Квадратичное отклонение плоских сеток тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Вронская, Гульнара Ташканбаевна

• Вронская, Гульнара Ташканбаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Вронская, Гульнара Ташканбаевна

Введение

Глава 1. Сравнения, суммы и произведения по приведенной системе вычетов.

§ 1. Неоднородное сравнение по приведенной системе вычетов

§ 2. Однородные сравнения по приведенным системам вычетов

§3. Суммы по приведенным системам вычетов

§4. Две леммы о произведении синусов

§ 5. Произведения по приведенной системе вычетов

§ 6. Оценка минимума Б^Дсиа5) по сиа

§7. Рекуррентная оценка минимума Б^си,., а5+1) через

5м(аь • • • > а5)

§ 8. Асимптотическая формула для

Глава 2. Квадратичное отклонение плоских сеток

Хэммерсли

§1. Степенные суммы с функцией ван дер Корпута — Хэммерсли

§ 2. Квадратичное отклонение

§3. Среднее арифметическое квадратичных отклонений плоских модифицированных сеток Хэммерсли — Рота

Глава 3. Двумерные сетки Воронина

§1. Полная система вычетов по модулю целого гауссова числа

§2. Обобщенная параллелепипедальная сетка целого гауссова числа

§3. Быстрый алгоритм вычисления функции Н2(М(Л^)))

§4. Среднее арифметическое квадратичных отклонений плоских модифицированных параллелепипедальных сеток

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квадратичное отклонение плоских сеток»

Диссертация выполнена на кафедре теории чисел Московского педагогического государственного университета и затрагивает ряд вопросов диофантовых приближений и их приложения к проблемам численного интегрирования.

Актуальность темы. В 1957 году вышла первая работа [37] Н. М. Коробова, с которой начинается отсчёт в становлении теоретико-числового метода в приближенном анализе. Краткая история возникновения этого метода содержится в [49]. Теоретические предпосылки теоретико-числового метода восходят ещё к работе [73] Г. Вейля, вышедшей в 1916 году, в которой содержался интегральный критерий равномерного распределения последовательности по модулю 1.

Цель первой главы — реализация метода усреднения Н. М. Коробова для доказательства существования оптимальных коэффициентов для любого составного модуля N.

В 1991 году профессорами Н. М. Коробовым и В. И. Нечаевым на семинаре в МГУ при обсуждении кандидатской диссертации В. С. Вань-ковой [9] была поставлена задача о вычислении квадратичного отклонения плоской сетки Хэммерсли. В работах В. С. Ваньковой, в частности, исследовалось среднее арифметическое квадратичных отклонений модифицированных сеток Хэммерсли — Рота и были получены оценки сверху для этого среднего. Задача Коробова — Нечаева подразумевала и получение асимптотической формулы среднего для плоских сеток.

Цель второй главы — получение быстрых алгоритмов вычисления значений величин важных характеристик качества полных сеток Хэммерсли: Н2(Х(Р)) и D2(X(P)) за 0(1пР) арифметических операций, аналогичных алгоритмам из работы [28] для вычисления Н2(М(а,М)), а также решение задачи Коробова — Нечаева для полных плоских модифицированных сеток Хэммерсли — Рота.

В конце 80-х и в первой половине 90-х годов С. М. Воронин выполнил серию работ по применению теории дивизоров к вопросам построения оптимальных квадратурных формул. В частности, в двумерном случае было показано, что теория целых гауссовых чисел может быть успешно применена к построению плоских параллелепипедальиых сеток.

Цель третьей главы — построение быстрых алгоритмов вычисления количественных характеристик качества двумерных сеток Воронина и решение задачи Коробова — Нечаева для плоских модифицированных параллелепипедальиых сеток, что позволит сравнивать полученные результаты для двух разных типов сеток.

Научная новизна. Результаты работы являются новыми, полученными автором самостоятельно. Основными результатами данной работы можно считать следующие: найдена асимптотическая формула для среднего основной меры качества набора коэффициентов по всем параллелепипедальным сеткам для любого модуля 14; построены быстрые алгоритмы вычисления величин количественных характеристик качества полных сеток Хэммерсли Н2(Х(Р)) и ЕЫХ(Р)) за 0(1пР) арифметических операций; решена задача Коробова — Нечаева для полных плоских модифицированных сеток Хэммерсли — Рота; построены быстрые алгоритмы вычисления количественных характеристик качества двумерных сеток Воронина; решена задача Коробова — Нечаева для плоских модифицированных параллелепипедальиых сеток.

