Создание многоэлектронных запутанных состояний в мезоскопических системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Вышневый, Андрей Александрович

• Вышневый, Андрей Александрович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Вышневый, Андрей Александрович

Содержание

Введение

Глава 1. Система из двух интерферометров Маха-Цендера

1.1. Предлагаемая схема

1.2. Бслловскнй эксперимент с двумя электронами

1.3. Белловский эксперимент в присутствии ферми-моря

Глава 2. Постселективное наблюдение запутанности в системе из

двух интерферометров Маха-Цендера

2.1. Исследуемая система

2.2. Описание свойств системы в идеальном случае

2.3. Схема с отражающими делителями и постселективные измерения

2.4. Корреляционные измерения

Глава 3. Создание состояния ГХЦ в системе из трех интерферометров Маха-Цендера

3.1. Описание системы

3.2. Получение состояния ГХЦ

3.3. Неравенство Белла для трех частиц

3.4. Схема детектирования

3.5. Установка в ЦКЭХ

Заключение

Список использованных источников

Приложение А. Рассеяние волновых пакетов

Приложение Б. Нарушение неравенства Белла для состояния ГХЦ

Б.1. Параметры для максимального нарушения неравенства Белла

Б.2. Параметризация делителей

Б.З. Псевдоспиновая аналогия

Б.4. Настройки для максимального нарушения

Б.5. Кулоиовское взаимодействие

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Создание многоэлектронных запутанных состояний в мезоскопических системах»

Введение

Актуальность темы.

Квантово-механическое свойство запутанности приобрело особое значение, когда выяснилось, что существует эксперимент, предсказываемые результаты которого будут различаться в рамках теорий скрытых переменных и в рамках квантовой механики [1]. В дальнейшем было произведено наблюдение нарушения неравенства Белла в форме Клаузера-Хорна-Шимони-Хольта (неравенство КХШХ) [2] на фотонах [3]. Также оказалось, что запутанность является существенной при выполнении квантовых вычислений, квантовой телепортации и в квантовой криптографии. В 2000-х годах развитие техники эксперимента позволило производить эксперименты, аналогичные оптическим, на мезоскопическнх устройствах. В режиме целочисленного квантового эффекта Холла (ЦКЭХ) были реализованы интерферометры Маха-Цендера [4, 5] и Ханбери-Брауна-Твис-са [6]. Выбор ЦКЭХ для проведения таких экспериментов обусловлен кирально-стыо краевых состояний электронов и проистекающей из этого большой длиной когерентности. В таких установках эффект Ааропова-Бома аналогичен пластинкам, дающим сдвиг фазы, а электронные делители на основе квантово-точечных контактов аналогичны поляризационным делителям.

Отдельного внимания также заслуживает успешное изготовление в 2007 году источника когерентных электронов [7], позволяющего запускать электроны в краевое состояние ЦКЭХ с временной точностью до 0,1 не. Результатом этих исследований стало повышенное внимание к электронной интерферометрии в целом и к возможностям манипуляции электронными состояниями в частности. Кулоновское взаимодействие электронов позволяет реализовывать экспериментальные схемы, не имеющие аналогов в оптике. В частности, был проведен эксперимент по наблюдению разрушения интерференции при измерении информации о траектории электрона [8]. Также имеется предложение по созданию запутанного состояния в интерферометрах Маха-Цендера с кулоновским

взаимодействием между ними [9].

Цель работы состоит в изучении возможностей создания и детектирования запутанных состояний в системах интерферометров Маха-Цендсра с куло-новским взаимодействием. В работе изучается создание и детектирование запутанных состояний электронов в системах из двух и трех интерферометров. В том числе изучается возможность постселективиого детектирования запутанности.

Научная новизна работы заключается в следующих оригинальных результатах, которые выносятся на защиту:

1. Поставлена и решена задача о влиянии кулоновского взаимодействия на состояние двух одноэлектронных возбуждений, распространяющихся в краевых состояниях целочисленного квантового эффекта Холла. Результаты решения использованы для изучения зависимости параметра Белла от размера волновых пакетов как в случае наличия ферми-моря при условии оптимальных параметров кулоновского взаимодействия, так и при его отсутствии. Показано, что наличие ферми-моря ослабляет наблюдаемое нарушение неравенства Белла. При наиболее благоприятных условиях реализации эксперимента максимальное значение параметра Белла В = 2,18 > 2.

