Критическое поведение фрустрированных спиральных магнетиков в двух и трех измерениях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Сорокин, Александр Олегович

• Сорокин, Александр Олегович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сорокин, Александр Олегович

Введение

1. Спиральные магнетики в трех измерениях

§1.1. Пространство параметра порядка G/H.

§1.2. Краткий исторический обзор.

§1.3. Класс универсальности G/H = Ъ2® 50(2).

§1.4. Класс универсальности G/H — 50(3).

§1.5. Класс универсальности G/H = Z2 <g> 50(3).

§1.6. Некоторые другие классы универсальности

§1.7. Выводы.

2. 0(3) главные киральные поля: непертурбативный подход

§2.1. Точные уравнения РГ.

§2.2. Уравнения для 0(3) главных киральных полей.

§2.3. Проверка уравнений: 0(9)/0(8)-теория.

§2.4. 0(3)-теория и «эффект большой реки».

3. Спиральные XY магнетики в двух измерениях

§3.1. Критические явления в <8> 50(2) классе: введение.

§3.2. Представление кулоновского газа.

§3.3. Модуль кручения и РГ-анализ.

§3.4. Простой спиральный магнетик: моделирование.

§3.5. Окрестность точки Лифшица

§3.6. Два киральных параметра порядка.

4. Топологические возбуждения в спиральных магнетиках

§4.1. Метод гомотопических групп.

§4.2. Топологические дефекты в двух измерениях.

§4.3. Х2-вихри в спиральном магнетике: определение.

§4.4. Й2-вихри в спиральном магнетике: моделирование

§4.5. Топологические дефекты в трех измерениях.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Критическое поведение фрустрированных спиральных магнетиков в двух и трех измерениях»

Фрустрированные квантовые и классические спиновые системы интенсивно исследуются последние десятилетия [1]. При этом свойства этих систем интересны как сами по себе, так и в контексте их связи с другими важными объектами физики конденсированного состояния, такими как высокотемпературные сверхпроводники, Джозефсоновские среды, гелий-3, жидкие кристаллы и др. С точки зрения теории критического поведения фрустрированные системы зарекомендовали себя как замечательный объект для изучения фаз нового типа (нематические и топологические фазы, спиновые жидкости, спиновый лед, спиновое стекло и т.д.) и фазовых переходов из новых классов.

Для теоретической физики исследование критического поведения фрустрирован-ных спиновых систем позволило подвергнуть серьезной проверке ставшие уже классическими методы теории критического поведения как численные, так и аналитические. В трех измерениях для ферромагнетиков и антиферромагнетиков без фрустрации дают хорошо согласующиеся между собой результаты и моделирование, и различные методы счета: высокотемпературные, 4 — е, 2 + е, 1 /ТУ разложения, пертур-бативная и непертурбативная ренормгруппа (РГ) [2]. Для классов систем, которым принадлежат и спиральные магнетики, согласованность указанных методов оказалась несколько хуже. Около тридцати лет интенсивно обсуждался вопрос о количестве, последовательности и типе фазовых переходов по температуре, происходящих в системах из этих классов.

На возможность существования спиральной структуры в магнетиках указывалось относительно давно — в конце 50-х годов прошлого столетия. Спиральные структуры, образующиеся из-за наличия антисимметричного обмена Дзялошинского-Мория, — нефрустрированные, в них направление вектора спирали определяется самим обменом, и они не рассматриваются в данной работе. Фрустрированная спиральная структура может возникать по нескольким причинам, основными из которых являются конкуренция обменных взаимодействий и геометрическая фрустрация [3]-[5].

Даже с учетом того, что революция в теории фазовых переходов произошла позже, в начале 70-х годов, только совсем недавно стало возможным говорить о некоторой общепринятой точке зрения на критическое поведение спиральных магнетиков и фрустрированных магнитных систем вообще. Это в равной степени относится и к двумерным, и к трехмерным классическим системам. Отметим, что вопросов, связанных с квантовыми фазовыми переходами, мы также фактически не будем касаться в данной работе, и об общепринятой точке зрения в этом случае говорить пока преждевременно.

В трехмерных фрустрированных системах с планарными (А^ = 2) и изотропными (./V = 3) спинами происходит по температуре один индуцированный флуктуациями переход первого рода. Для многих классов систем этот факт не вызывал сомнений, но для важного класса, описывающего магнетики с планарным порядком, куда, в частности, входят и простые спиральные магнетики, это выяснилось отнюдь не сразу. Экспериментальные исследования различных соединений с планарным магнитным порядком, численное моделирование различных моделей, а также аналитические результаты, полученные с помощью тех или иных техник, давали разные ответы на вопрос о типе фазового перехода. Однако последние данные подтверждают ту точку зрения, что этот переход очень слабого первого рода с возможным псевдоскейлинго-вым поведением. Более подробно анализ различных классов и результатов исследований рассматривается в главе 1.