Методы исследования. В работе используются методы теории цепных дробей, теории конечных разностей, теории сравнений, теории целых гауссовых чисел и геометрии чисел.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в исследованиях по цепным дробям и по приложению методов теории чисел к вопросам приближенного анализа, а также в теории плоских решеток и сеток.

Апробация работы. Результаты настоящей диссертации докладывались автором на следующих семинарах: научно-исследовательский семинар "Теория аппроксимации" под руководством профессора В. И. Иванова в Тульском государственном университете; научно-исследовательский семинар "Арифметика, алгоритмы, теория сложности вычислений" под руководством профессора В. Н. Чуба-рикова в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова; научно-исследовательский семинар "Теоретико-числовые методы приближенного анализа" под руководством профессора Н. М. Добровольского в Тульском государственном педагогическом университете им. Л. Н. Толстого; научно-исследовательский семинар "Аналитическая теория чисел" под руководством профессора Д. А. Митькина в Московском педагогическом государственном университете;

Всероссийской конференции "Современные проблемы математики, механики и информатики" в Тульском государственном университете. Тула, 2002.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [74], [75], [76], [77] и [78].

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 104 страницах и состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 78 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Вронская, Гульнара Ташканбаевна, 2005 год

1. Бахвалов Н. О приближенном вычислении кратных интегралов //Вести. Моск. ун-та, 1959. N 4. 3-18.

2. Бахвалов Н. С , Коробов Н. М., Чепцов Н. Н., Применение теоретико-числовых сеток к задачам приближенного анализа / / Труды Четвертого Всесоюзного математического съезда. Л.: Наука, 1964. Т. II. 580-587.

3. Боревич 3. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. М.: Наука, 1985.

4. Бочарова Л. П., Ванькова В. С , Добровольский Н. М. О вычислении оптимальных коэффициентов //Мат. заметки. 1991. Т. 49. Вып. 2. 23-28.

5. Ванькова В. Оценка квадратичного отклонения сеток Холтона. Деп. в ВИНИТИ 18.03.91, N 1157-В91.

6. Ванькова В. Об алгоритмах поиска оптимальных сеток Хэм- мерсли - Рота и Холтона. Деп. в ВИНИТИ 21.11.91, N 4371-В91.

7. Ванькова В. Квадратичное отклонение сеток Фора-Чепа. Деп. в ВИНИТИ 21.11.91, N 4372-В91.

8. Ванькова В. Многомерные теоретико-числовые сетки: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. / / Моск. пед. гос. ун-т. М., 1992.

9. Ванькова В. С , Добровольский Н. М., Есаян А. Р. О преобразовании многомерных сеток. Деп. в ВИНИТИ 22.01.91, N 447- 91.

10. Виленкин И. В. О плоских сетках интегрирования / / Журн. вы- числ. мат. и мат. физики. 1967. Т. 7. № 1. 189-196.

11. Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1981.

12. Добровольский Н. М., Ванькова В. О регулярных Р-ичных сетках / / Мат. заметки. 1993. Т. 54. Вып. 6. 22-32.

13. Добровольский Н. М., Ванькова В. С, Козлова Л. Гиперболическая дзета-функция алгебраических решеток. Деп. в ВИНИТИ 12.04.90, N 2327-В90.

14. Добровольский Н. М., Есаян А. Р., Пихтильков А., Родионова О. В., Устян А. Е. Об одном алгоритме поиска оптимальных коэффициентов / / Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 5. Вып. 1. Тула, 1999. 51-71.

15. Добровольский Н. М., Есаян А. Р., Реброва И. Ю. Об одном рекурсивном алгоритме для решеток / / Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 5 Вып. 3. Тула, 1999. 38-51.

16. Добровольский Н. М., Клепикова Н. Л. Таблица оптимальных коэффициентов для приближенного вычисления кратных интегралов / / ИОФАН СССР. 63. Москва, 1990. (Препринт.)

17. Добровольский Н. М., Коробов Н. М. Оптимальные коэффициенты для комбинированных сеток.// Чебьнпевский сборник, Т. 2, Тула, 2001, с. 41-53.

18. Добровольский Н. М., Родионова О. В. Квадратурные формулы с обобщенными параллелепипедальными сетками / / Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Т. 2. Вып. 1. Тула, 1996. 71-77.

19. Добровольский Н. М., Родионова О. В. Об одном конечном ряде Фурье и его приложениях //Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1998. Т. 4. Вып. 3. 68-79.

