Аппроксимационные свойства некоторых классов векторных полей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Дубашинский, Михаил Борисович

• Дубашинский, Михаил Борисович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Дубашинский, Михаил Борисович

Оглавление

Введение

История вопроса

Содержание работы

1 Предварительные определения

1.1 Потоки в евклидовом пространстве

1.2 Постановки некоторых задач аппроксимации

2 Задачи почти аппроксимации

2.1 Общая задача почти аппроксимации

2.1.1 Постановка задачи

2.1.2 Локальность почти аппроксимации

2.1.3 Двойственный критерий почти аппроксимации

2.2 Равносильность некоторых задач почти аппроксимации

их точным аналогам

2.2.1 Почти аналитическая аппроксимация

2.2.2 Почти аппроксимация решениями эллиптических систем

2.2.3 Задачи гармонической и почти гармонической аппроксимации

на компактных множествах пулевого объёма

2.2.4 Задачи соленоидальной и почти солеиоидальиой аппроксимации

3 Аппроксимация дифференциалами

3.1 Задача аппроксимации градиентами

в евклидовом пространстве

3.1.1 Постановка задачи

3.1.2 Применение теоремы Хана-Банаха

3.1.3 Применение теоремы С.К. Смирнова

3.1.4 О прямом подходе к задаче аппроксимации градиентами

3.2 Приближения градиентами на конечном графе

3.2.1 Наводящие соображения к постановке задачи

3.2.2 Дискретные аналоги операторов векторного анализа

3.2.3 Алгоритм перестроек

3.2.4 Полуинвариант алгоритма перестроек

3.2.5 Прямое обоснование алгоритма

3.3 Решение непрерывной задачи аппроксимации градиентами

в евклидовом пространстве

3.3.1 Наводящие соображения: поиск метода решения непрерывной задачи

3.3.2 Теорема существования для квазилинейного уравнения

3.3.3 Явное построение аппроксимирующего градиента

либо препятствия к аппроксимации

3.4 Аппроксимация дифференциалами на компактных подмножествах римановых многообразий

3.4.1 Предварительные определения. Постановка задачи

3.4.2 Потоки на многообразиях. Применение теоремы Хана-Банаха

3.4.3 О поиске прямого метода аппроксимации дифференциалами

3.4.4 Определение и свойства пространства Х(С1)

3.4.5 Квазилинейное уравнение па римаповом

многообразии

3.4.6 Прямой метод решения задачи аппроксимации дифференциалами

3.5 Дополнение: некоторые уравнения на графе

4 Некоторые задачи аппроксимации в К3

4.1 Безвихревая аппроксимация

4.2 Примеры

4.3 Сохранение аппроксимации при диффеоморфизмах

4.4 Достаточное условие равносильности безвихревой

и почти безвихревой аппроксимаций

4.5 Плоское компактное множество в трёхмерном пространстве

4.6 Компактные подмножества гладких двумерных подмногообразий

в М3

Приложение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аппроксимационные свойства некоторых классов векторных полей»

Введение

Пусть N = 2, 3,..., а К с M.N - компактное множество. Через С (К) обозначим пространство всех векторных полей, заданных и непрерывных на К, оснащённое равномерной нормой. Пусть V - некоторый класс непрерывных векторных полей, каждое из которых задано в некоторой окрестности множества К. Задачи, которым посвящена диссертация, в основном связаны со следующим вопросом: какие векторные поля из С (К) могут быть равномерно на К приближены следами (сужениями) на К полей класса V? В роли V у нас чаще всего выступают: во-первых, класс всех векторных полей, гармонических вблизи К, а во-вторых -класс всех векторных полей, безвихревых вблизи К. Гладкое поле / называется гармоническим, если его матрица Якоби симметрична, а её след равен нулю. Это равносильно тому, что / локально совпадает с градиентом гармонической функции. При N = 2 гармоничность поля / = (/i, /2) означает комплексную аналитичность комплекснозначпой функции /1 — г/2 (мы отождествляем R2 и С), а при IV = 3 - что

Г rot /= О

{ - (1)

[ div / = 0.

Мы говорим, что поле / £ С (К) допускает равномерную гармоническую аппроксимацию на множестве К, если для любого е > 0 найдётся поле гармоническое вблизи К и такое, что |/ — f£\ < £ на К. Будем говорить, что компактное множество К обладает свойством равномерной гармонической аппроксимации, если любое поле / G С (К) допускает равномерную гармоническую аппроксимацию на К.

