Квантовые аффинные алгебры и янгианы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Шапиро, Александр Михайлович

• Шапиро, Александр Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шапиро, Александр Михайлович

Введение

Глава 1. Квантовые аффинные алгебры

1. Реализации ал гебры ия(42))

1.1. Реализация Дринфельда.

1.2. Стандартная реализация.

1.3. ИЬЬ-реализация.

2. Связи между реализациями

2.1. Универсальная 7^-матрица.

2.2. Стандартная реализация и реализация Дринфельда

2.3. От стандартной к ДЬЬ-реализации.

2.4. От .^¿/-реализации к реализации Дринфельда.

3. Универсальная 7^-матрица и весовая функция

3.1. Борелевские подалгебры в ид(А2 ).

3.2. Проекции.

3.3. Пополнения

3.4. Соотношения между коумножениями и универсальной Я-матрицей

3.5. Универсальная весовая функция

4. Сложные токи

4.1. Определения.

4.2. Аналитические свойства.

5. Вычисление весовой функции

5.1. Обозначения.

5.2. Основные результаты.

5.3. Вычисление остальных проекций.

5.4. Связь ИЬЬ-реализации со сложными токами

6. Примеры

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квантовые аффинные алгебры и янгианы»

Диссертация посвящена изучению квантовых аффинных алгебр и янги-анов. С одной стороны, оба типа исследуемых объектов являются квазитреугольными алгебрами Хопфа, что позволяет использовать их теорию представлений при решении различных задач квантовой и статистической физики. С другой, как квантовые аффинные алгебры так и янгиа-ны являются деформациями алгебр токов над универсальными обертывающими алгебрами классических алгебр Ли. Это замечание позволяет применить для их изучения многочисленные техники разработанные для классических алгебр Ли.

Квантовые аффинные алгебры допускают три различные реализации с разными структурами алгебр Хопфа. Первая из них — "стандартная" реализация — задается при помощи образующих Шевалле и соотношений, определяемых соответствующей матрицей Картана. Стандартная реализация содержит малое число образующих, но, к сожалению, крайне неудобна для использования в приложениях. Вторая реализация — это "новая реализация" Дринфельда, впервые описанная в [13] при помощи производящих функций (токов Дринфельда) и соотношений на них. Реализация Дринфельда позволяет использовать методы комплексного анализа при изучении алгебры. Более того, именно в ней описываются все конечно-мерные представления квантовой аффинной алгебры. Наконец, третья — это реализация в терминах //-операторов, основанная на подходе, развитом в школе Л. Д. Фаддеева. В тексте мы для краткости будем использовать ее жаргонное название — ДЬЬ-реализация. При этом подходе образующие собраны в матричнозначные производящие функции, удовлетворяющие уравнению Янга-Бакстера (см. [18], [41]). Простота ко-умножения в ЯХ^-рсализации позволяет строить новые представления, как тензорные произведения уже известных. По этой причине именно ЯI/¿-реализация широко используется в физических моделях.

Считается общеизвестным, что описанные реализации квантовых аффинных алгебр изоморфны, несмотря на то, что точные доказательства существуют лишь для алгебр £}1п-серии. Для алгебры ид(з[п) изоморфизм между стандартной реализацией и реализацией Дринфельда был описан в работе [6], связь между реализацией Дринфельда и /¿¿¿-реализацией была установлена в [7]. Изоморфизмы всех трех реализаций для алгебр ид(д1п) позднее появились в работе [19].

В случае квантовых скрученных аффинных алгебр ЙЬЬ-реализация требует дополнительных соотношений. Хотя считается, что три реализации остаются изоморфными и в случае скрученных алгебр, пока что нет полного понимания, как в точности должны выглядеть изоморфизмы. Изоморфизм между стандартной реализацией и реализацией Дринфельда алгебры ич{Абыл установлен в [33], кроме того, в работе [44] был частично установлен изоморфизм между .^//-реализацией и реализацией Дринфельда.

