Пространство решеток и функции на нем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Реброва, Ирина Юрьевна

• Реброва, Ирина Юрьевна
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Реброва, Ирина Юрьевна

Предисловие.

Введение.

Глава 1. Пространство решеток

§1. Лучевые функции, звездные тела и нормы.

§2. Операторные нормы матриц.

§3. Метрики на пространстве решеток и полнота пространства решеток.

§4. Алгоритм вычисления расстояния между двумя целочисленными решетками.

Глава 2. Количество точек сдвинутой решетки в гиперболических звездных телах

§5. Объемы гиперболических звездных тел.

§6. Асимптотическая формула для числа точек сдвинутой решетки в гиперболическом кресте

§7. Асимптотическая формула для числа точек сдвинутой решетки в гиперболической звезде.

§8. Асимптотическая формула для числа точек сдвинутой решетки в модифицированном гиперболическом кресте.

Глава 3. Непрерывность обобщенной гиперболической дзета — функции решеток и ее аналитическое продолжение

§9. Обобщенная гиперболическая дзета - функция решеток как ряд Дирихле.

§10. Непрерывность обобщенной гиперболической дзета - функции решеток.

§11. Аналитическое продолжение обобщенной гиперболической дзета - функции для целочисленных и рациональных решеток.

Глава 4. Рекурсивные алгоритмы для решеток

§12. Простейшие свойства гиперболического параметра.

§13. Гиперболический параметр двумерной решетки

§14. Линейные порядки на целочисленном гиперболическом кресте.

§15. Рекурсивный алгоритм.

Глава 5. Пространства сеток и некоторые пространства периодических функций

§16. Сетки, классы функций и квадратурные формулы.

§17. Линейное пространство и алгебра сеток с весами.

§18. Нормированное пространство сеток с весами

§19. Образ пространства сеток свесами в сопряженном пространстве AF*.

§20. Метрическое пространство сеток.

§21. Нормированная алгебра сеток с весами

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Пространство решеток и функции на нем»

Работа посвящена изучению аналитических и алгоритмических проблем геометрии чисел и приложениям теории чисел к вопросам приближенного анализа. Рассматриваются структуры метрического пространства на множестве решеток, изучаются аналитические свойства обобщенной гиперболической дзета - функции решеток с помощью вывода асимптотической формулы для числа точек сдвинутой решетки в гиперболических звездных телах, строятся алгоритмы вычисления гиперболического параметра решеток, предлагаются конструкции нормированного пространства и нормированной алгебры на множестве сеток с весами.

Нумерация параграфов общая для всей работы. Определения, леммы, формулы и доказываемые в работе теоремы нумеруются двумя числами, первое из которых — номер главы. Теоремы, приводимые без доказательства, обозначаются буквой. Нумерация констант С (Л) единая для всей работы. Когда формулы переносятся на следующую строку, знак дублируется в начале каждой строки.

Цель работы

1. Рассмотреть различные способы задания метрики на множестве решеток.

2. Получить асимптотические формулы для количества точек сдвинутой решетки в гиперболическом звездном теле.

3. Получить аналитическое продолжение для обобщенной гиперболической дзета - функции целочисленной и рациональной решеток.

4. Построить и обосновать рекурсивный алгоритм вычисления гиперболического параметра решетки. 5

5. Построить нормированные пространство и алгебру сеток с весами и метрическое пространство сеток.

6. Выразить норму линейного функционала погрешности приближенного вычисления коэффициентов Фурье на классе Е" через обобщенную гиперболическую дзета - функцию целочисленной решетки.

Объем работы

Диссертация состоит из предисловия, введения, пяти глав, 21 параграфа, списка литературы из 55 наименований и приложений.

Публикации

Основное содержание диссертации отражено в 4 публикациях.

Апробация

Результаты работы докладывались на III - й Международной конференции "Современные проблемы теории чисел" (Тула, 1996), Международной конференции "Теория приближений и гармонический анализ" (Тула, 1998), теоретико - числовом семинаре под руководством кандидата физ.- мат. наук Н. М. Добровольского в ТГПУ им. Л. Н. Толстого, теоретико - числовом семинаре под руководством доктора физ.- мат. наук Д. А. Митькина в МПГУ, семинаре под руководством доктора физ.-мат. наук В. И. Иванова в ТулГУ.

Автор выражает глубокую благодарность научным руководителям доктору физико - математических наук, профессору В. И. Нечаеву и кандидату физико - математических наук, доценту Н. М. Добровольскому за руководство и помощь при работе над диссертацией, доктору физико - математических наук, профессору Д. А. Митькину за внимание, полезные советы и обсуждение работы. 6

Введение

Актуальность темы

Центральное понятие геометрии чисел - решетка - позволяет на единообразном языке обсуждать разные вопросы теории чисел. Так, например, решеткой является множество A(ai,. ., as; N) решений линейного сравнения а\ • х\ + . + as • xs = 0 (mod N), (1) а также множество всех целых алгебраических чисел чисто вещественного расширения К степени s поля рациональных чисел Q

А{к) = {(в(1),.,e(s)) | (2) где ZK — кольцо целых алгебраических чисел поля К, и система алгебраически сопряженных чисел.

Как известно (см. [3], стр. 117), общее определение теоретико - числовой решетки в геометрии чисел следующее.