Планарный магнитный порядок возникает в большом количестве соединений. Среди наиболее обсуждаемых можно отметить соединения со структурой перовскита (СвМпВгз, СэМОз, СвМп1з, ЯЬМпВгз и др.), УСЬ, УВг2, которым соответствует модель антиферромагнетика на гексагональной решетке, и спиральные магнитные структуры в редкоземельных металлах ТЬ, Бу и Но. В большинстве из них наблюдается псевдоскейлинговое поведение при переходе (см. обзоры [6]-[8] и ссылки в них). Более того, в эксперименте с поляризованными нейтронами по схеме, предложенной Малеевым [9], для СэМпВгз были измерены критические показатели, относящиеся к киральному параметру порядка, согласующиеся в целом с результатами численного моделирования [10] (см., однако, данные для диспрозия и гольмия [11, 12]).

Численное моделирование трехмерных спиральных магнетиков в ранних работах представлено не очень широко. Исследовалась модель антиферромагнетика на объем-ноцентрированной кубической решетке с дополнительным конкурирующим обменом вдоль одной из осей. Результаты для N = 2 спинов указывали на переход первого рода [13], в то время как для N = 3 спинов результат более или менее согласуется с гипотезой о псевдоуниверсальном поведении систем из этого класса [13, 14]. Результаты для планарных спинов не подтвердились для другой модели спирального магнетика, описывающего, в частности, соединение ШэМпВг3, — антиферромагнетика на слоисто-треугольной (гексагональной) решетке с анизотропией обменов между соседними спинами в слое [15]. В данном случае наблюдается псевдоуниверсальное поведение.

Спиральные магнетики принадлежат особому классу структур, являющихся длин-нопериодической модуляцией простых магнитных структур — ферромагнитных или антиферромагнитных. Зачастую период модуляции непрерывно меняется с температурой, принимая несоизмеримые значения по отношению к периоду кристаллической решетки [16]. Это вносит свои особенности в технику моделирования и выбора граничных условий решетки. Возможно, именно поэтому модели спиральных магнетиков менее исследованы по сравнению с некоторыми другими системами, принадлежащих тем же классам универсальности, например, с антиферромагнетиком на треугольной и гексагональной решетках.

Интересна ситуация и для магнетиков с непланарным порядком. Пример таких магнетиков хорошо известен — это антиферромагнетики с изотропными спинами на решетках со структурой пирохлора, которым соответствуют соединения, например, руг-РеС1з или соединения вида А^В^Оу, и слоистые структуры с решеткой каго-ме. Ввиду сильной фрустрации в подобных системах могут существовать различные фазы, включая экзотические (спиновые жидкости, лед и стекло), и наблюдаться критическое поведение разных видов (см. обзор [17] и ссылки в нем). Соединениям, в которых возникает дальний порядок при конечных температурах (например, Сё2Т1207 и Сс128п207), должен соответствовать переход с нарушением симметрии вращения и отражения спинов. Этот переход первого рода, индуцированный флук-туациями, принадлежащий тому же (псевдо)классу универсальности, что и ./V = 3 спиральные магнетики с двумя киральными параметрами порядка. Этот класс мало исследован.

В двух измерениях критическое поведение систем с непрерывным вырождением основного состояния кардинально отличается от ситуации в больших размерностях. Здесь действует теорема Мермина-Вагнера, запрещающая спонтанное нарушение непрерывной симметрии при конечной температуре. Однако в случае планарных спинов возможно возникновение (алгебраического) квазидальнего порядка, характеризующегося степенным спаданием корреляционных функций при нулевой намагниченности, управляемого аннигиляцией пар вихрь-антивихрь и сопровождающегося переходом Березинского-Костерлица-Таулесса (БКТ) бесконечного рода [18]-[22].

Спиральный магнетик с планарными спинами характеризуется двумя параметрами порядка: непрерывным (намагниченность «подрешеток») и дискретным (кираль-ность). Критическое поведение систем с подобным вырождением основного состояния было предметом интенсивных исследований и дискуссий на протяжении трех десятков лет аналогично случаю трехмерных фрустрированных систем (см. обзоры [173, 24]). Здесь также обсуждался вопрос о количестве, последовательности и типе переходов.

В системах с подобным типом вырождения с повышением температуры либо происходят два последовательных перехода (сначала БКТ, потом Изинга), либо они сливаются в один переход, по-видимому, первого рода. Первый сценарий реализуется, например, в наиболее исследовавшихся моделях из этого класса: антиферромагнетик на треугольной решетке и модель Виллана [25], описывающая сетку из Джозефсо-новских контактов во внешнем поле. Для спирального магнетика предыдущие исследования давали обратную последовательность переходов [26, 27], что противоречило достаточно общим аргументам, справедливым для систем из этого класса [24].