2. Рассмотрена возможность постселективиого наблюдения запутанности в системе из двух интерферометров Маха-Цендера. Доказано, что постселективные измерения позволяют отличить запутанные чистые состояния от позапутанных. Также предъявлена процедура постселективиого измерения, не требующая изменения параметров установки в процессе измерения. Также показано, что альтернативой постселективному измерению могут служить корреляционные измерения, так как, с одной стороны, с их помощью можно также отличить чистое запутанное состояние от незапутанного, а, с другой стороны, для их проведения не требуются одноэлек-

тронные источники.

3. Предложена новая схема создания трехчастичного состояния Гринбер-гера-Хорна-Цайлингера (ГХЦ) в при помощи трех интерферометров Маха-Цендера с кулоновским взаимодействием. Схема отличается от известного способа производства аналогичного состояния в квантовой оптике существенным использованием кулоиовского взаимодействия. Новый способ, в частности, не предполагает использования постселекции для производства состояния ГХЦ. Рассмотрены возможные способы наблюдения запутанного состояния путем нарушения трехчастичного неравенства типа Белла. Найдены реализации измерений, в которых максимальное значение параметра Белла получаются при постоянных значениях прозрачности делителей, путем изменения разностей фаз между рукавами интерферометров. Найдена геометрическая конфигурация установки для реализации в режиме целочисленного квантового эффекта Холла. Описаны способы контроля параметров установки при проведении экспериментов.

Научная и практическая ценность. Полученные в работе результаты расширяют и углубляют понимание возможностей мезоскопических интерферометров в производстве запутанных состояний. Они допускают прямую экспериментальную проверку, а также указывают направление новых экспериментов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованных источников и двух приложений. Во введении сформулирована актуальность темы, цели и научная новизна диссертационного исследования, обоснована достоверность полученных результатов, а также указана научная и практическая ценность работы. В первой главе изучается система из двух интерферометров Маха-Цендера с кулоновским взаимодействием между ними. Во второй главе изучаются особенности наблюдения запутанности с использованием постселекции в системе из двух интерферометров. В третьей главе предъявляется схема из трех интерферометров

Маха-Цендера для производства состояния Гринбергера-Хорна-Цайлингера и указываются параметры измерений для получения максимального нарушения неравенства Белла для трех частиц (неравенства Мермина-Клышко). В приложения вынесены детали преобразований, использованных в работе.

Благодарности. Автор диссертации выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, ведущему научному сотруднику ИТФ им. Л. Д. Ландау РАН Лесовику Гордею Борисовичу за оказанную поддержку при проведении исследования.

Глава 1

Система из двух интерферометров Маха-Цендера

1.1. Предлагаемая схема

В этой главе рассматриваются особенности создания двухэлектронных запутанных состояний в системе из двух интерферометров Маха-Цендера. Расчет наблюдаемой запутанности требует учета кулоновского взаимодействия, который оказывается технически сложен даже в модели емкостного взаимодействия между интерферометрами. Постановка задачи существенно отличается от других работ по интерферометрам Маха-Цендера начальными условиями: на выходы приложено не постоянное или переменное напряжение, а запущены одно-электронные волновые пакеты. Рассмотрим два интерферометра Маха-Цендера, верхний из которых с проводами £1' и '3', а нижний - с '2' и '4', причем два соседних рукава имеют номера '1' и '2', см. рис. 1.1. В верхнем (нижнем) интерферометре имеются безотражательные входной и выходной делители А (А') и В (В') соответственно. Рассеяние в делителях описывается унитарными трансфер-матрицами ¿(а;),£(/3) (Ца')А((3')), определенными в базисе проводов

параметризованными углом а. Соответствующие формулы верны и для остальных матриц.

Взаимодействие между соседними проводами '1' и '2' описывается гамильтонианом

{'1','3'} ({'2','4'})

{(а)

сов а — эт а

(1.1)

Б1П а сое а

(1.2)

Рис. 1.1. Два интерферометра Маха-Цендера с емкостной связью между рукавами 1 и 2. Лоренцевские электронные импульсы подаются в левые рукава, запутываются кулоновским взаимодействием. На выходных каналах проводится измерение параметра Белла. Несмотря на сбой фазы, вызванный ферми-морем, неравенство Белла может быть нарушено, что показывает возможность получения "полезной запутанности" в этой системе.

где Д- = ]* (1х К{(х) :ф|(.т)ф,-(.т): - избыток электронов в конечном участке провода г определенный через ядро асДх), локализованное в окрестности начала координат. Также использовано обозначение : А := А — (уас\А\уас), где |уас) -основное состояние системы. Матрица взаимодействия Ё включает в себя собственные емкости проводов (диагональные элементы Ец и Е22) и взаимную емкость соседних проводов разных интерферометров (элементы Е\2 = ^21 )• Для упрощения считаем, что взаимодействие в других проводах отсутствует, то есть Ем ~ £44 = 0.