При N = 2 вопрос о равномерной гармонической аппроксимации равносилен классической проблеме рациональной аппроксимации: па каких компактных множествах К с С любая непрерывная комплексиозначпая функция допускает равномерную на К аппроксимацию рациональными функциями комплексной переменной? Исследования в этом направлении и, в частности, исследования равномерного приближения полиномами от комплексной переменной начались с теоремы Рунге и завершились теоремами С.Н. Мергеляна и А.Г. Витушкипа, в которых были даны окончательные ответы на вопросы о таких приближениях. Методы, использованные в доказательствах этих теорем, были затем применены к различным обобщениям задачи рациональной аппроксимации, причём наибольшее внимание было уделено вопросам приближения решениями эллиптических систем дифференциальных уравнений. Система (1), однако, не относится к классу эллиптических систем, как и её аналоги при Дг > 3. До окончательного решения задачи равномерной гармонической аппроксимации в WN при N > 3 на сегодняшний день

ещё далеко. Здесь известны многомерные аналоги теоремы Рунге ([5], [7], [14]) и теоремы Гартогса-Розепталя (о рациональной аппроксимации на множествах К С С нулевой площади).

Вопрос о полном описании множеств в M.N (N > 3), обладающих свойством равномерной гармонической аппроксимации, всё ещё открыт. Однако известно, что ответ на этот вопрос принципиально отличается от двумерного случая: в [6] показано, что при N > 3 класс полей, допускающих равномерную гармоническую аппроксимацию на множестве К С M.N, вообще говоря, нельзя описать в локальных терминах - в отличие от двумерной ситуации, в которой работает известная теорема Бишопа о локальности алгебры функций, допускающих равномерную аппроксимацию на компактных подмножествах комплексной плоскости.

Отметим, что для компактных множеств в WN нулевой TV-мерной лебеговой меры задача равномерной гармонической аппроксимации совпадает с задачей равномерной безвихревой аппроксимации (то есть с задачей приближения локально точными векторными полями; при N = 3 поле / безвихревое, если rot / = 0). Этой задаче в диссертации также уделено значительное внимание.

Естественным обобщением классического комплексного анализа считается теория аналитических функций многих комплексных переменных. Однако, не менее естественным многомерным обобщением комплексного анализа в С служит и теория гармонических векторных полей в M.N (и теория гармонических дифференциальных форм на римановых многообразиях). Здесь многие принципиальные вопросы (в том числе вопросы об аппроксимационных свойствах гармонических векторных полей) не решены и остаются весьма актуальными.

История вопроса

Задачи приближения решениями эллиптических систем дифференциальных уравнений довольно хорошо изучены. Это направление началось с рассмотрения задач равномерной аналитической и равномерной гармонической аппроксимации. Одним из первых результатов в этом направлении была известная теорема Рунге о возможности равномерного приближения функций, аналитических вблизи компактного множества К С С, рациональными функциями с полюсами вне К. Будем говорить, что множество К обладает свойством равномерной аналитической аппроксимации, если любая непрерывная функция / : К —> С может быть равномерно на К приближена функциями, аналитическими вблизи множества К (или, что то же самое, рациональными функциями с полюсами вне К). Теорема Гартогса-Розенталя утверждает, что компактное множество нулевой площади обладает свойством равномерной аналитической аппроксимации.

Хорошо известна локализационная теорема Бишопа (см. [3], [4]):

Теорема 1. Предположим, что открытые множества Г2г..... С С (I 6 N)

i

таковы, что К С U Если функция / С (К) допускает равномерную

j=i

аналитическую аппроксимацию на всех множествах К: = clos {К П j = I,... .1, то f допускает равномерную аналитическую аппроксимацию и на всём множестве К.

Отсюда следует, что свойство равномерной аналитической аппроксимации есть локальное свойство компактного подмножества комплексной плоскости.

Окончательный ответ на вопрос о приближениях аналитическими полиномами был дан С.Н. Мергеляном в 50-х годах двадцатого века: любую непрерывную функцию, заданную на компактном множестве К а С и аналитическую во внутренности множества К, можно приблизить полиномами от г в том и только в том случае, если множество С \ К связно. Проблема приближения непрерывных функций рациональными (или, что то же самое, функциями, аналитическими в окрестности множества К) была решена А.Г. Витушкиным примерно в то же время: множество К С С обладает свойством равномерной аналитической аппроксимации в том и только в том случае, если 7(Г2 \ К) = 7(Г2) для любого открытого множества С С; здесь 7 - аналитическая ёмкость подмножества комплексной плоскости, введённая Альфорсом в конце 40-х годов двадцатого века для характеризации множеств особенностей, устранимых для ограниченных аналитических функций (см. [20]).