Наконец, случай изотропных спинов для двумерного спирального магнетика, казалось бы, не должен иметь критического поведения при конечных температурах, однако и тут нет окончательной ясности. Дело в том, что в системах с неколли-неарным порядком, к коим относятся и спиральные магнетики, аналогично случаю

ХУ спинов существуют вихревые топологические возбуждения, т.н. Ж2-вихри. Логарифмически притягиваясь, аналогично обыкновенным вихрям теории Березинско-го, Х2-вихри при низких температурах начинают аннигилировать парами, создавая при этом дополнительную упорядоченность в системе. Конечно, существует большое различие с переходом БКТ, связанное с тем, что в теории БКТ низкотемпературные свойства системы, включая сам переход, могут быть описаны исключительно в терминах газа вихрей. В системах с ^-вихрями «спиновые волны» не могут быть отынтегрированы, в силу неабелевости теории.

Высказывалось несколько предположений относительно того, что же происходит в системах с Х2-вихрями. Численное моделирование, например, для антиферромагнетика на треугольной решетке вполне согласуется с возможностью существования топологического фазового перехода (т.н. киральный БКТ переход). По крайней мере, численные данные указывают на отличие от предсказаний нелинейной сг-модели. Однако корреляционная длина остается конечной при любой ненулевой температуре, пусть даже очень большой, неотличимой от бесконечной при моделировании на конечных решетках.

Тем не менее, присутствие Ж2-вихрей может объяснять аномальное поведение некоторых материалов, например, в которых реализуется модель антиферромагнетика с треугольной решеткой, таких как МаСг02 и №Са254, наблюдающееся экспериментально (см. обзор [28] и ссылки в нем). Также ^2-вихри присутствуют в сверхтекучем 3Не [29].

Резюмируя сказанное, особо подчеркнем, что изучение спиральных магнетиков, помимо проверки результатов исследований других систем и моделей из тех же классов универсальности, уже достаточно хорошо изученных, и помимо описания критического поведения реальных магнитных материалов, позволяет пролить свет на классы моделей, что изучены мало или не изучены вовсе. Поэтому исследование спиральных магнетиков является актуальной задачей.

Цели И задачи диссертационной работы. Данная диссертационная работа имеет следующие цели.

1. Численное моделирование спиральных магнетиков в трех измерениях как с одним, так и с несколькими киральными параметрами порядка; выяснение типа перехода; поиск возможного псевдоскейлингового поведения, оценка критических индексов.

2. Исследование модели Гинзбурга-Ландау, соответствующей спиральному магнетику с двумя киральными параметрами порядка и с изотропными спинами, в рамках простейшей нетривиальной аппроксимации точных уравнений непертур-бативной РГ; поиск неподвижных точек и области с медленным РГ-потоком.

3. Численное моделирование двумерного спирального ХУ-магнетика; выяснение количества, типа и последовательности фазовых переходов.

4. Численное моделирование двумерного спирального магнетика с изотропными спинами; выяснение, приводит ли взаимодействие Z2-виxpeй к возникновению квазидальнего порядка и фазового перехода при конечных температурах.

Все исследования направлены на установление свойств критического поведения различных типов спиральных магнетиков в двух и трех измерениях.

Научная новизна и практическая значимость. Все результаты, полученные в работе и выносимые на защиту, являются новыми. Полученные данные о критическом поведении спиральных магнетиков (количестве, типе, последовательности переходов, критических индексах) могут быть использованы для интерпретации результатов соответствующих экспериментальных исследований.

Краткое содержание диссертации приводится в виде аннотаций к каждой главе, а выносимые на защиту результаты приведены в заключении.

Основное содержание диссертационной работы опубликовано в работах [30]-[34].

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Сорокин, Александр Олегович

Заключение.

В работе было исследовано критическое поведение классических фрустрированных спиральных магнетиков. Были получены следующие основные результаты, выносимые на защиту:

1. В простом спиральном магнетике, реализованном на кубической решетке с дополнительным конкурирующим обменом вдоль одного направления решетки, найден переход слабого первого рода; найдены критические экспоненты, согласующиеся с численными и экспериментальными исследованиями антиферромагнетика на гексагональной решетке [98]; показано, что на решетках очень большого размера (L = 90 и L = 120 для N — 2 и N = 3, соответственно) заметна двухпиковая структура распределения по энергии при температуре перехода, что характерно для переходов первого рода.

2. В трехмерном изотропном (N = 3) спиральном магнетике с двумя киральны-ми параметрами порядка найден переход первого рода и псевдоскейлинговое поведение на решетках небольшого размера; рассмотрено две модели из этого класса; полученные критические индексы согласуются для обеих моделей и с результатами исследований магнетиков с непланарным порядком.

3. В трехмерных спиральных магнетиках с N = 2 н двумя киральными параметрами порядка, а также в случаях N = 2 и N — Зс тремя киральными параметрами порядка найден ярко выраженный переход первого рода.