Избыточные электроны инжектированы в интерферометры в известном незапутанном состоянии. Из-за взаимодействия состояние электронов на выходе становится пространственно-запутанным (по количеству частиц в выходящих проводах) и эта запутанность может быть наблюдена при белловском эксперименте как нарушение соответствующего неравенства КХШХ. Далее сформулируем неравенство Белла через кросс-корреляторы {^¡Ь/)) (г Е {'1', £3'} и 3 Е {'2', '4'}) между избыточным количеством частиц, прошедших через различ-

л п л + л

ные выходящие провода системы, N1 = } с1Ь ¿)Фг(а', £):. Эти корреляторы

зависят от магнитных потоков Ф и Ф', проходящих через интерферометры, и уг-

лов (3 и /5', характеризующих выходящие делители (входные делители являются полупрозрачными с\ = а' = 7г/4). Определив белловский коррелятор

= (1-3)

«А'. + Л'зНА'г + ЛУ)

и соответствующую ему наблюдаемую Белла

В = Д^Ф, Ф') + Е0(Ф, Ф') + %,(Ф, Ф') - Ф'), (1.4)

можно сформулировать неравенство КХШХ:

\В\ <2. (1.5)

Нарушение этого неравенства при определенных значениях магнитных потоков Ф = {Ф,Ф'. Ф,Ф'} и углов ¡3 = {/3, Р', ¡3, ¡3'} является мерой запутанности между двумя интерферометрами. Далее покажем, что нарушение неравенства Белла (хотя и не максимальное при наличии ферми-моря) может быть достигнуто только изменениями магнитного потока при фиксированных (оптимальных) значениях углов делителей, Р = ¡3 и /3' = ¡3', что приводит к снижению количества изменяемых параметров, а это, в свою очередь, упрощает проведение эксперимента.

Значение параметра Белла зависит от параметров схемы, а именно маг_» —>

нитных потоков Ф и настроек исходящих делителей, определяемых углами (3: В = В{Ф:(3). Чтобы найти оптимальные параметры для эксперимента, необходимо найти максимум В(Ф,(3)} как функции всех изменяемых параметров в эксперименте. В статье [10] показано, что эта задача может быть решена аналитически через вычисление двухчастичной матрицы плотности запутанных частиц. При расчете матрицы плотности считаем, что исходящие делители В и В' находятся в асимптотической области, где К\^{х) —> 0 и отсутствует взаимодействие (это достигается при х —> +оо). В этой области (перед исходящими делителями В и В') запутанное состояние (многочастичное при наличии

ферми-моря) свободно распространяется в положительном направлении. Редуцированная матрица плотности определяется следующим образом:

[PBB'h'jf сх \dxdy (ВВЩ(х)Ц(у)*г(у)^(х)\ВВ'), (1.6)

где - одночастичные операторы электронного поля во внутренних рука-

вах интерферометров, Е {'1', '3'} и i'.j' Е {'2', '4'}. Согласно статье [10] максимальное значение параметра Белла

Втж{рвв') = 2\/ Лх + Л2, (1.7)

где Ai и - два наибольших собственных значения симметричной матрицы Трвв,ТрввП гДе [Тр]пт = Тг {р ■ (ап <g> <7m)}, а <т„, п,т Е {x,y,z} - матрицы Паули.

Набор ааронов-бомовской фазы на магнитных потоках Ф, Ф' и рассеяние на выходных делителях действуют па матрицу плотности размером 4x4 как унитарный поворот в псевдоспиновом базисе

Рвв> Pout = U{Ф, /3, Ф', 0) рвв' Р, Ф', (1.8)

Такой унитарный поворот не изменяет запутанность состояния, так как состоит из одночастичных поворотов в каждом интерферометре

и{ф, /3, Ф', (3') = и(Ф, /3) <g> й(ф', /3'), (1.9)

где

Л ( егф/2 0 \

С/(Ф,/?) = *(/?) . 1.10)

у 0 ё~ / )

Ниже будем использовать выражение (1.7) для определения максимально возможного значения параметра Белла и формулу (1.8), чтобы вычислить параметр Белла (1.4), зная корреляторы (1.3).

