

то

1п Т (г)

то

1п Т(г)

¿г = +оо.

а(г)+2

1 г «М+1

Здесь Т(г) — функция следа последовательности {Мп}. Для точки гладкости г Е С имеем а (г) = 1. Поэтому в

данной точке критерий квазианалитичности (С-К) класса Н(С, Мп) совпадает с критерием Коренблюма.

В Главе II изучаются классы Карлемана С7 (Мп) на дугах 7.

В § 1 приводятся необходимые сведения и формулируются задачи.

§ 2 посвящен оценке промежуточных производных функции ^ из класса Ск (Ь) на квазигладкой дуге Ь в предположении <^(г)(а) = (Ь) = 0, 0 < г < п (п < к — 2), где а, Ь — концы дуги. Основному результату предшествуют пункты 2.1-2.3 подготовительного характера.

В п.2.1 доказаны вспомогательные леммы 2.1, 2.2 о свойствах спрямляемых, в частности, квазигладких дуг. Далее, пользуясь известными свойствами интеграла Лебега-Стилтьеса и применяя эти леммы, получена формула Тейлора на спрямляемой дуге, а именно доказана

Теорема 2.1. Пусть функция / непрерывна и имеет непрерывные производные /(к) (к = 1, 2,..., п+1) на спрямляемой дуге Ь. Тогда для всех а, Ь Е Ь

/' (а) / (п)(а)

/ (Ь) = / (а) + ^(Ь — а) + ... + ^Ц^Ь — а)п + Яп,

1! п!

где

Ь

Я = / / <п+1)(*)(Ь-р^,

а

интегрирование происходит по дуге Ь от точки а до точки Ь.

В случае кусочно-гладкой дуги теорема установлена А. Ф. Леонтьевым [26].

В п.2.2 обоснована справедливость формул Сохоцкого в случае кусочно-квазигладких дуг, имеющих, например, лишь конечное число угловых точек, в том числе — точек возврата.

В п.2.3 речь идет о предельных значениях производных интеграла типа Коши по квазигладкой дуге. Здесь доказана следующая основная

Лемма 2.3. Пусть Ь — квазигладкая дуга с концами в точках а, Ь, в каждой точке которой (кроме концов) существуют обе односторонние касательные, а в концах — односторонние. Если р — плотность интеграла типа Коши, р Е Ск (Ь), причем для некоторого п (0 < п < к — 1

тах геь

5)(*)| < С5 М8 (в = п,п + 1),

и

то

р(г)(а) = р(г)(Ь) = 0 (0 < г < п),

тах геЬ

Ф(п)(£)

±

< СпМп + с(3й + |Ь|)Сп+1М

п+1:

где с > 1 — постоянная из условия квазигладкости дуги (см. гл. И, §2), й — диаметр, |Ь| — длина дуги Ь.

Наконец, в п.2.4 данного параграфа получены оценки промежуточных производных на квазигладкой дуге. Соответствующий результат для отрезка ранее был получен А. Горным [34].

Справедлива следующая

Теорема 2.2. Пусть Ь — квазигладкая дуга, заданная уравнением х = д(у) (А < у < В), в каждой точке которой существуют обе односторонние касательные (в концах а и Ь — только по одной). Предположим, что функция / дифференцируема п + 2 раза на дуге Ь, причем: 1) |/(*)| < Мо, |/(*)| < М1; |/(п+1)(^)| < Мп+1, |/(п+2)(^)| < Мп+2 (г Е Ь); 2) /(к)(а) = /(к)(Ь) = 0 при всех к = 0,1,..., п.

Тогда для всех к, 1 < к < п, верны оценки:

тах /(к)(^) < (2е)к(Мо + М1)1—п+т(Мп+1 + Мп+2)п+т,

геЬ

где N = с(3й + |Ь| + 1), с > 0 — постоянная из условия квазигладкости (см. гл. И, §2), й — диаметр, |Ь| — длина дуги Ь.

Отметим, что теорема верна для любой квазигладкой дуги, которая после поворота на некоторый угол может быть задана уравнением вида х = д (у) (А < у < В). Если положительная возрастающая последовательность {Мп} при некотором С > 1 удовлетворяет условию

Мп+1 < СпМп (п > 0),

то полученная в теореме оценка промежуточных производных может быть записана в виде

/(к)(0 < 8CN (2С2е)к М01—к м| (1 < к < п).