Доказательства теорем С.Н. Мергеляпа и А.Г. Витушкина конструктивны, в них используется так называемый метод уравнивания коэффициентов ряда Лорана (см. [23], [3]). Задача равномерной аналитической аппроксимации может быть решена и с использованием двойственности ([4]). Двойственный подход основан на изучении комплексных зарядов, сосредоточенных на множестве К и ортогональных следам аналитических функций на К. Как и в конструктивных методах исследования, при таком подходе существенную роль играет наличие фундаментального решения оператора Коши-Римана.

Задача равномерной аналитической аппроксимации допускает обобщения в двух направлениях. Во-первых, мы можем ставить вопрос о приближении решениями других систем дифференциальных уравнений (а не только системы Коши-Римана). Во-вторых, мы можем интересоваться вопросами приближения по нормам, отличным от равномерной.

Вопросам аналитической аппроксимации в Ьр-пормах посвящены работы [27], [21], [31], некоторые результаты в этом направлении можно найти в [22]. При этом выясняется связь задач такой аппроксимации с тонкой топологией Картана и, как и в случае приближения по равномерной норме, с ёмкостными характеристиками множеств. Отметим также работы [24], [25], в которых изучалась задача аналитической аппроксимации по липшицевой норме.

Что же касается вопросов аппроксимации другими классами функций, то наибольшие успехи достигнуты в изучении задач приближения решениями эллиптических дифференциальных операторов. Классическим примером такого оператора, наряду с оператором Коши-Римана д на комплексной плоскости, является оператор Лапласа. Изучение вопросов приближения гармоническими функциями шло параллельно исследованию задачи аналитической аппроксимации (и в тесной связи с этой задачей); этим вопросам посвящено значительное число работ, см., например, монографию [29] и работу [34] о приближении гармоническими функциями па римановых поверхностях. Отметим, что возможность приближения гармоническими функциями оказывается связанной с устойчивостью задачи Дирихле для оператора Лапласа (см. [28]).

Метод уравнивания коэффициентов применим и к задачам приближения решениями эллиптических систем общего вида: в самом деле, эллиптические

системы имеют фундаментальные решения с контролируемым порядком особенности. Некоторые результаты о такой аппроксимации приведены в [16], см. также обзор [30] и библиографию к этому обзору; в частности, в этом направлении получен ряд теорем о приближении полианалитическими функциями, то есть решениями оператора Вк в комплексной плоскости (этот оператор относится к классу эллиптических операторов).

Иначе обстоит дело с вопросами приближения решениями неэллиптических систем. Один из примеров такой системы - система, определяющая гармонические векторные поля в М^ при N > 3. Понятие гармонического векторного поля допускает естественное обобщение: мы говорим, что дифференциальная форма /, заданная и гладкая на ориентируемом римаиовом многообразии, гармоническая, если (1/ = 0, Sf = 0 (с? - дифференциал, а 8 - кодифференциал формы). Такие формы играют чрезвычайно важную роль в геометрии. Отметим, что функция / = /1 + 4/2, заданная па открытом множестве в С, апалитична в том и только в том случае, если 1-форма uJJ = f1 с1х — /2 (1у гармонична на этом множестве.

Система, определяющая гармонические дифференциальные формы, не относится к классу эллиптических систем. На сегодняшний день имеется, насколько нам известно, лишь несколько работ о задачах аппроксимации для этого класса форм.

Аналог теоремы Рупге для гармонических дифференциальных форм доказан в [5], [7], [14]; при этом выясняется ряд принципиальных отличий элементарных приближающих форм от рациональных функций в С.

Пусть К С М^ - компактное множество, ар = 0,..., N. Пространство ©'(М^)^] есть пространство всех р-мерных потоков Де Рама в (см. [13]). На потоках в определены следующие операторы: дифференциал д, понижающий размерность потока на единицу, кодифференциал 3, повышающий размерность потока на единицу, и звезда Ходжа *, переводящая поток размерности р в поток размерности

N — р. Если Т е - поток с компактным носителем, то С/т = Т * -—р—-

- потенциал Ньютона потока Т, ВБТ = ~8иТ ~ поток Био~Савара, порождённый потоком Т, а Сои1г = ^<Ш*Т - поток Кулона, порождённый потоком Т (сдг есть ^ — 1)-мерная мера единичной сферы в М^). Поток £/т имеет размерность р, поток ВЭТ - размерность р + 1, а поток Сои1т - размерность N — р — 1. Вне носителя потока Т потоки 11т, ВЭГ и Сои1т совпадают с гладкими дифференциальными формами.