1.2. Белловский эксперимент с двумя электронами

Рассмотрим упрощенную модель, когда только два электронных волновых пакета инжектированы на входы '1' и '2', а иные электроны в системе отсутствуют. Оператор fl = J dx f(x)&a(x) создает одночастичное состояние с волновой функцией f(x) в проводе о;. Тогда исходное состояние с волновыми пакетами

Al X _____

f(x) и д{х) в проводах 'Г и !2' имеет вид |in) = f\gJ2 \vac). После рассеяния на делителях А и А' волновые пакеты разделяются между различными рукавами интерферометров. До достижения области взаимодействия состояние системы является незапуганным,

\АА!) = (sin а /з + cos a f\) х (sin а' д\ + cos а'\vac). (1-11)

В зависимости от пути, по которому движутся электроны, различные компоненты двухэлектронной волновой функции эволюционируют по-разному, в результате чего состояние становится несепарабельным. При отсутствии ферми-моря эффекты взаимодействия проявляются только в слагаемом волновой функции, отвечающем прохождению электронов по соседним рукавам '1' и '2'. Перед делителями В и В' двухчастичное состояние имеет вид:

\ВВ') — [cos a cos a'(S flgl) + sin a sin a'(/Jд\) + sin a cos ct'(flgl) + cos asma'(flg\)]\vас), (1-12)

где S - оператор эволюции, соответствующий гамильтониану (1.2). Для нахож-

л л4- 4-

дения состояния рассеяния Sf\g2\vac) двух электронов, движущихся во взаимодействующих проводах '1' и '2', определим собственные векторы и собственные значения (ei,ei) и (б2,е2) матрицы взаимодействия Е гамильтониана (1.2) (собственные емкости Ец, где г = 1. 2, в двухчастичной задаче считаем нулевыми). Введя операторы числа электронов щ = i 2 (eü ~ компонента

вектора ег), можно записать гамильтониан в виде суммы квадратов

#int = + (1.13)

Далее производим преобразование Хаббарда-Стратоновича для расцепления зарядовых операторов пг (хотя в данном случае это не единственный способ решения задачи, такой подход удобен при решении многоэлектронной задачи, см. приложение А). Оператор эволюции тогда примет следующий вид:

5 =

Dz\DZ2 ехр х Т ехр

г

L2

—г

dt(elZj(t) + e2z22{t)) dt (c\Z\{t)fi\(t) + e2z2(t)fi2{t))

(1.14)

где £1,2(2) - два действительных вспомогательных ноля, подчиняющихся гауссовой статистике (г^г^Ь')) = (г/б— £'). Преобразованный эволюционный оператор соответствует независимому распространению двух электронов в различных проводах, в каждом из которых приложен зависящий от времени случайный потенциал = ^(£) кДж), г = 1,2, в котором

Vi(t) = eiZi(L) ец + e2z2{t) e2i.

(1.15)

Сведя двухэлектронную эволюцию к двум независимым одночастичным задачам, решим соответствующие уравнения Шредингера для киральных электронных мод с линейным спектром е = vhk. В результате волновая функция Ф12(.'Г, у; £) = (х, у | Sf{g2 Ivac) после прохождения области взаимодействия примет вид

t

Ъу2(х, У! 0 = f(xt)y(yt)(exp{-i ¡dt'lV^f)^ + vL') + V2(l')K2{yt + О] }), (1.16)

где xt = х — vt и yt = у — vt - запаздывающие координаты, а усреднение производится по гауссовым полям Zi(t). После усреднения экспонент получаем

Фх 2(x,y;t) = f(xt)g(yt)e-^x*\

Ф12 (х,у) = Е\2

dr Ki(xT)K2{yT).

(1.17)

Фаза Ф12{х,у) включает в себя обмен энергиями и деформацию волновых пакетов /(х) и д{у) из-за взаимодействия. В пределе £ —>■ оо взаимодействовавшая

компонента рассеянного состояния (1.12) описывается выражением

(1.18)

Далее вычислим двухчастичную матрицу плотности (1.6) для состояния (1.12), рвв' = ТгХ1У{\ВВ'){ВВ'\},

Рвв> = ® ва')

1 1 1 V

1 1 1 V

1 1 1 V

у* V* V* 1

(в« <8> ¿сД

(1.19)

где ёа = diag{sin а, сов а] и

V =

дхйу\Пх)\г\д{у)\ге

2\п(ЧЛ\2 о-ЮиЫ

(1.20)

Выберем ядра взаимодействия конкретной формы,

К\(х) = к,2{х) = ехр(—\х\/а), где 2а - длина области взаимодействия. Тогда фаза У) ПРП У ~> имеет вид

Iх — у\ \ (л \х ~ у\

Ф12(:Е,у) = ехр

а

1 +

а

где

П

(1.21)

(1.22)

