Квантовая запутанность спиновых состояний неразличимых фермионов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Арифуллин, Марсель Равшанович

• Арифуллин, Марсель Равшанович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Арифуллин, Марсель Равшанович

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

ГЛАВА 1. Запутанность и спиновые правила отбора

1.1. Связь запутанности квантовых состояний многочастичных систем и спиновых правил отбора

1.2. Запутанность чистых квантовых состоянии

1.3. Многочастичные запутанные состояния

1.4. Запутанность смешанных многочастичных состоянии

1.5. Неравенства Белла

ГЛАВА 2. Спиновые состояния многоэлектронных систем

2.1. Введение

2.2. Свойства спиновых состоянии четырехэлектронной системы

2.3. Трехспиновая матрица плотности

2.4. Двухспиновая матрица плотности

2.5. Спиновая матрица плотности одного электрона

2.6. Спиновые матрицы плотности многоэлектронной системы с четным числом электронов

2.7. Матрицы плотности спиновых подсистем

ГЛАВА 3. Запутанность спиновых состояний многоэлектронных систем

3.1. Введение

3.2. Доказательство запутанности произвольных многоспиновых систем с четным числом частиц

3.3. Запутанность в четырехспиновой системе

3.4. Запутанность в трехфермионной подсистеме

3.5. Свойства 2-х фермионной подсистемы

3.6. Иерархия спиновой запутанности

3.7. Эксперименты Эйнштейна-Подольского-Розена с много- спиновыми системами. Неравенство Белла

3.8. Сравнение с простыми магнитными системами

ГЛАВА 4. Многоспиновые запреты и правила отбора в физико-химических процессах

4.1. Введение

4.2. Спинзависимые эффекты в процессах образования супероксид- иона 02

4.3. Многоспиновые эффекты восстановления молекулярного кислорода 02 цитохром-с-оксидазой

4.4. Влияние геометрической фазы Берри на многоспиновые процессы

Результаты и выводы

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квантовая запутанность спиновых состояний неразличимых фермионов»

ВВЕДЕНИЕ

Перспективы применения спина электрона в качестве носителя информации в спинтронике, квантовых вычислений и в квантовой криптографии [1, 2, 3] требуют знания спиновых состояний многофермионных систем, например, спиновых состояний ансамбля электронов в полупроводниках, сверхпроводниках и спиновой жидкости [4, 5, 6]. Однако, чтобы использовать спин электрона в качестве носителя квантовой информации, его необходимо "извлечь" из ансамбля неразличимых частиц. Если этот процесс происходит достаточно быстро, то электронный спин не успеет изменить свое состояние и, следовательно, будет нести "память" о своем пребывании в большом ансамбле. Поэтому необходимо знание состояний многоспиновых систем и, в частности, запутанности таких состояний. Понятие запутанность было введено Шредингером [7] для описания квантовых корреляции, проявляющихся в мысленном эксперименте Эйнштейна, Подольского и Розена (ЭПР-эксперимент) [8]. В работе [8] авторы показали существование нелокальных квантовых объектов, которыми являются, например, два спина, находящиеся в синглетном состоянии и разнесенные в пространстве на некоторое расстоянии. Позднее Белл [9] предложил статистические неравенства. Данные неравенства не выполняются для нелокальных теории. В дальнейшем данный эксперимент был реализован на практике [10, 11, 12], где в явном виде было продемонстрировано нарушение неравенства Белла и тем самым доказано, что квантовая механика является, по сути, нелокальной физической теорией. Таким образом, запутанность стала физической реальностью.

Новый интерес к проблеме запутанности возник из-за важности этих квантовых состояний для создания алгоритмов квантовых вычислений и разработки протоколов квантовой криптографии [13, 14]. Это

обстоятельство, с одной стороны, определило активное, главным образом, теоретическое изучение запутанности, а с другой, - оттеснило на второй план важное значение запутанности квантовых состояний для описания свойств реальных физических систем и физических процессов. Однако для понимания роли запутанных состоянии в физических процессах требуется знать физические причины и механизмы появления запутанности. Эти две проблемы определили основные цели и задачи диссертационной работы.

Основным объектом исследований в данной диссертационной работе были выбраны спиновые степени свободы многоэлектронных (многофермионных) систем. Примерами таких систем являются, например, электроны зоны проводимости или электроны валентной зоны твердых тел (полупроводников или металлов), электроны атомов или молекул, участвующих в физических процессах типа фотоионизации или в химических реакциях. Особый интерес представляют биохимические ферментативные реакции, в которых одновременно участвуют несколько дополнительных неспаренных электронов, например, реакция восстановления кислорода ферментом цитохром-с-оксидазой, где требуется четыре дополнительных электронов, поставляемых системой цитохромов дыхательных цепей клеток или митохондрий. В этих и им подобных быстрых процессах скорость и направление реакции определяется спиновыми запретами и спиновыми правилами отбора.

В элементарных актах физико-химических процессов сохраняется суммарный спин частиц (закон сохранения углового момента), а принцип Паули требует антисимметрии полной многоэлектронной волновой функции, зависящей от пространственных или спиновых степеней свободы. Совместное действие этих двух фундаментальных физических законов приводит к существованию спиновых правил отбора, управляющих многими интересными и важными физическими процессами и химическими реакциями. . Спиновые правила отбора, управляющие двухспиновыми

процессами, хорошо известны, они хорошо изучены как теоретически, так и экспериментально. Гораздо меньше известно о спиновых правилах отбора, управляющими многоэлектронными (многоспиновыми) процессами. В таких процессах запутанность многоспиновых состояний оказывается тесно связанной с многоспиновыми правилами отбора, что определяет эвристическое значение этого понятия.