Пусть Ai,.,ATO, т < s — линейно независимая система векторов вещественного арифметического пространства Rs. Совокупность Л всех векторов вида aiAi + . + где a,j независимо друг от друга пробегают все целые рациональные числа, называется т - мерной решеткой в Rs, а сами векторы Ai,., Ага базисом этой решетки. Если т = s, то решетка называется полной, в противном случае — неполной. Так как в этой работе рассматриваются только полные решетки, то, следуя традиции многих изложений (см. [23]), для краткости будем говорить просто о решетках, опуская слово полная. 7

Множество всех 5 - мерных полных решеток из будем обозначать через РЯ,8

На формирование геометрии чисел как самостоятельного раздела теории чисел огромное влияние оказали два выдающихся математика родившихся в России в 60 - ых годах XIX столетия — Г. Минковский и Г. Ф. Вороной.

Основатель геометрии чисел, Герман Минковский, родился 22 июня 1864 года в местечке Алексоты Минской губернии. С 1893 года он профессор университета в Бонне, а с 1894 — в Кенигсберге. Минковский впервые употребил геометрические методы для решения трудных вопросов теории чисел (см. [29]). От геометрии чисел Минковский перешел к работам по теории многогранников и геометрии выпуклых тел (теорема Минковского 1896 г.), где им были получены важные результаты. В частности, доказательство теоремы Дирихле о строении группы единиц конечного расширения поля рациональных чисел существенно упрощается при использовании понятия решетка и теоремы Минковского о выпуклом теле.

Одновременно и независимо от Минковского геометрию чисел разрабатывал Георгий Феодосьевич Вороной. Он родился 28 апреля 1868 года в селе Журавка Черниговской области. С 1907 года Г. Ф. Вороной был членом - корреспондентом Петербургской АН. Его работа " Об одной задаче из теории асимптотических функций " стимулировала развитие современной аналитической теории чисел. В этой работе Г. Ф. Вороной сделал существенное продвижение в проблеме делителей Дирихле, которая на геометрическом языке формулируется как проблема о количестве целых точек под гиперболой х-у = N. Продолжая традиции Петербургской школы теории чисел, Вороной занимался теорией алгебраических чисел, в которой успешно развивал геометрические методы в алебраиче8 ском изложении. Вместо в - мерной решетки он рассматривал систему из й линейных форм от 5 целочисленных переменных.

Работы Г. Минковского и Г. Ф. Вороного дополняют друг друга и являются фундаментом в развитии геометрии чисел.

Важные результаты по теории чисел и геометрии чисел были получены Борисом Николаевичем Делоне ([12]). Основные его труды в этой области относятся к теории неопределенных уравнений 3-й степени с двумя неизвестными, а по геометрии — к теории правильного разбиения пространства, теории приведения квадратичных форм, теории решетчатых покрытий пространства сферами. В более позднее время геометрией чисел занимались Дмитрий Константинович Фаддеев, Александр Васильевич Малышев, Борис Фадеевич Скубенко и другие Российские математики.

Многие задачи геометрии чисел формулируются в терминах сдвинутых решеток, то есть множеств вида Л + х, где Л — решетка, ах — произвольный вектор (точка) из и нормы N(00) = \х\ • . • х8\.

Так знаменитая неоднородная гипотеза Минковского состоит в том, что в пространстве В71 для любой унимодулярной решетки Л и любой точки х сдвинутая решетка Л + х содержит точку у — (?/!,.,?/„), для которой

М = Лг (у) < 2~п.

Гипотеза Минковского была доказана для п = 2 (Минковский), п = 3 (Ремак, 1923 - 24), п = 4 (Дайсон, 1948). Для п > 4 имеется оценка Н. Г. Чеботарева (1934)

М < 2~п/2.

Эта оценка несколько раз уточнялась; лучший результат был получен 9

Бомбьери (1963):

М < (3 + 10~А)г]п ■ 2~п/2 для п > п0, где г]п —> (2е — 1) 1 при п —> оо.

В середине 60 - х гг. Б. Ф. Скубенко заинтересовался этой знаменитой гипотезой Минковского и в 1972 г. доказал её для п = 5, что по оценке специалистов явилось математической сенсацией. Для доказательства Борис Фадеевич разработал новый метод в геометрии чисел ("метод паруса"), который позволил ему доказать гипотезу Минковского сразу для всех п < 5 (см. [40]).

Через несколько лет Б. Ф. Скубенко рассмотрел гипотезу Минковского для больших п ([41]) и получил оценку значительно усиливающую результат Бомбьери.

Среди целого ряда других результатов Б. Ф. Скубенко по геометрии чисел важное значение для приложений теории чисел имеют теоремы переноса, в которых речь идет о связи неоднородных и однородных минимумов унимодулярной решетки, а также теоремы изоляции для алгебраических решеток [43], то есть решеток, подобных решеткам вида (2). Очень интересные работы Б. Ф. Скубенко [44], [45] были посвящены исследованию норменного минимума решетки, то есть величины N(A). В этих работах особую роль играет метрическая структура пространства решеток, критерий компактности Малера и дальнейшее развитие метода паруса. Позднее эти идеи, а также смежные вопросы, нашли отражение в работах М. М. Скриганова [33] - [39].

10

Для произвольной решетки Л £ PRS норменным минимумом ([1]) называется величина inf N(x). (3) ж£Л\{0}

Иногда дают другое определение N'(Л) = N(A)/detA, [27].)