Через ZP(ШN \ К) обозначим множество р-мерных циклов в \ К, то есть р-мерных цепей в Млг\/С, имеющих нулевую границу. Каждый такой цикл порождает поток размерности р в М^. В аналоге теоремы Рунге для гармонических форм степени р роль рациональных функций играют дифференциальные формы вида

ВЭС1 + СоиГ2, С1 6 \К), с2 £ \ К). (2)

Такие формы называются элементарными. Элементарные формы гармоничны вблизи множества К. В [5] с применением теорем двойственности доказывается, что любая р-форма, гармоническая вблизи множества К, может быть равномерно на К приближена элементарными р-формами. При этом, как и в классической теореме Рупге, имеется значительная свобода в выборе циклов в

элементарных формах (2). В работе [7] теорема Рунге для гармонических дифференциальных форм доказана конструктивно - с помощью формулы Флеминга-Ришеля (см. [10]), а в [14] эта теорема обобщена на случай дифференциальных форм на римановых многообразиях (доказательство также конструктивно).

Пусть р = 1, а N = 3. Будем понимать 1-формы в К3 как векторные поля. В этом случае любое векторное поле, гармоническое вблизи компактного множества К С К3, может быть равномерно на К приближено линейными комбинациями полей Кулона, порождённых точечными зарядами с источниками вне К, и полей Био-Савара, порождённых липшицевыми кривыми (витками с током), расположенными вне К. Поле Кулона единичного заряда, помещённого в точке х е М3, -это поле

Сон1ж = Сои Г {у) = л У.~Х у Е М3.

47г| у — х\6

Далее, если Г: [0, Ь\ —> К3 - липшицево отображение, и Г(0) = Г(Ь), то Г порождает поле Био-Савара

ь _

вэ^ = (у) = / X г» аз, у е м3.

47Г { |Г(5)-у|3

Отметим, что замкнутость кривой Г обеспечивает гармоничность поля вне множества Г([0,Ь]): в противном случае это неверно. Поэтому именно замкнутые кривые оказываются целостными "источниками" гармонических полей Био-Савара (так же, как и в теории электричества). Таким образом, поля Био-Савара в М3 имеют нелокальные источники. С этим связана пелокальность задачи равномерной гармонической аппроксимации: в [6] построен пример компактного множества К С М3 и двух открытых множеств Г^, С М3 таких, что К С Г^ и Г22, и на каждом из множеств с\об(К П Г^), ск^Л'ПОг) любое непрерывное векторное поле можно равномерно приблизить полями, гармоническими в окрестности этого множества, однако это неверно для всего множества К. Для обоснования этого примера задача равномерной аппроксимации гармоническими векторными полями на множествах К, с1оз(/(' П Ох), с1оз(Л'П Г22) сводится к задаче равномерной аппроксимации градиентами на этих множествах. О результатах, связанных с этой задачей, речь пойдёт ниже.

Отметим, наконец, что в [5] доказан аналог теоремы Гартогса-Розепталя для гармонических дифференциальных форм. Пусть г € [1, АГ] - целое число. Множество К С будем называть г-невидимым, если в М^ существует такой ортогональный базис, что проекция множества К па любое линейное подпространство, натянутое на г векторов этого базиса, имеет пулевую г-мерпую меру Лебега. Пусть р 6 [0, ЛГ] - целое число, а г = пнп(р + 1, АГ — р + 1). Если множество К г-невидимо, то любую непрерывную р-форму, заданную на К. можно равномерно на К приблизить формами, гармоническими вблизи множества К. (При N = 2 и р = 1 эта теорема превращается в упомянутую в начале этого обзора теорему Гартогса-Розенталя.) Доказательство в [5] проводится методами двойственности; в [7] этот результат доказан конструктивно, а в [14] - обобщён на случай римановых многообразий.