это фаза, набираемая частицами при одновременном прохождении через область взаимодействия, а то = а/у - время пролета через область взаимодействия. Предполагаем, что лоренцевские пакеты конечной ширины инжектированы одновременно (£ > 0),

1

!{х) = д(х) =

(1.23)

7Т х + г£

Тогда V выражается через два безразмерных параметра: фазу^о (ем—уравнение (1.22)), характеризующую силу кулоновского взаимодействия, и приведенную ширину волнового пакета 7 = £/а

¿хехр[-г<^0е-27|а;|(1 + 27|ж|)]

УЫ-Л) =

7Г

х2 + 1

(1.24)

Рассмотрим сначала ситуацию, в которой бесконечно короткие пакеты (7 —>■ 0) одновременно инжектированы в систему. Соответствующее значение фазы Ф^я. у) в V возьмем исходя из условия х » у, Ф^ж, х) = </?о- Тогда

V(v?o-0) схр(—¿(¿>0), (1-25)

см. равенства (1.20) и (1-21) (Если волновые пакеты инжектированы с задержкой по времени t¿, то фаза ipc ~ Ф1г(г;га) ~ <Л)ехР(—^d/a) уменьшается). Матрица плотности (1.19) соответствует чистому состоянию р2вв, = рвв'- В соответствии с формулой (1.7), максимальное значение параметра Белла

Втлх = 2у^1 + sin2(2o;) sin2(2а') sin2 Ц. (1.26)

Максимальное нарушение Втах = 2у/2 достигается при полупрозрачных входных делителях a = Ы — 7г/4 и с^о = 7Г, что требует надлежащей настройки области взаимодействия.

Далее, определим оптимальные значения магнитных потоков и углов (Ф, Ф,/3,/3) и (Ф', Ф', /3', ß') верхнего и нижнего интерферометров для максимального нарушения неравенства Белла (рассматриваем только схему с полупрозрачными входными делителями). Для этого выведем явное выражение бел-ловского коррелятора Eßß>(Ф,Ф'), см. уравнение (1.3). Корреляционные функции (ar¡n,'), входящие в е, являются диагональными элементами двухчастичной матрицы плотности pout после рассеяния на выходных делителях, см. (1.8). Тогда белловский коррелятор (1.3) принимает вид (можно взять ß = ß и ß' = ß' и при этом все же нарушить неравенство максимально)

Е = ^sin2/?cos2/3'|Vcos^-t-<yc>c) — совФ] ¿d

+ ^ cos 2/3 sin 2ß' [V со8(Ф'+у>с) — cos Ф'] (1.27)

£

- ^8т2/Ззт2(0,[\/со8(Ф + Ф/ + ^с) +соз(Ф-Ф')],

где V = |У|, a </?с = — argV. В случае одновременно запущенных узких волно-

2.8 2.6 2.4 2.2 2.0 1.8

Рис. 1.2. Параметры Белла £?шах и как функции ширины волновых пакетов 7 = £/а при •ро = тг Лля оптимальных настроек интерферометров (fímax, сплошная линия), вычисленный по (1.7), и для неоптимальных настроек (1.29) пунктирная линия).

вых пакетов V = 1 и ipc = </?о, см. (1.25). Параметр Белла имеет вид

5 = 2 [sin 2/3 cos 2/3' sin Ф + cos 2/3 sin 2/3' sin Ф'] sin —

+ sin 2/3 sin 2/3' [eos Ф eos Ф' + eos Ф eos Ф' (1.28)

+ cos Ф cos Ф' - cos Ф cos Ф'] ,

здесь потоки сдвинуты на (рс/2, Ф —> Ф + <рс/2 и т.д. Максимальное значение параметра Белла (1.26) достигается при

(Ф, Ф) (тг/2, 0), (Ф', Ф') (0,7г). (1.29)

и углах /3 = 7г/4 и /3' = arcctg[sin(<£>c/2)]/2 для исходящих делителей. Заметим, что максимальное нарушение достигается фиксированием углов /3 и ¡3' делителей в указанных выше значениях и изменением только магнитных потоков.

Далее рассмотрим ситуацию, при которой волновые пакеты имеют конечную ширину и, соответственно, конечное 7. Теперь, в отличие от случая £ —» 0, взаимодействие меняет исходную форму одночастичных волновых функций. Эта деформация появляется только если оба электрона прошли через взаимодействующие рукава 'Г и '2'. Таким образом, пространственная запутанность в базисе рассеяния (псевдоспиновом базисе) также "записывается" и в форме волновых пакетов. Так как детектируется только количество прошедших частиц,

О л" 2 л |р0 4 л

Рис. 1.3. Контурный рисунок белловского параметра ВШЛХ для оптимальных настроек бел-ловского эксперимента в зависимости от параметра взаимодействия р0 (но горизонтали) и параметра ширины 7 (вертикальная ось). Для коротких волновых пакетов (7 —> 0) неравенство Белла нарушено максимально для нечетных кратных тт.