С норменным минимумом тесно связан усеченный норменный минимум или гиперболический параметр решетки, так называется величина

15]) q(A) — min q(x), (4) яел\{о} которая имеет простой геометрический смысл : гиперболический крест К(Т) не содержит ненулевых точек решетки Л при Т < q(A). Гиперболическим крестом называется область

К(Т) = {£ | q(x) < Г}, (5) где q{x) = х\ • . • xs — усеченная норма ж, и для вещественного х обозначаем х = тах(1, |ж|), ([26], 1963).

Так как тах(1,N{x)) < q(x), то max(l,iV(A)) < g(Л) для любой решетки Л, а из теоремы Минковского о выпуклом теле следует, что д(А) < max(detA, 1).

В 1957 - 1959 годах вышли первые работы [24], [25] Н. М. Коробова, в которых были применены методы теории чисел к вопросам численного интегрирования кратных интегралов. Выделение класса периодических функций позволило для оценки погрешности приближенного интегрирования использовать методы гармонического анализа и теорию тригонометрических сумм, важный раздел аналитической теории чисел.

Первые результаты по применению теоретико - числовых сеток для вычисления интегралов произвольной кратности были получены в работе [24] для периодических функций, разлагающихся в абсолютно

11 сходящийся ряд Фурье. В этих работах Н. М. Коробова в связи с изучением погрешности приближенного интегрирования для квадратурных формул с параллелепипедальными сетками на классе Е* периодических функций с быстросходящимися коэффициентами Фурье (см. [25]), наверное, впервые встречается частный случай гиперболической дзета - функции решетки для вещественного а > 1 и решетки А = А(аь.,а5;Ж): , N рз SN(ai ■ mi + • • • + as ■ ms) СнЩа) = E -7=--—-mi,.,ms=—oo v^l ' • • • ' f^s)

6) где

SN(m) =

1 при m = 0 (mod TV), О при m ф 0 (mod N), и (a,j,N) = 1 (j = 1 ,.,s). При этих условиях detA = N. Здесь и далее означает, что суммирование проводится по всем ненулевым точкам.

Гиперболическая дзета - функция вида (6) встречается в работах многих исследователей. В частности, Н. С. Бахвалов ([2], 1959) доказал оценку

Ся(АИ < lng(A) + 1) s—1 яЩ а

7)

Н. М. Коробов ([25], 1959) показал, что для таких решеток / * | \ IIIе-1 det Л с"(Л|а) » 1ВДГ при любом выборе целых а\,., а8, взаимнопростых с N.

Были построены алгоритмы нахождения . ,а8 таких, что

8)

Ся(Л|а) <С lnsa det Л (det Л)а

Н. М. Коробов, 1960), н(А\а) —(d tA)a— ^ ^axBajlOB' Коробов).

9) (10)

12

В общем виде гиперболическая дзета - функция решеток встречается в работах К. К. Фролова [47], [48]. В кандидатской диссертации [47] К. К. Фролов показал, что для любого а > 1 и произвольной 5 -мерной решетки Л ряд

• . • х8уа хеА сходится абсолютно.

Рассмотрев алгебраическую решетку вида (2), К. К. Фролов показал, что при I > 1 для решетки Л(£,А) = ¿Л(АГ) с сЫ;Л(£, А") — tsdetA(K) справедлива оценка

Развитие метода К. К. Фролова содержится в работах [4], [5] В. А. Быковского и работах [15], [16], [17] П. М. Добровольского.

Термин "гиперболическая дзета - функция решетки" был введен Н. М. Добровольским в работах [15], [16], в которых получены нижние оценки для гиперболической дзета - функции произвольной в -мерной решетки н(А\а) > С\(а, в)^ Л)-1 при 0 < ск^ Л < 1,

Ся(Л|а) > ^(а^^Л^Ьг'-^Л при сЫЛ>1, (12) где С\(а, в), С2(сх, я) > 0 — константы, зависящие только от а и 5, доказана верхняя оценка для гиперболической дзета - функции 5 - мерной решетки

Ся(ЛН <С3(а,5)С!(ЛГ при д(Л) = 1, Ся(Л|а) <С4(«,5)д-а(Л)(1п^(Л) + 1)5-1 при д(А) > 1. (13)

13

Эта теорема является обобщением теоремы Н. С. Бахвалова, то есть обобщением неравенства (7). Из оценки (13) получены различные следствия. В частности, из нее автоматически следует результат К. К. Фролова (11), так как гиперболический параметр д(А^,К)) = при I > 1.

Также Н. М. Добровольским доказана теорема: для любой целочисленной решетки А и натурального п справедливо представление

Ся(Л|2п) = —1 + (сЫ,Л)-1 £ (14) где В2П(х) — полином Бернулли порядка 2п и М(А) — обобщенная параллелепипедальная сетка решетки А. Эта теорема указывает на аналогию между гиперболической дзета - функцией решетки и дзета - функцией Римана, для которой

С(2 п) = (-1) п-1

7Г

2 „)!

-В

2 п.

Для гиперболической дзета - функции решетки А {Ь,К) Добровольским Н. М., Ваньковой В. С., Козловой С. Л. ([18]) была получена асимптотическая формула хи К)Ь) 2 • (^ЬА(К)Г (г 1 Ь-1 ¿еЬА(^К) <н№К)\а) - пЛз1)1 Е^р

1п*~2 ае! Л(£,К)' 0

15) где Я — регулятор поля К ([7]) и в сумме Е(«,) |дг(ц,)|« суммирование проводится по всем главным идеалам кольца Zк^

Гиперболической дзета - функцией (#(Л|а?) решетки Л ([16]) для комплексного аргумента а называется функция, задаваемая в правой

14 полуплоскости а — а + it (а > 1) абсолютно сходящимся рядом х£А

16)

По теореме Абеля ([51], с. 106) гиперболическую дзета - функцию решеток можно представить в следующем интегральном виде

Ся(Л| a) = aj ,

17) где 1)(Т|Л) — количество ненулевых точек решетки Л в гиперболическом кресте К(Т).