4. Методом непертурбативной ренормгруппы в простейшей аппроксимации точных уравнений для теории, описывающей изотропные спиральные магнетики с двумя киральными параметрами порядка, найдена область, через которую проходят траектории, стартующие с обширной области начальных данных, и в которой наблюдается замедление РГ-потока; это объясняет найденные в пункте 2 псевдоскейлинг и универсальность.

5. Для простого спирального XY-магнетика в двух измерениях показано, что при повышении температуры происходят последовательно переход БКТ и Изинга; в диапазоне температур между переходами существует фаза киральной спиновой жидкости, характеризующаяся киральным порядком при ненарушенной вращательной и трансляционной симметрии; предложена процедура численной оценки жесткости спиновых волн и ее универсального скачка при БКТ-переходе; найдено аномальное поведение восприимчивости и теплоемкости в окрестности точки Лифшица, вызванное появлением при конечных температурах метастабильных состояний, имеющих равную энергию, но различные значения киральности; эта аномалия не является свидетельством наличия фазового перехода, за который ее приняли в предыдущих численных расчетах, предсказывающих обратную последовательность фазовых переходов.

6. Для двумерного спирального XY-магнетика с двумя киральными параметрами порядка найден один переход первого рода; при анизотропии конкурирующих обменов, в окрестности точки Лифшица аномалия и метастабильные состояния приводят к расщеплению перехода и появлению фазы киральной спиновой жидкости.

7. В двумерном спиральном магнетике с изотропными спинами показано, что переход в фазу с дальним магнитным порядком происходит при нулевой температуре; тем не менее, образование пар 22-вихрей приводят к резкому уменьшению корреляционной длины и имитации фазового перехода типа БКТ при конечной температуре; полученные данные не исключают возможности существования перехода без нарушения непрерывной симметрии, при котором плотность вихрей является параметром порядка.

Результаты, изложенные в диссертации, были представлены и обсуждались на следующих российских и международных конференциях (Spin Waves-2011, MISM-2011, ФизикА.СПб-2011), XLV и XLVI Зимних школах ПИЯФ, а также на семинарах Отделения теоретической физики ПИЯФ и на кафедре статистической физики физического факультета СПбГУ.

В заключение хочу выразить глубокую признательность Арсению Сыромятнико-ву, Сергею Владимировичу Малееву и Дмитрию Аристову за всестороннюю поддержку. Под руководством Арсения была выполнена данная работа. Я благодарен своим друзьям, которые предоставляли мне на начальном этапе работы ресурсы машинного времени: Максу Несвиту, Леше Горбатенкову , Киму Кондратовичу, Свете Гуцало и Жене Васильеву. Также я благодарен Леше Захарову за помощь в верификации алгоритма и Алексею Феликсовичу Вакуленко за техническую поддержку. Особую признательность выражаю профессору Сергею Евгениевичу Коршунову за внимание к нашей работе [32] и полезные критические замечания.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сорокин, Александр Олегович, 2012 год

1. Н. Т. Diep (ed.), Frustrated Spin Systems. — Singapore: World Scientific, 2004.

2. A. Pelisetto, E. Vicari, Phys. Rep. 368, 549 (2002).

3. A. Yoshimori, J. Phys. Soc. Jpn. 14, 508 (1959).

4. J. Villain, J. Phys. Chem. Solids 11, 303 (1959).

5. T. A. Kaplan, Phys. Rev. 116, 888 (1959).

6. M.F. Collins, O. A. Petrenko, Canad. J. Phys. 75, 605 (1997).

7. H. Kawamura, J. Phys.: Cond. Mat. 10, 4707 (1998).

8. B. Delamotte, D. Mouhanna, and M. Tissier, Phys. Rev. В 69, 134413 (2004).

9. S.V. Maleyev, Phys. Rev. Lett. 75, 4682 (1995).

10. V.P. Plakhty et al., Phys. Rev. Lett. 85, 3942 (2000).

11. V.P. Plakhty et al., Phys. Rev. В 64, 100402R (2001).

12. С. В. Григорьев и др., Письма ЖЭТФ 83, 568 (2006).

13. Н.Т. Diep, Phys. Rev. В 39, 397 (1989).

14. D. Loison, Physica A 275, 207 (2000).

15. H. Kawamura, Progr. Theor. Phys. Suppl. 101, 545 (1990).

16. Ю. А. Изюмов, УФН 144, 439 (1984).

17. J. S. Gardner, M.J. P. Gingras, and J. E. Greedan, Rev. Mod. Phys. 82, 53 (2010).

18. В. Л. Березинский, ЖЭТФ 59, 907 (1970).

19. В. Л. Березинский, ЖЭТФ 61, 1144 (1971).

20. В. Л. Березинский, Низкотемпературные свойства двумерных систем с непрерывной группой симметрии. — М.: Физматлит, 2007.