которое не зависит от формы волновых пакетов, то редуцированная матрица плотности рвп' из (1.19) уже смешанная, и псевдоспиновая запутанность уменьшается. Дальнейшее уменьшение запутанности протяженных волновых пакетов связано с тем, что электроны могут не встретиться в области взаимодействия, что снижает его эффективную силу.

При обсуждении количественных результатов для белловского эксперимента сначала остановимся на случае настроек (1.29), которые оптимальны для

случая 7 = 0, _

= + + (1.30)

В наиболее благоприятном случае (рс = 7Г, неравенство Белла не может быть нарушено при V < у/2 — 1. В реальности фаза взаимодействия (рс монотонно уменьшается при увеличении 7, при фиксированном фа; в пределе очень длинных волновых пакетов 7 —>■ оо вероятность одновременного нахождения электронов в области взаимодействия становится очень малой и 0.

Настройки (1.29) не являются оптимальными, если 7 конечно. На рис. 1.2 сравнивается значение максимально возможного параметра Белла Дпах, получаемое из (1.7), и неоптимальное значение Во, вычисленное по формуле (1.30)

при выборе параметра взаимодействия (ро = к. Как и ожидалось, Вт1ХХ > Во, а неравенство Белла может быть нарушено при 7 < 7С ~ 0.87 (при этом критическая ширина для В0 равна 7С « 0.497).

Максимальное значение параметра Белла в пространстве параметров (<£>0) 7) показано на рис. 1.3. Область, соответствующая нарушению неравенства Белла (В > 2), сужается по мере роста силы кулоновского взаимодействия (описыываемой параметром сро). И в самом деле, при конечном 7 более сильное взаимодействие приводит к более сильной деформации волновых пакетов, а значит и большей степени запутанности, "записанной" в форме волновых пакетов. В результате, доступная для наблюдения величина псевдоспиновой запутанности оказывается меньше, что приводит и к меньшему значению параметра Белла. Напротив, при 7 = 0, максимальное значение параметра Белла является периодической функцией фазы ро с максимумом при <ро = тг, 37Г, ..., см. (1.26).

Изучаемая в этом разделе модель с двумя электронами в области взаимодействия в принципе может быть реализована экспериментально, если потенциальный рельеф в системе устроен таким образом, что ферми-море не проникает в область взаимодействия, а лоренцевский волновой пакет туда проходит, так как его энергия выше энергии Ферми. Геометрия такой системы в режиме целочисленного квантового эффекта Холла показана на рис. 1.4.

1.3. Белловский эксперимент в присутствии ферми-моря

В этом разделе рассмотрим более простой в реализации случай, в котором в интерферометрах присутствует ферми-море при нулевой температуре, что соответствует известным экспериментальным реализациям интерферометров Маха-Цендера [4, 5]. Сначала рассмотрим задачу о прохождении лорен-цевского волнового пакета через область взаимодействия в одном проводе (эта задача была разобрана ранее в работе [11], здесь кратко приведем результаты).

Рис. 1.4. Схема эксперимента в режиме ЦКЭХ {] = 1,2) - источники электронов, а

- приемники. Ведущие центры электронных краевых состояний встречаются в кван-тово-точечных контактах, прозрачность которых контролируется затворами Закругленный прямоугольник помечает область взаимодействия между интерферометрами. Пространство, занятое ферми-морем, отмечено заштрихованными областями

Далее изучим прохождение двух волновых пакетов через соседние взаимодействующие провода, а затем воспользуемся результатами для определения полного состояния рассеяния после области взаимодействия в интерферометрах. Сведения об этом состоянии позволят найти максимальную величину параметра Белла.