Прежде всего заметим, что гиперболическая дзета - функция решеток является рядом Дирихле. Действительно, дадим несколько определений и обозначений.

Норменным спектром решетки Л называется множество значений нормы на ненулевых точках решетки Л:

Nsp{Л) = {Л | Л = iV(£), £ G Л\{б}}.

18)

Соответственно, усеченным норменным спектром решетки Л — множество значений усеченной нормы на ненулевых точках решетки:

Qsp(A) = {Л | Л = q(x), х ел\{б}}.

19

Усеченный норменный спектр является дискретным числовым множеством, т.е.

QSJЛ) = {Ai < Л2 < . < Хк < ■ ■ ■} и lim \к = оо. к—^оо

Очевидно, что

N(A)= inf Л, q( Л) = min А = Аь

15

Порядком точки спектра называется количество точек решетки с заданным значением нормы. Если таких точек решетки бесконечно много, то говорят, что точка спектра имеет бесконечный порядок. Порядок точки Л норменного спектра обозначается через п(А), а порядок точки Л усеченного норменного спектра, соответственно, <?(А).

Из дискретности усеченного норменного спектра вытекает, что гиперболическую дзета - функцию произвольной решетки Л можно представить как ряд Дирихле: оо

Ся(ЛИ - . .х8)-° = Е д(х)~а = £ д(\к)\ь° = £ д(А)А"а. хеА хеА к=1 л еС}ар(А)

20)

Так как £>(Т|Л) = 0 при Т < ?(Л), то я(Л|а) = «7^ (21,

Л)

Из равенства (20) следует, что для любого комплексного а = а + И в правой полуплоскости (а > 1) определена регулярная функция комплексного переменного, заданная рядом (16), и справедливо неравенство

Ся(ЛИ|<С(ЛИ. (22)

Возникает естественный вопрос о продолжении для произвольной решетки Л гиперболической дзета - функции решетки С#(Л|а;) на всю комплексную плоскость. В работах [19], [53], эти вопросы исследовались для PZS — множества всех целочисленных решеток, Р(^8 — множества всех рациональных решеток, РП3 — множества всех решеток с диагональными матрицами. Доказано, что для любой целочисленной решетки Л Е гиперболическая дзета - функция £#(Л|а) является регулярной функцией во всей а - плоскости, за исключением точки а = 1, в которой она имеет полюс порядка я.

16

Для любой решетки Л £ PQS гиперболическая дзета - функция (#(A|cy) является регулярной аналитической функцией во всей а - плоскости, за исключением точки а = 1, в которой она имеет полюс порядка s.

Изучено поведение гиперболической дзета - функции решеток на пространстве решеток. В частности, установлено что, если последовательность решеток {Лп} сходится к решетке Л, то последовательность гиперболических дзета - функций решеток (н(Ап\а) равномерно сходится к гиперболической дзета - функции решетки (#(Л|а?) в любой полуплоскости сг > его > 1.

Другой результат такого типа формулируется следующим образом. Для любой точки а из а - плоскости, кроме точки а = 1, найдется окрестность \а — ß\ < 5 такая, что для любой решетки Л = A(dh.,ds) ePDs hmA(H(M\ß) = (H(A\ß), причем эта сходимость равномерна в окрестности точки cv.

Получение этих результатов существенно опирается на асимптотическую формулу для числа точек произвольной решетки в гиперболическом кресте.

В случае целочисленной решетки A — Zs вопрос о величине D{T |Л) тесно связан с проблемой делителей Дирихле.

Пусть D(N) = T,i<xy<N^ = Ип=\т{п)- Хорошо известен результат Дирихле

D(N) = N\nN + (27 - 1 )N + 0{VN), (23) где 7 — константа Эйлера.

Для А — Z2 мы получаем связь с теоремой Дирихле ([51], с.73). Количество точек решетки Z2 в гиперболическом кресте выражается

17 через сумматорную функцию для числа делителей

В(г\г2) = 4М + 4£>(*). (24)

В случае Л = Zs мы получаем связь с многомерной проблемой делителей Дирихле ([7], с .117): в(1\г8) = ±фквк(г), (25) к=1 где п<Л

Л. Дирихле ([14]) был рассмотрен вопрос о поведении среднего значения функции Тк(п) и получена асимптотическая формула. Проблемой уточнения остаточного члена для числа точек решетки Л = ¿у^, в = 2,3,. занимались Вороной, Ландау, Харди и Литтлвуд, Хис - Браун, Рихер, Ивич, Карацуба, Пантелеева и др. ([б], [26]).

Наряду с классическим направлением уточнения теоремы Дирихле для решетки А = Zs возникает естественный вопрос об обобщении теоремы Дирихле на случай произвольной решетки А. Этими вопросами занималась А. Л. Рощеня в работах [30], [31], [32].

Серия важных работ по применению теории дивизоров для поиска оптимальных коэффициентов для параллелепипедальных сеток принадлежит С. М. Воронину и Н. Тимергалиеву (см. [8], [9], [10], [46]). Фактически в этих работах указаны алгоритмы поиска целочисленных решеток с большим значением гиперболического параметра решетки.