Содержание работы

В главе 1 мы вводим обозначения и основные термины, необходимые для понимания работы, в частности, потоки Де Рама размерности 0 и размерности 1. Поток размерности 0 в пространстве RN - это обычная обобщённая функция в RN (пространство этих функций мы обозначаем через V(RN)), а поток размерности 1 в М^ - это (непрерывный) линейный функционал на пространстве T>(RN) пробных векторных полей в то есть бесконечно гладких векторных полей с компактными носителями в RN. Пространство потоков размерности 1 мы обозначаем через T>'(RN). Символ Т[ф\ обозначает результат применения потока Т Е V(RN) размерности 1 к пробному векторному полю (р Е T>(RN)] аналогичный смысл имеет символ Т[ф\ для Т Е V'(RN) и р Е V(RN).

Пользуясь координатной записью, можно понимать V'(RN) как пространство векторных полей, компоненты которых суть обобщённые функции класса T>'(RN). Оператор div: T>'(RN) —> T>'(RN) определяется следующим образом: если Ti,...,Тдг - компоненты потока Т Е T>'(RN) в системе координат (zi,... , ждг), то divT - поток размерности 0 (обобщённая функция класса T>'(RN)), определённый

N дТ -

следующим образом: di vT = ^ тг-^- Поток Т Е T>'(RN) называется соленоидалъ-

ным, если divT = 0. С помощью координатной записи определяются и операторы V: V'(Rn) V'(Rn), A: V'(RN) V'(RN) и покоординатный оператор Лапласа Д: V'(Rn) ©'(Е^), а при N = 3 - оператор rot: P'(R3) P'(R3). Отметим, что все эти операторы могут быть определены и без использования координатной записи - через действия потоков размерностей 0 и 1 па пробные функции и пробные векторные поля соответственно.

Пространства М(К) и М(К) суть пространства скалярных и векторных боре-левских зарядов, сосредоточенных на компактном множестве К С RN; нормы II " ||Д'/(а") и || • суть полные вариации зарядов. Отметим, что пространства

М(К) и М(К) можно понимать как подпространства в T>'{RN) и T>'(RN) соответственно.

Символ HN всюду обозначает jV-мерную меру Хаусдорфа (или меру Лебега в Rn): (a, b) есть скалярное произведение векторов a, b Е RN.

Глава 2 посвящена задачам почти аппроксимации. Эти задачи получаются ослаблением условий, налагаемых на аппроксимирующие векторные поля: если в задаче точной аппроксимации мы требуем, чтобы эти поля удовлетворяли некоторой системе дифференциальных уравнений, то в задаче почти аппроксимации мы требуем, чтобы эта система удовлетворялась приближённо. Пусть К -компактное множество в!3, a f Е С(К) - векторное поле. Зададимся следующим вопросом: существует ли такая последовательность векторных полей fm класса Р(М3), т= 1,2,..., что

II f-LWctK)^^ (3)

II rot fm\\ö{K) 0, || div fm\\c(K) 0? (4)

Нас интересует, какие векторные поля / Е С (К) допускают такую аппроксимацию, а также - на каких компактных множествах К С К3 любое непрерывное

поле допускает такую аппроксимацию.

Эта постановка допускает обобщение в двух направлениях. Во-первых, можно рассматривать задачи аппроксимации почти решениями произвольных систем дифференциальных уравнений (а не только системы (1)), в частности, имеют смысл задачи почти аналитической аппроксимации (то есть приближения ком-плексиозначными функциями комплексной переменной с малыми значениями оператора Коши-Римана) и задачи почти безвихревой аппроксимации (то есть приближения векторными полями с малыми вихрями). Во-вторых, в оценке (3) может фигурировать другая норма, не обязательно равномерная, как и в оценках (4).

В подпункте 2.1.1 мы вводим (вынужденно громоздкий) формализм, позволяющий единообразно описать все задачи такого вида. Пусть A/i = 2,3,..., М = 1,2,.... Символ (Т>( RNl))M обозначает пространство С°°-гладких Мм-значпых или См-значных функций, заданных па М^1 и имеющих компактный носитель. Пусть N2,N3 = 1,2,..., а Т: (V(RNi))N2 -> (T>(RNl))N3 -однородный линейный дифференциальный оператор произвольного порядка с гладкими коэффициентами (в основном мы интересуемся операторами первого порядка, операторы произвольного порядка рассматриваются только в подпункте 2.2.2). Обозначим через "^(R^1) совокупность всех компактных подмножеств пространства RNl. Пусть Рг = {Pi^l^g^KiVi), Р2 = {Р^}Kev(r^i) ~ семейства полунорм на P(RWl), параметризованные компактными множествами в MiVl, причём каждому компактному множеству К Е r?f(IR/Vl) сопоставлены

D(K) jjtK) г п(к) г

полунормы Р{ , Р2 > Для которых значения г\ / и Р2 J зависят только от значении функции / Е T>(RNl) на множестве К. Такими семействами оказываются, например, следующие два семейства полунорм.