1.3.1. Рассеяние одного волнового пакета

Рассмотрим одиоэлектроиное состояние с волновой функцией /(ж), созданное на ¿о ~—оо в асимптотической области одномерного проводника, расположенной далеко от области взаимодействия,

1/> =

(¡х/(х)Щх,10)\Ф¥), (1.31)

где |Фр) -ферми-море при нулевой температуре. Считаем, что фурье-компоненты /(х) = равны нулю под ферми-морем, /к = 0 для к < к-р. В специальном случае лоренцевского волнового пакета (1.23) исходное состояние |/) может быть получено путем приложения локального импульса напряжения лоренцевской формы

в асимптотической области жо —> —оо; здесь г = - длительность импульса. Отмстим, что движение электронов в краевом состоянии является суммой быстрого вращения в магнитном поле со скоростью Ферми и медленного дрейфа вдоль края со скоростью У£>. Скорость дрейфа в случае медленно изменяющегося потенциала пропорциональна модулю градиента внешнего потенциала и направлена вдоль эквипотенциальной линии. Состояние |/) записывается в виде [12],

|/> = и[ф(г)]Р* |Фр>, (1-33)

где

Я - лестничный оператор рождения электронов в системе. Унитарный оператор и[ф] описывает эволюцию волновой функции иод действием лоренцевско-

го импульса напряжения (1.32), приложенного в точке х = хо,

Щф] = Т+ ехр

гь о

сИ ф(1)р(хо, £) , (1.34)

где Т+ - оператор упорядочения по времени, р(х, £) = : £)Ф(ж, ¿) : - опера-

тор плотности электронов, а ф{Ь) = МеУ(Ь')/К - фаза, набранная электронами.

Волновой пакет распространяется баллистически в сторону области взаимодействия возле х = 0 и прибывает туда в момент £ = О, если считать, что ж0 = Ус>£о- Благодаря взаимодействию, избыточный электрон может обмениваться энергией с ферми-морем, возбуждая электронно-дырочные пары. Далее это многочастичное (электрон и электронно-дырочное облако) состояние распространяется в сторону области без взаимодействия, находящейся на больших х —+оо, где оно принимает вид

оо

|/> = Т+ схр [~1Тг [ СЙ [/), (1-35)

— оо

где Н-^ определено в (1.2).

На первый взгляд, состояние |/) должно быть довольно сложным запутанным состоянием, в которое вовлечены избыточный электрон и электронно-дырочные пары. Тем не менее, результат, полученный в статье [11], гласит, что состояние |/) может быть произведено из исходного |/) путем приложения дополнительного импульса напряжения КД£), |/) = и[х]\1), где Х(£) = сИ'еУх^)/Гг. Из этого необычного утверждения следует, в частности, что конечное состояние имеет вид детерминанта Слэтера, и, па самом деле, не запутано, ведь оно получается приложением оператора эволюции, соответствующего одночастичному гамильтониану.

Выделенность лоренцевского состояния становится очевидной, если перейти к бозонной формулировке, выразив оператор фермиопного поля через бозонные операторы рождения/уничтожения Ь\ и Ь^, Ф(х) ос ехр[г *52ь>о(Ькегкх + Ь\.е~7кх) / л/ЦР,

21

подробности см. в приложении А. Проинтегрировав по координате в определении исходного состояния (см. (1.31)) с лоренцевской формой /(х), представим волновой пакет в следующей форме:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Вышневый, Андрей Александрович, 2014 год

Список использованных источников

1. Bell J. On the Einstein Podolsky Rosen Paradox // Physics. 1964. Vol. 1. P. 195.

2. Clauser J., Home M., Shimony A., Holt R. Proposed Experiment to Test Local Hidden-Variable Theories // Phys. Rev. Lett. 1969. Vol. 23. P. 880.

3. Aspect A., Grangier P., Roger G. Experimental Tests of Realistic Local Theories via Bell's Theorem // Phys. Rev. Lett. 1981. Vol. 47. P. 460.

4. Ji Y., Chung Y., Sprinzak D. et al. An electronic Mach-Zehnder interferometer // Nature. 2003. Vol. 422. P. 415-418.

5. Roulleau P., Portier F., Glattli D. С. et al. Finite bias visibility of the electronic Mach-Zehnder interferometer // Phys. Rev. B. 2007.-Oct. Vol. 76. P. 161309.

6. Neder I., Ofek N., Chung Y. et al. Interference between two indistinguishable electrons from independent sources // Nature. 2007. Vol. 448. P. 333-337.

7. Fève G., Mahé A., Berroir J.-M. et al. An On-Demand Coherent Single-Electron Source // Science. 2007. Vol. 316, no. 5828. P. 1169-1172.

8. Neder I., Heiblum M., Mahalu D., Umansky V. Entanglement, Dephasing, and Phase Recovery via Cross-Correlation Measurements of Electrons // Phys. Rev. Lett. 2007. Vol. 98. P. 036803.

9. Kang K., Lee K.-H. Violation of Bells inequality in electronic Mach Zehnder interferometers // Physica E. 2008. Vol. 40. P. 1395-1397.