Краткое содержание и основные результаты работы

В §1 первой главы рассматривается вопрос о связи лучевой функции

18

F(x) (см. с. 28) с другими аналитическими определениями звездных тел (см. с. 29).

Пусть Mq(c) — множество непрерывных, невырожденных, строго монотонно возрастающих функций f(x) (точное определение см. с. 31). Для точечного множества

Tf,a = {х | /(я) < а}, определенного при а > с и f(x) £ Mo (с), доказаны следующие теоремы: Теорема 1.1 При а > с и f{x) £ А/о (с) точечное множество TftU является ограниченным звездным телом.

Теорема 1.2 Лучевая функция F{x) ограниченного звездного тела Tf)(1 при f(x) £ Mo (с), а > с задается равенством

F(x) =

О при х = 0.

Далее приводятся примеры гиперболических звездных тел, для которых удается выразить лучевую функцию Г(х) в явном виде.

В §2 рассматриваются нормы, которые необходимы для одного из способов задания метрики. Два неэквивалентных способа задания метрики приведены в §3. Доказано, что относительно одного из них пространство решеток является полным, а относительно другого — неполным дискретным пространством.

Теорема 1.4 Для любого а > 1 и любого Ъ £ Л5 ¿(А1, Л2) — метрика на пространстве РЯ3.

Теорема 1.5 Для любого а > 1 пространство РЛ8 относительно метрики ра о (Ах, Л2) — неполное пространство изолированных точек.

Теорема 1.6 Относительно метрики р(АьЛг) пространство РЯ8 — полное метрическое пространство.

19

Вторая глава посвящена вопросу о количестве точек сдвинутой ре—* шетки Л + Ь в гиперболических звездных телах к8 (Т), П1 (т, 3), п2 (Г, ¿5, (<г > 0).

Для получения асимптотической формулы в этих трех случаях используется один и тот же метод.

Количество точек сдвинутой решетки Л + Ъ в звездном гиперболическом теле выражается через количество точек решетки Zs в некоторых областях, получающихся с помощью замены переменных, а затем с помощью покрытия каждой целой точки из такой области единичной 5 - мерной областью вопрос о количестве точек сводится к вычислению объема достаточно сложного тела.

В §5 получены формулы для вычисления объемов гиперболических звездных тел. Доказана теорема.

Теорема 2.1 Пусть а > 0, тогда для объемов гиперболических звездных тел справедливы соотношения:

У(П 1(Т,а)) = 0 при 0 < Т < Щ • . • а8,

Т • 2* Е1 ¿(1пТ - 1па\ ■ . • а^^^ГСЦ^^а^аи .,а8) п=О га=0 при Т >а\ ■ . • а8.

У(К*(Т)) =

0 при 0 < Т < 1,

5-1

2* Е

Т1п" Г п\

1 при Т > 1.

У(П2(Т,3))

72=0

0 при 0 < Т < 1,

5—1 ГТЛЛ п ГГЛ 5—1—71

Га8{аь.,а8)+2В Е„ ^ Е С^-^К . ,ав) п=0 к=0 при Т > 1.

20

В §6 получена асимптотическая формула для количества точек сдвинутой решетки Л + Ь в гиперболическом кресте К8(Т). Доказана следующая теорема

Теорема 2.2 Для любой решетки Л и для любого вектора Ь при Т > 3 справедливо асимптотическое равенство

О вир Т „ ^ — 1 гр

В{-Т I Л+= МЩ - ^ + ¿¡»л •(т-л>' г де

Д1 (Т, Л) = е3 • Т Т • П (я; + 2) + 64 • а! • . • а8

3=1 и

-е<63<1, |В4| < 1.

Вывод асимптотической формулы для количества точек сдвинутой решетки Л + Ь в гиперболической звезде П^Т, с?) проходит по той же схеме, что и для гиперболического креста, но с принципиальным отличием.

При получении оценки сверху может оказаться, что объемлющее тело будет либо гиперболической звездой, либо гиперболическим крестом, либо модифицированным гиперболическим крестом, в то время как вложенное тело — только гиперболической звездой. Поэтому для остаточного члена в асимптотической формуле получаем три различные оценки сверху.

Теорема 2.3 Для любой решетки Л и для любого вектора Ь £ В? при й> 0 и Т > 3 справедливы асимптотические равенства:

28Т\п8~1Т

1(Т,Сг|Л + 6) = -5А(6) + я -1)! аегл"

21 еЬА где

-е • ах + <¿1 •. •. • ав + е2в • Т 1п5~2 Т к

- ах) ■ . • - ав) + е • (¿1 - сц) • . ггр« а + 1 < с?, 25-1Т1п«-2т а < ¿Т< а + 1, 1 п;=1 И, - + 2 - + 2)J ть^т б остальных случаях.

В §8 получена асимптотическая формула для количества точек сдвинутой решетки Л + Ь в модифицированном гиперболическом кресте П2(Т, с?). Для вывода используется та же схема, что и для гиперболического креста и гиперболической звезды. Отличие состоит лишь в том, что объемлющее тело будет только модифицированным гиперболическим крестом, а вложенным телом будет либо гиперболическая звезда, либо гиперболический крест, либо модифицированный гиперболический крест. В этом случае остаточный член в асимптотической формуле имеет три различные оценки снизу.