Запутанность и информационная емкость многоспиновых состояний важна для будущих возможных применений полупроводниковой спинтроники для построения элементной базы квантовых компьютеров. Спинтроника — это новая разновидность электроники, которая в качестве носителя информации предполагает использовать не заряд электрона, а его спин. В настоящее время сложились два независимых направления: спинтроника магнитных явлений и спинтроника полупроводников [15]. Спин-зависимые явления в слоистых магнитных структурах стали физической основой новых систем хранения и записи информации [16]. Целью полупроводниковой спинтроники является создание элементной базы: спиновых транзисторов и диодов, спиновых вентилей, систем памяти и т.д. [17, 18]. Новой особой ветвью полупроводниковой спинтроники является спинтроника органических полупроводников. Исследования спинзависимых процессов в неорганических полупроводниках имеют богатую историю, для них открыто и предсказано много красивых и потенциально полезных эффектов. Спинтроника органических полупроводников, фактически, только начинается. Спинтроника органических полупроводников обладает рядом потенциальных преимуществ по сравнению со спинтроникой неорганических полупроводников. Органические полупроводники построены, как правило, из легких химических элементов (Н, С, Ы, О), поэтому в них должно быть относительно слабым спин-орбитальное взаимодействие и, следовательно, большие времена спиновой релаксации и большие времена жизни спиновой когерентности. Эти особенности спиновых эффектов в органических

полупроводниках делают их привлекательным объектом исследований, подразумевающих применения для создания квантовых компьютеров.

Основные цели работы:

Описание спиновых состояний многоэлектронных систем, изучение их свойств, доказательство запутанности этих состояний и вывод многоспиновых правил отбора, управляющих образованием запутанных физических систем из независимых подсистем, возможности экспериментальной верификации запутанности многоспиновых состояний.

Задачи:

- Построение многоспиновых матриц плотности в виде, допускающем их обобщение на иные виды фермионов со спином 8 = ХА.

- Исследование свойств этих матриц и описываемых ими спиновых состояний,

- Доказательство запутанности спиновых состояний многоэлектронных систем с произвольным четным числом частиц и с заполненными электронными оболочками.

- Определение иерархии запутанности квантовых состояний подсистем большой запутанной спиновой системы.

- Доказать, что увеличение числа частиц в многофермионной системе приводит к уменьшению корреляции между спинами любой пары фермионов и эти корреляции полностью отсутствуют при бесконечно большом числе частиц исходной системы.

- Определить проявления запутанности и нелокальных свойств спиновых состояний многоэлектронных систем в условиях экспериментов Эйнштейна-Подольского-Розена и влияние геометрической фазы Берри на запутанные многоспиновые системы.

- Показать физико-химические применения запутанных многоспиновых состояний для описания правил отбора, управляющих спинзависимыми процессами, и для определения вероятностей рекомбинации.

Положения, выносимые на защиту:

1. Показано, что неразличимость частиц и принцип Паули однозначно определяют спиновые состояния фермионов, их спиновые корреляции и запутанность их спиновых состояний.

2. Спиновые состояния многоэлектронных систем с четным числом частиц N описываются матрицами плотности, представимыми в виде суммы неортогональных операторов проектирования на все возможные синглетные состояния.

3. Спиновые корреляции в подсистемах зависят от полного числа частиц в исходной большой системе. В бесконечно большой системе любые парные состояния не скоррелированы и являются смесью синглетных и триплетных состояний.

4. Многоспиновые матрицы плотности запутанных состояний позволяют определять спинзависимые вероятности образования запутанных систем, существование многоспиновых правил отбора, управляющих физическим процессом.

Научная новизна работы.

Показано, что принцип неразличимости частиц и принцип Паули однозначно определяют спиновые состояния фермионов, их спиновые корреляции и запутанность их спиновых состояний. Состояния спиновой подсистемы фермионов описываются спиновой матрицей плотности, которая представима в виде суммы неортогональных проекторов на всевозможные многоспиновые синглетные состояния. (Неортогональные разложения единичной матрицы).

На примере четырехфермионной системы показано, что в многочастичных запутанных системах могут быть незапутанные

подсистемы: например, 4-х спиновая система максимально запутана, 3-х спиновая подсистема частично запутана, двухфермионная спиновая подсистема не запутана и не может быть в чистом синглетном состоянии. Увеличение числа частиц в многофермионной системе приводит к уменьшению корреляции между спинами любой пары фермионов и эти корреляции полностью отсутствуют при бесконечном числе частиц.

Для многоспинового аналога эксперимента Эйнштейна-Подольского-Розена доказано нарушение неравенства Белла. Это доказывает существование квантовых нелокальных корреляции и запутанность спиновых состояний вылетевшего электрона с остальной частью исходной многоспиновой системы.

Доказано, что образование запутанных систем управляется действием многоспиновых правил отбора, а спиновые матрицы плотности позволяют рассчитывать спинзависимые вероятности процессов объединения подсистем.

Научно-практическая значимость Знание запутанных спиновых состояний многоэлектронных систем, например, ансамбля электронов в полупроводниках, необходимо для разработки алгоритмов квантового компьютинга, протоколов квантовой криптографии и для создания элементной базы спинтроники, реализующей эти алгоритмы и протоколы. Знание многоспиновых правил отбора, управляющих образованием запутанных квантовых систем, позволит анализировать и находить механизмы управления различными физическими, химическими и биохимическими процессами, в которых участвуют несколько электронов с неспаренными спинами.

Личный вклад соискателя. Автор участвовал в постановке задач, в получении всех теоретических результатов, самостоятельно проводил все выкладки и обрабатывал результаты, участвовал в апробации работы.