21. J.M. Kosterlitz, D.J. Thouless, J. Phys. С: Solid State Phys. 6, 1181 (1973).

22. J.M. Kosterlitz, J. Phys. C: Solid State Phys. 7, 1046 (1974).

23. M. Hasenbusch, A. Pelissetto, and E. Vicari, J. Stat. Mech., P12002 (2005).

24. C.E. Коршунов, УФН 176, 233 (2006).

25. J. Villain, J. Phys. C: Solid State Phys. 10, 1717 (1977).

26. T. Garel, S. Doniach, J. Phys. C: Solid State Phys. 13, L887 (1980).

27. Y. Okwamoto, J. Phys. Soc. Jpn 53, 2613 (1984).

28. H. Kawamura, J. Phys.: Conf. Ser. 320, 012002 (2011).

29. M. M. Salomaa, G.E. Volovik, Rev. Mod. Phys. 59, 533 (1987).

30. А. О. Сорокин, А. В. Сыромятников, ЖЭТФ 139, 1148 (2011).

31. А. О. Сорокин, А. В. Сыромятников, ЖЭТФ 140, 771 (2011).

32. А. О. Sorokin, А. V. Syromyatnikov, Phys. Rev. В 85, 174404 (2012); 86, 059904(E) (2012).

33. А. О. Сорокин, А. В. Сыромятников, Письма ЖЭТФ 96, 449 (2012).

34. А. О. Sorokin, А. V. Syromyatnikov, Solid State Phenom. 190, 63 (2012).

35. С. L. Henley, Phys. Rev. Lett. 62, 2056 (1989).

36. M. P. Gelfand, R.R.P. Singh, and D. A. Huse, Phys. Rev. В 40, 10801 (1989).

37. E. Ф. Шендер, ЖЭТФ 83, 326 (1982).

38. S. Katsura, T. Ide, and T. Morita, J. Stat. Phys. 42, 381 (1986).

39. T. Jolicoeur et al., Phys. Rev. В 42, 4800 (1990).

40. C.L. Henley, J. Appl. Phys. 61, 3962 (1986).

41. H. Kunz, G. Zumbach, J. Phys. A: Math. Gen. 26, 3121 (1993).

42. С. А. Бразовский, И. E. Дзялошинский, Письма ЖЭТФ 21, 360 (1975).

43. D. Mukamel, Phys. Rev. Lett. 34, 481 (1975).

44. С. А. Бразовский, И.Е. Дзялошинский и Б. Г. Кухаренко, ЖЭТФ 70, 2257 (1976).

45. Т. Garel, P. Pfeuty, J. Phys. С: Solid State Phys. 9, L245 (1976).

46. D. Mukamel, S. Krinsky, Phys. Rev. В 13, 5065 (1976).

47. D. Mukamel, S. Krinsky, Phys. Rev. В 13, 5078 (1976).

48. P. Bak, D. Mukamel, Phys. Rev. В 13, 5086 (1976).

49. D. Bailin, A. Love, and M. A. Moore, J. Phys. C: Solid State Phys. 10, 1159 (1977).

50. H. Kawamura, J. Phys. Soc. Jpn. 54, 3220 (1985).

51. H. Kawamura, J. Phys. Soc. Jpn. 55, 2095 (1986).

52. H. Kawamura, Phys. Rev. В 38, 4916 (1988).

53. S. A. Antonenko, A.I. Sokolov, and K.B. Varnashev, Phys. Lett. A 208, 161 (1995).

54. A. Pelissetto, P. Rossi, and E. Vicari, Nucl. Phys. В 607, 605 (2001).

55. P. Calabrese, P. Parruccini, Nucl. Phys. В 679, 568 (2004).

56. A.I. Mudrov, K.B. Varnashev, Phys. Rev. В 57, 5704 (1998).

57. A.I. Mudrov, K.B. Varnashev, Phys. Rev. В 64, 214423 (2001).

58. J. A. Gracey, Nucl. Phys. В 644, 433 (2002).

59. J. A. Gracey, Phys. Rev. В 66, 134402 (2002).

60. S. A. Antonenko, A.I. Sokolov, Phys. Rev. В 49, 15901 (1994).

61. A. Pelissetto, P. Rossi, and E. Vicari, Phys. Rev. В 63, 140414 (2001).

62. A. Pelissetto, P. Rossi, and E. Vicari, Phys. Rev. В 65, 020403 (2001).

63. P. Calabrese, P. Parruccini, and A.I. Sokolov, Phys. Rev. В 66, 180403 (2002).

64. Р. Calabrese, Р. Parruccini, and А. I. Sokolov, Phys. Rev. В 68, 094415 (2003). Y. Holovatch, D. Ivaneyko, and B. Delamotte, J. Phys. A: Math. Gen. 37, 3569 (2004). B. Delamotte et al., Phys. Rev. В 82, 104432 (2010).

65. D. Friedan, Ann. Phys. 163, 318 (1985).

66. А. M. Polyakov, Phys. Lett. В 59, 79 (1975).