1. Семейство равномерных полунорм С = : С^к) f = sup |/| для к е и / g P(MNl)-

2. Семейство W-полунорм Lp = {(Lp)^}K&nRNl)l р G [1,+оо): (Lp)^f = \\f\\Lp(k) для К G и / б V{RNi).

Определение 2 (определение 2.1.2). Будем говорить, что вектор-функция F g (2?(mivl))iv2 допускает pi-аппроксимацию Р2-почти решениями оператора Т на компактном множестве К С RNl, если найдётся такая последовательность вектор-функций из (V(RNi))N2, что

p[K\Fm-F)^^ О, P^K\TFm) 0.

(В последних двух оценках речь идёт о стремлении к нулю компонент вектор-функций по полунормам Р^ и Р2К^.)

Если каждая вектор-функция F g (i?(]rivl))jv2 допускает такую аппроксимацию на К, то мы говорим, что множество К обладает свойством Pi-аппроксимации Р2-почти решениями оператора Т.

Например, в рамках этого формализма задача С-аппроксимации поля / G P(R3) Ьр-почти безвихревыми векторными полями на компактном множестве К С К3 состоит в отыскании такой последовательности векторных полей

fm G P(R3) (m = 1,2,...), что ll/l -f\\c(K) II rot0.

А поставленный выше вопрос о почти гармонической аппроксимации в наших обозначениях принимает вид задачи С-аппроксимации С-почти гармоническими векторными полями в R3.

Общая задача почти аппроксимации легко переписывается по двойственности, мы выводим общий результат для операторов Т первого порядка (теорема 2.1.5). Например, двойственный критерий для задачи С-почти безвихревой С-аппроксимации таков:

Предложение 3 (следствие 2.1.6). Пусть К с R3 - компактное множество, а / g С (К). Поле / допускает С-аппроксимацию С-почти безвихревыми полями на множестве К в том и только в том случае, если rot /2[/] = 0 для любого векторного заряда Д g М(К) такого, что rot ¡1 G М(К). Множество К обладает свойством С-аппроксимации С-почти безвихревыми полями в том и только в том случае, если не существует заряда /2 g М(К), ¡1 ф 0; для которого rot/Г G М(К).

(Оператор rot на зарядах понимается в обобщённом смысле, см. выше.)

Оказывается, что если семейства полунорм Р\,Р2 удовлетворяют некоторым довольно общим предположениям (см. определение 2.1.1), а также если полунорма р[к^ сильнее полунормы для каждого компактного множества К, то

задача Pi-аппроксимации Р2-почти решениями произвольного оператора Т первого порядка локальна, то есть для этой задачи верна теорема, аналогичная теореме 1 (теорема 2.1.4); отсюда следует, что свойство Pi-аппроксимации Р2-почти решениями оператора Т есть локальное свойство компактного множества К с kjvl. В частности, такая локальность имеет место, если Рг и Р2 - семейства //-полунорм или С-полунорм, введённые выше (и полунормы сильнее

полунорм -Г2 ) •

В частности, задачи С-аппроксимации С-почти гармоническими и С-почти безвихревыми векторными полями в М3 локальна. С учётом того, что задача равномерной гармонической аппроксимации в М3 нелокальна (см. [6]), как и задача равномерной почти безвихревой аппроксимации, мы заключаем, что, вообще говоря, задачи равномерного приближения почти гармоническими и почти безвихревыми полями неравносильны своим точным аналогам.

Тем не менее, некоторые задачи почти аппроксимации почти решениями эллиптических систем дифференциальных уравнений оказываются равносильны задачам аппроксимации точными решениями таких систем, мы выводим результаты о такой равносильности в пункте 2.2. Пусть Т: (T>(M.Nl))N2 —> (T>(M.Nl))N2 - однородный дифференциальный оператор порядка к с постоянными коэффициентами. Мы говорим, что вектор-функция F g (T>(M.Nl))N2 допускает С- (или Lr-) аппроксимацию (точными) решениями оператора Т на компактном множестве К С М^1, если найдётся последовательность вектор-функций Fm g (T>(M.Nl))N2, т = 1,2,..., для которой ||Fm—F\\c(K) 0 (соответственно,

||Fm — F\\Lr(K) 0), и для каждого т = 1,2,... равенство TFm — 0 выполнено

в окрестности множества К (зависящей, вообще говоря, от т). Предположим, что оператор Т - эллиптический (см. [15]). Верпа следующая

Теорема 4 (теорема 2.2.4). Пусть Р е (©(Е^1))^2.