В первой главе настоящей диссертации дается полное описание трех реализаций алгебры Цд^А^)1, описываются изоморфизмы между всеми реализациями и связи между тремя структурами алгебр Хопфа. Особое внимание уделено следующему факту: каждая реализация обладает "минимальным" (или почти минимальным в случае скрученных алгебр) набором образующих, и расширенным набором образующих. Для этих наборов, по всей видимости, должен существовать аналог теоремы Пуанкаре-Биркгофа-Витта. В стандартной реализации такими наборами являются соответственно образующие Шевалле и базис Картана-Вейля (см. [34]). В реализации Дринфельда эти функции выполняют токи Дринфельда и так называемые "сложные токи" (см. [8]). Наконец, в /¿¿¿-реализации гауссовы координаты, находящиеся непосредственно над или под диагональю, образуют минимальный набор, а все гауссовы координаты дают уже расширенный набор. Заметим, что эти расширенные наборы играют ключевую роль при вычислении универсальной весовой функции. В данной работе устанавливается связь между проекциями сложных токов и гауссовыми координатами для алгебры в духе того, как это было проделано для ич(д1п) в работе [32].

Кроме того, в первой главе диссертации вычислена универсальная весовая функция для алгебры 11Ч(А^)- Универсальной весовой функцией квантовой аффинной алгебры называют семейство функций со значени

1бсз градуирующего элемента и с нулевым центральным зарядом. ями в борелевской подалгебре, удовлетворяющее определенным коалгеб-раическим соотношениям. Это семейство используется как для построения решений ^-разностных уравнений Книжника-Замолодчикова [43] так и для построения собственных векторов Бете в процедуре Бете-анзатца [35, 42]. Общая конструкция весовых функций для квантовых аффинных алгебр была предложена в работе [15]. Эта конструкция использует существование двух различных типов борелевских подалгебр в квантовых аффинных алгебрах. Первый тип связан со стандартной реализацией Шевалле, тогда как второй происходит из реализации Дринфельда. Как было показано в [15], универсальную весовую функцию квантовой аффинной алгебры можно представить как проекцию произведения токов Дринфельда на пересечение Борелевских подалгебр обоих типов.

В настоящей диссертации мы применяем подход, предложенный в статье [15], и в результате получаем явную формулу для универсальной весовой функции квантовой аффинной алгебры в терминах образующих Дринфельда. Наряду с вычислением проекции произведений токов Дринфельда, представляющей весовую функцию, мы также вычисляем проекции на остальные пересечения борелевских подалгебр, что позволяет нам получить интегральное представление для сомножителей

9) универсальной /¿-матрицы алгебры ид(А2 ) — элемента тензорного квадрата алгебры, играющего ключевую роль в описании ее -ЙЬЬ-реализации и связывающего различные структуры алгебр Хопфа.

Вторая глава диссертации посвящена теории представлений янгианов. Здесь мы развиваем идеи, предложенные Хорошкиным и Назаровым в работах [25] — [28]. Янгиан У(д[п) является деформацией в классе алгебр Хопфа (см. [13]) универсальной обертывающей алгебры алгебры Ли полиномиальных токов Будем называть два конечно-мерных представления алгебры У(д[п) эквивалентными, если одно получается из другого подкруткой на автоморфизм вида (8.10). С точностью до эквивалентности все неприводимые конечно-мерные представления ян-гиана У(д1п) были описаны в [13]. Согласно этой классификации каждый неприводимый конечно-мерный У(д1п)-модуль с точностью до эквивалентности определяется набором многочленов Дринфельда. Позднее аналогичные результаты, относящиеся к теории представлений сдвинутых янгианов и W-алгебр были получены в [3].

Рассмотрим подалгебру янгиана Y(glTl), состоящую из элементов, инвариантных относительно всех автоморфизмов вида (8.10). Эта подалгебра называется специальным янгианом алгебры 0ÍTO и изоморфна ян-гиану Y(sín) специальной линейной алгебры Ли sín С введенному в [12, 13]. Таким образом, два У(£)[„)-модуля эквивалентны, если и только если изоморфны их ограничения на специальный янгиан. Значит, наборы многочленов Дринфельда соответствуют неприводимым конечномерным представлениям янгиана Y(sín).

В работах [25, 26] был построен функтор £т из категории д1ш-модулей в категорию Y(gln)-MOriiyjieft. Этот функтор возник как композиция ранее известных функторов Дринфельда (см. [12]) и Чередника (см. [4, 2]). Эту конструкцию можно понимать, как "поднятие" (GLm, gln) двойственности Хау (см. [20, 21]) на уровень янгианов, либо как переформулировку централизаторной конструкции Ольшанского (см. [39, 40]). Применение функтора £т к модулем Верма алгебры glm дает серию стандартных представлений янгиана Y(g[n). Затем, опираясь на теорию операторов Желобенко в алгебрах Микельссона (см. [45, 46, 24, 31]), были построены сплетающие операторы между стандартными Y(gln)-мoдyлями. В итоге, в статьях [29, 30] было показано, что все с точностью до эквивалентности неприводимые конечно-мерные Y(gln)-MO,DüuiH могут быть получены, как образы сплетающих операторов, построенных в [25, 26]. Подход, предложенный в [25, 26], приводит к более явному, чем в [13], описанию Y (g ) - м одул ей. Аналогичный результат для представлений квантовых аффинных алгебр был получен ранее в работе [1].