§ 3 посвящен применениям теоремы 2.2, а именно различным обобщениям (в некоторых подклассах спрямляемых дуг) анонсированной Бангом в [35] теоремы: пусть 7

спрямляемая жорданова дуга или локально-спрямляемая простая кривая. Предположим, что последовательность {Мп} логарифмически выпукла, и выполняется условие

Ln,

оо

Тогда класс

/ ТТ- = ОО.

¿i

C(Mn) = i f € C-(7) : sup f <n>(z) < Kf'Mn (n > 0)

I z€Y

является квазианалитическим.

Полное доказательство этой теоремы приведено в [36], которое опирается на один результат из [37]. Для квазигладкой дуги утверждение доказано в [38]. Здесь речь идет о теоремах типа Банга для произвольных, вообще говоря, не логарифмически выпуклых и возрастающих Mn > 0.

В п.3.1 доказана теорема о совпадении классов C00(Mn; 7) и C00(Mn; 7) ({Mn} — последовательность, полученная из {Mn} путем выпуклой регуляризации посредством логарифмов), где, например,

Соо(М„;7) = {/ е С7(Мп) : /<">(«) = / <п>(в) = 0 (п > 0)},

7 — некоторая квазигладкая дуга с концами а и в•

Так как МП < Мп, то Соо(МП; 7) С Соо(Мп; 7) (предполагается, что Соо(Мп;7) = {0}). Возникает вопрос: верно ли обратное включение?

Если 7 = I — отрезок, то это верно, причем Соо(Мп; I) = {0} только в том случае, когда класс С/(Мп) не является квазианалитическим [1]. Ответом на поставленный вопрос в случае квазигладких дуг является

Теорема 2.3. Пусть {Мп} — последовательность полот

жительных чисел, удовлетворяющая условиям: Мп ^ то при п ^ то, и при некотором С > 1

Мп+1 < СпМп (п > 0).

Пусть 7 — квазигладкая дуга, заданная уравнением у = д(х) (а < х < Ь). Тогда для любой функции / Е С00(Мп; 7) верны оценки:

/

(п)

< МВШп (п > 0).

7 ^

В качестве применения данной теоремы в п.3.2 доказана

Теорема 2.4. Пусть 7 — квазигладкая дуга из теоремы 2.2. Если

У = то, (2.31)

Мс V '

п=1 Мп+1

то класс С00(Мп; 7) является тривиальным.

Это утверждение является аналогом теоремы Банга для класса С00(Мп; 7) на квазигладкой дуге в случае произвольных Мп > 0, но удовлетворяющих некоторым естественным условиям (см. теорему 2.3). Важно отметить, что при этом последовательность {Мп} не предполагается логарифмически выпуклой. Содержательность предположения С00(Мп; 7) = {0} следует из статьи [8].

В п.3.3 получено дальнейшее обобщение теоремы Банга в классе дуг ограниченного наклона. Для кусочно-

гладких дуг соответствующий результат ранее был доказан А. Ф. Леонтьевым в [26].

Верна

Теорема 2.5. Пусть Г — кривая, составленная из конечного числа дуг, каждая из которых в соответствующей системе координат явлется дугой ограниченного наклона. Если выполняется условие Мандельбройта-Банга, то класс Cp(Mn) является квазианалитическим.

Доказательство теоремы опирается на леммы 2.5, 2.6, основанные на свойствах интеграла Лебега.

Таким образом, теорема 2.5 обобщает результат А. Ф. Леонтьева, а в классе дуг ограниченного наклона усиливает и теорему Банга из [35].

В Главе III речь идет о регуляризации последовательностей в смысле Е. М. Дынькина.

§ 1 данной главы содержит необходимые сведения и наводящие соображения о сути проблемы. Здесь доказаны важные леммы 3.1 и 3.2 о свойствах слабо регулярных последовательностей.

В § 2 вводятся понятия сильной регуляризации и регуляризации по Е. М. Дынькину, а также доказаны две теоремы, первая из которых вытекает непосредственно из результатов § 1, если учесть одно замечание из [39].

Теорема 3.1. Пусть Mn > 0, (Mf)n ^ то при n ^ то. Для того, чтобы существовала регулярная последователь-

ность {Мп}, такая, что

то М *

М* < Мп, У < то,

п < п' ^ М*+

п=1 п+1

необходимо и достаточно, чтобы нашлась положительная непрерывная на М+ функция г = г(£), ^г(^) | 0, £2г(£) ^ при £ ^ то такая, что

то

1)-^ < г(п) (п > 1); 2) / г(£)^ < то.