Теорема 2.4 Для любой решетки А и для любого вектора Ъ Е Яв —> —>. при с1 > 0 и Т > 3 справедливы асимптотические равенства:

28Т\п*-1Т

02{Т,с1\А + Ъ) = -5А{Ъ) + з - 1)! сЫ;Л с!е1;Л

22 где + + + ^ + + Т1пв~2Т,

Д2(тДл,6) > (Л \ (а \ ■ -!) + №- ах) + ••• + (4 - а8) 82гг {¿х - сц) ■ . • (й8 - а8) Л-- ^-ТЫ Т при а < д,

Т1п8~2Г при а = 1 " 2)!

1)^1 — а\ • . • д8 — а8 — е • й\ — а\ ■ . • ¿8 — а8 • Т 1пв~2 Т в остальных случаях.

В третьей главе доказывается непрерывность обобщенной гиперболической дзета - функции решеток и строится аналитическое продолжение обобщенной гиперболической дзета - функции для целочисленных и рациональных решеток. Доказываются следующие теоремы

Теорема 3.1 Для любого а = о + И в правой полуплоскости ряд Дирихле (н (Л | а, Ь) абсолютно сходится и в полуплоскости а > сто > 1 равномерно сходится.

Теорема 3.2 Если последовательность решеток {Лп} сходится к решетке А, то для любого вектора Ъ последовательность обобщенных гиперболических дзета - функций решеток (н(Ап\а,Ь) равномерно сходится к обобщенной гиперболической дзета - функции решетки £#(Л|а, Ь) в любой полуплоскости а > а о > 1.

Теорема 3.3 Для любого вектора Ь 6 -К5 и любой целочисленной решетки А Е PZS обобщенная гиперболическая дзета - функция (#(Л|а, Ъ) является регулярной функцией во всей а - плоскости, за исключением точки а = 1, в которой она имеет полюс порядка в.

23

Теорема 3.4 Для любого вектора Ъ Е Rs и любой решетки A Е PQS обобщенная гиперболическая дзета - функция £д(А\а,Ь) является регулярной функцией во всей а - плоскости, за исключением точки а = 1, в которой она имеет полюс порядка s.

Задача о вычислении гиперболического параметра q(A) решетки Л рассматривается в четвертой главе. Параграф 12 посвящен изучению простейших свойств гиперболического параметра, далее в §13 доказывается теорема

Теорема 4.1 Для решетки А решений сравнения х + а ■ у = 0 (mod N) справедливо равенство q(A) = min где N

Qk 1 k = 0,., п — 1

Qk + 1

Oik+1 = qk+2 + qk+з + i

-i + ÍT

В §15 построен рекурсивный алгоритм для вычисления гиперболического параметра решетки решений сравнения xq + х\ ■ а\ + . + • as-i + d = 0 (mod N).

Пятая глава посвящена рассмотрению применения теоретико - числовых подходов к вопросам приближенного вычисления линейных

24 функционалов на некоторых пространствах периодических функций многих переменных.

В параграфе 16 даются необходимые определения и обозначения, связанные с классами функций, сетками и квадратурными формулами, а также в конце §16 рассматривается вопрос о приближенном вычислении коэффициента Фурье с помощью квадратурной формулы с параллелепипедальными сетками где Длг,т[/] — линейный функционал погрешности приближенного вычисления коэффициента Фурье с(га). Установлена связь между нормой линейного функционала погрешности Даг;Гй[/] на классе и обобщенной гиперболической дзета - функцией решетки. Справедлив следующий результат

Теорема 5.1 Для нормы линейного функционала погрешности Длг,т[/] справедливо равенство 1 о о

ЯлГ,га[/]|к° = ^Р |ДлГ,т[/]| лг,»й[/]|к° = + Ся(Л I а,т) - (тг • . • т8) а,

Л = А(ах,., а5, ./V) — решетка решений сравнения а\ • х\ + . + а3 • х8 = 0 (тос! Ж)

25 и

Ся(Л | а, га) = Е' (Х1 + Ш1 ' • • • • х8 + тзуа хеА обобщенная гиперболическая дзета - функция решетки Л.

Семнадцатый параграф посвящен построению структур линейного пространства и алгебры на множестве всех сеток с весами. Показано, что множество всех сеток с весами ЕТ-^д (см. с. 123) является коммутативной алгеброй с единицей над полем К, где К — поле действительных или комплексных чисел.

Так как каждой сетке с весами (X, р) можно поставить в соответствие линейный функционал М

9х,р(}{х)) = Е

3=1 на некотором функциональном пространстве V, то определено вложение пространства ТУ8д сеток с весами в сопряженное пространство V*. В параграфе 18 рассматривается случай V = АР8 (см. с. 136). Исходя из нормы на АР3, получаем норму на АР* и как следствие индуцированную норму на Доказан следующий результат

Теорема 5.3 оо ш=—оо м

Е Рз(

3 = 1

2тгг(то,ж;)

В параграфе 19 более детально изучается образ пространства сеток с весами в сопряженном пространстве АР* и, в частности, конструктивно доказывается, что — сепарабельное пространство. Структура нормированного пространства сеток с весами позволяет на пространстве сеток задать структуру метрического пространства.

26

Для частного случая параллелепипедальных сеток доказана важная для первой главы теорема о расстоянии между двумя параллелепипе-дальными сетками.