67. S. Hikami, E. Brezin, J. Phys. A: Math. Gen. 11, 1141 (1978).

68. H. Kleinert, Phys. Lett. А 264, 357 (2000).

69. W. Bernreuther, F. J. Wegner, Phys. Rev. Lett. 57, 1383 (1986).

70. Jack, D.R.T. Jones, and N. Mohammedi, Phys. Lett. В 220, 171 (1989). I. Jack, D.R.T. Jones, and N. Mohammedi, Nucl. Phys. В 322, 431 (1989). А. McKane, M. Stone, Nucl. Phys. В 163, 169 (1980).

71. S. Hikami, Phys. Lett. В 98, 208 (1981).

72. E. Brezin, S. Hikami, and J. Zinn-Justin, Nucl. Phys. В 165, 528 (1980). S. Hikami, Progr. Theor. Phys. 64, 1425 (1980).

73. G. Zumbach, Nucl. Phys. В 413, 771 (1994).

74. H. Kawamura, J. Phys. Soc. Jpn. 61, 1299 (1992).

75. D. Loison, H. T. Diep, J. Appl. Phys. 73, 5642 (1993).

76. E.H. Boubcheur, D. Loison, and H.T. Diep, Phys. Rev. В 54, 4165 (1996). A. Mailhot, M.L. Plumer, and A. Caille, Phys. Rev. В 50, 6854 (1994).

77. A. Peles, B.W. Southern, Phys. Rev. В 67, 184407 (2003).

78. А. К. Муртазаев, УФН 178, 1001 (2008).

79. М. К. Рамазанов, Письма ЖЭТФ 94, 335 (2011).

80. А. К. Муртазаев, М. К. Рамазанов и М.К.Бадиев, ЖЭТФ 142, 338 (2012). Н.Т. Diep, D. Loison, J. Appl. Phys. 76, 6350 (1994). D. Loison, K. D. Schotte, Eur. Phys. J. В 14, 125 (2000). D. Loison, Eur. Phys. J. В 15, 517 (2000).

81. J.N. Reimers, J.E. Greedan, and M. Björgvinsson, Phys. Rev. В 45, 7295 (1992).

82. C. Pinettes, В. Canals, and C. Lacroix, Phys. Rev. В 66, 024422 (2002).

83. D. Loison, H.T. Diep, Phys. Rev. В 50, 16453 (1994). J.L. Alonso et al., Phys. Rev. В 53, 2537 (1996).

84. C. Pinettes, H.T. Diep, J. Appl. Phys. 83, 6318 (1998).

85. D.-T. Hoang, Y. Magnin, and H.T. Diep, Mod. Phys. Lett. В 25, 937 (2011). H.T. Diep, H. Kawamura, Phys. Rev. В 40, 7019 (1989).

86. К. Binder, Phys. Rev. Lett. 47, 693 (1981). K. Binder, Z. Phys. В 43, 119 (1981).

87. P. Peczak, A.M. Ferrenberg, and D.P. Landau, Phys. Rev. В 43, 6087 (1991).

88. F. Cinti, A. Rettori, and A. Cuccoli, Phys. Rev. В 81, 134415 (2010). D. Loison et al., Письма ЖЭТФ 72, 487 (2000).

89. P. Kadanoff, Physics (N.Y.) 2, 263 (1966).

90. P. Kadanoff et al., Rev. Mod. Phys. 39, 395 (1967).

91. K. G. Wilson, Phys. Rev. В 4, 3174 (1971).

92. К. G. Wilson, Phys. Rev. В 4, 3184 (1971).

93. K.G Wilson, J. Kogut, Phys. Rep. 12, 75 (1974).

94. J. Polchinski, Nucl. Phys. В 231, 269 (1984).

95. С. Bagnuls, С. Bervillier, Phys. Rep. 348, 91 (2001).

96. J. Berges, N. Tetradis, and С. Wetterich, Phys. Rep. 363, 223 (2002).

97. С. Wetterich, Nucl. Phys. В 352, 529 (1991).

98. С. Wetterich, Phys. Lett. В 301, 90 (1993).

99. U. Ellwanger, L. Vergara, Nucl. Phys. В 398, 52 (1993).

100. T.R. Morris, Phys. Lett. В 329, 241 (1994).

101. G. Felder, Commun. Math. Phys. 111, 101 (1987).

102. M. Tissier, D. Mouhanna, and B. Delamotte, Phys. Rev. В 61, 15327 (2000).

103. N. Tetradis, С. Wetterich, Nucl. Phys. В 422, 541 (1994).

104. Т. R. Morris, M.D. Turner, Nucl. Phys. В 509, 637 (1998).

105. G.v. Gersdorff, C. Wetterich, Phys. Rev. В 64, 054513 (2001).

106. D. F. Litim, Nucl. Phys. В 631, 128 (2002).

107. S. A. Antonenko, A.I. Sokolov, Phys. Rev. E 51, 1894 (1995).

108. А. Э. Филиппов, Письма ЖЭТФ 60, 133 (1994).