Назовем представление янгиана Y(gln) полиномиальным, если оно изоморфно подфактору тензорного произведения векторных представлений янгиана Y(g(n). Все Y^l^-MOflynn, построенные в [25, 26] полиномиальны. Более того, любой полиномиальный Y (gín)-модуль можно получить при помощи конструкции, описанной в [25, 26]. В данной диссертации мы рассматриваем модификацию £p¡q функтора £т, основанную на (UР)9, gín) двойственности Хау (см. [14], [16], [23]). Эта модификация приводит к более широкому классу рациональных Y(gín)-Mo^yneñ. Мы называем представление янгиана Y(g[n) рациональным, если оно изоморфно подфактору тензорного произведения векторных и ковекторных представлений У(д[п). Неприводимые рациональные представления алгебры У(д1„), ассоциированные с косыми диаграммами Юнга изучались в работе [38]. Используя параболическую индукцию, мы раскладываем образы модулей Верма алгебры д[т относительно функтора £рл в тензорное произведение векторных представлений янгиана. Затем, используя технику разработанную для скрученных янгианов У(502П), в работах [27, 28], мы строим сплетающие операторы между построенными тензорными произведениями и вычисляем образы старших векторов под действием сплетающих операторов. Далее, опираясь на результаты, полученные в [29], мы замечаем, что при определенных условиях на параметры построенных модулей, образ некоторого сплетающего оператора является неприводимым рациональным У(д [п)-модулем. В конце мы формулируем гипотезу, состоящую в том, что все неприводимые рациональные У (д!п)-модули могут быть получены таким образом.

Опишем более подробно структуру диссертации. В первой главе диссертации изучается квантовая скрученная аффинная алгебра ид(А2 ). В первом параграфе дается полное описание трех реализаций алгебры ид(А2^). Во втором — описываются изоморфизмы между всеми реализациями и связи между тремя структурами алгебр Хопфа. В начале третьего параграфа описываются борелевские подалгебры различных типов, затем определяются операторы проекции на пересечения борелевских подалгебр, далее обсуждаются некие естественные пополнения алгебры и наконец, дается определение универсальной весовой функции. Четвертый параграф посвящен сложным токам. Сложные токами называются некоторые производящие функции элементов естественного пополнения квантовой аффинной алгебры, соответствующие составному корню алгебры Ли $13. Сложные токи играют ключевую роль в вычислении универсальной весовой функции алгебры ид(А^). Также в четвертом параграфе обсуждаются аналитические свойства различных произведений токов Дринфельда. Здесь речь идет о наличии нулей и полюсов матричных элементов алгебры, соответствующих этим произведениям, что позволяет рассматривать произведения токов Дринфельда и сложные токи, как мероморфные операторнозначные функции на левых

Uq{A2 )-модулях старшего веса. В пятом параграфе сформулированы основные результаты первой главы диссертации: формулы для проекций произведений токов на различные пересечения борелевских подалгебр, и связь между проекциями сложных токов и гауссовыми координатами алгебры Uq{Af). В шестом параграфе приводятся примеры формулы для универсальной весовой функции для проекции произведения малого числа токов. Наконец, в 7 параграфе приводятся доказательства основных результатов первой главы диссертации.

Во второй главе диссертации мы обращаемся к теории представлений янгиана Y(gtn). В восьмом параграфе описывается алгебра Y(gln) и приводятся необходимые сведения из ее теории представлений. Также в восьмом параграфе строится функтор 8РА. В девятом параграфе образ модулей Верма алгебры QÍm относительно функтора 8p q раскладывается в тензорное произведение простейших У(д(п)-модулей. Десятый параграф посвящен теории операторов Желобенко и построению сплетающих операторов между полученными тензорными произведениями. В одиннадцатом параграфе вычисляются образы векторов старшего веса относительно построенных сплетающих операторов. Наконец, в двянна-дцатом параграфе формулируется гипотеза об общем виде всех рациональных Y ({^-модулей.