Апробация работы. Материалы диссертации представлены на следующих международных и российских конференциях: 2nd Annual conference on quantum cryptography "QCRYPT 2012" (Republic of Singapore, 2012); Advanced research workshop "Meso-2012" Mesoscopic and strongly correlated electron systems (Chernogolovka, Russia- 2012); 14 Школа молодых ученых "Актуальные п роблемы физики", ФИАН, 2012; International Conference on Quantum Technologies", (Moscow, Russia, 13-17 July 2011); The 12th International symposium on spin and magnetic field effects in chemistry and related phenomena (Нидерланды, Нордвик, 10-15 мая 2011); The Second Russian-Japanese Seminar" Molecular and Biophysical Magnetoscience". Hiroshima Univ.- Orenburg Univ.,( Orenburg, Russia. 2007); Всероссийская научная конференция студентов - радиофизиков. (Санкт-Петербургский университет, 2007.); 6-я Курчатовская молодежная научная школа, секция: фундаментальные исследования, (г. Москва, 17-19 ноября 2008г.); 51-я Научная конференция МФТИ, современные проблемы фундаментальных и прикладных наук, общая и прикладная физика, секция общей и экспериментальной физики, (г. Долгопрудный,2008г.); XVI Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов - 2009», (г. Москва, 2009г.); 44-ая Школа ПИЯФ РАН по Физике конденсированного состояния, (г. Санкт-Петербург, 2010г.) Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 4 статьях и 13 тезисах докладов международных и всероссийских конференций.

Объём и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, литературного обзора, трех глав, содержащих оригинальные теоретические результаты, выводов, списка цитируемой литературы. В конце каждой главы, за исключением литературного обзора, приведены основные результаты и выводы. Работа изложена на 111 страницах и содержит 6 рисунков, 1 график и 5 таблиц.

Во Введении обоснована актуальность работы, приведена структура диссертации, поставлена цель исследования и сформулированы основные задачи. В Главе 1 приведен обзор на тему запутанных квантовых состояний и меры запутанности чистых и смешанных квантовых состояний. Также в этой главе рассмотрен обзор работ по запутанности тождественных частиц. В Главе 2. «Спиновые состояния многоэлектронных систем» представлены результаты построения спиновых матриц плотности многофермионных систем, содержащей произвольное четное число частиц N. Подробно изучены спиновые состояния четырехэлектронной системы. Определены правила построения и свойства некоторых спиновых подсистем. В Главе 3 «Запутанность спиновых состояний многоэлектронных систем» доказана запутанность спиновых состояний многоэлектронной системы, состоящей из четного числа частиц со спином Б = Уг, заполняющих нижние N/2 состояния. Подробно исследована запутанность четырехспиновой системы. Проанализированы аналоги гипотетических экспериментов Эйнштейна-Подольского-Розена. Установлено нарушение неравенств Белла, доказывающее нелокальные корреляции и запутанность спиновых состоянии. В Главе 4 «Многоспиновые запреты и правила отбора в физико-химических процессах» рассмотрены спинзависимые эффекты в процессах образования супероксид-иона 02~ и многоспиновые эффекты восстановления молекулярного кислорода. Проанализировано влияние геометрической фазы Берри на многоспиновые процессы.

ГЛАВА 1.

ЗАПУТАННОСТЬ И СПИНОВЫЕ ПРАВИЛА ОТБОРА

1.1. Связь запутанности квантовых состояний многочастичных систем

и спиновых правил отбора

Знания основных свойств спиновых состояний многофермионных и, в частности, многоэлектронных систем необходимы как для понимания фундаментальных квантовомеханических свойств этих систем, так и для конкретных областей физики и химии. К таким основным свойствам относится запутанность квантовых состояний многочастичных систем [1925]. На примере составной квантовомеханической системы АВ, которая может быть разделена на подсистемы А и В, свойство «запутанность» описывается как нарушение равенства, связывающего матрицы плотности объединенной системы и ее подсистем

(1-1)

/

а в

где р ир матрицы плотности подсистем. Это неравенство означает, что матрица плотности рАВ объединенной системы не может быть получена как сумма прямых произведений матриц плотности рА и рв и, следовательно, полную систему нельзя образовать простым соединением независимых физических подсистем А и В. Если сложная система АВ может быть образована из независимых подсистем, а ее матрица плотности представлена в виде суммы прямых произведений матриц плотности подсистем, то она является незапутанной. В этом случае матрица плотности полной системы может быть представлена как

р*в ® р?. (1-2)

/

В качестве иллюстрации запутанного состояния приведем известный пример синглетного состояния 2-х частиц со спином 1/2:

\Ч/и) = \Зи)=^\аЛ-Р1а2), (1-3)

(Л

где \а)= - спиновая функция, со спином б2 = +1/2;

| р) = ^ - спиновая функция, со спином -1/2.

Эта функция показывает, что состояния двух спинов скоррелированы. В этом состоянии с равной вероятностью представлены состояния о.[|32 и р[а2, в которых спины партнеров пары ориентированы в противоположные стороны. Отметим очень важное свойство синглетного состояния: его спиновую волновую функцию невозможно представить в виде произведения волновых функций отдельных спинов \у/п) * 1^1)^2) даже если отдельные спиновые волновые функции представлены в виде

\у/2) = а2\а2) + Ъ2\Р2)

Очевидно, что при любом выборе коэффициентов а, и Ь1 невозможно получить спиновую функцию ||//12) синглетного состояния. Следовательно, и матрица

плотности р8 этого состояния не может быть представлена в виде произведения матриц плотности независимых спиновых подсистем

Синглетное состояние электронных спинов - это запутанное спиновое состояние двух электронов, образующих простую химическую связь, например, двух электронов в молекуле водорода Нг. Этот простой пример показывает, что запутанные состояния не являются экзотической выдумкой абстрактных теорий, а сплошь и рядом встречаются в реальном физическом мире.