109. A. M. Поляков, Письма ЖЭТФ 12, 538 (1970).

110. A. A. Belavin, А. М. Polyakov, А. В. Zamolodchikov, Nucl. Phys. В 241, 333 (1984).

111. H.A.Kramers, G.H.Wannier, Phys. Rev. 60, 252 (1941).

112. L. P. Kadanoff, H. Ceva, Phys. Rev. В 3, 3918 (1971).

113. A. M. Поляков, Калибровочные поля и струны. — Ижевск: Изд-во «Удмуртский университет», 1999.

114. R. Savit, Rev. Mod. Phys. 52, 453 (1980).

115. L. P. Kadanoff, J. Phys. A: Math. Gen. 11, 1399 (1978).

116. M.B.Einhorn, R. Savit, and E. Rabinovoci, Nucl. Phys. В 170, 16 (1980).

117. P. Olsson, Phys. Rev. Lett. 75, 2758 (1995).

118. S.Teitel, C. Jayaprakash, Phys. Rev. В 27, 598 (1983).

119. S.Lee, K.-C.Lee, Phys. Rev. В 49, 15184 (1994).

120. P. Olsson, Phys. Rev. В 55, 3585 (1997).

121. G.S.Jeon, S.Y.Park, and M.Y.Choi, Phys. Rev. В 55, 14088 (1997).

122. Y. Ozeki, N.Ito, Phys. Rev. В 68, 054414 (2003).

123. S. Miyashita, J.Shiba, J. Phys. Soc. Jpn. 53, 1145 (1984).

124. W. Y. Shih, D.Stroud, Phys. Rev. В 30, 6774 (1984).

125. D. H. Lee et at., Phys. Rev. В 33, 450 (1986).

126. H.-J.Xu, B. W. Southern, J. Phys. A: Math. Gen. 29, L133 (1996).

127. S.Lee, K.-C.Lee, Phys. Rev. В 57, 8472 (1998).

128. D. Loison, P.Simon, Phys. Rev. В 61, 6114 (2000).

129. G.S.Grest, Phys. Rev. В 39, 9267 (1989).

130. J.-R.Lee, Phys. Rev. В 49, 3317 (1994).

131. F. Cinti, A. Cuccoli, and A.Rettori, Phys. Rev. В 83, 174415 (2011).

132. E. Granato et al., Phys. Rev. Lett. 66, 1090 (1991).

133. J.Lee, E. Granato, J. M. Kosterlitz, Phys. Rev. В 44, 4819 (1991).

134. M. P. Nightingale, E. Granato, and J. M. Kosterlitz, Phys. Rev. В 52, 7402 (1995).

135. O.Foda, Nucl. Phys. В 300, 611 (1988).

136. P. Baseilhac, V.A.Fateev, Nucl. Phys. В 532, 567 (1998).

137. P. Baseilhac, Nucl. Phys. В 636, 465 (2002).

138. P. Calabrese, P. Parruccini, Phys. Rev. В 64, 184408 (2001).

139. P. Calabrese et al., Phys. Rev. В 67, 024413 (2003).

140. M. Hasenbusch, A. Pelissetto, and E.Vicari, Phys. Rev. В 72, 184502 (2005).

141. M. Hasenbusch, A. Pelissetto, and E.Vicari, J. Stat. Mech., P12002 (2005).

142. M. Y. Choi, S. Doniach, Phys. Rev. В 31, 4516 (1985).

143. M. Josefin, E.Domany, Phys. Rev. В 32, 1778 (1985).

144. E. Granato, J. Phys. C: Solid State Phys. 20, L215 (1987).

145. J. M. Thijssen, H.J. F. Knops, Phys. Rev. В 37, 7738 (1988).

146. P. Simon, J. Phys. A: Math. Gen. 30, 2653 (1997).

147. P. Simon, Europhys. Lett. 39, 129 (1997).

148. M.Y.Choi, D.Stroud, Phys. Rev. В 32, 5773 (1985).

149. E. Granato, J. M. Kosterlitz, Phys. Rev. В 33, 4767 (1986).

150. G. S. Jeon, S.Y.Park, and M.Y.Choi, Phys. Rev. В 55, 14088 (1997).

151. Т. С. Halsey, J. Phys. C: Solid State Phys. 18, 2437 (1985).