Результаты диссертации опубликованы в статьях автора:

• S. Khoroshkin, A. Shapiro,

2)

Weight function for the quantum affine algebra Uq(A2 ), Geom. and Phys. 60 (2010), 1833-1851,

• А. Шапиро

Три реализации квантовой аффинной алгебры Uq(A^), ТМФ, 165 (2010), No.2, 217-232,

• А. Шапиро

Rational representations of the Yangian Y(gln), Geom. and Phys. 62 (2012), 1677-1696.

Основные результаты докладывались на конференциях:

• Workshop on Geometric Methods in Mathematical Physics II (SISSA, 2009)

• Jour nee Quantique des Jeunes Chercheurs (Université d'Angers, 2010)

• Representation Theory, Geometry, and Combinatorics Conference (UC Berkeley, 2011)

• AMS Sectional Meeting (University of Nebraska, 2011) а также на семинарах:

• Семинар по теории представлений

МГУ, руководитель — проф. Ю.А. Неретин)

• Infinite-Dimensional Algebra Seminar (MIT, руководитель — проф. Виктор Кац)

• Representation Theory, Combinatorics and Geometry (UC Berkeley, руководитель — проф. H. Решетихин)

• Séminaire Quant X - Paris 7

Université Paris 7, руководитель — проф. P. Cartier)

Автор выражает огромную благодарность своим научным руководителям — Сергею Михайловичу Хорошкину за постановку задач, неоценимую помощь, многочисленные обсуждения и советы, и Михаилу Владимировичу Зайцеву за постоянную поддержку и внимание на всех этапах подготовки диссертации.

Квантовые аффинные алгебры

Заключение диссертации по теме «Математическая логика, алгебра и теория чисел», Шапиро, Александр Михайлович

выводим у + 9Е')ф , ХаЬ(и) = в (бъдХ^и) - 5аНХдЪ{и)).

Умножая полученное равенство на Хсд(у) слева, на Хм{у) справа и суммируя по индексам д, /г, мы приходим к соотношению

77*1

Хаъ(и),Хсс1(у)} = в ^ \Хсъ(у)ХаН{и)Хм(у) - Хсд{у)ХдЬ{и)ХаЛ{у)]. д,11=1

Теперь используя результат пункта 1), мы получаем (и -у) ■ [ХаЬ(и),Хы(у)} = е(хсь(у)(хас1(у) - ХаЛ(и)) - (ХсЬ^-Х^Ха^у)), откуда и следует утверждение пункта 11). □

Доказательство предложения 8.2

Мы доказываем пункт 1) прямым вычислением. В продолжение доказательства мы будем обозначать символом не элемент янгиана У(д(п), а образ этого элемента в алгебре т)®%Т> (Ст <8> Сп) относительно гомоморфизма ат. Из соотношений (8.17) и (8.18) имеем т и -у)- [Тц (и), Ты (у)} = ^ (п-^)х а,Ъ,с,й= 1 х (хаъ(и)хс(1{у) ® (вЕск ,<й + $Ьс^кЕм,<11 — @йаъдцЕск,(ц) —

Хсл(у)Хаь(и) (8 {вЕск^Еа1д + 5аа6цЕСкм — 05аъ5цЕскд, т ^ (и - у) ■ ([ХаЬ(гг), Хса(у)] <8 в{Еск,ыЕа^л - 5аЪ5цЕсмг)+

ХаЪ{и)Хс<1(у) (8) 5ъс^кЕаг,(11 ~ ХЫ(у)ХаЬ(и) <8> 5ай^цЕск,Ь^ ■ Затем, используя соотношения (13.1) и (13.2) получаем и-у)-[Тф),Ты{у)] = тп , ^ ( (ХсЬ{и)Ха(1{у) - Хсъ{у)Ха(1{и)) 0 {Еск^Еа1д - 5аЬ5^Ескд)+ а,Ь,с,с1= 1 и - у) ■ (хаъ(и)хсс1(у) (8) 5Ьс5^Еаг41 - ХсЛ(у)ХаЪ{и) <8> 5ай5цЕсКь^ ).