1. Пусть р € [1,+оо); причём р > Если Е допускает С-аппроксимацию Ьр-почти решениями оператора Т на множестве К, то Р допускает и С-аппроксимацию решениями оператора Т на К.

2. Пусть р,г € [1, +оо); причём р > ■ Если Р допускает ЬТ-аппроксимацию Ьр-почти решениями оператора Т на множестве К, то Р допускает и Ьг-аппроксимацию решениями оператора Т на К.

Справедливость этого утверждения связана с тем, что эллиптический оператор имеет фундаментальное решение (см. [15]), что позволяет легко построить по приближающей последовательности почти решений оператора Т близкую к ней (в смысле нормы С(К) или ЬР(К)) последовательность точных решений этого оператора.

Отметим следующие примеры эллиптических систем дифференциальных уравнений: это система уравнений Коши-Римана в комплексной плоскости, система Моисила-Теодореску в М3 (см., напр., [17]) и система, определяющая кватернионные функции кватернионной переменной, аналитические слева (см. [18]). К задачам аппроксимации почти решениями всех трёх систем применима теорема 4, в частности, при р > 2 задача равномерного приближения //-почти аналитическими функциями па компактном множестве К С С равносильна задаче равномерной аналитической аппроксимации, и тем более это верно для задачи равномерного приближения равномерно почти аналитическими функциями.

Остановимся подробнее на системе Коши-Римапа. Фундаментальное решение оператора д в комплексной плоскости - это функция 1/ттг. Равносильность задачи равномерной аппроксимации Ьр-почти аналитическими функциями на компактном множестве в С при р > 2 и задачи равномерной аналитической аппроксимации на К может быть установлена простым применением формулы Коши-Грина (см. теорему 2.2.1 и теорему 2.2.2). Именно, пусть / е С (К), а гладкие функции /т, т = 1,2,..., таковы, что ||/т - /|| С{к) О,

\\д/т\\ьр(к) т~>°°> 0. Выберем для каждого т = 1,2,... открытое множество 0,т, содержащее К и имеющее гладкую границу, и запишем функцию /т на Пто по формуле Коши-Грииа:

, 1 [ МО <К 1 [диошчо 1т[ >~ 2ш ] С-г 7Г У С-* '

Если \\д/т\\с(к) "г~>°°> 0, то можно выбирать множества 0.т так, что второе интегральное слагаемое в последнем равенстве будет равномерно на К стремиться к нулю, а тогда функции ^ / _ аналитические вблизи К, равномерно

стремятся к / па К, и / допускает требуемую ("точную") аппроксимацию.

Возникает естественный вопрос: почему нельзя провести аналогичное доказательство равносильности задач равномерной гармонической и равномерной почти гармонической аппроксимации в М3, воспользовавшись трёхмерной формулой Коши-Грина? В самом деле, если (] С К3 - ограниченное открытое множество

с гладкой границей, а векторное поле / гладко в М3, то

90 80,

О О

= 1?1(р) + 1?М + 1^(р) + 1?/(р), П (5)

(см., напр., [5]). Для переноса приведённого выше доказательства для почти аналитической аппроксимации на случай трёхмерного пространства (и гармонических векторных полей) нам следовало бы заменить последовательность почти гармонических векторных полей {/от}т=и приближающих заданное векторное поле / на компактном множестве К С М3, последовательностью вида + Для

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Дубашинский, Михаил Борисович, 2013 год

Литература

[1] C.K. Смирнов, Разложение еоленоидальных векторных зарядов на элементарные соленоиды и структура нормальных одномерных потоков, Алгебра и анализ 5 (1993), № 4, 206-238.

[2] O.A. Ладыженская, H.H. Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа, М., 1973.

[3] Д. Гайер, Лекции по теории аппроксимации в комплексной области, Мир, М., 1986.

[4] Т. Гамелип, Равномерные алгебры, Мир, М., 1973.

[5] А. Преса Саге, В.П. Хавин, Равномерное приближение гармоническими дифференциальными формами в евклидовом пространстве, Алгебра и анализ 7 (1995), № 6, 104-152.

[6] С.К. Смирнов, В.П. Хавип, Задачи приближения и продолжения для некоторых классов векторных полей, Алгебра и анализ 10 (1998), № 3, 133-162.