М п

т

п

1

В следующей теореме доказан основной критерий существования регулярной (в смысле Е. М. Дынькина) миноранты неквазианалитичности для заданной последовательности. Он формулируется в терминах наименьшей вогнутой мажоранты логарифма ее функции следа Т(г).

Справедлива следующая

т

Теорема 3.2. Пусть Мп > 0, (М)п ^ то при п ^ то. Для того, чтобы существовала регулярная последовательность {М*}, такая, что

то М *

М* < Мп, У < то,

п < п' ^ М*+

п=1 п+1

необходимо и достаточно, чтобы

^т (г)

оо

(1)ГГ (г)

¿Г < ОО.

г2

Здесь = (г) — наименьшая вогнутая мажоранта функции 1п Т (г) ,где

Т (г) = тах

гп

п>о Мп

Доказательство данной теоремы существенно опирается на свойства преобразования Лежандра.

Глава I. Теоремы типа Данжуа-Карлемана для жордановых областей

§ 1. Определения и предварительные факты

Пусть О — некоторая жорданова область в конечной комплексной плоскости С, {Мп}^о — последовательность положительных чисел. Через Н(О, Мп) обозначим класс функций /, аналитических в О и удовлетворяющих условиям:

яир

геО

/(п)(г) < с/АПМп (п > 0)

Предполагаем, что область Б обладает тем свойством, что все производные /(п) (п > 0) функции / е Н(О,Мп) непрерывно продолжаются до границы дО. В этом случае класс Карлемана Н(О, Мп) называется квазианалитическим в точке го е дО, если в данном классе нет отличной от тождественного нуля функции /, такой, что

/(п)(го) = 0 (п > 0),

где /(п) (п > 0) — производные, непрерывно продолженные до границы дО.

Выясним теперь, для каких жордановых областей реализуется указанное предположение. Для этого введем несколько определений.

Область С С С называется квазиконформной или квазикругом (квазидиском), если она ограничена квазиокружностью. Здесь считаем, что С — конечная область, а квазиокружность Ь = дС задана геометрическим условием: для всех ¿1 и ¿2, принадлежащих Ь,

Лат )

, , < ад (1.1

| ¿1 — ¿21

где С(Ь) > 1, а 1(^1,^2) С Ь — та из двух дуг кривой Ь с концами ¿1 и ¿2, которая имеет меньший диаметр (или любая из двух, если их диаметры равны). Как известно [31], условие (1.1) можно принять за определение квазиконформности, тем более оно удобно из-за своего чисто геометрического характера.

Пусть Ь — замкнутая жорданова кривая в плоскости С. Тогда Ь является квазиокружностью тогда и только тогда, когда Ь = дС, где С — равномерная область [31, гл.1, утверждение А].

По определению, односвязная ограниченная (или собственная подобласть С) область С называется равномерной, если существуют постоянные а и Ь, такие, что любую пару точек , ¿2 Е С можно соединить дугой а С С со свойствами:

10. |а| < а — ¿2| (|а| — длина а); 20. для любого я Е а

тт(|а^, |а2|) < Ь ¿(¿,дС),

где а1 и а2 — компоненты множества а \ {^}, а дС) = т£ — £| — расстояние от точки г до границы дС.

Любую область G С C (G = C), обладающую только или по крайней мере), свойством 10, для удобства будем называть слабо равномерной. Так что всякая равномерная область (квазикруг) является слабо равномерной. Обратное, очевидно, неверно.

Оказывается, если жорданова область D слабо равномерна, а f Е H(D,Mn), то все производные f(n) (n > 0) продолжаются до непрерывных в D функций. Действительно, пусть £ — произвольная точка границы dD, ß — некоторая фиксированная точка области D. Как известно, найдется жорданова дуга y, соединяющая точки ß и £. Убедимся, что в качестве 7 может быть выбрана спрямляемая дуга. Действительно, пусть последовательность {£n}JJ=i такова, что

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гайсин, Рашит Ахтярович, 2019 год

Литература

[1] Мандельбройт С. Квазианалитические классы функций. М.-Л.: 1937. - 108 с.