152. S. E. Korshunov, G. V. Uimin, J. Stat. Phys. 43, 1 (1986).

153. S.E. Korshunov, J. Stat. Phys. 43, 17 (1986).

154. S.E. Korshunov, Phys. Rev. Lett. 88, 167007 (2002).

155. S.J.Lee, J.-R.Lee, and B.Kim, Phys. Rev. E 51, R4 (1995).

156. J.-R.Lee et al., Phys. Rev. Lett 79, 2172 (1997).

157. P.Olsson, S.Teitel, Phys. Rev. В 71, 104423 (2005).

158. H. Weber, P. Minnhagen, Phys. Rev. В 37, 5986 (1988).

159. J. Villain, J. Physique 36, 581 (1975).

160. J.B.Kogut, Rev. Mod. Phys. 51, 659 (1979).

161. D.R.Nelson, J. M. Kosterlitz, Phys. Rev. Lett 39, 1201 (1977).

162. T. Ohta, D. Jasnow, Phys. Rev. В 20, 139 (1979).

163. G.Kamieniarz, H. W. J.Blote, J. Phys. A: Math. Gen. 26, 201 (1993).

164. W. Selke, Eur. Phys. J. В 51, 223 (2006).

165. A. K. Kolezhuk, Phys. Rev. В 62, R6057 (2000).

166. Т. Hikihara, M. Kaburagi, and H.Kawamura, Phys. Rev. В 63, 174430 (2001).

167. N. D. Mermin, Rev. Mod. Phys. 51, 591 (1979).

168. G.H. Derrick, J. Math. Phys. 5, 1252 (1964).

169. D. L. Stein, Phys. Rev. В 18, 2397 (1978).

170. R. H. Swedsen, Phys. Rev. Lett. 49, 1302 (1982).

171. E.Domany, M. Shriek, and R.H. Swedsen, Phys. Rev. Lett. 52, 1535 (1984).

172. С. E. Коршунов, Письма ЖЭТФ 41, 216 (1985).

173. D.H.Lee, G. Grinstein, Phys. Rev. Lett. 55, 541 (1985).

174. S. Solomon, Phys. Lett. В 100, 492 (1981).

175. H. Kawamura, S.Miyashita, J. Phys. Soc. Jpn. 53, 4138 (1984).

176. M.Wintel, H. U. Everts, and W. Apel, Europhys. Lett. 25, 711 (1994).

177. H.Kunz, G. Zumbach, Phys. Lett. В 257, 299 (1991).

178. H.Kunz, G. Zumbach, Phys. Rev. В 46, 662 (1992).

179. G. Zumbach, Phys. Lett. A 200, 257 (1995).

180. H. Kawamura, M. Kikuchi, Phys. Rev. В 47, 1134 (1993).

181. В. W. Southern, H.-J.Xu, Phys. Rev. В 52, R3836 (1995).

182. M.Wintel, H. U. Everts, and W. Apel, Phys. Rev. В 52, 13480 (1995).

183. S.Fujimoto, Phys. Rev. В 73, 184401 (2006).

184. M. Grater, C. Wetterich, Phys. Rev. Lett. 75, 378 (1995).

185. G. v. Gersdorff, C. Wetterich, Phys. Rev. В 64, 054513 (2001).

186. P. Azaria, B. Delamotte, and D.Mouhanna, Phys. Rev. Lett. 68, 1762 (1992).

187. B. W. Southern, A.P.Young, Phys. Rev. В 48, 13170 (1993).

188. M. Caffarel et al., Phys. Rev. В 64, 014412 (2001).

189. M. Hasenbusch, Phys. Rev. D 53, 3445 (1996).

190. F. Niedermayer, P. Weisz, and D.-S. Shin, Phys. Rev. D 53, 5918 (1996).

191. А. А. Белавин, A. M. Поляков, Письма ЖЭТФ 22, 503 (1975).

192. V. A. Fateev, I.V.Frolov, and A. S.Schwarz, Nucl. Phys. В 154, 1 (1979).

193. P. Azaria et al., Phys. Rev. В 45, 12612 (1992).

194. S.Solomon, Y. Stavans, and E.Domany, Phys. Lett. В 112, 373 (1981).

195. S. Caracciolo et al., Phys. Rev. Lett. 71, 3906 (1993).

196. S. M. Catterall et al. Phys. Rev. D 58, 074510 (1998).

197. J.-C. Domenge et al., Phys. Rev. В 77, 172413 (2008).

198. L. Capriotti, S. Sachdev, Phys. Rev. Lett. 93, 257206 (2004).

199. J.L. Cardy, H.W.Hamber, Phys. Rev. Lett. 45, 499 (1980).

200. T.Banks, R. Myerson, and J.Kogut, Nucl. Phys. В 129, 493 (1977).

201. D. J. Amit et al., Nucl. Phys. В 210, 69 (1982).

202. A. DiGiacomo, D.Martelli, and G. Pafluti, Phys. Rev. D 60, 094511 (1999).

203. L. D. Faddeev, Lett. Math. Phys. 1, 289 (1976).

204. А. Ф.Вакуленко, JI. В. Капитанский, ДАН 246, 840 (1979).

205. А.Богданов, Письма ЖЭТФ 62, 231 (1994).

206. К. Биндер, Д.В. Хеерман, Моделирование методом Монте-Карло в статис физике. — М.: Наука, 1995.