[7] Е.В. Малишшкова, В.П. Хавин, Равномерное приближение гармоническими дифференциальными формами. Конструктивный подход, Алгебра и анализ 9 (1997), № 6, 156-196.

[8] N.V. Rao, Approximation by gradients, J. Approx. Theory 12 (1974), № 1, 52-60.

[9] Г. Федерер, Геометрическая теория меры, Наука, М., 1987.

[10] Э. Джусти, Минимальные поверхности и функции ограниченной вариации, Мир, М., 1989.

[11] В.М. Гольдштейн, В.И. Кузьминов, H.A. Шведов, О нормальной и компактной разрешимости оператора внешнего дифференцирования при однородных краевых условиях, Сиб. мат. жури. 28 (1987), № 4, 82-96.

[12] У. Рудип, Функциональный анализ, Мир, М.. 1975.

[13] Ж. де Рам, Дифференцируемые многообразия, ГНИЛ, М., 1956.

[14] Е.В. Малипникова, Равномерная аппроксимация гармоническими дифференциальными формами на компактных подмножествах риманова многообразия, Алгебра и анализ, 11 (1999), № 4, 115-138.

[15] N.N Tarkhanov, The Cauchy Problem for Solutions of Elliptic Equations, Akademie Verlag, Berlin, 1995.

[16] H.H. Тарханов, Аппроксимация на компактах решениями систем с сюрьек-тивным символом, УМН, 48 (1993), № 5(293), 107-146.

[17] А.В. Бицадзе, Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка, Наука, М., 1966.

[18] A. Sudbery, Quaternionic analysis, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc, 85 (1979), 199-225.

[19] Ю.М. Григорьев, В.В. Наумов, Аппроксимационные теоремы для системы Моисила-Теодореску, Сиб. матем. жури., 25 (1984), № 5, 9-19.

[20] J. Garnett, Analytic capacity and measure, Lecture Notes in Math., 297. SpringerVerlag, New York-Heidelberg, 1972.

[21] L.I. Hedberg, Approximation in the mean by analytic functions, Trans. Amer. Math. Soc. 163 (1972), 157-171.

[22] D.R. Adams, L.I. Hedberg, Function Spaces and Potential Theory, Springer, Berlin-Heidelberg, 1996.

[23] В.И. Смирнов, H.A. Лебедев, Конструктивная теория функций комплексного переменного, Наука, М., 1964.

[24] A.G. O'Farrell, Rational Approximation in Lipschitz Norms: I. Proceedings of the Royal Irish Academy. Section A: Mathematical and Physical Sciences 77 (1977), 113-115.

[25] A.G. O'Farrell, Rational Approximation m Lipschitz Norms: II, Proceedings of the Royal Irish Academy. Section A: Mathematical and Physical Sciences 79 (1979), 103-114.

[26] Ope О. Теория графов, Наука, M., 1980.

[27] В.П. Хавин, Аппроксимация аналитическими функциями в среднем, Доклады АН СССР 178 (1968), № 5, 1025-1028.

[28] Н.С. Ландкоф, Основы классической теории потенциала, Наука, М , 1966.

[29] S.J. Gardiner, Harmonic Approximation, London Mathematical Society Lecture Notes Series, № 221, Cambridge University Press, 1995.

[30] М.Я. Мазалов, П.В. Парамонов, К.Ю. Федоровский, Условия Ст-приближае-мости функций решениями эллиптических уравнений, УМН 67 (2012), № 6 (408), 53-100.

[31] Т. Bagby, Approximation in the mean by solutions of elliptic equations, Trans. Amer. Math. Soc.. 281 (1984), № 2, 761-784.

[32] R. Kenyon, Lectures on Dimers, arXiv:0910.3129 (2009).

[33] R. Courant, К. Friedrichs, H. Lewy, On the partial difference equations of mathematical physics, IBM Journal of Research and Development 11 (1967), 215-234.

[34] T. Bagby, P. M. Gauthier, Approximation by harmonic functions on closed subsets of Riemann surfaces, Journal d'Analyse Mathématique 51 (1988), 259-284.

Публикации автора по теме диссертации

[D1] М.Б. Дубашинский, О равномерной аппроксимации гармоническими и почти гармоническими векторными полями, Зап. научи, семин. ПОМИ 389 (2011), 58-84.

[D2] М.Б. Дубашинский, Об одном методе аппроксимации векторных полей градиентами, Алгебра и анализ 25 (2013). № 1, 3-36.