Именно синглетное спиновое состояние электронов соответствует антисимметричной волновой функции, описывающей устойчивую молекулу. Поэтому устойчивая молекула может образоваться лишь в том случае, если электронные спины предшественников могут находиться в синглетном запутанном состоянии. Это правило диктуется самым мощным физическим запретом принципом Паули, требующим безусловной антисимметрии полной волновой функции любых фермионов - частиц со спином 8 = 'А Принцип Паули вместе с законом сохранения углового момента являются основой действия спиновых правил отбора, управляющих элементарными актами многих физико-химических процессов. Участие закона сохранения углового момента обусловлено тем, что за короткие времена элементарных процессов спины электронов и ядер не успевают измениться за короткое время протекания процесса из-за слабости спиновых взаимодействий. Кратко эти правила отбора могут быть сформулированы следующим образом: элементарный акт физико-химического процесса разрешен лишь в том случае, если суммарный спин исходных реагентов равен суммарному спину продуктов. Если спиновое состояние исходных частиц не совпадает со спиновым состоянием продукта, то тогда вероятность процесса пропорциональна вероятности обнаружить исходную систему в подпространстве состояний продукта.

(1.4)

Математическая формулировка спиновых правил отбора выглядит следующим образом. Если состояние исходных частиц описывается матрицей плотности р1, то вероятность Ж обнаружить эту систему в состоянии

равна

1Г = (Ф/\р,\Ф/) = 71г{р/р,Р/}, (1.5)

где Р/=|ф/^0/| - оператор проектирования в состояние |фу}- Если р —

описывает исходное незапутанное состояние исходных невзаимодействующих частиц, а |ф/)~ описывает конечное запутанное состояние, например

синглетное спиновое состояние неразличимых электронов, то правила отбора (1.5) допускают следующую интерпретацию и обобщение: для определения вероятности образования запутанной системы из незапутанной необходимо спроектировать вектор состояния или матрицу плотности исходной системы на подпространство запутанных состояний конечной системы.

Формулировка этих спиновых правил отбора хорошо известна и широко применяется для анализа двухспиновых систем: радикальных пар, участвующих в химических реакциях, ион-радикальных пар, участвующих в радиационных процессах, например, в треках частиц высоких энергий, электрон-дырочных пар и экситонных пар в полупроводниках и т.д.

Интерес к спиновым состояниям систем, состоящих из небольшого числа электронов, диктуется несколькими причинами. Во-первых, спин электрона, так же, как его заряд и энергия, управляет скоростью и направлением многих физических и химических процессов [26]. Эта способность электронного спина проявляется в виде своеобразных спиновых правил отбора, действующих в быстрых процессах, которыми одновременно управляют закон сохранения углового момента (спина) и принцип Паули. Действие спиновых правил отбора в радикальных химических реакциях

является причиной многих красивых магнитных и спиновых эффектов: влияние магнитного поля на скорость химических реакций [26], химическая поляризация ядер и электронов [27], магнитный изотопный эффект [28], спиновый катализ [29], эффекты радиочастотного магнитного поля [30], и т.д.

Гораздо меньше известно о действиях спиновых правил отбора и их возможном описании для процессов с участием многоэлектронных и многоспиновых систем. Примером такого многоспинового процесса может служить рекомбинация атомов азота, находящихся в основном состоянии в результате которой образуется диамагнитная молекула Ы2,

1Ч(48) + :Ы(48) = М2.

В основном состоянии 1чГ(48) атом азота имеет три неспареных электрона, суммарный спин которых 8 = 3/2. В диамагнитной молекуле азота N2 спины всех шести электронов спарены, полный спин 8 = 0. Количество состояний которые могут быть созданы N электронами, определяется формулой

[31]

«(51) = {ЛП(2£ + 1)}/(Л^/2 + 5 + 1)!(Л/72-5')!, (1.6)

и для шести электронов число диамагнитных состояний л(£ = 0) = 5. Можно предполагать, что по аналогии с двухспиновым синглетным состоянием шестиспиновое синглетное состояние диамагнитной молекулы N2 будет запутанным, несмотря на то, что оно должно быть образовано из двух независимых трехспиновых состояний. Очевидно, что рекомбинация атомов азота И(48), как и многие другие процессы, определятся многоспиновыми правилами отбора, управляющими образованием запутанных многоспиновых состояний.

В последнее время ряд спин-зависимых эффектов был обнаружен в биохимических ферментативных и в биологических процессах. В работах [32-34] обнаружено, что на процессы ферментативного фосфорилирования влияет ядерный спин магнитного изотопа 25Mg. Обогащение клеток

лг

Escherichia coli магнитным изотопом Mg вызывает целый ряд эффектов, магнитная природа которых доказывается сравнением с поведением клеток, обогащенных немагнитными изотопами 24Mg и 26Mg [35]. Другим примером является наблюдение химической поляризации ядер в бактериальных фотосинтетических центрах и даже в целых клетках Rhodobacter sphaeroides [36]. Первопричиной этих спиновых эффектов являются ион-радикальные состояния, возникающие в ферментативных системах при переносе электронов. Однако перенос электрона является одновременно и переносом электронного спина, в результате которого могут образоваться парные ион-радикальные состояния, спиновая и химическая динамика которых определяется действием спиновых правил отбора. Поэтому ферментативные ион-радикальные процессы, в принципе, могут быть первичным магнитосенсором в живых организмах без образования специального магниточувствительного органа [37].

Для протекания многих ферментативных процессов в живых системах требуется перенос нескольких электронов, часто сопряженный с одновременным переносом протона. Типичными примерами таких процессов, происходящих in vivo и in vitro, являются реакция восстановления кислорода цитохром-с-оксидазой, требующая одновременного переноса 4 электронов [37], и процесс восстановления азота, требующий переноса восьми электронов [38]. Даже образование супероксид иона 0'г требует анализа поведения трех электронных спинов.