[2] Мандельбройт С. Примыкающие ряды. Регуляризация последовательностей. Применения. М.: ИЛ, 1955. - 268 с.

[3] Hadamard J. Sur la généralisation de la notion de fonction analytique // C.R. Séances Soc. mat. Fr. 1912. 40, 28.

[4] Denjoy A. Sur les functions quasi analitiques d'une variable réelle // C.R. Acad. Sc. 1921. 173, 1329.

[5] Carleman T. Les functions quasi analytiques. Paris: 1926.

[6] Джрбашян М. М. Расширение квазианалитических классов Данжуа-Карлемана // ДАН СССР. 1976. Т. 180. № 4. С. 782-785.

[7] Siddiqi J. A. Non-spanning sequenses of exponentials on rectifiable plane arcs // Linear and complex analysis. Problem book. 1984. 1043. Springer-Verlag. Berlin. Heidelberg. NewYork. Tokyo. P. 555-556.

[8] Гайсин А. М., Кинзябулатов И. Г. Теорема типа Ле-винсона - Щёберга. Применения // Матем. сб. 2008. Т. 199. № 7. С. 41-62.

[9] Гайсин А. М., Гайсин Р. А. Неполные системы экспонент на дугах и неквазианалитические классы Карле-мана. II // Алгебра и анализ. 2015. Т. 27. № 1. С. 49731.

[10] Salinas R. B. Functions with null moments // Rev. Acad. Ciencias. Madrid. 1955. P. 331-368.

[11] Коренблюм Б. И. Квазианалитические классы функций в круге // Доклады АН СССР. 1965. Т. 164. № 1. С. 36-39.

[12] Юлмухаметов Р. С. Квазианалитические классы функций в выпуклых областях // Матем. сб. 1986. Т. 130(172). С. 500-519.

[13] Юлмухаметов Р. С. Аппроксимация субгармонических функций и применения. Дисс. ... докт. физ.-мат наук. Уфа: 1986. - 197 с.

[14] Напалков В. В., Трунов К. В., Юлмухаметов Р. С. Граничные теоремы единственности в классах Карлемана и задача Дирихле // Доклады РАН. 2005. Т. 404, № 3. С. 1-4.

[15] Трунов К. В. Описание классов Карлемана // Вестник Башгосуниверситета. 2005. № 3. С. 15-18.

1 Результаты данной статьи не включены в диссертацию.

[16] Трунов К. В., Юлмухаметов Р. С. Квазианалитические классы Карлемана на ограниченных областях // Алгебра и анализ. 2008. Т. 20, № 2. С. 178-217.

[17] Beurling A. Collected works. V. 1. Birkhauser: 1989.

[18] Brennan J. Weighted polynomial approximation quasianalyticity and analytic continnation // J. Reine Angew. Math. 1985. 357. P. 23-50.

[19] Matsaev V., Sodin M. Asimptoties of Fourier and Laplace transforms in weighted spaces of analytic functions // Алгебра и анализ. 2002. Т. 14. Выпуск 4. С. 107-140.

[20] Гончар А. О квазианалитическом продолжении аналитических функций через жорданову дугу // ДАН СССР. 1966. Т. 166. № 5. С. 1028-1031.

[21] Леонтьев А. Ф. Об одном дополнении к теореме Ада-мара // ДАН СССР. 1972. Т. 206. С. 1049-1051.

[22] Леонтьев А. Ф. О неквазианалитической продолжаемости функции, представляемой рядом экспонент // Матем. заметки. 1987. Т. 41. № 2. С. 185-193.

[23] Леонтьев А. Ф. О неквазианалитической продолжаемости функции, заданной рядом экспонент // Изв. АН СССР. Серия математическая. 1987. Т. 51. № 2. С. 270-286.

[24] Павлов А. И. Квазианалитическое продолжение и ди-офактовы приближения // Analysis Math. 1975. T. 1, № 1. P. 63-73.

[25] Гайсин А. М. Ряды Дирихле с вещественными коэфи-циентами, неограниченные на положительном луче // Матем. сб. 2007. Т. 198. № 6. С. 41-64.

[26] Леонтьев А. Ф. Последовательности полиномов из экспонент. М.: Наука, 1980.

[27] Леонтьев А. Ф. О полноте системы экспонент на кривой // Сиб. матем. журн. 1973. Т. 15. № 5. С. 11031114.