Теперь, по определению гомоморфизма ат выполнено

Тф) - Sjk) (Tü(v) - ¿и) - (Тф) - 5jk) (Та(и) - 5«) m

-Sa 52 ~ №№)L) ® Eck,di+ c,d= 1 m jk J2(U~V) {(X(U)X(.V))ad) ® Eai4i + a,d=1 m

6Ü Y(U-V)({X{V)X(U))cb) ® b,c= 1

Из соотношения (13.1) вытекает равенство X(u)X(v) = X(v)X(u). Теперь мы можем завершить доказательство пункта i) посредством следующих вычислений: и - v) ■ [Тф),Ты(и)} = Тф)Тг1(у) - Tkj(v)Tü(u)

- Sjk(Tü(v) - Тц(и)) - Sü(Tkj(u) - Тф)) + Sjk(Tü(v) - Tü(u)) + 6й(Тф) - Тф)) = Тф)Тй(у)-Тф)Ти(и). Пункт И) также доказывается прямой проверкой:

Ecd®l+ !&(;„№„!),Tij{u) m m a,b=1

Ecd® 1, ^ Xab(u) <g> Eai,bj + 1 0 Y EcKdk, 52 X^(u) ® Eai, k=1 a,b=l a,b—1 52 (¿bdXcJu) - 5acXdb(u)^ ® Eai,bj+ n m, 52 52 (Xab(u) 0 (ÖadÖikEckibj ~~ SbcSjkEai, i.dk) I k=\ft'b=l 52 Xac(u) ® Eai,dj ~ 52 XdM ® Eci,bj + a=1

6=1 m m 52 Xdb(u) ® Edjbj - Y Xac(u) 0 Eaitf = 0. b=1 a=l

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шапиро, Александр Михайлович, 2012 год

1. T.Akasaka, M.Kashiwara, Finite-dimensional representations of quantum affine algebras, Publ. Res. 1.st. Math. Sci. 33 (1997), 839-867.

2. T. Arakawa, T. Suzuki, A. Tsuchiya, Degenerate double affine Hecke algebras and conformal field theory, Progress Math. 160 (1998), 1-34.

3. J. Brundan, A. Kleshchev, Representations of shifted Yangians and finite W-algebras, Mem. Amer. Math. Soc. 196 (2008), 1-107.

4. I. Cherednik, Lectures on Knizhnik-Zamolodchikov equations and Hecke algebras, Math. Soc. Japan Memoirs 1 (1998), 1-96.

5. V. Chari, A. Pressley, Fundamental representations of Yangians and singularities of R-matrices, J. Reine Angew. Math. 417 (1991), 87-128.

6. J. Ding, I. Frenkel, Isomorphism of two realizations of quantum affine algebra Uq(ol(n)), Comm. Math. Phys. 156 (1993), No.2, 212-216.

7. J. Ding, S. Khoroshkin, On the FRTS approach to quantized current algebras, Lett. Math. Phys. 45 (1998), No.4, 331-352.

8. J. Ding, S. Khoroshkin, Weyl group extension of quantized current algebras, Transform. Groups 5 (2000), 35-59.

9. J. Ding, S. Khoroshkin, S. Pakuliak, Factorization of the universal R-matrixforUg(si2), Theor. and Math. Phys. 124 (2000), No.2, 1007-1036.

10. J. Ding, S. Khoroshkin, S. Pakuliak, Integral presentations for the universal R-matrix, Lett. Math. Phys. 53 (2000), No.2, 121-141.

11. V. Drinfeld, Hopf algebras and the quantum Yang-Baxter equation, Soviet Math. Dokl. 32 (1985), 254-258.

12. V. Drinfeld, Degenerate affine Hecke algebras and Yangians, Funct. Anal. Appl. 20 (1986), 56-58.

13. V. Drinfeld, A new realization of Yangians and quantum affi,ne algebras, Sov. Math. Dokl. 36 (1988), 212-216.

14. T. Enright, R.Howe, N.Wallach, A classification of unitary highest weight modules, Progress Math. 40 (1983), 97-143.

15. B. Enriquez, S. Khoroshkin, S.Pakuliak, Weight functions and Drinfeld currents, Comm. Math. Phys. 276 (2007), No.3, 691-725.

16. T. Enright, R. Parthasarathy, A proof of a conjecture of Kashiuiara and Vergne, Lecture Notes Math. 880 (1981), 74-90.

17. B. Enriquez, V. Rubtsov, Quasi-Hopf algebras associated with si2 and complex curves, Israel J. Math. 112 (1999), 61-108.

18. L. Faddeev, N. Reshetikhin, L. Takhtajan, Quantization of Lie groups and Lie algebras, Leningrad Math. J. 1 (1990), 193-225.