Теорема 5.5 Для произвольных параллелепипедальных сеток

-■} U

Ml liVi iVi

00

Pf(X, Xi) = J2 F(m) ■ 5N(mQ + ai ■ mx + . + as! • msi) + m——00

00 Yl F(rh) •5Nl(rn0 + bi-m1 +. + bsi-msi)m=—00

00

2 £ F{m) • 5N(m0 + a\ • mi + . + asx • mei) x

DO x 6Nl(mQ + bi • mi + . + bsi ■ msi). m=—oo

В заключении пятой главы рассматривается структура нормированной алгебры сеток с весами. Доказана важная теорема о системе тригонометрических сумм m

T(m, р) = Ypje2^'^ j=1 сетки (X, р) с весами

Теорема 5.7 Если (Х,р) — ненулевая сетка, то найдется rh Е Zs такое, что Т(т,р) ф О, из которой выводится следующий результат о вложении алгебры ТУ8д в алгебру линейных операторов L(AFsj{, AFsj{)

Теорема 5.8 Если D(F) = Zs, то отображение (X, р) —»■ G^x^ алгебры ЕУ5д в алгебру L(AFStK, AFsj<) является вложением.

27

Интересен результат о норме оператора сеточной свертки

Теорема 5.10 Норма оператора сеточной свертки вычисляется по формуле а>Н1 = SUP \Т(т,р)\. rhed(f)

Новизна результатов

1. Предложена новая дискретная метрика на пространстве решеток.

2. Получены асимптотические формулы для числа точек сдвинутой произвольной s - мерной решетки в гиперболических звездных телах.

3. Построено аналитическое продолжение обобщенной гиперболической дзета - функции целочисленных и рациональных решеток на всю комплексную плоскость.

4. Доказана теорема о непрерывности обобщенной гиперболической дзета - функции решеток как функции от решеток.

5. Построен рекурсивный алгоритм вычисления гиперболического параметра решетки решений линейного сравнения от s переменных.

6. Предложены конструкции нормированного пространства сеток с весами и нормированной алгебры сеток с весами.

Все результаты работы являются новыми.

28

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Реброва, Ирина Юрьевна, 1999 год

1. Акрамов У.А. Теорема изоляции для форм, отвечающих чисто вещественным алгебраическим полям,— В кн.: Аналитическая теория чисел и теория функций. 10. Зап. научн. семин. ЛОМИ 185 (1990), 5-12.

2. Бахвалов Н.С. О приближенном вычислении кратных интегралов // Вести. МГУ, 1959 N 4 с. 2 18.

3. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. М.: Наука, 1985.

4. Быковский В.А. О правильном порядке погрешности оптимальных кубатурных формул в пространствах с доминирующей производной и квадратичных отклонениях сеток // Препринт. Владивосток. 1985.

5. Быковский В.А. Экстремальные кубатурные формулы для анизотропных классов // Препринт. Хабаровск. 1995, с. 1 13.

6. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1981.

7. Воронин С.М., Карацуба A.A. Дзета функция Римана. М.: Физ-МатЛит, 1994.

8. Воронин С.М. О квадратурных формулах // Изв. РАН. Сер. матем. 1994. Т. 58. N 5, с. 189 194.

9. Воронин С.М. О построении квадратурных формул // Изв. РАН. Сер. матем. 1995. Т. 59. N 4.150

10. Воронин С.М., Темиргалиев Н. О квадратурных формулах, связанных с дивизорами поля гауссовых чисел // Матем. заметки, 1989, Т. 46, N 2, с. 34 41.

11. Вороной Г.Ф. Об одном обобщении алгорифма непрерывных дробей. — Соб. соч. в 3-х томах, Т. I. Киев, Изд во АН УССР, 1952, с. 197-391.

12. Делоне Б.Н., Фаддеев Д.К. Теория иррациональностей третьей степени. М.- Л., Труды МИАН, 1940, т. XI.

13. Делоне Б.Н. Петербургская школа теории чисел. М JL, Изд - во. АН СССР, 1947.

14. Dirichlet L. Uber die Bestimmung der mitteleren Werte in der Zahlentheorie // Abh. Akad. Berlin (Werke, 2, 49-66)-1849. Math. Abh., 69-83.

15. Добровольский H.M. Теоретико числовые сетки и их приложения: Дис. . канд. физ. - мат. наук. - Тула, 1984.

16. Добровольский Н.М. Гиперболическая дзета функция решеток. Деп. ВИНИТИ, N 6090-84.

17. Добровольский Н.М. О квадратурных формулах на классах Еf и Щ. Деп. ВИНИТИ, N 6091-84.

18. Добровольский Н.М., Ванькова B.C., Козлова C.JI. Гиперболическая дзета функция алгебраических решеток. Деп. ВИНИТИ, N 2327-390.151

19. Добровольский Н.М., Рощеня А.Л. О непрерывности гиперболической дзета функции решеток // Изв. Тул. гос. ун-та Сер. Математика. Механика. Информатика. Тула: ТулГУ, 1996, Т.2, Вып.1, С.77-87.

20. Добровольский Н.М., Родионова О.В. Квадратурные формулы с обобщенными параллелепипедальными сетками // Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Тула, 1996. Т.2.Вып.1, с. 71-77.

21. Добровольский Н.М., Манохин Е.В. Банаховы пространства периодических функций // Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Тула, 1998. Т.4. Вып.З, с. 56-67.

22. Добровольский Н.М., Рощеня А.Л. О числе точек решетки в гиперболическом кресте // Матем. заметки, 1998, Т.63. Вып.З, с.363-369.

23. Касселс Дж. Введение в геометрию чисел. М.: Мир, 1965.

24. Коробов Н.М. Приближенное вычисление кратных интегралов с помощью методов теории чисел // Докл. АН СССР, 1957. Т.115, N 6, с. 1062-1064.