[28] Korevaar J. Approximation on curves by linear combinations of exponentials // Approximation theory. New York, London: Acad. press, 1973. P. 387-399.

[29] Zeinstra R. L. Zeros and regular growth of Laplace transforms along curves //J. reine angew. Math. 1992. V. 424. P. 1-15.

[30] Дынькин Е. М. Псевдоаналитическое продолжение гладких функций. Равномерная шкала // Математическое программирование и смежные вопросы. Теория функций и функциональный анализ (Труды VII Зимней школы. Дрогобыч) М.: АН СССР. Центральный экономико-математический институт, 1976. С. 40-73.

[31] Андриевский В. В., Белый В. И., Дзядык В. К. Конформные инварианты в конструктивной теории функций комплексного переменного. Киев: Наукова думка, 1998. - 224 с.

[32] Гайсин Р. А. Эквивалетные критерии квазианалитичности класса Карлемана в угле // Сборник трудов

Международной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании». Том 1. Математика. Уфа: РИЦ БашГУ, 2012. С. 69-76.

[33] Прилипко Т. И. Квазианалитические классы функций в комплексной области // Укр. матем. журнал. 1967. Т. 19. № 2. С. 127-134.

[34] Gorny A. Contribution a l'etude des fonctions derivables d'une variable reelle // Acta Math. 1939. 71. P. 317.

[35] Bang T. Om quasi-analytiske funktioner. Thesis. Univ. of Copenhagen, 1946.

[36] Zeinstra R. L. Miintz-Szasz approximation on curves and area problems for zero sets. Thesis. Univ. Amsterdam, 1985. P. 1-100.

[37] Cohen P. J. A simple proof of the Denjoy-Carleman theorem // Amer. Math. Monthly. 1968. V. 75. P. 2631.

[38] Dales H. G. and Davie A. M. Quasianalytic Banach function algebras // Journal of functional analysis. 1973. V. 13. № 1. P. 28-50.

[39] Couture R. Un theoreme de Denjoy-Carleman sur une courbe du plan complexe // Proceedings of the American math. soc. 1982. V. 85. № 3. P. 401-406.

[40] Дынькин Е. М. Функции с заданной оценкой f и теорема Н. Левинсона // Матем. сб. 1972. Т. 89(131 ). № 2. С. 182-190.

[41] Гайер Д. Лекции по теории аппроксимации в комплексной области. М.: Мир, 1986.

[42] Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976.

[43] Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977.

[44] Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974.

[45] Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Часть I. М.: Наука, 1976.

[46] Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977.

[47] Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

[48] Hadamard J. Sur le module maximum d'une fonction et de ses derivees // C.R. Seances Soc. Math. France. 1914. 42. P. 68.

[49] Cartan H. Sur les classes de fonctions definies par des inegalites portan sur leurs derivees successives // Actualites scientifiques et industrielles. 1940. N. 867.

[50] Математический энциклопедический словарь / гл. ред. Ю. В. Прохоров. М.: Советская энциклопедия, 1988.

[51] Koosis P. The logarithmic integral I. Cambridge: University Press, 1988 (1998).

[52] Брайчев Г. Г. Введение в теорию роста выпуклых и целых функций. М.: Прометей, 2005. - 232 с.

[53] Гайсин Р. А. Критерии квазианалитичности типа Салинаса-Коренблюма для областей общего вида // Уфимский матем. журнал. 2013. Т. 5. № 3. С. 28-40.

[54] Гайсин Р. А. Критерий существования регулярной миноранты, не подчиненной условию Банга // Сборник трудов VI Международной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании». Том I. Математика. Уфа: РИЦ БашГУ, 2013. С. 48-56.

[55] Гайсин Р. А. Оценка промежуточных производных и теоремы типа Банга. I // Алгебра и анализ. 2015. Т. 27. № 1. С. 23-48.

[56] Гайсин Р. А. Регуляризация последовательностей в смысле Е.М. Дынькина // Уфимский матем. журнал. 2015. Т. 7. № 2. С. 66-72.

[57] Гайсин Р. А. Критерии квазианалитичности классов Карлемана для слабо равномерных областей. Материалы Международной конференции по алгебре, анализу и геометрии, посв. юбилеям выдающихся проф. Казанского университета, П. А. и А. П. Широковых.

Казань: Казанский университет; изд-во Академии наук РТ, 2016. С. 135-136.