20. Кап И. Д. Рекуррентные последовательности и их приложения. Дне. ... канд. физ.-мат. наук. / Моск. ун-т. МГУ, М., 1997.

21. Касселс Д. Введение в геометрию чисел. М.: Мир, 1965. Литература 100

22. Колмогоров А. Н., Фомин В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968.

23. Коробов Н. М. Приближенное вычисление кратных интегралов с помощью методов теории чисел / / ДАН СССР. 1957. N 6. 1062-1065.

24. Коробов Н. М. Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов / / Вести. Моск. ун-та, 1959. N 4. 19-25.

25. Коробов Н. М. О некоторых теоретико-числовых методах приближенного вычисления кратных интегралов. Резюме докл. на заседании Моск. мат. об-ва. / / УМН. 1959. Т. 14. Вып. 2 (86). 227-230.

26. Коробов Н. М. О приближенном вычислении кратных интегралов / / ДАН СССР. 1959. Т. 124, N 6. 1207-1210.

27. Коробов Н. М. Свойства и вычисление оптимальных коэффициентов / / ДАН СССР 132. 1960. N5. 1009-1012.

28. Коробов Н. М. О применении теоретико-числовых сеток / / Вычислительные методы и программирование: Сб. Моск. ун-т. 1962. 80-102.

29. Коробов Н. М. О теоретико-числовых методах в приближенном анализе / / Вопросы вычислительной математики и вычислительной техники. М.: Машгиз. 1963.

30. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963.

31. Коробов Н. М. О некоторых вопросах теории диофаптовых приближений / / УМН. 1967. Т. 22, 3 (135). 83-118.

32. Коробов Н. М. О вычислении оптимальных коэффициентов / / ДАН СССР. 267. 1982. N2. 289-292.

33. Davenport Н. Note on irregularities of distribution, / / Mathematika. 3. 1956. P. 131-135.

34. Faure H. Discrepance de suites associees a un systeme denumeration (en dimention s) / / Acta Arith. 41. 1982. P. 337-351.

35. Halton J. H. On the effeciency of certain guasirandom secuencis of points in evaluating multidimensional integrals / / Numerische Math. 2. 1960. N 2. P. 84-90.

36. Hammersley J. M. Monte-Carlo methods for sobving multivariable problems / / Proc. N 4. Acad. Sci. 1960.

37. Hua Loo Keng. Applications of Number Theory to Numerical Analysis, - Springer-Verlag Berlin, 1981.

38. Proinov P., Atanassov E. On the distibution of the van der Corput generalized sequences / / C.r.Acad.Sci.Ser.l. 1988. N 18 (307). P. 895-900.

39. Proinov P., Grozdanov V. S. Symmetrization of the van der Corput- Halton sequence / / Докл. Волг. АН. 1987. N 8 (40). 5-8.

40. Roth К. F. On irregularities of distribution / / Mathematika. 1. 1954, P. 73-79.

41. Roth K. F. On irregularities of distribution - IV, / / Acta Arithm. 37. 1980. P. 65-75.

42. Schmidt Wolfgang M. Irregularities of distribution - VII, / / Acfa Arithm. 21. 1972. P. 45-50.

43. Schmidt Wolfgang M., Irregularities of distribution - X / / Number Theory and Algebra (H.Zassenhaus ed.) New York: Academic Press. 1977. P. 311-329.

44. Weyl H. ijber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins. / / Math. Ann. 1916. Bd. 77. S. 313-352 (пер. в кн.: Вейль Г. Математика. Теоретическая физика. М.: Наука, 1984) Литература 103

45. Вронская Г. Т. О квадратичном отклонении плоских сеток Хэм- мерсли / / Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 9. Вып. 1. Тула, 2003. 23-62.

46. Вронская Г. Т., Добровольский Н. М. О двумерных сетках Воронина / / Чебышевский сборник 2004 Т. 5. Вып. 1(9). Тула, Из-во ТГПУ им. Л.Н.Толстого. 74-86.

47. Вронская Г. Т., Добровольский Н. М., Родионова О. В. Сравнения суммы и произведения / / Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 8. Вып. 1. Тула, 2002. 10-28.

48. Вронская Г. Т., Добровольский Н. М., Родионова О. В. Сравнения суммы и произведения (доклады)// Материалы всероссийской конференции "Современные проблемы математики, механики и информатики "ТулГУ. Тула 2002