Такое же важное значение запутанность имеет для анализа реальных физических и физико-химических систем [39]. Из неравенства (1.1) следует, что если сложная физическая или химическая система АВ не может быть

описана как простое объединение подсистем, то при ее образовании действуют "правила отбора", выделяющие запутанные состояния объединенной системы. Примером таких правил отбора являются "спиновые правила отбора", управляющие образованием диамагнитных молекул (частиц в синглетных запутанных спиновых состояниях) из свободных радикалов (частиц с некоррелированными электронными спинами), аннигиляция триплетных экситонов в молекулярных кристаллах и другие спинзависимые процессы [40].

Для понимания спиновых правил отбора, действующих в многоэлектронных процессах, необходимо знание спиновых состояний многоспиновых систем. Однако, для описания таких спиновых состояний и спин зависимых процессов неприменимы методы, развитые как для больших ансамблей электронов [31], так и для конечных ферми-систем [41]. Поэтому возникла необходимость построения спиновых матриц плотности систем, содержащих конечное число электронов или других фермионов со спином Б = '/2. Решение этой задачи приведено в следующей главе диссертации.

1.2. Запутанность чистых квантовых состоянии

В настоящее время интерес к квантовой запутанности обусловлен в большей степени практическими соображениями, где квантовая запутанность выступает как ресурс для реализаций алгоритмов квантового компьютинга, для построения протоколов квантовой криптографии и для других приложений квантовых свойств сложных систем [42-46].

Для количественной оценки запутанности рассмотрим многочастичную систему, которая описывается вектором состояния |у/). Вектор состояния

\у/) состоит из п подсистем, находящихся также в чистом состоянии. Такое

состояние математически описывается как вектор в гильбертовом пространстве, которое в свою очередь есть тензорное произведение

*

гильбертовых подпространств. Тогда полная волновая функция запишется в виде суперпозиции векторов состоянии подсистем. В общем случае \у/) не

может быть представлена как прямое произведение векторов состоянии подсистем Такие состояния принято считать

несепарабельными или запутанными состояниями. Строго говоря, чистые состояния в природе не существует из-за практически неустранимых взаимодействий с окружением. Именно эти взаимодействия являются причиной релаксации систем к термодинамически равновесным состояниям. В теориях квантовой запутанности подобный процесс называется декогеренцией. Поэтому практически все квантовые системы находятся в смешанных состояниях, которые описываются матрицей плотности. Определением запутанности таких состоянии является выражение (1.1). Однако применение этой формулы для определения или доказательства существования запутанности в нетривиальных системах довольно затруднительно. Поэтому были предложены несколько критериев запутанности.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Арифуллин, Марсель Равшанович, 2014 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

V V

1. Zutic, I. Spintronics: Fundamentals and applications / I. Zutic, J. Fabian, and. S. D. Sarma // Rev. Mod. Phys. - 2004. - V.76. - P.323.

2. Bouwmeester, D. The Physics of Quantum Information: Quantum Cryptography, Quantum Teleportation, Quantum Computations / D. Bouwmeester, A. Ekkert and A. Zeilinger. - Berlin: Springer-Verlag, 2000 - 314 p.

3. Китаев, А. Классические и квантовые вычисления / А. Китаев, Шень, М. Вялый. - М.:МЦНМО, 1999 - 192 с.

4. Cirac, J. Quantum Computations with Cold Trapped Ions / J. Cirac, P. Zoller // Phys. Rev. Lett. - 1995. - V. 74. - P. 20.

5. Килин, С. Я. Квантовая информация / С. Я. Килин // Успехи Физических Наук. - 1999. - Т. 169. - С. 507-527.

6. Зельдович, Я. Б. Магнитно-спиновые эффекты в химии и молекулярной физике / Я. Б. Зельдович, А. Л. Бучаченко, Е. Л. Франкевич // УФН. - 1988. -Т. 155.-С. 3-45

7. Schrodinger, Е. Discussion of Probability Relations between Separated Systems / E. Schrodinger // Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 1935. -Vol. 31.-P. 555

8. Эйнштейн, А. Можно ли считать, что квантово-механическое описание физической реальности является полным? / А. Эйнштейн, Б. Подольский, В. А. Фок и др. // УФН. - 1936. - Т. 16-4. - С. 436-457.

9. Bell, J. S. On the Einstein Podolsky Rosen paradox / J. S. Bell // Physics. -1964.-Vol. 1, № 3- P. 195-200

10. Aspect, A. Experimental Test of Bell's Inequalities Using Time - Varying Analyzers / A. Aspect, P. Grangier, and G. Roger // Phys. Rev. Lett. - 1982. -Vol.49.-P. 1804-1807.

11. Aspect, A. Experimental Test of Realistic Local Theories via Bell's Theorem / A. Aspect, P. Grangier, and G. Roger // Phys. Rev. Lett. - 1981. - Vol.47. - P.460-463.

12. Greenberger, D. Going Beyond Bell's Theorem. / D. Greenberger, M. Home, A. Zeilinger // arxiv: quant-ph. / 0712.0921.

13. Bouwmeester, D. Experimental quantum teleportation / D. Bouwmeester, J-W. Pan, K. Mattle et al. // Nature. - 1997. - Vol. 390 - P. 575-579.

14. Килин С. Я. Квантовая информация // Успехи Физических Наук. - 1999. -Т. 169.-С. 507-527.

15. Кусраев, Ю. Г. Спиновые явления в полупроводниках: физика и приложения / Ю. Г. Кусраев // Успехи Физических Наук. - 2010. - Т. 180. - С. 759-773.