25. Коробов Н.М. Приближенное вычисление кратных интегралов // Докл. АН СССР, 1959. Т.124. N 6, с. 1207-1210.

26. Коробов Н.М. Теоретико числовые методы в приближенном анализе. М.: Наука, 1963

27. Коробов Н.М. Тригонометрические суммы и их приложения. М.: Наука, 1989.152

28. Коробов Н.М. О теоретико числовых методах приближенного интегрирования // "Историко - матем. исследования". С.- Пб. 1994. Вып. XXXV. с. 285-301.

29. Minkowski Н. Geometrie der Zahlen. Leipzig Berlin, 1896.

30. Рощеня А.JI. Обобщение теоремы Дирихле о числе точек целочисленной решетки в гиперболическом кресте // Тезисы докладов III-й Межд. конф. "Современные проблемы теории чисел и ее приложения". Тула, 1996. С. 120.

31. Рощеня А.Л. Обобщение теоремы Дирихле о числе точек сдвинутой решетки под гиперболой х • у = N. Тула, 1996. Деп. в ВИНИТИ. N 2743-В-96.

32. Рощеня А.Л. Обобщение теоремы Дирихле о числе точек целочисленной решетки в гиперболическом кресте. Тула, 1997. Деп. в ВИНИТИ. N 2087-N-97.

33. Скриганов М.М. Решетки в полях алгебраических чисел и равномерные распределения по mod 1. Препринт ЛОМИ Р-12-88, Ленинград, 1988.

34. Скриганов М.М. Равномерные распределения и геометрия чисел. Препринт ЛОМИ Р-6-91, Ленинград, 1991.

35. Skriganov М.М. On integer points in polygons, Ann. Inst. Fourier, 43, No. 2 (1993), 313-323.

36. Skriganov M.M. Constructions of uniform distributions in terms of geometry of numbers, Prepublication Inst. Fourier (1992), No. 200;Algebra Analiz. 6, No. 3 (1994), 200-230; Reprinted in St. Petersburg Math. J., 6, No. 3 (1995), 635-664.

37. Skriganov M.M. Ergodic theory on homogeneous spaces and the lattice point counting for polyhedra, Doklady RAN, (1996) .

38. Skriganov M.M. Anomalies in spectral asymptotics, Doklady RAN, 340, No. 5 (1995), 597 599; English transl.: Doklady Mathematics, 51, No. 1, (1995), 104 - 106.

39. Skriganov M.M. On the Littlwood Paley theory for multidimensional Fourier series, Zap. Nauchn. Semin. POMI, 226, ( 1996 ), 155 -169; English transl.: Journal of Math. Sciences ( Plenum Publish. Corporaton ).

40. Скубенко Б.Ф. Доказательство гипотезы Минковского о произведении п линейных неоднородных форм от п переменных для п < 5. -В кн.: Исследования по теории чисел. 2. Зап. научн. семин. ЛОМИ 33 (1973), 6-36.

41. Скубенко Б.Ф. К гипотезе Минковского при больших п. Труды МИАН СССР 148 (1978), 218-224.

42. Скубенко Б.Ф. О произведении п линейных форм от п переменных. Труды МИАН СССР 158 (1981), 175-179.

43. Скубенко Б.Ф. Теорема изоляции для разложимых форм чисто вещественных алгебраических полей степени п > 3. В кн.: Аналитическая теория чисел и теория функций. 4. Зап. научн. семин. ЛОМИ 112 (1981), 167-171.154

44. Скубенко Б.Ф. Минимумы разложимой кубической формы от трех переменных. В кн.: Аналитическая теория чисел и теория функций. 9. Зап. научн. семин. ЛОМИ 168 (1988), 125-139.

45. Скубенко Б.Ф. Минимумы разложимых форм степени п от п переменных при п > 3. В кн.: Модулярные функции и квадратичные формы. 1. Зап. научн. семин. ЛОМИ 183 (1990), 142-154.

46. Темиргалиев Н. Применение теории дивизоров к численному интегрированию периодических функций многих переменных // Матем. сб. 1990. Т. 181. N 4, с. 490 505.

47. Фролов К.К. Квадратурные формулы на классах функций: Дис. . канд. физ. мат. наук. - М., 1971.

48. Фролов К.К. Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций // ДАН СССР 231. 1976. - N 4, с. 818-821.

49. M.N.Huxley, Exponential sums and lattice points II, Proc. London Math. Soc., 66, No. 2 (1993),273-301.

50. Хинчин А.Я. Цепные дроби. M.: Физматгиз, 1961.

51. Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. М.: Мир, 1974.

52. Реброва И.Ю. Непрерывность гиперболической дзета функции решеток // III - я Межд. конф. "Современные проблемы теории чисел". Тула: ТЕПУ, 1996, стр. 119.

53. Добровольский Н.М., Реброва И.Ю., Рощеня А.Л. Непрерывность гиперболической дзета функции решеток // Матем. заметки, 1998, Т.63, Вып.4, с. 522-526.155

54. Реброва И.Ю. Непрерывность обобщенной гиперболической дзета функции решеток и ее аналитическое продолжение// Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Тула, 1998. Т.4. Вып.З, с. 99-108.

55. Добровольский Н.М., Есаян А.Р., Реброва И.Ю. Об одном рекурсивном алгоритме для решеток // Тезисы Межд. конф. "Теория приближений и гармонический анализ". Тула: ТулГУ, 1998, с. 90.