10. Horodecki R., Horodecki P., Horodecki M. Violating Bell inequality by mixed spin-1/2 states: necessary and sufficient condition // Physics Letters A. 1995. — feb. Vol. 200. P. 340-344.

11. Lebedev A. V., Blatter G. Dynamical Resurrection of the Visibility in a Mach-Zehnder Interferometer // Phys. Rev. Lett. 2011. Aug. Vol. 107. P. 076803.

12. von Delft J., Schoeller H. Bosonization for beginners - refeririionization for experts // Ann. Phys. (Leipzig). 1998. Vol. 7. P. 225.

13. Aspect A., Grangier P., Roger G. Experimental Realization of Einstein-Podol-sky-Rosen-Bohm Gedankenexperimcnt: A New Violation of Bell's Inequalities // Phys. Rev. Lett. 1982. Vol. 49. P. 91-94.

14. Cirel'son B. S. Quantum generalizations of Bell's inequality // Lett. Math. Phys. 1980. Vol. 4. P. 93.

15. Dressel J., Choi Y., Jordan A. N. Measuring which-path information with coupled electronic Mach-Zehnder interferometers // Phys. Rev. B. 2012, —Jan. Vol. 85. P. 045320.

16. Vyshnevyy A. A., Lebedev A. V., Lesovik G. B., Blatter G. Two-particle entanglement in capacitively coupled Mach-Zehnder interferometers // Phys. Rev. B. 2013.-Apr. Vol. 87. P. 165302.

17. Berry D. W., Jeong H., Stobinska M., Ralph T. C. Fair-sampling assumption is not necessary for testing local realism // Phys. Rev. A. 2010. Vol. 81. P. 012109.

18. Mahe A., Parmentier F. D., Bocquillon E. et al. Current correlations of an on-demand single-electron emitter // Phys. Rev. B. 2010. Vol. 82. P. 201309(R).

72

19. Lesovik G. B., Suslov M. V., Blatter G. Quantum counting algorithm and its application in mesoscopic physics // Phys. Rev. A. 2010. Vol. 82. P. 012316.

20. Nielsen M. A., Chuang I. L. Quantum Computation and Quantum information. Cambridge Series on Information and the Natural Sciences. Cambridge University Press, 2000.

21. Bclinskii A. V., Klyshko D. N. Interference of light and Bell's theorem // Phys. Usp. 1993. Vol. 36. P. 653-693.

22. Roulleau P., Porticr F., Roche P. et al. Noise Dephasing in Edge States of the Integer Quantum Hall Regime // Phys. Rev. Lett. 2008. Vol. 101. P. 186803.

23. Chtchelkatchev N., Blatter G., Lesovik G., Martin T. Bell inequalities and entanglement in solid-state devices // Phys. Rev. B. 2002. Vol. 66. P. 161320.

24. Beenakker C., Emary C., Kindermann M. Production and detection of three--qubit entanglement in the Fermi sea // Phys. Rev. B. 2004. Vol. 69. P. 115320.

25. Gershon G., Bomze Y., Sukhorukov E. V., Reznikov M. Detection of Non-Gaussian Fluctuations in a Quantum Point Contact // Phys. Rev. Lett. 2008. Vol. 101. P. 016803.

26. Bayandin K. V., Lebedev A., Lesovik G. B. Measurement of high-order current correlators // JETP. 2008. Vol. 106. P. 117.

27. Litvin L. V., Tranitz H.-P., Wegscheider W., Strunk C. Decoherence and single electron charging in an electronic Mach-Zehnder interferometer // Phys. Rev. B. 2007.-Jan. Vol. 75. P. 033315.

28. Bouwmeester D., Pan J.-W., Daniell M. et al. Observation of Three-Photon Greenberger-Horne-Zeilinger Entanglement // Phys. Rev. Lett. 1999. Vol. 82. P. 1345.

29. Forster H., Pilgram S., Büttiker M. Decoherence and full counting statistics in a Mach-Zehnder interferometer // Phys. Rev. B. 2005. Vol. 72. P. 075301.

30. Marquardt F. Fermionic Mach-Zehnder interferometer subject to a quantum bath // Europhys. Lett. 2005. Vol. 72. P. 788.

31. Marquardt F., Bruder C. Influence of Dephasing on Shot Noise in an Electronic Mach-Zehnder Interferometer // Phys. Rev. Lett. 2004. Vol. 92. P. 056805.

32. Youn S.-C., Lee H.-W., Sim H.-S. Noncquilibrium Dephasing in an Electronic Mach-Zehnder Interferometer // Phys. Rev. Lett. 2008. Vol. 100. P. 196807.