16. Awschalom, D. Semiconductor Spintronics and Quantum Computation / D. Awschalom, D. Loss, N. Samarth. - Berlin: Springer-Verlag, 2002.

17. Van Dorpe, P. Very high spin polarization in GaAs by injection from a (Ga, Mn) As Zener diode / P. Van Dorpe, Z. Liu, W.V. Roy, V.F. Motsnyi, M. Sawicki, G. Borghs, J. De Boeck // Appl. Phys. Lett. - 2004. - Vol. 84. - P. 3495-3497.

18. Ohno, Y. Electrical spin injection in a ferromagnetic semiconductor heterostructure / Y. Ohno, D.K. Young, B. Beschoten, F. Matsukura, H. Ohno, D.D. Awschalom // Nature (London). - 1999. - Vol. 402. - P. 790-792

19. Linden, N. On multi-particle entanglement / N. Linden, S. Popescu // arXiv

preprint quant-ph/9711016, 1997 - arxiv.org

102

20. Thapliyal, A.V. Multipartite pure-state entanglement / A.V. Thapliyal // Phys. Rev. A. - 1999 . - Vol. 59. - P.3336

21. Amico, L. Entanglement in Many-Body Systems / L. Amico, R. Fazio, A. Osterloh, V. Vedral // Rev. Mod. Phys. - 2008. - Vol. 80. - P. 517

22. Sasaki, T. Entanglement of indistinguishable particles / T. Sasaki, T. Ichikawa and I. Tsutsui // Phys. Rev. A. - 2011. - Vol. 83. - P. 012113

23. Friis, N., Lee A. and Bruschi D. Fermionic-mode entanglement in quantum information // Phys. Rev. A. - 2013. - Vol. 87. - P. 022338

24. Horodecki, R. Quantum entanglement / R. Horodecki, P. Horodecki, M. Horodecki and K. Horodecki // Rev. Mod. Phys. - 2009. - Vol. 81. - P. 865.

25. Verstraete, F. Matrix product states, projected entangled pair states, and variational renormalization group methods for quantum spin systems / F. Verstraete, V. Murg and J. I. Cirac // Adv. Phys. - 2008. - Vol. 57. - P. 143-224.

26. Бучаченко, A.Jl. Магнитные и спиновые эффекты в химических реакциях. / А.Л. Бучаченко, Р.З. Сагдеев, К.М. Салихов. - Новосибирск: Наука, 1978.

27. Бучаченко, А.Л. Химическая поляризация электронов и ядер. / А.Л. Бучаченко. -М.: Наука, 1974.

28. Соколик, И. А. Влияние магнитных полей на фотопроцессы в органических твердых телах / И.А. Соколик, Е.Л. Франкевич // УФН. - 1973.-№111.-С.261-271.

29. Berdinskiy, V.L. Electron Spin Catalysis / V.L. Berdinskiy, A.L. Buchachenko // Chem. Rev. - 2002. - Vol. 102. - P. 603.

30. Buchachenko, A.L. Chemical Generation and Reception of Radio and Microwaves. / A.L. Buchachenko, E.L. Frankevich. - N.Y.: VCH Publishers, 1994.

31. Ландау, Л.Д. Квантовая механика. / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - М.: Наука, 1969.

32. Бучаченко, А.Л. Новая изотопия в химии и биохимии. / А.Л. Бучаченко. -М.: Наука, 2007

33. Бучаченко, А.Л. Ядерно-магнитное управление синтезом энергоносителей в живых организмах / А.Л. Бучаченко, Д.А. Кузнецов // Вестн. РАН. - 2008. -Т. 78.-№7.-С. 579.

34. Buchachenko, A.L. Magnetic field affects enzymatic ATP synthesis / A.L. Buchachenko, D.A. Kuznetsov // J. Am. Chem. Soc. - 2008. - Vol. 130. - № 39. -P. 12868.

35. Шевченко У.Г., Авдеева Е.И., Бердинский В. Л. // Хим. физика. - 2012. -Т. 13.-№7.-С. 1.

36. Jeschke G., Matysik J. // Chem. Phys. - 2003. - Vol. 294. - P. 239.

37. Richter O., Ludwig B. // Rev. Physiol. Biochem. Pharmacol. - 2003. - Vol. 147. _P. 47.

38. Postgate, J. Nitrogen Fixation. / J. Postgate. - Cambridge UK: Cambridge University Press, 1998.

39. Алдошин, С. M. Квантовая запутанность в нитрозильных комплексах железа / С. М. Алдошин, Э. Б. Фельдман и М. А. Юрищев // ЖЭТФ. - 2008. -Т. 134. — С.940-948

40. Салихов, К.М. 10 лекций по спиновой химии / К.М. Салихов. - Казань: Унипресс, 2000.-143с.

41. Мигдал, А.Б. Теория конечных фермисистем и свойства атомных ядер / А.Б. Мигдал. - М.: Наука, 1983.

42. Нильсен, М. Квантовые вычисления и квантовая информация / М. Нильсен, И. Чанг. -М.: Мир, 2006.-824с.

43. Валиев, К. А. Квантовые компьютеры и квантовые вычисления / К. А. Валиев // УФН. - 2005. - Т.175. - С.3-39.

44. Jones, J. NMR Quantum Computation / J. Jones // arxiv: quant-ph/0009002.

45. Кокин, А. А. Твердотельные квантовые компьютеры на ядерных спинах / А. А. Кокин. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.-204 с.

46. Doronin, S. I. Supercomputer analysis of one-dimensional multiple-quantum dynamics of nuclear spins in solids / S. I. Doronin, E. B. Fel'dman, I. Ya Guinzbourg. et. al. // Chem. Phys. Lett. -2001. - Vol.341. - P. 144-152.