19. E. Frenkel, E.Mukhin, The Hopf algebra Rep ^(flO, Selecta Math. 8 (2002), No. 4, 537-635.

20. R. Howe, Remarks on classical invariant theory, Trans. Amer. Math. Soc. 313 (1989), 539-570.

21. R. Howe, Perspectives on invariant theory: Schur duality, multiplicity-free actions and beyond, Israel Math. Conf. Proc. 8 (1995), 1-182.

22. M. Jimbo, Quantum R-matrix for the generalized Toda system, Comm. Math. Phys. 102 (1986), No.4, 537-547.

23. M.Kashiwara, M.Vergne, On the Segal-Shale-Weil representation and harmonic polynomials, Invent. Math. 44 (1978), 1-47.

24. S. Khoroshkin, Extremal projector and dynamical twist, Theoret. Math. Phys. 139 (2004), 582-597.

25. S. Khoroshkin, M. Nazarov, Yangians and Mickelsson algebras I, Transformation Groups 11 (2006), 625-658.

26. S. Khoroshkin, M. Nazarov, Yangians and Mickelsson algebras II, Moscow Math. J. 6 (2006), 477-504.

27. S. Khoroshkin, M. Nazarov, Twisted Yangians and Mickelsson algebras

28. Select a Math. 13 (2007), 69-136.

29. S. Khoroshkin, M. Nazarov, Twisted Yangians and Mickelsson algebras1., St. Petersburg Math. J. 21 (2010), 111-161.

30. S. Khoroshkin, M. Nazarov, Mickelsson algebras and Representations of Yangians, Trans. Amer. Math. Soc. 364 (2012), No.3, 1293-1367.

31. S. Khoroshkin, M. Nazarov, P. Papi, Irreducible representations of Yangians, J. Algebra 346 (2011), 189-226.

32. S. Khoroshkin, O. Ogievetsky, Mickelsson algebras and Zhelobenko operators, J. Algebra 319 (2008), 2113-2165.

33. S. Khoroshkin, S. Pakuliak, A computation of an universal weight function for the quantum affine algebra Uq(QlN) J. Math. Kyoto Univ. 48 (2008), 277-322.

34. S. Khoroshkin, A. Shapiro, Weight function for the quantum affine algebra Uq{Af), Geom. and Phys. 60 (2010), 1833-1851.

35. S. Khoroshkin, V. Tolstoy, The uniqueness theorem for the universal It-matrix, Let. Math. Phys. 24 (1992), No.3, 231-244.

36. P. Kulish, N. Reshetikhin, Diagonalization of GL(N) invariant transfer matrices and quantum N-wave system (Lee model), J.Phys. A: Math. Gen. 16 (1983), 591-596.

37. A. Molev, Yangians and classical Lie algebras, Amer. Math. Soc., Providence, 2007.

38. A. Molev, M. Nazarov, G. Olshanski, Yangians and classical Lie algebras, Russian Math. Surveys 51 (1996), 205-282.

39. M. Nazarov, Rational representations of Yangians associated with skew Young diagrams, Math. Z. 247 (2004), 21-63.

40. G.Olshanski, Extension of the algebra U(g) for infinite-dimensional classical Lie algebras g, and the Yangians Y(gl(m)), Soviet Math. Dokl. 36 (1988), 569-573.

41. G. Olshanski, Twisted Yangians and infinite-dimensional classical Lie algebras, Lecture Notes Math. 1510 (1992), 103-120.

42. N. Reshetikhin, M. Semenov-Tian-Shansky, Central extensions of quantum current groups, Lett. Math. Phys. 19 (1990), 133-142.

43. V. Tarasov, An algebraic Bethe anzats for the Izergin-Korepin R-matrix, Theor. and Math. Phys. 76 (1988), No.2, 793-804.

44. V. Tarasov, A. Varchenko, Jackson integral representations for solutions to the quantized KZ equation, Algebra and Analysis 6 (1994), No.2, 275-313.

45. W. Yang, Y. Zhang, Drinfeld basis of the twisted quantum affine algebra2)

46. Uq(A2 ) from the Gauss decomposition of an L-operator, J. Phys. A: Math. Gen. 34 (2001), L205.

47. D. Zhelobenko, Extremal cocycles on Weyl groups, Funct. Anal. Appl. 21 (1987), 183-192.

48. D. Zhelobenko, Extremal cocycles and generalized Mickelsson algebras over reductive Lie algebras, Math. USSR Izvestiya 33 (1989), 85-100.