47. Horodecki, R. Quantum entanglement / R. Horodecki, P. Horodecki, M. Horodecki and K. Horodecki // arxiv: quant-ph/0702225.

48. Virmani, S. Ordering states with entanglement measures / S. Virmani, M. B. Plenio // Phys. Lett. A. - 2000. - Vol. 268. - P. 31-34.

49. Peres, A. Higher order Schmidt decompositions / A. Peres // Phys. Lett. A. . -1995.-Vol. 202. -P.16-17.

50. Acin A. Generalized Schmidt decomposition and classification of three-quantum-bit states / A. Acin, A. Andrianov, L. Costa, E. Jane, J. Latorre // Phys. Rev. Lett. -2000. - Vol. 85. - P. 1560.

51. Plenio, M. Spin chains and channels with memory / M. Plenio, S. Virmani // Phys. Rev. Lett. - 2007. - Vol. 99. - P. 120504.

52. Баргатин, И.В. Запутанные квантовые состояния атомных систем / И.В. Баргатин, Б.А. Гришанин, В.Н. Задков // УФН. - 2001. - Т. 171. - С. 625.

53. Bennett, С. Н. Concentrating partial entanglement by local operations / С. H. Bennett, H. J. Bernstein, S. Popescu and B. Schumacher // Phys. Rev. A. - 1996. -Vol. 53.-P. 2046.

54. Dur, W. Three qubits can be entangled in two inequivalent ways / W. Dur, G. Vidal and J. I. Cirac // Phys. Rev. A. - 2000. - Vol. 62. - P. 062314.

55. Greenberger, D. M. Quantum Theory, and Conceptions of the Universe. / D. M. Greenberger, M. A. Home and A. Zeilinger. - Kluwer Academic: orthecht, 1989.

56. Greenberger, D. M. Bell's Theorem without Inequalities / D. M. Greenberger, M. A. Home, A. Shimony and A. Zeilinger // American Journal of Physics. - 1990. -Vol. 58.-P. 1131-1143.

57. Bennett, С. H. Exact and asymptotic measures of multipartite pure-state entanglement / С. H. Bennett, S. Popescu, D. Rohrlich, J. A. Smolin and A. V. Thapliyal // Phys. Rev. A. - 2001. - Vol. 63. - P. 012307.

58. Werner, R. F. Quantum states with Einstein-Podolsky-Rosen correlations admitting a hidden-variable model / R. F. Werner // Phys. Rev. A. -1989. - Vol. 40.-P. 4277

59. Bennett, С. H. Mixed-state entanglement and quantum error correction / С. H. Bennett et. al. // Phys. Rev. A.- 1996.- Vol. 54. - P. 3824

60. Horodecki, M. Separability of mixed states: necessary and sufficient conditions / M. Horodecki, P. Horodecki, R. Horodecki // Phys. Rev. Lett. - 1996. - Vol. -223.-P. 1-8.

61. Peres, A. Separability Criterion for Density Matrices / A. Peres // Phys. Rev. Lett. - 1996. - Vol. - 77. - P. 1413-1416

62. Vidal, G. Computable measure of entanglement / G. Vidal and R. F. A. Werner //Phys. Rev. A. -2002. - V. 65.-P. 032314

63. Wootters, W. K. Entanglement of formation and concurrence / W. K. Wootters // Quant. Inf. Comp. - 2001. - Vol.1. - P. 27-44.

64. Wootters, W. K. Entanglement of Formation of an Arbitrary State of Two Qubits / W. K. Wootters // Phys. Rev. Lett. - 1998. - Vol. 80. - P. 2245

65. Bennett, C. H. Quantum nonlocality without entanglement / C. H Bennett, D. P. DiVincenzo, C. A. Fuchs, T. Mor, E. Rains, P.W. Shor, J.M. Smolin and W. K. Wootters // Phys. Rev. A . - 1999. - Vol. 59. - P. 1070.

66. Rains, E. M. A rigorous treatment of distillable entanglement / E. M. Rains // Phys. Rev. A . - 1999. - Vol. 60. - P. 173.

67. Terhal, B. M. Detecting quantum entanglement / B. M. Terhal // Theor. Comput. Sci. - 2002. - Vol. 287. - P. 313.

68. Barbier, M. Detection of Entanglement with Polarized Photons: Experimental Realization of an Entanglement Witness / M. Barbieri, F. Martini, G. Nepi, P. Mataloni, G. M. D'Ariano and C. Macchiavello // Phys. Rev. Lett. - 2003. - Vol. 91.-P. 227901.

69. Hyllus P. Relations between entanglement witnesses and Bell inequalities / Hyllus P., Guhne O., Bruss D. and Lewenstein M. // Phys. Rev. A. - 2005. - Vol. 72.-P. 012321.

70. Dur, W. Separability and Distillability of Multiparticle Quantum Systems / W. Dur, J. I. Cirac and R. Tarrach // Phys. Rev. Lett. - 1999. - Vol. 83. - P. 3562.

71. Dur, W. Classification of multiqubit mixed states: Separability and distillability properties / W. Dur and J. I. Cirac // Phys. Rev. A . - 2000. - Vol. 61. - P. 042314.

72. Plenio, M. B. The logarithmic negativity: A full entanglement monotone that is not convex / M. B. Plenio // Phys. Rev. Lett. - 2005. - Vol. 95. - P. 090503.

73. Bell, J. S. On the problem of hidden variables in quantum mechanics / J. S. Bell//Physics. - 1965.-Vol. 1. - P. 196-221.

74. E instein, A. Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete? / A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen // Phys. Rev. - 1935. -Vol. 47.-P. 10.

75. Белинский, А. В. Теорема Белла для трихотомных наблюдаемых / А. В. Белинский // УФН. - 1997. - Т. 167. - С. 323-335.

76. Schliemann, J. Quantum correlations in two-fermion systems / J. Schliemann, I. Cirac, M. Lewenstein, and D. Loss // Phys. Rev. A. - 2001. -Vol. 64. - P. 022303.

77. Eckert, K. Quantum Correlations in Systems of Indistinguishable Particles / K. Eckert, J. Schliemann, D. Bruss and M. Lewenstein // Annals of Physics - 2002. -Vol. 88.-P. 299.

78. Amico, L. Entanglement in many-body systems / L. Amico, L. Fazio, A. Osterloh and V. Vedral // Rev. Mod. Phys. - 2081. -Vol. 80. - P. 517.

79. Buscemi, F. Linear entropy as an entanglement measure in two- fermion systems / F. Buscemi, P. Bordone and A. Bertoni // Phys. Rev. A - 2007. -Vol. 75. -P. 032301.

80. Zander, С. Entropic entanglement criteria for Fermion systems / C. Zander, A. R. Plastino, M. Casas // The European Physical Journal D. - 2012. - Vol. 66 - P. 14.

81. Блум, К. Теория матрицы плотности и ее приложения. / Блум К. - М.: Мир, 1983. - 248 с.

82. Румер, Ю. Б. Теория унитарной симметрии. / Ю. Б. Румер, А. И. Фет. -М.: Наука, 1970.-400 с.

83. Nielsen, М.А. Conditions for a class of entanglement transformations / M.A. Nielsen // Phys. Rev. Lett. - 1999. - Vol. 83. - P. 436.

84. Белоусов Ю. M. Матрица плотности. Представления и применения в статистической механике. / Ю. М. Белоусов, В. И Манько. - М.: МФТИ, 2004. -163 с.

85. Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц. / Ф. Р. Гантмахер. - М.: Наука, 1966. -576 с.

86. Zyczkowski, P. Volume of the set of separable states / P. Zyczkowski, A. Horodecki, Sanpera and M. Lewenstein // Phys. Rev. A. - 1998. - V. 83. - P. 883 -892.

87. Hill, S. Entanglement of a Pair of Quantum Bits / S. Hill, W.K. Wootters // Phys. Rev. Lett. - 1997. - Vol. 78. - P. 5022.

88. Zyczkowski, K. Geometry of Quantum States. / K. Zyczkowski, I. Bengtsson. - Cambridge: University Press, 2006.

89. Мессиа, А. Квантовая механика / А. Мессиа. - M.: Наука, 1978.

90. Арифуллин, М. Р. Запутанность спиновых состояний четырехфермионной системы / М. Р. Арифуллин, В. JI. Берлинский // Труды МФТИ. - 2013. - Т.5. -№ 4.

91. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М: Физматлит, 2007.

92. Арифуллин, М. Р. Квантовая запутанность спиновых состояний неразличимых фермионов / М. Р. Арифуллин, В. Л. Бердинский // Вестник ОГУ. - 2013. -Т.155. - № 6.

93. Clauser J. F., Home M. A., Shimony A. and Holt R. A. Proposed Experiment to Test Local Hidden-Variable Theories // Phys. Rev. Lett. - 1969. - Vol. 23. - P. 880.

94. Aspect A., Grangier P., Roger G. Experimental test of Bell's inequalities using time-varying analyzers // Phys. Rev. Lett. - 1982. - Vol.49. - P. 91-94.

95. Арифуллин, M. P. Нелокальные корреляции многоспиновых состояний неразличимых фермионов / М. Р. Арифуллин, В. Л. Бердинский // Вестник ОГУ. - 2013. - Т.155. -№ 9.

96. Edge R. Magnetic field effect on singlet oxygen production in a biochemical system / R. Edge, K. Henbest et al. // Chem. Comm. - 2005. - P. 174.

97. Арифуллин, M. P. Спиновые состояния мультиэлектронных систем и действие мультиспиновых запретов / М. Р. Арифуллин, В. Л. Бердинский // Журнал физической химии. - 2013. - 87. - № 7. - С. 1208-1212.

98. ru.wikipedia.0rg/wiki/IJ,HT0xp0M_c-0KCHfla3a.

99. Berry, M.V. Quantum Phase Factors Accompanying Adiabatic Changes / Berry M.V. Berry M.V. // Proc. Roy. Soc. - 1984. - Vol. A392. - P. 45.

100. Berry, M.V. Anticipations of the geometric phase / M.V. Berry 11 Phys. Today. - 1990. - Vol. 43. - P. 34-40

101. Клышко, Д. H. Геометрическая фаза Берри в колебательных процессах / Д. Н. Клышко//УФН.- 1993.-Т. 163.-С. 1-18.

102. Виницкий, С. И. Топологические фазы в квантовой механике и поляризационной оптике / С.И. Виницкий, B.JI. Дербов, В.М. Дубовик, Б.Л. Марковский, Ю. Л. Степановский // УФН. - 1990. - Т. 160. - С. 1

103. Moore, D.J. The calculation of nonadiabatic Berry phases / D.J. Moore // Phys. Rep.-1991.-Vol. 210.-P. 1.

104. Suter, D. Study of the Aharonov-Anandan quantum phase by NMR interferometry / D. Suter, K.T. Mueller, A. Pines // Phys. Rev. Lett. - 1988. - Vol. 60.-P. 1218.

105. Simon, R. Evolving Geometric Phase and Its Dynamical Manifestation as a Frequency Shift: An Optical Experiment / R. Simon, H.J. Kimble, E.C.G. Sudarshan // Phys. Rev. Lett. - 1988. - Vol. 61. - P. 19.